HAL Id: jpa-00206505https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00206505

Submitted on 1 Jan 1967

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Structure de bandes d’énergie du chlorure cuivreuxKong-Sop Song

To cite this version:Kong-Sop Song. Structure de bandes d’énergie du chlorure cuivreux. Journal de Physique, 1967, 28(2), pp.195-204. �10.1051/jphys:01967002802019500�. �jpa-00206505�

195.

STRUCTURE DE BANDES D’ÉNERGIE DU CHLORURE CUIVREUX

Par M. KONG-SOP SONG,Institut de Physique, Strasbourg.

Résumé. 2014 La structure de bandes d’énergie de CuCl est calculée par la méthode desliaisons fortes pour les bandes de valence et par la méthode des ondes planes orthogonaliséespour les bandes de conductibilité. Les énergies de transitions interbandes permises sont enaccord satisfaisant avec les valeurs expérimentales. La séparation due au couplage spin-orbiteest calculée à 039315, le sommet des bandes de valence, par un calcul de perturbation. Elle esten bon accord avec l’expérience. On montre que l’interprétation des transitions interbandesdu spectre dans des semiconducteurs de série I-VII, par extrapolation d’autres semiconducteursde même structure cristalline (série IV-IV, III-V et II-VI) n’est pas toujours justifiée.

Abstract. 2014 The electronic band structure of CuCl has been calculated by combinedLCAO and OPW methods, the former for the valence bands and the latter for the conductionstates. Interband transition energies are compared with those of the ultra-violet spectrum ;there is a satisfactory agreement between them. Spin orbit splitting at the valence bandmaximum 039315 is calculated by a perturbation treatment, which is in good agreement withthe experimental value. It is shown that the interpretation of the interband transition

spectrum based on an extrapolation of other series of semiconductors (IV-IV, III-V and II-VI)having the same crystal structure is not always justified.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE TOME 28, FÉVRIER 1967,

1. Introduction. - Les halogénures de cuivre ontfait l’objet d’études spectroscopiques détaillées par legroupe de Strasbourg [1] dans le domaine du visibleet par Cardona [2] dans le domaine de l’ultra-violet.Bien que ces cristaux se cristallisent en structure

de la blende, on n’avait pas encore fait de calculdes bandes pour ces semiconducteurs. Différents au-teurs [2] [3] ont souligné la nature ionique et l’impor-tance des orbitales d du métal de cette série de semi-conducteurs qui les distinguent d’autres semiconduc-teurs (des séries IV-IV, III-V et II-VI) de mêmestructure cristalline. Nous avons donc entrepris decalculer la structure de bandes d’énergie du CUCI.Nous avons employé la méthode des liaisons fortes

(LCAO) pour les bandes de valence et celle des ondesplanes orthogonalisées (OPW) pour les bandes deconductibilité. Nous avons pensé que les bandes devalence, qui sont formées des couches complètes desions, sont assez étroites pour permettre l’emploid’approximation des liaisons fortes. Par contre, pourles bandes de conductibilité, cette méthode n’est pasvalable, car ces bandes correspondent aux niveauxexcités de Cu + et de CI- dont les fonctions d’ondesont très étendues. Nous avons jugé donc que laméthode de OPW était appropriée pour ces états.Par des considérations semblables, Knox et Bassani [4],Fowler [5] et Knox, Bassani et Fowler [6] ont employéces méthodes pour l’étude des cristaux de Ar, Kr etAgCl respectivement.Nous avons d’abord calculé les bandes sans le

couplage spin-orbite; nous avons ensuite traité le cou-plage spin-orbite par un calcul de perturbation auvoisinage du centre de la zone pour les bandes devalence. Les calculs numériques sont effectués parl’ordinateur IBM 1620 du Centre de RecherchesNucléaires de Strasbourg et en partie par l’ordinateurControl Data 3600 de Paris (1) .

Les bandes de valence sont étudiées au chapitre II,les bandes de conductibilité au chapitre III, le cou-plage spin-orbite au chapitre IV et nous discutons cesrésultats et les comparons avec l’expérience au

chapitre V.

