Signaux et Systèmes Discrets - Inriapeople.rennes.inria.fr/Olivier.Sentieys/teach/Signaux...Signaux et Syst` emes Discrets Introduction Introduction Traitement (num´ erique)dusignal(num´

Signaux et Systemes Discrets

Olivier Sentieys

ENSSAT - Universite de Rennes 1IRISA - Equipe de recherche R2D2

[email protected]

http://r2d2.enssat.fr/enseignements/Tns

22 fevrier 2006

∑−

=−=


Plan

Introduction

Signaux a temps discretsDefinitionOperations sur les signaux a temps discretSignaux a temps discret de baseProprietes des signaux a temps discret

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Plan

Transformee en ZDefinition de la transformee en ZDomaine de convergence DCV

Proprietes de la TZTransformee en Z inverse

Transformee de Fourier d’un signal discretRappels sur les signaux continusTF d’un signal discret non periodiqueTF d’un signal discret periodiqueCondition d’existence de la TFProprietes de la transformee de FourierTransformee de Fourier discrete

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Plan

Systemes discretsSystemes discrets lineaires invariantsRepresentation temporelle des systemes discretsAnalyse des systemes discrets par la transformee en ZRepresentation frequentielle des systemes discrets

Echantillonnage et reconstruction des signauxHistorique du Theoreme d’echantillonnageEchantillonnage idealTheoreme d’echantillonnage de ShannonReconstruction du signal continu a partir de ses echantillonsExemple pratique d’echantillonnageReconstruction reelle du signal continu

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Introduction

Introduction

Traitement (numerique) du signal (numerique) :

Modeliser – ou identifier – consiste en l’analyse d’un signalou d’un systeme, dans le domaine temporel ou frequentiel (i.e.spectral). On parlera egalement d’estimation.

Synthetiser – ou generer – un signal.

Transmettre un ensemble de signaux sur un support.

Transformer un ensemble de signaux a l’aide d’un systemelineaire (filtrer, moduler, coder, . . .) ou non lineaire (()2, | |,. . . ).

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Introduction

Classification des signaux (1/2)

1 Dimensionnalite = fonction de la dimension du signal ou desdimensions des variables du signal :

Signal scalaire pouvant prendre des valeurs reelles oucomplexes : x (t)Signal vectoriel pouvant prendre des valeurs reelles oucomplexes : [R,V ,B ] = TV (t)Signal mono-dimensionnel qui correspond a des fonctions a unseul argument, comme par exemple le tempsSignal multi-dimensionnel qui correspond a des fonctions aplusieurs arguments : [I ] = TV (t , x , y)

2 Caracteristiques temporellesSignaux a temps continu ou signaux analogiques. La variablet ∈ R. On notera un signal analogique de la facon suivante :sa(t)Signaux a temps discret : ces signaux sont definis pourcertaines valeurs de la variable t : s(n) = s(nT ) = s(t)|t=nT

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Introduction

Classification des signaux (2/2)

3 Valeurs prises par le signal

Signaux a valeurs continues pouvant prendre une valeur reelledans un intervalle continuSignaux a valeurs discretes prenant seulement des valeursparmi un ensemble fini de valeurs possibles : voir quantification

4 Predictibilite des signaux

Signaux deterministes qui peuvent etre representesexplicitement par une fonction mathematiqueSignaux aleatoires qui evoluent dans le temps d’une maniereimprevisible. Il est cependant possible de decriremathematiquement certaines caracteristiques statistiques deces signaux

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Signaux a temps discrets

1. Signaux a temps discrets

1 Definition

2 Operations sur les signaux a temps discret

3 Signaux a temps discret de base

4 Proprietes des signaux a temps discret

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Definition

1.1 Signaux a temps discret : definition

Sequence X de nombres dans laquelle le n ieme nombre estx (n). On ecrira :

X = {x (n)} −∞ < n < ∞

Exemple de signal discret

x (n) est egal a la valeur du signal analogique xa(t) au tempst = nT , i.e.

x (n) = xa(nT ) −∞ < n < ∞

T : periode d’echantillonnage, fe = 1T : frequence

d’echantillonnage

Exemple de signal de parole : T = ?

