Sistema Resorte-masa

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATOFACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL

PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2014 – FEBRERO/2015

FORMATO DE TRABAJO FINAL

I. PORTADAUNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial

Título: Sistema resorte/masaCarrera: Electrónica y comunicaciones Área Académica: Calculo Línea de Investigación: ElectrónicaCiclo Académico y Paralelo: Cuarto AAlumnos participantes: Andrade Bravo Andy José

Pico Aponte Magaly GreciaMódulo y Docente: Cálculo vectorial, Ing. Freddy Robalino

II. INFORME DEL PROYECTO1. PP2. YY

2.1 Título

Ecuación del movimiento oscilatorio respecto al sistema masa resorte

2.2 Objetivos

Realizar un sistema de resorte/masa para determinar la oscilación generada y describir su comportamiento mediante el uso de ecuaciones diferenciales.

2.2.1 Objetivos específicos

Fundamentar la Ley de Hooke juntamente con la Segunda Ley de Newton en un sistema resorte/masa.

Simular la onda generada a través de dicho sistema en el software MATLAB

Implementar el sistema y demostrar los resultados mediante los cálculos correspondientes.

2.3 Resumen

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El sistema resorte/masa consta de un resorte de elongamiento (L) sujeto en un extremo a un punto de referencia fijo conectado en su otro extremo con una masa (M ), este sistema describe un movimiento oscilatorio libre en el espacio que depende de los valores de los componentes resorte/masa, por ejemplo de la cantidad de masa depende la elongación del resorte, para diferentes valores de (M ) el resorte tendrá un mayor o menor desplazamiento (s) hacia abajo, el sistema presenta una fuerza positiva en dirección del peso de la masa y al mismo tiempo una fuerza opuesta que se conoce como fuerza de restauración del resorte, estas fuerzas obedecen a la ley de Hooke (F=ks ) fuerza de restauración, donde (k ) es la constante de proporcionalidad del resorte. Del mismo modo la fuerza en sentido positivo obedece a la segunda ley de Newton.

2.4 Palabras clave:

Sistema resorte/masa – elongación – fuerza – Segunda ley de Newton – Ecuación diferencial

2.5 Materiales y MetodologíaMateriales:Un soporte verticalDos resortesMasas no superiores a 150 grSoftware MATLAB

1. Fundamentar la Ley de Hooke juntamente con la Segunda Ley de Newton en un sistema resorte/masa.

SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

El resorte es un elemento muy común en máquinas. Tiene una longitud normal en ausencias de fuerzas externas, Cuando se le aplican fuerzas se deforma alargándose o acortándose en una magnitud “x” llamada “deformación”. Cada resorte se caracteriza mediante una constante “k” que es igual a la fuerza por unidad de deformación que hay que aplicarle. La fuerza que ejercerá el resorte es igual y opuesto a la fuerza externa aplicada (si el resorte deformado está en reposo) y se llama fuerza recuperadora elástica.

Oscilación: “Oscilación, en física, química e ingeniería, movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio.”

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Frecuencia: “La frecuencia f, es el número de oscilaciones por segundo.”Elongación: “Se define como el cambio del valor de una magnitud física con respecto a su valor de equilibrio.”

LEY DE HOOKESuponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se le fija una masa m a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes alargan el resorte en cantidades diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora F opuesta a la dirección de elongación y proporcional a la cantidad de elongación s y es expresada en forma simple como F=ks, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante de resorte. El resorte se caracteriza en esencia por el número k . Por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras hace que un resorte se alargue 1/2 pie, entonces 10=k (1/2) implica que k=20 lb / pie. Entonces necesariamente una masa que pesa, digamos, 8 libras alarga el mismo resorte sólo 2/5 pie. CITATION Zil09 \l 12298 [1]

