Series, Metodos, Analisis Numerico

7/26/2019 Series, Metodos, Analisis Numerico

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Instituto Politcnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniera Mecnica

y Elctrica

Asignatura: Anlisis Numrico

Tema: Series y Mtodos

Alumno: Sanchez Melendez os air

!rupo: "#$%


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Serie de Taylor

En matemticas, una serie de Taylores una aproximacin de funcionesmediante

una serie de potenciaso suma de potencias enteras de polinomios

como llamados trminos de la serie, dicha suma se calcula a partir de

las derivadasde la funcin para un determinado valor o punto suficientemente

derivable sobre la funcin y un entorno sobre el cual converja la serie. Si esta serie

est centrada sobre el punto cero, , se le denomina serie de McLaurin.

Esta aproximacin tiene tres ventajas importantes:

la derivacin e integracin de una de estas series se puede realiar trmino

a trmino, !ue resultan operaciones triviales"

se puede utiliar para calcular valores aproximados de funciones"

es posible calcular la optimidad de la aproximacin.

#lgunas funciones no se pueden escribir como serie de $aylor por!ue tienen

alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un

desarrollo en serie utiliando potencias negativas dex%vase Serie de &aurent'.

(or ejemplo f%x' ) exp%*+x-' se puede desarrollar como serie de &aurent.

efinicin

&a serie de $aylor de una funcin frealo compleja%x' infinitamente

diferenciableen el entornode un n/mero realo complejoaes la siguiente serie de

potencias:

!ue puede ser escrito de una manera ms compacta como la siguiente suma:

,

donde:

n!es el factorialde n
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potenciashttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Singularidad_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Laurenthttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_complejohttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuamente_diferenciablehttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuamente_diferenciablehttps://es.wikipedia.org/wiki/Entorno_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potenciashttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potenciashttps://es.wikipedia.org/wiki/Sumatoriohttps://es.wikipedia.org/wiki/Factorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potenciashttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Singularidad_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Laurenthttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_complejohttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuamente_diferenciablehttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuamente_diferenciablehttps://es.wikipedia.org/wiki/Entorno_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potenciashttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potenciashttps://es.wikipedia.org/wiki/Sumatoriohttps://es.wikipedia.org/wiki/Factorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


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f%n'%a' denota la n0sima derivadade fpara el valor ade la variable respecto

de la cual se deriva.

&a derivada de orden cero de fes definida como la propia fy tanto %x* a'1como

son ambos definidos como + % ) +'. En caso de ser a) 1, como ya se mencion,

la serie se denomina tambin de 2c&aurin.

3abe destacar !ue en una serie de $aylor de potencias centrada en ade la

forma siempre se puede hacer el cambio de variable

%con lo !ue en la funcin a desarrollar original' para expresarla

como centrada en 1. &uego hay !ue deshacer el cambio de variable. (or

ejemplo, si se !uiere desarrollar la funcin alrededor de a) + se

puede tomar , de manera !ue se

desarrollar4a centrada en 1.

SE56E E 2#3

En matemticas, la serie de $aylor de una funcin f%x' infinitamente derivable %real

o compleja' definida en un intervalo abierto %a0r, a8r' se define con la siguiente

suma: sin%x' y aproximaciones de $aylor centradas en 1, con polinomios de grado

+, 9, , ;,


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Serie de Laurent

En matemticas, la serie de Laurentde una funcincompleja f%' es la

representacin de la misma funcin en la forma de una serie de potencias, la cual

tambin incluye trminos de grado negativo. Esta serie se puede usar para

expresar funciones complejas en casos donde una expansin de la serie de$aylorno es aplicable o no se puede acoplar. &a serie de &aurent fue descubierta

por arl Feierstrassen el aGo de +HI+, pero no no lo public en ese entonces+,

paralelamente, el matemtico francs (ierre #lphonse &aurentdesarroll las

series, y fue !uien la public por primera ve en el aGo +HI9

efinicin

Cna serie de &aurent se define con respecto a un punto particular cy un camino

de integracin J. El camino de integracin debe poder permanecer dentro de una

regin abierta %corona', indicada en la figura con color, donde en dicha regin f%z'

es holomorfa%anal4tica'.