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Operations sur les signaux a temps discret

1.2 Operations sur les signaux a temps discret

1 +, −, × de signaux

2 +, −, × par une constante

3 Decalage de n0 echantillons

y(n) = x (n − n0)

4 Convolution

5 Correlation

6 . . .

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Signaux a temps discret de base

1.3 Signaux a temps discret de base (1/2)

1 Impulsion unite δ(n), δ(n − k)2 Echelon unite u(n)

u(n) =∞∑

k=0

δ(n − k)

u(n) =n∑

k=−∞δ(k)

δ(n) = u(n) − u(n − 1)

3 x1(n) = Aαn

x2(n) = Aαnu(n)

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Signaux a temps discret de base

1.3 Signaux a temps discret de base (2/2)

4 Sinusoıde, periode N = ?

x3(n) = A cos (nω0 + ϕ)

5 Signal complexex4(n) = e jnω0

6 Cas general

x (n) =+∞∑

k=−∞x (k)δ(n − k).

e.g. p(n) = δ(n) + 0.5δ(n − 2) − 0.5δ(n − 4)

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Proprietes des signaux a temps discret

1.4 Proprietes des signaux a temps discret (1/2)

1 Signaux causauxx (n) = 0, ∀n < 0

2 Energie totale : finie ou infinie

E (∞) �∞∑

n=−∞|x (n)|2 (1)

3 Puissance moyenne : finie ou infinie

Pm � limN→∞

1N

N2∑

n=−N2

|x (n)|2 (2)

4 Periodique de periode P : x (n + P) = x (n) ∀n sinon x (n)est aperiodique

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Proprietes des signaux a temps discret

1.4 Proprietes des signaux a temps discret (2/2)

5 Intercorrelation entre deux signaux x (n) et y(n)

Rxy(k) �+∞∑

n=−∞x (n)y(n + k) = Ryx (−k) (3)

6 Autocorrelation d’un signal x (n)

Rxx (k) �+∞∑

n=−∞x (n)x (n + k) = Rxx (−k) (4)

7 Convolution lineaire entre deux signaux x (n) et y(n)

ϕxy(k) = x (k) ∗ y(k) �+∞∑

n=−∞x (n)y(k − n) (5)

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Transformee en Z

2. Transformee en Z

1 Definition de la TZ

2 Domaine de convergence

3 Proprietes de la transformee en Z

4 Transformee en Z inverse

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Transformee en Z

Definition de la transformee en Z

2.1 Definition de la transformee en Z

La transformee en Z directe bilaterale d’un signal a temps discretx (n) est definie par :

Z [x (n)] = X (z ) =∞∑

n=−∞x (n)z−n (6)

ou z est une variable complexe (z ∈ C) definie partout ou cetteserie converge.Les signaux discrets etant la plupart du temps causaux on definitplutot la transformee en Z (dite unilaterale) par :

Z [x (n)] = X (z ) =∞∑

n=0

x (n)z−n (7)

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Transformee en Z

Domaine de convergence DCV

2.2 Domaine de convergence DCV

Dans le cas de la TZ unilaterale, le domaine de convergencecorrespond a l’exterieur du disque de convergence defini par|z | > r .

