Slides Durce Geometria

8/17/2019 Slides Durce Geometria

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15/03/2011Dirce Uesu


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Ementa:Conceitos e proposições básicas sobre figuras planas e espaciais:

estudo envolvendo incidência, ordem, medida etransformações.

O uso de recursos didáticos como: materiais concretos, jogos,softwares educacionais, etc.

Visualização, raciocínio espacial e o desenvolvimento dopensamento geométrico. Recursos metodológicos para o ensinoda Geometria.

Discussão do processo histórico em torno do Postulado V deEuclides, iniciação à construção axiomática da geometriaeuclidiana e noções introdutórias sobre geometrias não-euclidianas.


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Bibliografia: Carmo, M.P., Morgado, A.C., Wagner, E., Pitombeira, J.B.

Trigonometria e Números Complexos . Coleção do Professor deMatemática, SBM, 2001.

Dolce, O., Pompeo, J. N., Fundamentos de MatemáticaElementar - Volume 9 - Geometria Plana. Ed.Atual, 2005.

Dolce, O., Pompeo, J. N., Fundamentos de MatemáticaElementar - Volume 10 - Geometria Espacial. Ed.Atual, 2005.

Fainguelernt, E. K. Educação Matemática: Representações eConstrução em Geometria . Porto Alegre: ArtMed, 1999.

Greenberg, M.J. Euclidean and Non-Euclidean Geometries:Development and History 3rd ed. W.H.Freeman and Company,New York. 1993.


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Bibliografia: Hershkowitz, R. et. al. Aspectos Psicológicos de Aprendizagem

da Geometria . Boletim-GEPEM, Rio de Janeiro, n° 32. pp. 03-31.1994.

Kaleff, A. M. Novas Tecnologias no Ensino da Matemática:Tópicos em Ensino de Geometria. Rio de Janeiro:CEDERJ/UAB/UFF. 2008.

Lorenzato, S. (Ed) "O laboratório de ensino de Matemática naformação de professores". 2 ed. Campinas: Autores Associados.2009.

Pogorélov, A. V. Geometría Elementar. Tradução ao espanhol,Editorial Mir, Moscou, 1974.

Rezende, E.Q., Geometria Euclidiana Plana e ConstruçõesGeométricas , Editora da UNICAMP, Campinas, 2000.


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Elementos – Euclides

http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=15055

Os Elementos – Euclides – Editora Unesp, 2009Tradução : Irineu BicudoISBN : 978-85-7139935-8

http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=15055http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=15055http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=15055http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=15055


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Conceitos Básicos- Geometria Plana

Figuras geométricas elementares :ponto, reta e plano.

Plano: conjunto em que todos os pontos são seuselementos e as retas, seus subconjuntos.

Representação:

Pontos A, B, C, ...Retas a,b,c, ...


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Postulados ou axiomas de Incidência

Postulado 1: Qualquer que seja a reta existem pontos quepertencem e ponto que não pertencem à reta.

Postulado 2: Dados dois pontos distintos, existe uma únicareta que os contém

Quando duas retas têm um ponto em comum, dizemos quese intersectam ou se cortam naquele ponto.


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Proposição: Duas retas distintas ou não se intersectam ouse intersectam em um único ponto.

Prova: exercício.


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Prova: exercício.

Suponha por absurdo, que duas retas distintas intersectamem dois ou mais pontos. Como concluir?


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Prova: exercício.


É frequente em geometria o uso de desenhos.


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Prova: exercício.


É frequente em geometria o uso de desenhos.

No entanto, desenhos são considerados apenas um ins-trumento de auxílio à nossa intuição e linguagem.


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Definição: Pontos colineares são pontos que pertencem auma mesma reta.

Na figura, temos uma reta e três pontos A, B e C desta reta.

O ponto B está entre A e C.


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Postulados ou axiomas de ordem:

Postulado 3: Dados três pontos distintos de uma reta, um eapenas um deles localiza-se entre os outros dois.

Definição: O conjunto constituído por dois pontos A e B epor todos os pontos que se encontram entre A e B é cha-mado segmento AB.

A e B são denominados extremos.Notação :


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Definição: Se O e A são pontos distintos, o conjunto dospontos do segmento OA e por todos os pontos C tais que

A encontra-se entre O e C é chamado semirreta deorigem O contendo A.

Notação :

Postulado 4: Dados dois pontos distintos A e B sempreexistem: um ponto C entre A e B e um ponto D tal que Bestá entre A e D.


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Consequência :- Entre dois pontos quaisquer de uma reta, existe uma

infinidade de ponto

- Uma semirreta contém uma infinidade de pontos alémdaqueles contidos no segmento AB.


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Postulados ou axiomas de ordem

Definição : Seja r uma reta e A um ponto que não pertencea r . O conjunto dos pontos de r e por todos os pontos B

tal que A e B estão de um mesmo lado da reta r échamado semiplano determinado por r contendo A.

Postulado 5 : Uma reta r determina exatamente doissemiplanos distintos cuja interseção é a reta r .


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Postulados sobre medição de segmentos

Postulado 6 : A todo par de pontos do plano correspondeum número maior ou igual a zero. Este número é zero se

e só se os pontos são coincidentes.

Postulado 7 : Os pontos de uma reta podem ser semprecolocado em correspondência biúnivoca com os númerosreais, de modo que a diferença entre este números meça

a distância entre os pontos correspondentes.


