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-

-

2011

622.692.622.07 83 ..

83 - : / .. , .. ; . : - - , 2011. 136 .

- -

. , - . - - , - , -- . - .

, - 130500.14 - 130501 .

622.692.622.07

..

, 2011 .., .., 2011 . , 2011

3

........................................................................................................... 5 1. .................................................................. 7 2. ............................................................................ 9

2.1. ....................................................................................... 9 2.2. ............................................................... 11 2.3. .......................................................................... 12

3. .............................................................................................. 13

3.1. ........................................................................ 13 3.2. .......................................................................... 17 3.3. ............................................ 25

4. - ................................................................ 28

4.1. .......................................................... 28 4.2. ......................................................................................... 33

5. .... 36 5.1. ......................................................... 36 5.2. .......................................................................... 40 5.3. ......................................................................................... 54

5.3.1. ........................................................................... 55 5.3.2. .............................................................................. 57 5.3.3 ...................................................................................... 59 5.3.4. ..................................................................................... 61

5.4. ......................................................................................... 62

6. - ......................................................................................................... 65

6.1. .......................................................................................................................... 65 6.2. ................................................................. 67 6.3. .......................................................... 71

4

6.4. - ......... 81

7. ............................................................................. 86

7.1. ................... 86 7.2. - ....................................................................................................................... 90

8. .................... 92

8.1. ....................................................................................................... 92 8.2. 96 8.3. ............................. 104

8.3.1. ..................... 106 8.3.2. ........................................................................ 108 8.3.3. .............................................................................. 110

8.4. ................................................................. 112

8.4.1 ............................................................................................ 112 8.4.2 ...... 114

8.5. ..................................................................................................... 125

9. .................................................................................................. 128 ................................................................................................. 133

5

- . - - . , - , . , , , , . . , - , . , , , , - - , - . . - . : , - . - - , - , . . - . - -, - . , , - , . , .

6

, , . - : -, - , .

- () - , - - - , - . , - . (). - -, . - . , - - (ANSYS, LS-DYNA, MSC/NASTRAN, ABAQUS .) - . , - , - ( ) - , - .

7

1. -

- 2.05.0685* [1] :

( ) -, , , , , , , -;

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8

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9

2.

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2.05.0685* [1].

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2.1. , -: 1. , :

Dnq , (1) n (n = 1,1). -

n - 2.05.06-85;

D , ; , ; , /3. 2. ,

. - , , 10 % . :

10

224

DDnq , (2) n (n = 1,1);

, /3; D D

, . 3. . - :

Dhnq , (3) n (n = 1,2);

, /3; h , ; D , .

4. -, :

Dhnq , (4) n (n = 1,0);

- , /3;

h , ; D , . 5. ,

Dq 24 , (5) D , ;

- , /3. 6. ,

2

D , (6)

, - , ;

( = 206000 ); D , ; , .

11

2.2.

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- .

2

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n (n = 1,1; 1,15);

, ; D , ; , .

2

Dn , (8)

( -). 33,026,0 , . . 3,0 . 2.

410

24

Dgnq , (9)

n (n = 1); - , /3; g -, /2; D , .

3. , -

tt

, (10) ( = 12106 1/);

, ; ttt 0 , t0

; t - , - ( ).

12

2.3.

:

1. , -

DSq 0 , (11) n (n = 1,4);

- ( = 0,4);

S0 1 2 - ;

D , .

2. , -

Dq 17,0 , (12) n = 1,3; , 2.01.07-85, ;

D , . 3. , -

Dkq 0 , (13)

n = 1,2; 0 , - 2.01.07-85, /2; k -, 2.01.07-85; - ( = 0,5).

- , , - , , - . - .

13

3.

3.1.

-

. - - - , ( , . ., . . - ).

- .

- .

(. . ) - [3]. - - .

[4]:

1) , , - ;

2) , , -, .

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14

( , - ). . , - , . - ( - ), . - - ( ).

-

1p f(R S),, (14) p , ;

1R , ; S .

f f , (15)

f , ; f , .

- -, . - , - - .

, - :

1 R . (16) -

, . . , - ( ) -. () , - ,

15

2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 = + + ( + + ), (17)

1 2 3 , , , . . , . ( < 10 ) ( > 10 ) - . - : , , , 10 , 6 %, 30 18 %.

- < 10 . - :

2 2 k =1/2 + + ( - ) +4 ;

2 2 k =1/2 + ( ) +4 ;

=0,

(18)

, [4] - , ;

- , ;

k , .

:

N M = (19) N =N/F N, ;

F , 2; M =M /W ,

; W , 3.

k k p =M /W , (20)

16

pW . , , 1 2 3 , ,

1 2 3 > > . -

< 10 - . < 10 , , . - (18), , - .

2.05.0685 [1] -, . - , - , - , :

22

m R ,K K

(21) m , [1];

2K - [1];

K , [1];

2R , . -

, , () . - -, .

17

3.2.

- ( - ) : - , , , , , .

, - [6].

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.

-, ( -).

=(0,8 1 ) , -, , - . 20 ), - - . - , - /4 (7/4) . (. 3.1, ).

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18

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.3.1. : ; -

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. 3.1, . ,

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19

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-, , - , . 3.2. , , .

. 3.2.

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( ); , - .

20

, ( ).

, - -, - , , . - - , . 3.3.

. 3.3.

, - . - ( . 3.4, ) ( . 3.4, ). - -.

21

. 3.4. :

; -

- , . - , . 3.5.

. 3.5. -

, 3 5 6,

2 1/33= 12(1- )() ; =b/a; =b/; (22)

22

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. 3.6. a ;

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- . , - - ( , ) , 3.7. - , -

23

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. 3.7. , -

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24

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. 3.8.

- -

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25

. 3.9.

3.3.

1.

, - . . 3.10.

. 3.10.

2. : 6p=3 10 ; D=1020 ; =14 . 3. , [7]. -

D 1,02R= = 0,014=0,51 0,014=0,496 .2 2 (23)

4. -

mP= 2 R , (24)

26

m , ; R , ; , . , , -

. 3.11. -

, , , - - p , .

