Statistika_theory Week 7

5/23/2018 Statistika_theory Week 7

1/42

DISTRIBUSI NORMAL

Oleh : Hanung N. Prasetyo

STATISTICSWEEK 6

TELKOM POLTECH/HANUNG NP


2/42

Pengantar:

Dalam pokok bahasan disini memuat beberapa distribusi

kontinyu yang sangat penting di bidang statistika.

diantaranya distribusi normal. Distribusi ini sangat berperan

pada statistik inferensial yaitu dalam pengujian hipotesis,

pengujian panjang umur (life testing) dan sebagainya



3/42

Kompetensi:

Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini,

mahasiswa diharapkan:

1. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori Distribusi

Probabilitas Kontinu secara benar.

2. Mampu melakukan operasi hitungan-hitungan yang

berkaitan dengandistribusi normal

3. Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.



4/42

Daftar Isi Materi: Distribusi Normal

Distribusi Normal Baku

Luas Daerah dibawah Kurva Normal



5/42

Perhatikan grafik Histogram dan

Poligon berikut

Histogram

Poligon

Kurva

f(X)

X



6/42

6.1 Distribusi Normal

Distribusi probailitas kontinyu yang terpenting di bidang statistik

adalah distribusi Normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk

lonceng seperti gambar 6.1. Distribusi ini ditemukan Karl Friedrich (1777-

1855) yang juga disebut distribusi Gauss. Perubah acak X yang

bentuknya seperti lonceng disebut perubah acak normal dengan

persamaan matematik distribusi probabilitas yang bergantung paramerterdinyatakan

Pada gambar (6.2) melukiskan dua kurva normal dengan

simpangan baku yang sama tapi rata-rata berbeda, gambar 6.3

melukiskan beberapa kurva yang mempunyai mean sama tetapi standart

deviasi bebeda. Gambar 6.4 mellukiskan kurva normal dengan mean dan

standart deviasi yang berbeda.

(mean) dan (simpangan baku) n(x; , )



7/42

Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan salah satu distribusi yang paling

penting dalam statistika. Disebut pula dengan distribusi Gauss

(Gaussian distribution).

Fungsi densitas dari variabel randomXdengan mean dan

variansi 2adalah:

,


8/42

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

dnorm(x)

Gambar 6.1 Kurva normal



9/42

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

dnorm(x,

5,

1)

Distribusi Normal

1 2

2 21 2 1

Gambar 6.2 Kurva normal dengan simpangan baku sama



10/42

-4 -2 0 2 4

0

.0

0.5

1.0

1.5

x

dno

rm(x,

0,

0.2

5)

Distribusi Normal

2

1 10, 0.25

23 30, 0.75

22 20, 0.5

24 40, 1

Gambar 6.3 Kurva normal dengan rata-rata sama



11/42

-6 -4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

dnorm

(x,

1,

0.5

)

1 11 0 5, .

2 22 1,

Gambar 6.4 Kurva normal dengan mean dan standart deviasiyang berbeda



12/42

Karakteristik Distribusi Normal

Data merupakan data kontinu (interval atau rasio)

Sebaran bersifat simetris dengan modus tunggal

(unimodal)

Mean=median=modus

Batas nilai memungkinkan untuk seluruh bilangan

riil tak terbatas kekiri maupun kekanan

Secara umum karakteristik ditentukan oleh dua

parameter yaitu mean dan standar deviasi



13/42

Perhitungan Probabilitas pada

Distribusi Normal

P(x1


14/42

Sifat Distribusi Normal

Grafik simetri terhadap sumbu tegak x (=)

Grafik selalu berada diatas sumbu X (f(X)>0)

Mempunyai satu nilai Modus

Grafik mendekati sumbu X (tidak akan memotong sumbu

X)

Luas dibawah kurva f(X) dan diatas sumbu X sama

dengan satu ( ) 1x-P



15/42

Kurva Normal

Kurva normal yang dibentuk oleh normal, memiliki bentuklonceng simetris dan lebih lanjut memiliki properti sebagaiberikut:

1.memiliki modus, median, dan mean pada satu titik

2.kurva berbentuk simetri terhadap sumbu vertikal yangmelewati

3.kurva memiliki titik belok padax=

4.kurva normal mencapai sumbu horizontal secara

asimptot



16/42

14 16 18 20 22 24 26

Tumpang tindih

Tumpuk/stack



17/42

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Sebaran Y~N(M,SD) dan Z~N(0,1)

X

P(x)

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4


X

P(x)

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4


X

P(x)

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

.0

0.1

0.2

0.3

0.4


X

P(x)



18/42

4 6 8 10 12 14 16

0.0

0

0.0

5

0.1

0

0.1

5

0.2

0

Distribusi Normal

Rentang Nilai

Prob 0.95

13.926.08

0.025 0.025

4 6 8 10 12 14 16

0.0

0

0.0

5

0.1

0

0.1

5

0.20

Distribusi Normal

Rentang Nilai

Prob 0.99

15.1524.848

0.005 0.005



19/42

Bentuk umum Kurva Distribusi

Normal

Disebut juga dengan Distribusi Gauss.