II. Bandes de valence. - L’Hamiltonien pour unélectron de valence est

où vâ (r) est la contribution au potentiel de l’ion priscomme origine et est le potentiel créé parl’ion situé à Ri. Ces potentiels sont ceux calculés parHartree et Hartree pour Cu + [7] et CI- [8]. Nousavons négligé le terme d’échange entre un électronde valence et les électrons appartenant à d’autresions; mais l’effet d’échange entre les électrons appar-tenant à l’ion à l’origine est implicitement pris encompte par l’énergie atomique de Hartree-Fock.

(1) Nous remercions la Control Data de Paris d’avoirbien voulu accepter d’effectuer les calculs numériques duequelques intégrales à deux centres.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01967002802019500

196

Nous avons calculé les bandes provenant des orbi-tales 3d de Cu + et 3s, 3p de CI-, les autres bandes plusprofondes étant considérées comme plates. Les fonc-tions de Bloch sont employées explicitement normées;par exemple :

où VSP est une combinaison linéaire symé-m

trisée des fonctions atomiques uJp donnant une fonctionde symétrie oc. N est le nombre des cellules,

est le facteur de normalisation de la fonction de Bloch.Les énergies de différentes bandes sont obtenues par

la résolution de l’équation séculaire correspondant àchaque représentation irréductible du groupe de vec-teur d’onde k. Les éléments de matrice d’un détermi-nant séculaire sont de la forme suivante :

Nous avons donc explicitement tenu compte de lanon-orthogonalité des différentes fonctions de Blochdans l’équation séculaire suivant l’idée exprimée parSlater et Koster [9]. L’expression explicite des élé-ments de matrice d’énergie entre les différentes fonc-tions de Bloch est donnée dans l’annexe I.Nous avons calculé numériquement les intégrales

d’énergie et de recouvrement entre les neuf orbitales

atomiques (1 de 3s, 3 de 3p et 5 de 3d) en nous limitantaux deuxièmes proches voisins et aux intégrales à deuxcentres. L’intégrale d’énergie entre deux orbitales

atomiques se compose de différents termes :

où En est l’énergie atomique de Hartree-Fock del’orbitale Um, ~ est le potentiel cristallin moins le

potentiel atomique de l’ion à l’origine.Nous avons remplacé par le potentiel suivant :

où la sommation sur Rt s’étend sur les 4 plus prochesvoisins de l’ion à R, qui forment un tétraèdre et est

la correction de Madelung (constante) qui tient

compte de l’influence des autres ions.Nous avons assimilé la somme des deux premiers

termes de à un potentiel de symétrie sphériquecentré sur l’ion Rj que nous avons calculé suivant lesdirections (x, 0, 0) et (x, x, 0). Nous avons utilisé l’uneou l’autre direction suivant la région du plus grandrecouvrement dans chaque intégrale à deux centres.Pour situer les différentes bandes, l’une par rapportà l’autre, nous avons pris les valeurs expérimentalesdu potentiel d’ionisation (de Cu+) et de l’affinité

électronique (de CI-) [10] pour En. Le tableau 1donne la valeur des intégrales d’énergie et de recou-vrement entre les orbitales atomiques.

TABLEAU I

LES NOTATIONS SONT CELLES DE SLATER ET KOSTER [9] (VOIR ÉGALEMENT L’ANNEXE I) . ÉNERGIES EN RYDBERG

197

De cette table, il ressort que le recouvrement estfaible dans l’ensemble, en particulier entre les orbi-tales 3d de Cu+. Par contre, l’hybridation entre lesorbitales 3d de Cu+ et 3p de CI- est très importante;cela signifie qu’il y a une forte interaction entre lesdeux bandes correspondantes.Nous avons résolu les équations séculaires suivant

les principaux axes de la zone de Brillouin avec unpas de ~k = ~~6a. Nous avons obtenu les fonctions

propres en même temps que les énergies. La zone deBrillouin pour la structure de la blende est la même

que pour la structure cubique face centrée ( fig. 1).