Cna serie de &aurent se define con respecto a un punto particular cy un camino

de integracin . El camino de integracin debe estar dentro de una regin donde

f%' es una funcin holomorfa%a veces se usa como sinnimo el trminofuncin

analtica, aun!ue no es estrictamente correcto, dado !ue una funcin anal4tica es

tcnicamente a!uella !ue admite desarrollo en serie de potencias en cierto

entorno de un punto, lo !ue ocurre es !ue en toda funcin holomorfa es tambin

anal4tica'.
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potenciashttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Karl_Weierstrasshttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Laurent#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_Alphonse_Laurenthttps://es.wikipedia.org/wiki/1843https://es.wikipedia.org/wiki/Corona_circularhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_holomorfahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_holomorfahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_holomorfahttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potenciashttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Karl_Weierstrasshttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Laurent#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_Alphonse_Laurenthttps://es.wikipedia.org/wiki/1843https://es.wikipedia.org/wiki/Corona_circularhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_holomorfahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_holomorfa


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Cna serie de &aurent centrada alrededor de un punto es una serie de la forma:

donde .

&os coeficientes de una serie de &aurent en una funcin anal4tica se pueden

encontrar por medio de la frmula integral de 3auchyy estn dados por:

para

&a sucesin de constantes estn definidas por un camino de integracin en la

generaliacin de la frmula integral de 3auchy.

3onvergencia

(odemos demostrar !ue esta serie es convergente dentro del conjunto

%posiblemente nulo, K':

onde:

y

$oda serie de &aurent tiene vinculada una funcin de la forma:

cuyo dominio es el conjunto de puntos en sobre el cual es convergente. Esta

funcin es anal4tica dentro de una corona " inversamente, toda funcin en

una coronaes igual a una /nica serie de &aurent.

Si suponemos : es una serie de &aurent con coeficientes any

un centro complejo c. Entonces existe un radio interior ry un radio exterior Rde tal

forma !ue:
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_integral_de_Cauchyhttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_integral_de_Cauchyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Corona_circularhttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_integral_de_Cauchyhttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_integral_de_Cauchyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Corona_circular


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+. &a serie de &aurent es convergente en la coronaabierta :) ? : r L M * cM

L 5@, tanto para potencias de grado positivo como para potencias de grado

negativo y esta convergencia define una funcin holomorfa f%' en la

corona abierta.

N. Ouera de la corona, la serie de &aurent es divergente.

9. (ara el disco existe al menos un punto en la frontera interior y otro en

la fronteraexterior para los cuales no puede ser holomorfa continua.

El Mtodo de Gauss Jordan o tambin llamado eliminacinde Gauss Jordan

Es un mtodo por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con

n n/meros de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este casodesarrollaremos la primera aplicacin mencionada.(ara resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este mtodo, se debe enprimer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistemade ecuacioneslineales en su notacin matricial:

Entonces, anotando como matri%tambin llamada matri aumentada':

Cna ve hecho esto, a continuacin se procede a convertir dicha matri en unamatri identidad, es decir una matri e!uivalente a la original, la cual es de laforma:

Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matricessimples operacionesde suma, resta, multiplicacin y divisin" teniendo en cuenta
https://es.wikipedia.org/wiki/Corona_circularhttps://es.wikipedia.org/wiki/Frontera_(topolog%C3%ADa)http://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/macroecon/macroecon.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/cambcult/cambcult.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/diop/diop.shtmlhttps://es.wikipedia.org/wiki/Corona_circularhttps://es.wikipedia.org/wiki/Frontera_(topolog%C3%ADa)http://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/macroecon/macroecon.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/cambcult/cambcult.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/diop/diop.shtml