. 3.11.

2P= R p, (25)

P , ; R , ; p , .

(24) (25),

66

mp R 3 10 0,496 = = =53 10 =53 .2 2 0,014 (26)

5. -

tm

m t

p = + ,

(27)

m , ;

t , ;

27

t , ; m = , t =R . (27) -

6

6t

p R 3 10 0,496 = = =106 10 =106 . 0,014 (28)

ABCD, -, , . 3.12,

1 t 2 m 3 = , = , =0, , , 1 2 3 ( , 1 2 3 > > ).

. 3.12.

6. , -

1 3 = , (29) - . =1.

6 6 1 3 = =106 10 0=106 10 =106 .

, (-) , .

28

4. -

- :

-- (); - (- , , .); , .

4.1.

: , , - . 1. , , . - - . . 4.1. , - [8]. - (, , , .), - , , - , , , , .

29

. 4.1. : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 -

-;

12 - , , ;

13 , , - , , .

2. , , - , - , , - , , ,

30

. . - , , - . - [8, 9, 10]. . 4.2, - .

. 4.2.

, -, , - . -:

, -;

, - ;

; ,

; ; ; -

.

31

-, - , - . 3. () [8, 9] , , , - , , , - , , , . -, . 4.3. () 0. , . - H0 H ; 0 .

. 4. 3. H0, H - ()

() :

; -

;

32

- ;

; -

, ; , -

; , , -

; .

4. , - . . . 4.4.

. 4.4. : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 -.

(, . .). - . 4.5. - [8, 11].

33

. 4.5. -

- :

1) ; 2) , -

; 3) .

4.2.

- - -, - . . () - , [12]. - , . : , , . -

34

- , . , - , - , . , - --- , , . , , - - . , - , . , , - , , - -. , - . 4.6. :

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, - , ;

- ().

35

. 4.6. -

36

5.

5.1.

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ij,j i +F =0; (30) :

37

ij i,j j,i1 = u +u ;2 (31) -:

ki,jl lj,ik li,jk kj,il + =0, (32) ij ;

ij ;

iu ; Fi ; j

jx ;

i, j, ,l = 1,2,3. (30) -

. (30-32) , , - - . , - - . - - , - ( ) [14]:

ij ijkl kl =E , (33) ijklE . , , , - - . , , - , . , , , - - , - -. - ()

38

() ( G), . , - , , (33) - , - :

ij ijkl kl kl =E ( T), (34) kl ;

T . , - , . . kl 0 = l, kk = , ( = 1,2,3). 150, , , , . - , , . - - () . - , - , . -, , - . , , - , - - ( ) - . , , - . - [15]: pij ij if , ,T, =0, (35) pij ;

; i , .

- , -

39

, . . (31), , , - - [13]:

ij i,j j,i k,i k,j1 = u +u +u u .2 (36) , , (32). (30-32) , - . - , :

1*

i iu =u , x S ; (37)

ij j i 2 n =T , x S , (38) Tj ;

ni ; S = S1+S2 ; .

(30-33) , - , , , . - [14]. . , - (31), (32) (33), - (30). , - , [13]:

i i i(+) + u +F =0, i=1,2,3, (39) , 2 G= , =G ;

1-2

k,k=u ;

40

. , (34) -

(32), (33) -- .

5.2. , - - , , , . ., ( , , . .). - -, (34), -. , - - (30-33). , [16, 17]. - , , , . - , - - . , , - , , [16]. - (, -) . - , - , - , , .

41

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42

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43

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44

, . 5.1.

(), , , , ( 1 ). = 4, = 3.

, , ( 1 S). S = 3, S = 2 ( ).

, - Sc.

. 5.1. : ; m,

():

c

1 . . . . . S. .. .S = . .. .m . . . . . mS

(40)

45

-

( 1), - ( 1). , : 1 , , 1 , .

Sc .

- : 1

2

i

m

,

CC...C=C...C

(41)

iii

xC = ;y

xi, yi i- .

:

46

tc

1

2

i

s

...

= S C= ,...

(42)

xi

iyi

= ;l

l

xi

l , yil x y -

. tcS C

, -

C

, tcS ( t ), C

.

2 2x yi i i

= +l l l

ti ii = .l

(43)

i

,

xii

yi

cos .coslll

(44)

j- , . 5.2. . -:

47

. 5.2.

j j jk

jk j i

j j j j

0 0j j j j0 0j j j j

x =0; N +N N =N ; y =0Q Q =0; Q =Q ;

M =0;M M +Q =0;

M =M +Q

l

l

+

=

jk j j j0 0jk j j j

+N =N 0+0; Q =0+Q 0;

M M +Q +0.l (45)

: 0 0jk jY =FY ,

(46)

0jkY

0jY

, :

jk j0 0jk jjk j

0 jjk

N NY = Q ; Y = Q ;

MM

1 0 0

F= 0 1 00 0 1

.

48

j- , . 5.3., - , .

. 5.3.

,

j j j j j jk jk j jk j

j j j j j jk jk j jk j0 0

j j jk j

X = N cos Q sin ; X =N cos +Q sin ; Y = N sin +Q cos ; Y =N sin Q cos ;

M = M ; M =M

(47)

0 0

j j j jY = Y ; Y = Y , (48)

j j

j j

jj

j j

X XY = Y ; Y = Y ;

M M

(49)

j j

j j

cos sin 0 = sin cos 0 ,

0 0 1

(50)

, , ;

jY

- ;

49

jY

, . jY

jY

, -

: jk j

jk j

y xk j j j

X=0; X = X ;Y=0; Y = Y ;M =0; M = l X +l Y M jk

(51)

j jY =Y ,

y x

-1 0 0= 0 -1 0

-l l -1

, . i- , -

. 5.4., : i i ix yP , P , M ;

. 5.4.

j j jX , Y , M .

ix

i iy

i

PP = P ;

M

-

Pi :

50

1

i

m

P....

P= P .....

P

(52)

j- -, -

j

j

j

j

XY = Y .

