Sur l ' a p p r o x i m a t i o u par fonct ions ra t ionnel les et par fonct ions ho lomorphes born~es (+).

par ft. :b. WALS~ (a Cambridge, U.S.A.).

A Manro Pitons pour son 70 "+e anniversairs.

R~sam6. - N o u s ddfiaissons st dtudions (I) une sdrie d'intsrpolation de fonctions rationnslles, une touts naturelle gdudralisation de la sdrie de TAYLOR, qui concerns un domains multiplement counexe d 'un type assez gdndral. Moyennant uns reprdsentation conforms nous obtenons ensuite ~II) des rdsultats sur l'approximation duns uu domains arbitrairs muttiplsment connexe par fonctions holomorphes bor~ges. Ce derni~" sujet n'sst pas nouveau [computer 1, 2], mais css mdthodes de ta reprdssntation conforms sent plus puissantss qus les mgthodes antdrisnres.

I.

L E ~ E 1. - Soit les hombres m , , ms, ..., m~ posi t i fs avev ~ m j - - 1 . I1 exists des entiers N,~ pour n - - 1 . 2, ... ; j - - 1 , 2, ..., ~, qui satisfont auw relations

(i) ~ ~v.~ = n, j=l

(2) N.j =< N.+, , t < N., j + 1,

(3) ] N,,j - - nm~ I ~ A, n ----- 1, 2, ... ; j ---- I, 2, ..., ~ ;

les nombres A iei et au-dessous reprdsentent des eonstantes positives qui peuvent cependant changer de notation d 'une formule ~ une autre,

Envisageons tout d ' abo rd le cas ~ = 2. Nous posons

~V., : [nm~], N . , = n - - [ n m j ,

off [~] indique le plus grand ent ier pus plus grand que x. I1 s ' ensu i t que

nm~ = n - - nm, <~ 2V~, = n -- N ~ < n + 1 - - nm~ - - nm~ + 1,

] N., - -nm, i < 1 , t Nnt--nm~ ] < 1 ,

et par consequent (1), (2), et (3).

(*} Recherche subventionn~e par U. S. Air Force, Office of Scientific Research of the &ir Research and Development Command.

268 J . L . W,~LS~: Sin" l'appcoximatio~t par fom.tio~,.~ ratiomwltes, eee.

Si 1 ~ - - 3 ou 4, nous groupons les m~ comme

m~' - - m~ -1- m~, m~' --= m~ o u m { : m~ + m,2, m / - - m a + m~,

et appliquons les fairs d~j~ d6montr6s tout d 'abord ~ la parti t ion de n avec

(4) [ N~, -- n m ( t _<~ 1, { N'~ - - nm.2' [ <~ 1, N ~ + N~,~ : n,

et encore l 'analogue de (2); puis h la parti t ion de N'~, et si I~ = 4 de N~ d ' u n e faqon semblable. Plus dtifinitivement, nous ~crivons (t~ = 3 ou 4)

m { =

eg en tenant comp~e de (4),

I N . , - - n m I [<: 2,

m~' + ~ --= 1,

N.~ - - NLi ~ :_ 1, N,',, : N . t + N,,~ ,

l ( N,,, - - nm~ + n'm.~ - - N ~ m ( ] =

I N ~ , , - - n m , ] ~ 2 .

Toutes les relations (1), (2), (3) sont satisfaites pour La continuation de ce processus d~montre le lemme pour tout t~; nous pouvons choisir A - - ~ .

