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para matemáticos
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SERIES NUMÉRICASCRITERIOS DE CONVERGENCIA
SERIE: es una suma de infinitos términos o sumandos y que está definida como el límite de una cierta sucesión (sucesión de sumas parciales).
SUCESION DE SUMAS PARCIALES:
RECORDANDO:
DEFINICIÓN
Ejemplo:
¿∑𝑘=1
∞ 710𝑘
= lim𝑛→∞
𝑆𝑛
Aquí:
Restando las dos sumatorias:
𝑆𝑛=109 ( 710 − 7
10𝑛+1 )( 𝑓 ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎𝑝𝑎𝑟𝑎𝑆𝑛)
Luego se tiene:
Por lo tanto
SERIES TELESCÓPICAS:
Dada la siguiente serie:
Se tiene la sucesión de sumas parciales:
Simplificando se obtiene:
Luego:
SERIE GEOMÉTRICA
La suma parcial Sn viene dada por
Multiplicando por x a cada miembro:
Restando obtenemos:
Luego:
⇒ lim𝑛→∞
𝑆𝑛= lim𝑛→∞
𝑥−𝑥𝑛+1
1−𝑥 ={¿ 𝑥1−𝑥 ;|𝑥|<1
¿∞ ;|𝑥|>1
𝑥=1 :∑𝑘=1
∞
1𝑘 lim𝑛→∞
𝑆𝑛= lim𝑛→∞
𝑛=∞
𝑥=−1 :∑𝑘=1
∞
(−1 )𝑘 lim𝑛→∞
𝑆𝑛={¿−1 ;𝑛 : 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟¿0 ;𝑛 :𝑝𝑎𝑟¡𝑛𝑜𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒!
Concluimos que la serie
Ejercicio:
Calcule, si existe, la suma de la serie
Solución:
𝐸𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒∑𝑘=1
∞
𝑥𝑘=𝑥+∑𝑘=2
∞
𝑥𝑘
Luego:
⇒∑𝑘=2
∞
𝑥𝑘= 𝑥1−𝑥 −𝑥=
𝑥21−𝑥
Luego, podemos obtener la suma de la serie dada así:
PREGUNTA ESCENCIAL:
¿EXISTE LA SUMA DE LA SERIE?
DEFINICIÓN
La serie
Es convergente si su suma existe y es finita. En caso contrario se denomina divergente.
TEOREMA
Prueba:
Entonces se tienen las sumas parciales
Luego:
Por lo tanto
Este teorema es equivalente a la siguiente proposición:
CRITERIOS DE CONVERGENCIACRITERIO DEL TÉRMINO GENERALCRITERIO DE LA INTEGRALCRITERIO DE LA COMPARACIÓNCRITERIO DEL LÍMITE – COMPARACIÓNCRITERIO DE LA RAZÓNCRITERIO DE LA RAÍZ
PRUEBA O CRITERIO DEL TÉRMINO GENERAL:
¡Cuidado!
Recordando lo anterior:
Ejemplos:
1. Dada la serie
Calculamos el límite del término general
Entonces la serie diverge.
2.
3.
4.
Pues:
PRUEBA O CRITERIO DE LA INTEGRAL
Prueba:
Se tienen las siguientes desigualdades:
La desigualdad (1) implica que:
∫1
𝑛
𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥>∑𝑘=2
𝑛
𝑎𝑘=𝑆𝑛−𝑎1
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 ,𝑠𝑖∫1
∞
𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠
(𝑆𝑛)𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ,𝑝𝑢𝑒𝑠𝑙𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠𝑎𝑘𝑠𝑜𝑛𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 .
(𝑆𝑛)𝑒𝑠𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎𝑝𝑢𝑒𝑠
M
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 (𝑆𝑛)𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ,𝑒𝑠𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 lim𝑛→∞
𝑆𝑛𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 .
La desigualdad (2) implica que:
⇒ lim𝑛→∞
𝑆𝑛=∞.
Ejemplo:
Veamos si converge o diverge la serie
Tenemos la función real
Se tiene las siguientes condiciones:
𝑓 (𝑥 )=𝑥 𝑒−𝑥2
>0𝑝𝑎𝑟𝑎𝑥>0
Entonces la función es decreciente.
Veamos el comportamiento de la integral impropia
Luego tenemos:
La integral converge.
Entonces, la serie
También converge.
