Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello 1 Teoria dei giochi 3. Forma Strategica e ricerca dellequilibrio

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Teoria dei giochiTeoria dei giochi

3. Forma Strategica e ricerca 3. Forma Strategica e ricerca dell’equilibrio dell’equilibrio


22

Incrocio di strategieIncrocio di strategie

Se A ha a disposizione le strategie A1, A2, A3Se A ha a disposizione le strategie A1, A2, A3 B ha a disposizione le strategie B1, B2, B3B ha a disposizione le strategie B1, B2, B3 Possiamo studiare il gioco costruendo la tavola dei Possiamo studiare il gioco costruendo la tavola dei

payoffpayoff

B1B1 B2B2 B3B3

A1A1 ?? ?? ??

A2A2 ?? ?? ??

A3A3 ?? ?? ??


33

Matrice dei pagamenti: Matrice dei pagamenti: giochi a somma zerogiochi a somma zero

A sceglie la rigaA sceglie la riga B la colonnaB la colonna Il valore indica quanto B deve Il valore indica quanto B deve

pagare ad Apagare ad A

BB

A A B1B1 B2B2

A1A1 11 22

A2A2 00 -1-1


44

Ricordiamo: Assioma di razionalitàRicordiamo: Assioma di razionalità

Un giocatore sceglie l’azione che gli consente di ottenere Un giocatore sceglie l’azione che gli consente di ottenere i risultati migliori, qualunque sia la mossa i risultati migliori, qualunque sia la mossa dell’avversariodell’avversario

Che succede in questo caso ? Che succede in questo caso ? Situazione di equilibrio oppure no ?Situazione di equilibrio oppure no ?

BB

A A B1B1 B2B2

A1A1 11 22

A2A2 00 -1-1


55

Esempio 1Esempio 1


BB

A A B1B1 B2B2 B3B3

A1A1 22 44 66

A2A2 11 77 00

A3A3 11 00 77


66

Esempio 2Esempio 2


BB

A A B1B1 B2B2 B3B3

A1A1 11 22 33

A2A2 22 55 00

A3A3 44 00 00


77

Riduzione: esempio 1Riduzione: esempio 1

Che succede in questo caso ? Che succede in questo caso ? Ha senso per B scegliere B3 ? No, perché B1 è migliore Ha senso per B scegliere B3 ? No, perché B1 è migliore

in tutti i casi.in tutti i casi.

BB

A A B1B1 B2B2 B3B3

A1A1 22 33 44

A2A2 00 77 11

A3A3 11 00 55


88

Riduzione: esempio 1, cont.Riduzione: esempio 1, cont.

Ha senso per A scegliere A3 ? No, perché A1 è migliore Ha senso per A scegliere A3 ? No, perché A1 è migliore


BB

A A B1B1 B2B2

A1A1 22 33

A2A2 00 77

A3A3 11 00


99


Ha senso per B scegliere B2 ? No, perché B1 è migliore Ha senso per B scegliere B2 ? No, perché B1 è migliore


BB

A A B1B1 B2B2

A1A1 22 33

A2A2 00 77


1010


Ha questo punto B ha una sola strategia. Quindi A sceglie A1. ? No, Ha questo punto B ha una sola strategia. Quindi A sceglie A1. ? No,

perché B1 è migliore in tutti i casi.perché B1 è migliore in tutti i casi.

BB

A A B1B1

A1A1 22

A2A2 00

BB

A A B1B1

A1A1 22Soluzione del Soluzione del

gioco gioco EquilibrioEquilibrio


1111

Riduzione: esempio 1Riduzione: esempio 1

Ricapitoliamo Ricapitoliamo

BB

A A B1B1 B2B2 B3B3

A1A1 22 33 44

A2A2 00 77 11

A3A3 11 00 55Max-minMax-min

Min-max Min-max


1212

Equilibrio con max-min e min-max: esempio 1Equilibrio con max-min e min-max: esempio 1

Che succede in questo caso ?Che succede in questo caso ? Studiamo il gioco Studiamo il gioco

BB

A A B1B1 B2B2 B3B3

A1A1 22 44 66

A2A2 11 77 00

A3A3 11 00 77


1313

Equilibrio con max-min e min-max: esempio 2Equilibrio con max-min e min-max: esempio 2

Che succede in questo caso ?Che succede in questo caso ? Studiamo il gioco Studiamo il gioco

