1  

   

Applicable  Spring  11  Exam  1  Solutions      

 1.   Answer:    (E)    As  per  the  formula  sheet,  the  standard  error  (for  one  mean  w/  FPCF)  is  given  as…    

SE  =  1

s N nNn

−−

 =  !

""#

$#

"%& ! $#"%& ! #

 =  37.5  

   2.   Answer:    (C)    Recall  that  the  formula  for  a  CI  for  one  mean  is  given  as…    

*

1s N n

x tNn

−±

−  → *x t SE±  

 In  the  previous  problem,  we  acquired  the  SE  =  37.5    Now,  in  the  formula,  we  need  to  acquire  the  critical  t  value  with  95%  confidence  and  df  =  n  –  1  =  31  –  1  =  30  and  we  get  a  critical  t  of  t*  =  2.056…    →  1387  +  (2.056)(37.5)  →  1309.9  to  1464.1    Thus,  the  upper  limit  is  given  as  1464.1      

  2  

3.   Answer:    (A)    Recall  that  the  shortcut  for  acquiring  a  confidence  interval  for  the  population  total  is  to  first  create  a  confidence  interval  for  the  population  mean  and  then  multiply  the  endpoints  by  the  population  size,  N…    

*

1s N n

x tNn

−±

−  →  

!!" #( ) ±" $"

%

&

" ! &" ! #

"

#$$

%

&''  

 (280)(1309.9)  to  (280)(1464.1)  →  366772  to  409948    Thus  the  lower  endpoint  is  366772    Note:  Your  answer  might  differ  slightly  by  rounding  error  i.e.  if  we  round  to  one  more  decimal,  we  get  a  slightly  different  answer.      4.   Answer:    (C)    As  per  the  review,  we  know  that  the  formula  for  a  CI  for  one  proportion  (using  the  FPCF)  is  given  as…    

 !!" ± #"

" #! "( )$

% ! $% !#

   

 However,  we  are  asked  to  create  a  ONE  sided  CI  for  the  proportion  of  all  developments  that  had  one  or  more  late  payments.    Here,  we  have  to  alter  our  critical  z  value  from  what  would  have  been  1.96  (i.e.  two-­‐‑tailed  area  of  .05  and  df  =  ∞)  to  a  critical  z  value  of  1.645  (i.e.  a  ONE–tailed  area  of  .05  and  df  =  ∞)    Since  we  are  told  that  7  of  the  31  payments  were  late,  we  know  that  p  =  7/31  =  .22581    

!"##$%&+ &"'($

"##$%& &! "##$%&( ))&

#%* ! )&#%* ! &

   =  .344  

 Note:  We  need  only  do  the  ‘plus’  in  the  confidence  interval  since  we  are  only  asked  for  a  ONE  sided  interval.  

  3  

5.   Answer:    (A)    Since  we  are  told  that  our  estimate  for  the  upper  bound  is  .3186,  we  can  use  this  information  to  create  an  upper  bound  for  the  NUMBER  of  households  that  were  late  by  multiplying  by  the  population  size,  N…    .3186(280)  =  89.2  ≈  89      7.   Answer:    (C)    In  order  to  determine  if  outliers  exist,  we  can  do  an  outlier  check  by  computing  the  upper  and  lower  fences…    

• lower  fence  =  Q1  –  1.5(IQR)  =  11.5  –  1.5(18  –  11.5)  =  1.75    

• upper  fence  =  Q3  +  1.5(IQR)  =  18  +  1.5(18  –  11.5)  =  27.75    Therefore,  if  we  have  any  observations  below  1.75  or  above  27.75,  these  values  will  be  considered  outliers.      Note:  I  know  that  the  question  only  asks  for  the  upper  fence,  but  I  always  compute  both  just  in  case  the  next  question  asks  me  for  the  lower  fence  :)      8.   Answer:    (B)    As  per  our  discussion  of  outliers  in  the  previous  question,  we  need  only  ‘scan’  the  data  to  determine  how  many  observations  fall  either  below  1.75  or  above  27.75…    

Tampa  

6   6   6   10   10   11   11   11  12   13   13   13   14   14   14   15  15   16   17   17   17   18   18   18  18   18   18   18   19   20   27   31  34                

 Therefore,  we  have  two  outliers.      

  4  

9.   Answer:    (D)    As  per  the  formula  sheet,  we  know  r  =  .4n  –  2  =  .4(33)  –  2  =  11.2  →  r  =  11    Note:  We  round  this  value  of  r  to  the  nearest  integer.      10.   Answer:    (B)    As  per  our  discussion  in  the  previous  problem,  we  know  that  we  are  supposed  to  take  the  11th  smallest/largest  observations  to  create  a  CI  for  the  median.    11th  smallest  observation  =  13  11th  largest  observation  =  18    Thus,  the  lower  endpoint  =  13    Note:  Your  professor’s  solutions  suggest  that  we  are  supposed  to  look  at  the  9th  smallest/largest  observations  though  I  assume  that  is  a  typo.      11.   Answer:    (A)    As  per  the  formula  sheet,  we  know  that  the  formula  for  a  CI  for  one  mean  is  given  as…    

!!" ± #"

$

%  

 where  t  comes  from  the  t–table  with  95%  confidence  and  df  =  n  –  1  =  33  –  1  =  32.    Looking  on  the  t–table,  we  get  t  =  2.040    

!"#$%&' ± ()$*+*,

%$"&)

--  →  !"#$%&' ± ($"&&  =  13.5  to  17.9  

       

