Simplex Tabular

8/6/2019 Simplex Tabular

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EL MTODO

SIMPLEX

TABULAR


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El mtodo del simplex fue creado en1947 por el matemtico George

Dantzig.

El mtodo del simplex se utiliza, sobretodo, para resolver problemas deprogramacin lineal en los queintervienen tres o ms variables.


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La resolucin de programas linealesmediante el mtodo Simplex implica la

realizacin de gran cantidad declculos, sobre todo cuando el nmerode variables y/o restricciones esrelativamente elevado.


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Sin embargo, estos clculos no soncomplejos y pueden realizarse en modosistemtico utilizando una forma tabular.

As surgen las conocidas como tablasdel Simplex, que no son ms que unaforma de organizar los clculos.


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Sobre las tablas del Simplex comentarque su inters es totalmente

pedaggico, ya que en los casos realesla magnitud de las restricciones quesuelen aparecer hace que nadie lasutiliza de forma directa para resolverlos.


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Aplicacin del Metodo Simplex

en forma tabular.


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Problema Inicial

Maximizar

Z= f(x1, x2)= 3x1 + 2x2

sujeto a:2x1 + x2 >=18

2x1 + 3x2 >= 42

3x1

+ x2

>=24

x1 >= 0 , x2 >= 0.

(>= es mayor o igual)


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1 Remover las igualdades

Se introduce una variable de holgura por

cada una de las restricciones, para

convertirlas en igualdades, resultando el

sistema de ecuaciones lineales:

2x1 + x2 + x3 = 18

2x1 + 3x2 + x4 = 423x1 + x2 + x5 = 24


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2 Igualar a 0 la funcin objetivo

Z = 3x1 + 2x2

Z - 3x1 - 2x2= 0

La primera columna nos indica el numero de

iteracin actual, la siguiente indica la variablebase, la 3ra enumera las ecuaciones siendo la

funcin objetivo la N 0.

3 Crear la tabla inicial simplex


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3 Crear la tabla inicial simplex

Las siguientes columnas son las variables

presentes en el ejercicio (incluyendo las de

holgura), mientras que en cada fila se

representa los coeficientes de las variables en

cada ecuacin. La ultima columna representa a

el valor de la solucin de cada ecuacin. La tabla

termina teniendo un formato como este.


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Formato de la tabla

IteracinVar.

BaseEcuacion Z x1 x2 x3 x4 x5 Solucin

1

Z 0 1 -3 -2 0 0 0 0

1 0 2 1 1 0 0 18

2 0 2 3 0 1 0 42

3 0 3 1 0 0 1 24

NOTA: Las variables base se definen mediante las iteraciones


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Que es una iteracin?

Durante el ejercicio nuestro objetivo es igualar

a 0 cada una de las variables menores a 0 en la

funcin objetivo (en este caso, -3x1

y -2x2).

La serie de pasos para igualar a 0 una variable

negativa en la funcin objetivo es una

ITERACION. Se debe iterar siempre que aun haya

alguna variable negativa en la funcin objetivo.


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IteracinVar.


1

Z 0 1 -3 -2 0 0 0 0

1 0 2 1 1 0 0 18

2 0 2 3 0 1 0 42

3 0 3 1 0 0 1 24

En este caso


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4 Pasos para cada Iteracin

1 Elegimos una columna o variable pivote

desde la funcin objetivo eligiendo la mas

negativa o la mayor en su valor absoluto, si hay

2 o mas iguales (por ejemplo el mas negativo es

-5 pero hay 2 con -5) se elije cualquiera de las 2.

En nuestro caso, seria -3


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IteracinVar.


1

Z 0 1 -3 -2 0 0 0 0

1 0 2 1 1 0 0 18

2 0 2 3 0 1 0 42

3 0 3 1 0 0 1 24

En este caso

Ntese que toda la columna se elegir, y por lo tanto, la variable x1de cada ecuacin


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2 Una vez realizado esto, primero se

descartan las ecuaciones cuyo valor de la

variable pivote sea 0 (en este caso ninguna),

despus, se elegir como ecuacin pivote

aquella ecuacin cuyo valor de su solucin entre

su variable pivote sea menor a las dems

ecuaciones.


