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STATISTISCHE BEIHEFTE
STATISTICAL MONOGRAPHS
FOR THE BENEFIT OF ECONOMICS, MEDICINE, PSYCHOLOGY, AND SOCIOLOGY
Editor: G. Menges
1
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Brachinger, Hans WoHgang: Robuste Entscheidungen: optimale Ausw. im Rahmen weicher Modelle / Hans Wolfgang Brachinger. - Heidelberg: Verlag Statistische Hefte, 1982.
(Statistische Beihefte; 1)
Distributed by Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork Tokyo
ISBN-13: 978-3-642-69414-1 DOI: 10.1007/978-3-642-69413-4
Copyright ©Verlag Statistische Hefte GmbH Postfach 105729 D-6900 Heidelberg 1
e-ISBN-13: 978-3-642-69413-4
Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Photokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden.
Verlag Statistische Hefte Heidelberg
1982
Hans Wolfgang Brachinger
ROBUSTE ENTSCHEIDUNGEN
Optimale Auswahl im Rahmen weicher Modelle
ZUM GELEIT
Von Zeit zu Zeit werden der Redaktion der "Statistischen Hefte"
Arbeiten angeboten, die zwar einerseits wert wären, veröffentlicht
zu werden, andererseits aber zu umfangreich sind, als daß sie als
Aufsätze in der regulären Zeitschrift Platz finden könnten. Solche
Aufsätze, aber auch kleinere Monographien sollen von nun an als
"Statistische Beihefte" publiziert werden.
Die Redaktionspolitik lehnt sich an die der "Statistischen Hefte"
an; es werden vornehmlich solche Arbeiten berücksichtigt, deren
allgemeines wissenschaftliches Niveau hoch ist, deren Umfang ca.
50 bis 180 Seiten beträgt und die der Anwendung der Statistik in
Ökonomie, Medizin, Psychologie und Soziologie dienen, vor allem
dann, wenn sie für die Lösung aktueller Gesellschafts-, Wirtschaft!
und Gesundheitsprobleme von Bedeutung sind. Aber auch theoreti
sche Arbeiten sind willkommen, etwa über Konzepte, Theorien und
Methoden für die Nutzung solcher Daten, die nicht nach den Regeln
des klassischen Experiments gewonnen wurden, über ModelIierungs
Techniken, Verfahren der Datenanalyse und über solche Methoden,
die für Semantik aufnahmefähig sind. Außerdem sollen Untersuchun
gen über Fehler gefördert werden.
*
Das hiermit vorgelegte erste Heft der neuen Reihe gehört in die
theoretische Ausrichtung und erfüllt die oben angegebenen Krite
rien in idealer Weise (mit Ausnahme des Kriteriums der Seitenzahl)
Die Arbeit von H. W. Braahinger greift einige Strömungen der zeit
genössischen Statistik auf, hauptsächlich die weiche ModelIierung,
robuste Verfahrens techniken , die statistische Entscheidungstheo
rie sowie die LPI-Theorie und vereinigt sie zu einer neuartigen
Methodik robuster Entscheidungen. Diese sieht auf den ersten Blick
recht abstrakt aus, und auch der Autor äußert Zweifel, ob wohl
alle Einzelheiten anwendungsfähig seien. In dieser Hinsicht bin
ich weitaus optimistischer. Tatsächlich ist das Werk durchgängig
- iv -
auf Anwendung ausgerichtet, und es ist daher auf "unscharfe" Pro
bleme der oben skizzierten Art in allen (wesentlichen) Aspekten
anwendbar. Sehr berechtigt ist die Vermutung des Autors, daß sei
ne Arbeit die Grenzen der Anwendungsfähigkeit des Konzepts der ro
busten Entscheidungen deutlich mache. Doch möchte ich ergänzen,
daß die Begrenzung gewiß nicht an seinem Konzept liegt; dieses
weitet vielmehr die Anwendungsgrenzen robuster Entscheidungen er
heblich aus.
