22.

1 terme

Séries de Fourier: Poutres

Décomposition en série de Fourier:

Equation différentielle: dx4d w

4 = B′p

Déformée Charge

Développement:

w(x) = wm sin( L )∑ m

∞p(x) = am sin( L )∑

m

∞

dx4d w

4 = wm sin( L )∑ m

∞

L )(4

= sin( L )∑ m

∞

B′p(x)

B′am

=wmL )(4

B′am ⇒ wm =

am L4

B′(mπ 4)

L’équation différentielle se traduit par la relation entre les coefficients de Fourier

Illustration: poutre simple chargée uniformément

L

p(x) =4p

m1∑

m=1,3,5

∞

sin( L )

w(x) =

∑ m=1,3,5

∞

sin( L )π

4p L4

B′ 5 m1

5

x

π4

55

384≈ + 0.4%

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23.

Plaques rectangulaires: Résolution à l’aide des séries de Fourier

Charge: développée en série double de Fourier:

p(x,y) = amn sin( a ) sin( b )∑ n

∞∑ m

∞

w(x,y) = wmn sin( a ) sin( b )∑ n

∞∑ m

∞

Equation de Lagrange: + 2∂x

4∂ w4 = ∂y

4∂ w4∂y

4∂ w2∂x2 +

Bp

Déformée: exprimée similairement en série double de Fourier:

Dérivées:

Conditions de bord: satisfaites dans le cas simplement appuyé

∂x∂w

= wmn cos( a ) sin( b )∑ n

∞∑ m

∞

a

∂x

2∂ w2 = wmn sin( a ) sin( b )∑

n

∞∑ m

∞

a )(–2

∂x

3∂ w3 = wmn cos( a ) sin( b )∑

n

∞∑ m

∞

a )(–3

∂x

4∂ w4 = wmn sin( a ) sin( b )∑

n

∞∑ m

∞

a )(4

= wmn sin( a ) sin( b )∑ n

∞∑ m

∞

a )(2

∂y

4∂ w2∂x2 b )(

2

mx 0=⇒∂x

2∂ w2 = 0w 0=x 0= et x a=en et

y 0= et y b=idem en

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24.

Plaques rectangulaires: Résolution à l’aide des séries de Fourier

L’équation de Lagrangedevient:

+ 2∂x

4∂ w4 = ∂y

4∂ w4∂y

4∂ w2∂x2 +

Bp

La relation est valable si les coefficients sont égaux terme à terme:

= sin( a ) sin( b )∑ n

∞∑ m

∞ amnB

wmn sin( a ) sin( b )∑ n

∞∑ m

∞=a )(

2

b )(2)(2

+

wmn =a )(2

b )(2)(2

+ amnB ⇒ wmn =

amn

B ( )2

+am2

2 bn 2

2π4

La déformée s’exprime donc:

w(x,y) = sin( a ) sin( b )∑ n

∞∑ m

∞ amn

( )2

+am2

2 bn 2

2

1B π4

Les coefficients amn sont déterminés par la relation:

p(x,y)=amn sin( a ) sin( b )∫0

a

∫0

b

dx dyab4

Dans le cas d’une charge uniformément répartie p:

=amn sin( a ) sin( b )∫0

a

∫0

b

dx dyab4p

amn = – cos( a ) )ab4p a(

0

a

– cos( b ) )b(0

b

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25.

Plaques rectangulaires: Résolution à l’aide des séries de Fourier

Finalement l’expression de la déformée est donc:

Pour une plaque carrée, ρ = 1:

amn = (1 – cos(mπ))4pmnπ2 (1 – cos(nπ))

amn = 4pmnπ2 (1 – (–1) )m (1 – (–1) )n

amn = 16pmnπ2 (m, n, impairs)

w(x,y) = sin( a ) sin( b )∑ n

∞∑ m

∞16B π6

4pa 12mn (m +ρ n )2 2 2

ρ = ab

(m, n, impairs)où: et

La déformée est maximum au centre de la plaque:

= a2

x ⇒ sin( a ) = (–1)m–1

2

= b2

y ⇒ sin( b ) = (–1)n–1

2

w(a/2,b/2)= ∑ n

∞∑ m

∞16B π6

4pa2mn (m +ρ n )2 2 2

(–1)m+n–2

2

(m, n, impairs)

w(a/2,a/2) = 16B π6

4pa 0.2441 = B

4pa0.00405 = 5384 B

4pa0.312

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26.