Le critere de Cauchy applique a laTZ donne :

limn→∞

|x (n)| 1n = r

Exemple : x (n) = anu(n)

a Re

Im

Domaine de convergence

Domaine de convergenceavec r = a

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Transformee en Z

Proprietes de la TZ

2.3 Proprietes de la TZ (1/2)

1 Linearite

x (n) = ax1(n) + bx2(n) � X (z ) = aX1(z ) + bX2(z )

2 Theoreme du retard

Z [x (n − k)] = z−kX (z )

3 Theoreme de l’avance

Z [x (n + k)] = z+kX (z ) −k−1∑n=0

x (n)z k−n

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Transformee en Z

Proprietes de la TZ

2.3 Proprietes de la TZ (2/2)

4 Derivation dans l’espace en z

Z [n.x (n)] = Y (z ) = −zddz

X (z )

5 Theoreme de la valeur initiale

x (0) = limz→∞

X (z )

6 Theoreme de la valeur finale

limn→∞

x (n) = x (∞) = limz→1

z − 1z

X (z ) = limz→1

(1 − z−1)X (z )

7 Theoreme de la convolution lineaire discrete

x (n) = x1(n) ∗ x2(n) � X (z ) = X1(z )X2(z )

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Transformee en Z

Transformee en Z inverse

2.4 Transformee en Z inverse

Soit X (z ) la transformee en Z du signal x (n). On definit latransformee en Z inverse, la relation determinant x (n) a partir deX (z ) telle que :

x (n) =1

2πj

∮Czn−1X (z )dz (8)

Il existe trois principales methodes :

1 l’integration sur un contour ferme en utilisant le calcul desresidus,

2 le developpement en puissance de z et de z−1,

3 le developpement en fractions elementaires.

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Transformee en Z


TZ inverse par la methode des residus (1/2)

x (n) =∑

Tous les poles pi de R(z )

Residus de R(z ) aux poles pi (9)

avec R(z ) = zn−1X (z ) = N (z )D(z ) sous forme fractionnelle.

On notera plutot :

x (n) =∑

∀pi∈DCV

Res(zn−1X (z ), pi

)(10)

1 Poles simples de R(z ) : pi tel que D(z )|pi = 0

Res (R(z ), pi) =[(z − pi)

N (z )D(z )

]z=pi

(11)

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Transformee en Z


TZ inverse par la methode des residus (2/2)

2 Poles multiples d’ordre m de R(z ).Si D(z ) = (z − pi)mF (z ) avec F (pi) �= 0 alors

Res (R(z ), pi) =1

(m − 1)!dm−1

dzm−1

[(z − pi)m

N (z )D(z )

]z=pi

(12)

Exemples :

X (z ) =z

z − e−aT

X (z ) =z

(z − a)(z − b)

X (z ) =z

(z − 1)2

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Transformee en Z


TZ inverse par division polynomiale

X (z ) =N (z )D(z )

=∞∑

n=−∞cnz−n = c0+c1z−1+c2z−2+. . .+ck z−k+. . .

alorsx (n) = cn

Exemples :

X (z ) =0.5z

z 2 − 1.5z + 0.5=

0.5z−1

1 − 1.5z−1 + 0.5z−2

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Transformee en Z


TZ inverse par decomposition en fonctions rationnelles

On decompose X (z ) selon :

z−1X (z ) = α11

z − p1+ α2

1z − p2

+ . . . (13)

On aura alors par TZI :

x (n) = α1pn1 + α2pn

2 + . . . (14)

Exemple : X (z ) = z(z−a)(z−b)

Attention au cas des poles doubles (voir le detail dans le cours deMathematiques sur les fonctions holomorphes).

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Transformee de Fourier d’un signal discret

3. Transformee de Fourier d’un signal discret

1 Rappels sur les signaux continus

2 TF d’un signal discret non periodique

3 TF d’un signal discret periodique

4 Condition d’existence de la TF

5 Proprietes de la transformee de Fourier

6 Transformee de Fourier discrete

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Rappels sur les signaux continus

3.1 Rappels sur les signaux continus

Soit un signal analogique xa(t) dont la transformee de Fourier estdefinie par :

Xa(jω) =∫ ∞

−∞xa(t)e−jωtdt (15)

avec ω = 2πf .On retrouve le signal temporel a partir de sa transformee par latransformee de Fourier inverse definie par la relation suivante :

xa(t) =12π

∫ ∞

−∞Xa(jω)e jωtdω (16)