BB

A A B1B1 B2B2 B3B3

A1A1 11 22 33

A2A2 22 55 00

A3A3 44 00 77


1414

Esistenza dell’equilibrioEsistenza dell’equilibrio

Se Max-min= Min-MaxSe Max-min= Min-Max Ricordiamo:Ricordiamo:

– Max-min = quanto A è in grado di garantirsi giocando contro BMax-min = quanto A è in grado di garantirsi giocando contro B– Min-max = quanto B è disposto a pagare giocando contro AMin-max = quanto B è disposto a pagare giocando contro A


1515

MinimaxMinimax Giocatori perfetti per giochi deterministici ad informazione perfettaGiocatori perfetti per giochi deterministici ad informazione perfetta Idea: scegli la mossa che porta alla posizione con il più alto Idea: scegli la mossa che porta alla posizione con il più alto minimax minimax

value = value = miglior risultato raggiungibile contro il miglior avversariomiglior risultato raggiungibile contro il miglior avversarioPer esempio, gioco a 2 giocatori:Per esempio, gioco a 2 giocatori:

3 2 2

3

3 12 8 2 4 6 14 5 2

A1 A2

A3

A11 A12

A13A21

A22

A23A31

A32

A33

MAX

MIN


1616

Strategie miste: es. pari e dispariStrategie miste: es. pari e dispari

Utilità del gioco pari-dispari. A vince se esce pari.Utilità del gioco pari-dispari. A vince se esce pari. Nessun equilibrio. Nessuna informazione ulteriore.Nessun equilibrio. Nessuna informazione ulteriore.

BB

A A PP DD

PP 11 -1-1

DD -1-1 11


1717

Strategie miste: es. pari e dispariStrategie miste: es. pari e dispari

Che succede se A sceglie pari il 30% delle volte e B Che succede se A sceglie pari il 30% delle volte e B

sceglie dispari il 40% delle volte ?sceglie dispari il 40% delle volte ? Strategia mista.Strategia mista. Definizione di utilità attesa?Definizione di utilità attesa?

BB

A A P: qP: q D: 1-qD: 1-q

P: pP: p 11 -1-1

D: 1-pD: 1-p -1-1 11


1818

Attenzione!Attenzione!

Nel seguito dovremo usare un po’ di Nel seguito dovremo usare un po’ di

MatematicaMatematica


1919

Lotterie e PreferenzeLotterie e PreferenzeUn giocatore sceglie tra premi (A, B, etc.) e Un giocatore sceglie tra premi (A, B, etc.) e

lotterie, cioè, situazioni con premi incertilotterie, cioè, situazioni con premi incerti

Lotteria L = [p, A; (1-p), B]Lotteria L = [p, A; (1-p), B]

ABBA

BABA

BABA

ad preferito ènon

tiindifferen sono e

a preferito è

:Notazione

≈≈f

f

p

1-p

L

A

B


2020

Preferenze razionaliPreferenze razionaliIdea: le preferenze di un giocatore razionale devono obbedire a vincoli.Idea: le preferenze di un giocatore razionale devono obbedire a vincoli.Preferenze razionali Preferenze razionali comportamento descrivibile come comportamento descrivibile come massimizzazione dell’utilità attesamassimizzazione dell’utilità attesa

]),1;,[],1;,[(

tàMonotonici

],1;,[ ],1;,[

litàSostituibi

],1;,[

Continuità

)()()(

tàTransitivi

)()()(

tàOrdinabili

:Vincoli

BqAqBpApqpBA

CpBpCpApBA

BCpAppCBA

CACBBA

BAABBA

−≈−⇔≥⇒≈

−≈−⇒≈

≈−∃⇒

⇒∧

≈∨∨

f

ff

fff

ff


2121

Preferenze razionali (cont.)Preferenze razionali (cont.) La violazione dei vincoli conduce a evidenti contraddizioniLa violazione dei vincoli conduce a evidenti contraddizioni Per esempio: un giocatore con preferenze intransitive può essere Per esempio: un giocatore con preferenze intransitive può essere

indotto a dare via tutto il suo denaroindotto a dare via tutto il suo denaro

€

Se B f C, allora un giocatore che possiede C pagherebbe

(diciamo) 1 centesimo per ottenere B

Se A f B, allora un giocatore che possiede B pagherebbe

(diciamo) 1 centesimo per ottenere A

Se C f B, allora un giocatore che possiede A pagherebbe

(diciamo) 1 centesimo per ottenere C


2222

Massimizzando l’utilità attesaMassimizzando l’utilità attesa

TeoremaTeorema (Ramsey, 1931; von Neumann e Morgenstern, 1944): (Ramsey, 1931; von Neumann e Morgenstern, 1944):Date le preferenze soddisfacenti i vincoli esiste una funzione a valori reali Date le preferenze soddisfacenti i vincoli esiste una funzione a valori reali U tale cheU tale che

