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8/19/2019 slide impedovo 01

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Matematica Applicata 30063

CLEAManno accademico 2015–16 II semestre

M. Impedovo Lezione 1

Parte I. Calcolo integrale

Le somme di Riemann

La definizione di integrale definito


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Tre esempi

1. La costituzione della

Repubblica Italiana Art. 53

Tutti sono tenuti a concorrere alle spese

pubbliche in ragione della loro capacità

contributiva.

Il sistema tributario è informato a criteri di

progressività.


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Attuale distribuzione

delle aliquote IRPEF (febbraio 2016)

01_irpef.xlsx


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La funzione delle aliquote

01_irpef.ggb


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2. Funzione delle aliquote continua


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3. Velocità e tempo

01_velocita-tempo.ggb


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Verso la definizione di integrale definito

ESEMPIO

INPUT f (x) = 1-x2

intervallo [0,1]

OUTPUT

numero reale ("area")


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Approssimazione mediante rettangoli

(somme di Riemann)

01_somme_riemann.ggb


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Approssimazione mediante rettangoli

(somme di Riemann)

1. Si divide [0,1] in n intervalli, per esempion=5, di uguale ampiezza

∆x = (b−a)/n = (1−0)/5 = 0.2:[0,0.2], [0.2,0.4], [0.4,0.6], [0.6,0.8], [0.8,1]

2. In ciascun intervallo scegliamo un punto ckarbitrario, per esempio:

c1=0.1, c2=0.3, c3=0.5, c4=0.7,c5=0.9


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3. Per ogni punto ck calcoliamo f (ck), cioè l'altezza

di ciascun rettangolo (le basi sono tutte ∆x=0.2).

f (x) = 1-x2

f (0.1)=1-0.01=0.99

f (0.3)=1-0.09=0.91

f (0.5)=1-0.25=0.75

f (0.7)=1-0.49=0.51

f (0.9)=1-0.81=0.19


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4. Calcoliamo l'area di ogni rettangolo:

f (x) = 1-x2

f (0.1)⋅0.2=0.99⋅0.2=0.198

f (0.3)⋅0.2=0.91⋅0.2=0.182

f (0.5)⋅0.2=0.75⋅0.2=0.150

f (0.7)⋅0.2=0.51⋅0.2=0.102

f (0.9)⋅0.2=0.19⋅0.2=0.038


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5. Sommiamo le aree degli n rettangoli (somme di

Riemann)

S5 = 0.198+0.182+0.15+0.102+0.038 = 0.67


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5. Le somme di Riemann con Excel


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6. E infine ... si fa tendere n a +∞


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Generalizziamo e formalizziamo:

la definizione di integrale definito

(secondo Riemann)

Dati

[a,b] un intervallo

f : [a,b] → una funzione

n∈ (n>0), ∆x = (b−a)/n

c1∈[a, a+∆x]

c2∈[a+∆x, a+2∆x]

…

cn∈[a+(n-1)∆x, b]


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Se

esiste

è finito (cioè è un numero reale)

non dipende dalla scelta dei ck

si dice che f è integrabile su [a,b]. Il numero

reale che rappresenta il limite delle somme di

Riemann si chiama integrale definito di f su[a,b] e si indica con il simbolo

( )1

limn

k n

k

f c x→ ∞

=

∆∑

( )d b

a

f x x∫


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Definizione di integrale definito di f su [a,b]

( ) ( )

( )

definizione

1

d lim

dove

1 ,

b n

k

n k a

k

f x x f c x

b a x

n

c a k x a k x

→ ∞=

= ∆

−∆ =

∈ + − ∆ + ∆

∑∫

INPUT → OUTPUT

funzione, intervallo → numero reale


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Osservazioni

Il simbolo di Leibniz

L'integrale definito non èun'area

( )

( )

1

n

k

k

b

a

f c x

f x dx

=

∆

↓ ↓ ↓

∑

∫

( ) ( )1 1

n n

k k

k k

f c x x f c= =

∆ = ∆∑ ∑


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Osservazioni

Il segno di ∆x e il segno di f (ck)

∆x→0, Σf (ck)→∞

Il lim non deve dipendere dalla scelta dei ck


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Esempio

f (x) = 1/x

Calcolare la somma di Riemann S10 in [1,2]

scegliendo il punto medio di ogni intervallo.