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!ue una operacin se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna,sea el caso.Pbsrvese !ue en dicha matri identidad no aparecen los trminosindependientes, esto se debe a !ue cuando nuestra matri original alcance laforma de la matri identidad, dichos trminos resultaran ser la solucin del sistema

y verificaran la igualdadpara cada una de las variables, correspondindose de lasiguiente forma:

d+ ) x

dN ) y

d9 )

#hora !ue estn sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolucinde sistemas de ecuaciones lineales por medio de este mtodo.(ara ilustrarnos mejor lo analiaremos con un ejemplo concreto:

Sea el sistema de ecuaciones:

(rocedemos al primer paso para encontrar su solucin, anotarlo en su

forma matricial:

Cna ve hecho esto podemos empear a operar con las distintas filas y

columnas de la matri para transformarla en su matri identidad, teniendo siempreen cuenta la forma de la misma:

&o primero !ue debemos hacer es transformar el N de la +Q fila de la matrioriginal en el + de la +Q fila de la matri identidad" para hacer esto debemosmultiplicar toda la +Q fila por el inverso de N, es decir R.
http://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/histoconcreto/histoconcreto.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/histoconcreto/histoconcreto.shtml


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&uego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matri

identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los n/meros !ue se ubicaronpor debajo del + de la primera columna, en este caso el opuesto de 9 !ue ser 09 yel opuesto de !ue ser 0.Cna ve hecho esto, se proceder a multiplicar los opuestos de estos n/meros porcada uno de los elemento de la +Q fila y estos se sumaran a los n/meros de surespectiva columna. (or ej.: en el caso de la N fila, se multiplicara a 09 %opuestode 9' por cada uno de los elementos de la + fila y se sumara su resultado con elnumero !ue le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 9Q fila

se multiplicara a 0 %opuesto de ' por cada uno de los elementos de la + fila y sesumara su resultado con el n/mero !ue le corresponda en columna de la tercerafila.

7uestro siguiente paso es obtener el + de la NQ fila de la matri identidad, y

procedemos de igual forma !ue antes, es decir multiplicamos toda la fila por elinverso del numero !ue deseamos transformar en +, en este caso 0+9N, cuyoinverso es 0N+9

#dems si observamos la tercera fila, nos damos cuenta !ue todos los elementosposeen el mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todoslos elementos de la 9 fila por N %el denominador'" si bien este no es un pasonecesario para el desarrollodel mtodo, es /til para facilitar clculos posteriores.

Mtodo de Gauss-Seidel

En anlisis numricoel mtodo de Gauss-Seideles un mtodo iterativoutiliado

para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El mtodo se llama as4 en honor a

los matemticos alemanes 3arl Oriedrich Taussy (hilipp &udUig von Seidely es

similar al mtodo de Vacobi.

#un!ue este mtodo puede aplicarse a cual!uier sistema de ecuaciones lineales

!ue produca una matri %cuadrada, naturalmente pues para !ue exista solucin
http://www.monografias.com/trabajos12/desorgan/desorgan.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/desorgan/desorgan.shtmlhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_iterativohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistemas_de_ecuaciones_linealeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttps://es.wikipedia.org/wiki/Philipp_Ludwig_von_Seidelhttps://es.wikipedia.org/wiki/Philipp_Ludwig_von_Seidelhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Jacobihttp://www.monografias.com/trabajos12/desorgan/desorgan.shtmlhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_iterativohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistemas_de_ecuaciones_linealeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttps://es.wikipedia.org/wiki/Philipp_Ludwig_von_Seidelhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Jacobi


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/nica, el sistema debe tener tantas ecuaciones como incgnitas' de coeficientes

con los elementos de su diagonal no0nulos, la convergencia del mtodo solo se

garantia si lamatri es diagonalmente dominanteo si es simtrica y, a la

ve, definida positiva.

escripcin

Es un mtodo iterativo, lo !ue significa !ue se parte de una aproximacin inicial y

se repite el proceso hasta llegar a una solucin con un margen de error tan

pe!ueGo como se !uiera. Wuscamos la solucin a un sistema de ecuaciones

lineales, en notacin matricial:

donde:

El mtodo de iteracin Tauss0Seidel se computa, para la iteracin :

onde

efinimos

y

,

onde los coeficientes de la matri 7 se definen

como si , si .