Diese Arbeit behandelt auf wissenschaftlich sehr hohem Niveau ein
Kernproblem der Statistik, und sie zielt in die Richtung, die mit
den "Statistischen Beiheften" beschritten werden soll. Das ist ein
Glücksfall.
Daß die neue Reihe mit dieser bemerkenswerten Arbeit beginnt, wird
hoffentlich andere Autoren ermuntern, ihre Arbeiten - sofern sie
den oben genannten Kriterien genügen - dieser neuen Reihe anzuver
trauen.
Heidelberg, im September 1982 Günter Menges
VORWORT
Ausgangspunkt der vorliegenden Arbeit ist einerseits die in den
Wirtschafts- und Sozialwissenschaften heute weitverbreitete Ein
sicht, daß die für die Anwendung eines bestimmten Entscheidungs
modells notwendigen Kenntnisse in aller Regel nur schwer be
schaffbar sind. Im allgemeinen hat man nur vage und mit Unsicher
heiten und Ungenauigkeiten behaftete Informationen. Andererseits
werden die mit bestimmten Entscheidungsmodellen einhergehenden
optimalen Verfahren häufig deshalb kritisiert, weil sie schon
bei geringen Abweichungen von den Modellannahmen erheblich an Optima1ität verlieren. Gerade bei unvollkommener Information ist
also die "Robustheit" eines Verfahrens von ausschlaggebender
Bedeutung.
Ziel der folgenden Untersuchungen ist es, ein sogenanntes Gpund
modell robuster Entsaheidungen zu entwickeln. Dieses aufbauorientierte Grundmodell soll die Struktur jener Entscheidungs
situationen zum Ausdruck bringen, in denen Entscheidungen mit
unsicherem Ergebnis gefällt werden müssen und in denen der Entscheidungsträger eine "robuste" Entscheidung anstrebt. Eine
derartige Entscheidung ist dadurch gekennzeichnet, daß der Ent
scheidungsträger bereit ist, einen bestimmten Verlust an Opti
ma1ität zu zahlen, um dafür ein gewisses Maß an Sicherheit vor
unerwünschten Konsequenzen zu gewinnen.
Im einleitenden ersten Kapitel werden zunächst einige Gründe für
die Anwendung der sogenannten klassischen Schätz- bzw. Testver
fahren angeführt. Dann wird die traditionelle Vorgehensweise
der Statistik näher charakterisiert und kritisch beurteilt. Das
Kapitel endet mit zwei Forderungen, die sich aus der Kritik an
d~r traditionellen Vorgehensweise der Statistik ergeben: der Forderung nach der Bildung von "Unsicherheitsmodellen", die die
Un~icherheit, die in der Fest1egung eines bestimmten Modells
steckt, explizit modellmäßig erfassen und der Forderung nach der
Konstruktion neuer,Unsicherheitsmode11en adäquater Optima1itäts
kriterien, die dem Konzept der Robustheit Ausdruck verleihen.
- vi -
Im zweiten Kapitel wird dann zuerst auf die Forderung der Bildung
von Unsicherheitsmodellen näher eingegangen. Die Idee des weichen
Modellierens im Sinne von Wold wird dabei als Ansatz zur Bildung
von Unsicherheitsmodellen interpretiert (vgl. Abschnitt 2.1.1),
und als Konkretisierung der Vorstellung von Unsicherheitsmodellen
wird der Begriff des"weichen Modells"in einern allgemeineren Sinn definiert (vgl. Abschnitt 2.1). Dabei gelinqt es unter Integration
des Konzepts der linearen partiellen Information von Kofler und
Menges (1976), die Unsicherheit über die Realität in geeigneter
Weise zum Ausdruck zu bringen, ohne dabei vorhandene Information
zu verschenken. Im zweiten Abschnitt dieses Kapitels- wird das Kon
zept der Robustheit näher beschrieben (vgl. Abschnitte 2.2.1 und
2.2.2). Auf die Spezifikationen, die für eine sinnvolle Anwendung
dieses Konzepts unerläßlich sind, wird besonders hingewiesen (vgl.