SEGUNDA LEY DE NEWTONDespués de que se une una masa m a un resorte, ésta alarga el resorte una cantidad s y logra una posición de equilibrio en la cual su peso W se equilibra la fuerza restauradora ks. Recuerde que el peso se define mediante W=mg, donde la masa se mide en slugs, kilogramos ogramos y g=32 pies /s2 ,9.8m /s2 , obien 980cm /s2, respectivamente, la condición de equilibrio es mg=kso mg−ks=0. Si la masa se desplaza por una cantidad x de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora del resorte es entonces k (x+s). Suponiendo que no hay fuerzas restauradoras que actúan sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzas externas —movimiento

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libre— se puede igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta o resultante de la fuerza restauradora y el peso. [1]

W=mg pesoF r=−Ks ley de Hooke

m∗d2 xdt 2

=mg−K (x+s )

m∗d2 xdt 2

=mg−Ks−Kx

mg−Ks=0m∗d2 x

dt 2=−Kx (1)

ECUACION DIFERENCIAL DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

Dividiendo la ecuación (1) para la masa m

d2 xdt2

+( km ) x=0

w2= km

d2 xdt2

+w2 x=0(2)

La ecuación (2) es usada para describir el movimiento armónico simple no amortiguado, el cual describe una onda sinodal variante en el tiempo.

La ecuación (2) describe por una ecuación homogénea con coeficientes constantes donde sus raíces son imaginarias, representa un movimiento oscilatorio sinodal

(D¿¿2+w2) x=0¿

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D=0±wi

ECUACION DEL MOVIEMIENTO OSCILATORIO

x (t )=C1 coswt+C2 sen wt

Ejemplo sistema resorte/masa no amortiguado

Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En t=0se libera la masa desde un punto que está 8 pulgadas abajo de la posición de equilibrio con una

velocidad ascendente de 43

pie /s. Determine la ecuación de movimiento [1]

Debido a que se está usando el sistema de unidades de ingeniería, las mediciones dadas en términos de pulgadas se deben convertir en pies:

6 pulg=12

pie;8 pulg=2/3 pie. Además, se deben convertir las unidades de peso

dadas en libras a unidades de masa. De m=W /g tenemos que m= 232

= 116

slug.

También, de la ley de Hooke, 2=k ( 12 ) implica que la constante de resorte es

k=4 lb/ pie. Por lo que, de la ecuación (1) se obtiene

116

∗d2 x

dt2=−4 x ;

d2 x

dt2+8 x=0

El desplazamiento inicial y la velocidad inicial son x (0 )=2/3, x ' (0 )=−4 /3, donde el signo negativo en la última condición es una consecuencia del hecho de que a la masa se le da una velocidad inicial en la dirección negativa o hacia arriba y resolviendo como una ecuación homogénea tenemos raíces imaginarias. [2]

x ' '+8 x=0(D¿¿2+64 )t=0¿

D=0±8 ia=0b=8

x (t )=eax (C1 cos ( wt )+C2 sen (wt ) )x (t )=C1 cos (8 t )+C2 sen (8 t )

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Condiciones iniciales

x (0 )=23

; x ' ( t )=−43

23=C1 cos (0 )+C2 sen (0 )

23=C1

x ' (t )=−8C1 sen (8 t )+8C2 cos (8 t )43=−8C1 sen (0 )+8C2 cos (0 )

C2=−16

De estas condiciones iniciales tenemos una ecuación particular que describe el movimiento oscilatorio variante en el tiempo.

x (t )=23cos8 t−1

6sen8 t

Aun cuando conozcamos la función de la oscilación no es posible tener una clara idea de la amplitud de la onda, ya que en un sistema real aplicado la amplitud inicial no se mantienen debido a las fuerzas externas que actúan sobre el sistema como la fricción del viento que desacelera el sistema en un determinado tiempo.Una manera de conocer esta amplitud en un tiempo diferente de cero t ≠0, es llevando la solución particular a una expresión fasorial equivalente. Tenemos que[3]