3onsiderando el sistema con la condicin de !ue. Entonces podemos escribir la frmula

de iteracin del mtodo

%D'
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_diagonal_estrictamente_dominantehttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_diagonal_estrictamente_dominantehttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_definida_positivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_diagonal_estrictamente_dominantehttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_definida_positiva


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&a diferencia entre este mtodo y el de Vacobi es !ue, en

este /ltimo, las mejoras a las aproximaciones no se

utilian hasta completar las iteraciones.

3onvergencia

Teorema: Suponga una matri es una matri no singular!ue

cumple la condicin de

.

Entonces el mtodo de Tauss0Seidel converge a una solucin del

sistema de ecuaciones, y la convergencia es por lo menos tan rpida

como la convergencia del mtodo de Vacobi.

(ara ver los casos en !ue converge el mtodo primero mostraremos !ue se puede

escribir de la siguiente forma:

%DD'

%El trmino es la aproximacin obtenida despus de la k0sima iteracin'

este modo de escribir la iteracin es la forma general de un mtodo iterativo

estacionario.

(rimeramente debemos demostrar !ue el problema lineal !ue

!ueremos resolver se puede representar en la forma %DD', por este motivo

debemos tratar de escribir la matri # como la suma de una matri triangular

inferior, una diagonal y una triangular superior A)%L8D8U', D)diag% '.

Xaciendo los despejes necesarios escribimos el mtodo de esta forma

(or lo tanto M)0%L8D'0+Uy c)%L8D'0+b

#hora podemos ver !ue la relacin entre los errores, el cul se puede

calcular al substraerx)Wx8cde %DD'

Supongamos ahora !ue , i) +, ..., n, son los valores propios !ue

corresponden a los vectores propios , i) +,..., n, los cuales son

linealmente independientes, entonces podemos escribir el error inicial
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_no_singularhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_iterativo_estacionario&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_iterativo_estacionario&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_no_singularhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_iterativo_estacionario&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_iterativo_estacionario&action=edit&redlink=1


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%DDD'

(or lo tanto la iteracin converge si y slo si M YiML+, i) +, ..., n.

e este hecho se desprende el siguiente teorema:

Teorema: Cna condicin suficiente y necesaria para !ue un mtodo

estacionario converja para una aproximacin arbitr

es !ue

donde Z%2' es el radio espectralde 2.

Mtodo de e!ton

En anlisis numrico, el mtodo de e!ton%conocido tambin como el mtodo

de e!ton-"a#$sono el mtodo de e!ton-%ourier' es un algoritmoeficiente

para encontrar aproximaciones de los ceros o ra4cesde una funcin real. $ambin

puede ser usado para encontrar el mximo o m4nimo de una funcin, encontrandolos ceros de su primera derivada.

escripcin del mtodo

&a funcin es mostrada en aul y la l4nea tangente en rojo. [emos !ue xn8+es

una mejor aproximacin !uexnpara la ra4xde la funcin f.
https://es.wikipedia.org/wiki/Radio_espectralhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Raphsonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttps://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_de_una_funci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Radio_espectralhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Raphsonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttps://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_de_una_funci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada


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El mtodo de 7eUton05aphson es un mtodo abierto, en el sentido de !ue no est

garantiada su convergencia global. &a /nica manera de alcanar la convergencia

es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la ra4 buscada. #s4, se

ha de comenar la iteracin con un valor raonablemente cercano al cero

%denominado punto de arran!ue o valor supuesto'. &a relativa cercan4a del puntoinicial a la ra4 depende mucho de la naturalea de la propia funcin" si sta

presenta m/ltiples puntos de inflexin o pendientes grandes en el entorno de la

ra4, entonces las probabilidades de !ue el algoritmo diverja aumentan, lo cual

exige seleccionar un valor puesto cercano a la ra4. Cna ve !ue se ha hecho

esto, el mtodo linealia la funcin por la recta tangenteen ese valor supuesto. &a

abscisa en el origen de dicha recta ser, seg/n el mtodo, una mejor

aproximacin de la ra4 !ue el valor anterior. Se realiarn sucesivas iteraciones

hasta !ue el mtodo haya convergido lo suficiente.

Sea f: \a, b] 0^ "funcin derivable definida en el intervalo real \a, b]. Empeamoscon un valor inicialx1y definimos para cada n/mero naturaln

onde f_ denota la derivadade f.

7tese !ue el mtodo descrito es de aplicacin exclusiva para funciones de

una sola variable con forma anal4tica o impl4cita conocible. Existen variantes

del mtodo aplicables a sistemas discretos !ue permiten estimar las ra4ces de

la tendencia, as4 como algoritmos !ue extienden el mtodo de 7eUton asistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etctera.

Mtodo de "un&e-'utta

En anlisis numrico, los mtodos de "un&e-'uttason un conjunto de mtodos

genricos iterativos, expl4citos e impl4citos, de resolucin numrica de ecuaciones

diferenciales. Este conjunto de mtodos fue inicialmente desarrollado alrededor

del aGo +


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Sea

una ecuacin diferencial ordinaria, con donde es

un conjunto abierto, junto con la condicin de !ue el valor inicial de ` sea

Entonces el mtodo 5 %de orden s' tiene la siguiente expresin, en su

forma ms general:

,

donde hes el paso por iteracin, o lo !ue es lo mismo, el

incremento entre los sucesivos puntos y . &os

coeficientes son trminos de aproximacin intermedios, evaluados en

` de manera local

con coeficientes propios del es!uema numrico elegido,

dependiente de la regla de cuadraturautiliada. &os es!uemas

5unge0utta pueden ser expl4citos o impl4citos dependiendo de las

constantes del es!uema. Si esta matri es triangular inferior con

todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero" es

decir, para , los es!uemas son expl4citos.

Ejemplo(editar)

Es!uema 5unge0utta de dos etapas, una en y otraen . `%t,y%t'' en la primera etapa es:

(ara estimar `%t,y' en se usa un es!uema Euler
https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Runge-Kutta&action=edit&section=2https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Runge-Kutta&action=edit&section=2https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler


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3on estos valores de `, se sustituyen en la ecuacin

de manera !ue se obtiene la expresin:

&os coeficientes propios de este es!uema

son:

[ariantes

Existen variantes del mtodo de 5unge0utta clsico,

tambin llamado 5unge0utta expl4cito, tales como la

versin impl4cita del procedimiento o las parejas de

mtodos 5unge0utta %o mtodos 5unge0utta0

Oehlberg'.

Este /ltimo consiste en ir aproximando la solucin de

la ecuacin mediante dos algoritmos 5unge0utta derdenes diferentes, para as4 mantener el error

acotado y hacer una buena eleccin de paso.


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M*nimos cuadrados

El resultado del ajuste de un conjunto de datos a una funcin cuadrtica.

M*nimos cuadradoses una tcnica de anlisis numricoenmarcada dentro de

laoptimiacin matemtica, en la !ue, dados un conjunto de pares ordenados

variable independiente, variable dependiente y una familia de funciones, se

intenta encontrar lafuncin continua, dentro de dicha familia, !ue mejor se

aproxime a los datos %un mejor ajuste', de acuerdo con el criterio de mnimo

error cuadrtico.