LEhIME 2. - Supposons les po in t s f inis a~, a~, . . . , a~ donnds, relat i fs po ids pos i t i f s m , , m2, ..., m~ ; ~ mj --- l. Posons

=-- - - - - . . . ( z - -

Donc it ex~ists une suite les a t , telle que sur tout

(5) 0 ~ At

= 3 ou 4 avee A = 2 . si t ~ 2 ~

avec les

de po in t s o,~, ~.2, ... dont c h a q u ' u n se trouve parmi compact E qui ne contient p a s de aj nous avons

I t < A , , . i i

Ici et au dessous il s'agit d 'un r~sultat qui est essentiellememt invarian~ si l 'on transforme le plan par une transformation homographique, propri~t~ qui n 'es t nullement apparente de la forme donn~e. Par exemple, si a I --~ cx~ et m t est irrational, (5) n ' a pas de sens. Nous supposons donc t o u s l e s a t distance finie, et E aussi borne. Egalement dans les ddmonstrations suivantes, nous prenons les points a t et bj "h distance finie, et les ensembles d'approxi-

marion born~s. 5Tous d~finissons les aj suivant les propridtt~s dtablies dans le Lemme 1,

savoir que nous posons c¢ l -= a t si A~----1, donc j est d~termin~f; d ' une fa~on g~n~rale nous posons an+t ~---aj, oh la valeur unique de j est d~ter- mince par hr,,+l,~ ~ 2¢n, ~. 3Aors parmi les points o¢i, 0%, ..., c¢,, il y a pr~ci-

J. L. WaLSH: £'~W l'appro.,'im(~tion par yonc~ious ratio~,nellcs, etc. 269

s~ment /V,, t qui co inc iden t avec a i ; pou r route va l eu r de n

p H (z - - ~) -- H (z - - a~)~J. 1 ]=1

En ver tu de (3) nous avons sur E pour j : 1, 2, ..., ~,

Ihr , , j l°g I ~ - - a i ] - - n m j log I z - - a i I I :<A ' ,

1 Z l o g l z - - a t l ~ , , / - n ~ l o g l z - - a i I ' ' ~ t < = ~ A ' , i = t i= I

et (5) s' ensui t . L'in~igalit~ (5) nous sera e x t r ~ m e m e n t u t i l e ; une in~galit~ plus faible ne

suff i ra i t pas. TI~On~ME 1. - Supposons donnd lea po in t s f inis dist incts a , , a~, . . . , a~,

b~, b~,. . . , b, et les relatifa po ids positifa, m , , m~ , . . . , m~, n , , . . . , n , , m i = E n t --~ 1. Posons

(z - - a~)"~(z - - a~) ~. ... (~ - a~)'~ (6) u(z) ==-.

(~ - - b~)'*~(z - b~)"~ ... (~ - - b,)'*~ '

et pour tout ~ (;> O) soit E~ l'ensemble ddfini p a r u(z) I ~- ~. Une fonotion f(z), holomorphe sur l' ensemble

(7) E~ : I u(~) ] < p,

mais holomorphe su r a u e u n ensemble Eel, p~ :> p, peut ~tre reprdsentde su r Ep p a r une serie d' in terpolat ion

(8) f(z) ~ ~ ~.u,Iz), Uo(Z) =_ l , u~(z) , = o (z - - ~,)... (z - - ~. ) '

qui converge uni formdme~# sur chaque compact dana E~. Lea a , , dont chacun se trouve p a r m i les a i, aont choisis de telle fagon que nous avona (5) sur lout oompact qui ne eontient pas de ai , et lee ~,,, dont chacun se trouve parn t i lea bj, song ehoisis de telle fa~on que nous avons l' analogue de (5):

< l ( z . (~ - - ~ , ) ( z - - ~) . . . (z - - ~ ) A,

sur tout compact qui ne contient pas de b I . Les codfficients e,~ aat is font l' indgalitd (9) lira sup I e, I TM ---~ 1/p.

Pour lout ensemble Ee, ~ ~ ,o, nous avons

(10) l im sup [max I f(z) - - s~(z) 1, z aur E~]t/'~ = c/p,

0

270 J . L . WA~SH: Sur l'appro~imation, par fo~wtio~s r~ttiom~clh's, ecc.

Si de plus f(z) est bornd sur Ep, (9) et (10) peuvent ~tre remplaeds par

(11) I t . 1__< AJ~",

(12) [max I f(z) - - s,(z) t, z sur Ea] <~ A4~"/~', ~ < ~.

