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UNIVERSIDAD RURAL DE GUATEMALA
MAESTRIA EN INVESTIGACION Y PROYECTOS
METODOS ESTADISTICOS PARA INVESTIGADORES
TEXTO PARALELOTEORIA AXIOMATICA DE LA
PROBABILIDAD
MIRIAM DEL CARMEN ALVARADO AREVALO
03-00-12021-06-2003
INDICE
CAPITULOPAGINA
I. INTRODUCCION
2
II. TEORIA AXIOMATICA DE LA PROBABILIDAD
A. DEFINICIONES PREVIAS
3
B. AXIOMAS DE PROBABILIDAD
8
C. APLICACIÓN DE LA TEORIA
AXIOMATICA DE LA PROBABILIDAD
10
D. PROBABILIDAD CONDICIONAL E
INDEPENDENCIA 13
III. PROBLEMAS RESUELTOS
21
1
IV. PROBLEMAS PROPUESTOS
24
V. BIBLIOGRAFIA
25
I. INTRODUCCION
La probabilidad indica el grado de certidumbre o certeza de un
suceso o fenómeno estudiado, en la investigación científica existen
muchos fenómenos en los cuales es necesario determinar la
probabilidad de que un evento(s) ocurra(n) o dejen de ocurrir, para lo
cual el estudio de este campo, es necesario, además tiene
2
aplicaciones muy importantes en investigación; dado que es base
para la inferencia estadística que permite el estudio de muestras con
el objetivo de inferir o extrapolar características de estas a una
población.
En el presente trabajo se revisa la teoría de probabilidades,
específicamente los axiomas que la fundamentan y se incluyen
algunos problemas resueltos y propuestos sobre esta materia.
II. TEORIA AXIOMATICA DE LA PROBABILIDAD
A. DEFINICIONES PREVIAS
1. PROBABILIDAD: Es una medida de las posibilidades de
que ocurra un suceso futuro. Es el estudio de experimentos
aleatorios o libres de determinación. Probabilidad de un suceso es
la razón entre el número de casos favorables y el número total de
casos posibles, siempre que nada obligue a creer que alguno de estos
casos debe tener lugar de preferencia a los demás, lo que hace que
todos sean, para nosotros, igualmente posibles. Está es la llamada
definición clásica, el tratamiento moderno de la teoría de la
probabilidad es puramente axiomático. Esto significa que las
probabilidades de nuestros eventos pueden ser perfectamente
3
arbitrarias, excepto que ellas deben satisfacer ciertos axiomas que se
enuncian posteriormente.
2. HISTORIA DE LA PROBABILIDAD
En 1654, Antoine Chevalier de Méré, quién tenía un particular interés
por los juegos de azar, planteó a Blaise Pascal y a Pierre de Ferrmat,
un dilema sobre un juego que consistía en lanzar un par de dados 24
veces. El problema consistía en decidir si apostar o no a que durante
los 24 lanzamientos ocurrirían al menos un par de seises. De las
discusiones entre Pierre de Fermat y Blaise Pascal surgieron los
principios fundamentales de Teoría de Probabilidad planteados por
primera vez, no obstante que en los siglos XV y XVI algunos italianos
y alemanes habían discutido la cuestión en algunos problemas de
juegos.
En 1657 Christian Huyges, quién fuera profesor de Leibeniz,
examinó la correspondencia entre Fermat y Pascal y de ahí publicó el
primer libro sobre Teoría de Probabilidad titulado De Rationciniis in
Ludo Aleae, que fué un tratado sobre problemas asociados con juegos
de azar. Debido al interés qué se tenía sobre los juegos de azar, la
Teoría de Probabilidad se volvió rápidamente muy popular, de
manera que el tema se abordó mucho durante el siglo XVII; en ese
período resaltan las contribuciones de Jakob Bernoulli (1654-1705) y
de Abraham de Moivre (1667-1705). Posteriormente, en 1812, Pierre
de Laplace (1749-1827) introdujo nuevas ideas y técnicas
matemáticas en su libro Theorie Analytique des Probabilités. Antes de
Pierre Pascal, la Teoría de Probabilidad solamente estudiaba la
aleatoriedad en los juegos, por el contrario Pascal aplicó
probabilidades a muchas áreas como genética, psicología y
economía. Pascal desarrolló además una teoría de errores.
En los tiempos de Pascal hubo muchos que participaron en la
teoría de la probabilidad y sus aplicaciones. Cabe mencionar al
naturalista Buffon, quien planteó el famoso experimento que lleva su
nombre, la aguja de Buffon, que consiste en representar el
4
lanzamiento de una aguja sobre un cuadrado.
El Marqués de Condorcet (1743-1794) fue un líder político
durante la Revolución Francesa que estaba interesado en aplicar
Teoría de Probabilidades a economía y política. El calculaba la
probabilidad de que un jurado que decidiera por mayoría, tomará una
decisión correcta si cada miembro del jurado tenía la misma
probabilidad de tomar la decisión correcta
En 1894, Karl Pearson analizó un gran número de resultados de
una determinada ruleta no justa (con distribución no uniforme) y
planteo los Métodos de Casinos. Pearsons sugirió utilizar los casinos
como un laboratorio de teoría de probabilidades y realizar
experimentos en ellos; esto condujo a Pearson a descubrir la prueba
Chi-Cuadrado.