A coswt+B sinwt=C cos(wt¿−θ)¿A coswt+B sinwt=C sen (wt¿+θ)¿

De esto podemos expresar la amplitud A de la oscilación de la onda

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A=√C21+C2

2

A=√( 23 )2

+( 16 )2

=√176

SISTEMA OSCILATORIO

Sistema libre no amortiguado

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2. Simular la onda generada a través de dicho sistema en el software MATLAB Para una mejor apreciación de la onda descrita por el sistema se realizó una simulación en el Software Matlab 7.10.0 En la simulación propuesta se deben ingresar los datos medidos y calculados para obtener la onda resultante

Datos medidos Masa medida en kilogramos Tiempo medido en segundos Posición s correspondiente a la distancia obtenida luego de elongar

el resorte desde su posición de equilibrio medida en metros Datos calculados

Constante K: obtenida mediante la ley de Hooke F= -ks Fuerza = peso del cuerpo = masa*gravedad x= distancia desde el punto de equilibrio hasta el punto de

alargamiento Velocidad: obtenida mediante v= espacio/tiempo

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3. Implementar el sistema y demostrar los resultados mediante los cálculos correspondientes.

Se implementó un sistema resorte masa, para la prueba realizada se tomó en cuenta:

Para el cálculo de la velocidad Espacio= 0.17 Tiempo= 0.38s

Velocidad = 0.446m/sPara el cálculo de K

Masa= 0.07kg Elongación s= 0.09

K= 0.76

Igualamos: m .a=−kx

m∗d2 xdt 2

=−Kx (1)

0.07∗d2 xdt 2

=−0.76 x

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d2 xdt2

+108.57x=0

X´´+108.57x=0

(D2+108.57 x )=0a=0b=10.42

x (t )=eax (C1 cos ( wt )+C2 sen (wt ) )x (t )=C1 cos (10.42t )+C2 sen (10.42 t )

Condiciones inicialesx (0 )=0.085 ; x ' (t )=0.446

0.085=C1 cos (0 )+C2 sen (0 )

0.085=C1

x ' ( t )=−10.42C1 sen (10.42t )+10.42C2 cos (10.42t )

0.446=−10.42C1 sen (0 )+10.42C2 cos (0 )

10.42C2=0.046

C2=0.0428

Para el cálculo de la amplitud

A=√C12+C2

2

A=0.095Resultados:

Valor medido =0.085Valor calculado = 0.095Tiempo= 600s correspondiente desde el momento en el que empieza la oscilación hasta que regresa a su estado de equilibrioGrafica:

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a. Resultados y Discusión

La implementación del sistema masa resorte describe una onda sinusoidal cuya ecuación se puede determinar mediante la aplicación de ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas.

Mediante el valor de las constantes arbitraria encontradas a partir de la ecuación diferencial podemos obtener el valor correspondiente a la amplitud de la onda.

Los valores calculados y medidos no son exactamente los mismos debido al margen de error provocado por el corto intervalo de tiempo en el cual se realizaron las mediciones.

b. Conclusiones

Al igualar la ecuación correspondiente a la ley de Hooke con la ecuación que representa la segunda ley de Newton demostramos la ecuación diferencial correspondiente al sistema resorte masa

Mediante la simulación en el software MATLAB se apreció el amortiguamiento de la onda oscilatoria y su degeneración ene l tiempo

El prototipo implementado describe una onda sinusoidal con una amplitud A , esta amplitud fue calculada y medida los valores no son exactamente iguales pero si equivalentes.

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c. Referencias bibliográficas

Bibliografía

[1] D. G. Zill, «Sistema resorte/masa,» de Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Cengage Learning, 2009, pp. 181-189.

[2] W. Medina , «Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de n-simo orden con coeficientes,» de Matrices y calculo diferencial e integral, Ambato, pp. 119-120.

[3] A. Charles K y M. N. Sadiku, «Fasores,» de Fundamentos de circuitos electricos, Mc Graw Hill, 2004, p. 369.

II.10. Fotografías y gráficos

Anexos

Movimiento

armónico simple

Segunda ley de

Ecuaciones diferenciales de orden superior

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Ecuaciones diferenciales de



Variable dependiente: Valor de la masaVariable independiente: Ecuación de la Oscilación (amplitud de la onda)

Segunda ley de

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Ecuaciones diferenciales de



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