Les moments s’obtiennent par leurs expressions:

Distribution des moments le long des axes de symétrie:

Moments au centre d’une plaque rectangulaire librement appuyée:

mx= + ν∂x

2∂ w2 ∂y

2∂ w2– B ( ) my= + ν

∂y

2∂ w2 ∂x

2∂ w2– B ( )

ν = 0.3

ν = 0.0

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27.

Plaques: Résolution par la méthode des différences finies

Les dérivées partielles sont approchées par des équations algébriques:

Equation de Lagrange: + 2∂x

4∂ w4 = ∂y

4∂ w4∂y

4∂ w2∂x2 + B

p

wi-1

wi

wi+1

∆x ∆x∂x∂w

≈ 2 ∆xwi+1 – wi-1)i

∂x

2∂ w2 = ≈)i ≈∂x

∂∂x∂w )i 2 (∆x/2)

∂x∂w)i+1/2 ∂x

∂w)i-1/2–

2 (∆x/2)wi+1 – wi

∆x

–2 (∆x/2)wi – wi-1

2∂x

2∂ w2 )i ≈ ∆x

wi+1 – 2wi + wi-1

= ≈∂x

3∂ w3 )i ≈∂x

∂∂x

2∂ w2 )i 2 ∆x

–∂x

2∂ w2 )i+1 ∂x

2∂ w2 )i-1

≈2 ∆x

–2∆xwi+2 – 2wi+1 + wi

2∆xwi – 2wi-1 + wi-2

32 ∆xwi+2 – 2wi+1 + 2wi-1 – wi-2=

4∆xwi+2 – 4wi+1 + 6wi – 4wi-1 + wi-2=

= ≈∂x

4∂ w4 )i ≈∂x

2∂ w2 )i∂x

2∂2

– 2∂x

2∂ w2 )i+1 ∂x

2∂ w2 )i ∂x

2∂ w2 )i-1+

∆x2

≈– 22∆x

wi+2 – 2wi+1 + wi2∆x

wi – 2wi-1 + wi-2

∆x2

2∆xwi+1 – 2wi + wi-1 +

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28.

Différences finies: Expressions classiques approchées des dérivées

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29.

Plaque carrée: Résolution par la méthode des différences finies

Discrétisation de l’équation de Lagrange au point 1:

Equation de Lagrange: + 2∂x

4∂ w4 = ∂y

4∂ w4∂y

4∂ w2∂x2 + B

p

∆x = a/4 a/4 a/4 a/4

∆y = a/4

a/4

a/4

a/4

w1 w2w2

w2 w3w3

w2 w3w3

plaque carrée:– côtés de longueur a– simplement appuyée– charge uniforme p

6w1 – 8w2 + 2(4w1 – 8w2 + 4w3) + 6w1 – 8w2 = 4

B 256p a

Pour les autres points, il faut astucieusement tirer parti des conditions de bord:

Bord simplement appuyé:

Bord encastré:

Bord libre:

wi wi+2

wi

wi+2

∂x∂w = 0 wi+2 – wi)i+1 = 0 ⇒⇒ wi+2 wi=

∂x

2∂ w2 )i+1 = 0 wi+2 + wi = 0 ⇒⇒ wi+2 – wi=

∂x∂w )i ⇒ wi+2 wi + wi+1 – wi-1 =wi+2 wi= + 2∆x

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30.

Plaque carrée: Résolution par la méthode des différences finies

Discrétisation de l’équation de Lagrange:

20w1 – 32w2 + 8w3 = 4

B 256p a point 1

Résolution du système linéaire:

–8w1 + 24w2 – 16w3 = 4

B 256p a point 2

2w1 – 16w2 + 20w3 = 4

B 256p a point 3

w1 = 1.03134

B 256p a

= 0.004034

Bp a

≈ 0.004054

Bp a

(c.f. p. 26)

w2 = 0.75004

B 256p a

w3 = 0.54694

B 256p a

Les moments s’obtiennent par les discrétisations de:

∂y2∂ w

∂x– (1–ν) Bmxy =

mx= + ν∂x2∂ w

2 ∂y2∂ w

2– B ( ) my= + ν∂y2∂ w

2 ∂x2∂ w

2– B ( )

Par exemple:

mx1 ≈ + ν– B ( )2a /16w2 – 2w1 + w2

2a /16w2 – 2w1 + w2 (1+ν) (w1 – w2)= 32 B

2a

(1+ν)= 0.03516 2p a (1+ν)≈ 0.0368 2p a (c.f. p. 26)

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