Sur la variation, par torsion, des constantes locales d ...publications.ias.edu/sites/default/files/Number43.pdf · des repr6sentations de la forme q-1, ot~ q est un quasi-caract6re

Invent. math. 64, 89-118 (1981) /~r/pentlo~/es mathematicae �9 Springer-Verlag 1981

Sur la variation, par torsion, des constantes locales d'equations fonctionnelles de fonctions L

P. Del igne 1 et G. Henn ia r t 2

Institut des Hautes Etudes Scientifiques, 35 route de Chartres, F-91440 Bures-sur-Yvette, France 2 11 rue Ruhmkorff, F-75017 Paris, France

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 0. Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1. Le cas de dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2. Une variante du th6or6me de Brauer . . . . . . . . . . . . . 101 3. Normes et traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4. Le cas g~n6ral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Introduction

Soit K un corps local non-archimSdien, fi corps r6siduel fini. Soient K une cl6ture alg6brique s6parable de K et W = W(K/K) le g roupe de Wei l corres- p o n d a n t (cf. [3], Ap. II, ou [1], w L a th6orie du corps de classes local fournit un i somorph i sme w a b - - K *, que nous normal i se rons comme dans [1], 2.3. Nous ut i l iserons cet i somorph i sme pour identif ier sys t6mat iquement classes d ' i somorph i smes de repr6senta t ions de d imens ion 1 de W et quasi-caractSres de K*. Nous fixerons un caract6re non tr ivial r du groupe addi t i f de K, et une mesure de Haa r dx sur ce groupe.

Si U est une repr6senta t ion de W (cont inue et de d imens ion finie), on sait que pour chaque quasi -caract6re )~ de K* de conduc teur a00 suff isamment grand, la cons tante locale e(U| r dx) (cf. [1], 4.1) admet une descr ip t ion s imple: notant v k la va lua t ion normal is6e de K, il existe un 516ment a de K* tel que l 'on ait X(1 +y)=O(ay) si y ~ K v6rifie 2vk(y)>aO0, et l 'on a, en posant 7 = a -1,

(1) E(U | ~], dx)=~()~, ~,dx) dimU. det U(7)

C'est d 'a i l leurs ce fait qui est h la base de la cons t ruc t ion des constantes locales donnde dans [ l J , w En termes de la repr6senta t ion vir tuel le W = U - ( d i m U). 1, qui est de d imens ion 0 et de mSme dSterminant que U, la formule (1) s'6crit

(2) e(W| Z, ~0)= det W(?).

90 P. Deligne et G. Henniart

Nous prouvons ici un r6sultat plus g6n6ral. Soit t un nombre r6el positif ou nul. Soit W une repr6sentation virtuelle de W, de dimension 0, suppos6e triviale sur le groupe de ramification W(t/2) i.e. dont t ous l e s constituants (cf. 0.5) sont triviaux sur W(t/2) (il s'agit de groupes de ramification en num6rotation sup6rieure, cf. 0.4). Soit enfin V une repr6sentation de W, sans vecteur non nul fixe par W(t). Alors on a la formule suivante (4.6).

(3) e,(W| V, ~9)=det W()'),

ot~ 7 est un 616ment de K* ne d6pendant que de V e t qJ. Sa valuation est a(V)+(dimV)n(tp), o~ a(V) est l 'exposant du conducteur de V, et n(O) l 'ordre de ~, cf. 0.3. L'616ment 7 n'est bien d6fini qu'& multiplication pr6s par un 616ment du groupe U(t/2) des unit6s u de K v6rifiant VK(U--1)>t/2. Sa classe dans K*/U(t/2) est ddjg caract6ris6e par les 6galit6s (3), quand W parcourt l'ensemble des repr6sentations de la forme q - 1 , ot~ q est un quasi-caract6re de K* trivial sur U(t/2).

Lorsqu'on suppose seulement que W e s t une repr6sentation virtuelle de W, de dimension 0 et triviale sur W(t), nous prouvons (4.2) que e (W| V, O)/det W(y) est une racine de l'unit6 d'ordre une puissance de p.

L'616ment 7 de K*/U(t/2) intervenant dans la formule (3) se calcule comme suit. Une variante du th6or6me de Brauer, donn6e au w permet d'6crire V, dans le groupe de Grothendieck des repr6sentations de W, comme combinaison lin6aire finie de repr6sentations induites de repr6sentations Zi de dimension 1 de sous-groupes ouverts (d'indice fini) H i de W, la repr6sentation gi 6tant non-triviale sur Hi c~W(t): V = Z n iInd(Zi), n i c Z; chaque H i correspond une extension L i de K, et Zi s'identifie g u n quasi-caract6re de L*; on choisit alors a i dans L* de fa~on que l'on air zi( l+y)=tpoTrr,m(aiY) si y ~ L i v6rifie 2vL(Y)>a(zi). Si a (z i )< l , cette condition signifie que v ( a i ) > - n ( O o TrL,m) , et on impose de plus que v(ai)= -(n(O o TrL,/K)+a(zi) ). Posant 7i=aF ~, on a

7 = n NL,/K(~i)"'.

Nous ne connaissons pas de d6monstration directe de ce que la classe, dans K*/U(t/2), de la quantit6 7=7(V, ~9) d6finie par cette formule, ne d6pend pas de la d6composition choisie de V en repr6sentations induites.

Si ~ est une repr6sentation de dimension 1 de W, on peut pr6ciser la d6finition de 7=?(Z, 0) en exigeant que l'on ait

pour y dans K v6rifiant pv~(y)>a(z ). On peut de mame pr6ciser 7(V, 0), pour une repr6sentation quelconque V de W, en la d6composant comme plus haut, en d6finissant un 616ment 7i de L* par l'6galit6

p--1

Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L 91

pour tout y dans L i v6rifiant pvL,(y)>a(zi) , et en d6finissant 7(V, 4 ) = 7 par la formule (4). Si a(xi)< 1, on impose de plus l'6galit6

V ('Yi) = n (4 o TrL,/K ) + a(zi)"

Grfice fi une interpr6tation en termes de la function Ww-~e(W| V, tp, dx), nous mont rons que l'616ment ainsi d6fini ne d6pend pas des choix effectu6s (de la d6composi t ion de V et des 616ments ~'i),/t mult ipl icat ion pr6s par un 616ment de U((1 -1 /p ) t ) ( c f . 4.11 fi 4.13).

Pour le formalisme auquel 7(V, 4) ob6it, voir la fin du chapitre 4 (4.16 et sq.).

O. Notations

0.1. Si K est un corps valu6 complet , on note v sa valuat ion et (9 l ' anneau de valuat ion correspondant . Pout tout nombre r6el t, on note A(t) le sous-groupe additif de K form6 des 616ments de valuat ion au moins t, et, s i t est positif ou nul, on note U(t) le sous-groupe des unit6s x de (9 v6rifiant v ( x - 1 ) > t . Si n6cessaire, on pr6cise par un indice K. On fixe un nombre premier p, et les corps valu6s consid6r6s sont de caract6ristique r6siduelle p.

0.2. Nous noterons E l 'exponentielle t ronqu6e:

p--1

e(x) = y~ xl/i !, i=0

et L l e logar i thme tronqu6 p--1

L(x) = ~ ( - 1)' +' ( x - 1)'/i. i=1

Pour t positif ou nul, ces appl icat ions induisent des i somorphismes inverses Fun de l 'autre:

E A (t)/A (t9 t) ~ U (t)/U {p t).

L

0.3. Soit K un corps local non-archim6dien, i.e. un corps valu6 complet ~ corps r6siduel fini, fix6 dans toute la suite. C o m m e dans [1], nous noterons 4: K --* II~* un caract6re additif non trivial de K, n(~) l 'ordre de 4, i.e. le plus grand entier rn tel que ~ soit trivial sur A ( - m ) , dx une mesure de H a a r sur K, K une cl6ture alg6brique s6parable de K et W ( K / K ) = W le groupe de Weil (absolu) correspondant .

0.4. Si G est le groupe de Galois d 'une extension galoisienne finie L/K, et t u n hombre rdel positif ou nul, on note G(t) le groupe de ramificat ion d'indice t e n num6rota t ion supdrieure (cf. [2], IV, w 3). Rappelons que, comme fonction de t, G(t) est d6croissant, saute en un n o m b r e fini de valeurs, et qu 'entre deux sauts successifs t I e t t2, G(t) est constant, 6gal ~ G(t2).


La raison d'~tre de la num6rotation supdrieure est sa compatibilit6 au pas- sage au quotient: si H est un sous-groupe distingu6 de G, (G/H)(t) est l 'image de G(t) dans G/H. Si L e s t maintenant une extension galoisienne infinie de K et G le groupe Gal(L/K), on d6finit les groupes G(t) par la formule G(t) = lim proj Gal (E/K)(t), ofJ la limite est prise suivant les extensions galoisiennes finies E de K dans L. La compatibilit6 pr6c6dente est conserv6e. Le groupe d'inertie de G n'est autre que G(0) et le groupe d'inertie sauvage, son p-groupe de Sylow, est l'adh6rence de la r6union des G(t) pour t>0 .

Si L contient une extension non ramifi6e maximale de K, on d6finit comme dans [3], App. II, le groupe de Weil W(L/K). I1 contient le groupe d'inertie de G, et ceci permet de poser W(L/K)(t)= G(t) pour t positif ou nul.

Nous noterons I le groupe d'inertie de Gal (K/K): I=W(0) , et P son pro-p- sous-groupe de Sylow (groupe d'inertie sauvage).

0.5. Par repr6sentation (d'un groupe topologique), nous entendrons toujours repr6sentation continue dans un espace vectoriel complexe de dimension finie. Dans une repr6sentation de W, le groupe d'inertie I agit & travers un groupe fini. Une repr6sentation de W sera dite non ramifi6e si 1 agit trivialement, et ramifi6e dans le cas contraire. Soit V une repr6sentation virtuelle de W, i.e. un 616ment du groupe de Grothendieck de la cat6gorie des reprdsentations de W. Elle s'6crit de fa~on unique V=~n(V')V', ofa V' parcourt les repr6sentations irr6ductibles de W e t n(V') est un entier, la multiplicit6 de V' dans V. Les V' de multiplicit6 non nulle sont en nombre fini; ce sont les constituants de V.

Pour la d6finition de la constante locale ~(V, ~, dx), nous renvoyons & [1] 4.1. Rappelons que pour V de dimension 0 (resp. de dimension 0 et de d6terminant trivial), elle est ind6pendante de dx (resp. de dx et de 0); en ce cas nous la noterons simplement e(V, tp) (resp. e(V)).

On note a(V) l 'exposant du conducteur d'Artin de Ve t Sw(V) l 'exposant de son conducteur de Swan. On a

a ( V ) = d i m V - d i m VZ+Sw(V).

0.6. Soit V une repr6sentation irr6ductible ramifi6e de W. Notons W(V) le quotient de W qui agit fid61ement sur V; on d6finit c~(V) comme le dernier saut de la f l t rat ion de W(V): par d6finition, on a

vWt'~v))=0 et vWt'~v)+~)=V pour tout e>0 .

Si V est non ramifi6e, on pose , (V)= 0 . Avec ces conventions, toute repr6sentation irr6ductible V de W satisfait 5. la formule

Sw(V)=a(V) dim V.