Ejemplo:
Estudiemos la convergencia y/o divergencia de la serie
Tenemos la función
También comprobamos que la serie es decreciente, pues
También tenemos que
Veamos la siguiente integral impropia
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 ,𝑝𝑎𝑟𝑎𝑝 ≠1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 :
∫1
∞1𝑥𝑝𝑑𝑥= lim
𝑏→∞∫1
𝑏1𝑥𝑝𝑑𝑥=lim
𝑏→∞ ( 𝑥−𝑝+1
−𝑝+1|𝑏1 )= lim𝑏→∞ ( 𝑏−𝑝+1
−𝑝+1− 1−𝑝+1 )
𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑙 í𝑚𝑖𝑡𝑒𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑑𝑒𝑙 𝑡 é 𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑏−𝑝+1
−𝑝+1,𝑚á 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ,𝑑𝑒𝑙𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 (−𝑝+1 )
Se tiene el siguiente resultado:
𝑆𝑖−𝑝+1>0(𝑒𝑠𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 ,𝑠𝑖𝑝<1)𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝑆𝑖−𝑝+1<0 (𝑒𝑠𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 ,𝑠𝑖 𝑝>1 )𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
Como la serie sigue el comportamiento de la integral, entonces tenemos que:
∑ 1𝑘𝑝 {¿𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑠𝑖𝑝>1
¿𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑠𝑖𝑝<1
h𝐴 𝑜𝑟𝑎 ,𝑝𝑎𝑟𝑎𝑝=1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 :
∫1
∞ 1𝑥 𝑑𝑥= lim
𝑏→∞∫1
𝑏 1𝑥 𝑑𝑥= lim𝑏→∞ ( ln𝑥|𝑏1 )= lim𝑏→∞ ( ln𝑏− ln 1 )=∞
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 , 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒∑ 1𝑘 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .
PRUEBA O CRITERIO DE LA COMPARACIÓN
𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑞𝑢𝑒0≤𝑎𝑘≤𝑏𝑘
Entonces
Prueba:
Consideremos las sumas parciales:
Como los términos de las series son positivos, entonces las sumas parciales son crecientes. Es decir:
Para (1):
∑ 𝑏𝑘= lim𝑛→∞
∑𝑘=1
𝑛
𝑏𝑘= lim𝑛→∞
𝑇 𝑛=𝑇 (𝑝𝑢𝑒𝑠∑𝑏𝑘converge)
Luego, se tiene:
0≤𝑎𝑘≤𝑏𝑘⇒𝑆𝑛≤𝑇 𝑛≤𝑇
𝐴𝑠 í (𝑆𝑛)𝑒𝑠𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 .
Para (2):
𝑆𝑖∑ 𝑎𝑘𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒⇒ lim𝑛→∞
∑𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘= lim𝑛→∞
𝑆𝑛=∞
⇒∞= lim𝑛→∞
𝑆𝑛≤ lim𝑛→∞
𝑇𝑛
Ejemplo:
Veamos si converge o diverge la siguiente serie:
𝑃𝑎𝑟𝑎𝑘≥1: 0≤ √𝑘−1𝑘2+1
≤ √𝑘𝑘2
= 1
𝑘32
𝑐𝑜𝑚𝑜𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒∑ 1
𝑘32
𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ,𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠∑ √𝑘−1𝑘2+1
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .
Ejemplo:
Veamos si converge o diverge la siguiente serie:
Se tienen las siguientes relaciones:
Además
𝑐𝑜𝑚𝑜𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒∑ 1𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒⇒∑ 𝑛
𝑛2−𝑐𝑜𝑠2𝑛𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .
PRUEBA DEL LÍMITE - COMPARACIÓN
𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑞𝑢𝑒𝑎𝑘>0 𝑦𝑏𝑘>0
𝑆𝑖 lim𝑘→∞
𝑎𝑘𝑏𝑘
=𝜌 ;𝜌≠0 𝑦 𝜌 ≠∞
Prueba:
𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑟 𝑦 𝑅𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟<𝜌<𝑅
𝑐𝑜𝑚𝑜𝜌= lim𝑘→∞
𝑎𝑘𝑏𝑘𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑟<𝑎𝑘𝑏𝑘
<𝑅𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑜𝑑𝑜𝑘≥𝑁
𝐸𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑞𝑢𝑒:𝑟 𝑏𝑘<𝑎𝑘<𝑅𝑏𝑘
Por el criterio de comparación se tiene que:
1 .𝑆𝑖∑ 𝑅𝑏𝑘𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠∑ 𝑎𝑘𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .𝐸𝑠𝑡𝑜𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑎𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑖∑𝑏𝑘𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠∑ 𝑎𝑘𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .
2 .∑ 𝑟 𝑏𝑘𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠∑𝑎𝑘𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .𝐸𝑠𝑡𝑜𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑎𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑖∑𝑏𝑘𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠∑ 𝑎𝑘𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .
En conclusión, las dos series tienen el mismo comportamiento.