Abschnitte 2.2.3 - 2.2.6). Dies wird durch ein abschließendes Bei
spiel veranschaulicht (vgl. Abschnitt 2.2.7).
Im dritten Kapitel wird auf die Forderung der Konstruktion neuer,
für weiche Modelle geeigneter Optimalitätskriterien eingegangen.
Dabei ergeben sich im wesentlichen zwei Möglichkeiten: Die Forde~
rung nach Unempfindlichkeit von Verfahren gegenüber Modell-Adäqua
tionsfehlern führt zum "Prinzip der schwachen Robustheit" (vgl.
Abschnitt 3.2), das wie jedes Entscheidungsprinzip dadurch charak
terisiert ist, daß es auf einer Aktionenmenge keine eindeutig bestimmte Präferenzrelation festlegt, sondern nur einen Teilbereich
zulässiger Präferenzrelationen abgrenzt. Im Sinne dieses Prinzips
zulässige Entscheidungsregeln, die wie alle Entscheidungsregeln
dadurch charakterisiert sind, daß sie auf einer Aktionenrnenge eine
eindeutig bestimmte Präferenzrelation festlegen, werden im Ab
schnitt 3.3 definiert. Die Forderung nach globaler Fastoptimali
tät von Verfahren führt zum "Prinzip der starken Robustheit" (vgl.
Abschnitt 3.4). Im Sinne dieses Prinzips zulässige Entscheidungs
regeln werden im Abschnitt 3.5 angegeben.
Im vierten Kapitel wird dann zunächst (vgl. Abschnitt 4.1) der
multikriterielle Charakter des Problems der Auswahl im Sinne des
Robustheitskonzeptes optimaler Alternativen herausgearbeitet (vgl.
Abschnitte 4.1.1 und 4.1.2). Vorschläge zur Operationalisierung
- vii -
der Zielvorstellungen dieses Entscheidungsproblems wer4en in den
Abschnitten 4.1.3 und 4.1.4 dargestellt. Dann werden Möglichkeiten
zur Lösung dieses multikriteriellen Entscheidungsproblems vorge
schlagen und abschließend hinsichtlich ihrer numerischen Durch
führbarkeit näher untersucht. Ist eine Entscheidung im Sinne ei
nes der im dritten oder vierten Kapitel formulierten Kriterien op
timal, so verdient sie das Prädikat "robust",
Im fünften Kapitel dieser Arbeit wird dann ein Grundmodell robu
ster Entscheidungen entworfen, das die Struktur robuster Entschei
dungen in geeigneter Weise zum Ausdruck bringen soll. Dabei werden
die im dritten und vierten Kapitel entwickelten Optimalitätskrite
rien in geeigneter Weise berücksichtigt.
Im sechsten Kapitel wird das statistische Entscheidungsproblem der
Punktschätzung von Lageparametern anhand dieses Grundmodelis struk
turiert. Dabei werden beispielhaft aus der Literatur bekannte Mög
lichkeiten zur Spezifikation einzelner Konstituenten des Grundmo
delis robuster Entscheidungen angegeben. Innerhalb der verschie
denen Aktionenmengen werden die robusten Alternativen besonders
hervorgehoben und schließlich hinsichtlich ihrer Robustheitseigen
schaften näher charakterisiert.
In einem abschließenden siebten Kapitel werden die wichtigsten Er
gebnisse der Arbeit kurz zusammengefaßt.
Der Gedanke, sich mit dem Konzept der Robustheit eingehender zu
beschäftigen, geht zurück auf eine Anregung von Herrn Professor
Dr. oec. publ. Eberhard Sahaiah. Ich freue mich, ihm an dieser
Stelle meinen herzlichsten Dank ausdrücken zu können, nicht nur
für die Möglichkeit, an diesem Thema zu arbeiten, sondern auch
.für die großzügige Art und Weise, mit der er mir Zeit zur Fertig
stellung dieser Arbeit einräumte und mich dabei stets beratend
und motivierend unterstützte. Seine wohlwollende Förderung und
seine zahlreichen Anregungen haben diese Arbeit entscheidend be
einflußt.