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3 La variable pivote de la fila pivote debe ser

igual a 1, para ello la fila debe dividirse entre un

numero que haga que esta variable pivote sea 1

3 .

Reemplazamos estos valores en la tabla.

3 0 3 1 0 0 1 24

3 0 1 1/3 0 0 1/3 8


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IteracinVar.


1

Z 0 1 -3 -2 0 0 0 0

1 0 2 1 1 0 0 18

2 0 2 3 0 1 0 42

x1 3 0 1 1/3 0 0 1/3 8

Ahora establecemos la variable Base

con nuestra variable pivote

En este caso, ser x1


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5 Igualar a 0 la variable pivote en las

otras variables

Empezaremos por la funcin objetivo,

multiplicamos la ecuacin pivote por un numero

para igualar el VALOR ABSOLUTO de la variable

pivote de la funcin objetivo con la variable

pivote de la ecuacin objetivo. En este caso,

seria multiplicar por 3. una vez hecho esto

efectuar una suma algebraica.


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3 0 1 1/3 0 0 1/3 8 X 3

0 1 -3 -2 0 0 0 0

+_______________________________________________________

3 0 3 1 0 0 1 24

0 1 -3 -2 0 0 0 0

+_______________________________________________________

0 1 0 -1 0 0 1 24

Este resultado se establece ahora como la funcin objetivo


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IteracinVar.


1

Z 0 1 0 -1 0 0 1 24

1 0 2 1 1 0 0 27

2 0 2 3 0 1 0 42

x1 3 0 1 1/3 0 0 1/3 8

Actualizando la tabla

En este caso, la x1 de la funcin objetivo se igualo a 0.


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Para las dems ecuaciones, una por una,

simplemente se multiplica la ecuacin pivote

por un numero para RESTAR la variable pivote

de la ecuacin pivote a la de la otra ecuacin

para igualarla a 0 (que en diferencia con la

funcin objetivo, este puede ser negativo y no

absoluto).


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En este caso para la ecuacin 1 multiplicaramos

por 2 y para la ecuacin 2 seria por 2.

Esto se hace para evitar sumar la actual variablepivote en la siguiente Iteracin.


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3 0 1 1/3 0 0 1/3 8 X -2

1 0 2 1 1 0 0 18

+_______________________________________________________

3 0 -2 -2/3 0 0 -2/3 -16

1 0 2 1 1 0 0 18

+_______________________________________________________

1 0 0 1/3 1 0 -2/3 2

Este resultado se establece ahora como la ecuacion 1


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3 0 1 1/3 0 0 1/3 8 X -2

2 0 2 3 0 1 0 42

+_______________________________________________________

3 0 -2 -2/3 0 0 -2/3 16

2 0 2 3 0 1 0 42

+_______________________________________________________

2 0 0 2 1/3 0 1 -2/3 26


Y nuestra tabla queda de esta manera


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IteracinVar.


1

Z 0 1 0 -1 0 0 1 24

1 0 0 1/3 1 0 -2/3 2

2 0 0 2 1/3 0 1 -2/3 26

x1 3 0 1 1/3 0 0 1/3 8

Actualizando la tabla

En este caso, la x1 de las ecuaciones tambin se igualan a 0.

Y con esto terminamos la Iteracin


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IteracinVar.


2

Z 0 1 0 -1 0 0 1 24

1 0 0 1/3 1 0 -2/3 2

2 0 0 2 1/3 0 1 -2/3 26

x1 3 0 1 1/3 0 0 1/3 8

Reiterando en la tabla

En este caso, se ignorara aquellas ecuaciones que ya tengan definida una

variable base


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En este caso, se ignorara aquellas ecuaciones que ya tengan definida una

variable base

Iteraci

n

Var.


Sol /

Pivote

2

Z 0 1 0 -1 0 0 1 24 ---

1 0 0 1/3 1 0 -2/3 2 6

2 0 0 2 1/3 0 1 -2/3 26 11

x1 3 0 1 1/3 0 0 1/3 8 ---


31/44

IteracinVar.


2

Z 0 1 0 -1 0 0 1 24

x2 1 0 0 1 3 0 -2 6

2 0 0 2 1/3 0 1 -2/3 26

x1

3 0 1 1/3 0 0 1/3 8


x 3 .

