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Solución de Guía de Teoría ElectromagnéticaProblemas

Problemas de la Guía de Electromagnetismo

Problema 3

Tres cargas puntuales , se colocan como se muestra en la figura. Determine la fuerza resultante sobre

0.3𝑚

0.3𝑚𝑞3

𝑞1

𝑞2


Solución

Datos:

La fuerza neta sobre la carga , está dada por

Donde es la fuerza entre dos cargas puntuales, que esta dada por

𝐹=∑𝑖=1

𝑛

𝐹𝑖

𝐹=𝑘𝑞𝑖𝑞 𝑗𝑟2�̂�


Solución

𝑟

0.3𝑚

0.3𝑚

𝑞1

𝑞3

�̂�


Solución

Para calcular la fuerza que siente debido a , se tienen los siguientes valores

De a figura anterior se observa que

𝑞𝑖=𝑞1=−3.1×10−6𝐶 ,𝑞 𝑗=𝑞3=5×10

−6𝐶

𝐹𝑟=√ (0.3 )2+ (0.3 )2=0.424𝑚


Solución

�̂�

𝑟 𝑥

𝑟 𝑦

𝑟𝑥=−0.3𝑚

𝑦=0.3𝑚


Solución

De la figura anterior y utilizando triángulos semejantes, se tiene que el vector unitario que apunta hacia es:

Sustituyendo valores

�̂�=𝑥𝑟𝑖−𝑦𝑟𝑗=

0.30.424𝑖−

0.30.424𝑗=0.707 𝑖−0.707 𝑗

𝐹 1=9×109 (−3.1×10− 6 ) (5×10−6 )

(0.424 )2(0.707 𝑖−0.707 𝑗 )

𝐹 1=(−0.549𝑖+0.549 𝑗 )𝑁


Solución

Para calcular la fuerza que siente debido a , se tienen los siguientes valores

De la figura siguiente se observa

𝑞𝑖=𝑞2=1.2×10− 6𝐶 ,𝑞 𝑗=𝑞3=5×10

−6𝐶

𝑞2 𝑞3

𝑟

�̂�


Solución

Sustituyendo los valores

Sumando las dos fuerzas, se tiene

𝑟=0.3𝑚𝑦 �̂�=𝑖

𝐹 2=9×109 (1.2×10− 6 ) (5×10−6 )

(0.3 )2𝑖


Problema 4

En un día claro, el campo eléctrico cerca de la superficie de la Tierra es aproximadamente de 120 N/C apuntando radialmente hacia adentro. Suponga que el campo eléctrico tiene esa magnitud en toda la superficie de la Tierra. Determine la carga total que podría estar almacenada en la Tierra en dicha situación

𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎

𝐸

𝑑𝐴


Solución

Datos

La ley de Gauss esta dada por

Considerando una superficie gaussiana esférica concéntrica a la Tierra y de radio igual al radio de la Tierra, como se muestra en la figura anterior.

∮𝐸 ∙𝑑𝐴=𝑞𝑖𝑛𝑡𝜖𝑜


Solución

Como el campo eléctrico es radial y hacia la Tierra y el vector diferencial de área es radial y hacia afuera de la Tierra, el ángulo entre dos vectores es de 180°, por lo tanto se tiene lo siguiente

Como se considera que la magnitud de la intensidad de campo eléctrico es constante en todos los puntos cercanos a la Tierra, se tiene:

∮𝐸 ∙𝑑𝐴=∮𝐸 ∙𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠180 °=−∮𝐸 ∙𝑑𝐴 cos180 °

∮−𝐸𝑑𝐴=−𝐸∮𝑑𝐴


Solución

Como la integral es simplemente la suma de diferenciales de área de la esfera, esta es el área de la esfera, la cual es igual a donde es el radio de la Tierra, entonces tenemos:

Sustituyendo la integral en la expresión de la ley de Gauss, se tiene:

∮𝐸 ∙𝑑𝐴=𝐸∮𝑑𝐴=−𝐸4𝜋 𝑅2

∮𝐸 ∙𝑑𝐴=−4𝜋 𝑅2𝐸=𝑞𝑖𝑛𝑡𝜖𝑜


Solución

Despejando la carga, se tiene:

Sustituyendo los valores tenemos que:

Este no es un valor real, basta señalar que en ciertas condiciones en alguna s regiones de la superficie aparecen cargas positivas.

𝑞𝑖𝑛𝑡=−4𝜋𝜖𝑜𝑅2𝐸

𝑞𝑖𝑛𝑡=−4𝜋 (8.85×10− 12 ) (6.37×106 )2 (120 ) 𝑞𝑖𝑛𝑡=−541.52×103𝐶


Problema 5

Determine el campo eléctrico debido a las dos cargas que se ven en la figura en el punto medio de ellas.