Para los experimentos que sugería Pearson se requerían
números aleatorios. Esto llevó a L.H.C Tippet a encontrar métodos
para generar números aleatorios y en 1927 publicó una tabla con
alrededor de 40,000 números aleatorios (ó seudo-aleatorios). Años
más tarde Von Neuman plantea el uso de los métodos de Pearson
pero utilizando números aleatorios en combinación con funciones de
distribución para simular procesos, naciendo así los famosos Métodos
MonteCarlo aplicados hasta la fecha.
En 1933, un matemático ruso, A. Kolmogorov desarrolló un
enfoque axiomático de la Teoría de Probabilidad en su libro traducido
al inglés, en 1950, Foundations of Probability Theory.
2. ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS: El conjunto S de todos
los resultados posibles de un experimento dado se llama el “espacio
muestral”. Un resultado particular, esto es, un elemento de S, se
llama un punto muestral o muestra. Un evento A es un conjunto de
resultados o, en otras palabras, un subconjunto del espacio muestral
S. El evento {a } que consta de una muestra simple a € S se llama
evento elemental. El conjunto vacio Ø y S de por sí son eventos: el Ø
5
algunas veces se denomina el evento imposible (o imposibilidad), y S
el evento cierto o seguro.
Podemos combinar eventos para formar nuevos eventos,
utilizando las diferentes operaciones con conjuntos:
a. A U B es el evento que sucede si y sólo si A o B o ambos
suceden.
b. A ∩ B es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden
simultáneamente.
c. Ac (complemento de A), es el evento que sucede si y sólo
si A no sucede.
Dos eventos A y B son llamados mutuamente exclusivos si son
disyuntos, esto es, si A ∩ B = Ø. En otras palabras, mutuamente
exclusivos si no pueden suceder simultáneamente.
3. ENFOQUES DE PROBABILIDAD
a. El principio de razón insuficiente: El principio de
razón insuficiente o de indiferencia, conocido también como modelo
clásico o probabilidad a priori, fue utilizado por el famoso matemático
Jacobo Bernouilli (1654 -1705) para definir probabilidades.
Supóngase que se lanza un dado no cargado al aire y que se pregunta
a un alumno cuál es la probabilidad de que salga un 2.
Probablemente contestaría 1/6. Esto es aplicando este principio.
Dicho principio señala que cuando no hay fundamentos para
preferir uno de los posibles resultados o sucesos a cualquier otro,
todos deben considerarse que tienen la misma probabilidad de
ocurrir.
El matemático francés P.S Laplace (1749 -1827) estableció este
principio en su libro A Philosophical Essay on Probabilities de esta
manera: “ La teoría de la probabilidad consiste en reducir todos los
elementos de la misma clase a cierto número de casos igualmente
posibles, es decir, que nosotros debemos estar igualmente indecisos
ante su existencia y para determinar la cantidad de casos favorables
para el suceso cuya probabilidad se busca. La relación de este
6
número con el de todos los casos posibles, es la medida de la
probabilidad, que es, por tanto, sencillamente una fracción cuyo
numerador es el número de casos favorables y cuyo denominador es
el número de todos los casos posibles “.
Este principio de razón insuficiente tiene varias características,
una de las cuales es que supone una simetría de los sucesos. Así, se
habla de un dado no cargado, una moneda no cargada, etc. La otra
es que se basa en razonamientos abstractos y no depende de la
experiencia.
La hipótesis de la simetría reduce el campo de aplicación de
este principio porque, muchos resultados de los problemas (tales
como los de las finanzas, los negocios o economía) no tienen simetría.
b. El enfoque de la primera teoría de la frecuencia para
explicar la probabilidad: Conocido también como modelo de
frecuencia relativa, a posteriori o empírico. La bibliografía básica
para este enfoque es la obra del matemático ruso A.N Kolmogorow,
Foundations of the Theory of Probability (1933). Para explicarlo, se
usará un ejemplo, en relación a los experimentos de lanzar una
moneda al aire. Existen dos resultados posibles (sucesos), E1 (cara) y
E2 (cruz). Si se tira la moneda 30 veces y se anotan los resultados
teniendo 14 veces caras, se puede obtener una probabilidad a
posteriori (m/n) sobre el número de veces que cae cara siendo 14 el
numerador (m) y 30 el denominador (n), se obtiene 14/30 = 0.47 que
es la frecuencia relativa de caras en 30 tiradas.
Se debe destacar que las fluctuaciones de las frecuencias
relativas de un suceso varían considerablemente cuando n es
pequeño, pero cuando n es grande, la amplitud de las fluctuaciones
disminuye; la probabilidad de un evento A es decir P(A) calculada por
el modelo clásico y la frecuencia relativa del suceso A, m/n no son la
misma cosa. Sin embargo, cuando n es grande y P(A) es
desconocido, m/n se utiliza como una estimación de P(A) y se llama
probabilidad de A.
