SIMULAÇÃO DE PROCESSO INDUSTRIAL UTILIZANDO REDES DE

PERT, MÍNIMOS QUADRADOS E DECOMPOSIÇÃO EM VALORES

SINGULARES. Área Temática: Gestão da Produção

Andre Barcelos

andrebarcelos813@hotmail.com

Mauricio Barcelos

barcelosms@gmail.com

Resumo: Este trabalho enfoca a utilização da rede PERT, Program Evaluation and

Review Technique para estabelecer um caminho ótimo de produção continuada. Devido as

dificuldades operacionais e de processo, foi proposto um caminho de PERT balanceado por

peso. Com base nesta ideologia, utilizaremos uma notação matricial e uma decomposição em

valores singulares para validar o estudo realizado.

Palavras-chaves: Redes de PERT, Processamento de Gás Natural, Decomposição em

Valores Singulares, Mínimos Quadrados.

1.Introdução

A indústria de petróleo e gás de maneira geral tem proporcionado avanços tecnológicos

em diversas áreas da pesquisa operacional assim como desenvolvimento de tecnologias para

construção de ferramentas para solução de problemas. Esse mercado em particular,

extremamente competitivo permite que as inovações tecnológicas recentemente

fundamentadas sejam imediatamente absorvidas pelas empresas e implementadas em um

curto espaço de tempo.

Na década de 80 foi marcado por 3 fatos relevantes, a constatação de ocorrências de

petróleo em Mossoró RN apontando para o que viria a se constituir na segunda maior área

produtora de petróleo do país, as grandes descobertas dos campos gigantes de Marlin e

Albacora em águas profundas na bacia de Campos no Rio de Janeiro e as descobertas no rio

Urucu no Amazonas. (Tomas 2009)

Na décadas de 90 várias outras descobertas já foram contabilizadas, como os campos

gigantes de Roncador e Barracuda na bacia de Campos no Rio de Janeiro.

A produção de petróleo no Brasil cresceu de 750 m³ por dia na época da criação da

Petrobrás para mais de 172 mil m³ por dia na década de 90 graças a continuos avanços

tecnológicos de perfuração e produção na plataforma continental (Tomas 2009)

Técnicas e ferramentas para solução de problemas são constantemente desenvolvidas de

acordo com as particularidades e necessidades de cada processo, porém algumas técnicas já

validadas e difundidas encontram aplicações para gerenciamento, coordenação e

acompanhamento dos processos de produção e operação de plantas industriais.

Algumas metodologias para apresentação de dados como relação homem/máquina e

diagramas de fluxo, oferecem uma maneira conveniente de interpretação e aprendizado para

conhecimento do processo.

A proposta deste trabalho é apresentar uma metodologia de análise de dados baseado

em processos contínuos e que uma vez implementada e analisada permite comparar com os

métodos e ferramentas já validados e verificados amplamente pela literatura atual.

Especificamente iremos estudar a rede PERT balanceada de um processo industrial e

implementar uma avaliação numérica que corrobore os resultados e auxilie as tomadas de

decisões.

Em um diagrama de PERT os eventos são posições no tempo que mostram o começo e

o fim de uma operação particular ou de um grupo de operação. Cada arco tem um grupo

associado que representa o tempo necessário para levar a atividade ao fim. (Niebel 2009)

2.Aspectos do processo

O gás natural proveniente dos poços de petróleo contém os mais diversos contaminantes

e poluentes que prejudicam seu processamento nas refinarias. Dois dos principais

componentes que provocam acidez em tubulações e poluição ambiental são o dióxido de

carbono e o sulfeto de hidrôgenio, CO2 e H2S respectivamente.

A concentração desses componentes na corrente de gás natural variam para cada

condição de projeto de poço de petróleo, portanto, projeta-se um subsistema nas refinarias

que possam eliminar esses componentes da corrente de gás com uma gama de operações

adequadas a flexibilidade operacional.

O petróleo é constituido basicamente por uma mistura de compostos químicos orgânicos

(hidrocarbonetos). Quando a mistura contém uma maior porcentagem de moléculas pequenas,

seu estado físico é gasoso e quando a mistura contém moléculas maiores, seu estado físico é

líquido, nas condições normais de temperatura e pressão (Tomas 2009)

A tabela a seguir mostra a composição mínima encontrada em amostras de poços

industrias. Observa-se a presença de água livre e alta concentração de dióxido de carbono.

