Econometria_Revisao Algebra Matricial

8/16/2019 Econometria_Revisao Algebra Matricial

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Revisão de Álgebra Matricial

Profa. Patricia Maria Bortolon

Fonte: BOLDRINI, C. e WETZLER, F.; Álgebra Linear. 3ª. ed. São Paulo. Editora Harbra, 1986


2/61

Álgebra Matricial

•

Da Matemática do 1º. Grau:

2

1

:(2)Em

1

33

143

42)1(

:(1)Em

1:(2)De

)2(1

)1(42

y

x y

x

x

x

x x

x y

x y

x y

y = -2x + 4

y = x + 1

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Eq1

Eq2

Linear (Eq1)

Linear (Eq2)


3/61

Álgebra Matricial

Indivíduo Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)

1 1,70 70 23

2 1,75 60 45

3 1,60 52 25

4 1,81 72 30

• Após estudar 300 artigos teóricos e empíricos lanço a

seguinte hipótese sobre a relação entre essasvariáveis:

Peso = β 0 + β

1 Altura + β

2 I dade


4/61

Álgebra Matricial

•

Posso escrever as seguintes equações com os dadosdas pessoas que tenho:

• As incógnitas são β0, β1,β2• E se tivéssemos estudando o que afeta a rentabilidade

sobre o PL das empresas?

723081,1

522560,1

604575,1

702370,1

210

210

210

210


5/61

Álgebra Matricial

Empresa ROE Ativo (milhões R$) D/E

Vale 26,8 214.662 27,0Petro 11,5 519.970 20,1

BRFoods 5,9 27.751 29,6

Gol 7,3 9.064 60,2

• Suponha que após ler 300 artigos teóricos e empíricosvocê possa lançar a seguinte hipótese:ROE = β

0 + β

1 Ativo + Β

2 D/E

• Você escolhe 4 empresas para compor a amostra:

Vale, Petro, BRFoods e Gol e utiliza os dados de2010:


6/61

Álgebra Matricial

•

Posso escrever as seguintes equações com os dadosque tenho:

3,72,60064.9

9,56,29751.275,111,20970.519

8,2627662.214

210

210

210

210


7/61


8/61

Álgebra Matricial

•

Exemplos:

Amxn = m indica o no. de linhas e n o no. de colunas

aij = é o elemento localizado na i-ésima linha e j-ésimacoluna

Na matriz A => a11=2 a23=3

Na matriz B => b23=4 b13=11

11

4

7

9

0

5

8

1

1

3

5

1

3

6

22X32X3 BA


9/61


10/61

Álgebra Matricial

•

Tipos Especiais de Matrizes: – Matriz Coluna: vetor coluna = Amx1

– Matriz Linha: Vetor linha = A1xn

y

x

3

4

1

00103


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Álgebra Matricial

•

Tipos Especiais de Matrizes: – Matriz Diagonal: aij = 0 i ≠ j em uma matriz quadrada

nxn

– Matriz Identidade ou Unidade: quando em uma matrizquadrada aii = 1 e aij = 0 i ≠ j

600

020

001

100

010

001


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Álgebra Matricial

•

Tipos Especiais de Matrizes: – Matriz Triangular Superior: aij = 0 p/ i > j em uma matriz

quadrada

– Matriz Triangular Inferior: aij = 0 p/ i < j em uma matrizquadrada

600

420

531

631

048

001


13/61

Álgebra Matricial

•

Tipos Especiais de Matrizes: – Matriz Simétrica: quando m = n e aij = a ji

645

423

531


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Operações com Matrizes

•

Adição – As matrizes precisam ser de mesma ordem

– Amxn = [aij] e Bmxn = [bij]

– C = A + B = [aij + bij]mxn

– Propriedades da soma:1. Comutatividade: A + B = B + A

2. Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C

3. A + 0 = A, onde 0 é a matriz nula m x n

14

8

9

3

7

3

4

3

5

3

1

1

0

0

2

1e

9

5

8

4

7

3

6

2

C

BA


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• Subtração – Segue o mesmo princípio da soma

• Multiplicação por escalar: – Seja k um escalar e A = [aij]mxn – k . A = [k . aij]mxn – Exemplo:

– Propriedades:1. k (A + B) = k A + k B2. (k 1 + k 2) A = k 1A + k 2A3. 0.A = 04. k 1(k 2A) = (k 1k 2)A

62

204

31

102e2

A

A

k

k


16/61


•

Transposição – Uma matriz transposta é obtida trocando-se as linhas e

colunas da matriz original. Uma matriz Amxn ficará Anxm.Denota-se A’

–

Exemplo:

21'2

1

23

31'23

31

431

102'

41

30

12

32

23

CC

BB

AA

x

x


17/61


•

Transposição – Propriedades:

1. Uma matriz é simétrica se, e somente se, A’ = A

2. A’’ = A

3. (A + B)’ = A’ + B’4. (k A)’ = kA’5. (AB)’ = B’A’


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Exemplo de Aplicação

•

Suponha que você está tentando prever o retorno deuma carteira. Analistas fizeram as previsões deretorno de 3 ações para 3 estados da economia.