7
En relación con esta definición de probabilidad, se debe señalar
que:
m/n ≤ 1, si el número de presentaciones del suceso es
cero, entonces m=0 y m/n=0, por lo tanto 0 ≤ m/n ≤ 1, por lo tanto
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Las características de este enfoque son:
Supone una gran cantidad de ensayos
Supone la regularidad estadística
La P(A) se estima por la frecuencia relativa de A
Está basada en la experiencia.
c. El enfoque de la segunda teoría de la probabilidad de la
frecuencia: Es
semejante al primer enfoque, en el hecho de comenzar con la
frecuencia relativa m/n, del suceso A. Pero difiere de la primera en lo
siguiente: aquella asigna un número P(A) al suceso y lo llama
probabilidad del suceso A. Esta P(A) tenía la característica de que
cuando la cantidad de ensayos era grande, m/n y P(A) eran
prácticamente iguales.
El segundo enfoque define la probabilidad del suceso A como el
límite de m/n cuando n tiende a infinito. Entonces se puede escribir:
P(A)= m/n cuando n ∞
En la primera perspectiva P(A) es una idealización de la
regularidad estadística de la frecuencia relativa de un suceso. La
segunda requiere la existencia de un límite para la frecuencia relativa
de un suceso.
Generalmente al usar el enfoque de la teoría de la frecuencia,
se utiliza el primero.
Los tres enfoques mencionados se conocen como “objetivos”.
d. El enfoque subjetivo: Este enfoque ha sido presentado a
los estadísticos por el Profesor Savage, como se indica a
continuación:
8
“Un punto de vista personalista sostiene que la probabilidad
mide la confianza que tiene un individuo determinado en la verdad de
una proposición particular, por ejemplo, la proposición de que
mañana llueva. Estos puntos de vista postulan que el individuo en
cuestión de algún modo es “razonable” pero no niegan la posibilidad
de que dos individuos razonables con la misma prueba puedan tener
diferentes grados de confianza en la verdad de la misma proposición
“.
El Profesor Savage emplea el término “personalista” en lugar de
subjetivo.
Como señala la cita anterior, la probabilidad de un suceso A se
interpreta como una medida de la confianza que una persona
razonable asigna al suceso A.
Este enfoque es muy flexible y se puede aplicar en una
variedad de situaciones, se utiliza cuando se desea asignar
probabilidad a un evento que nunca ha ocurrido, no hay datos en que
basarse y se deben analizar las opiniones y creencias para obtener
una estimación subjetiva. Por ejemplo: la probabilidad de que una
mujer sea elegida como presidente de Guatemala.
B. AXIOMAS DE PROBABILIDAD
Sea S un espacio muestral, sea ε la clase de eventos y sea P
una función de valores reales definida en ε. Entonces P se llama
función de probabilidad, y P(A) es llamada probabilidad del evento A
si se cumplen los siguientes axiomas:
[P1] Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1
[P2] P(S)= 1
[P3] Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces
P (A U B)= P(A) + P (B)
[P4] Si A1, A2,…. es una serie de eventos mutuamente
exclusivos, entonces
P (A1 U A2 U….) = P(A1)+ P(A2) +……..
9
Las siguientes observaciones conciernen al orden en que están
los axiomas [P3] y [P4]. Ante todo, al utilizar [P3] y la inducción
matemática se puede probar que para eventos mutuamente
exclusivos A1, A2,…. An
P (A1 U A2 U….U An) = P(A1)+ P(A2) +……..+ P(An)
Se debe enfatizar que [P4] no proviene de [P3] ni siquiera la anterior
demostración se cumple para todo entero positivo n. Sin embargo, si
el espacio muestral S es finito, entonces claramente el axioma [P4] es
superfluo.
Los siguientes teoremas se deducen directamente de los
axiomas anteriores.
1. Teorema 1: Si P(Ø)=0
Demostración: Sea A un conjunto, entonces A y Ø son disyuntos
y AUØ = A
Por [P3], P(A)= P(AUØ)= P(A)+P(Ø), restando P(A) de ambos
lados obtenemos el resultado.
2. Teorema 2: Si Ac es el complemento de un evento A,
entonces
P(Ac)= 1 – P(A)
Demostración: El espacio muestral S se puede descomponer en
los eventos A y Ac mutuamente exclusivos, esto es, S= A U Ac.
Por [P2] y [P3] se obtiene: 1 = P(S) = P(A U Ac) = P(A) + P(Ac) de
lo cual se desprende el resultado.
3. Teorema 3:Si A C B , entonces B se puede descomponer
en los
eventos A y B\A mutuamente exclusivos. Así: P(B) = P(A) + P(B\
A), con lo cual se comprueba el enunciado puesto que P(B\A) ≥
0.
4. Teorema 4: Si A y B son dos eventos, entonces
P(A\B) = P(A) – P(A ∩ B)
10
Demostración: A se puede descomponer en los eventos
mutuamente exclusivos A\B y A ∩ B: esto es, A= (A\B) U (A ∩ B).
Por consiguiente, por
[P3], P(A) = P (A\B) + P(A∩ B) de lo cual se obtiene el resultado.