FiG. 1. - La zone de Brillouin de la structure de la blendeavec les principaux points et axes de symétrie.

Les trois groupes de bandes les plus bas de la

figure 2 sont des bandes de valence que nous avonsobtenues de cette façon. Les énergies en Rydberg auxpoints de symétrie élevée sont données dans letableau II.La première bande de valence est d’origine 3d

de Cu + avec une importante participation de 3pde CI- (de l’ordre de 0,21 à r 15)’ Elle est très étroite(largeur : environ 0,6 eV) comparée à la deuxièmebande (largeur : environ 1,2 eV) qui est d’origine3p de CI-, avec une participation considérable de 3dde Cu*. Nous constatons que la largeur de la premièrebande de valence est due principalement à l’interac-tion avec les orbitales 3p de CI-. Entre les deux pre-mières bandes de valence existe une bande interdite,dont la largeur est environ 2,1 eV, comme l’ont indiquéHerman et McClure [12] d’après les expériences. Latroisième bande de valence est pratiquement purementd’origine 3s de Elle est très plate, avec une largeurd’environ 0,4 eV et séparée de la deuxième bande pargrand intervalle d’énergie, environ 16 eV.

III. Les bandes de conductibilité. - Les bandes deconductibilité étant constituées essentiellement desorbitales 4s, 4p, ... de Cu+ et de CI-, nous ne pouvonsappliquer la méthode des liaisons fortes.Nous avons donc employé la méthode des ondes

TABLEAU II

ÉNERGIES CALCULÉES AUX POINTS DE SYMÉTRIE ÉLEVÉE DES BANDES DE VALENCEET DES BANDES DE CONDUCTIBILITÉ EN RYDBERG.

Les facteurs de normalisation sont également donnés pour les bandes de valence qui interviennent dans le calcul des OPW.

Les notations des différentes représentations irréductibles sont celles de Parmenter [11].

198

planes orthogonalisées pour l’énergie à r v r 15’ Xl et X3.Nous avons pris les combinaisons linéaires symétri-

sées des ondes planes SI, de symétrie oc, ensuite lesavons orthogonalisées aux fonctions d’onde des cou-ches internes pour obtenir les ondes planes orthogona-lisées correspondantes Og :

où

Q est le volume de la cellule unité et c~~ est la fonctionde Bloch du chapitre II.Nous avons choisi l’origine du système des coor-

données sur l’un des ions (sur Cu + dans ce calcul).Quelques-unes des ondes planes symétrisées de X sontdonnées par Bassani et Celli [13], nous avons calculécelles de r en appliquant les différentes opérationsde symétrie (voir par exemple Mariot [14] pour lesopérations de symétrie dans ce système).Le nombre des ondes planes symétrisées s’élève

à 4 pour r1, 3 pour 5 pour X1 et X3.Au lieu d’appliquer le schéma de perturbation

élaboré par Bassani et Celli [13], nous avons employéla méthode de OPW en résolvant les équations séculai-res correspondantes, det. M = 0 avec :

où E2 est l’énergie de couche profonde i (y comprisles bandes de valence) de symétrie a.. Le calcul desdifférents termes de Mppl est explicité dans l’annexe Il.

Pour les électrons de conduction, nous avons pris

explicitement un potentiel d’échange. Comme il estdifficile d’en tenir compte dans le calcul sous uneforme appropriée, nous avons employé le potentield’échange pour électrons libres de Slater [15], enl’atténuant par une « constante diélectrique » s. Nousavons considéré E comme un paramètre que nousavons ajusté de façon à reproduire l’énergie de bandeinterdite à h (entre T15 et ri). Nous l’avons ainsifixé à e = 2,57. La valeur de ce paramètre n’est pasdirectement comparable à la constante diélectrique(la constante diélectrique est 3,61 dans le rouge) [16].Nous donnons le tableau III a des v(K), les trans-