M

(53)

-

1

i

s

Y

Y Y

Y

....= ,

....

(54)

- P=SY,

S , Sc 1

j

1 0 0E = 0 1 0 ,

0 0 1

1

j

y x

-1 0 0 = 0 -1 0

-l l -1

P=SY

, , . . ,

51

c

1 0S = -1 1

0 -1

3m2S

1

1 2

2

1 0 00 1 0 00 0 11 0 0 1 0 0E 0

0 1 0 0 1 0S= E =1 0 0 10

1 0 00 0 1 0

1

y x

y x

l l

l l

(55)

P=SY

, - , , 3S. , - , - , , , ,

pT=S Z,

(56) T

P

,

( ); Z

Y

, -

; Sp S , P

,

, Y

.

-1pZ=S T,

(57)

-1pS , Sp. , Sp

, , pS 0 .

52

Z

j jY =Y ,

, -

. , .5.4.(), -

.

c

1 0S = -1 1 .

0 -1 (58)

- - . :

1x 1x

1y 1y

1 1

2x 2x

2y 2y

2 2

3x 3x

3y 3y

3 3

R R1 ;R R2M M3

0;P P4P PP= =5

6M M7P P 0;

;8P P9M M

: 1

1

1

2

2

2

X1Y2

( M3

Y= 1 4 S X4

).Y5M6

53

1 1 1 0 0 0 02 0 0 1 0 0 03 0 0 1 0 0 0

0 1 0 04 1 0 0 1 0 0

1 0 1 0S 5 0 1 0 0 1 0

a 1 0 16 0 a 1 0 0 1

0 0 2a 17 0 0 0 1 0 08 0 0 0 0 1 09 0 0 0 0 2a 1

(59)

, pT=S Z,

1 1

2y 1p

22

23

M Y0 0 1 0 0P MP 1 0 1 0

T= = ; S = ; Z= .Y0 0 1 0 1MM0 0 0 2a 1M

(60)

-1pZ=S T

1

1

2

2

1 2 1 1 2P3a 3 3a 3a 3Y 02 00 0 0M P3 .PY 01 1 1 1

33a 3 3a 3aM 0 2aP2 2a 2 1 a33 3 3 3a

, . 5.5,

jjZ =Z ,

(61)

1 2

1 0 0 1 0 0 0 1 0 ; 0 1 0 .

0 a 1 0 2a 1

54

. 5.5.

Sp

, .

5.3. -

, , . - :

- () - - , ;

-; , ;

: , , - ( );

55

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.

5.3.1.

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- ( ).

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- ( ) ( , ) -. - - .

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56

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, , , - ( - ) .

, - . , - ( -), - . .

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, , - , - ( ) ( ) , .

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-

57

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5.3.2.

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- . ,

58

- .

- , . - , -, , , -, .

- , , - , . . -, , -, . . 5.6 - - . . . 5.7.

. 5.6. - - -

.5.7. - [] -

59

( , - ) - .

5.3.3

, . , , - - -, (- - ), , . , , - - -, . -, . , , -. - .

, - . . 5.8 -.

60

. 5.8. -

- -

, ( - ). ANSYS - - -.

-. , , - , , -- .

- , , - ( - -).

- , - .

- , - . , -

61

- , - - . - -.

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5.3.4. -

-

, ( ) - , .

, , -, - , - , , . - .

, - . - -. , .

- . , - / - . -

62

.

- - , - -, , , - .

5.4.

- - : (- ), (-) , [16, 17]. . - - . , , - , - . (, - ) [13] - (30-36), :

ij,j i i i,j j i iV S2

( +F ) u d ( n T ) u ds=0, (62) iu V, (37). , (62) :

ij i,j i i i iV V S2

u d F u d T u ds=0. (63) (63) .

63

(63) - :

k ji j i

j=1u (x)= N (,,) u , (64)

Nj , , (,,) ;

, ; j

iu j- i- . (64) (63), - , - , :

n prth nd be e e e e mm=1 K u - F - F - F - F =0, (65) , ;

Te

Vm

K = B D B d ; Tth the

Vm

F = B D d ;

TpreSp

F = N P dsn ( ) ; ndeF () ; Tbe

Vm

F = N F dn ; mu ; D ; B , - ; N .

nN - Sp . , , (65). - -

64

. , - - :

elm mu = N u , = B u , = D , (66) el th ;

th . (66) -

-. , , - . - [16, 17], . . , - , : :

i j

2i

2 2 2i i j

2i

2 2 2i i j

u=0,5 (u (1 s)+u (1+s)),

=0,5 ( (1 0,5 s (3 s ))+L+ (1+0,5 s (3 s )))+ (rz (1 s ) (1 s) rz (1 s ) (1 s)),8

=0,5 (w (1 0,5 s (3 s ))+L+w (1+0,5 s (3 s )))- (ry (1 s ) (1 s) ry (1 s ) (1 s)8

i j

),

rx=0,5 (rx (1 s)+rx (1+S)),

(67)

, , w, rx, ry, rz - ( -);

L ; i,j ; s , s(i)= 1, s(j)=1.

65

6. -

6.1.

, , (), - - : ; .

2.02.04-88 [18] , , - - , - - .

- - - . - -. , .

, - , , , - , . .

- , , . , - - , -

66

-- [3].

- 0 -, - - . , -, .

, , - , .

- , . , - , , - , - - - . - , - . i- (i + 1)- . - . , , (i + 1)- , , . . - [18].

, - , .

: 1. - -

, -

67

(. . ), - - , , . - - .

2. - - . , - - .

3. (, ). - - - , .

6.2.

: ) , ,

, , - ;

) ;

) - ;

) - , . . , - ;

) ( ) ( , , .);

) ( -, ).

- ().

68

, . , - , - , , , . . - -, , - .

, , -- .

- , - , -, . - , - .

, , , - - 2 % [19]. , . . - . ( ) - , . . - , - -.

- , . . , - . , -, -, , , -, , - , - ( 109 , -

69

). - , - . [1] , ( - , ), . - - .

, , , . - , , , -- .

- - . - , - - , , - , . .