La sdrie (8) a la forme bien connue d ' une s~rie d ' in terpolat ion [compa- rer 3, §§ 3.2, 8.5]. On pent d~terminer les eo~ifficients v, sueeessivement en posant formellement z - - - a , , z ~ %, et ainsi de suite, avee differentiat ion un hombre eonvenable de lois quand les a~, ~ , . . . , a,, ne sont pus distinets.

La forme de Th~or~me 1 n'a plus de sens si Fun des points a i ou bj est infini. Duns ee eas, le facteur z - a t on z - - b j correspondant est ~t omettre duns routes les formules. L ' ensemble Ee d~fini pax (7) n ' e s t pus n~eessaire- ment connexe, done f(z) n'est pas n~eessairement une seule fonction monog~ne.

Choisissons, eomme nous l 'avons d~j~ dit, t o u s l e s a1 et ~i finis, et aussi Ee borne. Soil G~ pour tout ~ ( ~ 0) le lieu I u(z) I ~ ~. l~ons avons [3, p. 186] pour z duns E~, 0 ~ ~ ~ ~,

1 f (~.(~)f(t)dt_ (13) f(z) - - s,,(~) ~-- ~-~ ]to,(t)(t - - z) '

(14) ton(z) ---- (z - - a ,)(z - ~ ) ... (z - ~ . + , )

(~ - - ~l)(z - - ~ , ) . . . (~ - ~ . )

En ver tu du Lemme 2 nous avons

I ~"(z) l u"(z) I (15) o < A < ~ < A', A < [u(z)]" < A',

sur tout compact qui ne eontient ni de aj ni de bj. I[ s ' ensui t de (13) que la s~rie (8) converge uniform4ment vers f~z) sur

chaque compact duns E~, done sur ehaque compact duns Ee. Les coefficients c,~ se caleulent en retranchant deux ~quations (13) pour

des valeurs suecessives de n :

s,(z) - s._l(z) ~ c.u.(z)

1 / ' toJz)[ 1 _ (z -- ~,~)(t --an+,)l f( t)dt

(J<7

G~ ~).(t)

i (z - - ~.)(t - a,,+,)] f(t)dt 1 - - (z ~.+,)(t - - ~-)J t - - z '

1 lim sup I c,~ It/" ~_< ~ ;

,l. L. W.~LSH: , ~ ' l'~ppcoxitv~atio~ pa~' fO~te'tiot~,~ re~tiot~clle.~, etc. 271

eette in~galit~ est rulable pour tout a ~ e, done nous avons

l im sup [ c,= I TM ~ 1/p.

Si l~in~galit~ forte ~tait valable, la deuxi~me des indgalit~s (i5) d~mon- trerai t la convergence de la s~rie (8) vers f(z) uniform~ment sur un ensem- ble E ~ , e, ~ e, ce qui est impossible. Done l ' equa t ion (9) est ~tablie.

I1 est une consequence de (9) et (15) qne le premier membre de (10) est plus peti t que ou ~gal au deuxi~me m e m b r e ; mais si ee lui - lk ~tait plus petit, il s ' ensu ivra i t que

l im sup [max ] sn(z) - - s~_,(z) [, z sur E~]I/" ~ a/p,

sn(z ) - - Sn_, (Z) ~ ~ .U . (~ ) ,

ce qui eontredi t (9) et (15); done l '~quat ion (10) est d~montr~e. Nous remar- quons, comme consequence de (9) et (15),

(16) lim sup [max I s,(z) I, z sur E~] TM - - ale , a ~ p,

~quatiqn qui nous sera ut i le plus tard. Si ma in tenan t f(z) est born4 sur Ee~ 'les int~grales duns (13) et les

5quat ions suivantes peuvent ~tre prises le long de Ge, car les valeur l imites de f(v) existent presque par tout sur Gp (FATou) d'ofi (11), (12) et