formées de Fourier du potentiel coulombien desions Cu+ et CI- et celles du potentiel d’échangeeffectif de Slater. La détermination de v(o) est très

importante, car il situe l’ensemble des bandes deconductibilité par rapport aux bandes de valence. Leseul paramètre ajustable que nous avons introduitest E. Nous avons donc calculé V(O) directement parl’intégration des différents termes du potentiel quenous avons adopté. Les autres v(K) sont calculés

d’après l’expression analytique rapprochée des V(r).Nous donnons également les transformées de Fou-

rier des fonctions radiales des différentes orbi-tales atomiques dans le tableau III b. Elles sont obtenuespar un calcul numérique direct à partir des fonctionsde Hartree [7] [8]. Les énergies de couches profondes( B. V.) sont celles de Hartree-Fock [7] [8] corrigéespar le potentiel de Madelung sur CI- et Cu + selon lecas. Les fonctions de Bloch de ces niveaux sont consi-dérées comme normées. Les énergies et les facteurs denormalisation des bandes de valence sont ceux cal-culés au chapitre II.Dans le tableau II sont données les énergies des

bandes de conductibilité en même temps que cellesdes bandes de valence.

TABLEAU III a

TRANSFORMÉES DE FOURIER DU POTENTIEL V(K)Les V(K) sont exprimés par U(m) où = IK 12VM(m) pour potentiel coulombien dû à Cu+.

pour potentiel d’échange dû à CI-, etc.

199

TABLEAU III b

TRANSFORMÉES DE FOURIER DES FONCTIONS RADIALES DES ORBITALES ATOMIQUES

Selon notre calcul, le minimum des bandes deconductibilité est à X3, mais il y a un second minimumà T1 et qui est proche de X3. Nous avons constaté quele niveau de ri convergeait plus lentement que d’au-tres niveaux dans le calcul des ondes planes orthogona-lisées de telle sorte qu’à la limite le niveau Pl doit être

FIG. 2. - Structure des bandes de CuCI (sans couplagespin-orbite) .A remarquer le changement d’échelle entre les bandes

de valence et les bandes de conductibilité.

situé plus bas que le niveau X3. D’après les relationsde compatibilité [11~, nous savons que les deux bandesde conductibilité sont de symétrie ¡l1. Nous pensonsque ces deux bandes se séparent comme indiquéesdans la figure 2.

IV. Le couplage spin-orbite. - Nous avons calculéla séparation des bandes due au couplage spin-orbiteau sommet des bandes de valence, 1"" par la méthodede perturbation. On sait, d’après la théorie des

groupes, que les deux représentations r15 et r12 devien-nent en couplage spin-orbite

est la représentation du spin 2 , r7 et r8 sontdes représentations irréductibles du groupe double quisont respectivement 2 fois et 4 fois dégénérées. Nousavons donc à r trois fois P. et deux fois r 7 pour lesbandes de valence.En diagonalisant l’Hamiltonien du couplage spin-

orbite

avec les fonctions d’onde non perturbées dans chacunedes trois bandes, Fi"5, rf2 et séparément, nousavons obtenu les énergies des P. et r 7 en même tempsque les combinaisons linéaires des fonctions d’ondenon perturbées correspondant aux représentationsirréductibles du groupe double.

Les fonctions d’onde non perturbées sont, pourpar exemple :

et trois autres avec

200

Nous obtenons les résultats suivants pour ri9et T2v15 :

avec

avec

avec

Les ) et ~ sont des paramètres du couplage spin-orbite atomique [17] divisés par le facteur de renor-malisation des fonctions d’onde à chaque état (ppour 3p de CI- et d pour 3d de Cu +) .Avec ces fonctions d’onde, nous avons résolu un

déterminant séculaire 3 X 3 pour r8 et un autre

2 X 2 pour r 7 en tenant compte de l’interaction entreles différents états de même symétrie. Le calcul montreque l’interaction entre et est impor-tante, par contre avec elle est négligeable.