1 0 0 1 3 0 -2 6

1 0 0 1/3 1 0 -2/3 2


32/44

1 0 0 1 3 0 -2 6

0 1 0 -1 0 0 1 24

+_______________________________________________________

0 1 0 0 3 0 -1 30

Este resultado se establece ahora como la funcion objetivo



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1 0 0 1 3 0 -2 6 X - 2 1/3

2 0 0 2 1/3 0 1 -2/3 26

+_______________________________________________________

1 0 0 -2 1/3 -7 0 4 2/3 -14

2 0 0 2 1/3 0 1 -2/3 26

+_______________________________________________________

2 0 0 0 -7 0 4 12




34/44

1 0 0 1 3 0 -2 6 - -1/3

3 0 1 1/3 0 0 1/3 8

+_______________________________________________________

1 0 0 -1/3 -1 0 2/3 2

3 0 1 1/3 0 0 1/3 8

+_______________________________________________________

3 0 1 0 -1 0 1 6




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Reiterando y Actualizando la tabla

Aun tenemos -1 en x5 , por lo que debemos seguir Iterando

IteracinVar.


2

Z 0 1 0 0 3 0 -1 30

x2 1 0 0 1 3 0 -2 6

2 0 0 0 -7 0 4 12

x1 3 0 1 0 -1 0 1 6


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IteracinVar.


3

Z 0 1 0 0 3 0 -1 30

x2 1 0 0 1 3 0 -2 6

2 0 0 0 -7 0 4 12

x1 3 0 1 0 -1 0 1 6



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En este caso, solo queda una ecuacion sin variable base, por lo cual es la que

usaremos

Iteraci

n

Var.


Sol /

Pivote

3

Z 0 1 0 0 3 0 -1 30 ---

x2 1 0 0 1 3 0 -2 6 ---6

2 0 0 0 -7 0 4 12 3

x1 3 0 1 0 -1 0 1 6 ---


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IteracinVar.


3

Z 0 1 0 0 3 0 -1 30

x2 1 0 0 1 3 0 -2 6

x5 2 0 0 0 -1 3/4 0 1 3

x1

3 0 1 0 -1 0 1 6


4 .

2 0 0 0 -1 3/4 0 1 3

2 0 0 0 -7 0 4 12


39/44

2 0 0 0 -1 3/4 0 1 3

0 1 0 0 3 0 -1 30

+_______________________________________________________

0 1 0 0 1 1/4 0 0 33

Este resultado se establece ahora como la funcion objetivo



40/44

2 0 0 0 -1 3/4 0 1 3 - x 2

1 0 0 1 3 0 -2 6

+_______________________________________________________

2 0 0 0 -3 1/2 0 2 6

1 0 0 1 3 0 -2 6

+_______________________________________________________

1 0 0 1 -1/2 0 0 12

Este resultado se establece ahora como la ecuacin 1(En este caso debe ser un numero positivo en diferencia de otras ocasiones que

multiplicbamos por una negativo ya que la variable pivote de la ecuacin 1 es negativa)



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2 0 0 0 -1 3/4 0 1 3 X - 1

3 0 1 0 -1 0 1 6

+_______________________________________________________

2 0 0 0 1 3/4 0 -1 -3

3 0 1 0 -1 0 1 6

+_______________________________________________________

3 0 1 0 3/4 0 0 3


Este resultado se establece ahora como la ecuacin 3


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Reiterando y Actualizando la tabla

IteracinVar.


3

Z 0 1 0 0 1 1/4 0 0 33

x2 1 0 0 1 -1/2 0 0 12

x5 2 0 0 0 -1 3/4 0 1 3

x1

3 0 1 0 3/4 0 0 3


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Como ven, ahora ya no hay variables negativas en la funcin objetivo, todasson mayores o igual a 0. La solucin Optima del ejercicio es 33, mientras quelos valores de decision para maximizar son los valores proporcionados por lasvariables base x1 y x2 o solucion de sus ecuaciones, en este caso, 3 y 12

IteracinVar.


3

Z 0 1 0 0 1 1/4 0 0 33

x2 1 0 0 1 -1/2 0 0 12

x5 2 0 0 0 -1 3/4 0 1 3

x1

3 0 1 0 3/4 0 0 3


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Retomando el Problema Inicial

Maximizar

Z= f(3 , 12)= 33

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