- viii -
Besonderen Dank schulde ich auch Herrn Professor Dr. rer. nato Heinrioh Streoker für seine stete, freundliche Unterstützung. Ein Beweggrund der hi~r angestellten Uberlegungen ist das Fehlerproblem in der Statistik, das gerade von ihm beharrlich betont wird.
Meinen Kollegen und Freunden CZaudia EdeZ, CZaudia Haug, Erika
Mattheiß, Senate Sohubert, MiohaeZ Seitter und UrsuZa WinterhoZer
danke ich für ihre unermüdliche Hilfsbereitscbaft, mit der sie die vielen mühevollen und undankbaren Tätigkeiten, die mit der Fertigstellung eines Manuskripts verbunden sind, erledigten, ihr
in vielen Gesprächen gezeigtes Interesse und für ihre Geduld in manch schwieriger Arbeitsphase.
Mein Dank gebührt zu guter Letzt Herrn Professor Dr. rer. pol. GUnterMenges für seine hilfreichen Hinweise, die dem Fortgang dieser Arbeit wesentlich zustatten kamen und für die Einladung, in der Reihe "Statistische Beihefte" zu publizieren.
Tübingen, im September 1982 H. W. Brachinger
INHALTSVERZEICHNIS
1. EINLEITUNG UND VORHABEN
1.1 Gründe für die Anwendung klassischer Schätz- bzw. Testverfahren
1.1.1 Klassische Schätz- bzw. Testverfahren und deren Optimalitätseigenschaften
1.1.2 Naturwissenschaftliche Tradition
1.1.3 Zentraler Grenzwertsatz
1.1.4 Rechenaufwand
1.2 Traditionelle Vorgehensweise der Statistik und ihre
Seite
2
3
3
Kritik 4
1 • 2. 1 Traditionelle Vorgehensweise 4
1.2.2 Nichtverifizierbarkeit der Modellannahmen 5
1.2.3 Schwächen der Optimalitätskriterien 6
1.2.4 "Unstetigkeit" und "Empfindlichkeit" klassi-scher Verfahren 7
1.2.5 Nichtberücksichtigung von Nichtstichproben-und Modell-Adäquationsfehlern 10
1.3 Forderungen, die sich aus der Kritik an der tradi-tionellen Vorgehensweise der Statistik ergeben 13
1.3.1 Bildung von "Unsicherheits-Modellen" 13
1.3.2 Konstruktion neuer Optimalitätskriterien 14
1.3.3 Identifikation von Modell-Adäquationsfehlern 17
1.4 Vorhaben
2. WEICHE MODELLE UND ROBUSTE VERFAHREN
2.1 Definition des Begriffes "weiches Modell"
2.1.1 Vorbemerkungen
2.1.2 Bemerkungen zum Modellbegriff
2.1.3 Begriff des "Umgebungsmodells"
2.1.4 Begriff des "weichen Modells"
18
21
21
21
22
23
25
2.1.5 Begriff der "stochastischen Information" 27
2.1.6 Begriff des "weichen Modells (im engeren 30 Sinn)
2.2 "Robuste" Verfahren
2.2.1 Konzept der "Robustheit"
2.2.2 "Robustheit" als Optimalitätskriterium
31
31
32
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6
2.2.7
- x -
Festlegung einer Aktionenmenge
Festlegung einer Zielvorstellung
Festlegung eines weichen Modells
Festlegung einer Modellannahme
Ein Beispiel
2.2.7.1 Beschreibung des t-Tests
2.2.7.2 Robustheit gegen Abweichungen von
Seite
33
34
35
35
36
36
der Normalverteilungsannahme 37
2.2.7.3 Robustheit gegen Abweichungen von der Unabhängigkeitsannahme 38