La séparation due au couplage spin-orbite que nousobtenons au deuxième ordre de perturbation au

sommet des bandes de valence est :

en bon accord avec l’expérience :[2].

FIG. 3. - Structure détaillée des bandes de valence de CuCI (avec couplage spin-orbite) au voisinage de T(§A remarquer l’agrandissement important de cette figure par rapport à la figure 2.

201

Il est à remarquer que nous avons explicitementtenu compte, par nos calculs au chapitre II, de lamodification des paramètres Ep et Ed en allant d’atomelibre à cristal (~p = 0,084 eV, ~d = 0,116 eV contre0,073 eV et 0,101 eV respectivement en atome libre).Nous avons ainsi évité d’adopter l’habitude courantequi consiste à multiplier par un facteur 3/2, sans

discrimination [18]. En effet, le facteur de renorma-lisation varie considérablement d’un cristal à l’autre

pour un même état et encore d’un état à l’autre pourun même cristal. Il peut être plus grand ou plus petitque 1.

D’autre part, on sait d’après les travaux de Dres-selhaus [19] et de Parmenter [11] qu’en absence desymétrie d’inversion (ce qui est le cas pour la structureblende) les différentes bandes n’ont pas toutes une

pente nulle à T en présence de couplage spin-orbite.Nous avons donc étudié les détails de bandes devalence au voisinage de K = 0 suivant les troisaxes Bu et E, pour voir la structure fine que peutproduire le couplage spin-orbite. De nos calculs, il

ressort, par exemple, que le déplacement du maximumde la bande Lls, de r8 à un état de 05, est bien négli-

geable 1Yk £i à , AE - 0,0001 Ry . La figure 3 donnele schéma des bandes au voisinage de r en présencedu couplage spin-orbite. Nous pouvons donc conclureque dans le cas du CuCI le couplage spin-orbite nemodifie pas de façon notable la forme des bandes etque le maximum des bandes de valence se trouvebien à r 7(r 15).

V. Comparaison avec Inexpérience. - Cardona [2]a mesuré les spectres d’absorption et de réflexionde CuCI dans le domaine de U.V. Il a relevé uncertain nombre de transitions interbandes qu’il a in-terprétées par analogie avec d’autres semiconducteurs(des séries IV-IV, III-V et II-VI) de même structure

FIG. 4. - Spectre d’absorption de CuCI (d’aprèsCardona [2]).

cristalline. La figure 4 montre le spectre d’absorptionde Cardona.Dans le même domaine d’énergie, nous avons relevé

un certain nombre de transitions interbandes permiseset avons comparé les énergies calculées avec cellesobservées (tableau IV). Nous trouvons les énergiesde transitions interbandes sensiblement aux mêmes

énergies que l’expérience. Mais il y a un désaccorden ce qui concerne l’interprétation de ces transitionsaux énergies 6,1 - 6,8 eV et 10 eV.

L’interprétation de Cardona étant basée sur l’ana-logie avec d’autres semiconducteurs, il est douteux

que l’on puisse appliquer cette méthode de façonsystématique aux composés I-VII pour des raisonsque nous avons évoquées au chapitre I.

TABLEAU IV

On voit sur le tableau IV que les transitions

X3, X5 -~ X3 donnent des énergies légèrementplus grandes que celle - Fl (absorption fonda-mentale). Nous avons évalué le carré du moment

dipolaire électrique pour ces transitions. Nous trouvonsqu’il y a une différence de l’ordre de grandeur :1 r )r ( r ~ 30. Cela pourrait être laraison pour laquelle cette absorption n’est pas observée.

Il y a désaccord de l’ordre de 0,7 eV pour la tran-sition X5 -7 X1 à l’énergie 8,3 eV entre calcul et

expérience. Comme nous avons remarqué plus haut,la convergence du niveau F, est plus lente que pourd’autres états. Nous pensons donc qu’à la limite

l’énergie X5 -~ XI doit augmenter pour se rapprocherde la valeur expérimentale.