.. , - , , . . , -, . - . , - .

, . . 6.1.

70

. 6.1. ()

(): P ;

t - ; u -

, . -.

.

-, , . , , , , . . . , .

: - , , - , , .

, - - -

71

, -, . . - , -. .

6.3.

- . , (, ). - -, , .

, . 6.2, - 0jS , - , - , .

i- - , . 6.2, .

72

. 6.2. i-ro

, , jN , - -, . .

pi iN =N (i=1,2,..., n-2) (68)

piN , ;

n ; (n1) .

, 0iS , -

l 0i i i 0

i

EFN =N =SS

(69)

0iS - 0iS ;

73

(=210 000 ); F .

(68) (69), : p ri i N =N ( 1,2,.., 1)i n (70)

- . 6.2.().

-, ,

, pi i M = M (i=1,2,..,n-1) (71) p iM -, . - , . . i , . , , -, , -. - ( 0i0,5S ) . -

i r i 0 0i i-1

2 E IM = M = ,i S +S (72)

i - ;

r iM .

- , . 6.2, , . (71) (72),

.p i r i M = M (73) , - . 6.2, , ,

i P ik kM = M , (74)

74

P ikM -,

pi r i 0 0i i-1

2 G IM = M = ,i S +S (75)

i - ;

G ; pI ;

r iM .

: .p i r ik kM = M (76)

, - 3(n1) (70), (73), (76). - . :

AV=BP, (77) , i , U , - ;

V - , : U , , ;

, P - -. (70) , - 1 2 kV ,V ,...,V ,..

k k-1 k k-1 k-1 k-1 k-1V =V + H (B P-A V ), (78) k-1 k-1 k-1 k-1H (B P -A V ) - V ;

k ( k-1V kV ).

75

(78) k-1A -, - , , U (69), (72), (75). k-1B - . . 1 k 1 , k-1V 0 , - . , ,

k-1 k-1(A V =0). ( k-1B P ) . 1. , ;

pu t ocij j ip ip ip ip R = + + + (i,j=1,2...,n-1), (79) ij i- j- - -, ;

jR ; uip ,

pip ,

tip ,

ocip i- -

, -, , . , , , (79). 2. iR -, , k-1H (78). - [20], , U , - . , . . (78) =2, ,

76

k-1 kV =V x y zU= U ,U ,U :

0 0 0x y zx=x +U ; y=y +U ; z=z +U , (80) 0 0 0x ,y ,z x, y, z ;

x y z,U U ,U . , , - U - x y z= , , , - . - - . i- 0 0r i i ir = l ,m ,n - , . 6.3, .

0 0 0 0 0 0 0 0 0i i 1 i i i 1 i i i 1 il =x x ; m =y y ; n =z z ; (81)

i i 1 i i i 1 i i i 1 il =x x ; m =y y ; n =z z . (82) , -

( . 29, ) i i i ir = l ,m ,n - - [20]:

+0 0 0i i1 i i2 i i3 i0 0 0

i i1.1 i i 1.2 i i 1.3 i0 0 0

i i2.1 i i+2.2 i i 2.3 i

l =l l +l m l n ;

m =l l +l m +l n ;

n =l l +l m +l n ,

(83)

i1 i2 i3

i+1.1 i+1.2 i+1.3

i+2.1 i+2.2 i+2.3

l l lL= l = l l lij

l l l (84)

.

77

. 6.3. i-o -

() ()

i i ix y z, ,

-. L, i i ix y z= , , - , :

i i i i i i i i i i i iy z y z x y z y z x y z

i i i i iz z z z x

i i i i i i i iy z y z x y x y

cos cos cos sin cos +sin sin cos sin cos -sin sin

L= -sin cos cos cos sinsin cos sin sin cos -cos sin -sin sin

i i i iz x y xcos +cos sin (85)

, i- -, (82) (83), i i ix y z, , , .

78

[21] i i , . . -, :

i ii i i ix x x

2 2 2i i i i

i ii i i iy y y

2 2 2i i i i

i ii i i iz z z

2 2 2i i i i

m m +n ncos( )= ; =arccos( );m +n (m )+(n )

l l +n ncos( )= ; =arccos( );l +l (l )+(n )

l l +m mcos( )= ; =arccos( ).l +m (l )+(m )

(86)

, , i i ix y z i , i , i :

i i iSIGN( )=SIGN( )=SIGN( ), :

i i i i

i i i iy

i i i iz

ix i

i

SIGN( )=SIGN(m n -n m );

SIGN( )=SIGN(n l -l m );

SIGN( )=SIGN(l m -m l ).

, - , . 6.3, :

i ix xi i

y y y

i i .z z

ix i

iz

;

;

`

`

`

(87)

- :

;

;

.z

i i i-1x xx

i i i-1y yy

i i i-1zz

` `

` `

` `

(88)

79

, ,

i i iii i; ; ; x i y i z ii i ii i i i i i i i i; ; ; x x x y y y z z z

yx zc c cS S S

(89)

i i iii ii x y zi i i;yx zc S S S

S ; x ,y ,zi i i i- ;

i i ix y z , , -

; , , i i ix y z . k-1V - - k-1k-1A V (69), (72), (75). - - k-1B P , -. . , , , - , . - - U . , k-1k-1A V

k-1B P , ,k-1 k-1k-1B P-A V (90)

. (90) , -. , (90) - , - . - . , - . - :

ij j ip R = , (91)

80

ij , (79),

, (80); jR ;

ip i- .

kV , k (78) . (90) (77),

i 2 i 2 2n-1 k i

ki=1 0

(M ) (M ) (N )W = + + ,

2 E I 2 G I 2 E F

(92) i i, , k iM M N , - . (78) (77) - k , - (78) k = 0;0,5;1 . - *k , - , -. , *k , -- V (78), . . -

*k k-1 k kU =U + U ;

*k k-1 k k= + ,

(93) (94)

*k k-1 k k .R =R + R (95)

. - , (90).

81

6.4. -

. , - -, - , - , , .

, - - .