(17) [max I s,(z) [, sur E:] ~ Asa" /p ' , a ~ p,

Encore une fois nous soul ignons le fait que les in~galites (11), (12)~ (17) seraient impossibles ~t d~montrer sans une in~gali t~.tel le qne (15), et eela const i tue ]e grand avantage des m~thodes nouvelles que nous exposons ici. La s~rie (8) se trouve parmi les sdries dejh d~finies et ~tudiges [3, § 8.8], avec les points an et ~n <~ nni form~ment distribu~s)). Mais ]a dis t r ibut ion uni forme des an n' exige que (n--~ oo)

N . j / n - ~ mj

pour chaque j, et l ' in(igalit~ (3) est beaucoup plus forte, avee (5) et (15) comme consequences [Comparer 3, oh. 3].

N0us faisons une autre appl icat ion de la denxi~me des in~galites (15). Toute fonction rat ionnel le Rn(z) de degr~ n, '~ pSles ~i~, ~.~ ..., ~, s ' expr ime

dans la forme

R . ( z ) - - ~ c~u~(z), 0

car on peut dd terminer les coefficients ~, success ivement en posant z - - - % , a.~, %, . . . , a,+~ ; la difference de ees deux expressions est done une fonction rat ionnel le de z de de~r~ n a pSles ~,, ~ , . . . , ~,, qui s ' annu le aux points a, , % , . . . ~ o~,~+~, par suite qui s~annule ident iquement .

272 J .L.W.~LSH: ,~m" l'approxim~ti¢m /m~" fom.tio~s mtio~.,,'lh',~, (,ce.

Ces fonctions R,~(x) ont des propri6t6s impor tantes ; le lemme suivant est analogue ~ un lemme bien connu de S. B]~R~S~mI~ [3, § 4.6]:

L]~MME 3. - Soit R,(z) une fonction rationnelle de degrd n, ~ p6les ~,, ~,, ~3,..., ~, et so i t

rR-(z) l ~ M , z s u r G~.

A lors avec • > a nous avons

(18) I R~(z) ] g AoM~'/a' , z sur G~,

o~ la constante Ao ne ddpend pas de R,dz). La fonetion R,~(z)/u,(z) est holomorphe sur l 'ensemble d~fini par l u(z)I:>~,

mgme aux points ~ , ~ , ~a, ." , ~-; sa t la frontibre G~ nous avons comme eonsfiquence de la deuxibme infigalit6 (15)

IR,,(z)] R,(z) [u(z)]~ < M u - ~ = [u(z)]"' u.(z ) = A~""

Cette in~galit~, valable sur G:, est aussi valable sur l 'ensemble l u ( z ) l ~ ~, et en part icul ier sur G~ nous avons (encore par la deuxi~me in~galit~ (15))

IR,~(z) u,(z) l A'M~" t R.(z) i -= u~(--z) " [u(z)] - - - ~ " [u(z)]n ~ A~" '

donc (18). La signification du Lemme 3 dans la th~orie de F approximation est

q u ' u n degr6 d' approximation donn6 sur G:, disons pour tout n

I f(z) - - R . ( z ) I ~ ~. , I R.(z) - - R._,(z) I ~ ~.- , + ~-,

se traduit en

t R.(~) - - R ._ , I ~ A0(~._, + ~.)~" a" , sur Gv,

done soit en degr~ d 'approximat ion sur G~, soit en une in~galit~ sur la grandeur de IRn(z) f sur G~.

Nous n'avons consid~r~ jusqu ' ic i que les points a1 comme points d'inter- polation et les ~i comme poles des termes de la s~rie (8). I1 est ~vident que l 'on peut ~ehanger ces roles des ~t et des ~i, ce qui accorde avec le prin- cipe de la dualit~ [3, § 8.3]. Une fonction holomorphe sur un ensemble ~ < t u ( z ) ] < ~ s ' y exprime comme la somme de deux s~ries de ees genres respeetifs, somme analogue ~ et m~me une g~n~ralisation de la s~rie de LAURENT.