  5  

12.   Answer:    (A)    CI  for  median  =  13  to  18  i.e.  width  =  18  –  13  =  5    CI  for  mean  =  13.5  to  17.9i.e.  width  =  17.9  –  13.5  =  4.4    Therefore,  the  interval  for  the  median  is  wider  by  about  .6        Note  on  questions  #14–#16:  Let’s  ignore  this  typo  and  do  these  problems  for  practice  assuming  that  the  question  asked  us  to  compare  the  North  to  the  West.  Yes,  I  just  picked  these  two  groups  arbitrarily  (and,  if  memory  serves,  on  another  form  code  of  the  exam  it  was  these  two  groups  that  we  being  compared.)    C’mon…  it’s  good  practice  :)      14.   Answer:    (A)    Since  we  can  assume  equal  variance,  we  will  use  the  pooled  procedure,  and  thus  we  are  asked  to  get  the  pooled  variance…    

− + −=

+ −

2 22 1 1 2 2

1 2

( 1) ( 1)2p

n s n ss

n n  =  !

"##! #$%&'()* + "+ ! #$)&'*,*

##+ + ! *  =  17.15  

       

  6  

15.   Answer:    (A)    Recall  the  formula  for  the  confidence  interval  for  two  independent  means  (assuming  equal  variances)…    

!!""! "

#± #$ $

%

# "&"

+ "&#

"

#$

%

&'  

 In  this  formula,  though,  we  know  that  df  =  n1  +  n2  –  2  =  11  +  9  –  2  =  18    Thus,  we  will  get  the  critical  t  value  by  looking  on  the  t  table  with  90%  confidence  and  df  =  18  to  acquire  t  =  1.746    

We  know  ME  =  

!!"" #

$

# $%$

+ $%#

!

"#

$

%&  =  

!"#$%& "$#"'

"""

+"(

!

"#$

%&  =  3.25  

   16.   Answer:    (A)    In  order  to  compare  the  wait  times,  we  should  create  a  CI  for  the  difference  in  mean  wait  times  i.e.  use  the  formula  for  the  CI…    

!!""! "

#± #$ $

%

# "&"

+ "&#

"

#$

%

&'  →  !!"" ! "# ±#$  →  !"#$%&$& ! '#%((() ± *%#+  =  5.215  to  11.715  

 Since  the  entire  interval  is  POSITIVE  we  know  that  there  IS  a  significant  difference  in  the  mean  wait  times  i.e.  the  mean  wait  time  in  the  North  is  significantly  longer  than  that  of  the  West.    In  the  context  of  this  problem,  by  the  way,  this  would  imply  that  the  North  is  significantly  worse  than  the  West  (presuming  that  we  do  not  want  to  wait  in  line).          

  7  

17.   Answer:    (E)    If  we  do  NOT  assume  equal  variances  then  we  do  NOT  use  the  pooled  variance  i.e.  the  formula  for  the  test  statistic  is  given  as…    

!!

"#$%#

=&"! &

#

'"

#

("

+'#

#

(#

="#$%%% ! &'$()*

&$+#'#

*+)$##)#

"&

= "#$)  

   18.   Answer:    (B)    As  per  the  review  (and  STA2023)  we  know  that  the  df  for  a  two–sample  t–test  will  never  be  smaller  than  the  smaller  of  the  two  sample  sizes  minus  1.    In  this  case,  we  know  that  the  nasty  df  will  be  at  least  9  –  1  =  8      19.   Answer:    (A)    As  per  our  analysis  in  question  #17,  we  know  that  the  test  statistic  for  the  difference  in  the  means  is  12.6    In  general,  any  test  statistic  bigger  than  about  2  or  3  yields  a  statistically  significant  result  i.e.  the  corresponding  p–value  would  be  less  than  alpha  and/or  the  test  statistic  would  fall  in  the  rejection  region.    Since  our  test  statistic  is  way  bigger  than  2  or  3,  we  can  say  that  there  is  a  statistically  significant  difference  in  the  mean  wait  times  of  these  two  offices.    Specifically,  we  can  say  that  the  mean  wait  time  for  the  Central  office  is  longer  than  the  West  office.    Note:  If  you  want  to,  you  can  look  up  the  t  test  statistic  of  12.6  on  the  t  table  (although  what  df  you  would  use  is  something  of  debate).  The  whole  purpose  of  this  question  was  for  you  to  recognize  that  this  test  statistic  is  off  the  charts  i.e.  it  yields  a  ‘significant’  difference  no  matter  what.          

  8  

20.   Answer:    (A)    As  per  the  output,  we  see  that  the  number  where  the  ‘difference  =  0’  is  49  i.e.  the  data  show  that  49  of  the  tax  returns  are  the  same  as  they  would  have  been  if  the  program  had  not  been  used.      21.   Answer:    (A)    As  per  the  description  in  the  problem,  we  are  told  that  14  paid  up  to  $1,000  less  i.e.  the  proportion  who  paid  less  is  14/69  =  .2029  =  20.29%      22.   Answer:    (B)    As  per  the  output,  we  see  that  the  average  difference  in  the  sample  is  $69.38  i.e.  the  average  ‘savings’  per  client  is  $69.38    Note:  Be  careful  with  the  wording  of  these  questions.  Since  this  question  asks  about  the  overall  sample,  we  trust  the  ‘average  difference’  given.        23.   Answer:    (A)    As  per  the  confidence  interval  in  the  output,  the  resulting  TOTAL  savings  for  ALL  such  clients  are  anywhere  from  $111,497.59  to  $1,212,628.24    Therefore,  a  total  savings  of  a  million  dollars  is  feasible  i.e.  it  is  within  the  interval.    Note:  A  total  savings  of,  say,  $1.5  million  would  NOT  be  feasible  since  it  is  not  contained  within  the  interval.