Soit V une repr6sentation virtuelle de W. On note ~(V) (resp./?(V)) la borne inf6rieure (resp. sup6rieure) des ~(V'). quand V' parcourt les constituants de V. Que ron air ~(V)>c~ signifie que les constituants de V n'ont pas de vecteur non nul fixepar W(c~): VW~')=0. Que l'on ait/~(V)</3 (on a a lors /~>0) signifie que V provient par inflation d'une repr6sentation virtuelle de W/W(/~).


Une extension finie s6parable L de K d6finit un ensemble galoisien H o m K ( L , K ). On pose e(L/K)=~(U), off U est la repr6sentat ion de permuta- t ion de W sur H o m K (L, K). Si M est une extension galoisienne de K contenant L, c~(L/K) est la borne inf&ieure des indices e tels que GaI(M/L) contienne aal(M/K)(cO.

0.7. On sait (cf. [2], XV.w que l ' i somorphisme de la th6orie du corps de classes local: wab~--K * identifie wab(t) g U(t). Si X est un quas i -carac t&e rami- fi6 de K* (correspondant fi une repr6sentat ion de W de dimension 1), c~(X) est donc le plus grand entier n > 0 tel que Z soit non trivial sur UK(n ). Si )~ est un quas i -carac t&e de K*, non ramifi~ ou mod6r6ment ramifi6, on a c~(Z)=0. On dit que Zes t sauvagement ramifi6 si l 'on a e(X)>0.

0.8. On note Qp/7Zp(1) le sous-groupe.de I12" form6 des racines de l'unit6 d 'ordre une puissance de p. On note par mod* une congruence multiplicative, i.e. une congruence dans le groupe multiplicatif d 'un corps. Si X est un ensemble fini, on note IXI son cardinal.

1. Le cas de dimension 1

1.1. Proposition. Soient Z et tl deux quasi-caraetOres de K*, vJrifiant ~(q)< ~(Z). Soit m l e plus petit entier tel que l'on ait 2m > ~(Z) et soit a un OlOment de K tel que l'on ait Z(1 + y)=~b(ay) dos que l'Ol~ment y de K est de valuation au moins m. On a alors vK(a)=-(n(~b)+ l +~(Z)) e t a est unique mod* U(~(Z)/2 ). De mdme, soit b u n ~l~ment de K v&ifiant q(l + y)=tp(by) dos que l'on a vK(y)>o~(Z)/2. Si l'on a ~(~/)>0~(Z)/2, alors v(b) vaut - (n(~b)+l+~(~/ ) ) et b est unique mod* U(~(~l)-~(Z)/2 + 1); sinon, be s t n'importe quel ~l~ment de K de valuation au moins -(n(~b) + 0~(Z)/2 ). On a

(1.1.1) e((q- 1)Z, ~b)=q(a-1) �9 (gt/)- 1 (1 +b/a). ~b(b).

1.2. Les assertions concernant la valuat ion et l 'unicit6 de a ou b sont faci les/ t d6montrer et laiss6es au lecteur (cf. [1], w Prouvons l'6galit6 (1.1.1). La constante locale e(Z, ~b, dx) est la valeur de l 'int6grale

S ~-l(x)O(x)dx=Y ~ z-'(x)0(x)dx. K* ne2~ v ( x ) = n

Cette formule s 'obtient formellement ~t part ir de la formule de d~finition ([1] 3.3.1) (l '6quation fonctionnelle locale de Tate) en prenant pour f la fonct ion de Di rac en 1. On peut la prouver en prenant pour f la fonction caract&ist ique de U(n), n &ant assez grand. Rappe lons que si on calcule rint~grale en la brisant selon les classes lat&ales mod* U(m) et que rexposan t a ( D = ~ ( D + 1 est pair, un seul terme subsiste: e(~,lp, d x ) = j X-i(x)lp(x)clx; la fonct ion

a U ( m )

int~grer est d'ailleurs constante. Si a (D est impair, on a

~(z, O, dx)= j )~-~(x)O(x)dx, a U ( m - 1)

et la fonc t ion / t int6grer ne d6pend que de la classe de x mod* U(m).


Remptacer Z par Zq ne change pas le conducteur, et m6ne h remplacer a par a + b , de m6me valuation. Si a(z) est pair, on a donc:

d'ofi

. , e(tlZ, 6, dx) ( Z t l ) - l ( a + b ) ~ ( a + b ) ~((,1-1)Z, V,~= ~(~, g , ~ - Z- ' (a )0(a) '

((q - 1) Z, 0) = t/- 1 (a) (Z q)- 1 (1 + b/a) 0 (b).

Pour montrer que le m6me r6sultat subsiste si a(z) est impair, il suffit de v6rifier qu'en ce cas le rappor t

R (u) = (Zq)- l (( a + b) u) qJ((a + b) u)/z - a(au) r

est indSpendant de u variant dans U ( m - 1 ) . Or on a

R (u)/R(1) = ()~rl)-'(u) O ((a + b)(u - 1))/Z - ' ( u ) ~ (a(u - 1))

= t l - l ( u ) t~(b(u - 1)),

et, puisque a(z) est impair, l'in6galit6 2m>~(Z) entraine (m-1)>=~(Z)/2, et la ddfinition de b assure que R(u)/R(1) vaut 1. C.Q.F.D.

1.3. Corollaire. Conservons les hypotheses et notations de 1.1. (i) On a e ( ( q - 1)Z, ~ ) - - q ( a - 1) rood* (l)p/77p(1).

(ii) Si de plus on a 2~(t/)<~(Z), on a ~((~- 1)z, 0)=~(a-1) .

Puisque l 'on a a(1/) < a (Z), on a aussi v(b) > v(a) et 1 + b/a appar t i en t / t U (1). On prouve (i) en notant que ~b, et la restriction ~, U(1) d 'un quasi-caractSre quelconque de K*, prennent valeurs dans ff)p/Zp(1). La condition ~(r/)<~(Z)/2 permet de prendre b = 0 dans 1.t, ce qui prouve (ii).

1.4. Corollaire. Soient Z un quasi-caract~re sauvagement ramifi~ de K*, m l e plus petit entier tel que l'on ait 2m>~(Z), et a un ~l~ment de K* tel que l'on ait Z(1 + y)=t~(ay) si y E K est de valuation au moins m. Soit (qi)i~i une famille finie, d'au moins deux ~l(ments, de quasi-earactdres de K*, vOrifiant ~(qi)<~(Z). On choisit des ~l~ments b i de K tels que ~/i(1 + y)=~h(blY ) quand v(y)>=a(Z)/2. Pour chaque pattie J de I, on pose

~/(J)= H qJ, b ( J )= ~ bj, e ( J ) = ( - 1 ) IJI. j e J j ~ J

Alors on a

(1.4.1) e(Z H (1 - ~/,)) = (zq (i)) - l( 1-[ (1 + b(J)/a) ~(J)) i~l J c l

• l-[ (l +b(J)/a)~tJ)) �9 i e l J c l \ { i }

Remarque. DSs que I a au moins deux 516ments, la repr6sentation virtuelle Z1-](1-t / i) , de dimension 0, est de d6terminant trivial. C'est ce qui a permis

i e l


d'omettre ~ sous le signe e,. D'ailleurs, dans le membre de droite, outre )~ et les rh, seuls apparaissent les quotients b]a, eux aussi ind6pendants de 0.

1.5. D6montrons le corollaire 1.4. On a

l ~ ( 1 - r / i ) = ~, e,(J)r/(J)= ~ e(J ) ( r / ( J ) - l ) , iE l J c l J ~ l

d'ofl

e(7~ l-[ (1 - ~/i))= [ I e((r/(J)- 1)Z, ~h) ~(J). i E l d ~ l

Chaque facteur est justifiable de (1.1.1), et l'on peut choisir b(J) comme 616merit b attach6 ~ r/(J). Puisque ]-[ t/(J) ~lJ) vaut 1 et que ~, e(J)b(J) vaut O, on trouve

J ~ l J e t

r ~I (1 -- r/i))= 1~ (Zq(J))-l( 1 +b(J)/a) ~(J)" iE I J = l

On peut 6crire le membre de droite comme le produit de

Z -1 ( I-[ (1 + b (J)/a) ~(s))

et du produit sur i des quantitSs

r//- ~( ~I (1 + b(J)/a)~(J)), J c I

6gales ~t

t h ' ( [ [ (1 +b(J)/a)~(J)) �9 tl~( 1-I (1 +b(J)/a)~(J'). J c l J c l \ { i }

Cela prouve la formule (1.4.1).

1.6. Lemme. Soit I un ensemble fini non vide. Soit t = ( t l ) ~ une famille d'indktermin~es et 77 [[t]] l'anneau des s~ries formelles en les ti, d coefficients entiers. Pour chaque sous-ensemble J de I, on pose t ( J )= ~ tj et e ( J ) = ( - 1 ) IJI. Dans

j e J

77I[t]], le produit 1-[ (1 +t(J)) ~(JI est congru d 1 modulo [ I tv J c I i ~ l

Cette assertion r6sulte de ce que le produit consid6r6 devient identiquement 1 si on fait t~--O pour un indice i.

Remarque. Le lemme 1.l 1. pr6cisera le lemme 1.6.

1.7. Proposition. Soit Z un quasi-caraet~re sauvagement ramifik de K*. Soit (tl~)i~ une famille f inie de quasi-earaet~res de K*. On suppose que l'on a c~(t/i)<7(Z ) pour chaque indite i et ~ (~(Z)-~(t/i))>a(Z). Alors on a

i ~ l

e(X [ I (1 - t / i ) )= 1. i e l


L'hypoth6se assure que I a au moins deux 616ments. On peut alors appliquer le corollaire 1.4. Par le lemme 1.6. on a

I~ (1 +b(J)/a) ~(J)= - 1 mod* I-[ (bi/a). J c l ie l

Mais on peut choisir les bi de faqon que la valuation de b]a soit c~(Z)-~(~/i) (cf. 1.1.). Celle du produit des bi/a vaut alors au moins ~ ( z ) + l et Z~/(I) prend la valeur 1 sur 1-[ (1 +b)(J)/a) ~(s). De m6me, pour chaque indice i, on a

J c l

l-[ (1 +b(J)/a ~(s)= 1 mod* [ I (bja), J c I ' - . {i} j e l \ {i}

et la valuation de ce dernier produit vaut au moins ct(~h)+l. On a donc th( I-[ (1 +b(J)/a)~(s))= 1 et (1.4.1) permet de conclure.

J c l \ { i }

Rappelons la

1.8. D~finition. Soient G e t H deux groupes ab~liens, notes additivement. Une fonction f : G-+ H est dite de degr6 au plus n si pour toute famille (xl)i~ ~ de n + 1 ~l~ments de G, on a

(1.8.1) ~ ( - 1) l J I f (~ xj)=O. J c l jEJ

Nous dirons que f est homog6ne de degr6 n si f est de degr~ au plus n e t qu'en outre on a f ( k x ) = k " f ( x ) pour tout entier k.