5. Teorema 5: Si A y B son dos eventos, entonces
P(A U B) = P(A)+ P(B) – P(A∩ B)
Demostración: Obsérvese que AUB se puede descomponer en
los eventos A\B y B mutuamente exclusivos; esto es, AUB= (A\
B)UB. Entonces por [P3] y el teorema 4,
P(AUB)= P(A\B)+ P(B)
=P(A) – P(A∩ B) + P(B)
= P(A) + P(B) – P(A∩ B) , que es el resultado
buscado.
Aplicando el teorema anterior por segunda vez obtenemos
el Corolario 6: Para los eventos A,B y C.
P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)–P(A∩B)-P(A∩C) – P(B∩C) +
P(A∩B∩C)
C. APLICACIÓN DE LA TEORIA AXIOMATICA DE LA
PROBABILIDAD
1. Espacios Finitos de Probabilidad
Sea S un espacio muestral finito; digamos, S= {a1, a2….., an}. Un
espacio finito de probabilidad se obtiene al asignar a cada punto a1 € S
un número real pi, llamado probabilidad de ai, que satisface las
propiedades siguiente:
a. cada pi es no negativo, pi ≥0
b. la suma de los pi es uno, p1 +p2+…..+pn =1
La probabilidad P(A) de un evento A, se define entonces como la
suma de las probabilidades de los puntos A.
Ejemplo:
Láncese tres monedas y obsérvese el número de caras que
resulten; entonces el espacio muestral es S={0, 1,2,3}.
11
Obtenemos un espacio de probabilidad por medio de las
siguientes asignaciones:
P(0)=1/8, P(1)=3/8, P(2)=3/8, P(3)=1/8
Puesto que cada probabilidad es no negativa y la suma de las
probabilidades es 1. Sea A el evento en que aparece una cara por lo
menos y sea B el evento en que aparecen todas caras o todos sellos:
A= {1,2,3} y B={0,3}
Entonces, por definición, P(A)= P(1)+ P(2)+ P(3)= 3/8 + 3/8 + 1/8 =
7/8
P(B)= P(0) +P (3)= 1/8+1/8 = ¼.
2. Espacios Finitos Equiprobables
Frecuentemente, las características física de un experimento
sugieren que se asignen iguales probabilidades a los diferentes
resultados del espacio muestral. Un espacio finito S de probabilidad,
donde cada punto muestral tiene la misma probabilidad, se llamará
espacio equiprobable o uniforme. En particular, si S contiene n
puntos entonces la probabilidad de cada punto es 1/n. Además, si un
evento A contiene r puntos entonces su probabilidad es r(1/n)=r/n.
En otras palabras, P(A)= número de elementos de A
Número de elementos de S
o P(A)=número de maneras en que el evento A puede
suceder__________
Número de maneras en que el espacio muestral S puede
suceder
Esta fórmula puede utilizarse solamente con respecto a un espacio equiprobable.
La expresión “al azar” se usará solamente respecto a un
espacio equiprobable; formalmente, la proposición “escoger un punto
al azar de un conjunto S” significa que S es un espacio equiprobable,
esto es, que cada punto muestral de S tiene la misma probabilidad.
Ejemplo:
12
Sean 2 artículos escogidos al azar de un grupo de 12 de los
cuales 4 son defectuosos. Sea
A={dos artículos defectuosos} y B={dos artículos no
defectuosos}
Hallar P(A) y P(B). Ahora
S puede suceder de 12 = 66 maneras, o número de veces
que se pueden
2 escoger 2 artículos entre 12
A puede suceder 4 = 6 maneras, o número de veces en que
se pueden
2 defectuosos entre 4 defectuosos.
B puede suceder de 8 = 28 maneras, o número de veces en
que se
2 pueden escoger 2 artículos no
defectuosos entre 8 no defectuosos.
Por consiguiente. P(A)= 6/66=1/11 y P(B)+28/66=14/33
Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos un
artículo
sea defectuoso? Ahora C= {un artículo por lo menos es defectuoso}
es el complemento de B, esto es, C= Bc. Así, por el teorema 2,
P(C) = P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 14/33= 19/33
La ventaja con que un evento de probabilidad p sucede, se define
como la relación p: (1 –P). Así, la ventaja de que por lo menos un
artículo sea defectuoso es 19/33 : 14/33 o 19 : 14.
3. Espacios Muestrales Infinitos
Sea S un espacio muestral infinito contable: es decir, S={a1, a2….}.
Como en el caso finito, se obtiene un espacio de probabilidad
asignando a cada ai Є S un número real pi, llamado su probabilidad,
tal que
(i) pi ≥ 0 y (ii) p1 + p2 … = pi=1
La probabilidad P(A) de un evento A es entonces la suma de las
probabilidades de sus puntos.