TABELA 1: Composição do gás natural na entrada da planta de processamento

Componente Fração Molar

C1 0,86177

C2 0,06205

C3 0,02331

iC4 0,00387

nC4 0,00525

iC5 0,00217

nC5 0,00132

C6 0,00045

C7 0,00069

C8 0,00010

C9 0,00012

CO2 0,03461

H20 0,00199

N2 0,00521

Amina 0,00000

O processo em estudo será uma planta de absorção de gás natural que tem por finalidade

diminuir a concentração de monóxido de carbono na corrente de gás. Esta planta utiliza como

principal insumo um composto nitrogenado de monoetanolamina que popularmente é

conhecido como amina industrial. A remoção de CO2 é determinante para a qualidade do gás

natural processado, pois após essa remoção, o gás processado passa a ser insumo de outras

plantas de processo dentro da própria refinaria.

A presença de CO2 em outros processos da refinaria aumenta a degradação dos

equipamentos e o número de manutenções e intervenções devido a elevação da taxa de

corrosão do gás

Basicamente o composto de monoetilenolamina tem a capacidade de absorver CO2

presente na corrente de gás natural quando é permitido o contra fluxo entre o gás natural e a

amina em uma torre de processamento propícia para tal finalidade.

De todas as aminas mencionadas, a MEA distingue-se por sua maior reatividade.

Contudo, apesar de seu baixo custo, a operação do processo de absorção com este solvente é

significantemente mais cara, principalmente devido a: (i) grande quantidade de energia

requerida para a regeneração do solvente; (ii) problemas operacionais como corrosão e

formação irreversível de produtos de degradação do solvente com CO2, COS e CS2 e (iii)

maiores perdas do solvente por vaporização, devido a sua alta pressão de vapor (Sheilan et al.,

2007).

A amina em estado líquido absorve o CO2 do gás natural, sendo direcionada para outros

setores da planta que providenciarão sua regeneração. O gás natural deve ser encaminhado

para o setor de gás enquadrado e posteriormente para plantas de processamento com outras

finalidades e produtos.

Podemos ver no quadro abaixo o fluxo de amina em uma planta industrial.

FIGURA 1: Fluxograma simplificado de planta de remoção de gases ácidos com

aminas aquosas (Sheilan et al., 2007)

O gás a ser tratado, contendo H2S e/ou CO2, passa por um separador para remover

líquidos e sólidos arrastados. Na sequência, é admitido no fundo da coluna absorvedora e ao

percorrer a coluna em direção ao topo, entra em contato contracorrente com a solução aquosa

de amina, responsável por absorver os gases ácidos presentes na corrente gasosa. O gás

tratado que deixa o topo da absorvedora passa por um separador final, que tem o objetivo de

reter a solução de amina arrastada, e então deixa a unidade de tratamento. O destino do gás

tratado depende da aplicação que será dada a ele. (Barbosa 2010)

Em muitas unidades, a solução de amina rica é enviada do fundo da absorvedora para

um vaso expansor, trifásico, para recuperar, na forma gasosa ou líquida, hidrocarbonetos que

podem ter sido dissolvidos ou condensados na solução de amina na absorvedora. O solvente

rico é então pré-aquecido antes de entrar na torre regeneradora, pelo topo. Este aquecimento

ocorre em um trocador casco-tubo, onde o calor é 25 fornecido pela solução de amina

regenerada, quente, que deixa a torre regeneradora. Este permutador de calor atua como um

dispositivo de conservação de energia, reduzindo a demanda total de energia do processo.

(Barbosa 2010)

A solução de amina rica, ao entrar na torre regeneradora pelo topo, flui em direção ao

fundo, entrando em contato contracorrente com o vapor gerado pelo refervedor da torre. Este

vapor promove a remoção dos gases ácidos da solução de amina. Gases ácidos e vapor d’água

deixam a torre pelo topo, passando por um condensador, onde a maior parte do vapor

condensa. Os gases ácidos são separados do condensado em um vaso separador e

encaminhado para tocha ou para processamento, dependendo da natureza do gás e das

restrições do órgão ambiental atuante. O condensado retorna à torre como refluxo. (Barbosa

2010)

O processo de absorção do CO2 enquadra o gás natural com a especificação máxima de

monóxido de carbono permitido na corrente de gás natural que atualmente encontra-se em 3%

de acordo com especificações da ANP, (Agência Nacional do Petróleo).

Uma vez que a amina saturada com CO2 precisa ser regenerada em outra etapa do

processo e consequentemente introduzida em fluxo contínuo novamente na planta de absorção

para possibilitar a remoção de mais CO2 ininterruptamente, utilizaremos a torre regeneradora

para enquadramento da amina de acordo com as especificações de otimização que são a

concentração em torno de 42% a 50% e a capacidade de captura do CO2, popularmente

conhecida com loading da amina em torno de 0,002 mol/mol.