Principio MEUPrincipio MEU: Scegliere l’azione che massimizza l’utilità attesa : Scegliere l’azione che massimizza l’utilità attesa Nota: un giocatore può essere interamente razionale (consistente con MEU) Nota: un giocatore può essere interamente razionale (consistente con MEU) senza mai rappresentare o manipolare utilità e probabilitàsenza mai rappresentare o manipolare utilità e probabilità

∑=≈⇔≥

i iinn SUpSpSpU

BABUAU

)(]),;...;,([

)()(

11

f


2323

UtilitàUtilità L’utilità associa gli stati a numeri reali. Quali numeri ?L’utilità associa gli stati a numeri reali. Quali numeri ? Approccio standard per stabilire l’utilità umana:Approccio standard per stabilire l’utilità umana:

– Comparare un dato stato A con una lotteria standard LComparare un dato stato A con una lotteria standard Lp p che ha: che ha: – ““miglior premio possibile” umiglior premio possibile” u^̂ con probabilità p con probabilità p– ““peggiore catastrofe possibile” upeggiore catastrofe possibile” u^̂ con probabilità (1-p) con probabilità (1-p)

Aggiustare la probabilità della lotteria p fino a quando A è indifferente Aggiustare la probabilità della lotteria p fino a quando A è indifferente rispetto a Lrispetto a Lpp

Continua come prima

Morte istantanea

0.999999

0.000001

Pagare 30 € è indifferente a L


2424

DenaroDenaro Il denaro non si comporta come una funzione di utilitàIl denaro non si comporta come una funzione di utilità Data una lotteria L con valore monetario atteso di EMV(L), Data una lotteria L con valore monetario atteso di EMV(L),

solitamente U(L) < U(EMV(L)), cioè, le persone sono solitamente U(L) < U(EMV(L)), cioè, le persone sono avverseavverse al rischioal rischio

Curva di utilità: per quale probabilità p sono indifferente tra un Curva di utilità: per quale probabilità p sono indifferente tra un premio fisso x e una lotteria [p, € 1M; (1-p), € 0] ?premio fisso x e una lotteria [p, € 1M; (1-p), € 0] ?

I dati si possono (o debbono estrapolare sperimentalmente)I dati si possono (o debbono estrapolare sperimentalmente)


2525

Paradosso di S. PietroburgoParadosso di S. Pietroburgo Vi viene chiesto di partecipare ad un gioco in cui una moneta viene Vi viene chiesto di partecipare ad un gioco in cui una moneta viene

lanciata in aria sino a quando il risultato non è “testa”. lanciata in aria sino a quando il risultato non è “testa”. Se “testa” compare al lancio “Se “testa” compare al lancio “nn” , il giocatore vince € ” , il giocatore vince € 22nn . . Quanto paghereste per giocare ?Quanto paghereste per giocare ?

EMV(S.P.)=EMV(S.P.)=

Disposto a pagare qualunque cifra ? Assurdo. Bernoulli (1738) propose Disposto a pagare qualunque cifra ? Assurdo. Bernoulli (1738) propose di misurare l’utilità del denaro su scala logaritmica:di misurare l’utilità del denaro su scala logaritmica:

Quindi per giocare un giocatore razionale paga sino a € 4 !Quindi per giocare un giocatore razionale paga sino a € 4 !

∞==∑∑ i

ii

iii TMVTP 2

2

1)()(

2...16

4

8

3

4

212log

2

1)()( 2 =++++==∑∑ i

ii

iii TMVTP


2626

Valore dell’informazioneValore dell’informazione Problema calcolare il valore di acquisire nuovi elementi Problema calcolare il valore di acquisire nuovi elementi

decisionali.decisionali.

