TEMA IVTEMA IV.DIAGONALIZACIN DE MATRICES

Durante l990[footnoteRef:1] se plante la necesidad de parar la tala de arboles en una determinada zona geogrfica dada que una especie (la lechuza moteada) estaba en peligro de extincin. Fue necesario intensificar los esfuerzos por entender la dinamica poblacional de la lechuza de cara a tomar decisiones. El ciclo de vida de una lechuza se divide en tres etapas: juvenil (hasta un ao de edad), subadulta (de uno a dos aos) y adulta (ms de dos aos). La lechuza se aparea a partir de la etapa subadulta, aunque slo empieza a reproducirse durante la etapa adulta. [1: Algebra lineal y sus aplicaciones David C. Lay.Ed. Addison Wesley Longman. Mxico 1999. Pag.295]

Un primer paso para estudiar la dinmica de la poblacin es modelarla a intervalos anuales, que denotaremos por k=0 (ao inicial), k=1(al cabo de un ao), k=2 (al cabo de dos aos), En el crecimiento de la poblacin solo consideraremos la poblacin hembra. La poblacin en el ao k se puede escribir mediante el vector

donde jk, sk y ak, son el nmero de hembras en las etapas juvenil, subadultas y adultas respectivamente.

R. Lamberson utilizando datos de estudios demogrficos lleg a las siguientes conclusiones. La tasa de natalidad se cifr en 033 veces el nmero de hembras adultas, que lo podemos formalizar como jk+1=033 ak. La tasa de supervivencia de la poblacin juvenil era del 18%, esto significa que sk+1= 018jk . Tambin se tena que la tasa de supervivencia en la etapa subadulta y adulta era del 71% y el 94% respectivamente, nocin que se podra formalizar a travs de la siguiente ecuacin ak+1=071sk+094ak.

Luego tenemos las siguientes expresiones algebraicas

El modelo que hemos hallado es una ecuacin matricial del tipo

Xk+1= AXk

que nos indica la situacin de la poblacin en un ao k+1, a partir del ao anterior k. A estas ecuaciones se les denomina sistemas dinmicos discreto. Si consideramos X0 el estado inicial de la poblacin tenemos:

X1= AX0, X2= AX1= A(AX0)= A2X0, X3= AX2 = A(A2X0)= A3X0 , ... , Xk= Ak X0

Se observa que la secuencia reiterada de los Xi, que nos determinar el estado tendencia, se reduce al clculo de la potencia k-sima de A, clculo que se realizara de manera mucho ms fcil si A fuese una matriz diagonal o semejante a una diagonal.

Ante esta situacin, es lgico que nos preguntemos si la poblacin de lechuza moteada ser capaz de sobrevivir o estaremos ante un fenmeno de extincin de una especie. La teora sobre la diagonalizacin de matrices que estudiaremos a continuacin nos dar las claves para contestar a la problemtica planteada.

A. Valores y vectores propios de una matriz

A lo largo de este tema trabajaremos siempre con matrices cuadradas a menos que se diga lo contrario.

Definicin 4.1 Sea A=(aij) una matriz de orden nxn, se dice que un vector no nulo v de Rn es un vector propio de A si existe un cierto escalar tal que

Av= v

Al escalar se le denomina valor propio asociado a v.

EJEMPLO 4.1 Comprueba que el vector v = (11, 1, -14) es un vector propio de la siguiente matriz

Calculemos Av

se dice que v=(11,1,-14) es un vector propio asociado al valor propio = -2.

Nota 1: Si v es un vector propio de A, slo puede estar asociado a un nico valor propio, ya que si Av = v y Av= v entonces v = v, es decir, v - v= 0, ( - ) v= 0, como v no es el vector nulo se ha de cumplir necesariamente que - = 0, = .

Nota 2: En cambio si v es un vector propio de A asociado a t tenemos que 0, A(v)= (Av)= (tv)= t(v), es decir, v es tambin vector propio asociado a t.

Si v es un vector propio de A asociado a , se cumple: Av= v, Av- v=0, (A- I)v = 0, es decir, v sera una solucin no trivial del sistema homogneo

Este sistema homogneo de ecuaciones tiene soluciones no nulas si, y slo si, la matriz de coeficientes (A- I) es no invertible, es decir, se cumplir que |A- I| = 0. Este resultado nos lleva la siguiente teorema.

Teorema 4.1 Sea A una matriz cuadrada de orden n.