Encore une application de l ' in~galit~ (5) est interessante. Soit D u n domaine de la forme ] U(z) l > Q, avee l 'hypoth~se du Lemme 2. La fonction de GREE~ a p01e a l ' inf ini est log I U~z) t - - log Q. L'in~galit~ (5), valable sur un compact fini E, est valable aussi dans tou~ domaine infini ferm~ qui ne

J. L. W~LSH: S~r l'approximation par fonctions rationnclle.% ecc. 273

contient aucun des aj. Tout domaine dent la frontii~re consiste en un hombre fini de courbes de JORDA~ deux ~ deux disjointes admet [4] u n e repr(tsenta- lion conforme sur un domaine de ce type D, l ' image du point ~t l ' inf in i ~tant arbitraire. Par consequent nous avons d~montr6 (Lemme 2):

L E ~ E 4. -- Soil D un domaine dent la fronti~re consiste en un nombre fini de courbes de Jordan deux ~ deux disjointes, soil ~ un point arbitraire de D el soil g(z) la /bnclion de Green de D avec pole ~.

D o n c i l existe des fonctions f,(z) holomorphes dans D et continues dans la fermeture D de D, s a u f que f,(z) a un pole en a d' ordre n, avec

f,,(¢) - f.(z) t 0 ~ A~ < e ' ~ , < A.., z dans D ; ~--~lim ~hT~i - - 1.

Les fonctions fn(x) ne s' annulent pas dans ]), done leurs rdciproques F**(z) ~ 1/f~(z) sent holomorphes das D, continue dans 1), et F,(z) a un zdro d' ordre n e n a, avec

0 ~_ A, < ] F,(z)e-a(~, ] ~ A~, z dans D, lim ! F,,(z)e,O(~, [ ~ I.

Les fonctions de Lemme 4 sent commodes comme fonctions de compa- raison en Otudiant maint probl~mes extr~maux.

II.

Comme application de Th~or~me 1, nous consid~rons maintenant le probl~me d 'approximation d ' une fonetion donn~e, non plus par des fonctions rationnelles mais par" des fonctions holomorphes born~es. On a d(fj~t ~tudi6 ce probl~me [1, 2] mais les presents r6sulta.ts sent plus raffin~s que les ant~rieurs.

T~OR~ME 2. - Soit D un domaine dent la fronti~re consiste en courbes de Jordan B~, B., , . . . , B~, C~, C~,... , C~, deux ~ deux disjointes, et soit U(z) la fonctiou harmonique dans D, continue duns la fermeture de D, dgale de zdro et un sur les B~ et Cj respeclivement. Pour tout ~, 0 ~ ¢~ ~ 1, soil D~ le sous-domaine de D darts lequet 0 ~ U(z) ~ ~.

Soil la fonction f(z) holomorphe duns D~ et continue sur B---B~-t-B~-I-...q-B~. Alors il existe des fonctions f,~(x) holomorlghes dons D, continues sur B, qu i satisfont aux indgalitds

(19) lim sup [max 1 f(z) - - fn(z)[, z sur B] 11" <~ e-P/~,

(20) lim sup [max]f,~(z) l , z duns D] TM ~ elt-e ~/~,

27:~ dtant la varialion totale de la [onction conjugude de U(z) le long de B. S i de plus f(z) est bornde clans De, les indgalites (19) et (20) peuvent ~tre

amdliordes :

(21)

(22)

Anna~i d~ Matemat~ca

[max lf(z) - - f,~(z) I, z sur B] ~ Ale-"e/~

[max l f~(z ) ], z dans D] ~ A2e'(t-e )[~.

35

274 J . L . W*~s~: Sur l'approxim~ttion p~tr fonetions ration~wlles, dec.

Soit [(z) bornde ou non mats holomorphe duns De; si f(z) est holomorphe aussi darts la fermeture de chaque domaine de Jordan extkrieur ~ D dont la fronti~re est u n B i ( j - - 1 , 2 .... , ~) est si pour la ddmonstration de (21) et (22) les courbes B i song analytiques, alors on peut choisir les f,e(z) dgalemei~t holomorphes dans la fermeture de chaque tel domaine de Jordan ; d o n v f,~(z) est holomorphe dans un domaine ~ fronti~re C ~- C~ ÷ C~ ÷ ... ÷ C~ qui contient D.