Esempio: comperare dei diritti petroliferiEsempio: comperare dei diritti petroliferi– nn blocchi A blocchi A11, …, A, …, Ann, solo in uno è presente il petrolio, , solo in uno è presente il petrolio,

valore stimato valore stimato kk– Probabilità a priori Probabilità a priori 1/n1/n ognuno, mutuamente esclusivi ognuno, mutuamente esclusivi– Il prezzo corrente di ogni blocco è allora Il prezzo corrente di ogni blocco è allora k/nk/n– Il consulente offre una perizia sul blocco AIl consulente offre una perizia sul blocco A11. Costo della . Costo della

consulenza ?consulenza ?


2727

Valore dell’informazioneValore dell’informazione

Soluzione: calcolare il valore atteso dell’informazione = Soluzione: calcolare il valore atteso dell’informazione = – valore atteso della miglior azione data l’informazione meno il valore atteso della miglior azione data l’informazione meno il – valore atteso della miglior azione senza l’informazionevalore atteso della miglior azione senza l’informazione

Potremmo dire “petrolio in APotremmo dire “petrolio in A11” o “niente petrolio in A” o “niente petrolio in A11”, con ”, con probabilità rispettivamente probabilità rispettivamente 1/n1/n e e (n-1)/n(n-1)/n, , – [1/n * valore di “comprare A[1/n * valore di “comprare A11” dato “petrolio in A” dato “petrolio in A11” +” +– (n-1)/n * valore di “comprare un altro lotto” dato “niente (n-1)/n * valore di “comprare un altro lotto” dato “niente

petrolio in Apetrolio in A11” ] – 0” ] – 0– = =

nknn

k

n

nk

n

n

n/

)1(

1)1(1=

−−

+−


2828

Giochino probabilisticoGiochino probabilistico A tre amici condannati a morte, A, B, C è comunicata la A tre amici condannati a morte, A, B, C è comunicata la

decisione del re di graziare due di lorodecisione del re di graziare due di loro A questo punto A si rende conto di avere una probabilità su 3 A questo punto A si rende conto di avere una probabilità su 3

di salvarsi.di salvarsi. Quando arriva la guardia per portargli da mangiare (A è Quando arriva la guardia per portargli da mangiare (A è

isolato dai suoi amici), A chiede di sapere il nome di uno dei isolato dai suoi amici), A chiede di sapere il nome di uno dei suoi due amici che sicuramente sarà graziato.suoi due amici che sicuramente sarà graziato.

La guardia ci pensa su un attimo, capisce che non c’è niente La guardia ci pensa su un attimo, capisce che non c’è niente di illegale e gli comunica che B sarà graziato.di illegale e gli comunica che B sarà graziato.

Qual è la probabilità che A sarà condannato ? (o se volete Qual è la probabilità che A sarà condannato ? (o se volete quanto vale questa informazione della guardia ?)quanto vale questa informazione della guardia ?)


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Giochino logicoGiochino logico C’era una volta un isola lontana popolata da fanti e cavalieri C’era una volta un isola lontana popolata da fanti e cavalieri

– I Fanti mentivano sempreI Fanti mentivano sempre– I Cavalieri dicevano sempre la verità I Cavalieri dicevano sempre la verità

Aristotele arrivato nell’isola, vuole sapere se il suo allievo Alessandro si Aristotele arrivato nell’isola, vuole sapere se il suo allievo Alessandro si trova lì. trova lì.

Il capo delle guardie lo sa di sicuroIl capo delle guardie lo sa di sicuro Aristotele gli chiede se Alessandro è nell’isola.Aristotele gli chiede se Alessandro è nell’isola.

– La risposta è solamente un “Si” oppure un “No”La risposta è solamente un “Si” oppure un “No” Aristotele gli chiede quindi se lui ha visto Alessandro nell’isola. Aristotele gli chiede quindi se lui ha visto Alessandro nell’isola.

– La risposta è di nuovo solamente un “Si” oppure un “No”.La risposta è di nuovo solamente un “Si” oppure un “No”. Aristotele non sa se il capo delle guardie è un fante o un cavaliere. Però a Aristotele non sa se il capo delle guardie è un fante o un cavaliere. Però a

questo punto Aristotele è in grado di dedurre se Alessandro si trova questo punto Aristotele è in grado di dedurre se Alessandro si trova nell’isola.nell’isola.

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