Soit x~-~6(x) l 'application canonique de G dans l'alg6bre de groupe Z [G] . Notons f l ' homomorphisme de 7Z [G] dans H d6fini par f : f o 6 = f . La condi- t ion (1.8.1) s'6crit encore

(1.8.2) f ( H (1 - 6 (x,))) = o. i s l

Dans Z [G], on a

6 (u) (1 - 6 (x)) (1 - 6 (y)) = (1 - 6 (x))(1 - 6 (y)) - (1 - 6 (x))(1 - 6 (u))

- ( 1 - c5 ( y ) ) ( 1 - 6 (u ) ) + (1 - 6 ( x + y ) ) ( i - 6 (u ) ) ,

de sorte que (1.8.2) signifie aussi que f s 'annule sur la puissance (n+ 1) e de l'id6al d 'augmentat ion de 77[G]. En particulier, si f est de degr6 au plus n, elle est de degr6 au plus m quel que soit m sup6rieur/ t n.

1.9. Lemme. Soient G u n groupe ab~lien, H u n 7l[1/n !]-module, et f une fonction de G dans H, de degrd au plus n. On peut, de faqon unique, ddcomposer f e n

une somme ~ f~, off f~ est homogdne de degrO i. i = 0

I1 est facile de voir que f admet au plus une telle d6composition. En effet, le syst6me d'6quations lin6aires

~ k l f i ( x ) = f ( k x ) , k variant de 0 ~t n, i = 0

Varia t ion des constantes locales d 'equat ions functionelles des fonctions L 97

d6termine les fi(x), puisque le d6terminant de Vandermonde det(k i) est inversi- ble dans 7/[1/n !].

Prouvons l'existence de la d6composition, par r6currence su rn . Pour n=O, f est une fonction constante et f = f o est la d6composit ion cherch6e. Supposons n non nul, et soit

f (xa . . . . . x , )= f ( f l (a(x~)- , le ne polaris6 de f .

Cette fonction vaut 0 d6s qu'un des x~ s'annule, et est lin6aire en chaque x~; en effet, on a

f (x + y, x 2 . . . . , x,) - f (x, x2, ..., x , ) - f (y, x2, ..., x,)

= f ( [ ( c S ( x § 1) - (c~(x) - 1) - (cS(y)- 1)] f l (6(x , ) - 1)) i=2

n

- - f ( (6 ( x ) - 1)(6(y)- 1) H (6 (x , ) - 1))= 0. i=2

Posons f , ( x ) = l f ( x . . . . ,x). Cette fonction est homog6ne de degr6 n, de n e r

polarisde f ( x I . . . . . x,). La fonction f - f , est de degr6 au plus n - 1 , et on applique l 'hypothase de r6currence.

1.10. Pour ){ fix6, (1.7) montre que la fonction q ~ e ( q Z , r du groupe des quasi-caract6res de K*/U((1-1/n)c~()()) darts 117", et de degr6 <n. La proposi- t ion qui suit explicite une d6composit ion 1.9. lorsque n <p.

1.10. Proposition. Soient Z et ~I deux quasi-caractOres de K*. Soit n u n entier, 2 < n < p . On suppose que ){ est saugvagement ramifi~ et que tl v~rifie c~(q)< (1 -l/n) c~() O. Soient a et b deux OlOments de K tels que l'on ait z (Ey)=O(ay) pour v(y)>~(z)/n et ~l(Ey)=tp(by) pour v(y)>=c~(z)/n. On a

(1.10.1) e((r / - 1)Z , tp)=t/(a-1) - ~9 i ( i - 1) bi/ai-1 " i=2

Si t/ est non trivial sur U(c~(l.)/n ), on a ct(;Z)-c~(tl)=v(b/a). Sinon, on peut seulement conclure que l 'on a v (b )>-n( r d'o~ v(b/a)>(1-1/n)ct(X ). Dans tous les cas, l 'hypoth~se c~(~/)<(1- t/n)c~() 0, ou encore n(e(X)-e( r / ) )> a()0, entraine nv(b/a)>e()O; elle assure que Z e s t trivial sur U(v(b"/a")) et q, sur A(v(b"/a"-l)). Puisque n vaut au plus p, on a en particulier

(7• ) l + b / a - E L ( l + b / a ) = E ( - 1 ) ~ - l i - l b i / d mod* U(c~(X)+I)

d 'od p-1 )

()(t/)-1(1 + b/a)= t/., (a + b) ~ ( - 1)ibi/iai . i=1

98 P. De l igne et G. H e n n i a r t

On calcule ais6ment

p - I p - 1 ( a + b ) ~ ( - - 1) ibi / ia i = - b + E ( - 1)i((1/i) - 1 / ( i - 1))bi /a i -1

i = 1 i = 2

+ t ( _ l t p 1/(p_mt)bP/a~ 1

Comme le dernier terme, et tous ceux d'indice i>n, sont n6gligeables sous le signe ~b, la formule (1.10.1) r6sulte de (1.1.1).

1.11. La fin de ce n ~ ne servira plus dans la suite de l'article. Nous y donnons nne g6n6ralisation commune de 1.7 et 1.10.

1.11. Lemme. On conserve les notations du lemme 1.6. Pour chaque famille f inie

d'entiers naturels n-=(ni)i~i, on posera I n l = f ni, n ! = I ~ n i ! et tn=I-[t~ ', et on iEl i~l i~l

notera J(n) l'ensemble des indices i tels que n i soit non nul. On appelle N le cardinal de I.

(i) Dans Z[]-t~, l-[ (1 +t(J)) ~tJ) est somme de 1 - ( N - 1 ) ! V[ t i e t de termes de J c l iEl

degr~ (total) au moins N + 1. (ii) Dans Zr on a

(1.11.1) L ( H ( l+t (J) )~ ts ) )=~ ([nl-1)!- . ( - 1 ) u+l"l-1 �9 t" rood 1~ tP , J=l n ! i~l

la somme portant sur les familles d'entiers naturels n telles que n~ > 0 pour tout i et qu'au moins un des n i soit strictement inf&ieur fi p.

D6montrons ce lemme. I1 suffit de prouver (i) dans Ql[t]], off l'on a

log I~ ( l + t ( J ) ) ~lJ)=- ~, e(S) Z ( -1 ) " - i t ( J ) "~ n j = l J=l n > 0

= Z ( - 1 ) " -1n - I Z e ( J ) t ( J f n > 0 J=l

D6veloppons t(J)" selon la formule du multin6me. Alors le coefficient du mo- n6me t" (off Inl=n) darts ~ e(J)t(J)" vaut ~ e(J)n!/n!, nul si J(n) est distinct de I. jet J ( n ) c d c l

On a donc

Z e(J)t(J)" = ( - 1) u ~ tan !/n !, J=l

off la somme porte sur N-uples n v6rifiant In[ = n e t J (n )=I . On en tire

(1.11.2) log I ] ( l+ t (S ) ) ~tJ,= ~ ( - 1 ) u+lnl-1 (In[-1)! tn J=l J(n)=I n !

et cette expression est bien somme de - ( N - l ) ! H t~ et de termes de degr6s iel

sup6rieurs. Prenant l'exponentielle, on obtient (i), et une nouvelle d6monstration du lemme 1.6.


Pour dSmontrer (ii), on note tout d 'abord que les deux membres de (1.9.1) sont b ien / t coefficients dans 7Z(p); fi droite, on a en effet, pour chaque indice i,

(Inl-1)! /n!=(1/ni) . ((Inl - 1 ) !/[(n i - 1)! 1~ nj!])e(1/ni)Tl; j ~ l ". {i}

si on choisit i de sorte que n~ soit au plus p - 1, on obtient

(Inl- 1)!/n! e 7/(p).

I1 suffit d o n c / t nouveau de v6rifier la congruence dans Q~t]]. Grfice au lemme 1.6, on a, dans Q [[t]]

L( l-[ (1 + t(J)) ~(J)) -= log ( 1-[ (1 + t(J)) "(J)) rood l~ tf. J ~ l J c l i e l

On utilise alors (1.11.1). C.Q.F.D.

1.11. Proposition. Soit Z un quasi-caractOre sauvagement ramifiO de K*. On f i x e un dlOment a de K* tel que l'on air z (Ey)=q/ (ay ) dos que y 6 K vOrifie pv(y)>~(Z). On se donne une famille f inie (rli)i~1 de quasi-caractdres de K*, et une famille f inie (cti)i~ l de nombres rods. On suppose que pour chaque indice i, on a

j e I \ {,}

et

~ ( ~ i ) < c ~ i .

On f i x e des Ol~ments b i de K tels que l'on air r l i (EY)=~(biY ) d~s que l'on a p v ( y ) > ~ . Avec les notations du lemme 1.11, on a alors

iel n [ '

la somme portant sur les families n = (ni)~ ~ telles que chaque n~ soit > 0 eat qu'au moins deux des ni soient strictement inf~rieurs fi p.

Remarque. Cette proposi t ion permet de donner une autre d6monstrat ion de la proposi t ion 1.7. Sous les hypoth6ses de 1.7 et avec les m6mes notations, on peut poser ai=c~(rh) et appliquer (1.11.1). Les termes de la somme de droite sont de valuation au moins celle de a~I(bi/a ). Les b i vdrifiant v(bi/a)> =

i~1

e(X)-c~(r/i), X est trivial sur U(v(~I(bi/a)) ) , d o n c 0 l'est sur A(v(a.lq(bi/a)) ). i E l iE l

Le membre de droite de (1.11.1) est donc trivial.

1.12. D~montrons la proposi t ion 1.11. Les hypotheses entrainent qu'il y a au moins deux caract6res qi. On a v(bi/a)>c~(Z)-a i, et d'apr6s le lemme 1.6

[ ] (1 +b(J)/a)'('t)~ U ( ~ (a(Z)-c~i)) J c l i ~ l

1~ (1 +b(J)/a)~(J) ~ U( ~ (c~(Z)--c~/)). J c l \ { i } j E l \ { i }


Pour toute part ie I o de I, posons

T(Io)=L( l-I (1 +b(J)/a) "(J). J = I o

Par hypoth6se, on a

P ~ (~(X)- ~i)> ~(Z) iEI

et p E (~(x)-~)>~i;

j e I \ {i}

on peut donc 6crire la formule (1.4.1) sous la forme

e()~ l-[ (1 - r h ) ) = O ( - ( a + E b,) T(I)+ E b,T(I\{i})). i~l i e l i~l

C o m m e on a p ~ (~(X)-~)>c~i , on peut, sous le signe ~, n6gliger pour cha- j e l ".. {i}

que i les multiples de

b, 1-I (b/a) p, jeI ' - .{ i}

i.e. n6gliger les multiples des mon6mes b"/a I'1-1 lorsque J ( n ) = l et qu 'au plus un des n i v6rifie hi< p.

On peut donc utiliser la congruence (1.9.t) pour remplacer T(I), sous le signe ~,, par

T = S ( - 1) N-I"1-1 (In] - 1)! b,,/aln[ ' n!

o6 la somme porte sur les n tels que J ( n ) = I , et qu 'au moins deux des nj soient s t r ic tement inf6rieurs ~ p.

De m~me, on peut remplacer T(l\{i}) par

S i= S ( _ 1)N_I=I (Inl~ 1)~ bn/alnl

o6 la somme porte sur tes n tels que J(n)=I\{ i} , et qu 'au moins deux des nj soient s t r ic tement inf6rieurs ~ p.

Regroupan t T et Si, et changeant nl en n~+ 1, on volt qu 'on peut remplacer bi(T+ Si) par

([nl - 2)! bn/aln I _ 1 S(--1)N-Inl-Xnl n[

off la somme por te sur les n tels que J ( n ) = I , et que deux au moins des n~ v6rifient nj<p.

