SUPERFICIES CUADRICAS

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SUPERFICIES CUADRICAS En el espacio una superficie cudrica es la grfica de una ecuacin de segundo grado en las variables x , y , z. la forma general de esta ecuacin es:

0222 JIzHyGxFyzExzDxyCzByAx Donde A ,B, C, D, E, F, G, H, I, J son constantes o nmeros reales. Las superficies que se estudiaran, son aquellas en las cuales los coeficientes de los productos cruzados son iguales a cero. Es decir D = E = F = 0 , siendo la ecuacin de segundo grado de la forma:

0222 JIzHyGxCzByAx

La traza de la superficie en el plano es la interseccin de estas dos graficas de superficies. Por ejemplo si tenemos una esfera que se intercepta con el plano xy, se puede ver claramente que la traza de esta esfera con respecto al plano es una circunferencia de radio r que depender de la ubicacin de la esfera respecto al plano. Esto se cumplir si las dos superficies se interceptan entre si pero no son tangentes.

Para visualizar una superficie especifica en el espacio, por lo general basta examinar sus trazas en los planos coordenados y posiblemente unos cuantos planos paralelos a estos.

Las trazas en cada uno de los planos coordenados de una superficie cudrica son secciones cnicas , las cuales se estudiaron en el calculo uno ( Circunferencia, parbola , elipse , hiprbola ) Existen seis tipos bsicos de superficies cudricas : ELIPSOIDE , HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA , HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS , CONO ELPTICO , PARABOLOIDE ELPTICO , PARABOLOIDE HIPERBLICO. Examinemos cada uno de ellos.

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BSICAS

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS.

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1. EL ELIPSOIDE: Se obtiene cuando los coeficientes de los tres trminos cuadrticos presenten igual signo pero valores diferentes. Es importante sealar que adems de esta condicin se hace necesario el estudio del trmino independiente que se realiza despejndolo. Si el trmino independiente es nulo entonces la ecuacin representara un punto en el espacio, en cambio si este es diferente de cero se debe observar que una vez despejado presente el mismo signo que los trminos cuadrticos ya que en caso contrario la ecuacin no representara lugar geomtrico alguno. SU ECUACION GENERAL ES:

122

2

2

2

2

cz

by

ax

La elipsoide corta a los ejes coordenados en los puntos ( a , 0 , 0 ) ; ( 0 , b , 0 ) ; ( 0 , 0 , c ) . Su grafica se encuentra dentro de una caja rectangular definida por las

desigualdades czbyax ;; la grafica es simtrica con respecto a cada uno de los planos coordenados porque las variables de la ecuacin que la definen estn elevadas al cuadrado. Para dibujar la elipsoide a la ecuacin general se le hace el siguiente anlisis.

122

2

2

2

2

cz

by

ax

En la ecuacin

original haciendo la variable

Se obtiene la ecuacin en dos

variables

Que corresponde a una cnica

llamada

Cuya grafica es paralela al plano

z = 0 122

2

2

by

ax

Elipse XY

x = 0 122

2

2

cz

by

Elipse YZ

y = 0 122

2

2

cz

ax

Elipse XZ

Si a = b = c y son diferentes de cero , la expresin representa una esfera.

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2. PARABOLIODE ELIPTICO. Su ecuacin general es:

022

2

2

cz

by

ax

Es simtrico a los planos x = 0 , y = 0. la nica interseccin sobre los ejes es el origen. Excepto por ese punto. La superficie se halla totalmente arriba o totalmente abajo del plano XY, dependiendo del signo de c. Para graficarla se hace el siguiente anlisis.

En la ecuacin original haciendo

la variable

Se obtiene la ecuacin en dos

variables

Que corresponde a una cnica

llamada

Cuya grafica es paralela al plano

z = c 122

2

2

by

ax

Elipse XY

x = 0 cz

by

22

Parbola YZ

SUPERFICIES CUADRICAS

4

y = 0 cz

ax

22

Parbola XZ

El eje de la parbola corresponde al a variable elevada a la potencia uno. Si a = b , se obtiene un paraboloide circular.

3. HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA. Su ecuacin general es:

122

2

2

2

2

cz

by

ax

Es simtrico respecto a cada uno de los tres planos coordenados. Las secciones cortadas por los tres planos coordenados son:

SUPERFICIES CUADRICAS

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En la ecuacin original haciendo

la variable

Se obtiene la ecuacin en dos

variables

Que corresponde a una cnica

llamada

Cuya grafica es paralela al plano

z = 0 122

2

2

by

ax

Elipse XY

x = 0 122

2

2

cz

by

Hiprbola YZ

y = 0 122

2

2

cz

ax

Hiprbola XZ

4. HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS : Su ecuacin general es

122

2

2

2

2

by

ax

cz

Es simtrico respecto a los tres ejes coordenados.

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Las secciones son:

En la ecuacin original haciendo

la variable

Se obtiene la ecuacin en dos

variables

Que corresponde a una cnica

llamada

Cuya grafica es paralela al plano

z = 0 122

2

2

by

ax

Elipse XY

x = 0 122

2

2

by

cz

Hiprbola YZ

y = 0 122

2

2

ax

cz

Hiprbola XZ

5. CONO ELEIPTICO. Su ecuacin general es:

022

2

2

2

2

cz

by

ax

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En la ecuacin original haciendo

la variable

Se obtiene la ecuacin en dos

variables

Que corresponde a una cnica

llamada

Cuya grafica es paralela al plano

z = kc 22

2

2

2

kby

ax

Elipse XY

z = 0 0,0,0 Punto

x = 0 ybcz Recta YZ

y = 0 xacz Recta XZ

Si a = b , se obtiene un cono circular recto. 6. PARABOLOIDE HIPERBOLICO. Su ecuacin general es:

2

2

2

2

ax

by

cz

tiene simetra respecto a los planos x = 0 , y = 0 .

En la ecuacin

original haciendo la variable

Se obtiene la ecuacin en dos

variables

Que corresponde a una cnica

llamada

Cuya grafica es paralela al plano

X = 0 22 ybcz Parbola YZ

y = 0 22 xacz Parbola XZ

Z= c 122

2

2

ax

by

Hiprbola z = c

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SUPERFICIES CUADRICAS

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ACTIVIDAD. IDENTIFICAR LAS SIGUIENTES SUPERFICIES CUADRICAS.

1. 036363216916 222 yxzyx

2. 084 222 xzyx

3. 0363649 222 zyx

4. 01616116 222 zyx

5. 091661644 222 zyxzyx

6. 01849 22 xzy