Sucesiones Monótonas

The Real Number System/Sequences of Real Numbers/Monotonic Sequences by Mika Seppälä

Sucesiones MonótonasDefinición

Una sucesión (a1,a2,a3,…) es decreciente si an+1 ≤ an para todo n.

Una sucesión (a1,a2,a3,…) es creciente si an ≤ an+1 para todo n.

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Sucesiones MonótonasEjemplo

n 1

n, n 1,2,3,K

En este caso y a

n

n 1

n

a

n1 a

n

n 1 1

n 1

n 1

n.

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Sucesiones MonótonasEjemplo

n

n 1

n 1

n

n2 n 1 n 1 n n 1

a

n1 a

n

n 1 1

n 1

n 1

n

n2 n2 1

n n 1 1

n n 1

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Sucesiones MonótonasEjemplo

an1

an

1

n n 1 0 para todo n.

es creciente

Concluimos que la sucesión

n 1

n, n 1,2,3,K

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Sucesiones Monótonas

Una sucesión (a1,a2,a3,…) es monótona si es o creciente o decreciente.

Una sucesión (a1,a2,a3,…) está acotada si existen dos números M y m tales que m

≤ an ≤ M para todo n.

Definición

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Sucesiones Monótonas

TeoremaTeorema

Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente).

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Sucesiones Monótonas

TeoremaTeorema

Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente).

Se observa que es suficiente demostrar el teorema para sucesiones crecientes (an), ya que si (an) es decreciente, basta con considerar la sucesión creciente (-an).

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Sucesiones Monótonas

TeoremaTeorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente).

DemostraciónDemostración

Sea (a1,a2,a3,…) una sucesión creciente acotada.

a1

a2…

… an

an+1

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Sucesiones Monótonas

TeoremaTeorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente).

DemostraciónDemostración

a1

a2…

… an

an+1

Como el conjunto de los números reales es completo, entonces

s = sup {a1,a2,a3,…} es finito.

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Sucesiones Monótonas

Afirmación limn

an

s sup an .

Demostración de la afirmación Sea ε > 0.

Hay que encontrar un número nε tal que n > nε ⇒ |an – s| < ε.

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Sucesiones Monótonas

Sea ε > 0.

Afirmación limn

an

s sup an .

a1

a2…

… an

an+1

ε

Si n>nε, an debe estar aquí.

Debemos encontrar nε

como se muestra en

la figura.

Demostración de la afirmación

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Sucesión Monótona

Demostración de la afirmación

Afirmación limn

an

s sup an .

ε

a1

a2…

… an

an+1

Como s = sup{an} y como ε > 0, existe un número nε tal que

a

n s .

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Sucesión Monótona

Demostración de la afirmación

Afirmación limn

an

s sup an .

ε

a1

a2…

… an

an+1

Como (an) es creciente se tiene que para n > nε ,

a

na

ns.

Entonces |an - s| < ε, si n > nε.

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Sucesiones Monótonas

TeoremaTeorema

Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente).

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Cálculo en una variable

Autor: Mika Seppälä

Traducción al español:Félix Alonso

Gerardo RodríguezAgustín de la Villa