Regroupan t enfin avec le terme a T, on a remplac6 l 'expression sous le signe q, par

r ( - 1) N-f"r ( i n ] - 2)! (b,,/al. I_~ 1 - ~ n,) n! ) ( I n l - i~x

off l 'on s o m m e sur les m6mes n. C o m m e on a In[ = ~ nl, (1.11.1) en r6sulte. i e l


2. Une variante du th6or6me de Brauer

2.1. Soit G un groupe fini. Nous noterons R(G) le groupe de Grothendieck de la cat~gorie des repr6sentations de G. Si H est un sous-groupe de G, la restriction b, H d'une repr6sentation de G, et l ' induction/t G d'une repr6sentation de H fournissent des homomorphismes

Res t : R ( G ) ~ R(H) et

Ind , : R ( H ) ~ R(G).

Si H est distingu6 dans G, Faction de G sur H par automorphismes intOrieurs fournit une action de G sur l 'ensemble /4 des classes d ' isomorphisme de reprOsentations irrdductibles de H. Si z e s t une telle classe, nous noterons Z(z) le fixateur de z pour cette action; c'est un sous-groupe de G conteriant H. Pour chaque repr6sentation V de G, la composante z-isotypique V~ de V e s t stable par Z(z). Le foncteur V~V~ fournit un homomorphisme v--~v~ de R(G) dans R(Z(r)), et on v6rifie que l'on a

(2.1.1) v= ~ IndzOt~(v~). z ~ H / G

2.2. Proposition. (i) Soient G u n groupe fini, A un sous-groupe ab~lien distingu~ de G, et V une representation de G. I1 existe des sous-groupes H i de G, contenant A, des earact~res Zi des H i e t des entiers n i tels que, dans R(G), on ait

V = Zn i IndG (Zi).

(ii) Si l'espace V A des points de V f i xes par A est trivial, on peut choisir la d~composition de sorte que Zi soit non trivial sur A.

Supposons d 'abord A central dans G. On peut supposer V irr6ductible, auquel cas A agit sur V par un caract6re ~. Le th6or~me de Brauer assure l'existence de d6compositions

(1) V = Z n i I n d g (Zi), nieTZ.

Ecrivons que l'on a V= V~:

E I G H z A V = 22 ni(Ind ~ A Indnn', A Z~)~ = X n i ndn, A ((Indn, Zi)~).

La e-composante isotypique de Ind~'Ax~ est triviale si Z~ est distinct de ~ sur Hic~A, et est l 'unique caract6re de H i A prolongeant Z~ et e, s'ils coincident sur Hic~A. Ceci nous donne une d6composition (1), off les H i contienent A et les Xi prolongent e. On a donc (i) et (ii).

Darts le cas g6n6ral, 6crivons la formule (2.1.1)

V= ~ lndzG~)V~.

Sous l'hypoth6se (ii), on peut omettre le caract6re e = 0 de la somme, l'espace V~ correspondant Otant nul. Sur V~, A agit selon e. La repr6sentation de Z(e) sur V~


se factorise par Z(e)/Ker(e), et darts ce groupe A/Ker(e) est central; ceci nous ram6ne au cas central, d6j/l trait6.

2.3. Variante. Soit Gun groupe, extension de 77 par un groupe fini G(O). Soient A un sous-groupe abklien distinguk de G, contenu dans G(O), et V une reprOsentation de G. 11 existe des sous-groupes d'indice fini Hg de G (en nombre fini), contenant A, des caractkres Zi des H i et des entiers n i tels que, dans R(G), on ait V =ZniInd~,(Zi). Si V a est nul, on peut choisir la dOcomposition de fafon que Zi soit non trivial sur A.

On peut supposer V irr6ductible. On v6rifie facilement (cf. [1] 4.10) que toute repr6sentation irr6ductible de G est le produit tensoriel d 'une repr6sentation qui se factorise par un quotient fini G de G, par une repr6sentation de dimension 1 triviale sur G(0). I1 suffit d 'appliquer 2.2/t G.

3. N o r m e s et traces

3.1. Pour chaque extension finie s6parable L de K, notons F L le groupe L*/6~; la valuation v L l'identifie /t 7/. Soit T L la demi-droite des 616merit positifs ou nuls de FL| la valuation v L l 'identifie/t N +.

Rappelons la m6thode signalde par Serre ([2], IV w Rem. 3 p. 83) pour indexer les groupes de ramification: les fonctions q) et ~ de Herbrand engen- drent un syst6me transitif d ' isomorphismes entre les T L. Appelons T la limite

projective des TL, et notons encore VL l ' isomorphisme compos t T---, T L vL ~ N+.

Si L e s t une extension finie s6parable de K, et M une extension galoisienne de L, les groupes de ramification de Ga l (M/L) sont naturellement index6s par T; on note Gal (M/L)[t] le groupe d'indice t. Cette indexation est compatible aux passages aux sous-groupes et aux groupes quotients. On retrouve la num6rota t ion sup6rieure en identifiant T / t N + par v L. Si M est une extension finie de L, on retrouve la num6rota t ion inf6rieure en identifiant T & N + par vM; on passe alors de la num6rota t ion sup6rieure & la num6rotat ion inf6rieure par la fonction de Herbrand OM/L=VM ~ Cette fonction est un hom6omorph i sme de N + sur lui-mame, lin6aire par morceaux et convexe; sa d6riv6e ~t gauche en vL(t), Off t appart ient /t T, est l 'indice de Gal(M/L)[t] dans Gal (M/L) [0].

Quelles que soient les extensions s6parables finies L e t M de K, nous poserons OM.L = VMo V[a. Si M est une extension de L, nous poserons OM/L:=OM, L.

3.2. Proposition. Soient L une extension finie sOparable de K, M une extension finie sdparable de L.

(i) La fonction ~M/L est convexe.

(ii) Si l'extension M / L est rnodOrOe (i.e. si e(M/L) est nul cf 0.6), OM/L est lindaire. Sinon, le dernier saut de la dOrivOe de OM/L se produit en e(M/L).

(iii) Soit t e n +. Si t>ct(M/L), la pente de t~M/L en t e s t l'indice de ramification e de M/L. Si t<e(M/L) , c'est un entier de la forme e/p k, k>=l. En consequence, on a

t~M/L(C~ (M/L)) < (e/p) c~ (M/L).


Soit N une extension galoisienne finie de L contenant M ; posons G = Gal (N/L) et H = Gal (N/M). Par d6finition, on a ~N/L = ~N/M o #JM/L, de sorte que la d6riv6e h gauche de ~PM/L en VL(t ) est

[c [o3 : ~ I t ] ] [G [o3 :H [o33 (3.2.1) ~9M/L(VL(t))= [H [0] : H [ t ] ] = [O I t ] : H [ t ] ] '

C o m m e on a H[t]=G[t]r~H, l'indice au d6nominateur vaut encore [G : G It] HI . La d6riv6e de ~PM/L croit donc avec t, et #JM/L est convexe, d'ofi (i). L'indice (3.2.1) est constant, de valeur e = [G[0] : H I 0 ] ] , d6s que G I t ] est inclus dans H. Comme G It] est distingu6 dans G, cela signifie que G[t ] agit trivialement dans la repr6sentation de permutat ion de G sur G/H. Mais cette derni6re est 6quivalente b, la repr6sentation de G sur HomL(M,N) . On en d6duit que H contient G[t] si et seulement si on a VL(t)>~(M/L) cf. 0.6; cela prouve (ii) et la premi6re assertion de (iii). Enfin, puisque G[ t ] est un p-groupe pour t non nul, l'indice [ G [ t ] : H i t ] ] est une puissance de p, non triviale si t<c~(M/L), ce qui prouve les autres assertions de (iii).

3.3. Soit L une extension finie s6parable de K. On sait que la norme NL/K: L*--*K* s'identifie fl l 'application de W(K/L) ab dans W(I~/K) ab d6duite de l ' inclusion de w(i~/L) dans W(I(/K) ([2], XI w La num6rota t ion sup6rieure W(K/L) ab correspond & la filtration de L* par tes sous-groupes Ut.(t) ([2], XV w 2). On a donc, pour tout r6el t positif ou nul,

NL/K( UL ( ~ L/K(t)) ) = UK(t ) r~ NLm(L* ).

En particulier, si Z est un quasi-caract6re de K*, on a

(3.3.1) c~(Zo NL/K) <= 0Lm(C~(Z)).

L'6galit6 vaut dans cette formule si on a ~(Z)>C~(L/K), puisqu'alors W(K/L) contient W(c~(Z)).

Soient d(L/K) la valuation de l'idOal diffOrente de L sur K et 0L~K la fonction affine de lit dans ~ , de pente e, et prenant la valeur - d ( L / K ) - 1 en - 1 . La diffOrente inverse 6tant le plus grand idOal fractionnaire de L que la trace envoie dans CK, cette fonction joue pour la trace le rOle que OL/K joue pour la norme: pour tout rOel t, on a

TrL/K (A L (0N K (t))) = A K (t).

De la formule N(1 + x ) = 1 + T r ( x ) + R , off R e s t un reste de valuation VK(R ) au moins 2VL(X)/e (Ocrire la norme comme un produit de conjuguOs), on dOduit alors que 0L~K est la fonction linOaire qui coincide avec ~bL/K pour les grandes valeurs de t, donc pour t valant au moins ~(L/K). On a donc, en particulier,

(3.3.2) ~bL/r(ct(L/K)) + d(L/K) + 1 = e(e (L/K) + 1).

3.4. Nous dirons que t ~ T esr grand, rel. M/L, si VL(t)>c~(M/L), i.e., avec les notat ions de 3.2, si t > 0 et G[t] cH. I1 est commode de transporter cette


terminologie fi T L e t / t T M. En particulier, regardant la valuation de (9 M comme &ant /t valeurs dans T M, on dira que y e M * est de grande valuation, rel. M/L, si vM(y ) > tpM/L(a(M/L)).

Dans le cas particulier d'une extension mod6rhe, t e s t grand d6s que t >0, et OM/L relie la valuation de x e C a ~ celle de son image dans (9 M.

Nous nous proposons de comparer NL/K(1 +y) fi 1 +TrL/K(y ) pour y dans L, de grande valuation rel. L/K. Par exemple, pour tout entier n > c~(L/K), on peut d'apr4s 3.3 considhrer le diagramme suivant, o6 les fl6ches N et T sont dhduites de NL/r et TrEK respectivement, et les flhches verticales ddduites de y~--*l + y :

(3.4.1)

AL(~L/K(n))/AL(OL/K(n ) + 1) r , A~(n)/AK(n + 1)

1 1 UL(OL/K(n))/UL(OL/K(n)+ 1) N , UK(n)/U~(n + 1)

Nous verrons que ce diagramme est commutatif. Le raisonnement de 3.3 (resp. la proposition 3.5 ci-dessous) le montre lorsque Oc/K(n)>(e/2)n (resp. OL/K(n)>(e/p)n, ce qui, par le cas (iii) de la proposition 3.2, implique n > ~ (L/K)).

On obtient des r6sultats plus pr6cis en remplaqant la fonction y ~ 1 + y par la fonction E. S'il le d6sire, le lecteur pourra repasser au premier point de rue en posant 1 + y = E y . Ez, off zes t de valuation au moins 2v(y).

La proposition suivante, de d6monstration tr6s simple, sera pr6cis6e par 3.8, prouv6 par d6vissage et r6duction au cas d'une extension cyclique de degr6 p. Cette am61ioration de 3.5 ne nous servira que dans les preuves de 4.2 (via la commutativit6 du diagramme 3.4.1) et 4.15.3.