, , . , - , . - , , , - , :

1) ;

2) -;

3) - - . , - [22, 23]. , - - Nx, Ny Qx, Qy, Mx, My. , Nx Ny x , y Qx

82

Qy xzt yzt . Mx My - , - . . 6.4.

. 6.4.

, -

, , :

y yx xx y xz x yz y3 3

N 12 MN 12 M = + z; = + z; =Q /; =Q /,

(96) z .

, - z = /2 , - :

y yx xx y3 3

N 6 MN 6 M = ; = .

(97)

, . . - z , , -

83

. , , . , x y /r . , - /r , - - - .

, . , - 10 %, , - , - , /r 0 .

, . , , . , , . - , . , - . , , . , - , - , - , - . - , , - . - . ,

84

, - - . , , . 2,54,0.

, - . - -.

, , - , . - , -, . - - , - . - (. . -) , - - 1,42,5.

:

, - ;

- , - , - -;

, -

85

; , -

; ,

; ,

, , , - . .;

, - , . .;

- , , - - ;

, , .

, - . , , -, . - , - - .

86

7.

7.1.

-

, - . , -, , , , . . - . , . , , . 7.1, - , - [24]:

p r 2 R+r sin = ,2 h R+r sin

(98) r , ;

R , ; h , ; , -

.

. 7.1.

, - 0270 , 090 ,

87

( 00 0180 ) , ( ). (98) , - R D. R/D=1 m 1,5; R/D=1 m =1,17 ; R/D=4 m =1,07 ; R/D=6 m =1,05 . . , , , 1 2 , , - - . - ( , .) - . ( =0,3)

2

M z = 1- ,rI (99)

z ; k , -

2

h R= ;r (100)

r . k - . - , :

2

1 21+12 k = ;

10+12 (101)

2 4

2 2 43+536 +3600 k = ;

105+4136 +4800 (102)

88

2 4 6

3 2 4 6 .3+3280 +329376 +2822400 k =

252+73912 +2446176 +2822400 (103)

, - . 0,7 - , 0,17 - , 0,1 . 0,1 , - :

k=0,58 (102) , (101) (103) ,

. - , - ,

m

= ,

1,65 (102)

= 5/6 = 2/3 . , , - kit - (101) (102). - (98)

max 1 =m , (103) , ;

1 :

2

12 5+6 m = .

3 18

(104) -

( )

2 2

218 M r (1-2z /r )

= ,I (1+12 )

(105)

r .

89

max 2 =m , (106)

22m =18 /(1+12 ). (107)

(

90

7.2. -

-

, - , . 7.2. - . - ( , - ) - ( , . 7.2.) . .

. 7.2.

- 1, 2 3, - . 7.3.

. 7.3.

91

:

1 11 2 12 3 13 1p

1 21 2 22 3 23 2p

1 31 2 32 3 33 3p

X +X +X + =0;X +X +X + =0;X +X +X + =0.

(112)

11 ( ) 1 1=1, . . . . - -. (-, .) .

92

8.

8.1.

, - , [1].

, -, . , .

, , - , h.

, - .

- , , - . 8.1. , -, , .

- 1, 2, ,n, 1, 2, , n, . 8.2. , . . 90, .

-. .

, 11 22 N1 N2, - M.

1 2 11 22.

1 2 - R1 R2 11 22, , -

93

, 1 21 2

1 1K = K =R R

. :

1 21 2

1=K K = ;R R

1 2 1 2

1 2

K +K R +RK= = .

2 2 R R (113)

. 8.1.

. 8.2.

- , . . . >0 ( ), 1 2 . , 1 2 - . 8.3, ,

94

12. - . , 0,

95

- 0 =z =, CD00. z=const , =const . - , - . , . 8.2. - , - - :

2 2 21 2ds ds ds , (114)

ds1, ds2 , - . - , ds1 ds2 .

1 2ds Ad , ds Bd . (115) , , - .

. 8.4. -,

z

96

(1.3) (1.2) - :

2 2 2 2 2ds A d B d . (116) (116) -, . , , , . -, - : )

2drA 1 ; B=r;dz

(117))

rA ; B=r;cos

(118) r , . 8.4.

h R - .

, , h 1max ,R 20

, . -

, hR

;

. - , - .

8.2.

, - . :

, - ,

97

- , ;

, , -.

, . 5, - , , z, =const, +d=const, =const, +d=const c. , , - , - ( ). , , q, , - , , z 0 X,Y,Z. - - . , - Z - , X . , .

: 1 =const; 2 =const; 12 = 21

=const =const, ( );

z1, z2 , . , - . . 5. =const R2, , z ,

(z)2 2R R z. (119)

98

. 8.5.

, ab Bdb, , z - ,

2 2

B d zce B d z 1 B d .R R

(120)

-, z ,

const : (z)2 2R =R +z. (121)

1

zef 1 A d .R

(122)

1, 2, 12, 21, z1, z2, , ,

99

. 8.6. N1, S21, Q1, N2, S12, Q2 , . 8.6, M1, M12, M2, M21, . 8.6.(), - , - . . - .

N1 =const , - 1 =const

h/21 1-h/2 2

zN B d= 1+ B d dzR

(123)

h/2

1 1-h/2 2

zN = 1+ dz.R

(124)

=const,

, - 2 =const

h/22 2-h/2 1

zN A d = 1+ A d dzR

(125)

h/2

2 2-h/2 1

zN = 1+ dz.R

(126)

, =const =const:

h/221 21-h/2 2

h/212 12-h/2 1

zS = 1+ dz;R

zS = 1+ dz.R

(127)

100

. 8.6. : ,

- , (- ), - :

h/212 12-h/2 1

h/221 21-h/2 2

zM = 1+ z dz;R

zM = 1+ z dz.R

h/21 1-h/2 2

h/22 2-h/2 1

zM = 1+ z dz;R

zM = 1+ z dz;R

(128)

-

:

101

h/21 z1-h/2 2

zQ = 1+ dz;R

h/2

2 z2-h/2 1

zQ = 1+ dz.R

(129)

, / /, - / /. 1 2R R -, 12=21 (127) (128), - S12, S21 12, 21 - =const =const. , R1=R2, . . - , (S12= S21, 12= 21). , , 1z R 2z R ,

1

zR

2

zR

-

. (15) (16) :

12 21 12 12S =S =S; M =M =M. (130) - . , =const, +d=const, =const, +d=const, . , -. , - , . - , - - . [2, 3].