3. ROBUSTHEIT ALS ENTSCHEIDUNGSKRITERIUM
3.1 Entscheidungsfeld robuster Entscheidungen
3.1.1 Aktionenmenge
3.1.2 Zustandsmenge
3.1.3 Ergebnismenge und Nutzenfunktion
3.2 "Prinzip der schwachen Robustheit"
3.2.1 Herkömmliche Dominanz
3.2.2 Schwache R-Dominanz (R1-Dominanz)
3.2.3 Vergleich von Dominanz und R1-Dominanz
3.2.4 "Schwache Robustheit"
3.3 Entscheidungsregeln zum Prinzip der schwachen Robustheit
3.3.1 R1-Optimalität bezüglich Mo
3.3.2 Maximin-R1-Optimalität
3.3.3 Vergleich von MM-R1-Optimalität und MM-Optimalität
42
43
43
43
45
47
47
49
53
55
56
57
59
63
3.4 "Prinzip der starken Robustheit" 64
3.4.1 Starke R-Dominanz (R2-Dominanz) 64
3.4.2 Vergleich von R1-Dominanz und R2-Dominanz 67
3.4.3 "Starke Robustheit" 68
3.5 Entscheidungsregeln zum Prinzip der starken Ro-bustheit 70
3.5.1 Begriff der "Umgebung" 70
- xi -
Seite
3.5.2 Begriff der "Metrik" 71
3.5.3 c-Optimalität 73
3.5.4 Existenz c-optimaler Aktionen 74
3.5.5 Stetigkeitskonzept 76
4. AUSWAHL ROBUSTER AKTIONEN ALS MULTIKRITERIELLES ENTSCHEIDUNGS PROBLEM 78
4.1 Operationalisierung der Ziele des Problems der Auswahl robuster Aktionen 78
4.1.1 Zielvorstellungen 79
4.1.2 Partielle Ergebnismenge 80
4. 1 .3 Opera tionalisierung durch ~ 3 82
4.1.4 Operationalisierung mit Hilfe stochastischer Information bei endlichem Umgebungsmodell 84
4.1.4.1 Entscheidungsproblem unter Unsicher-heit als multikriterielles Entschei-dungsproblem unter Sicherheit 84
4.1.4.2 Multikriterielle Beurteilung der Robustheit von Aktionen bezüglich ei-ner Modellannahme Vk . 86
4.1.4.3 Amalgamation des zu einer Modellan-nahme Vk gehörigen Zielfunktionen-systems 91
4.2 Amalgamation der Zielfunktionen des Problems der Auswahl robuster Aktionen 94
4.2.1 Zielunterdrückung 95
4.2.2 Viel ziele-Optimierung bei linearer partieller Information über die Zielgewichte 96
4.2.2.1 Darstellung einer ordinalen Artenpräferenzrelation durch eine lineare partielle Information über die Ziel-gewichte 97
4.2.2.2 Aktionenbewertung nach dem MaxEmin-Prinzip 99
4.2.3 Numerische Ermittlung MaxEmin-R-optimaler Aktionen 101
4.2.3.1 Darstellung des Problems der Aus-wahl MaxEmin-R-optimaler Aktionen als Zweipersonenspiel 101
- xii -
4.2.3.2 Ermittlung der zur linearen partiellen Information LPI gehörigen
Seite
Extremalpunktematrix 103
4.2.3.3 Effizienz MaxEmin-R-optimaler Aktionen 105
5. GRUNDMODELL ROBUSTER ENTSCHEIDUNGEN UND DESSEN WERTUNG 111
5.1 Grundmodell robuster Entscheidungen 111
5.1.1 Aktionenmenge 111
5.1.2 Weiches Modell 112
5.1.3 Nutzen- und Zielfunktionen 112
5.1.4 Entscheidungsregel 114
5.2 Grundmodell robuster statistischer Entscheidungen 115
5.2.1 Statistische Verfahren 115
5.2.2 Stochstisches weiches Modell 116