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TF d’un signal discret non periodique

3.2 TF d’un signal discret non periodique (1/2)

Pour un signal x (n) discret quelconque non periodique, satransformee de Fourier (TF ) s’ecrit :

X (e jΩ) =∞∑

n=−∞x (n)e−jΩn (17)

X (e jΩ) peut etre exprime a partir de la transformee en Z par larelation :

X (e jΩ) =∞∑

n=−∞x (n)z−n

∣∣z=ejΩ = X (z )|z=ejΩ (18)

Cette equation implique que le TF n’existe que si le cercle unite,caracterise par z = ejΩ, appartient au domaine de convergence deX (z ).

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3.2 TF d’un signal discret non periodique (2/2)

X (Ω) est periodique de periode 2π. Ceci implique que le spectred’un signal discret est periodique.

La TF inverse est obtenue a partir de la transformee en Z inversede X (z ). On obtient :

x (n) =12π

∫ 2π

0X (e jΩ)e jnΩdΩ =

12π

∫ π

−πX (e jΩ)e jnΩdΩ (19)

Sur la variable frequence f , la TF periodique de periode fe = 1/T s’ecrit :

X (f ) = X (ej2πfT ) =

∞Xn=−∞

x(n)e−j2πfnT (20)

x(n) =1

fe

Z fe

0X (f )ej2πfnTdf (21)

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Exemple : x (n) = anu(n)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.5

1

an avec a=0.75

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

1

2

3

4

Module

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−1

−0.5

0

0.5

1Argument

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Exemple : x (n) = an , pour n = 0 . . .N − 1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.5

1

an limité à 6 points

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

1

2

3

4

Module

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−2

−1

0

1

2

Argument

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TF d’un signal discret periodique

3.3 TF d’un signal discret periodique (1/2)

Pour un signal xp(n) discret periodique de periode N , unedecomposition en serie de Fourier doit etre utilisee sous la forme :

Xp(k) =N−1∑n=0

xp(n).e(−2jπ n.kN

), k = 0, 1 . . .N − 1 (22)

xp(n) =1N

N−1∑k=0

Xp(k).e(2jπ n.kN

), n = 0, 1 . . .N − 1 (23)

Sa Transformee de Fourier s’ecrit alors :

Xp(e jΩ) =2π

N

∞∑k=−∞

Xp(k)δ(

Ω − k2π

N

)(24)

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TF d’un signal discret periodique

3.3 TF d’un signal discret periodique (2/2)

Exemple : x (n) = an , pour n = 0 . . .N − 1, periodique N

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.5

1

an périodique 6

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

1

2

3

4

Module

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−1

−0.5

0

0.5

1Argument

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Condition d’existence de la TF

3.4 Condition d’existence de la TF (1/3)

Une condition suffisante a la convergence de la TF peut etredeterminee comme suit (x (n) est dite absolument sommable) :

|X (e jΩ)| ≤∞∑

n=−∞|x (n)| < ∞

De plus, la serie converge uniformement vers une fonction continuede Ω.Certaines sequences ne sont pas absolument sommables mais sontde carre sommable (ou a energie finie), i.e.

∞∑n=−∞

|x (n)|2 < ∞ (25)

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Ces sequences peuvent etre representees par une transformee de Fourier

mais sans convergence uniforme de la somme infinie definissant X (ejΩ).Cela signifie que l’erreur |X (ejΩ) − XM (ejΩ)| ne tend pas vers 0 quand

M → ∞ mais que par contre l’energie de l’erreur tend vers 0.