:

102

1 2 12 21 1 1

2 1 21 12 2 2

B AN B N + A S +S +Q K A B+A B X=0; d A BA N N + B S +S +Q K A B+A B Y=0;d

(131)

1 2 1 21 2

21 12 2 1 2

12 21 1 2 1

1 1 1N + N + B Q + A Q +Z 0;R R A B

B AM B +M + A M M Q A B=0;

A BM A +M + B M M Q A B=0.

(132)

X, Y, Z

. :

11

22

11 2

22 1

1 U V A W = + + ;A A B R1 U U B W = + + ;A A B R

B V A U= + ;A B B A

1 U 1 W 1 V 1 W A= + + ;A R A A B R B

1 V 1 W 1 U 1 W= + +B R B A B R A

2 1

B;

1 A 1 V 1 W A 1 U 1 W= + ,2 B B R B B A R A

(133)

1, 2 - ; ( ); 1 2 , - ; , -; - -

103

- ; U, V , - ; W , - .

(133) , - U h, V h, W h. , , , [4].

:

;1 1 22

;2 2 12

E hN = 1

E hN = 1

12 21;1 1 2

;2 2 1

12 21

S=S =S =G h ;

M =D

M =D

M=M =M =D 1 ,

(134)

3

2hD=E

12 (1 )

, /;

EG= 2 (1+)

, ; E , ; .

, (131), , (133), - (134). (U, V, W), (N1, S21, N2, S12), (M1, M21, M2, 12), (Q2, Q1), - (1, 2, ) (1, 2, ). - .

104

(133)(133) , . - - , , . , , , - , . , - , (, ), -, , . . - (N, S), U, V. - . :

1. - ;

2. ;

3. , - - ;

4. .

8.3. ,

, , - , , . , , -

105

. , - , . . , (,) ( ), , .

, =const =const - S N1 N2 , , , . .

M1=M2=Q1=Q2=M12=M21=0. (135) - . , , , :

-. , (- , -) , , , ;

;

-. , - - - , - . - , - , - , , , - ;

, , -, .

106

8.3.1.

, . . , . . 8.7, (, ), , - ; , . : R1 ; R2 , , - ( ); r , - r=f().

- A B .

. 8.7, : ad=ds1=R1d,

(1.3) , d=d, A=R1. (136)

ab=ds2=rd,

. 8.7, , 2r=R sin , (137)

2 2ab=ds =R sin d,

, , (1.3) d=d 2B=R sin =r. (138)

107

. 8.7. : ,

(135) (131) , A=R1, B=r, , , :

1 1 12 2 1

21 1

1 21 2

S rN r R + A S N +r R X=0;

N rR + r S +S +r R Y=0;

1 1N + N Z 0.R R

(139)

8.7.() ,

1drd d= d ad cos =R d cos ,d

1dr R cos .d

(140) (140) (139) :

108

1 1 12 2 1 1SN r R + A S N cos +r R X=0; R 21 1 1NR + r S +S cos +r R Y=0;

R

1 21 2

1 1N + N Z 0.R R

(141)

, - (S, N1, N2), - . (135) A=R1, B=r (133) (134), :

1 1 21

2 2 12

1

1 1 U = N N = +W ;E h R

1 1 V 1 = N N = +U cos + W;E h r R1 r V 1 U= S= + .

G h R r r

(142)

8.3.2.

(141) (142) , . - , X, Y, Z - - ( 2). - - , . - , - , . , -, ,

109

( ) - :

( )nn 0

( )nn 0

X , x cosn ;

Y , y cosn ;

( )nn 0

Z , z cosn ,

(143)

n=0, 1, 2,, , ( ), ( ), ( )n n nx y z - , , /2. , , X , Y , Z , - . . , , cos sin ( ), , . - - - :

( ) ( )1 1n 2 2nn 0 n 0

( ) ( )n nn 0 n 0

( ) ( )n nn 0 n 0

N , N cosn ; N , N cosn ;

S , S cosn ; U , U cosn ;

V , V cosn ; W , W cosn ,

(144)

( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )n n n n1n 2nN N S U V W - . (143) (144) (141) (142) - :

n n1n 1 2n 1 1

n n n1 2n 1 1

1n 2n1 2

N r n R S N R cos +r R x =0;

R n N + r S +S R cos +r R y =0;

1 1N + N Z 0.R R

(145)

:

110

nn1 1n 2n

1

nn n2 2n 1n

2

U1 1 = N N = +W ;E h R

V1 1 1 = N N = +U cos + W ;E h r R

n nn

1

V U1 r 1= S = + ,G h R r r

(146)

2 1r=R sin , R =f( ).

(145) (146) - - - n- . () -- . , . , , (), , , .

8.3.3. (145) (146) -- - . - : , -. - . n- - . . 8.8 - x - . :

2 2 2 2ds =dx +R d ,

111

1 2

1

A=1, B=R=const;R = , R =r=R;

dx d = , = .R 2

(147)

(145) (146) - : :

1nn n

nn2n

n2n

dNR +n S +R x =0;

dxdSR n N +R y =0;dx

N R z =0;

(148)

:

n1n 2n

n n2n 1n

nn n

dU1 N N = ;E h dx

1 1N N = n V +W ;E h R

dV1 nS = U .G h dx R

(149)

. 8.8. -

112

8.4.