En su forma ms simple, intenta minimiarla suma de cuadrados de las

diferencias en las ordenadas%llamadas residuos' entre los puntos generados porla funcin elegida y los correspondientes valores en los datos. Espec4ficamente, se

llama mnimos cuadrados promedio%&2S' cuando el n/mero de datos medidos es

+ y se usa el mtodo de descenso por gradientepara minimiar el residuo

cuadrado. Se puede demostrar !ue &2S minimia el residuo cuadrado esperado,

con el m4nimo de operaciones %por iteracin', pero re!uiere un gran n/mero de

iteraciones para converger.

esde un punto de vista estad4stico, un re!uisito impl4cito para !ue funcione el

mtodo de m4nimos cuadrados es !ue los errores de cada medida estn

distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Tauss02rovprueba !ue losestimadores m4nimos cuadrticos carecen de sesgo y !ue el muestreo de datos no

tiene !ue ajustarse, por ejemplo, a una distribucin normal. $ambin es importante

!ue los datos a procesar estn bien escogidos, para !ue permitan visibilidad en

las variables !ue han de ser resueltas %para dar ms peso a un dato en particular,

vase m4nimos cuadrados ponderados'.
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuahttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A1ximo_y_m%C3%ADnimo&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_errores&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Filtro_de_m%C3%ADnimos_cuadrados_promedio&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Descenso_por_gradiente&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Gauss-M%C3%A1rkovhttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normalhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%ADnimos_cuadrados_ponderados&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuahttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A1ximo_y_m%C3%ADnimo&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_errores&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Filtro_de_m%C3%ADnimos_cuadrados_promedio&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Descenso_por_gradiente&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Gauss-M%C3%A1rkovhttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normalhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%ADnimos_cuadrados_ponderados&action=edit&redlink=1


16/23

&a tcnica de m4nimos cuadrados se usa com/nmente en el ajuste de curvas.

2uchos otros problemas de optimiacin pueden expresarse tambin en forma de

m4nimos cuadrados, minimiando la energ4ao maximiando la entrop4a.

Multi#licadores de La&ran&e

En los problemas de optimiacin, el mtodo de los multi#licadores de

La&ran&e, llamados as4 en honor a Voseph &ouis &agrange,es un procedimiento

para encontrar los mximos y m4nimos de funciones de m/ltiples variables sujetas

a restricciones. Este mtodo reduce el problema restringido con nvariables a uno

sin restricciones de n8 variables, donde es igual al n/mero de restricciones, y

cuyas ecuaciones pueden ser resueltas ms fcilmente. Estas nuevas variables

escalares desconocidas, una para cada restriccin, son llamadas multiplicadores

de &agrange. El mtodo dice !ue los puntos donde la funcin tiene un extremo

condicionado con restricciones, estn entre los puntos estacionariosde una

nueva funcin sin restricciones construida como una combinacin linealde lafuncin y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los

multiplicadores.

&a demostracin usa derivadas parcialesy la regla de la cadenapara funciones de

varias variables. Se trata de extraer una funcin impl4cita de las restricciones, y

encontrar las condiciones para !ue las derivadas parciales con respecto a

las variables independientesde la funcin sean iguales a cero.

El mtodo de los multiplicadores de &agrange

Sea f%+' una funcin definida en un conjunto abierto n0dimensional ?+"n@. Sedefinen srestricciones gk%+' ) 1, )+,..., s, y se observa %si las restricciones son

satisfechas' !ue:

Se procede a buscar un extremo para h

lo !ue es e!uivalente a
https://es.wikipedia.org/wiki/Ajuste_de_curvashttps://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Entrop%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrangehttps://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrangehttps://es.wikipedia.org/wiki/Puntos_estacionarioshttps://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_la_cadenahttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Lagrangehttps://es.wikipedia.org/wiki/Ajuste_de_curvashttps://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Entrop%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrangehttps://es.wikipedia.org/wiki/Puntos_estacionarioshttps://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_la_cadenahttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Lagrange


17/23

"e&la del tra#ecio

&a funcin f%x' %en aul' es aproximada por la funcin lineal%en rojo'.