.2,71828...e

.3,14159...

rata-rata

bakusimpangan

e2

1

Xf

-X

2

1-

f(X)

X

-



20/42

1

2 2

2

1

2

xb b

a a

P(a x b) f(x)dx e dx

6.2. Luas daerah di bawah kurva NormalLuas daerah kurva normal antara x = a dan x = b dinyatakan

sbb:

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

dnorm(x)

a b

Gambar 6.5 Luas daerah P(a


21/42

Fungsi padat perubah acak normal X, dengan rata-rata

dan variansi dinyatakan sebagai:

50 5; 50 5n(x; , )

21

1 22

x( )( )

n(x; , ) e ; x

2

314159 2 71828dengan , .... dan e , ....

Begitu dan diketahui, maka kurva normal dapat

ditentukan. Misal:

maka ordinat dengan mudah dapatdihitung.

2



22/42

Untuk mengatasi kesulitan menghitung integral.

Gunakan tabel distribusi normal standart (Z) yaitu distribusi normal

dengan

Caranya menggunakan transformasi dengan rumus

Setiap pengamatan perubah acak X dapat ditransformasikan

ke perubah acak Z dengan rata-rata 0 dan variansi 1.

Jika X mendapat nilai padananya diberikan oleh . Jadi jika

X bernilai dan maka perubah acak Z akan

Bernilai dan kemudian dinyatakan sebagai:

20 1dan

xz

xz

1x x 2x x

11

xz

22

xz

212 2 212

21 22 2

1 12

1 2

1

1 1

2 2

0 1

xx zz

x zz

z

P(x x x ) e dx e dx

n(z, , ) dx P(z z z )



23/42

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0

.2

0.3

0.4

0.5

x

d

norm(x,

1,

0.7

5)

Gambar 6.6 P(x1


24/42

Distribusi Normal Baku

Distribusi perubah acak normal dengan rata-rata nol dan

variansi 1 disebut distribusi normal baku

-4 -3 -2 -1 0 1 2

0.0

0.2

0

.4

0.6

0.8

dnorm(x

,-1,

0.5

)

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

z

dnorm(x,

0,

1)

Ganbar 6.7 Distribusi normal asli dan yang telah ditransformasikan

x1 x2 z1 z2

1 2 1 2P(x x x ) P(z x z )

1 2P(x x x ) 1 2P(z z z )



25/42

Probabilitas P(a


26/42

Probabilitas P(a


27/42

Probabilitas P(a


28/42

Probabilitas P(a


29/42

Contoh 6.1

50 10Diketahui suatu distribusi normal dengan

dan Carilah probabilitas bahawa X mendapat nilai

antara 45 dan 62

Jawab:Dicari nilai z yang berpadaan dengan adalah

dan

Jadi:

1 245 62x dan x

45 501 10

0 5z . 62 50

2 101 2z .

45 62 0 5 1 2P( x ) P( , z . )

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 20 40 60 80 100

0.0

0

0.0

1

0.0

2

0.0

3

0.0

4

45 62P( x ) 0 5 1 2P( , z . )

Gambar 6.7 Luas daerah contoh 6.1TELKOM POLTECH/HANUNG NP


30/42

Gunakan tabel distribusi normal standart, diperoleh:

45 62 0 5 1 2

1 2 0 5

0 8849 0 30850 5764

P( x ) P( , z , )

P(z , ) P(z , )

, ,,

Tabel 6.1. Luas daerah di bawah kurva normal

z 0.00 0.04 .. 0.09

::

-0.5 0.3085

0

:

:

1.2 0.8849

:

:TELKOM POLTECH/HANUNG NP


31/42

PELUANG EKSAKNo B.Bawah B. Atas Luas

(Peluang)

1 Mean -1,645 Deviasi

Baku

Mean + 1,645

Deviasi Baku

90%


Baku

Mean +1,96

Deviasi Baku

95%


Baku

Mean +2,58

Deviasi Baku

99%



32/42

LATIHAN

Hitung probabilitas dari nilai Z berikut :

P(Z


33/42

Distribusi Kumulatif

Perhitungan probabilitas variabel random Z yang

berdistribusi normal standar akan lebih mudah dihitung

dengan memakai fungsi distribusi kumulatif.