5.2.3 Folge von Nutzen - und Zielfunktionen 116
5.2.4 Folge von Entscheidungsregeln 117
5.3 Wertung des Grundmodells robuster Entscheidungen 119
5.3.1 Offenlegung der Komplexität des Problems der Auswahl robuster Aktionen 119
5.3.2 Problematik der Vorentscheidungen 120
5.3.3 Klärung der Zielvorstellungen bei der Aus-wahl robuster Aktionen 121
5.3.4 Wahl eines Entscheidungskriteriums 122
5.3.5 Rechtfertigung des MaxEmin-Prinzips 123
5.3.6 Klärung der Kritik am Begriff "Robustheit" 123
5.3.7 Notwendigkeit und Problematik asymptotischer Betrachtungen 125
5.3.8 "Inference Robustness" versus "Criterion Robustness" 127
5.3.9 Wertung von Robustheitsuntersuchungen 130
- xiii -
Seite
6. STRUKTURIERUNG DES ENTSCHEIDUNGSPROBLEMS DER AUSWAHL ROBUSTER VERFAHREN ZUR PUNKTSCHÄTZUNG VON LAGEPARAMETERN ANHAND DES GRUNDMODELLS ROBUSTER ENTSCHEIDUNGEN 133
6.1
6.2
6.3
6.4
Problem der Parameterpunktschätzung 133
6.1.1 Modellannahmen 133
6.1.2 Realitätsnähe der Modellannahmen 134
6.1.3 Zielvorstellungen bei der Auswahl robuster Punktschätzverfahren 136
Umgebungsmodelle der Normalverteilungsannahme
6.2.1 Kontaminationsumgebungen
6.2.2 Totalvariationsumgebungen
6.2.3 Prokhorov-Umgebungen
6.2.4 Globale Umgebungen
Schadens- bzw. Nutzenfunktionen zur Beurteilung der Robustheitseigenschaften von Punktschätzverfahren
6.3.1 Asymptotische Varianz
6.3.2 Relative Effizienz
6.3.3 Absolute Effizienz
6.3.4 Stetigkeitskonzept
6.3.5 Einflußkurve
6.3.6 Sensitivitätskurve
6.3.7 Bruchpunkt
Robuste Punktschätzverfahren
140
140
141
142
142
143
144
144
146
147
148
151
152
153
6.4.1 M-Schätzer 154
6.4.1.1 Definition 154
6.4.1.2 Hubersche M-Schätzer 156
6.4.1.3 Dilatations-Äquivarianz 158
6.4.1.4 Festlegung der Konstanten k 159
6.4.1.5 Numerische Ermittlung eines M-Schätz-wertes 160
6.4.1.6 Robustheitseigenschaften der Huberschen M-Schätzer 162
6.4.1.7 Weitere Familien robuster M-Schätzer 163
6.4.1.8 Robustheitseigenschaften dieser M-Schätzer 165
- xiv -
Seite
6.4.2 L-Schätzer 166
6.4.2.1 Definition 167
6.4.2.2 a-getrimmte Mittelwerte 167
6.4.2.3 Robustheitseigenschaften der a-ge-trimmten Mittelwerte 168
6.4.2. 4 a-winsorisierte Mittelwerte 170
6.4.2.5 Robustheitseigenschaften der a-win-sorisierten Mittelwerte 171
6.4.2.6 Weitere robuste L-Schätzer 172
6.4.3 R-Schätzer 173
6.4.3.1 Definition 173
6.4.3.2 Robuste R-Schätzer 174
6.4.3.3 Robustheitseigenschaften dieser ro-busten R-Schätzer 175
7.ZUSAMMENFASSUNG DER ERGEBNISSE 177
LITERATURVERZEICHNIS 180
PERSONENVERZEICHNIS 191
STICHWORTVERZEICHNIS 193
"Ob diese ganze Malerei
eigentlich einen Wert hat?
Die Natur hat zehntausend Farben,
und wir haben uns in den Kopf gesetzt,
die Skala auf zwanzig zu reduzieren.
Das ist die Malerei,"'
Hermann Hesse,
Klingsors letzter Sommer