En anlisis numricola re&la del tra#ecioes un mtodo de integracin,es decir,

un mtodo para calcular aproximadamente el valor de una integral definida. &a

regla se basa en aproximar el valor de la integral de por el de la funcinlineal, !ue pasa a travs de los puntos y . &a integral de sta

es igual al ,rea del tra#eciobao la &r,.ica de la .uncin lineal.

(ara realiar la aproximacin por esta regla es necesario usar un polinomio de

primer orden, y esta es representada por:

Entonces al sustituir en la integral tenemos:

(or /ltimo al resolver esa integral nos !ueda:

3lculo del error

El trmino de error corresponde a:
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Integral_definidahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Trapecio_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Integral_definidahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Trapecio_(geometr%C3%ADa)


18/23

Siendo un n/mero perteneciente al intervalo .

5egla del trapecio compuesta\editar]

6lustracin de la regla del trapecio compuesta

&a re&la del tra#ecio com#uestao re&la de los tra#ecioses una

forma de aproximar una integral definida utiliando ntrapecios. En

la formulacin de este mtodo se supone !ue fes continua y

positiva en el intervalo \a,b]. e tal modo la integral

definida representa el rea de la regin delimitada por

la grfica de fy el ejex, desdex)ahastax)b. (rimero se divide el

intervalo \a,b] en nsubintervalos, cada uno deancho .

espus de realiar todo el proceso matemtico se llega a la

siguiente frmula:

onde y nes el n/mero de divisiones.

&a expresin anterior tambin se puede escribir como:
https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Regla_del_trapecio&action=edit&section=3https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Regla_del_trapecio&action=edit&section=3


19/23

El error en esta aproximacin se corresponde con :

Siendo n el n/mero de subintervalos

Mtodo de "omber&

En anlisis numrico, el Mtodo de "omber&genera una matri triangular cuyos

elementos son estimaciones numricas de laintegral definidasiguiente:

usando la extrapolacin de 5ichardsonde forma reiterada en la regla del

trapecio. El mtodo de 5omberg eval/a el integrando en puntos

e!uiespaciados del intervalo de integracin estudiado. (ara !ue este mtodo

funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo,

aun!ue se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco

derivables. #un!ue es posible evaluar el integrando en puntos no

e!uiespaciados, en ese caso otros mtodos como la cuadratura gaussianao

la cuadratura de 3lenshaU3urtisson ms adecuados.

2todo

El mtodo se define de forma recursiva as4:
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Integral_definidahttps://es.wikipedia.org/wiki/Extrapolaci%C3%B3n_de_Richardsonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_del_trapeciohttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_del_trapeciohttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadratura_gaussianahttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cuadratura_de_Clenshaw%E2%80%93Curtis&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Integral_definidahttps://es.wikipedia.org/wiki/Extrapolaci%C3%B3n_de_Richardsonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_del_trapeciohttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_del_trapeciohttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadratura_gaussianahttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cuadratura_de_Clenshaw%E2%80%93Curtis&action=edit&redlink=1


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o

donde

&a cota superior asintticadel error de R%n,m' es:

&a extrapolacin a orden cero es e!uivalente

a la 5egla del trapeciocon puntos. a ordenuno es e!uivalente a la 5egla de

Simpsoncon puntos.

3uando la evaluacin del integrando es

numricamente costosa, es preferible reemplaar la

interpolacin polinmica de 5ichardson por la

interpolacin racional propuesta por Wulirsch Stoer.

"e&la de Sim#son

&a funcin f%x' %aul' es aproximada por una funcin cuadrticaP%x' %rojo'.