3.5. Proposition. Soit y un ~l~ment de l'id~al maximal de (YL. On a

NL/~(E y ) - E( Tr Lm y) mod* UK((p/e ) VL (Y)).

Plongeant L dans une extension galoisienne M de K, on peut 6crire la norme (resp, la trace) d'un 616ment x de L comme produit (resp. somme) de conjugu6s x ~ de cet 616ment. On trouve alors que NL/r(Ey)= H E S est congru E(TrLmy ) modulo des 616ments de M de valuation au moins celle de yP. La proposition en r6sulte aussit6t.

3.6. Proposition. Soit Z un quasi-caract&e sauvagement ramifi~ de K*, v&ifiant OL/K(a(Z))>(e/p)c~O0. Soient a un OlOment de K tel que l'on ait )~(Ey) = O(ay) pour y dans K de valuation plus grande que e(Z)/P, eta' un OlOment de L tel que l'on ait Z o NLm(Ey)=t~o TrL/K(a' y ) pour y darts L de valuation plus grande que ~(ZO NL/r)/p. AIors on a

a - a ' m od* U L (OL/K (~ (Z))- (e/p) ~ 00).

Notons d 'abord que l'hypoth6se implique aO0>a(L/K) et a(ZONL/K) =0L/K(a(Z)). Prenons un 616ment y de L, de valuation VL(y)>ea(x)/p. La proposition 3.5 donne alors

Z ~ NLm(EY) = x(E(TrL/K Y))"

V a r i a t i o n des cons t an t e s locales d ' e q u a t i o n s funct ionel les des fonc t ions L 105

Mais, d'apr6s 3.3, on a ~(Z o NL/K) = O L/K(O~(Z)) <= ea(z), d'ofi vL (y ) > o~(Z o NLir)/p et z ~ ) = ~ o TrLiK(a'y). De 3.3 on ddduit aussi que l 'on a OUK(vK(TrLI K y)) > vL(y), c'est-A-dire

d'ofl

et

~LIK (~ (Z)) + e(vK(TrLK Y)-- ~(Z)) > vL(Y)

VK(TrL/K y) > a (Z)/p + (1/e)(e ~(Z)-- OLm(a(7))),

vK( Tr Lm y) > ot(Z)/p.

On en tire l'6galit6 z (E(TrL/Ky) )=O(aTrL/Ky) . Pour tout 616ment y de K v6rifiant VL(y)>e~(z)/p, on a donc

ce qui implique o T r u K ( ( a ' - - a ) y ) = 1,

, > v r (a - a) = - n (tp o TrLm ) - (e ~ (Z)/P) -- 1.

C o m m e a' est de valuation - - n (OoT rL / K) - -~ L m( ~( Z ) ) - - I , on a bien a - a' mod* UL(~kL/K(~ (X))-- (e/p) c~O~)).

3.7. La proposi t ion 3.6 nous servira sous la forme suivante.

3.7. Corollaire. Soient Z un quas i -caract&e sauvagement ramifiO de K * et tl un quasi-caractOre de IY. On suppose que, posant u=sup(~( t l ) , tpLm(~(L/K)) , on air OK,L(U)<(1- 1/p)~(Z). On dO.finit a e t a ' comme en 3.6, et on a alors:

puis

d'ofl

q(a)=q(a ' ) .

L'hypoth6se faite sur u nous donne d 'abord

a(Z) > OK, L(u) > ~ (L /K) ,

=(z) + (u- 4'z/K(=(z)))/e < (1 - O/p)) =(z),"

u<~gzm(CqZ) ) - e~ ( z ) /p , et on applique 3.6.

3.8. Le graphique suivant visualise la proposi t ion ci-dessous, et sa relation avec 3.5. Dans le graphique, T L et T K sont represent6s ~ des 6chelles diff6rentes (unit6s e et 1).

(3.8.1)

TL

v(y)

v., (c~(L/K)) L/K

(~<J(z (L/K)) P

J

/ ~ = ~ J/Erreur R / (pentee)lJ j (pente e/p)

�9 __~ . . ~

/ I / / I

(Z(L/K) T K


3.8. Proposition. Soit t u n Ol~ment de T, grand rel. L/K. Soit y un Ol~ment de AL(VL(t)). On a TrL/KY~AK(VK(t)) et

NL/K(E y ) - E( Tr L/K y) rood* UI((Ct(L/ K) + p(v~(t)- c~(L/ K))).

Notons RL. K la fonction lin6aire de pente e/p, dOfinie pour t>=~(L/K) et co- incidant avec ~L/r en ~(L/K); notons RK, L la fonction inverse. L'assertion de 3.8 signifie que si la valuation de y est grande rel. L/K, on a

NL/K(E Y ) = E(TrL/K y) mod* UK(Rr.L(VL(Y)).

3.9. Supposons d ' abord que l 'extension L/K soit cyclique de degr6 p, totalement ramifiOe. En ce cas, 6tudi6 en [2], Vw ~L/K est de pente 1 pour t<~(L/K), de pente p pour t>~(L/K), et l 'on a RL, K(t)=t. C o m m e en 3.5, l 'on trouve NL/r(Ey)--(TrL/Ky )mod* UL(PVL(Y)) c~K*. C o m m e UL(PVL(Y))~K* n'est autre que UK(VL(Y)), l 'assertion de 3.8 est donc vraie.

Supposons la proposi t ion 3.8 vraie pour deux extensions M/L et L/K, et prouvons-la pour l 'extension M/K. Puisque i 'on a ~'Mm= OM/L ~ OL//~ et que les fonctions ~ sont convexes, v~(t) est un point de discontinuit6 de ~O~u/L si et seulement si c'en est un pour OL/K, ou que VL(t ) en est un pour tpM/L. En particulier, t est grand rel. M / K si et seulement s'il l'est tel. M/L et tel. L/K. En ce cas, s i y est un 616ment de AM(vM(t)), on a

NM/r(E y ) = NL/K NM/L (E y ) = NLm(E( Tr Mm y)) =- E( Tr Lm ( Tr M/Ly)) d 'o6

NM/K(E y ) =-- E ( TrMm Y),

les congruences 6tant prises mod* UK(RK, L(VK(t))).NL/K(UL(RL, M(vM(t)) ). II s'agit donc de prouver les in6galit6s

~K. LORL, M~RK, M et RK, LO~tL, M~RK, M

en vM(t), pour t g rand rel. M/K. Dans ce domaine, ces fonctions sont lin6aires de m6me pente, et il suffit de v6rifier les in6galit6s en vM(t), quand vK(t ) vaut a(M/K). En ce point, on a RK,M=~K,M=~K,LO~'L,M, et RL, M ~ L , M ainsi que RK,L~K/L , d'ol~l l 'assertion de 3.8 pour M/K.

3.11. Gr impan t le long d 'une tour, on d6duit de ce qui pr6c6de que la proposi- t ion 3.8 est vraie pour toute extension L/K qui se plonge dans une extension galoisienne E/K, totalement ramifi6e et de groupe de Galois un p-groupe. En effet, pour tout sous-groupe H d 'un p-groupe G, il existe une suite de sous- groupes H = H o c H ~ c . . . c H . = G , off H i est distingu6 dans H~+t, et off les quotients H~+~/H~ sont d 'ordre p.

Passons au cas g6n6ral. Soient t o et t deux 616ments de T tels que l 'on ait vK(to)=a(L/K ) et t > t o. Prenons y dans L*, de valuation vL(t ). I1 s'agit de prouver la congruence

NLm(E y ) - E( Tr Lm y) mod* UK(vK(to) + p(vK(t ) -- V K (to))).


Soit K ' une extension mod6r6ment ramifi6e de K. D6composons K ' | en produi t des corps L i. No tan t Yl l ' image dans Li de l'616ment y de K, on a

Nt.m(E Y) = [ I NL,m'(E Yi)" i

Les extensions Li/L sont moder6es. Les fonctions 0L,/L et 0K'/K sont donc lin6aires. Puisque 0L,,/~, n'est autre que 0L,,LO 0L,~o 0K, K,, on a vK,(to)=~(Li/K'). Supposons la proposi t ion vraie pour les extensions Li/K'. Chaque y~ 6tant de valuat ion vL,(t), on a alors

NL, m, (E Yi) ==- E ( Tra,/K, y) mod* U K, (v K, (to) + p (v K, (t) - v K, (to))). et

E( TrL,/K, y) =-- E ( ~ TrL,/K, y) = E( TrL/K y) mod* Ur,(pvK,(t)). i i

Les deux membres de cette derniare congruence ~tant dans K, on a

NL/K(E y) =- E ( Tr Lm y) rood* U~(vK (to) + p(VK(t)-- vK(t0))).

Mais, c o m m e on sait, on peut choisir K ' de faqon que les extensions Li/K' v6rifient la condit ion de 3.11. La proposi t ion 3.8 est vraie pour les L j K ' donc pour L/K.

3.12. Corollaire. (i) Pour tout entier n>~(L /K) , le diagramme (3.4.1) est commutatif

(ii) Soit Z un quasi-caractdre sauvagement ramifiO de K*, vdrifiant c~(Z)>7(L/K ). D~finissons to~ T par l'Ogalit~ VK(to)=c~(L/K ) et t e T par vK(t ) =~(Z)- Soient a un ~lOment de K tel que l'on ait z ( E y ) = O ( a y ) pour y e K

1 a' vdrifiant vK(y)--vK(to)>~(vr(t)--vK(to) ) et un Olkment de L tel que l'on ait

F 1

zoNL/K(Ey)= O o TrL/K(a' y ) pour y ~ L vdrifiant VL(y)--vL(tO)>p(VL(t)--vL(to)).

Ces conditions dOterminent a m o d * U K 1 - ~ (vK(t)--VK(to)) ,

(( t a' mod* U L 1 - p (VL(t)--vL(to)) , et l 'on a

a = a ' m o d * U L ( ( 1 - - ~ ) ( v L ( t ) - - V L ( t o ) ) ) .

La part ie (i) est imm6diate, si on remarque que l 'on a

(L/K) + p (n - ~ (L/K)) > n.

1 Pour prouver (ii) prenons un 616ment y de L v6rifiant VL(Y)--VL(tO)>~(VL(t )

--VL(tO)); on a donc RK, L(VL(y))>vK(t)=c~O0 et, par cons6quent z oNL/~(Ey) =z(E(TrL/Ky)). On a aussi

VK( TrL/KY) >= OK, L (vL(Y)) > VK (to) + 1 (Vr(t) _ vr(to))" P


On en d6duit l'6galit6 zoNL/K(Ey)=Oo TrLm(ay), c'est-/i-dire que a v6rifie la propri6t6 caract6ristique de a'.

4. Le cas g6n6ral

4.1. Soit V une repr6sentat ion virtuelle de W, et soit 7 un 616ment de K* de valuat ion a (V) + dim V- n (0).

Si t /es t un quasi-caractare non ramifi6 de K*, on a

(4.1.1) e(q | V, 0, dx) = e(V, tp, dx). q(7).

Plus g6n6ralement, si W e s t une repr6sentat ion virtuelle de W, non ramifi6e et de dimension 0, on a (cf. [1] 5.5.3)

(4.1.2) e(W| V, ~ ) = det W(y).