8.4.1 -

- . , , , , - . ., - - . , . - , ( , , - . .). , -- , -

12 21 21S =S =M =0. (150) , -

V=0, (151) M2 , Q2 M2,

Q2=0. (152) , -

1 2 1dr= , A=R , B=r=R sin , =R cos ,d

(19):

113

1 2 2 1 2 1 2 1

1 2 2 1 2 1 2 1

2 1 1 2 2 1 1

d N R sin N R cos +R Q sin +R R X sin =0;d

dN R sin N R sin R Q sin R R Z sin 0;d

d R M sin R M cos R R Q sin 0;d

(153)

(133):

1 1 21

2 2 12 2

12 1 2

22 1

2 2= 1 21

1 dU 1 = +W = N N ;R d E hU W 1 = ctg N N ;

R R E h

1 d U 1 dW = + ;R d R R d

ctg dW = U+ ;R R d

R d ctg .

R d

(154)

. - , (134) - :

;1 21 2 2

;2 22 2 1

E h 1 dU U WN = W ctgR d R R1

E h U W dUN = ctg WR R R d1

3;1 2

1 2

32 2 2 1

E h 1 dM = ctgR d R12 1

E h 1 dM = ctg .R R d12 1

(155)

, (153) (155) : (N1,

114

N2, Q1, M1, M2); (1, 2, 1, 2), (U, W) .

8.4.2

, . 8.9 , .

1 21

dx d = , = , R = , R =r=R, R 2

(153), (154) - (155) :

1

12

11

dN+X=0;

dxdQ 1 N Z 0;dx R

dMQ 0;

dx

(156)

2

2

1 1 2

2 2 1

1

2

2= =

dU 1 = = N N ;dx E hW 1 = N N ;R E hd W = ;dx

=0;d dWR ;dx dx

(157)

;1 2

;2 2

E h dU WN = dx R1

E h W dUN = R dx1

2

2

3 3;1 2 2

2 1

E h d E h d WM = =dx dx12 1 12 1

M = M .

(158)

115

. 8.9. -

(156)(158) , . (156) -

2

21dQ d M= ,

dx dx

2

2 2d M 1 N Z 0.

Rdx (159)

(1.42) -:

x1 0

N = Xdx+C, (160) , =0. - , , 0,

0PC= ,2 R (161)

- X=0 , - (160) (161)

01

PN = .

2 R (162)

116

, N1 -, 0 . (158) (159) M1 N2.

4

4

322

E h d W E h 1 W dU +Z=0.R R dxdx 1 12 1

(163)

dUdx

2

= 1dU 1 WN ;dx E h R

(164) (161) (160) -

4

4

30

2 22 PE h d W E h W=Z .

dx R 2 R12 1

(165)

. - (131)(133) - . - , - - , . 8.10. :

2 2 1N = h 1 h 1, (166) 1 2 .

12 2 1

N =E , = ,

1 h (167)

2 1N =E h N . (168)

- 2

W =R

, N1 -

, (161),

117

02

PWN =E h .R 2 R

(169) - :

2 3

2 31

1 1dMd W d WM = E I , Q = = E I .dxdx dx

(170) , , , - -. . , -

31 hE I=E

12

3

21 hD=E ,

12 (1 ) :

2 3

2 31 1d W d WM = D , Q = D .dx dx

(171)

, - abd , . 8.10.

1 1 1 2d(Q +dQ ) ds Q ds 2 N dx +Z dx ds=0.2

(172) , dsd= ,

R

ds : 1dQ 1 N +Z=0.2dx R (173)

118

. 8.10.

Q1 - N2 , - , (165):

4

40

2 2 Pd W E hD W=Z .

dx R 2 R (174)

, , . , , -

2E hK= .R . -

, , -

4

4d WE I =q(x).dx

(175) , , -

q(x)=P(x) K W(x), (176) () , ;

119

( -, 1). , , ,

4

4d WE I +K W=P(x).dx

(177)

02 2

PE hE I=D, K= , P(x)=Z ,R 2 R

(178) , (165). , - - [5]. (165) : W() , , W():

() ()W=W +W . (179) , -, . W() - , (165)

0Z=P =0 4

4

() ()2

d W E h+ W =0.dx D R

(180)

2 42 2 2

E h 3 (1 )= = ,4 D R R h

(181)

(164) 4

4

() ()4d W +4 W =0.dx

(182) (166) :

() t xW =e . (183) (183) (182), t

4 4t +4 =0. (184) (184) :

120

1,2

3,4

t =(1i) ;

t = (1i) .

(185)

, (183) () x i x i x x i x i xW =e Ae +B e +e C e +D e . (186)

i x i xe =cosx+i sinx, e =cosx i sinx, i x i x i x i x i x i xA+B A BA e +B e = e +e + e e =2 2

A+B A B= 2 cosx+ 2 i sinx.2 2

(187)

.1 1A+B=D , i A B =D (186)

,3 3C+D=D , i C D =D () x x1 2 3 4W =e D cosx+D sinx +e D cosx+D sinx . (188)

, (182), - ( ).

.

, xe , x=H. , xe , x=0. 11 Z -

sinl=sin,

L= 2,44 R h. (189)

, H.

L

121

x=0. , - - .

(76) :

() x 3 4W =e D cosx+D sinx ; (190)

() x 1 2W =e D cos(x H)+D sin(x H) . (191) , (68)

. - (179) : () x () 3 4W =e D cosx+D sinx +W ; (192)

. 8.11. -

() x () 1 2W =e D cos(x H)+D sin(x H) +W . (193)

122

, - - . - , .

, 0Z=P =0 , , ()W =0, ()W W , , x=0,

M0 Q0 , . 8.12., x=0 -:

()1 0()1 0

M (x=0)=M ;

Q (x=0)=Q , (194)

2

2

3

3

()1

()1

d WM = D ;dx

d WQ = D ,dx

(195)

- (192) :

() x

3 4 3 4()2 x2

3 42

()3 x3 +3 4 3 43

dW = e D +D cosx D +D sinx ;dx

d W =2 e D sinx D cosx ;dx

d W =2 e D +D cosx D +D sinx .dx

(196)

. 8.12. -

123

() x21 3 4M = 2 D e D sinx D cosx ; () x3 +1 3 4 3 4Q = 2 D e D +D cosx D +D sinx . (197)

(194) (195) (197) x=0, :

3 0 030

4 2

1D = Q + M ;2 DM

D = .2 D

(198)

(192) (196), :

x() 0 03

() x

0 02

x()1 0 0

() x1 0 0

eW = M sinx cosx Q cosx ;2 D

dW e= 2 M cosx+Q cosx+sinx ;dx 2 D

eM = Q sinx+ M cosx+sinx ;

Q =e Q cosx sinx 2 M sinx .