4𝑚

−5.6𝜇𝐶 8.7𝜇𝐶


Datos

El campo eléctrico neto en un punto debido a varias cargas puntuales, esta dado por

Donde es el campo eléctrico debido a la carga en el punto , este esta dado por

𝐸=∑𝑖

❑

𝐸 𝑖

𝐸𝑖=𝑘𝑞1𝑟2�̂�

4𝑚

8.7𝜇𝐶−5.6𝜇𝐶

𝑃

2𝑚 2𝑚


Para calcular el campo eléctrico debido a , se considera que el vector unitario se dirige hacia el punto , como se ilustra en la figura, es decir:


𝑟=2𝑚𝑦 �̂�=𝑖

𝐸1=9×109 (−5.6×10−6 )

(2 )2�̂�

𝑟

𝑞1�̂�

𝐸1=12600 �̂� 𝑁 /𝐶

𝑃


Como se observa se dirige hacia .

Para calcular el campo eléctrico debido a se considera nuevamente que el vector unitario se dirige hacia el punto .


𝑟=2𝑚𝑦 �̂�=− 𝑖

𝐸2=9×109 (8.7×10−6 )

(2 )2�̂�

𝑟

𝑞2�̂�

𝐸2=−19575 �̂� 𝑁 /𝐶

𝑃


Como se observa se dirige hacia .

Para calcular el campo eléctrico debido a se considera nuevamente que el vector unitario se dirige hacia el punto .


Como se observa sale de hacia el punto . Sumando y se tiene

𝑟=2𝑚𝑦 �̂�=− 𝑖

𝐸2=9×109 (8.7×10−6 )

(2 )2�̂� 𝐸2=−19575 �̂� 𝑁 /𝐶

𝐸=𝐸1+𝐸2= (−12600 �̂�)+(−19575 �̂�)=−321751 �̂� 𝑁 /𝐶


Problema 6

Se tienen tres partículas con carga . ¿Cuál es el flujo eléctrico, a partir de la ley de Gauss, en las cinco superficies que se muestran en la figura?

𝑆4❑3¿𝑄𝑆 2

𝑆53𝑄

𝑆1𝑆3


Solución

La ley de Gauss tenemos que

Donde es la carga encerrada por la superficie

Para la Superficie , la carga encerrada es , entonces

Φ1=−2𝑄𝜖𝑜

Φ=−2𝑄𝜖𝑜


Solución




Φ2=𝑄𝜖𝑜

Φ=−2𝑄𝜖𝑜


Solución




Φ3=−2𝑄+3𝑄𝜖𝑜

=𝑄𝜖0

Φ=−2𝑄𝜖𝑜


Solución




Φ4=−2𝑄+𝑄+3𝑄𝜖𝑜

=2𝑄𝜖𝑜

Φ=−2𝑄𝜖𝑜


Solución



Para la Superficie , la carga encerrada es ya que no tiene cargas, entonces

Φ4=0𝜖𝑜

=0

Φ=−2𝑄𝜖𝑜


Problema 7

Un capacitor cilíndrico formado por un alambre y un tubo de largo 55cm, tiene una capacitancia de 3.9 nF. Si el radio del alambre es de 39 mm, ¿Cuál es el radio interno requerido para el tubo.

𝑎

𝑏

𝑙


Solución

Datos

La capacitancia de un capacitor cilíndrico esta dada por

Despejando el radio interior del tubo , se tiene

𝐶=𝑙

2𝑘𝑙𝑛(𝑏𝑎 )

𝑙𝑛(𝑏𝑎 )= 𝑙2𝑘𝐶⟹ 𝑏𝑎=𝑒𝑙

2𝑘𝐶⇒𝑏=a𝑒𝑙

2𝑘𝐶


Solución

Sustituyendo valores tenemos que

𝑏=a 𝑒𝑙

2𝑘𝐶⟹𝑏=(0.39 )𝑒0.55

(9×109 ) (3.9 ×10−9 )=39.31𝑚𝑚


Problema 8

Dos cargas de están dentro de un cascarón esférico de radio 25cm. ¿Cuál es el flujo eléctrico total a través del cascarón?

𝑞1

𝑞2


Solución

Datos

El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada debido a un conjunto de cargas puntuales, esta dado por

Sustituyendo los valores tenemos

Φ=𝑞𝑖𝑛𝑡𝜖0

Φ=24×10− 6+(−7×10− 6 )

8.85×10−12=1.92×106𝑁𝑚2/𝐶


Problema 9

Una partícula cargada positivamente se mueve a través de una diferencia de potencial de 200V, obtiene un incremento de energía de . Calcule la carga de la partícula.

𝑞

∆𝑉


Solución

Datos

El incremento de energía cinética esta dado por

Despejando la carga, se tiene

∆𝐾=𝑞∆𝑉

𝑞=∆𝐾∆𝑉


Solución

Datos

El incremento de energía cinética esta dado por

Despejando la carga, se tiene

∆𝐾=𝑞∆𝑉

𝑞=∆𝐾∆𝑉


Solución

Datos

Sustituyendo valores tenemos que:

𝑞=9.6×10−17

200=4.8×10− 19𝐶


Problema 10

Encuentre la capacitancia equivalente entre los puntos a y b del grupo de capacitores que están conectados como se muestra en la figura

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝐵

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝐶

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝐷

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝐷


Solución Los Capacitores de acuerdo a la figura B están conectados

en paralelo, entonces

Los Capacitores en la figura B están conectados en serie entonces

Los Capacitores en la figura B están conectados en serie entonces


Solución Los Capacitores en la figura C están conectados en

paralelo, entonces

Los Capacitores en la figura D están conectados en serie entonces:

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