1. Un escalar es un valor propio de A si y slo si, |A- I| = 0.

2.Los vectores propios de A asociados a son las soluciones no nulas del sistema

(A- I) = 0

Definicin 4.2 Llamamos polinomio caracterstico de una matriz A de orden nxn a la expresin polinmica

PA()= |A- I|= an n + an-1 n-1+ ... + a1 + a0

Los valores propios de A son las races del polinomio PA() . Recordemos que un polinomio de grado n tiene a los sumo n races reales, adems las races se pueden repetir. Llamaremos orden de multiplicidad de un valor propio a las veces que se repite como raz. Esto da pie a otra definicin.

Definicin 4.3 Sea un valor propio de la matriz A se define subespacio propio asociado a

H() = { v de R n: Av= v}

teniendo en cuenta las notas anteriores, H() es un subespacio vectorial (s.e.v.) que contiene a los vectores propios de y al vector nulo, evidentemente.

EJEMPLO 4.2 Calcula los valores propios y los subespacios asociados de la matriz

Hallemos el polinomio caracterstico

Luego los valores propios sern = 1 y = 2, ste ltimo de multiplicidad 2.

Para = 1 se ha de cumplir que Av= v por tanto (A-I) v = 0

luego H(1)={(x,0,0) / x R}=

Para = 2, se ha de cumplir que Av= 2v, por tanto (A-2I)v=0

,

luego H(2)={(y+z,y,z)}=

PROPOSICIN 4.0: La dimensin del subespacio propio es igual a n menos el rango de (A I).

Proposicin 4. 1: Los valores propios de una matriz diagonal coinciden con los valores de su diagonal principal.

Proposicin 4. 2: Una matriz A es invertible, si y solo si el cero no es un valor propio de A.

Demostracin

Dado que los valores propios t verifican que |A- I|=0, si = 0 fuese valor propio tendramos |A-0I|=0, |A|= 0, luego A no es invertible.

Proposicin 4.3: Las matrices A y At tienen los mismos valores propios con la misma multiplicidad.

Demostracin

Basta comprobar que tienen el mismo polinomio caracterstico.

Teorema 4.2 Sea S= {u1, u2, ... , us} un conjunto de vectores propios asociados a valores propios diferentes entonces S es un sistema libre.

Corolario 4.1: Dados n vectores propios asociados a valores propios diferentes, entonces forman una base de Rn.

Ejemplo 4. 3 Comprobar que los vectores propios {(1,0,0), (1,1,0)} que corresponden a valores propios distintos del ejemplo 4.2 forman un sistema LI.

Basta ver que el rango es 2

B. Diagonalizacin de matrices

A la hora de buscar las claves que permitan alcanzar una solucin del problema introductorio, se coment que la potenciacin de matrices iba a jugar un papel importante. Si una matriz es diagonal su potencias sucesivas son fciles de calcular

En este apartado vamos a estudiar como podemos relacionar una matriz que no sea diagonal con otra que sea diagonal. Consecuentemente se encontrar un mtodo que facilite el clculo de sus potencias sucesivas.

Definicin 4. 4 Una matriz A de orden nxn es diagonalizable si existe una matriz P invertible tal que

A = PDP-1 AP = PD

Proposicin 4.4: Una matriz es diagonalizable si y solo si existe una base de Rn formada por vectores propios.

Se puede justificar que si existe una base {u1, u2 ,..., un} de Rn de vectores propios, entonces P es la matriz cuyas columnas son los vectores propios, y D una matriz cuya diagonal son los valores propios asociados a los vectores propios.

Proposicin 4.5: Si A es una matriz de orden nxn y un valor propio de A de multiplicidad m entonces dimH() m

Consecuentemente el subespacio asociado a una valor propio de multiplicidad uno tendr tambin uno de dimensin.

Teorema 4.3 Una matriz A de orden nxn es diagonalizable en R si

a) el polinomio caracterstico de A tiene n races reales no necesariamente distintas.

b) el orden de multiplicidad de los valores propios coincide con dimH())

Ejemplo 4. 4 Estudia si la siguiente matriz es diagonalizable

En el ejemplo 4.2 se ha visto que

= 1 es un valor propio con multiplicidad 1 y dim H(1) = 1

= 2 era un valor propio de multiplicidad 2, siendo dim H(2)= 2

Por tanto A es diagonalizable.

Adems la base de vectores propios ser

B= {(1,0,0), (1,1,0), (1,0,1)}

y se cumplir

Ejemplo 4. 5 Analiza si la siguiente matriz es diagonalizable

Hallemos el polinomio caracterstico

Luego los valores propios sern = 1 y = -2, ste ltimo de multiplicidad 2.

Calculemos el subespacio asociado para = -2 , ha de cumplir que (A+2I) v = 0

Luego H(2) ={(x,-x,0 / x R)}=

Tenemos que dimH(2) = 1 que no coincide con el grado de multiplicidad, por tanto A no es diagonalizable.