• Se você estiver planejando investir 30% em Vale,30% em Petro e 40% em Gol, que retornos terá emcada estado?

Estado da

Natureza

Vale Petro Gol

BOOM 5% 4% 6%

ESTÁVEL 3% 3% 2%

RECESSÃO 2% 1% 0%


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Exemplo de Aplicação

•

Retornos esperados: – BOOM: 30% x 5% + 30% x 4% + 40% x 6% = 5,1%

– ESTÁVEL: 30% x 3% + 30% x 3% + 40% x 2% = 2,6%

– RECESSÃO: 30% x 2% + 30% x 1% + 40% x 0% = 0,9%

• O que fizemos foi uma multiplicação de matrizes:

131333 %9,0

%6,2

%1,5

%40

%30

%30

%0%1%2

%2%3%3

%6%4%5

x x x


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Multiplicação de Matrizes

Amxn x Bnxp = Cmxp• Cada elemento cij é o somatório dos produtos dos

elementos da i-ésima linha de A pela j-ésima colunade B

• O no. de colunas de A e o no. de linhas de B precisamser iguais

2323

22

23 75

44

22

4.3)1(50.31.5

4.2)1(40.21.4

4.1)1(20.11.2

4011

35

24

12

x x

x

x


21/61


•

Propriedades:1. Em geral AB ≠ BA

Note, ainda, que AB = 0, sem que A = 0 ou B = 0

2. AI = IA = A (o que justifica o nome da matrizidentidade)

3. A(B+C) = AB + AC (distributividade à esquerda)

1611

21222

1611

e

000

000

000

Então

321

642

321

e

012

123

111

Sejam

BAAB

BA


22/61


•

Propriedades:4. (A+B)C = AC + BC (distributividade à direita)5. (AB)C = A(BC) (associatividade)

6. (AB)’ = B’A’ (observe a ordem)

7. 0.A = 0 e A.0 = 0


23/61

Representando algumas operaçõesmatemáticas na forma matricial

•

Somatório:

n

i

inn

n

i

in

n

nx

n

nx

n

n

ii

x x x x x x x

x x x x

x

x

x

x

x

x

x x x x

1

2121

1

21

2

1

1

2

1

1

211

1

1

1

'Ou

111'Então

1

1

1

,

1x

x1

1x


24/61


•

Somatório de quadrados:

n

i

in

n

n

n

n

i

i

x x x x

x

x

x

x x x

x x x x

1

222

2

2

1

2

1

21

22

2

2

1

1

2

'Então

xx


25/61


•

Somatório de produtos cruzados:

xy

yx

'

'Então

1

2211

2

1

21

2211

1

n

i

iinn

n

n

nni

n

i

i

y x y x y x y x

y

y

y

x x x

y x y x y x y x


26/61

Sistemas de Equações Lineares

•

A cada sistema de equações que precisa ser resolvido podemos associar uma matriz

)''2(3/1).'2(

4570

22301341

)'3(

)'2()'1(

4570

2230134

)(

)'3()3(1).1(

)'2()2(2).1(

5231

4452

1341

)3(

)2(

)1(

523

4452

134

)(

321

321

321

321

321

321

x x x

x x x x x x

II

x x x

x x x

x x x

I


27/61


•


)3(3).'''3(

3/23/100

3/23/2103/113/101

)'''3(

)'''2()'''1(

3/23/100

3/23/203/113/10

)(

)'''3()''3(7).''2(

)'''1()''1(4).''2(

4570

3/23/210

1341

)''3(

)''2(

)''1(

4570

3/23/20

134

)(

321

321

321

321

321

321

iv

x x x

x x x x x x

IV

x x x

x x x

x x x

III


28/61


•


2100

2010

3001

)3(

)2(

)1(

2100

200

300

)(

)2()2(3/2).3(

)1()1(3/1).3(

21003/23/210

3/113/101

)3()2(

)1(

21003/23/20

3/113/10

)(

321

321

321

321

321

321

v

v

v

viviv

viviv

iv

iv

iv

x x x

x x x

x x x

VI

x x x

x x x

x x x

V


29/61


•

Ou ainda:

• Observações: – As operações realizadas preservam as igualdades

– ( x1 , x2 , x3) é solução do sistema I e também do II, III, IV, Ve VI

–

Operações possíveis:• Multiplicar uma equação por no. ≠ 0• Adicionar uma equação a outra

• Permutar duas equações

2

23

3

2

1

x

x x


30/61


•

Conceitos: – Um sistema de equações lineares com m equações e nincógnitas é:

– Com aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n – Uma solução é uma n-upla de números ( x1 , x2 , ..., xn) que

satisfaça simultaneamente estas m equações

mnmnmm

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

2211

22222121

11212111


31/61


• Conceitos: – O sistema anterior pode ser escrito na forma matricial:

A x X = B

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211


32/61


• Conceitos: – Matriz Ampliada:

– A matriz ampliada do sistema VI é:

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

21

222221

111211

2100

2010

3001

2100

200

300

321

321

321

x x x

x x x

x x x


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• Sistemas de equações lineares equivalentes: se todasolução de um sistema é também solução de outro

• Para resolver o sistema inicial reduzimos a matrizampliada a uma matriz-linha reduzida à forma escada.

•

Definição:a) 1º. elemento não nulo de uma linha não nula é 1 b) Cada coluna que contém o 1º. Elemento não nulo de

alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais azero

c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulasd) Se as linhas 1, ..., r são linhas não nulas, e se o 1º. elemento

não nulo da linha i ocorre na coluna k i, então,k 1 < k 2 < ... < k r


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• Posto: é o no. de linhas não nulas da matriz-linhareduzida à forma escada linha equivalente

• Nulidade: é o no. n – p onde n é o no. de colunas.

• Exemplos:

sredundanteequações2há

1 Nulidade

2Posto

000

000

9/1109/1401

8164

151

241312

1 Nulidade

3Posto

8/11100

4/1010

8/7001

1121

5301

0121

B

A


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• Também dizemos que as duas primeiras equações são“independentes” e as demais “dependentes”

• Uma linha é dependente de outra se ela puder ser escrita comosoma de produtos destas outras linhas por constantes

• O mesmo que dizer que esta linha é uma combinação linear das outras

• POSTO = no. de equações independentes

sredundanteequações2há

1 Nulidade

2Posto

000

000

9/110

9/1401

8164

151

241

312

1 Nulidade

3Posto

8/11100

4/1010

8/7001

1121

5301

0121

B

A


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Soluções de um sistema de equações lineares

a x = b1. a ≠ 0 => solução única => x = b/a2. a = 0 e b = 0 => 0 x = 0 => qualquer no. real é solução

3. a = 0 e b ≠ 0 => 0 x = b => não existe solução


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Exemplo 1:

1

3

110

301

631

512

63

52

2

1

21

21

x

x

x x

x x-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -2 0 2 4 6 8 10

Posto do sistema reduzido = 2

Posto da matriz ampliada = 2


38/61



Exemplo 2:

000

2/52/1

000

2/52/11

1536

512

1536

52

21

21

21

21

x x

x x

x x

x x

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -2 0 2 4 6

Admite infinitas soluções. Conjunto de soluções definidos por pares x1 e x2 quesatisfaçam x1 = 5/2 – ½ x2O posto tanto da matriz de coeficientes quanto da matriz ampliada é 1.Grau de liberdade do sistema: é a nulidade da matriz de coeficientes. Neste caso

2 – 1 = 1


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Exemplo 3:

100

02/1

100

02/11

1036

512

1036

52

21

21

21

21

x x

x x

x x

x x

Não tem solução = incompatível = impossívelO posto da matriz de coeficientes é 1 e o da matriz ampliada é 2.

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5


40/61



• Então, um sistema pode admitir:1. Uma única solução = possível = compatível = determinado

2. Infinitas soluções = possível = indeterminado

3. Nenhuma solução = impossível = incompatível


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• Teorema:1. Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução

se, e somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao

posto da matriz de coeficientes2. Se além disso p = n, a solução será única

3. Se, entretanto, p < n , podemos escolher n – p incógnitas, eas outras p incógnitas serão dadas em função destas n – p =

graus de liberdade


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43/61


44/61

Determinante e Matriz Inversa

• Propriedades:1. Se todos os elementos de uma linha ou coluna são nulos

então det A = 02. Uma matriz com determinante igual a zero é chamada

matriz singular, se ≠ 0 é uma matriz não singular

3. det A = det A’4. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante

o det fica multiplicado por esta constante5. Trocadas as posições de duas linhas o determinante troca

de sinal6. Se duas linhas da matriz são dependentes o determinante énulo

7. det (A.B) = det A . det B


45/61


• Menor: o menor do elemento aij

é o determinante dasubmatriz resultante da retirada da linha i e da coluna

j

• Co-fator = é um menor sinalizado

32233322

3332

2322

1111

333231

232221

131211

édemenoro aaaaaa

aa M a

aaa

aaa

aaa

A

ij

ji

ij M c )1(


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• Matriz de Co-fatores: é a matriz onde cada elementoaij é substituído por seu co-fator, denotada por cof(A)ou