Pour ce qui concerne la séparation spin-orbite, noscalculs ont montré l’inversion au sommet desbandes de valence et un bon accord avec l’expérience.Dans le domaine du visible, il y a de nombreux

travaux [1] du groupe de Strasbourg. Mais nos calculsau stade actuel ne peuvent expliquer les structuresdétaillées observées dans ce domaine du spectre.L’étude de cette région du spectre, notamment le

spectre d’exciton, est en cours. Les possibilités detransitions avec l’aide de phonons sont à l’étude pourexpliquer certaines structures observées en spectre

202

optique aussi bien qu’en photoconductivité [20].D’autre part, le calcul de densité d’états des bandesde valence est en cours et nous espérons que destravaux expérimentaux sur la photo-émission ou

l’émission de rayons X nous viendront apporter deséléments de comparaison.

VI. Conclusion. - Nous avons utilisé les méthodescombinées de LCAO et de OPW pour décrire lastructure électronique du chlorure cuivreux CUCI.Nous pensons que cette méthode peut être appliquéedirectement à d’autres semiconducteurs de la série I-VII : CuBr et Cul. Les orbitales atomiques formantles bandes de valence sont de même caractère pour lestrois substances de cette série.Nous avons trouvé, en introduisant comme seul

paramètre ajustable une « constante diélectrique »dans le potentiel d’échange de Slater, des énergies detransitions interbandes qui sont en accord satisfaisantavec l’expérience. Ce paramètre n’est pas directementcomparable à la constante diélectrique physique, maisil est proche de la valeur physique dans la région durouge E = 3,61. En même temps, nous avons montréque l’interprétation du spectre de transitions inter-bandes des halogénures de cuivre par extrapolation àpartir d’autres semiconducteurs (IV-IV, III-V et

11-VI) de même structure cristalline n’est pas toujoursjustifiée.

En utilisant les paramètres du couplage spin-orbiteatomiques renormalisés correctement d’après le calculdes bandes, nous avons trouvé que r 7 est plus élevéque r8. D’autre part, nous avons obtenu la séparationdu couplage spin-orbite au sommet des bandes devalence qui est en bon accord avec l’expérience. Nousavons montré également par un calcul explicite quele couplage spin-orbite n’introduit pas, dans le cas

de CuCI de déplacement sensible du sommet de labande de valence de r à un autre point, comme celaest permis d’après la théorie des groupes dans descristaux n’ayant pas de centre d’inversion.

Annexe I. Éléments de matrice d’énergie en liaisonsfortes. - Les neuf fonctions de Bloch qui sont construi-tes à partir des 9 orbitales atomiques sont les suivantes :

Nous donnons ci-dessous les éléments de matricede l’Hamiltonien cristallin entre ces fonctions de Blochdans l’approximation des liaisons fortes. Ils sont expri-més par des intégrales à deux centres (jusqu’auxdeuxièmes proches voisins). Les notations sont cellesde Slater et Koster [9], d’ailleurs un certain nombred’entre elles sont données dans [9]. Seuls, les élémentstypiques sont donnés, les autres pouvant être obtenusimmédiatement par simple permutation de x, y et z.

203

Les intégrales p, r) sont définies :

Annexe II. Éléments de matrice d’énergie en OPW.- L’élément de matrice du déterminant séculaire desondes planes orthogonalisées est de la forme suivante :

où est la fonction de Bloch simple pour les couchesinternes, la fonction d’onde obtenue au chapitre IIpour les bandes de valence :

où n : l’ensemble des trois nombres quantiques (n, 1, : sont des coefficients déterminés par le calcul de

LCAO au chapitre II,vn : fonction atomique symétrisée de symétrie oc à

partir d’orbitales n = 3p, par exemple.