Proposicin 4.6: Sea A una matriz diagonalizable entonces existen matrices P (invertible) y D (diagonal) tal que

An = P Dn P-1

Demostracin

Si A es diagonalizable existe una matriz P invertible tal que AP= PD; es decir,

(AP)P-1 = PDP-1 , por tanto A= PD P-1

Hallemos An

An = AA... n- veces ... A= (PDP-1)( PD P-1)... n-veces... (PD P-1) =

P(D(P-1P) D(P-1P)...n-1- veces...D(P-1P))DP-1= P(DIDI...n-1-veces...DI)DP-1 =PDnP-1

Ejemplo 4. 5 Dada la matriz hallar An

Calculemos su polinomio caracterstico y sus valores propios:

hay dos valores propios ( = 1 y =2) distintos en R2,, luego A es diagonalizable.

La matriz diagonal ser por tanto

Calculemos ahora la base de vectores propios:

Para = 1 se ha de cumplir que Av= 1v por tanto (A-I)v= 0, es decir,

luego H(1) = {(x,0) / x R}=

Para = 2 se ha de cumplir que Av= 2v, por tanto (A-2I)v= 0, es decir,

luego H(2) = {(2y, y) / y R }= .

La base de vectores propios es B={(1,0), (2,1)}, por tanto

An= P Dn P-1==

C. Sistemas dinmicos discretos

Los valores y los vectores propios proporcionan la clave para entender el comportamiento a largo plazo, o evolucin, de un sistema dinmico discreto.

Recordando la nocin de sistema dinmico, una ecuacin donde interviene una cantidad vectorial dependiente del tiempo, x(t), este concepto ya fue introducido en el tema I . En un sistema dinmico discreto la variable tiempo es un nmero entero, y x(t) se suele representar con xk. Un sistema dinmico homogneo y discreto es una ecuacin vectorial con la siguiente forma:

xk = Axk-1 (ecuaciones en diferencias)

Los vectores xk dan informacin sobre el sistema con el paso del tiempo. La matriz A (llamada de transicin) es una matriz cuadrada, que recoge la informacin sobre el funcionamiento del sistema. Recordemos que xk puede calcularse por medio de aplicaciones repetidas de esa ecuacin,

es decir,

que nos da la situacin del sistema en el instante k dependiendo slo de la situacin inicial, es decir, x0. El clculo de xk en la ecuacin anterior tiene la dificultad: obtener el valor de Ak puede ser laborioso. Generalmente, con frecuencia nos interesa el comportamiento a largo plazo del sistema. Es decir, deseamos conocer el valor del vector , si es que existe. Pero el clculo de cuando k es muy grande es una labor muy seria y laboriosa. Veamos la siguiente estrategia para facilitar su clculo.

Supongamos que nos interese calcular Akv para un vector x0 de Rn y una matriz cuadrada A de orden n. Consideremos una base de vectores propios

B={ v1, v2 , ... ,vn } : Avi= i vi i=1,2,.n

entonces tendramos que v se podra expresar como combinacin lineal de B

y por tanto se tiene que

Con lo que la solucin del sistema puede simplificarse a

Por tanto la solucin de la tendencia del sistema a largo plazo vendra dada por

clculo que se reducira al clculo de los limites de los n que cumple:

Ejemplo 4.6. En un movimiento migratorio, una poblacin de aves se encuentra repartida en dos humedales A y B. Se conoce que al cabo de un ao, el 70% de las aves en A se desplazan a B; en cambio el 50% de B se desplaza a A.

a) Calcula matriz de transicin

Si llamamos xn= aves en zona A e yn= poblacin en zona B, se tiene que

b) Si inicialmente haba el mismo nmero de aves en cada humedal Cul ser el porcentaje en cada uno de ellos al cabo de tres aos?

c) Qu evolucin seguir el sistema a largo plazo ?

Teniendo en cuenta hay que calcular

Empezaremos calculando los valores propios de A.

Por tanto la expresin (1) nos quedara

A continuacin estudiemos solo el vector asociado a = 1.

Esto significa que a largo plazo tendramos una relacin de 5 a 7, es decir, en la zona A el nmero de aves tiende a estabilizarse en el 5/12 (aproximadamente un 41666%) y en la zona B el 7/12 (aproximadamente un 5833%). En definitiva la poblacin tendera a estabilizarse rpidamente.

El ejemplo anterior es una muestra de lo que se denomina cadenas de Markov, en los que la matriz de transicin A es una matriz con todas las entradas no negativas y en las cuales cada columna suma 1. En estos casos se puede demostrar que = 1 s un valor propio de A y los dems cumplen ||