Desta forma, introduzimos amina líquida em contracorrente ao gás natural, que de

acordo com suas especificações consegue capturar o CO2. Uma vez que o gás termine esse

processo de fluxo em contracorrente dentro da torre de absorção, este será direcionado a

outras plantas da refinaria e a amina será direcionada ao sub-setor de regeneração para

remoção de CO2 e especificação de concentração e loading.

3.Parâmetros de controle e qualidade

Os principais parâmetros que vamos basear o controle do processo serão a concentração

de CO2 no gás natural após tratamento, que não deverá ultrapassar os 3%, especificados pela

ANP e a concentração de amina para garantir a otimização do loading. Por questões técnicas

que não serão tratadas neste artigo, foi-se especificado uma concentração de 48% de

amina/água como solução otmizada e desta forma, vamos nos ater ao controle da

concentração de temperatura na regeneração da amina e na concentração de entrada e saída de

CO2.

Outros parâmetros de controle será a vazão mínima de óleo térmico e temperatura

mínima de óleo no reboiler da torre de regeneração para garantir a especificação de loading e

concentração.

A vazão mínima de projeto foi especificada em 1200 m3/h e a temperatura de projeto

em 125ºC. Com essa temperatura, a água da diluição da amina se evapora juntamente com o

CO2 e será necessário a reposição da água para manter a especificação de concentração.

Para a amina, com intuito de impedir sua degradação devido ao estabelecimento de

parâmetros de processos incompatíveis, foi verificado que para uma degradação mínima com

otimização do loading, a vazão ficará em torno de 250m3/h. A tolerância de todos os

parâmetros situa-se em 5% para efetividade e redução de perdas de insumos.

O controle da qualidade foi realizado primeiramente pela análise do diagrama PERT,

Program Evaluation and Review Technique, onde busca-se o melhor caminho relacionando

tempo e custo do processo para otimização.

Em nosso caso particular, o tempo será redefinido como vazão de amina por uma

questão de adequação de unidade de engenharia e de acordo com essa terminologia, queremos

a especificação do gás com a menor vazão de amina, ou seja, menor transferência de massa de

amina por unidade de tempo.

A grande vantagem de conseguirmos uma menor vazão mássica de amina é garantir o

menor consumo e degradação de insumos, visto que o processo de regeneração da amina não

é completamente eficaz, pois em elevadas vazões mássicas de amina ou temperatura,

iniciamos um processo economicamente irreversível de degradação da amina e

necessitaremos de reposição do insumo.

Após a operação da planta e utilização de pesquisas e técnicas de obtenção de

parâmetros chegou-se ao gráfico PERT otimizado. Neste gráfico podemos permitir o fluxo

parcial em cada etapa devido as caractéristicas do processo, possibilitando assim um gráfico

ponderado com vazão e custo. Com esses dois parâmetros, otimiza-se o caminho PERT.

FIGURA 2: Gráfico PERT balanceado.

Por se tratar de um processo contínuo, diferente do caminho PERT de otimização de

melhor caminho; especificamente neste caso, como temos multicritérios para adotar, o fluxo

transcorrerá de maneira que todos as interligações sejam permitidas e ocorram

simultaneamente. Teremos um caminho preponderante ao peso, mas todos os caminhos serão

percorridos ponderadamente balizadas pela tabela abaixo:

TABELA 2: Rotas de PERT ponderada

Etapa Caminho Custo

Normalizado

Peso

Normalizado

Descrição

1 1-2-6 0,1 0,03 Recirculação

1-3-6 0,12 0,02 Equilíbrio Térmico

1-4-6 0.28 0,15 Aquecimento

1-5-9 0,05 0,43 Caminho Direto

6 6-7-9 0,2 0,16 Concentração de amina

6-8-9 0,25 0,21 Vazão de amina

O custo normalizado é calculado como o custo da operação horária da planta e o

percentual de custo que o caminho representa. Para o peso normalizado, leva-se em conta o

impacto efetivo que o caminho causa no processo. Assim o maior impacto é obtido no

caminho direto, porém não poderemos percorrer esse caminho somente, devido as condições

de carga média em 3,4% de CO2 e saída especificada em 3% de CO2.

O tempo mínimo necessário para levar ao fim todo projeto corresponde a maior

tragetória. (Niebel 2009)

Com base nesse conhecimento, vamos aplicar novas metodologias para validar o

conhecimento adquirido e propor uma validação da otimização encontrada.

