MEDIA

Media aritmética: datos no agrupados

Sea x1 , x2 ,…, xn , valores de la variable x. la media aritmética simple de x representada por x es dado por:

x=M [ x ]=∑i=1

n

x i

n o simplemente

x=∑i=1

n

x i

n

Donde n el tamaño de la muestra o número de elementos del conjunto de observaciones.

Media aritmética: datos agrupados

Sea x1, x2 ,…, xk , valores de la variable x ponderados por sus respectivas frecuencias absolutas:f 1 ,…, f k. La media aritmética de la variable x es dado por:

M [x ]=x=∑i=1

k

f i x i

n o x=

∑i=1

k

f i x i

n

Donde n=∑i=1

k

f i y h1…,hk son las frecuencias relativas respectivas.

Propiedades

1. La suma de las desviaciones (diferencias) entre los valores de la variable x y su media aritmética x es cero, esto es:

∑i=1

k

f i(x¿¿ i−x)=0¿

2. Para un conjunto dado de observaciones, la media es única.3. La media es sensible (o afectada) por los valores del conjunto. Así, si un valor se

modifica, la media aritmética x también se modifica4. La suma de los cuadrados de las desviaciones entre los valores de la variable x y de su

media aritmética x es mínima, esto es

∑i=1

k

f i∗(x¿¿ i−x)2<∑i=1

k

f i∗(x¿¿i−B)2 ¿¿, para cualquier constante B

5. Si a los valores de una variable x se le suma o se le resta una constante C, entonces la media aritmética xquedara aumentada o sisminuida en la constante C, esto es

Si y=x ±C→ y=M [ y ]=M [x ±C ]=M [x ]±C=x±C

MEDIANA

La mediana es un valor que divide a un conjunto de observaciones ordenadas en forma ascendente o descendente en dos grupos de igual número de observaciones. La notación que vamos a emplear será

~x=Med ( x )=mediana

En el caso de la mediana, podemos considerar los 3 casos siguientes:

Caso 1. La variable de estudio es discreta y n (número de observaciones) es impar. En este

caso, la mediana será el valor de la variable que ocupa la posición media (rango de orden n+1n

)

Caso 2. La variable de estudio es discreta y n (número de observaciones) es par. En este caso, no existe en la ordenación un valor de la variable que ocupe la posición central, esto es, la mediana es indeterminada, pues cualquier valor comprendido entre los valores que ocupen la

posición n2 y n2+1 , puede ser considerado como el centro de la ordenación.

El problema es resuelto por una convención que consiste en tomar como mediana de la

ordenación la media aritmética de los valores que ocupan las posiciones n2 y n2+1, esto es:

~x=x n2

+ xn2+1

2

Caso 3. La variable es continua, en este caso el problema consiste en determinar un punto dentro del intervalo en que está comprendida la mediana.

Procedimiento

1er paso: calcular la posición de orden n/2. Como la variable es continua no se debe preocupar si n es par o impar.

2do paso: por las frecuencias acumuladas se identifica la clase que contiene a la mediana, esto es, la clase para el cual se cumple:

F k−1<n2<Fk

Con lo cual la mediana estará en la clase que tiene como frecuencia acumulada F k. 3er paso: utilizar la formula.

~x=imed+( n2−Fk−1F k−Fk−1 )∗CmedDonde:

imed: límite inferior de la clase que contiene a la mediana

n: tamaño de la muestra

Cmed: amplitud de la clase que contiene a la mediana

F k: frecuencia acumulada de la clase que contiene a ala mediana

F k−1: frecuencia acumulada de la clase inmediatamente anterior a la clase que contiene a la mediana

Propiedades

1. ∑i=1

k

f i ǀ x i−x ǀ=0<∑i=1

k

f i ǀ x i−Aǀ, para cualquier observación A del conjunto.

2. ~x=imed+( n2−Fk−1F k−Fk−1 )∗Cmed en términos de las frecuencias relativas acumuladas será:

~x=imed+( n2−H k−1

H k−H k−1)∗Cmed

3. Como la mediana depende del número de valores observados, entonces está afectado por las observaciones y no por el tamaño de los valores extremos.

4. La mediana es un valor muy adecuado cuando se utiliza para describir distribuciones cuyos valores centrales están muy próximos.

5. Algunas veces es un valor más representativo de un conjunto de datos que otros promedios, gracias a su independencia, a sus valores extremos.

6. La mediana se puede calcular aun cuando los intervalos de clase de la distribución de frecuencias son de límites abiertos

7. La mediana no es adecuado a manipulaciones algebraicas posteriores, o sea si z i=x i+ y i entonces no siempre ~z=~x+~y

MODA

Dada una distribución de frecuencias; la moda denotada por x̆=Mo, es un valor de la variable que tiene la más alta frecuencia, esto es, es el valor más frecuente de la distribución. La moda no siempre existe y no siempre es única.

Propiedades

1. El valor de la moda es totalmente independiente de los valores extremos.2. La moda es una medida inestable porque varía si se cambia el intervalo de clase.3. Su significación es limitado cuando no se dispone de un gran número de valores.4. Es el valor típico, y por ello el promedio descriptivo.5. La moda no se presta a manipulaciones algébricas posteriores.