(199)

x=0, . . , (199) ,

() 0 03

()

0 02

()1 0()1 0

1W x=0 = M +Q ;2 D

dW 1x=0 = 2 M +Q ;dx 2 D

M x=0 =M ;

Q x=0 =Q .

(200)

() , M0 Q0 , . . - W.

124

x1

x2

x3

x4

=e cosx+sinx ;

=e cosx sinx ;

=e cosx;

=e sinx,

(201)

, 14 :

2 21 4 2 3 3 1 4 2 = , = , = ; = , (202) (199) :

() 0 2 0 3 0 2 0 33

() 2

0 3 0 1 0 3 0 12

() 01 0 1 4

()1 0 4 0 4

1 2 W = M +Q = M +Q ;K2 D

dW 1 2 = 2 M +Q = 2 M +Q ;dx K2 D

QM =M + ;

Q = 2 M +Q .

(203)

,

()() 2 0 2 0 3() ()2 1

E h WN = = 2 R M +Q ;R

M = M .

(204)

, (203), - x 0 , M0 Q0.

, x H:

() 0 1 0 3

() 2

0 3 0 2

() 01 0 2 4

2 W = M +Q ;K

dW 2 = 2 M +Q ;dx K

QM =M + ;

(205)

125

()1 0 4 0 1()2 0 1 0 3() ()2 1

Q = 2 M +Q ;

N =2 R M +Q ;

M = M ,

(x H)1

(x H)2

(x H)3

(x H)4

=e cos(x H)+sin(x H) ;

=e cos(x H) sin(x H) ;

=e cos(x H);

=e sin(x H).

(206)

1 4 -

: 2 21 3 2 4 3 2 4 1 = , = , = ; = .

(207) 8.5. -

(131), (133) - (134) - , - =const =const.

, . - : - . - . - , - . [2], ( - ), =const =const , :

=onst

126

21 212 2 2 2 21 2

1

M M1 1N , Q Q , S S , M ;A A R (208)

=onst 12 12

1 1 2 21 12 12

M M1 1N , Q Q , S S , M ;B A R (209)

1 2 12 21Q , Q , S , S - . , , - . , . - , =const.

: 12 12

1 1 2 21 12 12

M M1 1N =0, Q Q =0, S S =0, M =0;B A R (210)

: 1V=U=W=0, M =0; (211)

: 1 1V=U=0, M =0, N =0; (212)

:

1

1 W VV=U=W=0, = =0,A R

(213) . -. - . , , - . ( , , . .), .

127

, , -, . - .

128

9.

- - , . 9.1. - (, , . .) ( ). - , =0, - x0=y0=0, z0=p.

. 9.1. - -

-

- (148) (149) :

()2 0

2()2

()

2() () ()

2 1()()

()

() () ()1 2

N =R z =p R;

p R p RN = = ;2 R 2

S =0;2 p RRW = N N = ;

E h 2 E hdW = =0;

dxV =0;

1 (1 2 ) p R xU = N N dx+C= +C.E h 2 E h

(214)

( x=0) - , U()=0 =0. (214) (203), -:

129

2 0 3 0 12 = M +Q ;K 0

1 0 1 4Q

M =M + ;

1 0 4 0 2Q = 2 M +Q ;

1

2 0 2 0 3

2 1

p RN = =const;2

N = 2 R M +Q +p R;M = M ;

1 2 p R xU .2 E h

(215)

: 0 - Q0 . , , , . . x=0 - :

W 0 = 0 =0. (215) - :

2

0 2 2

0

2 p R K 2 pM = = ;

4 E h 4 2 p

Q = .2

(216)

(215), - , -, - - , :

130

2 2

1 4

1 2 1 32

1 2 1

2 1

2 p R 2 p R W= 1 ; = ;2 E h E h2 p 2 pM = ; Q = ;

24p RN = ; N =p R 1 2 ;

21 2 p R xM = M ; U

2 E

.h

(217)

53 1,2 , p=56 /2, 0,3, 2,1 106 /2. :

2 24 42 2 2 2

3 (1 ) 3 (1 0,3 ) 1= = =0,25 ,cR h 26,5 1

; R , ; h , . (202):

x1

x2

=e cosx+sinx ;

=e cosx sinx ;

(217) :

6

2 2

1

0,25 x

0,25 x

2 p R 2 0,3 56 (265)W(x)= 1 =2 E h 2 2,1 10 1

1 e cos 0,25 x +sin 0,25 x =

=0,016 1 e cos 0,25 x +sin 0,25 x ;

(218)

x=0 . . 9.2.:

131

.9.2.

Wmax=0,016 17 . (217) x -:

0,25 x1 22 2

0,25 x

=10,25

=2 1

2 p 2 0,3 pM (x)= e cos 0,25 x sin 0,25 x4 4 (0,25)

929,668 e cos 0,25 x sin 0,25 x ;p R 56 265N (x)= =742 /;

2 2

N (x)=p R 1 2 14840 1 1,7 e

x

0,25 x .2 1

cos 0,25 x +sinx ;

M (x)= M 278,9 e cos 0,25 x sin 0,25 x

(219)

:

0 5 10 15 20 250

0.005

0.01

0.015

0.02

W x( )

x

132

1 11 2

2 22 2

6 M (x) N (x)= + ;

hh6 M (x) N (x)

(x)= + ;hh

(220)

. 9.3.

. 9.3.

x=0 1=6320 /2, - (3600 /2). x=0 , , - .

/*2

0 5 10 15 20 251000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1 x( )

2 x( )

x

133

-

. . - , - .

- .

- - , - , . - , - .

- . - , , - . - , -. , , - .

(- ) , - - . , - .

, - (ANSYS, LS-DYNA), - - , - . , - - , .

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