Exemple :

H (e jΩ) ={

1, |Ω| < Ωc

0, Ωc < |Ω| ≤ π� h(n) =

sinnΩc

nπ, −∞ < n < ∞

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HM (e jΩ) =M∑

n=−M

sinnΩc

nπe−jnΩ

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Proprietes de la transformee de Fourier

3.5 Proprietes de la transformee de Fourier (1/2)

Linearite ou superposition

a.x (n) + b.y(n) � a.X (ejΩ) + b.Y (ejΩ)

Decalage en temps-frequence

x (n − n0) � e−jn0ΩX (ejΩ) x (n)ejnΩ0 � X (ej (Ω−Ω0))

Derivation en frequence

n.x (n) � jdX (ejΩ)

dΩ

Produit de convolution

x1(n) ∗ x2(n) =∞∑

i=−∞x1(i).x2(n − i) � X1(ejΩ).X2(ejΩ)

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Proprietes de la transformee de Fourier

3.5 Proprietes de la transformee de Fourier (2/2)

Theoreme du fenetrage (ou de la modulation)

x1(n).x2(n) � 12π

∫ π

−π

X1(ejΘ).X2(ej (Ω−Θ))dΘ

Theoreme de Parseval (conservation de la puissance d’un signal)

∞∑i=−∞

|x (i)|2 =12π

∫ π

−π

|X (ejΩ)|2dΩ

Si x (n) est une suite reelle, alors sa TF est symetrique conjuguee(partie reelle et module pairs ; partie imaginaire et phase impaires)

x (n) ∈ R � X (ejΩ) = X ∗(e−jΩ)

Densite spectrale d’energie (pour des signaux a energie finie)

SE (f ) = |X (ej2πfT )|2

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Transformee de Fourier discrete

3.6 Transformee de Fourier discrete

X (k) =N−1∑n=0

x (n)e−j 2πknN , k = 0, · · · ,N − 1 (26)

x (n) =1N

N−1∑k=0

Xke j 2πknN , n = 0, · · · ,N − 1 (27)

�

��

��

��

�

��

��

��

��

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Transformee de Fourier discrete

Proprietes de la TFD

Decalage en temps-frequence x (n − n0) � e−2jπkn0N X (k)

Produit de convolution circulaire

x1(n) � x2(n) =N−1∑i=0

x1(i).x2(n − i) � X1(k).X2(k)

avec x1(n) et x2(n) des signaux periodiques de periode N .

Theoreme de Parseval (conservation de la puissance d’un signal)

1N

N−1∑n=0

|x (i)|2 =N−1∑k=0

|X (k)|2

Proprietes de symetrie x (n) ∈ R � X (k) = X ∗(N − k)

Calcul rapide (Fast Fourier Transform, FFT )

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Systemes discrets

4. Systemes discrets

1 Systemes lineaires invariants

2 Representation temporelle

3 Analyse par transformee en Z

4 Representation frequentielle

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Systemes discrets

Systemes discrets lineaires invariants

4.1 Systemes discrets lineaires invariants

1 Un signal d’entree e(n) est transforme en un signal de sorties(n) :

s(.) = T [e(.)]

2 Un systeme est dit invariant en temps (ou au decalage) ssi :

e(n) T−→ s(n) ⇒ e(n − k) T−→ s(n − k) ∀e(.),∀k ∈ (N )

3 Un systeme est lineaire ssi :

T [a × e1(n) + b × e2(n)] = a × T [e1(n)] + b × T [e2(n)]

∀e1(.),∀e2(.),∀(a, b)

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Systemes discrets

Systemes discrets lineaires invariants

Systemes lineaires invariants (SLI)

1 Causalite : un systeme est causal si un changement en sortiene precede pas un changement en entree.Un systeme lineaire invariant est causal si et seulement sih(n) = 0 pour n < 0.

2 Stabilite : un systeme est stable si a une entree borneecorrespond une sortie bornee. La condition de stabilite d’unsysteme s’ecrit :

+∞∑k=−∞

|h(k)| < +∞

Exemples : retard ideal, moyenneur, sans memoire, . . .