∆x = (2-1)/10 = 0.1

[1, 1.1], [1.1, 1.2], …, [1.9, 2]

c1=1.05, c2=1.15, …, c10=1.95

10

1 1 10.1 0.69284

1.05 1.15 1.95S

= + + + ≈


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Somme di Riemann

1. Calcolare la somma di Riemann S 5 della funzione f (x) = 1

x nell’intervallo [1; 2] (cioè dividendo l’intervallo

[1; 2] in 5 sottointervalli di uguale ampiezza) scegliendo i punti ci in tre modi diversi:

a) l’estremo destro di ciascun intervallo (rightbox )

b) i punti medi di ciascun intervallo (middlebox )

c) l’estremo sinistro di ciascun intervallo (leftbox )

Risposta. Risulta x = 2 1

5 = 0:2.

a) ci = f1:2; 1:4; 1:6; 1:8; 2g, f (ci) =

10

12; 10

14; 10

16; 10

18; 10

20

, S 5 = 0:2

10

12 +

10

14 +

10

16 +

10

18 +

10

20

0:64563.

b) ci = f1:1; 1:3; 1:5; 1:7; 1:9g, f (ci) =

10

11; 10

13; 10

15; 10

17; 10

19

, S 5 = 0:2

10

11 +

10

13 +

10

15 +

10

17 +

10

19

0:69191.

c) ci =

f1; 1:2; 1:4; 1:6; 1:8

g, f (ci) = 1;

10

12

; 10

14

; 10

16

; 10

18, S 5 = 0:2

1 + 10

12

+ 10

14

+ 10

16

+ 10

18

0:74563.

2. Come l’esercizio precedente per le funzioni

a) f (x) = ln (x) nell’intervallo [1; 2].

b) f (x) =p x nell’intervallo [1; 2].

Risposta.

a) rightbox: S 5 = 0:2(ln(1:2) + ln (1:4) + ln (1:6) + ln (1:8) + ln (2)) 0:454middlebox: S 5 = 0:2(ln(1:1) + ln (1:3) + ln (1:5) + ln (1:7) + ln (1:9)) 0:387

leftbox: S 5 = 0:2 (ln (1) + ln (1:2) + ln (1:4) + ln (1:6) + ln (1:8)) 0:315

b) rightbox: S 5 = 0:2p

1:2 +

p 1:4 +

p 1:6 +

p 1:8 +

p 2 1:260

middlebox: S 5 = 0:2p

1:1 +p

1:3 +p

1:5 +p

1:7 +p

1:9 1:219

leftbox: S 5 = 0:2p

1 +p

1:2 +p

1:4 +p

1:6 +p

1:8 1:177

3. Quanto vale il seguente integrale de…nito?2Z

2

1

2xdx

(Suggerimento: tracciare il gra…co di f (x) = 1

2x nell’intervallo [2; 2].)

Risposta. La funzione f è simmetrica rispetto all’origine

-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

x

y


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dunque risulta2Z

2

1

2xdx = 0

4. Calcolare il seguente integrale de…nito.2

Z 2

2dx

(Suggerimento: tracciare il gra…co della funzione costante f (x) = 2 nell’intervallo [2; 2].)Risposta. L’integrale de…nito coincide con l’area di un rettangolo di base 2 (2) = 4 e altezza 2, dunque

2Z 2

2dx = 8

5. Calcolare il seguente integrale de…nito.4

Z 2

1

2

xdx

Risposta. L’integrale de…nito coincide con l’area di un trapezio di altezza h = 4 2 = 2, base maggioref (4) = 2, base minore f (2) = 1, dunque

0 1 2 3 4 5 6

0

2

4

6

x

y

4Z 2

1

2xdx =

1

2 (2 + 1) 2 = 3

Somme di Riemann. Approfondimenti

1. Il regime …scale attuale italiano (febbraio 2016) prevede per l’IRPEF le seguenti aliquote.

Reddito imponibile (ke) [0; 15] (15; 28] (28; 55] (55; 75] (75;+

1)

Aliquota (%) 23% 27% 38% 41% 43%

Qual è l’imposta per un reddito di 30000 e? E 60000 e? E 100000 e? Qual è, per ciascuno dei tre redditiprecedenti, l’aliquota media?

Risposta. 7720 e, 19270 e, 36170 e. 25:7%, 32:1%, 36:2%.

2. (Usare Excel) Per la funzione f (x) = 1=x nell’intervallo [1; 2] calcolare nei tre modi diversi (leftbox, mid-dlebox, rightbox) S 10 e poi S 100 e poi S 1000 Si dovrebbe osservare che all’aumentare di n = 10; 100; 1000 ladi¤erenza fra le somme di Riemann S n calcolate nei tre modi diversi diminuisce e quindi si può intuire che altendere di n a 1 il risultato non dipende dalla scelta dei ci.


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Risposta.S 10 S 100 S 1000

leftbox 0:718771 0:695653 0:693397middlebox 0:692835 0:693144 0:693147rightbox 0:668771 0:690653 0:692897

3. (Usare Excel) Calcolare le somme di Riemann S 10, S 100, S 1000 di f (x) = x2 in [1; 6] con il metodo middlebox.


middlebox 71:5625 71:66562 71:66666

4. (Usare Excel) Calcolare le somme di Riemann S 10, S 100, S 1000 di f (x) = sin(x) in [0; ] con il metodomiddlebox.


middlebox 2:008248 2:000082 2:000001

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