Nous consid6rons tout d ' a b o r d i e e a s q u e D est d6f ini par les in6galit(fs e go ~ l u(z)[ < e al, avee ~quation (6), et que f(z) est ho lomorphe duns 0 ~ [ u(z)[ < e a, ; done log I u(z) [ - - d o 1

(23) U(z) ~ d, ~ d o ' ~ ~ d, - - d----~o "

Les valeurs U(z) - - 0, t~, 1 duns D correspondent a l o g ] u ( z ) [ - - d , , ~ ( d ~ - d o ) + d~, d~ respect ivement , done (19), (20), (21), (22) sont des eons~- quenees de (10), (16!, (12), (17) avec f , , ( z )~ s,,(z).

Pour continuer, nous rapel lons l e concept de composanle d ' une fone tion holomorphe. Si E(z) est holomorphe duns l ' anneau h entre deux courbes de JORDAlq B, et C~, B~ int~rieure h. C,, nous prenons dans 5 deux courbes reetif iables F 4 voisine de C~ et F~ voisine de B~. Quand z se trouve entre F, et F~ on a duns A:

~ . 1 fF ( t )d t I f F ( t ) d t (24) F(z) ~ F~ (z) + F.~(z , ~ ' (~) ~ -~i ] -{-- z ' F~(z) ~ - ~ j T ~ ~ "

P~ P~

Ces int~grales d~finissent les composantes F~(z) holomorphes en tout point z int~rieur h C~, si z et Bj se t rouvent it 1 ~int6rieur de F~, et F~(z) holomorphe en tout point z ext~rieur it B~ avec F ~ ( ~ ) ~ 0 , si z et C~ se t rouvent l ' ex t~r ieur de F.~ mats B~ it l ' in t~r ieur de F~ ; bien entendu, 17~ et F~ d~pen- dent de z. Si la fonction F ( z ) e s t en plus cont inue ou holomorphe sur C~ ou B , , il en est de m~me avec F~(z) ou /7'~(z), y d~finie par la premii~re des ~quations (24).

Les composantes d ' u n e fonet ion £'(z) song un peu plus compliqu~es si le domaine de d~finit ion de F(z) est d ' u n orde de connectivitef plus grand. Par exemple, si le domaine h e s t born~ par une eourbe C~ et par deux eourbes B~ et B~ disjointes it l ' in t~r ieur de C~, nous ~crivons par analogie avee (24)

g(z) = F~(~) + _v,,(z) -+- F~(z),

1 fF(t)dt

P~

1 fF(t)dt

2r:i J t - z ;

J. L. WALSH: ~U~" l'approximatio~ par ]onctions rationnelles, ecc. 275

iei lea eourbes F~, F,~, P~ se t rouvent ~ l ' in t~r ieur de h, re(s ines lea respect(yes eourbes C~, B~, B~; lea fonetiona F~(z), F,~(z), ~ ( z ) sent holo- morphes respee t ivement ~ l ' in$~rieur de C,, h 1' ext~rieur de B~, k I 'ext~rieur de B~.

Reprenons la d6monstra t ion du Th~or~me 2, off f(z) es~ holomorphe duns D~, off D ae trouve toujours ~t 1 ~int~rieur de C~, et D eat d~fini par e~ < I u(~)l < e~ e~ (6).