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Systemes discrets

Representation temporelle des systemes discrets


Strategie generale d’analyse d’un systeme lineaire invariant :

1 Decomposition du signal d’entree en une somme de signaux oufonctions de base.

e(n) =∑k

αkek (n)

2 Etude de la reponse du systeme pour l’ensemble des fonctions debase.

sk (n) = T [ek (n)]

3 Recomposition de la sortie en appliquant le principe desuperposition.

s(n) =∑k

αk sk (n)

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Systemes discrets


Produit de convolution (1/2)

e(n) =+∞∑

k=−∞e(k)δ(n − k)

s(n) = T [e(n)] = T [+∞∑

k=−∞e(k)δ(n − k)] =

+∞∑k=−∞

e(k)T [δ(n − k)]

On pose h(n) = T [δ(n)], alors

s(n) =+∞∑

k=−∞e(k)h(n − k) = e(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ e(n)

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Systemes discrets


Produit de convolution (2/2)

Un systeme discret est donc entierement caracterise par sa reponseimpulsionnelle h(n). L’operation ∗ liant la sortie s(n) a l’entreee(n) et a la reponse impulsionnelle du systeme h(n) est appeleeproduit de convolution.Exemple

h(n) : reponse im-pulsionnelle

e(n) : entree dusysteme

s(n) : reponse dusysteme a l’entree

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Systemes discrets


Equation aux differences finies

Une equation aux differences finies peut s’ecrire sous la forme :

s(n) = −N∑

k=1

ak s(n − k) +M∑

k=0

bke(n − k) (28)

Systeme recursif ou non-recursif

Reponse impulsionnelle infinie (RII ou IIR) ou finie (RIF ouFIR)

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Systemes discrets


Fonction de transfert en z (1/2)

La fonction de transfert en z H (z ) d’un systeme est definie par :

H (z ) =S (z )E (z )

(29)

H (z ) est egalement la transformee en Z de la reponseimpulsionnelle h(n) du systeme.A partir de l’equation aux differences (28), on obtient :

H (z ) =∑M

k=0 bk z−k

1 +∑N

k=1 ak z−k=

N (z )D(z )

(30)

ou

H (z ) =∑M

k=0 bk zN−k

zN +∑N

k=1 ak zN−k(31)

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Systemes discrets


Fonction de transfert en z (2/2)

ou en faisant apparaıtre les poles et les zeros :

H (z ) = b0zN−M

∏Mi=1(z − zi)∏Ni=1(z − pi)

= b0

∏Mi=1(1 − ziz−1)∏Ni=1(1 − pi)z−1

(32)

L’equation precedente permet de tracer dans le plan complexe lediagramme des poles et des zeros.

Exemple :

H (z ) =1

1 + 0.5z−1

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Systemes discrets

Analyse des systemes discrets par la transformee en Z

4.3 Analyse des SLD par la transformee en Z (1/3)

Soit le systeme decrit par S (z ) = H (z )E (z ), il s’agit decaracteriser s(n).

H (z ) =N (z )D(z )

, E (z ) =P(z )Q(z )

On a donc :

S (z ) =N (z )P(z )D(z )Q(z )

s(n) = TZ−1 [S (z )]

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Systemes discrets



Sous la condition d’unicite des poles et des zeros, on peut ecrireY (z ) sous la forme :

S (z ) =N∑

k=1

Dk

1 − pk z−1+

L∑k=1

Qk

1 − qk z−1

s(n) =N∑

k=1

Dkpnk u(n)

︸︷︷︸r egime naturel

+L∑

k=1

Qkqnk u(n)

︸︷︷︸r egime force

L’equation precedente montre que le signal de sortie peut etreconsidere comme compose de deux parties :

une reponse en regime naturel (termes en pk ), appeleereponse transitoire si |pk | < 1 ∀k .

une reponse en regime force (termes en qk ).50/ 68


Systemes discrets



Condition de stabilite :

∞∑n=−∞

|h(n)| < ∞

Un SLI causal est stable si et seulement si tous les poles de safonction de transfert sont a l’interieur, strictement, du cercleunite.