Ejemplo:
Veamos la convergencia de la serie
Viendo los términos dominantes de la serie dada:
𝑛
𝑛95
=1
𝑛45
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒∑ 1
𝑛45
¡𝑒𝑠𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 !
Entonces, usamos el criterio del Límite – Comparación:
lim𝑛→∞
𝑎𝑛𝑏𝑛
= lim𝑛→∞ [ 3𝑛+5
5√𝑛9+2𝑛5+1∙𝑛
95
𝑛 ]= lim𝑛→∞ [( 3𝑛+5𝑛 )( 𝑛
95
5√𝑛9+2𝑛5+1 )]=3 5√1=3≠0Luego, tenemos que las dos series tienen el mismo comportamiento. Es decir, concluimos que:
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒∑ 𝑛
𝑛95
=∑ 1
𝑛45
𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒∑ 3𝑛+95√𝑛9+2𝑛5+1
𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .
PRUEBA O CRITERIO DE LA RAZÓN
𝑆𝑒𝑎𝑛𝑎𝑘>0
𝑆𝑖 lim𝑘→∞
𝑎𝑘+1𝑎𝑘
=𝐿
Entonces:
Prueba:
Para (1):
𝐶𝑜𝑚𝑜(𝑎𝑘+1𝑎𝑘 )𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑎𝐿<1
𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑟 ∈ℝ ;𝐿<𝑟<1
𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑎𝑘+1
𝑎𝑘<𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑜𝑑𝑜𝑘≥𝑁
Luego,
Así sucesivamente:
Multiplicando las k desigualdades, se obtiene:
𝑎𝑁+𝑘<𝑟𝑘𝑎𝑁
Aplicamos el criterio de comparación a las series
Tenemos que
∑𝑘=1
∞
𝑟 𝑘𝑎𝑁=𝑎𝑁∑𝑘=1
∞
𝑟 𝑘𝑒𝑠𝑢𝑛𝑎𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒𝑔𝑒𝑜𝑚é 𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑝𝑢𝑒𝑠 0<𝑟<1 )
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ,𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒∑𝑘=1
∞
𝑎𝑁+𝑘𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 .
Pero,
Como esta serie es convergente, entonces se concluye que:
∑𝑛=1
∞
𝑎𝑛𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 .
Para (2):
𝑆𝑖 (𝑎𝑘+1𝑎𝑘 )𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑎𝐿>1
Entonces:
⇒ lim𝑘→∞
𝑎𝑘≠0
Por el criterio del Término General concluimos que
Ejemplo:
Veamos la convergencia o divergencia de la serie
Por el Criterio de la Razón, se tiene:
lim𝑘→∞
𝑎𝑘+1𝑎𝑘
= lim𝑘→∞
(𝑘+1 )!𝑒3𝑘+3
∙ 𝑒𝑘
𝑘 != lim𝑘→∞(𝑘+1 ) !𝑘! ∙ 𝑒
𝑘
𝑒3𝑘+3= lim𝑘→∞
𝑘+1𝑒3
=∞>1
Tenemos que
Ejemplo:
Veamos la convergencia o divergencia de la serie
Aplicamos el Criterio de la Razón:
Tenemos que
PRUEBA O CRITERIO DE LA RAIZ
𝑆𝑒𝑎𝑛𝑎𝑘>0
𝑆𝑖 lim𝑘→∞
(𝑎𝑘 )1𝑘=𝐿
Entonces:
Prueba:
Para (1) :
𝐶𝑜𝑚𝑜 lim𝑘→∞
(𝑎𝑘 )1𝑘=𝐿<1
Entonces:
𝑎𝑘<𝑟𝑘𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑜𝑑𝑜𝑘≥𝑁
Usando el criterio de comparación, concluimos que
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒𝑔𝑒𝑜𝑚é 𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎∑ 𝑟𝑘𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒⇒∑ 𝑎𝑘𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .Para (2):
𝑆𝑖 lim𝑘→∞
(𝑎𝑘 )1𝑘=𝐿>1
Entonces
⇒ lim𝑘→∞
𝑎𝑘≠0
Por el Criterio del Término General se concluye que
Ejemplo:
Veamos la convergencia o divergencia de la serie
Por el Criterio de la Raíz:
lim𝑘→∞
(𝑎𝑘)1𝑘= lim
𝑘→∞ (( 2𝑘5+8𝑘2−75 𝑘5−2 )𝑘)1𝑘= lim
𝑘→∞
2𝑘5+8𝑘2−75𝑘5−2
=25<1
𝐶𝑜𝑚𝑜 lim𝑘→∞
(𝑎𝑘 )1𝑘<1⇒∑ 𝑎𝑘=∑ ( 2𝑘5+8𝑘2−75𝑘5−2 )
𝑘
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 .