Matemática - Masa Resorte

ESCUELA ACADÉMICO-PROFESIONALINGENIERÍA CIVIL

INFORME:

ECUACIONES DIFERENCIALES

MASA RESORTE

AUTORES:ROJAS BORBOR, WILLY

ASESOR: ASTETE CHUQUICHAICO, ROLANDO GANDHI

AULA: 148 – C

TURNO: TARDE

LIMA, JULIO DE 2015

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJOESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

MATEMÁTICA III

“El trabajo del pensamiento se parece a la perforación de un pozo: es turbia al

principio, más luego se clarifica”. Proverbio chino.

ECUACIONES DIFERENCIALES Página 1

ALUMNO:

PESANTES GUERRERO, Gerardo

Leonel

PROFESOR

ING. TRUJILLO BARZOLA, Alex


MATEMÁTICA III

A nuestros padres y amigos, por su apoyo y motivación en nuestras

labores.



MATEMÁTICA III

ÍNDICE

Páginas

INTRODUCCIÓN 4

1. OBJETIVOS

2. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE

SEGUNDO ORDEN

5

2.1. PRIMERA LEY DE HOOKER 6

2.2. SEGUNDA LEY DE NEWTON 7

2.3. ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO LIBRE NO

AMORTIGUADO

8

3. EJEMPLOS 10

CONCLUSIONES 15

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 15



MATEMÁTICA III

INTRODUCCIÓN

Las Ecuaciones Diferenciales tienen una importancia fundamental en la

Matemáticas para la ingeniería debido a que muchos problemas se

representan a través de leyes y relaciones físicas matemáticamente por este

tipo de ecuaciones. Es interés de este trabajo la deducción de las Ecuaciones

Diferenciales a partir de situaciones físicas que se presentan en determinados

problemas de carácter físico. A esta transición del problema, al Modelo

Matemático correspondiente se llama Modelado. Este método tiene una gran

importancia práctica para el ingeniero y se ilustra por medio de ejemplos

típicos. En estos ejemplos se ilustraran los pasos del modelado, es decir, hacia

un planteamiento matemático y su solución, y la interpretación física del

resultado. Se dedicará en este espacio la modelación de problemas que

conduce a Ecuaciones Diferenciales de segundo orden y esto lo justifica desde

el punto de vista teórico y práctico pues se verán más fáciles si uno se

concentra primeros en tales ecuaciones, pues de esta manera los estudiantes

familiarizado con los conceptos de segundo orden, resultaría más fácil los

conceptos, métodos y resultados hacia las de orden superior.

OBJETIVOS



MATEMÁTICA III

Mediante la primera y segunda ley de Hooke determinar ecuaciones

diferenciales

Solucionar respectivamente los ejercicios usando las fórmulas adecuadas de la

leyes de Hooke y ecuación diferencial para hallar la función x (t).

Hallar mediante la ecuación principal x (t )=c1 cosωt+C2 senωt los valores c1 y

c2.



MATEMÁTICA III

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

Movimiento Armónico Simple (MAS):

La Ley de Hooke:

Supongamos que un cuerpo de masa M está sujeto al extremo de un resorte flexible

suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura

5.1. Cuando M se remplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte

será, por supuesto, distinto.

Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la

dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos

simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de

distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta

esencialmente caracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa

10lb. Alarga el resorte en 1/2 pie, entonces,

10 = k (1/2) implica que k = 20 lb. /pie.

Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. Alarga el mismo resorte en 2/5 pie.



MATEMÁTICA III

Segunda Ley de Newton:

Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una

magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado

por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:

W = m. g

En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geo libras (slugs) y g = 9.8

mt/s² o 80 cm/s² o 32pie/s², respectivamente. Tal como se indica la figura 5.2b, la

condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se desplaza

de su posición de equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la fuerza

neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley del

movimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleración d²w/dt². Suponiendo

que sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores (movimiento vibratorio libre),

entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitución:

m d2 xdt 2 =−k (s+x )+mg

¿−kx+mg−ks⏟cero

=−kx (1)



MATEMÁTICA III

Ecuación Diferencial Del Movimiento Libre no Amortiguado:

Dividiendo la última ecuación planteada entre la masa m, se obtiene la ecuación

diferencial de segundo orden:

d2 xdt2 + k

mx=0 (2 )