L ' e n s e m b l e D~ peul eonsister en plusieura sous-domaines finis de D ; dana ee eas nous eonsidbrons les eompoaantes de f(z) dana ehaeun de ees sous-domaines , disons lea eomposantes Fi~(z ) h o lo mo rp h es dana lea sous- domaines finis j = 1, 2,. . . , v' ( ~ v ) et les eomposantes Fj~(z)holomorphes duns les domaines infinis, j ~ 1, 2, ..., ~. Envisageons D', le p remier 4e ees sous-domaines finis int~rieur h une courbe y~ (sur laquelle U(z)--~) et ext~rieur aux eourbes frontii~res B~, B~, . . . , B~,, ~'~_~. Nous posons

F(z) = E~,(z)-- E Fi~(z ) dans D', et eont inuons ee m6me proeeasus dana tout

tel sous -domaine fin(. Done F(z) eat holomorphe duns 0 ~ l u ( ~ ) l ~ e~(4-4)+40 et nous avons par (19) et (20), d~jh d~montrds dana ee eas :

lira sup [max [ F(z) - - F,(z) [, z sur B]~/" ~_~ e-.~/~,

l im sup [max I F,,(z) ], ~ dana D]~/" <_~ e(~-Pi/~,

lea F,~(z) ~tant holomorphes dans O ~ u ( z ) < e ~1. Nous posons main tenan t

fn(z) ~-- Fn(z) + E Fi~(z), et r emarquons duns D' par exemple f(z) = F(z) + ~ Fi2(z) , l 1

eette derni~re somme ind~pendante de n. Nous obtenons (19), (20) et d ' u n e mani~re analogue (2t) et (22).

Le thgor~me 2 se trouve ainsi eompl~tement d6montr~ quand D eat d~Ifini par lea in6galit~s e4 < t u(z) I ~ e4~, avee u(z) d~fini par (6). Nous nous servirons dana le eas g6n~ral des fairs d~j~ d~montr~s. Le domaine D de l' hyp6th~se du Th6or~me 2 admet [4] une representa t ion conforme sur un domaine de la aerie consider6 dana le Th6or~me 1, c ' e s t ~ dire dana le eas special du Th~or~me 2 d~j~ ~tabli, et la fonetion U(z)eat invariante. Done pour une fonciion f(z) holomorphe duns D e lea in ,gu i l t , s (19), (20), (21), [(22) sent d(tmontr~es.

Si f ( z )ea t holomorphe aussi dans la fe rmeture de ehaque domaine de JORD.~N ext~rieur ~ D dent la fronti~re eat une courbe B j ( j - - 1 , 2, 3,. . . , ~) nous raisons 4galement la dire repr6sentat ion eonforme pour ~arriver ~ (19) et (20), m a i s n o u s observons aussi eomme consequence de la d6monstra t ion d~jh donn~e (0 < ~ ~ ~)

(25) lim sup [max [ f(z) fn(z) [, z sur ro]11 ~ ~_< e(~-P)/~,

276 J . L . W~LS~: Sur l'approximation par ]otwtions ratio~tnclles, etc.

off F~ est le lieu U(z)--'-~; eomparer (10). Duns chacun des domaines qui compose D e nous int/~grons sur P~ (ou sur la plus grande patt ie de re possible); pour ~ /~ l ' in t~r ieur de g~ nous avons

1 f[f(t) - - .f (t)]dt f ( ~ ) - - f " ' ( ~ ) - = 2 - ~ j t - - • '

et nous eoneluons de (25)

(26) lira sup [max I fcz) - - f~t(z) I, ~ sur B]I/'* ~ d~-P 1[~.

Gette in6galit6 est valable pour tout a, 0 ~ a ~ p, done (~-* 0) nous avons l '6quivalent de (19), avec [~(z) remplae6 par f~1($), l~ous posons f~(z) ~ f , , t (z)+ f.~(z), et la forme originelle de (191 avee (26) montre

lira sup [max [ f~2(z) [, ~ sur B] TM ~ e-o/~.

Gette in~galit6 a lieu aussi pour • ~ i ' ext~rieur de B, done nous avons (20) avec f~(z) remplac~ par f~l(z); (19) et (20) sent d~montr6s avec un ehoix oonvenable des fn(z) holomorphes duns les fermetures des domaines int6rieurs aux Bj.