En anlisis numrico, la re&lao mtodo de Sim#son%nombrada as4 en honor

de $homas Simpson' y a veces llamada regla de epleres un mtodo

de integracin numrica!ue se utilia para obtener la aproximacinde la integral:
https://es.wikipedia.org/wiki/Cota_superior_asint%C3%B3ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_del_trapeciohttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpsonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpsonhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Simpsonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Keplerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Integralhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cota_superior_asint%C3%B3ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_del_trapeciohttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpsonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpsonhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Simpsonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Keplerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Integral


21/23

En integracin numrica, una forma de aproximar una integral definida enun intervalo\a,b] es mediante la regla del trapecio, es decir, !ue sobre cada

subintervalo en el !ue se divide \a,b] se aproxima fpor un polinomio deprimer

grado, para luego calcular la integral como suma de las reas de los trapecios

formados en esos subintervalos . El mtodo utiliado para la regla de Simpson

sigue la misma filosof4a, pero aproximando los subintervalos de fmediante

polinomios de segundo grado.

erivacin de la regla de Simpso

3onsideramos el polinomio interpolantede orden dos , !ue aproxima a lafuncin integrando entre los nodosx1) a,x+) by m) %a8b'N. &a expresin

de ese polinomio interpolante, expresado a travs de la interpolacin polinmica

de &agrangees:

#s4, la integral buscada+

es e!uivalente a

donde E%f' es el trmino de error" por lo tanto, se puede aproximar

como:

Error

El trmino error E%f', llamado error global, corresponde a+

donde y pertenece al intervalo\a,b].
https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_del_trapeciohttps://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3micahttps://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica_de_Lagrangehttps://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica_de_Lagrangehttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpson#cite_note-Rao-1https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpson#cite_note-Rao-1https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_del_trapeciohttps://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3micahttps://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica_de_Lagrangehttps://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica_de_Lagrangehttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpson#cite_note-Rao-1https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpson#cite_note-Rao-1https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)


22/23

Se puede calcular una estimacin del error cometido al

aproximar la integral mediante este mtodo. Si las cuatro

primeras derivadas de f%x' son continuas en el intervalo,

entonces el error %en trminos absolutos' est acotado comoN

donde, de nuevo y .

5egla de Simpson compuesta

En el caso de !ue el intervalo \a,b] no sea lo suficientemente

pe!ueGo, el error al calcular la integral puede ser muy

grande. (ara ello, se recurre a la frmula compuesta de

Simpson. Se divide el intervalo \a,b] en nsubintervalosiguales %con npar', de manera !ue ,

donde para .

#plicando la 5egla de Simpson a cada

subintervalo tenemos:

Sumando las integrales de todos los subintervalos,

llegamos a !ue:

El mximo error viene dado por la

expresin

5egla de Simpson 9H simple

Esta forma es muy similar a la regla de Simpsonclsica, pero se usa polinomios de &agrange de tercer

orden. Se tiene en consideracin !ue ahora el

paso , ya !ue la funcin se tabula con

cuatro puntos de igual distancia hy formando tres
https://es.wikipedia.org/wiki/Error_absolutohttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpson#cite_note-2https://es.wikipedia.org/wiki/Error_absolutohttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpson#cite_note-2


23/23

subintervalos. Sixn8+)xn8hconx1)a, se define de la

siguiente manera:

El error al usar la regla de Simpson de 9H se

puede obtener usando:

donde se encuentra dentro del intervalo

\a,b].

5egla de Simpson 9H compuesta

Es mas exacta !ue la regla de Simpson 9H

simple, ya !ue divide el intervalo de

integracin en ms subintervalos. Se expresa

de la siguiente forma:

tomando donde nes el n/mero

de subintervalos, con la condicin de

!ue nsea m/ltiplo de 9 y !ue en cada

sumatorio se tomen los valores

de .

(ara el clculo del error, se obtiene la

cuarta derivada de la funcin ytomando en cuenta !ue debe

pertenecer al intervalo de integracin,

se aplica la siguiente frmula:

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