13
Ejemplo:
Considérese el espacio muestral S={1,2,3……∞} del
experimento de lanzar una moneda hasta que aparezca una
cara; aquí n denota el número de veces en que se lanza la
moneda. Un espacio de probabilidad se obtiene designando
P(1)=1/2, p(2)=1/4…. p(n)=1/2n,…..p(∞)=0
Como espacios maestrales no contables S, se puede mencionar
aquellos de medida geométrica finita m(S) tales como longitud, área
o volumen, y en los cuales un punto se selecciona al azar. La
probabilidad de un evento A, esto es, aquella en que el punto
seleccionado pertenece a A, es entonces la relación de m(A) a m(S); o
sea,
P(A)= (longitud de A)/(longitud de S) o P(A)= (área de A)/ (área
de S) o
P(A)=(volumen de A)/(volumen de S).
Se dice que un espacio de probabilidad tal es uniforme.
Un espacio de probabilidad finito o infinito contable se dice que
es discreto, y un espacio no contable se dice que es no discreto.
D. PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
1. Probabilidad Condicional
Sea E un evento arbitrario de un espacio muestral S con P(E) > 0. La
probabilidad de que un evento A suceda una vez que E haya sucedido
o, en otras palabras, la probabilidad condicional A dado E, escrito P(A\
E), se define como sigue: P(A\E)= P(A∩E)/P(E)
La P(A\E) en cierto sentido mide la probabilidad relativa de A
con relación al espacio reducido E.
En particular, si S es un espacio finito equiprobable y |A|denota
el número de elementos de un evento A, entonces
P(A∩E)= |A∩E| P(E)= |E| y así P(A\E)= P(A∩E) =|A∩E|
|S| |S| P(E) |E|
Esto es,
14
Teorema 6 Sea S un espacio finito equiprobable con eventos A y E.
Entonces
P(A\E)= número de elementos de A∩E
Número de elementos de E
O P(A\E)= número de maneras en que A y E pueden suceder
Número de maneras en que E puede suceder
Ejemplo:
Un hombre visita a un matrimonio que tiene dos hijos. Uno de
los hijos , un niño, entra en la sala. Hallar la probabilidad p de
que el otro sea también niño si, a) Se sabe que el otro hijo o
hija es menor y b) No se sabe nada del otro hijo.
El espacio muestral para el sexo (en orden de nacimiento) de
los dos hijos es S={MM, MF, FM, FF} con probabilidad de ¼
para cada muestra.
a) El espacio muestral reducido consta de dos elementos,
{MM, MF}, o sea p=1/2
b) El espacio muestral reducido consta de tres elementos,
{MM,MF,FM}
O sea p=1/3
2. Teorema de la Multiplicación para probabilidad
condicional
Al multiplicar en cruz la ecuación anterior que define la probabilidad
condicional y usar el hecho de que A∩E= E∩A, se obtiene la siguiente
fórmula útil.
Teorema 7 P(E∩A) = P(E) P(A\E)
Este teorema puede extenderse por inducción matemática
como sigue:
Corolario 8 Para los eventos A1, A2,…., An, P( A1∩ A2∩…..∩ An)
=P(A1) P(A2\ A1) P(A3\ A1∩ A2)…P(An\ A1∩ A2.....∩An-1)
Ejemplo:
15
En una oficina hay tres mecanógrafas (A,B,C), las
probabilidades de cada una de ellas de estar ausente son;
A=0.2, B=0.4 y C=0.3. Hallar la probabilidad de que las tres
mecanógrafas estén ausentes el mismo día?
P(A∩B∩C) =0.2x0.4x0.3=0.024.
A continuación se presenta otra aplicación del teorema de la
multiplicación.
Una encuesta aplicada a ejecutivos se enfocó sobre su lealtad a
la empresa. Una de las preguntas planteadas fue: “ ¿Si otra empresa
le hiciera una oferta igual o ligeramente mejor a la de su puesto
actual, permanecería usted con la empresa o se cambiaría?” Las
respuestas de los 200 ejecutivos de la encuesta se clasificaron en
forma cruzada con su tiempo de servicio en la empresa (tabla 1). Al
tipo de tabla que resultó, por lo general se le denomina tabla de
contingencias.
TABLA 1
Lealtad de los ejecutivos y tiempo de servicio en la empresa
Lealtad < 1 año 1 – 5
años
6 – 10
años
> 10
años
Total
Se quedaría 10 30 5 75 120
No se
quedaría
25 15 10 30 80
Total 35 45 55 105 200
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un ejecutivo que
es leal a la empresa (se quedaría) y que tiene más de 10 años de
servicio?
16
Obsérvese que ocurren dos eventos al mismo tiempo: el
ejecutivo permanecería en la empresa y tiene más de 10 años de
servicio. El evento A consiste en un ejecutivo que permanecería
con la empresa a pesar de que otra compañía le hiciera una oferta
igual o ligeramente mejor. Para encontrar la probabilidad de que
suceda el evento A, se consulta la tabla 1. Se observa que hay
120 ejecutivos de los 200 de la encuesta que permanecerían con
la empresa, de manera P(A)= 120/200, o sea 60.
El evento B consiste en un ejecutivo con más de 10 años de
servicio en la empresa. De esta forma, P (B\A) es la probabilidad de
que un ejecutivo con más de 10 años de servicio permanezca con la
empresa a pesar de que otra compañía le haga una oferta igual o
ligeramente mejor. Consultando la tabla de contingencia, tabla 1, 75
de los 120 ejecutivos que se quedarían tienen más de 10 años de
servicio, de manera que P(B\A) = 75 /120.
