7/21/2019 serrin theory

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7/21/2019 serrin theory

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MATHEMATICS:

MEYERS

AND

SERRIN P R O C .

N .

A .

S .

T h i s r e s u l t i s a n

i m m e d i a t e

c o n s e q u e n c e

o f t h e

f o l l o w i n g

m o r e

g e n e r a l p r o p o s i t i o n .

L E M M A . I f u

=

u ( x )

h a s

d i s t r i b u t i o n d e r i v a t i v e s u p t o

o r d e r

m i n Q

w h i c h a r e

l o c a l l y i n L P , t h e n f o r

e a c h

E> 0 t h e r e

e x i s t s

a f u n c t i o n v

=

v ( x )

i n

C ( Q ) s u c h

t h a t

u

-

v

i s i n W m ' - ( Q ) a n d

I f U

-

V | |

W m . , 0 )

< E .

P r o o f :

L e t

Q ,

b e

t h e o p e n

s e t d e f i n e d b y

u p

=

x

x E | 2 ,

l

x

< v , d i s t a n c e x , 6 i )

>

1 / v } ,

w h e r e

v

= 1 ,

2

. .

F o r

c o n v e n i e n c e w e a l s o d e f i n e

g o

a n d

i L

t o b e n u l l s e t s .

No w

l e t

E 0 .

1 b e a

p a r t i t i o n o f u n i t y o n

Q s u c h

t h a t

s u p p

,

C

Q u a-

Q

, 1 ,

v

1 ,

2

A l s o ,

l e t

K ,

=

K , ( x )

b e

a

C O

m o l l i f i e r

s a t i s f y i n g t h e t w o c o n d i t i o n s

s u p p

K

C

{ x |

J x j