1

4

1

5

1

9

3

1

2

1

8

1

7

1

6

1

4.Metodologia proposta.

Com a aplicação do método dos mínimos quadrados poderemos obter a curva de

padronização da planta que foi baseada no diagrama de PERT. Com base nesta curva

poderemos realizar as simulações que podem gerar otimização na planta e observar os

parâmetros mais relevantes.

Matemática dos mínimos quadrados não se limita a representação de dados por uma

reta. A diversos experimentos em que não existe razão para se esperar uma relação linear.

(Strang 2009)

Utilizaremos também a decomposição dessa matriz em valores singulares obtendo o

número de condição e os vetores de maior e menor ganho associado. A importância desses

parâmetros é visualizada em simulações de otimização onde uma vez que seja possível reduzir

o número de condição, o diagrama de PERT se aproxima do equilíbrio.

Como é de se esperar, devido a características do processo, o equilíbrio é raramente

atingido, restando a obtenção de um ponto otimizado para as variaveis de processo.

Assim, com base no diagrama de PERT e a correspondente análise númerica,

iniciaremos um estudo sobre otimização.

5.Cálculos e Simulações

Implementaremos o método de mínimos quadrados para obtermos um poinômio que se

adeque ao caminho de PERT e utilizaremos do número de condição para determinar o grau de

acoplamento do sistema sob o ponto de vista da decomposição dos valores singulares.

5.1 Método dos mínimos quadrados

Utilizaremos o método de mínimos quadrados de ordem 3 para traçarmos a curva dos

mínimos quadrados e obter os parâmetros que possam minimizar o erro e auxiliar as tomadas

de decisões futuras.

Para isso usando notação matricial, temos por definição que:

𝐴𝑇𝐴𝑥 = 𝐴𝑇𝑏

𝐴 =

[ 111 1 11

0.10 0.12 0.28 0.05 0.200.25

0.102

0.122

0.282

0.052

0.202

0.252

0.103

0.123

0.283

0.053

0.203

0.253]

𝑏 =

[ 0.030.020.150.430.160.21]

Equacionando os coeficientes do polinômio em ordem 3, teremos o seguinte resultado

em notação matricial para b ajustado e para os resíduos:

𝑏𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 =

[ 0.04660.00700.14450.42660.15410.2211]

𝑟𝑒𝑠 = 𝑏 − 𝑏𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 =

[ −0.01660.01300.00550.00340.0059

−0.0111]

𝑟𝑒𝑠𝑀𝑀𝑄 = 𝑟𝑒𝑠𝑇𝑟𝑒𝑠 = 6.4602𝑒−4

Com esses resultados obtemos a seguinte curva de ajuste:

GRÁFICO 1:Curva de grau 3 ajustada aos parâmetros do processo

Observamos que o gráfico aderiu bem aos parâmetros da curva e os erros ficaram bem

próximos aos valores encontrados no diagrama PERT. Essa metodologia servirá de base para

o comportamento das próximas simulações e podemos agora utilizar uma equação

polinominal para interpretar a tabela de PERT. A equação abaixo representa o diagrama de

caminho PERT.

𝑦 = −280.25𝑥3 + 155.91𝑥2 − 26.08 + 1.37

5.2 Decomposição em Valores Singulares e Número de Condição

Utilizaremos a decomposição de valores singulares para descobrir parâmetros e

condições intrínsecas ao processo e que não podemos obter somente com a análise dos

minimos quadrados.

Decomposição de valores singulares está intimamente associado com fatoração de

autovalores e autovetores de uma matriz positiva definida. A diagonalização que exibe estes

autovalores é a escolha natural dos eixos. (Strang 2009)

Na decomposição de valores singulares, a matriz de autovalores é conhecida como

matriz de valores singulares e devida a transformação teremos o valor quadrático dos

autovalores na diagonal principal.

Podemos mostrar que o maior ganho para qualquer direção de entrada é igual ao

máximo valor singular e o menor ganho para qualquer entrada excluindo entradas nulas é

igual ao menor valor singular. (Skogestad 2005)

As direções envolvendo os autovetores são algumas vezes referenciadas como “fortes,

auto-ganho ou mais importantes” associadas ao maior autovalor singular.