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Systemes discrets

Representation frequentielle des systemes discrets

4.4 Representation frequentielle des SLD (1/2)

Soit l’entree e(n) = e jnωT = e jnΩ pour −∞ < n < +∞ d’un SLIde reponse impulsionnelle h(k). La sortie peut alors s’ecrire :

s(n) =∞∑

k=−∞h(k)e j (n−k)Ω = e jnΩ

∞∑k=−∞

h(k)e−jkΩ

H (e jΩ) =∞∑

k=−∞h(k)e−jkΩ

H (e jΩ) est appele reponse frequentielle du systeme. On etudie sonmodule et sa phase :

H (e jΩ) = |H (e jΩ)|e jarg[H (ejΩ)]

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Systemes discrets

Representation frequentielle des systemes discrets

4.4 Representation frequentielle des SLD (2/2)

Exemple :

H (z ) =1

1 + 0.5z−1

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real part

Imag

inar

y pa

rt

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

Normalized frequency (Nyquist == 1)

Pha

se (

degr

ees)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5

0

5

10

Normalized frequency (Nyquist == 1)

Mag

nitu

de R

espo

nse

(dB

)

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Echantillonnage et reconstruction des signaux

5. Echantillonnage et reconstruction des signaux

1 Historique du Theoreme d’echantillonnage

2 Echantillonnage ideal

3 Theoreme d’echantillonnage de Shannon

4 Reconstruction du signal continu a partir de ses echantillons

5 Exemple pratique d’echantillonnage

6 Reconstruction reelle du signal continu

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Historique du Theoreme d’echantillonnage

5.1 Historique du Theoreme d’echantillonnage (1/3)

De tout temps, l’Homme a cherche a echantillonner ... 1

1918 E.T. Whittaker s’interesse aux representations analytiquesd’une fonction connue seulement pour des valeursequidistantes : a, a + w , a + 2w , ...a + nwCeci l’a conduit a la forme finale de la serie cardinale :

∞∑n=−∞

f (a + nw)sin

(πw (t − a − nw)

)πw (t − a − nw)

1928 Nyquist s’interesse a la communication telegraphique. Lavitesse d’echantillonnage de Nyquist correspond a la vitesseminimale pour laquelle on peut obtenir une reconstructionstable.

1Merci a Simon Mathieu de l’Universite Laval pour cet historique precis55/ 68




5.1 Historique du Theoreme d’echantillonnage (2/3)

1933 Kotel’nikov a introduit ce theoreme dans la litteraturescientifique russe.

1948 Shannon enonce un theoreme qui selon lui est generalementadmis dans le domaine des communications :Whittaker Kotel’nikov Shannon — WKS

Si une fonction f (t) ne contient pas de frequences

superieures a ωmax en radians par seconde, alors elle

est completement determinee par l’ordonnee d’une

serie de points espaces de T = πωmax

secondes.

Ce theoreme prend sa source dans les travaux de Borel,Cauchy et De La Vallee Poussin au milieu du XIXe siecle.

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5.1 Historique : reconstruction (3/3)

Classe de fonctions de Paley-Wiener (largeur de bande limitee)regroupe les fonctions telles que :

PWB ={f ∈ L2(R) : supp f ⊆ [−σ, σ]

},

ou f est la transformee de Fourier definie dans L1(R), i.e. ladefinition usuelle de la transformee et supp f est le plus petitsupport de f . Le theoreme nous conduit a la serie cardinale utiliseepour reconstruire la fonction originale :

f (t) =∑n∈Z

f( nw

)sinc

(t − n

w

)(33)

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Echantillonnage ideal

5.2 Echantillonnage ideal (1/2)

Soit un signal analogique xa(t) defini par sa TF :

xa(t) =12π

∫ ∞

−∞Xa(jω)e jωtdω (34)

L’echantillonnage de xa(t) est defini par x (n) = xa(t)|t=nT

Le signal discret x (n) est defini par :

x (n) =12π

∫ π

−πX (jΩ)e jΩndΩ (35)

C/D X

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Echantillonnage ideal

5.2 Echantillonnage ideal (2/2)

On trouve la relation suivante entre les TF de x (n) et de xa(t) :

X (e jΩ) =1T

∞∑k=−∞

Xa(jΩT

+j2πkT

) (36)

Le spectre du signal numerique est donc compose d’une sommeinfinie de versions decalees du signal analogique.