O bien.

d2 xdt2 +ω2 x=0 (3 )

En donde ω2= k/m. Se dice que la ecuación (3) describe el movimiento armónico

simple o movimiento vibratorio no amortiguado. Hay dos condiciones iniciales

obvias asociadas con dicha ecuación:

x (0 )=α , dxdt |❑t=0=β (4)

Que representa la magnitud del desplazamiento inicial y la velocidad inicial,

respectivamente. Por ejemplo si α > 0 y β < 0, se trata de una masa que parte de un

punto abajo de la posición de equilibrio y a la cual se ha comunicado una velocidad

dirigida hacia arriba. Si α < 0 y β = 0, se trata de una masa en reposo que se suelta

desde un punto que está |α|unidades arriba de la posición de equilibrio. Los demás

casos son análogos.

Solución y ecuación de movimiento:

Para resolver la ecuación (3) observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar

M 2−ω2=0 Son los números complejos



MATEMÁTICA III

m1=¿ωi ,m2=−ωi¿

De acuerdo a la ecuación auxiliar de las ecuaciones lineales homogéneas podemos

concluir la ecuación general.

y=C1 em1 x+C2 e

m2 x

y=C1 e(α+iβ) x+C2e

(α−iβ )x

Formula Euler:

e iα=cosα+sen α

y=eαx (C1eiβx+C2e

−iβx )y=eαx (C1 (cos β x+sen β x )+C 2(cos β y−sen βy))

y=eαx (cos βx (C1+C2 )+sen βx (C 1+C2 ))

y=C1eαx cos βx+C2 e

βx sen βx

Solución general;

x (t )=c1 cosωt+C2 senωt (5)

El periodo de las vibraciones libres descritas por la última ecuación (5) es T= 2πω y

la frecuencia es 1/T=2πω . Por ejemplo, para x (t) = 2 cos 3t - 4 sen 3t el periodo es

2πω 2 y la frecuencia es 3/2 π. El primer número indica que la gráfica x(t) se repite

2πω

unidades; el ultimo numero indica que hay 3 ciclos de la gráfica 2π unidades; en otras

palabras, la masa realiza 3/2π oscilaciones completas por unidad de tiempo. Además,

se puede demostrar que el periodo 2πω es el intervalo de tiempo entre dos máximos

sucesivos de x(t). Finalmente, una vez que hemos determinado las constantes C1 y

C2 en (5) C2 sen t mediante las condiciones iniciales (4), decimos que la solución

particular resultante es la ecuación de movimiento.



MATEMÁTICA III

Ejemplo 1:

Una fuerza de 400 N estira un resorte 2 m. Una masa de 50 kg se sujeta al extremo

del resorte y se la suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida

hacia arriba de 10 m/s. Halle la ecuación del movimiento.

Solución

F=400 N x=2m m=50 kg v=10m /s

4002

=k

k=200

ω2=4

ω=2

dxdt |❑t=0=−10

Ecuación del movimiento

50 x+200 x =

x+4x=

x (t )=c1 cosωt+c2 sen ωt

x (t )=c1 cos 12t+c2 sen2t



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c1=2

x ´ (0 )=[−10=−2 sen2 t+c2cos2 t ]

x ´ (0 )=[−10=2c2 ]

c2=−5

x (t )=2cos2 t−5 sen 2t

Ejemplo 2:

Resolver e interpretar el problema de valor inicial:

d2 xdt2 +16 x=0

x (0 )=10 , dxdt |❑t=0=0

Solución:

Una formulación equivalente del problema es: se estira hacia abajo de un cuerpo que

pende de un resorte hasta que esté 10 unidades bajo la posición de equilibrio y luego

se le retiene hasta t = 0; se le suelta a continuación de manera que parta de un estado

de reposo. Aplicando las condiciones iniciales a la solución:

x (t )=c1 cos 4 t+C2 sen 4 t

Resulta x (0 )=10=C1 1+C2 0

De modo que C1=10 y por lo tanto

x (t )=c1 cos 4 t+C2 sen 4 t

dxdt

=−30 sen 4 t+c2cos 4 t

dxdt |❑t=0=0=4 c2 1



MATEMÁTICA III

La ultima ecuación implica que c2=0 y por lo tanto la ecuación de movimiento es

x(t)=10cos 4t.