Determinando la probabilidad de que un ejecutivo seleccionado
al azar sea uno de los que se quedaría con la empresa y con más de
10 años de servicio, y utilizando la regla general de multiplicación:
P(A y B)= P(A) x P(B\A)
= 120/200 x 75/120= 9000/24000= 0.375
3. Procesos Estocásticos Finitos y diagramas de Árbol
Una sucesión (finita) de experimentos en los cuales cada experimento
tiene un número finito de resultados con probabilidades dadas se
llama un proceso estocástico (finito). Una manera conveniente de
describir tal proceso y calcular la probabilidad de un evento se
obtiene por el diagrama de árbol como se ilustra en la figura
siguiente; el teorema de la multiplicación indicado anteriormente se
usa para calcular la probabilidad de que el resultado representado por
una trayectoria determinada del árbol suceda. Ejemplo: Hay
tres cajas:
o Caja I contiene 10 lámparas de las cuales 4 son
defectuosas
17
o Caja II contiene 6 con 1 defectuosa
o Caja III contiene 8 con 3 defectuosas
Al escoger una caja y luego sacar al azar una lámpara. ¿Cuál es la
probabilidad p de que la lámpara sea defectuosa? Aquí se realiza una
serie de dos experimentos
a) escoger una de las tres cajas
b) escoger una lámpara que sea o defectuosa (D) o no
defectuosa (N)
El diagrama de árbol siguiente describe el proceso y da la
probabilidad de cada rama del árbol:
2/5 D
I N
1/3 3/5
D
1/3 II 1/6
5/6 N
1/3 3/8
III D
5/8 N
La probabilidad de que una trayectoria determinada del árbol suceda
es, según el teorema de la multiplicación, el producto de las
probabilidades de cada rama de la trayectoria (probabilidad
conjunta), o sea, que la probabilidad de escoger la caja I y luego una
lámpara defectuosa es: 1/3 x2/5= 2/15. Ahora como hay tres
trayectorias mutuamente exclusivas que conducen a una lámpara
defectuosa, la suma de las probabilidades de estas trayectorias es la
probabilidad buscada:
p= (1/3x2/5)+(1/3x1/6) +(1/3x3/8)= 113/360
4. Particiones y Teorema de Bayes
18
Supongamos que los eventos A1, A2…., An forman una partición de un
espacio muestral S; esto es, que los eventos Ai son mutuamente
exclusivos y su unión es S. Ahora sea B otro evento. Entonces
B= S∩B= (A1UA2U…..U An) ∩B = (A1∩B) U(A2∩B)U …….U (An ∩B)
donde las Ai ∩B son eventos mutuamente exclusivos. En
consecuencia
P(B)= P(A1∩B) +(A2∩B)+ …….+ (An ∩B)
Luego por el teorema de la multiplicación,
P(B)=P(A1)P(B\ A1)+P(A2)P(B\ A2)+.....+P(An) P(B\An) (1)
Por otra parte, para cualquier i, la probabilidad condicional de Ai dado
B se define por
P(Ai\B)= P(Ai∩B)/P(B)
En esta ecuación si se usa (1) para remplazar P(B) y usamos
P(Ai∩B)= P(A1)P(B\ A1) para remplazar P(Ai∩B), se obtiene así el
siguiente teorema:
Teorema de Bayes (Teorema 8)Supóngase que A1, A2…., An
es una partición de S y que B es cualquier evento. Entonces para
cualquier i
P(Ai\B)= ____________________P(Ai)P(B\Ai)____________________
P(A1)P(B\ A1)+P(A2)P(B\ A2)+.............+P(An) P(B\An)
Está fórmula se llama también “fórmula para la probabilidad de
la hipótesis después de la prueba”
Ejemplo:
Tres máquinas A, B y C producen respectivamente 50%, 30% y
20% del número total de artículos de una fábrica. Los
porcentajes de producción de estas máquinas son 3%, 4% y 5%.
Si se selecciona al azar un artículo y resulta ser defectuoso (X).
Hallar la probabilidad de que el artículo fue producido por la
máquina A; esto es hallar P(A\X)
Por el teorema de Bayes,
P(A\X)= ____________________P(A) P(X\A)_______
P(A) P(X\A) + P(B) P(X\B) + P(C) P(X\C)
= _______________ (0.50) (0.03)_______________
19
(0.50)(0.03) + (0.30) (0.04) + (0.20 )(0.05)
= 15/37
En otras palabras, se divide la probabilidad de la trayectoria pedida
por la probabilidad del espacio muestral reducido, o sea, aquellas
trayectorias que conducen a un artículo defectuoso.
5. Independencia
Se dice que un evento B es independiente de un envento A si la
probabildad de que B suceda no está influenciada porque A haya o no
sucedido. En otras palabras, si la probabilidad de B iguala la
probabilidad condicional de B dado A: P(B)= P(B\A). Ahora
sustituyendo P(B) por P(B\A) en el teorema de la multiplicación
P(A∩B)= P(A) P(B), entonces
Definición: A y B son eventos independientes si P(A∩B)= P(A)
P(B); de otro modo son dependientes.