Soil f inalement f(z) born~ darts De, holomorphe dans la fermeture des domaines int~rieurs aux BI, et soil les courbes B i analytiques. Nous avons (21) et (22), mats nous avons aussi en ver tu de la d~monstration de (21)

[max If(z) -- f~(z) ], z sur F_~] ~ A3e-~(P+~l ~,

off a ( > 0) est assez petit. Avec f~(z) --: f~t(z) -t- f~($) nous avons pour z sur ou /~ l 'ext~rieur de B

f"~(~) ~ ~ i - - - - , t f,,~(~) t <~ A,e-'~+~)~" ;

(21) et (22) seat valables avee f,~(z) au lieu de f,(z). Th~ori~me 2 se trouve eompl~tement d~fmontr~.

Gomme r(iciproque du Th~ori~me 2 nous avons T I - ~ o ~ a ~ 3. - Soil D le domaine du Thdor~me 2, avev la notation des B~,

Ci, U(z), D:, % B, y indiqude. Soient les fonctions f~(z) holomorphes dans D, continues sur B, e t l a fonction f (z) ddfinie sur B, telles que (19) et (20) soient satisfaites, p ~ O. Deny la fonvtion f(~) admet une extension continue ~ partir de B partout dans D~; cette extension eat holomorphe dans D e e t les f~(z) convergent uniformdment vers cette fonction f($) das chaque Do, 0 ~ ¢~ ~ p.

I1 existe deux m~thodes distinetes pour d~montrer le Th~or~me 3. i) On p e a t appliquer le th~or~me des deux constantes aux fonctions

f , ,+~(z)- f~(z) dans le domaine D; la conclusion du th~or~me 3 est immediate. it) Moyennant une representat ion conforme de D sur un domaine

d~fini par los in~gali~s e do ~]u(z ) l ~ e d~, et en ddmontrant les analogues de (19)et (20) pour les composantes des transform~es des fonction donn(fes,

J. L. WhLS]=I: Sur I'approximation par ~onctions ration~elles, ecc. 277

on eonsid6re les sommes partielles des d6veloppements de ees eomposantes suivant les m~thodes du Th~or~me 1. De telles sommes convenablement choisies donnent la conclusion.

Nous indiquons encore un r~sultat plus raffin~, qui s~oeeupe de la classe L (p, a) sur une courbe, c 'es t /~ dire la classe des fonctions dent la p- i~me d~riv~e y existe et y satisfait i~ une condition de LIPso~Tz d' ordre a, 0 ~ a ~ l .

T]~om~M]~ 4. - Soit D l e domai*,~ du Thdor~me 2, aveo la notation des B1, Cj, U(z), D~, ~, B, G:, y indiqude.

Si la fonction f(z) est holomorphe dans De, continue dans la fermeture de D e et de classe L(p, ~) sur Gp qui n ' a pas de point multiple, alors it existe des fonctions f,~(z) holomorphes dans D et continues sur B telles que

Ate -~PI¢ (27) I f ( s ) - f,~(z) I = n~4Z ' s sur B,

A.,_ enO-e)/~ (28) [ f , ~ ( z ) [ _ np+~ , z dans D.

Rdciproquement, si f(z) est continue sur B~ si les fonctions f,,(z) sent con- tinues sur B et holomorphes dans D, et si (27) et (28) ont lieu pour un entier p (_~ 1), 0 ~ a ~ 1, alors f(z) est holomorphe clans D~ et de vlasse L ( p - 1, a) sur G e .

La premiere partie de ee th~or~me se d~fmontre comme la premiere par- tie du Th~or~me 2, en consid~rant la situation g~om~trique du th~orbme 1 et les eomposantes de la fonction f(z) donn~e [comparer 5]; Lemme 3 est commode dans la d(tmonstration de (28) comme consequence de (27). La r~ei- proque se d~montre par le th~orbme des deux constantes, encore en vertu du Lemme 3.

Les d~itails du Th(ior~me 4, les extensions aux eas p ~ 1 e ta - - - -1 , aussi bien que les applications ~ l ' approximat ion par polynomes, fonetions ration- nelles, et par fonctions holomorphes '~ module born~, seront publi~es plus tard.

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