La solución muestra claramente que una vez que el sistema se pone en movimiento,

permanece en tal estado, con la masa deslazándose alternadamente 10 unidades

hacia cada lado de la posición de equilibrio x = 0. El periodo de oscilación es 2π/4 = π

/2 segundos.

Ejemplo 3:

Un cuerpo que pesa 2lb. se estira un resorte 6plg. Dicho cuerpo se suelta en t = 0

desde un punto que está 8plg bajo la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida

hacia arriba de 4/3 pie/seg. Determine la función x(t) que describe el movimiento libre

resultante.

Solución:

Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las

magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en pies: 6plg = 6/12 = 1/2 pie, 8plg

= 8/12 = 2/3 pie. Además, debemos convertir las unidades de peso en unidades de

masa. M = W/g

Tenemos

m= 232

= 116

slug

Además, por la Ley de Hooke se tiene:

2=k ( 12 ) loque implicaque k=4 lb / pie

Por consiguiente, las análogas de las ecuaciones (1) y (2) son, respectivamente,

116

d2 xdt2 =−4 x y d

2xdt 2 +64 x=0

El desplazamiento y la velocidad iniciales están dados por:



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x (0 )=23, dxdt |❑t=0=

−43

En donde el signo negativo que aparece en la última condición en consecuencia de

que a la masa se le da una velocidad inicial con dirección negativa, esto es, dirigida

hacia arriba.

Ahora bien, ω2=64 ,o sea ω=8 de modo que la solución general de la ecuación

diferencial es:

x (t )=c1 cos8 t+C2 sen 8t

Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuación tenemos que:

x (0 )=23=C11+C2 0(c1=

23 )

Y x (t )=23

cos8 t+C2 sen8 t

x ´ ( t )=−23

sen8 t+8C2 cos8 t

x ´ (0 )=−43

=−163

0+8C21 ,(c2=−16 )

Luego c2=−1 /6.Por consiguiente, la ecuación de movimiento es:

x (t )=23

cos8 t−16sen8 t(7)

Nota: desafortunadamente, es usual que no haga una distinción entre peso y masa.

Así, a menudo se habla del movimiento de una masa sujeta a un resorte y también, del

movimiento de un peso sujeto a un resorte.

Forma alternativa de x (t)

Cuando c1≠0 yc1≠0, la amplitud real A de las oscilaciones libres no se obtiene en

forma inmediata de la ecuación (5). Por ejemplo, aunque la masa del Ejemplo 2 es



MATEMÁTICA III

inicialmente desplazada 2/3 pie fuera de la posición de equilibrio, la amplitud de las

oscilaciones es un número mayor que 2/3. Por lo tanto, a menudo conviene

transformar una solución de la forma (5) a una forma más simple

x (t )=A sen (ωt+∅ )(8)

En donde A=√c12 +c2

2

Y en donde ∅ es un ángulo de fase definido por

tan∅=c1

c2 { sen∅=c1

A

¿cos∅=c2

A

(9)

Para verificar esto, desarrollamos (8) mediante la fórmula del seno de una suma de

ángulos:

Asenωt cos∅+A cosωt sen∅=( Asen∅ ) cosωt+¿¿¿¿

Se define ∅ como:

sen∅=c1

√c12+c2

2=c1

A,cos∅=¿

c2

√c12 +c2

2=c2

A¿

Entonces (10) se transforma en

Ac1

Acosωt+A

c2

Asenωt=¿c1 cosωt+c2 sen ωt=x (t)¿



MATEMÁTICA III

CONCLUSIONES

Teniendo en cuenta la ley de Hooke y sus respectivas ecuaciones se puede

determinar valores como constantes, fuerzas, peso y así remplazarlas en las

ecuaciones diferenciales de tal forma que podamos hallar c1 y c2 para darle

una solución principal a la ecuación diferencial.

Sabiendo los valores respectivos con los cuales podemos hallar la ecuación

diferencial podemos darle solución a x (t ) siendo el valor final que nos piden en

cada ejercicio determinado por la ecuación principal.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS



MATEMÁTICA III

Monroy, C. 2003 http://es.slideshare.net/xiomithaditte/aplicaciones-de-las-

ecuaciones-diferenciales-de-segundo-orden (pp. 5 – 13)

http://es.slideshare.net/sheep242/aplicaciones-de-las-ed-de-segundo-orden (2012).


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