SY016 Méthodes de Traitement du Signal et Applications 1 La Cyclostationnarité Aspects théoriques et application au Diagnostic Rappels sur les processus

SY016 Méthodes de Traitement du Signal et Applications

1

La CyclostationnaritéAspects théoriques et application

au Diagnostic

• Rappels sur les processus stochastiques

• Rappels sur la stationnarité

• La non-stationnarité

• La cyclostationnarité : définition

• Exemples

• Analyse spectrale des processus cyclostationnaires

• Application à la détection de périodicités cachées


2

Rappels sur les processus stochastiques

• Un signal = un processus stochastique

• Une mesure du signal = une réalisation du processus

);( tX

12

n

);( 1tX

);( 2tX

);( ntX


3

Rappels sur la stationnarité• Définition : invariance des propriétés statistiques en

fonctions du temps

);( 1tX

);( 2tX

);( ntX

t)();( 0 xftxf XX

• Applicable à la moyenne, la variance, la fonction d’autocorrélation, etc.

XX mtmtXE )()( )(),()()( XX RtRtXtXE


4

Exemples de processus stationnaires

• Signal de communication

• Bruit électronique

La stationnarité représente-elle bien la plupart des processus physiques?

• Signal ECG, signal de parole

• Bruits de véhicules (voitures, avions)

• Vibrations des machines

• Séries chronologiques (économie)


5

La non-stationnarité

• La non-stationnarité est une non-propriété– Pas d’outils d’analyse universels– Traitements au cas par cas

• Outils classiques dédiés à la N-S– Analyse d’enveloppe (N-S de l’énergie du signal)– Analyse temps-fréquence (N-S de l’amplitude et du

contenu fréquentiel)

t

fEX

t0

DSE à chaque t


6

Cyclostationnarité• C’est une propriété de la N-S

• Définition : périodicité des propriétés statistiques);();( Ttxftxf XX

• Exemples– Modulation d’amplitude périodique– Modulation de fréquence périodique

T

T


7

Cyclostationnarité

• Cyclostationnarité d’ordre 1 : moyenne instantanée

• Cyclostationnarité d’ordre 2 : FAC instantanée

)()()( TtmtmtXE XX

),(),()()( TtRtRtXtXE XX ),(),()()( 22 TtRtRtXtXE XX

Forme a.s. :

Forme s. :

t

X(t)

RX(t0,)

t0


8

Exemples de processus CS

• Télécom (sur-échantillonné)

• Machines tournantes (à vitesse stationnaire)– Engrenages– Roulements à billes– Moteurs thermiques

• Phénomènes biologiques cycliques (période constante !)

• Phénomènes physiques cycliques (météorologie)


9

Statistiques cycliques

• Ordre 1

• Ordre 2

Tktj

k

kxX emtm 2)(

mkx = coefficients de Fourier de mx(t)

Tktj

k

kxX eRtR 2)(),(

Rkx() = fonction d’autocorrélation cyclique

Si X(t) est CS1 alors mkx 0 pour k 0

Si X(t) est CS2 alors Rkx() 0 pour k 0


10

Analyse spectrale des processus CS

• DSP classique (cas stationnaire)

• Densité de corrélation spectrale (cas CS)

21 )(lim)()( fXEfSR TTTXX

)()(lim),(),( 2*

2

fXfXEfStR TT

TXX

f

SX(,f)

1/T 2/T 3/T

TXS /2

densité surfacique

densité linéique

f


11

Analyse spectrale des processus CS

• Propriétés– La DCS est continue en f et discrète en – Les densités linéiques S

x(f) sont portées aux fréquences cycliques = k/T, kZ. On les nomme spectres de puissance cycliques.

– Le spectre de puissance cyclique en = 0 est égal à la DSP

– Si le signal est stationnaire, alors seul S0x(f) 0

)()(0 fSfS xx

• Unités– DCS (densité surfacique) u²/Hz²

– SPC (densité linéique) u²/Hz


12

Relations entre statistiques temporelles, cycliques et

spectrales

),( tRX

)(xR

)( fSx

),( ftWX

t

f

f

t

série de Fourier

série de Fourier transformée de Fourier

transformée de Fourier

autocorrélation instantanée

spectre de puissance cyclique

spectre instantané

autocorrélation cyclique


13

Application à la détection de périodicités cachées

• Domaines d’application– En diagnostic des machines pour détecter la présence

d’un défaut– En télécom pour estimer la porteuse– En météo en bio pour la prédiction

• Méthode– Calculer Sx(,f) et détecter la présence de lignes

spectrales en certaines valeurs de (lourd en pratique)

– Calculer Rx() et trouver les valeurs de où la quantité

n’est pas nulle (T.F de x²(t) = estimation de Rx(0) )


14

Exemples• Roulement à billes avec

défaut bague interne

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

100

200

300

400

500

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

6

Fre

quen

cy f

[Hz]

Frequency [Hz]

Inte

grat

ed C

SD

9.5 Hz 120 Hz 240 Hz

Frequency [Hz]

(b)

(a)


15

Exemples• Roulement à billes avec

défaut bague externe

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5005750

5850

5950

6050

6150

6250

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

1

2

3

4x 10

4

Fre

quen

cy f

[Hz]

Frequency [Hz]

Abs

olut

e m

agni

tude

97 Hz

194 Hz

(a)

(b)

Frequency [Hz]


16

Instrumentation par la Instrumentation par la Westland LTDWestland LTD

• 477 signaux.

• 8 accéléromètres.

• 8 différents défauts.

• 3 tests effectués sans défaut.

• Seulement trois niveaux de défaut.

• Système à vitesse constante et neuf couples différents.

22


17

fr1

fr2

fr3

fe1

fe2

Lien entre fe1 et fr1




Diagnostiquer un écaillage

Défaut caractérisé par un lien entre fr et fe

Recherche de liens entre les différents

couples ( fe ; fr )

25


18

Autres intérêts de la CS

• Approche récente en Traitement du Signal qui apporte des possibilités nouvelles

• L’approche conserve l’information de la phase (référence des temps) et renseigne sur des liens statistiques entre composantes fréquentielles

Utilisation en identification aveugle de fonctions de transfert linéaires

Utilisation en identification de FT non-linéaires et/ou variantes

Utilisation en soustraction de bruit

Utilisation en séparation de sources

Documents

SY016 Méthodes de Traitement du Signal et Applications 1 La Cyclostationnarité Aspects théoriques et application au Diagnostic Rappels sur les processus