Les r6sultats annonc6s dans l ' in t roduct ion sur le calcul de e(W| quand W est de dimension 0 et moins ramifi6 que V, g6n6ralisent cette formule (4.1.2) et, c o m m e le lecteur le v6rifiera ais6ment, s'y r6duisent si l 'espace v e d e s points fixes par P des points fixes par P est non trivial, ce qui, avec les notations de l ' introduction, impose t = 0 . Pour prouver ces gdn6ralisations, nous supposerons donc d6sormais que l 'espace V e est trivial, i.e. que la repr6sentat ion V n 'a pas de const i tuant moddr6.

Le sch6ma de d6monstra t ion de ces r6sultats est le suivant. On suppose d ' abord V de dimension 1. Si W e s t de la forme q - l , o~ r/ est un quasi- caract6re de K*, le r6sultat a 6t6 vu au chapitre 1. Le th6or6me de Brauer en dimension 0 et les propri6t6s d ' induction des facteurs e permet tent d'en d6duire le cas off W e s t quelconque. On ramane enfin le cas g6n6ral au cas off V e s t de dimension I en appl iquant "/i V l a var iante du th6orame de Brauer donn6e dans le chapitre 2.

4.2. Th6or~me. Soit V une representation virtuelle de W, sans constituant modOr~.

(i) Il existe un OlOment y de K*, d~fini de far unique rood* U(1), tel que pour toute reprOsentation virtuelle W de W, de dimension 0 et vOrifiant f l (W)<~(V) (cf. 0.6), on ait

(4.2.1) e ( W | V, ~ , ) - d e t W(7)mod* Qp/7lp(1).

(ii) La valuation vr(7) est donn~e par la formule

(4.2.2) vK (7) -- a (V) + dim V. n (~,).

(iii) E unicitO de 7 (resp. la formule (4.2.2)) vaut d~jd si ron suppose seulement que l'Ogalit~ (4.2.1) est vraie quand W e s t de la forme ~1-1, off r/ est un quasi- caractOre mod~r~ment ramifiO (resp. non ramifiO) de K*.

Prouvons d ' abord les assert ions d'unicit6. Soit 7o un 616ment de K de valuat ion a (V)+ dim V. n(~9), et supposons l'6galit6 (4.2.1) vraie pour W = q - 1, off


r/ est un quelconque quasi-caract6re non ramifi6 de K*. Si 7~/o ~ 6tait de valuation non nulle, on pourrai t choisir q de sorte que q(77o a) ne soit pas une racine de l 'unit6 d 'ordre une puissance de p, et (4.1.2) contredirai t (4.2.1). On a doric bien vK(7)= vK(y0), d'ofi (4.2.2).

Supposons ensuite l'6galit6 (4.2.1) vraie pour W = r / 1, off q est un quelconque quasi-caract6re moddr6ment ramifi6 de K*. Cette 6galit6 d6termine alors la valeur p(77o ~) pour tout caract6re p de U(O)/U(1), puisque ce groupe est d 'ordre premier ~ p. Elle d6termine donc 7 rood* U(1).

4.3. Lemme. Gardons les hypothdses et notations de 4.2, et supposons en outre V de dimension 1, correspondant au quasi-caractOre (sauvagement ramifiO) Z de K*. Soit a l'61Oment de K*, uniquement ddfini rood* U(1), tel que ron ait Z ( I + y ) = O ( a y ) pour y e K vdrifiant vK(y)> oc(Z ). Alors 7 = a -1 v~rifie la formule (4.2.1).

Par hypoth6se, les consti tutants de W sont triviaux sur W(~(i~)). D 'apr6s la variante ([1], 1.5) du th6or6me de Brauer en dimension 0, W s'6crit comme combinaison lin6aire de repr6sentations de la forme IndW(X - I), off H est un sous-groupe de W contenant W(c(0j), et X un quasi-caract6re de H trivial sur W(e(Z) ). Les deux membres de (4.2.1) sont multiplicatifs en W; on peut donc supposer W lui-mame de cette forme W-- IndW(X - 1). Soient L l 'extension finie de K fixde par H et r/ le quasi-caract~re de L* cor respondant ~ X. L 'hypoth6se que X soit trivial sur W(e((Z)) se t raduit par les in6galit6s

(*) ~(L/K)<~(X) et ~(q)<0gm(~(~)).

4.4. On a W | et V m s'identifie au quasi-caract6re X o Nc/K de L*. La compatibil i t6 des facteurs ~ ~t l ' induction, en dimension 0, nous fournit alors l'6galit6

~ ( W | V, ~ ) = e ( ( q - 1) Z O NLm , r o Trgm ).

Uhypoth6se ~(L/K)<cc(Z ) assure que l 'on a C((ZONL/K)=t~L/K(~(Z)) et que, pour y ~ L de valuat ion ~L/~:(Cr on a (cf. 3.12, (i))

NL/K(Ey ) = E(Trgmy ) mod* U(ct(Z ) + 1) d'oO

Z ~ NLm(EY) = z(E(TrLmy) = t~(aTrmm(Y))= L k ~ TrLm(ay).

L'hypoth6se c~(r/)<OLm(c(O0)= c(O(o NL/K) permet d 'appl iquer le corollaire 1.3(i); on en d6duit l'6galit6

e((q - 1) Z ~ Nmm, 0" Trgm) =- rl (a -1) m o d ~p/Zp(1).

Pour toute repr6sentat ion virtuelle R de W(K/L) , de dimension 0, on a

det IndWw(mL)R = det RIK •

(cf. [2], XI w et [1] 1.2, qui reprodui t un r6sultat de P.X. Gallagher. De te rminan t of representat ions of finite groups, Abh. Math. Sem. Un.


H a m b u r g , 28 3, 4 okt. 65). Ici, on t rouve que l 'on a det W = t / I K * et l'6galit6

e (W | V, ~9)==_ rl(a - 1) mod* ~p /Zp( l ) prouve 4.3.

4.5. Prouvons main tenant 4.2 dans le cas g6n6ral. On peut supposer V irr6ductible.

Soit G le quotient de W par le sous-groupe de I qui agit t r ivialement sur V. Le groupe G(~(V)) est le dernier groupe de ramificat ion non nul de G; il est donc ab61ien, et distingu6 dans G. I1 agit sur V sans vecteur fixe non nul (sinon, l 'espace des vecteurs fixes, stable sous W serait non trivial, et la repr6sentat ion V serait r6ductible). Appl iquan t la var iante 2.3, on voit que V e s t une combinaison lin6aire Zn i Ind , , Zi off le sous-groupe H i de G contient G(~(V)) et off le caract6re Zi de H i e s t non trivial sur G(~(V)). A H i correspond une extension L i de K, et fl Zi un quasi-caract6re de L*, encore not6 Zi. Soit W~ la restriction de W fl W(K/L) . On a f l(Wi)<~L,/r(fl(W)) et ~(~I)=~L,/K(~(V)), donc aussi fl(Wi)<~(Zi). Si a i est un +l+ment de L* tel que l 'on ait Zi(1 + y ) = $ o TrL,/K(aiy ) pour y ~ L i v6rifiant VL~(y ) > ~(Zi), on a

e ( W | V, ~9)=H e(W/| V/, qJ o TrL,m)"'

- - / / d e t W~(aVl) "' par 4.3.

- - / / d e t W(NL,/K(al) "9

L'616ment ~=FINL,m(ai)-" v6rifie (4.21). C.Q.F.D.

4.6. Th6or6me. Soit V une repr6sentation virtuelle de W, sans constituant mod6rd. II existe un 616ment 7 de K*, dOfini de fagon unique mod* U(a(V)/2), tel que pour toute representation virtuelle W de W, de dimension 0 et v6rifiant f l (W)<a(V) /2 , on ait

(4.6.1) E (W| V, $ ) = det W(7).

Cet 616ment ~ est congru h celui de (4.2.1) mod* U(1). La d6monst ra t ion de ce th6orSme est parall61e/t la pr6c6dente. L'unicit6 de

est claire, elle vaut d6jfl lorsqu 'on se res t re in t / t prendre W de la forme q - 1 off r /es t un quasi-caractSre quelconque de K*, trivial sur U(~(V)/2). La compa- tibilit6 avec (4.2.1) rSsulte de 4.2(iii).

4.7. Lemme. Gardons les hypothd.ses et notations du th6orOme 4.6, et supposons en outre V de dimension 1, correspondant au quasi-caractOre Z de K*. Soit a un 6iOment de K*, d6fini de fagon unique mod* U(a(Z)/2), tel que l'on ait z(Ey) = $ ( a y ) pour y~ K v6rifiant v(y)>o~(Z)/2. Alors ~=a -1 v6rifie (4.6.1).

Si l 'on a f l (W)<a(Z)/2, on a aussi ~(det W)<~(Z) /2 , et la validit6 de (4.6.1) ne d6pend pas du choix de a. On simplifiera les r6f6rences en prenant a tel que l 'on ait x(Ey) = $(ay) pour y 6 K vSrifiant v(y) > a(X)/P.

De la m~me maniSre qu 'en 4.4, on se ramSne fl supposer W de la forme IndW(X - 1), off le sous-groupe H de W correspond fl une extension L de K, et

V a r i a t i o n des cons t an t e s locales d ' e q u a t i o n s funct ionel les des fonc t ions L 111

le quasi -caract&e X de H ~ u n quasi -caract&e r /de L*, v6rifiant:

(*) c~(L/K)<e(Z)/2 et ~(tI)<~OL/K(C~(Z)/2).

La premi6re in6galit6 assure que l 'on a c~(ZONL/K)=tpLm(c~(Z)) et la convexit6 de OL/K nOUS donne OL/K(e(X)/2)<OL/K(C~(Z))/2. On peut doric appliquer le corollaire 1.3(ii) /t ZONL/K et r/; si a ' est un 616ment de L* tel que l 'on air

X o NL/K(Ey ) = ~ o TrL/K(a'y )

pour y ~ L* v&ifiant v(y) > a(~ o NLm)/2, on a

~(W@ V, O) = 5((r/- 1)ZoNr/K,t) o TrL/K)=q(a'-~)

Le corollaire 3.7 nous assure l'6galit6 t /(a)= r/(a'), et on conclut c o m m e en 4.4.

4.8. On passe du lemme au th6or6me comme en 4.5. On se r am6ne / t supposer V irr6ductible, on 6crit V sous la forme 2n~ Ind , , Xi, on dbfinit un 616ment a i de L* en exigeant l'6galit6 X ~ ( I + y ) = ~ o TrL,/K(aiY) pour v(y)>~(Xi)/2, et on t rouve que l'616ment ~=IIN~,m(a~) "' v6rifie (4.6.1). La convexit6 de OL/~ garant i t l'in6galit6 requise:

fl(Wi) ~. ffl L,/K(fl(W)) < ~ L,/K(~(V)/2) <= ~ L,/K(~Z(V))/2 = ~(Zi)/2.