O foco desta decomposição será obter o grau de acoplamento entre os autovalores do

sistema e o quanto representa os ajustes de processo no diagrama PERT em termos de

otimização e equilíbrio do processo. Por se tratar de um rede dinâmica e multivariável,

precisamos observar o quanto cada fluxo influencia no processo independetemente. Por

definição a decomposição de valores singulares é expressa na seguinte forma:

𝐺 = 𝑈𝐸𝑉𝐻

𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠(𝐴𝐴𝐻) = 𝑈 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠(𝐴𝐻𝐴) = 𝑉

𝐸 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

𝐻 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑜𝑢 ℎ𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑎𝑛𝑎

Obtemos então os seguintes resultados:

𝐺 =

[ 0.100.120.280.050.200.25

0.030.020.150.430.160.21]

𝑈 =

[ −0.1355−0.1428−0.4610−0.5808−0.3946−0.5056

−0.2034−0.2782−0.4292 0.7812−0.1941−0.2214

−0.6027−0.2153 0.6901 0.0185−0.2177−0.2628

−0.2422 0.9247−0.0494 0.1450−0.1462−0.2037

−0.4481−0.0275−0.2206−0.0993 0.8346−0.2083

−0.5635−0.0105−0.2756−0.1455−0.2095 0.7358]

𝐸 =

[ 0.6329

00000

00.2927

0000 ]

𝑉𝐻 = [−0.6228 −0.7824−0.7824 0.6228

]

Desde que todas as entradas afetam todas as saídas, podemos dizer que o sistema é

interativo. Isto segue da relação da diagonal principal dos autovalores singulares mostrando o

grau de acoplamento. Algumas combinações das entradas tem forte efeito nas saídas, em

outros casos, outras combinações tem fraco efeito nas saídas. Isto é quantificado como

número de condição. (Skogestad 2005)

O número de condição é definido como a razão do maior autovalor em módulo pelo

menor autovalor em módulo. O resultado obtido foi de 2,1622. Esse valor representa o grau

de acoplamento do sistema, sendo que para sistemas completamente desacoplados este

número é 1.

Podemos proceder na otimização do sistema alterando pesos e custos com a intenção de

aproximar os autovalores, tornando-os mais afastados ou em outras palavras, aumentando seu

número de condição. Por se tratar de custo normalizado e peso normalizado, uma redução no

custo do aquecimento em apenas 0.01 compensando no aumtendo do custo da recirculação,

resultará no afastamento dos módulos do número de condição, sinalizando o acoplamento do

sistema.

6.Conclusão

Uma vez que a rede PERT foi balanceada devido as características de continuidade e de

restrições do processo, o caminho crítico, o caminho mínimo e o caminho máximo foram

rapidamente visualizados e serviram de base para as simulações de obtenção de curva,

número de condição e decomposição em valores singulares.

Fica evidente a efetividade da aplicação da rede PERT balanceada assim como a

validação dos dados encontrados, possibilitando a simulação com todas as técnicas numéricas

apresentadas. A implementação de uma rede PERT eficiente é a base para o entendimento

correto do processo e base inicial para tomadas de decisão estratégica.

A Obtenção de uma curva ajustada aos parâmetros PERT possibilita uma visualização

imediata para o processo e permite o equacionamento de uma função polinominal implicando

em todas as simulações possíveis de se obter caso deseje-se simular o caminho PERT

estatisticamente.

Claramente a rede PERT nos estimula a otimizar o custo do aquecimento devido a

apresentar o maior valor relativo. Pelas características do processo apontadas pela própria

rede, vemos que o peso do caminho direto é o fator preponderante da planta, porém devido a

questões operacionais, estamos limitados a este valor. A proposta de número de condição

mostrou como podemos otimizar os parâmetros que foram obtidos com a rede.

7.Bibliografia

Barbosa, Leandro Chagas. (2010). Captura de Co2 e H2S com soluções aquosas de alcanolaminas via

destilação reativa, UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil

Nielbel, W. Benjamin, Freivalds Andris. (2009). Ingeniería Industrial: Métodos, estándares y diseño del

trabajo. McGraw-Hill, Pennsylvania State University, USA.

Sheilan, M. H., Spooner, B. H., Horn, E. (2007). Amine Treating and Sour Water Stripping

Skogestead, Sigurd, Postlethwaite, Ian. (2005). Multivariable Feedback Control: Analysis and Design.

John Wiley & Sons, Ltd, The Atrium, Southern Gate, Chinchester, West Sussex, England.

Strang, Gilbert. (2009) Algebra Linear e Suas Aplicações. Cengage Learning, São Paulo, Brasil.

Tomas, José Eduardo. (2001). Fundamentos de Engenharia de Petróleo. Interciência LTDA, Rio de

Janeiro, Brasil.