• Matriz Adjunta: é a transposta de uma matriz de co-

fatores

• Teorema:

A

')'( AcofAadjA

nIdetAadjAAAA )().('.


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48/61


• Matriz Inversa:

• Observações:

2. Nem toda matriz tem inversa

3. Se A tem inversa, podemos escrever:

AA-1 = Indet(A.A-1) = det (In)

det A . det A-1 = 1

Se A tem inversa:i. det A ≠ 0ii. det A-1 =

Adet

1


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• Matriz Inversa:

• Observações:

4. (A-1)’ = (A’)-1, isto é, a transposta da inversa de Aé a inversa da transposta

Teorema:Uma matriz quadrada A admite uma inversa se, esomente se det A ≠ 0

Neste caso:

)(1

adjAdetA

A 1

Exemplo: pag. 744 Gujarati


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• A inversa e a resolução de sistemas lineares:

• Se o no. de equações é igual ao no. de incógnitas:

mnmnmm

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

2211

22222121

11212111

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

A x X = B

Matriz de coeficientes

Matriz de incógnitas

Matriz de termosindependentes


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• A inversa e a resolução de sistemas lineares:

• Supondo det A ≠ 0 e portanto, que exista A-1:A-1(AX) = A-1B

(AA-1)X=A-1B

InX = A-1B

X = A-1B

mmnmm

n

n

n b

b

b

aaa

aaa

aaa

x

x

x

2

1

1

21

22221

11211

2

1


52/61

Valor Esperado

• Variável Aleatória Discreta

• Variável Aleatória Contínua

• Propriedades

x

x xf X E )()(

dx x xf X E )()(

)().()(:tesindependensãoYeXSe

)()(

)(

Y E X E XY E

b X aE baX E

bb E


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Variância

• Variável Aleatória Discreta

• Variável Aleatória Contínua

x

x x f X E X )()()var( 22

dx x f X X )()()var( 2


54/61

Variância

• Propriedades

),cov()var()var()var(

:entãotes,independensãonãoYeXSe

)var()var()var(

)var()var()var(

)var()var()var(

:entãotes,independensãoYeXSe)var()var(:então,constantessãoeSe

0)var(

)()(

22

2

222

Y X Y X Y X

Y b X abY aX

Y X Y X

Y X Y X

X abaX ba

b

X E X E


55/61

R t V iâ i d C t i F


56/61

Retorno e Variância de Carteiras na FormaMatricial

• Retorno esperado da carteira

• Variância da carteira

• Distribuição de probabilidade da carteira

C C B B A A x p x p x x x R E ,,

BC C B AC C A AB B A

C C B B A A x p x p

x x x x x x

x x x R

222

var 222222,2

,

),(~ 2,,, x p x p x p N R

R t V iâ i d C t i


57/61

Retorno e Variância de Carteiras naForma Matricial

•

Representação Matricial

2

2

2

,

1

1

1

,,

C BC AC

BC B AB

AC AB A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

x

x

x

R

R

R

x

1μR


58/61

R t V iâ i d C t i


59/61


•

Para o caso em que N = 2:

2

212

12

2

1

212

211

2221122

2211

2

11

2

221122

22112

11

2211

22

11'

1212

)var(),cov(

),cov()var(

.

R R R

R R R

R E R R E

R R E R E

R R R

R R R E

R R R

R E E x x μR μR

R t V iâ i d C t i


60/61


•

Retorno da carteira:

• Retorno esperado da carteira:

xR

R x

'

)(',

C C B B A A

C

B

A

C B A x p

R x R x R x

R

R R

x x x R

xμ

μx

'

)(',

C C B B A A

C

B

A

C B A x p

x x x

x x x

R t V iâ i d C t i


61/61


•

Variância da carteira:

BC B B AC C A AB B A

C C B B A A

C

B

A

C BC AC

BC B AB

AC AB A

C B A

x p

x x x x x x

x x x

x

x

x

x x x

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Econometria_Revisao Algebra Matricial