4.9. Th6or~me. Soit V une representation virtuelle de W, sans constituant modOr& Soit (W~)i~ I une famille finie de representation virtuelles de dimension 0 de W. On suppose que l'on a f l(W/)<~(V) pour tout indice i et ~ (~(V) - f l (Wi ) )>~(V ). Alors on a i~t

5((@ W/) @ V) = 1. ieI

Remarque. L'hypoth6se assure qu'il y au moins deux repr6sentat ions W/. Le d6terminant de (@ W/) | V e s t donc trivial, ce qui justifie l 'omission de ~ sous le signe 5. i~i

Si W/est de la forme w Indw(K/L)(q ~- 1) Off L e s t une extension finie de K et ~h un quasi -caract&e de L*, v6rifiant

(*) ~(ql)<~L/K(fl(W~)) et ~(L/K)<-_fl(Wi)),

on a

(4.9.1) 5((@ W~)| V ) = 5 ( ( q i - 1 ) | @ (VVjl W(I(/L)))| VI W(I(/L)) j~ I j~ I \ {i}

et de plus fl(W~I W(I(/L)) <= ~L/K(~( Wi))

~(Vl W(K/L))= ~L/~(a(V)).

La convexit6 de ~L/K assure donc que l 'hypoth6se du th6or6me est encore satisfaite pour la repr6sentat ion (de W(K/L)) appara issant dans le m e m b r e de droite de (4.9.1).

112 P. Del igne et G. Henn ia r t

W De m6me, si V est de la forme Indw~K/L)~/, Off le quasi-caract6re ~/ de L* v6rifie ~(q)= ~L/K(~(V)), on a

(4.9.2) e((Q W~)Q V)= e((~) (Wj[ W(K/L))(~q) , j~ l jE I

et l'hypoth6se du th6or6me est encore satisfaite pour la repr6sentation appa- raissant au membre de droite de (4.9.2).

Les sempiternelles variantes du th6or6me de Brauer ram6nent donc le th6or6me ~t la proposition 1.7.

4.10. Question. Soit V une repr6sentation de W, sans constituant mod6r6. Soient (Gi)i~ I une famille finie de quotients de W par des sous-groupes ouverts de I e t , pour chaque indice i, fli le dernier saut de la f l trat ion de G i par les groupes de ramification, en num6rotation sup6rieure. On suppose que pour chaque i, on a fli<c~(V). Soient (ni)i~ ~ une famille d'entiers positifs ou nuls, et pour chaque indice i, une repr6sentation virtuelle W~ de Gi, qui se trouve dans le n~-sous-espace de la y-filtration de l 'anneau des repr6sentations de G i. Pour n i = 1 (resp. ni= 2) cela signifie que W/est de dimension 0 (resp. de dimension 0 et de d6terminant trivial).

Si on a ~ ni(~(V)-f l i)(V), peut-on conclure que e(((~ I4///)| V) vaut 1? i e l i e l

Remarque. Si tous les n i valent 1, c'est le th6or6me 4.9. Si [I[ vaut 1 et s in 1 vaut 2, c'est le th6or6me 4.6.

4.11. Lemme. Toute representation irr~ductible du groupe d'inertie sauvage dont la classe d'isomorphie est f ixe sous W se prolonge en une representation de W.

Le groupe d'inertie I est une extension

(4.11.1) 1 --~ P--~ I--r 77p.(1)-~ 1

Soient cr o un g6n6rateur de ~p,(1), tr 1 un rel6vement de e 0 dans I, l(p') l'616ment de ~,---lriZt de composante dans 7Z l 6gale h 1 (resp. ~t 0) pour l # p

l (resp. l=p), et posons a=altP') . Cet 616ment d6finit un scindage de l'extension (4.11.1).

Le groupe W e s t extension de 7/. par I. Le choix d'un rel6vement F de 1 c 7/ scinde cette extension; celui de F e t a identifie W au produit semi-direct it6r6

W'~ 7/~(2p, ~ P).

Pour prolonger ~ W une repr6sentation p: P--~GL(F), il sufft donc de se donner les deux automorphismes R =p(a ) et S = p ( F ) de V assujettis aux conditions suivantes

(a) Pour g~P , p ( a g a - 1 ) = R p ( g ) R -1

(b) p(a) est d'ordre fini premier h p.

(c) Notant PR la repr6sentation de I qui prolonge p et pour laquelle R=p(a ) , on a p a ( F g F - 1 ) = S p a ( g ) S -1 pour g~I .


Supposons V irr6ductible, de classe d'isomorphie fixe par I. I1 existe alors R 0 v6rifiant (a). Soit n u n entier > 1, premier ~ p, tel que a" centralise le quotient fini p(P) de P. La repr6sentation p 6rant irr6ductible, l 'automorphisme R~ de (V,p) est un scalaire 2. Soit 21/" une racine n .... de 2, et posons R 1 =Ro 21/". Cet automorphisme de V v6rifie (a), (b).

Supposons en outre la classe d'isomorphie de V fixe par W. I1 existe alors S tel que p(FgF 1)=Sp(g)S-1 pour g~P. Si p~ et P2 sont deux prolongements de p ~ I, il existe un caract6re mod6r6 Z de I tel que Pl =P2)~. En particulier, il existe )~ tel que S P R , ( F - l g F ) S - a = z ( g ) p n , ( g ) pour g e l . Remplacer PR, par son produit avec un caract6re mod6r6 q m6ne f remplacer ;~ par gtl q-~. Le groupe des caract6res mod6r6s est p'-divisible. I1 existe donc r/ tel que Z=r/1-q, et on vdrifie (a) (b) (c) en prenant R = R l r / ( a ).

4.12. Pour chaque orbi tev de W dans l'ensemble P des classes d'isomorphie de reprdsentations irrdductibles de P, choisissons un reprdsentant + de v. Soient W(*) le sous-groupe de W qui fixe i~, et K(*) l'extension correspondante de K. L'extension K(+) est mod6r6ment ramifi6e. Choisissons (4.11) aussi une repr6sentation V(v) de W(*)= W(ff~/K(*)) dont la restriction fi P soit de classe

Soit V une reprdsentation de W. Pour chaque vet6/W, le groupe Home(V(*), V) est une repr6sentation de W (b), triviale sur P. On dispose d'un homomorphisme naturel de W(+)-repr6sentations

Home(V(*), V)| V(*)-~ V.

Ces morphismes induisent un morphisme de repr6sentations de W:

(4.12.1) @ w �9 Indwr Home(V(v), V)| V(~)--, V ~eP/W

On laisse au lecteur la v6rification du lemme suivant (cf. 2.1)

4.12. Lemme. Le morphisme 4.12.1 est isomorphisme.

4.13. Proposition. Soient V une representation virtuelle de W, sans constituant mod~rO, et W une reprdsentation virtuelle de dimension O. On suppose que /~(w)< ~(v).

(i) Si la restriction de V d P e s t O, alors e(W| V)= 1.

(ii) Soit 7~ K* comme en 4.2. Si la restriction de W gt P e s t 0 (auquel cas le quasi-caract~re det W e s t modOrOment ramifi~), on a

e ( W | V, ~ )= det W(~).

La d6composition (4.12.1) s'6tend aux repr6sentations virtuelles, et pour qu'une repr6sentation virtuelle R ait une restriction nulle ~ P, il faut et il suffit que les repr6sentations virtuelles mod6r6es Homp(V(+), V) soient de dimension 0.

Si la repr6sentation virtuelle V a une restriction ~ P nulle, elle est en particulier de dimension 0, et la repr6sentation W | V est de d6terminant trivial.


Ceci justifie l'omission de ~ sous le signe e dans (i). De plus,

e(W| v )=l - I e (WQ Homp(V(*), V)| V(~)). u

I1 suffit d'6tendre le produit aux v qui apparaissent dans un constituant de V, chaque facteur est justifiable de 4.9, et ceci prouve (i).

Supposons que W a i t une restriction /t P nulle. D6composons W e n la somme W= W 1 ~ - W2, avec

W 1 = ~ IndW(r W) @ (V(~r dim V(+). 1)) w

W 2 = ~ IndW(r W) @ (dim V(+). 1)). v

Les repr6sentations virtuelles Home(V(~), W) | V(~) et Homv(V(r ), W) | (dim V(r 1) de W(*) ayant m6me d6terminant, on a det W=de t W 2 (cf 4.4). On a

~(W| V~ ~/) = e(Wl | V~ ~). ~(W2 | V~ I//).

La repr6sentation W 1 | Ves t de d6terminant trivial, et te facteur e(W 1 @ V,~h) se r6crit

e(W 1 @ V)=I] e(Home(V(* ), W) @ (V(~)- dim V(*). 1) @ V) v

I1 suffit d'6tendre le produit aux v qui apparaissent dans les constituants de W; chaque facteur est justiciable de 4.9, et e(W~ @ V)=I. Appliquant fi W2, on trouve enfin que

e(W| V, t))= e(W 2 | V, 0 )= det W2(7)= det W(~).

4.14. Remarque. Pour toute repr6sentation virtuelle V de W, posons V=V' + V", avec

V'= X IndW(+)(dim Home(V(*), V). V(+))

V" = Z IndW(+)((Homv(V(*), V) - dim Home(V(*), V). 1) | V(*)).

La restriction de V" /t P e s t 0, les repr6sentations irr6ductibles de P qui figurent dans les contitutants de V" sont parmi les mames pour V, et les repr6sentations irr6ductibles de P qui figurent dans les constituants de V' sont les constituants de la restriction de V /l P. On a donc fl(V'), fl(V")>fl(V) et

H ~(v'), ~(v )=~(v). Cette d6composition, et 4.14, permettent d'am61iorer l'hypothSse de 4.6 en

fl(W)< c~(V) et fl(W')< c~(V')/2.

4.15. Th~or~me. Soit V une reprdsentation virtuelle de W, sans constituant moddrd. Notons simplement ~ la fonction ~1 --* e(q | V, 0, dx) du groupe X des quasi- caractkres de K* triviaux sur U((1- (I/p))~(V)).


p - 1

(i) La fonction ~ s'dcrit de faqon unique comme un produit ~ = [ I ei, off e o est i=0

constante, ~1 de la forme rl--~q(7) , pour un certain dlkment Y de K* bien d~fini mod* U((1-(1/p))a(V)) , et off les ei, pour i>2 , sont homogknes de degrd i, d valeurs dans ff~p/2~p(1).

(ii) Si on a 2 < n < p et n(a(V)-~(~I) )>~(V) alors em(~l ) vaut 1 pour m>n .

(iii) E dlkment 7 de K*, bien dOfini rood* U((1 - 1/p)~(V)), tel que el(r/)=q(7) pour q dans X prOcise celui de (4.6.1), i.e. lui est congru rood* U(ct(V)/2).

Admet tons l 'existence d 'une dhcomposi t ion e = l-I ei comme en (i) et p rouvons son unicit6 et les assertions (ii) et (iii). Soit 7o un 616ment de K* vhrifiant (4.2.1). On a nhcessairement e o (17) = e (V, ~b, dx), d'ofi

p-- i

e ( ( q - 1) | V, ~ ) = q ( 7 ) ' I~ ei(q)--- r/(7) re~ ~p/7/p(1). i=2

D'apr6s 4.2, l'616ment 71:=77o 1 de K* est dans U(1). On a

p--1

e ( ( t / - 1) | V, ~). t/(7 o) - 1 = q (71)" H ~i (t])- i=2

Fixons un entier n entre 2 et p" 2 < n < p . D'apr~s 4.9, la restriction de la fonction e(t / | X ~ { E * au groupe X , des quasi-caract6res de K* triviaux sur U ( ( 1 - 1 / n ) ~ ( V ) ) est de degr6 < n (utiliser la forme 1.8.2 de la d6finition 1.8). La m~me assertion vaut pour la fonction e ( ( t / - 1 ) | V,~p)t/(7o) -~ qui s'en d6duit par mult ipl icat ion par une fonction de X dans ~E* de degr6 < 1. La fonction e ( ( t / - 1 ) | V, g,)t/(70) -1 est en outre /l valeurs clans Qp/TZp(1), ce qui permet de lui appl iquer 1.9. Faisant n=p , on t rouve qu'elle d6termine unique- merit la fonction t / ~ / ( 7 1 ) et les fonctions e~. A son tour, la fonction t/-~t/(~l) d6termine les 61~ments 71 et 7=70oll de K ' r o o d U((1-1 /n)~(V)) . Pour n quelconque, on obtient (ii). Enfin, (iii) r~sulte du c a s n = 2 de (ii), c o m p a r 6 / t 4.6.