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Medida de um segmento


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Medida de um segmento


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Postulados sobre medição de ângulos

Definição: Ângulo geométrico é a reunião de duas semirretas demesma origem e não colineares.

As semirretas são os lados do ângulo.O ângulo é raso, quando é formado por duas semirretas opostas.


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Postulado 8 : Todo ângulo tem uma medida maior ou igual a zeroA medida do ângulo é zero se, e somente se é constituído porduas semirretas coincidentes.

Definição: Uma semirreta divide um semiplano se ela estivercontida no semiplano e sua origem for um ponto da reta queque o determina.


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Postulado 9 : Todo ângulo tem uma medida maior ou igual a zeroA medida do ângulo é zero se, e somente se é constituído porduas semirretas coincidentes.

Definição: É possível colocar, em correspondência biúnivoca, osnúmeros reais entre zero e 180 e as semirretas da mesmaorigem que dividem um dado semiplano, de modo que adiferença entre esses números seja a medida do ânguloformado pelas semirretas correspondentes.


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Definição : Sejam , e as semirretas de mesmaorigem. Se o segmento intercepta , então divide oângulo AÔB.

Postulado 10: Se uma semirreta divide um ângulo AÔB, entãoAÔB = AÔC + CÔB

esses números seja a medida do ângulo formado pelas semirretas

correspondentes.


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Definição : Sejam , e as semirretas de mesmaorigem. Se o segmento intercepta , então divide oângulo AÔB.

Postulado 10: Se uma semirreta divide um ângulo AÔB, entãoAÔB = AÔC + CÔB

esses números seja a medida do ângulo formado pelas semirretas

correspondentes.


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Setor ângular


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Ângulos consecutivo e adjacentes


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Ângulos consecutivo e adjacentes


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Bissetriz


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Teorema: Os ângulos opostos pelo vértice são congruentes.Prove:


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Definição: Duas retas são perpendiculares se são concorrentes eformam ângulos adjacentes suplementares congruentes.

Definição: Mediatriz de uma segmento de reta é a retaperpendicular a este segmento que passa pelo ponto médio

desse segmento.


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Triângulos


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Classificação de Triângulos


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- Elementos notáveis de um triângulo.- Retas Paralelas.- Ângulos no triângulo

Ver exercícios resolvidos e propostos da aula 1- livro GB

Bibliografia:Geometria Euclidiana Plana. João Lucas Marques Barbosa.

Coleção do Professor de Matemática.

Geometria Básica, vol 1 – Dirce Uesu Pesco e Roberto GeraldoTavares Arnaut.


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Casos de congruência


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Conjunto convexo

Definição: Um conjunto de pontos chama-se convexose, quaisquer que sejam dois pontos distintos desse

conjunto, o segmento que tem esses pontos porextremidades está contido nesse conjunto.


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Polígono

8 vértices8 lados


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Polígono

8 vértices8 lados


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Região Poligonal

Polígono convexo


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Classificação- quanto ao número de lados


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Diagonal

Perímetro

Ângulo Interno


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Ângulo externo

Polígono regular


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Número de Diagonais

Exemplos: n = 3 , n = 4Considere um polígono convexo de n lados:

Qual é o número de diagonais que sai de cadavértice?


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Qual é o número de diagonais que sai de cadavértice? n-3


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Como cada diagonal tem extremidades em dois vértices,


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Como cada diagonal tem extremidades em dois vértices,cada diagonal foi contada duas vezes.


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Como cada diagonal tem extremidades em dois vértices,cada diagonal foi contada duas vezes. Daí


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Exemplo: 1) calcule o número de diagonais de um hendecágonoou undecágono.

Exemplo 2: Existe polígono convexo que possui 77 diagonais?


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Soma dos ângulos internos

Prova:


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Prova: Seja um poligono de n lados.


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Prova: Seja um poligono de n lados. Trace todas as diagonais de um vértice qualquer

(verifique no exemplo ao lado)


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(verifique no exemplo ao lado)Considere os n – 2 triângulos formados.


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(verfique no exemplo ao lado)Considere os n – 2 triângulos formados.Então a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono

Convexo é exatamente a soma dos ângulos internos desses n-2triângulos .


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(verfique no exemplo ao lado)Considere os n – 2 triângulos formados.Então a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono

Convexo é exatamente a soma dos ângulos internos desses n-2triângulos . Portanto


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Soma dos ângulos externos


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Ângulos de um polígono regular

Exercício:


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Exercício


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Exercícios Sala de aula


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Circunferência


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Circulo


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Elementos de um Circulo


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Posições relativas de retas e circunferência


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Ângulo central


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Medida do ângulo central e do arco correspondente


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Ângulo inscrito


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Ângulo inscrito

Prova:Três casos a considerar


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Ângulo inscrito


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Ângulo inscrito


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Ângulo inscrito


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Ângulo inscritoExemplo 1: Sem utilizar o teorema (*), encontre o valor de x

utilizando a demonstração desse teorema para cada um dostrês casos.

Se o arco ADB mede 44 graus.


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Ângulo de segmento


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Ângulo de segmento

Prova:


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Ângulo de segmento


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Ângulo de segmento


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Ângulo de segmento


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Ângulo Excêntrico interno


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Ângulo Excêntrico interno


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Bibliografia: Dolce, O., Pompeo, J. N., Fundamentos de Matemática

Elementar - Volume 9 - Geometria Plana. Ed.Atual, 2005. Pesco, D.U., Arnaut, R.G.T. Geometria Básica - Volume 1 -

CEDERJ, 2009.

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