Para tres eventos A, B y C se dice que son independientes si:
a) P(A∩B)= P(A) P(B), P(A∩C)= P(A) P(C) y P(B∩C)=
P(B) P(C), esto es si los eventos son independientes dos a dos, y
b) P(P(A∩B∩C)= P(A) P(B) P(C)
Se debe resaltar que la condición (b) no se desprende de la
condición (a); en otras palabras, tres eventos pueden ser dos a dos
independientes pero no independientes entre sí.
Ejemplo:
Sea el caso de lanzar un par de monedas corrientes, aquí
S={CC, EE,CE,EC} es un espacio equiprobable. Considérese los
eventos
A={caras en el primera moneda} = {CC, CE}
B={caras en la segunda moneda}= {CC, EC}
C={caras en una moneda exactamente}= {CE,EC}
Entonces P(A)=P(B)=P(C)=2/4=1/2 y
P(A∩B)= P({CC})=1/4, P(A∩C) = P({CE})=1/4 ,
P(B∩C)=({EC)}
20
Así la condición (a) se satisface, o sea, los eventos son
independientes dos a dos. Sin embargo, A∩B∩C=Ø =0 ≠P(A) P(B)
P(C); es decir, la condición (b) no se satisface y por tanto los tres
eventos no son independientes.
6. Pruebas Repetidas o Independientes
Se han discutido anteriormente espacios de probabilidad que estaban
relacionados con un experimento repetido un número finito de veces,
tal como el lanzamiento de una moneda tres veces. Este concepto de
repetición se formaliza como sigue:
Definición: Sea S un espacio finito de probabilidad. Por n
pruebas repetidas o independientes, significamos el espacio de
probabilidad T que consta de n-uplas o elementos de S con la
probabilidad de una n-upla definida como el producto de las
probabilidades de sus componentes:
P((s1,s2,…, sn))= P(s1) P(s2 )…. P(sn). Ejemplo:
Tres caballo a, b y c corren juntos, sus probabilidades de ganar
son respectivamente ½, 1/3 y 1/6. S={a,b,c} con P(a)=1/2,
P(b)=1/3 y P(c)=1/6. Si los caballos corren dos veces, entonces
el espacio muestral de las dos pruebas repetidas es:
T={aa,ab,ac, ba,bb,bc, ca, cb, cc}
La probabilidad de cada punto T es:
P(aa)= P(a) P(a)=1/2x1/2=1/4 P(ba)=1/6 P(ca)=1/12
P(ab)=1/6 P(bb)=1/9 P(cb)=1/18
P(ac)=1/12 P(bc)=1/18 P(cc)=1/36
Así la probabilidad de que c gane la primera carrera y de que a gane
la segunda es P(ca)=1/12
Desde otro punto de vista, un proceso de pruebas repetidas es
un proceso estocástico, cuyo diagrama de árbol tiene las siguientes
propiedades:
a) Cada ramal tiene los mismos resultados
b) La probabilidad es la misma en cada rama que conduce a
un mismo final.
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Diagrama de árbol 1/2 a
1/3 b
a c
1/2 1/6
a
1/3 b 1/2 1/3
b
1/6 c
1/6 1/2
c a
1/3 b
1/6 c
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III. PROBLEMAS RESUELTOS1. Se seleccionan al azar dos cartas entre 10 cartas numeradas de
1 a 10. Hallar la probabilidad p de que la suma sea impar si, (a) las
dos cartas se sacan juntas, (b) se sacan una tras otra sin sustitución,
(c) las dos cartas se sacan una después de la otra con sustitución.
SOLUCION:
Hay 15 C3 = 455 maneras de escoger 3 lámparas entre 15:
a) Puesto que hay 15 – 5 = 10 lámparas no defectuosas,
entonces hay
10 C 3 = 120 maneras de escoger 3 lámparas no defectuosas. Así que
p= 120/455=24/91
b) Hay 5 lámparas defectuosas y 10 C 2 =45 pares diferentes
de
lámparas no defectuosas; por consiguiente hay 5 x 45 = 225
maneras de escoger 3 lámparas de las cuales una es defectuosa
Entonces p=225/455=45/91.
c) El evento en que por lo menos una sea defectuosa es el
complemento del evento en que ninguna es defectuosa que tiene
según a), probabilidad de 24/91. Entonces p = 1-24/91=67/91.
2. Durante un viaje 5 amigos juegan una partida diaria.
Suponiendo que era un juego puramente al azar o, lo que es lo
mismo, que los 5 jugadores eran igualmente hábiles, ¿cuál es la
probabilidad de que uno de ellos (Juan) no gane ninguna partida?
SOLUCION
Puesto que la probabilidad de ganar es la misma para cada
jugador, esto es 1/5, quiere decirse que la probabilidad de no ganar
de Juan es 4/5. Como se jugarón 5 partidas, la probabilidad buscada
de que Juan no ganase ninguna
es= (4/5) 5 = 0.32768.