Distribusi kumulatif dari Z adalah F(z) dimanaF(z) = P(Z


34/42

Hitung probabilitas dari P(-1,43


35/42

0,917860,07642-0,99428

1,43-F2,53F2,53Z1,43-PJadi

0,07642Lz1

0,0808-0735,00,0808-Lz1

1,40--1,45-1,40--1,43-

0,99428Lz2

0,9938-9946,0

0,9938-Lz2

2,50-2,55

2,50-2,53

Contoh (lanjutan)



36/42

Contoh Distribusi Normal

1. Tinggi badan mahasiswa ITB berdistribusi normal

dengan = 165 cm dan = 10 cm.

Berapa probabilitas seorang mahasiswa yang dipilih

secara acak memiliki tinggi lebih dari 180 cm?

Tentukan ambang di mana persentase mahasiswa yang

melewati ambang batas ini tidak lebih dari 5%!



37/42

Contoh Distribusi Normal

2. Sebuah pabrik lampu menghasilkan lampu dengan

usia nyala yang berdistribusi normal dengan =

2500 jam dan = 100 jam. Suatu batch dinyatakansebagai baik kalau dari 5 lampu yang diuji,maksimum 1lampu yang usianya kurang dari 2350jam. Berapa probabilitas suatu batch dinyatakan

baik? Kalau terjadi kerusakan pada proses produksisehingga -nya menjadi 2400 jam, berapaprobabilitas kerusakan ini terdeteksi?



38/42

Pendekatan Distribusi Normal

Terhadap Distribusi Binomial

Pada saat nsangat besar danptidak bernilai ekstrim mendekati 0atau 1, perhitungan terhadap distribusi binomial dapat dilakukandengan menggunakan pendekatan perhitungan distribusi normal.

Teorema:JikaXadalah sebuah variabel random binomial dengan mean = npdan variansi 2= npq, maka bentuk limit pada saat ndaridistribusi binomial tersebut adalah:

dengan zberdistribusi normal baku n(z; 0,1)

npqnpXZ



39/42

Pendekatan Dist. Normal atas Dist. Binomial

(Contoh)

Probabilitas seorang pencandu narkoba terkena

virus hepatitis B dari sebuah suntikan adalah 0,6.Jika di suatu kota terdapat 1000 orang pecandu,

tentukan probabilitas bahwa tidak kurang dari

100 orang pecandu tersebut mengidap virus

hepatitis B!



40/42

LATIHAN

1. Jika diketahui variabel random X mempunyai distribusinormal dengan rata-rata 18 dan standar deviasi 2,5hitung nilai k sehingga P(X


41/42

LATIHAN (lanjutan)

3. Nilai ujian statistika sebagian besar mahasiswa mempunyai distribusinormal dengan rata-rata 34 dan standar deviasi 4. Jika X menyatakannilai-nilai mahasiswa tersebut, berapakah batas nilai Xo agar 10%dari kelompok nilai terendah berada dibawah Xo?

4. Dari 200 mahasiswa yang mengikuti ujian Statistika diperoleh nilairata-ratanya adalah 60 dan standar deviasinya adalah 10. Bila

distribusinya menyebar secara normal, berapa :a. persen yang mendapat nilai A jika nilai A>=80

b. persen yang mendapat nilai C jika nilai C terletak

pada interval 56


42/42

LATIHAN (lanjutan)

5. Suatu percobaan mengenai ukuran ruang memori dengan menggunakanmetode Quickshort menyatakan bahwa ukuran penggunaan ruang memoriberdistribusi normal dengan rata-rata 510,8 byte dan simpangan baku 40,67byte.

a. Berapa persen dalam percobaan tersebut

ditemukan ruang memori yang melebihi 600 byte?

b. Jika ditemukan 10 buah percobaan mempunyairuang memori berkisar antara 500 sampai 550

byte, berapakah jumlah percobaan yang telah dilakukan

oleh peneliti?

c. Jika dalam percobaan tersebut ditemukan bahwa 10%

hasil terendah, berapakah ukuran memori tertinggi dari

kelompok hasil percobaan dengan ukuran memori

terendah tersebut?

Documents

Statistika_theory Week 7