Nous avons à calculer les quantités du type

Un calcul direct nous donne :

multiplié par

En nous servant du fait que les = Cn (l/.., 77ï)définissent une transformation unitaire et d’autre partdu théorème de sommation de l’harmonique sphérique,nous obtenons finalement :

204

Quand cp~ est une fonction de Bloch à partir d’uneseule orbitale atomique (les couches internes), nousmettons = ôin et 0. =1 pour obtenir le résultat.Le deuxième terme dans cette expression provient dumélange de différentes orbitales dans le calcul desbandes de valence, comme nous l’avons montré auchapitre II. Nous avons pris une simplification quiconsiste à négliger le deuxième terme vis-à-vis du

premier. Cette simplification pourrait influencer leniveau mais, sur d’autres niveaux de conduction,en particulier sur r1, ce problème ne se pose pas étantdonné que le seul état ri dans les bandes de valenceest pratiquement purement d’orbitale 3s de CI-. Cecalcul est une généralisation de celui donné dansl’annexe de [4].

Remerciements. - J’exprime ici ma reconnaissanceà M. le Professeur E. Daniel qui a dirigé ce travail.

Je remercie M. le Professeur S. Nikitine, Directeur duLaboratoire de Spectroscopie et d’Optique du CorpsSolide de Strasbourg, pour l’intérêt qu’il a porté surcette étude, ainsi que le Docteur F. Gautier pour lesnombreuses discussions que nous avons eues au coursde ce travail. Je remercie vivement M. H. Brenet duCentre de Recherches Nucléaires de Strasbourg pourles calculs numériques effectués avec l’ordinateurdu C.R.N.

Manuscrit reçu le 18 août 1966.

Note ajoutée à la correction. - Dans un travailrécent sur la séparation due au couplage spin-orbiteà k = 0, Shindo et al. [21] ont déduit, par unraisonnement simplifié, une expression de analogue à la nôtre.

BIBLIOGRAPHIE

[1] NIKITINE (S.), Progress in Semiconductors, 1962, 6,233.

NIKITINE (S.) et RINGEISSEN (J.), J. Phys. Rad.,1965, 26, 171.

[2] CARDONA (M.), Phys. Rev., 1963, 129, 69.

[3] PHILLIPS (J. C.), Solid State Physics, 1966, 18, 55.

[4] KNOX (R. S.) et BASSANI (F.), Phys. Rev., 1961,124, 652.

[5] FOWLER (W. B.), Phys. Rev., 1963, 132, 1591.

[6] KNOX (R. S.), BASSANI (F.) et FOWLER (W. B.),Phys. Rev., 1965, 137, A 1217.

[7] HARTREE (D. R.) et HARTREE (W.), Proc. Roy. Soc.,1936, A 157, 490.

[8] HARTREE (D. R.) et HARTREE (W.), Proc. Roy. Soc.,1936, A 156, 45.

[9] SLATER (J. C.) et KOSTER (G. F.), Phys. Rev., 1954,94, 1498.

[10] LANDOLT, BÖRNSTEIN, 1950, vol. 1.

[11] PAPMENTER (R. M.), Phys. Rev., 1955, 100, 573.

[12] HERMAN (F.) et McCLURE (D. S.), Bull. Am. Phys.Soc., 1960, 5, 48.

[13] BASSANI (F.) et CELLI (V.), J. Phys. Chem. Solid,1961, 20, 64.

[14] MARIOT (L.), Groupes finis de symétrie, Dunod,Paris.

[15] SLATER (J. C.), Phys. Rev., 1951, 81, 385.

[16] NIKITINE (S.), Communication privée.[17] National Bureau of Standards, Atomic Energy Levels,

vol. I, II.

[18] BRAUNSTEIN (G.), J. Phys. Chem. Solid, 1959, 8, 280.[19] DRESSELHAUS (G.), Phys. Rev., 1955, 100, 580.[20] CORET (A.), LÉVY (R.), GRUN (J. B.), MYSYRO-

WICZ et NIKITINE (S.), Phys. Letters (à paraître).[21] SHINDO (K.), MORITA (A.) et KAMIMURA (H.),

J. Phys. Soc., Japan, 1965, 20, 2054.