23
3. Un tirador tiene la probabilidad p de dar en el blanco. Se le
ofrecen dos alternativas:
a) hacer un solo disparo; b) hacer 3 disparos con la condición de
dar por lo menos 2 veces en el blanco. ¿Cuál alternativa es más
favorable al tirador?
SOLUCION: La probabilidad de dar 2 veces en el blanco en 3
disparos es
3 p2 (1 – p), puesto p2 (1 – p) es la probabilidad de dar en el blanco 2
veces especificadas y errar la tercera. La probabilidad de dar las 3
veces en el blanco es p3 . Por tanto, la probabilidad de dar por lo
menos 2 veces en el blanco en 3 disparos es p3 + 3 p2 (1 – p) . Para
que la segunda alternativa sea más ventajosa que la primera debe
ser, por tanto,
p3 + 3 p2 (1 – p) > p, o sea, 2 p2 – 3p + 1 < 0 , de donde ½ < p < 1.
Por tanto, si p>1/2, es ventajosa la segunda alternativa, pero si p< ½
es preferible la primera. Si p= ½ las dos alternativas son
equivalentes.
4. La Comisión de Turismo de Florida seleccionó una muestra de
200 turistas que visitaron el estado durante el año. La encuesta
revelo que 120 turistas fueron a Disney World y 100 a Busch Gardens
cerca de Tampa. y 60 visitaron ambos lugares ¿Cuál es la
probabilidad de que una persona seleccionada haya visitado Disney
World o Busch Gardens?
SOLUCION:
P (Disney o Busch) = P(Disney) + P (Busch) – P (Disney y Busch)
= 120/200 = 100/200 – 60 /200
= 160/200 = 0.8
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5. Cierto tipo de proyectil da en el blanco con probabilidad 0.3
¿Cuántos proyectiles deberán ser disparados para que haya al menos
un 80% de probabilidad de pegar en el blanco.
SOLUCION:
La probabilidad de que un proyectil falle su blanco es 0.7; por tanto la
probabilidad de que n proyectiles fallen en el blanco es (0.7)^n. Así
buscamos el menor n para el que
1 – (0.7)n > 0.8 o equivalente (0.7)^n < 0.2
calculamos: (0.7)^1=0.7, (0.7)^2=0.49, (0.7)^3=0.343,
(0.7)^4=0.2401, (0.7)^5=0.16807. Así por lo menos 5 proyectiles
deben ser disparados.
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IV. PROBLEMAS PROPUESTOS1. Un acertijo en un diario presenta un problema de apareamiento.
Los nombres de 10 presidentes de Guatemala se enlistan en una
columna y su período de gobierno se enlista aleatoriamente en la
segunda columna. El acertijo pide al lector que asocie cada
presidente con su período. Si se realizan las asociaciones al azar,
¿Cuál es la probabilidad de que las 10 asociaciones sean correctas?
2. En un programa de entrenamiento para la gerencia de
Claremont Enterprises, 80% de los asistentes son mujeres y 20%
hombres; 90% de las mujeres son egresadas de la universidad y 78%
de los hombres también.
a) Se selecciona al azar una de las personas en
entrenamiento ¿Cuál es la probabilidad de que se trate de una mujer
que no asistió a la universidad?
b) Trace un diagrama de árbol que muestre todas las
probabilidades condicionales y conjuntas.
3. En una competencia de natación, la ventaja de que A gane es 2
a 3 y la ventaja de que B gane es 1 a 4. Hallar la probabilidad p y la
ventaja de que A o B ganen la competencia.
4. Tres niños y tres niñas se sientan en fila. Hallar la probabilidad
de que
a) las tres niñas se sienten juntas
b) los niños y las niñas se sienten alternados.
5. A una persona se le reparten 3 cartas, espadas, de una baraja
corriente de 52 cartas. Si se le dan cuatro, cartas más determinar la
probabilidad de que por lo menos dos de las cartas adicionales sean
también espadas.
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v. BIBLIOGRAFIA
1. Hanke, John E y Arthur Reitsch. 1997. Estadística para
negocios. Editorial Mc Graw Hill. 2ª. Edición,
USA,. 562 p.
2. Lipschutz, S. Probabilidad. 1971. Traducción Alfredo
Ferro. Editorial McGraw Hill. México,. Serie de
Compendios Schaum. 151 p.
3. Mason, R y Douglas Lind. 1990. Estadística para
administración y economía. Traducción de María
Fournier. Editorial Alfaomega. México,. 911 p.
4. Medkov K y S. Kaláshink. 1981. Manual de la teoría
de
probabilidades y estadística matemática. Editorial
Mir, Moscú, 579 p.
5. Santaló, Luis. 1980. Probabilidad e inferencia
estadística.
3ª . edición. Organización de los Estados
Americanos.
Programa Regional de Desarrollo Científico y
Tecnológico. USA, 137 p. Serie Matemática,
Monografía no. 11.
27
6. Yamane, Taro. 1974. Estadística. 3ª. Edición.
Editorial
Harla. México, 573 p.
7. www.aulafacil.com Curso de estadística.
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