Exemple :

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Theoreme d’echantillonnage de Shannon

5.3 Theoreme d’echantillonnage de Shannon

Il est possible de reconstruire le signal continu a partir du signaldiscret si le signal analogique est a bande limitee, i.e. X (ω) estnulle pour |ω| > ωmax

On obtient alors :

ωmax <2π

T− ωmax (37)

2fmax < fN avec fN =1T

(38)

fN est la frequence limite d’echantillonnage ou encore appeleefrequence de Nyquist.

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Reconstruction du signal continu a partir de ses echantillons

5.4 Reconstruction du signal a partir de ses echantillons

Sous l’hypothese de Shannon precedente, et si le filtre Hr (jω) estun filtre passe-bas ideal de pulsation de coupure ωc = π/T , il estpossible de reconstruire le signal d’origine xa(t) de facon ideale.

xa(t) =∞∑

n=−∞x (n)hr (t − nT ) =

∞∑n=−∞

x (n)sin[π(t − nT )/T ]

π(t − nT )/T

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Exemple pratique d’echantillonnage

5.5 Exemple pratique d’echantillonnage

Soit un signal analogique xa(t) correspondant a une sinusoıde defrequence f = 2Hz et defini par :

xa(t) = sin(2π × 2t)

avec 0 ≤ t ≤ +5s.

La frequence de Nyquist correspond a fN = 2 × 2 = 4Hz.

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Sinusoıde de frequence 2Hz , fe = 1.6Hz

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps

Val

eur

du s

igna

l

Signal echantillone a 1.6Hz

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps

Val

eur

du s

igna

l


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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps

Val

eur

du s

igna

l


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Reconstruction reelle du signal continu

5.6 Reconstruction reelle du signal continu

Reconstruction reelle dans le cas d’une conversion numeriqueanalogique avec blocage d’ordre 0 : le signal x (n) est converti en un

train d’impulsions xe(t), puis transforme en xr (t) par un bloqueur d’ordre

0 :

h0(t) ={

1 0 ≤ t ≤ T0 ailleurs

Il existe un filtre de reconstruction ideal Hr (jω) permettant de

reconstruire le signal analogique de sortie xa(t) de facon parfaite, en

compensant l’influence du bloqueur h0(t).66/ 68


References

Pour plus d’informations...

M. Bellanger.Traitement Numerique du Signal.Masson, 1987.

M. Van Den Enden and M. Werdeckh.Traitement Numerique du Signal : une introduction.Masson, 1992.

D. Hanselman and B. Littlefield.Matlab : the language of technical computing.Prentice Hall, 1997.

M. Kunt and al.Techniques modernes de Traitement Numerique du Signal.Presses Romandes, Masson, 1991.

C. Marven and G. Ewers.A simple approach to Digital Signal Processing.Texas Instruments Mentors, 1993.

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References

Pour plus d’informations...

J. McClellan, R. Schafer, and M. Yoder.DSP First : a Multimedia Approach.Prentice Hall, 1998.

A. V. Oppenheim and R. W. Schafer.Discrete-Time Signal Processing, second edition.Prentice-Hall, 1999.

J. Proakis and D. Manolakis.Digital Signal Processing : Principles, Algorithms and Applications.Prentice Hall, 1996.

B. Poart.A Course in Digital Signal Processing.John Wiley & Sons, 1997.

R. David S. Stearns.Signal Processing Algorithms.Prentice Hall, 1988.

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