P rovons les assertions d'existence. Pour V de dimension 1, 1.10 fournit une d6composi t ion 4.150):

4.16. Lemme. Soient V de dimension 1, ddfini par un caractdre sauvagement ramifi~ Z de K*, e t a un OlOment de K* tel que z (Ey)=@(ay) pour v(y)>a(Z)/p.

--1 Eassertion 4.11(1) est vraie pour V, et on peut prendre 7 = a

4.17. Lemme. Soit L=f f . une extension s@arable finie de K. On la munit du caractkre additif ~ o Tr_Lm, et d'une quelconque mesure de Haar dx. Soient V' une representation de W ( K / L ) et V son induite d W. On suppose qu'on a a ( V ' ) > 0 et on pose [email protected](a(V')). Supposons 4.110) vrai pour V', et posons al(q ' )=q ' (7 ' ) , avec 7'~L* et 7=NL/r(7'). Alors les assertions du thdorkme 4.11(i) sont vraies pour V (et q/), si l'on y remplace ~(V) par ~.

Pour tout quasi-caract6re tl de K*, on a

e((q - 1) V, @) = e((q o Nz/r - 1) V', ~ o Try/t: ).


Si on a c~(tl)<(1-(1/p))cq la convexit6 de tpL/K fournit

~(q o NL/K) < ~L/K(~(q)) < (1 - (l/p)) ~OL/K(C 0 = (1 -- (l/p)) c~(V').

L 'asser t ion du lemme est donc claire.

4.18. Supposons main tenan t que V e s t une repr6sentat ion quelconque de W, sans const i tuant mod6r6. Par la variante du th6or6me de Brauer donn6e au chapitre 2, on 6crit - w V-Zn/Indw(L,/K)(Zi), off L/ est une extension finie de K et )~i un quas i -carac t&e de L* v6rifiant ~()~3=tpL,m(~(V)). Appl iquant alors 4. t6 et 4.17, on voit que, si l 'on choisit pour chaque i un 816ment 7~ de L* tel qu 'on ait )~i(Ey) = ~9 o TrL,/K(T i l y) pour y ~ L~ v6rifiant v (y)> c~(Zi)/p, alors on peut prendre y=IINL,/K(73"' dans le th6or6me 4.15, relat ivement/L V e t ~. C.Q.F.D.

4.19. Le th6or6me 4.15 et le paragraphe 4.1, permet tent donc d 'a t tacher /t une reprSsentat ion V de W (et au caract6re additif ~ fix6), un 616ment 7 =~(V, ~k) de K*, bien d6fini mod* U ( ( 1 - ( I / p ) ) c~(V)), et caract6ris6 par l 'existen-

ce d 'une dScomposi t ion

p--1 (4.19.1) 8(q | V,t~,dx)=e(V,~b,dx)tl(V,O)) 1~ 8~(q)

i=2

pour chaque caract6re t/ de K* trivial sur U((1-(1/p))~(V)), les fonctions ~i 6tant des fonctions homog6nes de degr6 i du groupe X de ces caract6res, valeurs dans (l~p/;gp(1). Cet 616ment 7(V,~) v6rifie de plus (4.1.2), (4.2.1) et (4.6.l) et il est de valuat ion a ( V ) - d i m V.n(tp).

Que se passe-t-il si l 'on change caract6re additif ~? Les autres caract6res additifs de K sont les caract6res Oa, a pa rcouran t K,

d6finis par ~a(x)=tp(ax); ils sont non triviaux si a est non nul. Si X est une repr6sentat ion virtuelle de dimension 0 de W, on a

e(X, tp~)=detX(a)e(X,t)) , (cf. [1], 5.4).

I1 est facile d 'en d6duire la d6pendance de 7(V,O) en ~: on a det ((q - 1 ) V) = qdim Vet

(4.19.2) 7(V, ~a)=adimV y(V, ~1).

4.20. Soit O K le dual de Pontr jagin du groupe addit if de K. C'est un espace vectoriel de dimension 1 sur K, pour le produi t a . ~ = ~". Pour chaque entier m, on muni t sa puissance tensorielle m e de la valuat ion v pour laquelle on a v(a~b| ce pour tout 616ment a de K. La formule (4.19.1) signifie que l'616ment y ( V ) = y ( V , $ ) $ | de ~ ( d i m V ) est ind6pendant du caract6re $ (non trivial) choisi. On a v(7(V))=c~(V) et

(4.20) 7( V, 0 ) = ])(V) ~| dimV.

Soit L une extension finie de K. Le morph i sme ~ - - , ~ o TrL/K de f2 K dans ~2 L est K-lin6aire, et se pro longe en un i somorphisme tL/K: (2K(~L~--~2L . On


d6finit la normeNL/K: ~c2 L ~ ~K ~ [L: K] par l'6galit6

NL/K(btL/K(tp))= NL/K(b ) ~| K3 pour ff dans OK, b dans L.

Avec ces notations, on a l e formulaire suivant.

4.21. Formulaire

(4.21.1) Multiplicativitk

Soient V, V', V" des repr6sentations de W. Supposons V extension de V' par V". On a alors

~(V) = inf(a(V'), a (V")) et

7 ( V ) - 7(V') 7(V") mod* U((1 - (l/p)) a(V)).

(4.21.2) Induction

Soit L une extension finie de K. Soient V' une repr6sentation de W(K/L) et V son induite ~ W. On a

~,,,L(~(v'))<~(v) et

7(V) -= NL/K(7 (V')) mod* UK((1 -- (i/p)) ~r L(a(V')))

(4.21.3) Restriction

Soit L une extension finie de K. Soient V une repr6sentation de W et V' sa restriction/t W(K,/L). Supposons qu'on ait a(L/K)< a(V) et notons e l'indice de ramification de L/K. On a

7(V') = tL/K(7(V)) mod* UL((1 -- (l/p)) e(a(V)- ~(K/L)))

Remarque. On notera que si l'extension L/K est mod6r6ment ramifi6e, cette formule d6termine 7(V), rood* U((1-(1/p)a(V)), i~ partir de 7(V'), et que 7(V) ne d6pend donc que de la restriction de V au groupe d'inertie sauvage P. Ce fait peut aussi de d6duire de 4.13(i).

(4.21.4) Dimension 1

Soit V une repr6sentation de dimension 1, correspondant au quasi-caract6re ;( de K*. Supposons Z sauvagement ramifi6, et choisissons un caract6re additif prolongeant le caract6re y~--~x(Ey) de A(a(x)/p). On a

~ ~---~ I ] / | mod* U((1-(1/p))ct(Z)).

4.22. L'assertion (4.21.1) r6sulte aussit6t des d6finitions, et de la multiplicativit6 des facteurs e. L'assertion (4.21.2) reformule (4.17) et (4.21.4) reformule (1.8).

P rouvons (4.21.3). Proc6dant comme en 4.4, 4.8, on peut supposer que V est induite d'un quasi-caract6re sauvagement ramifi6 Z d'une extension finie M de K, v6rifiant c~(M/K)<t)~,M(C~(X)), (on pourrait m~me supposer a(M/K)<~br, M(a(X)), mais il n'importe). Soit t u n 616ment de T, tel que


vM(t) = 7(Z). D b c o m p o s o n s M | en u n p ro d u i t de corps :

et posons Zi =;~ o NM,/M. O n a

V = I n d (;0 et

V' = 0 I n d (Xi) i ~ l

M | [ M i, i E l

~(V) = v~(t) ~ ( z ) = v~(t)

~(V')= vL(t) ~(x~)=v~,(t).

E n effet, l ' hypoth6se ~(L/K)<a(V) assure que, p o u r tou t p l o n g e m e n t a de L d a n s _K, W(_Ka(L)) con t i en t W [ t ] , t and i s que l 'hypoth6se e(M/K)<t~K• assure que, pou r tou t p l o n g e m e n t ~ de M dans K et tou t t '>t , W(K/r(M)) con t i en t W i t ' ] , que ~ e s t t r ivial sur W [ t ' ] et n o n tr ivial sur W(K/z(M))[ t] = W(K/L) c~ W [t] .

F i x o n s un caract6re add i t i f n o n t r ivia l ~ de K, et f ixons 6ga lemen t a dans M tel q u ' o n ai t )~(Ey)= ~ o TrMiK(ay ) p o u r y e M v6rif iant v(y)> ~O0/P, et p o u r c h a q u e i u n 616ment a i de M i tel q u ' o n ai t )~i(EY)=t~ o Tr~t,/K(aiy ) p o u r y e M i v6r i f iant v(y)> ~(Xi)/P. I1 s 'agi t de p r o u v e r la c o n g r u e n c e

NM/ra = ~[ NM,/La i rood* UL((1 -- (l /p)) e(a(V) -- a(L/K))) i ~ l

Soit t o e T v6rif iant vK(to)= ~(L/K) et, p o u r chaque i, soit ti E T v6rif iant vM(t ) = ~(Mi/M ). O n a t i <= t o p o u r tou t i, et, dans le d o m a i n e {u ~ T, u > to} , les fonc- t ions ~L/r et ~u,/M son t toutes l in6aires, de pen te l ' indice de r ami f i ca t ion cor- r e s p o n d a n t . Le coro l la i re 3.12(ii) fou rn i t la c o n g r u e n c e

a - a i m o d * UM, ((1 - (1/p)) (VM, (t) -- VM,(ti))).

Cet te c o n g r u e n c e v a u t a f o r t i o r i m o d * UM,((1 -- (I/p)) (VM,(t)- VM,(to) ). P r e n a n t la n o r m e de M~ /~ L, et u t i l i san t le fait que p o u r tou te ex tens ion N/R, on a NN/a UN(k ) = R c~ UN(k ) = UR (k/eN m) o n t rouve la c o n g r u e n c e

NM,/L(a) =-- N~,/L(ai) m o d * UL((1 -- ( l /p)) (v L (t)-- vL(to))).

O n conc lu t en n o t a n t que NM/K(a ) est le p r o d u i t des NM,/L(a ).

Bibliographie

1. Deligne, P.: Les constantes locales des 6quations fonctionnelles des fonctions L, in Modular functions of one variable II Lectures in Math. n ~ 349, pp. 501-597. Springer Verlag 1973

2. Serre, J-P.: Corps locaux. Public. Inst. Math. Nancago, Paris: Hermann 1962 3. Weil, A.: Basic number theory. In: Grundlehren der Math. Wiss., Berlin Heidelberg New York:

Springer Verlag 1973

Received November 10, 1980

Documents

Sur la variation, par torsion, des constantes locales d ...publications.ias.edu/sites/default/files/Number43.pdf · des repr6sentations de la forme q-1, ot~ q est un quasi-caract6re