Solución de Sistemas de

Ecuaciones Lineales. Ángela Alvarado

C.I: 19114189

UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”

SISTEMA DE APRENDIZAJE INTERACTIVOS A DISTANCIA

(SAIA) – CABUDARE

Analisis NumericoEl análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas encargada de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones simples.

Numero Maquina:

Es un sistema numérico que consta de dos dígitos:

Ceros (0) y unos (1) de base 2.

Numero maquina decimal:

Son aquellos números cuya representación viene dada de la

siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £

9 para cada i=2, 3, 4, ..., k

Medir : Es comparar cierta cantidad de una magnitud, con otra cantidad de la misma que se ha elegido como unidad patrón.

Magnitud:es cualquier propiedad de un cuerpo que puede ser medida.Cualquier medida debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida, y a continuación, las unidades empleadas

Error Absoluto:El error absoluto en una medida x de determinada magnitud es la diferencia entre dicho valor y el valor verdadero de la medida; se notará por Ea y donde Ve representa el valor verdadero de la medida.

Error Relativo:se define el error relativo como el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero; notándolo por Er

y suele expresarse porcentualmente sin más que multiplicar por 100.

Ejemplo : Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos: 3,01 s eg 3,11 s eg 3,20 seg 3,15 seg

Valor que se considera exacto o real (V)

Errores absoluto y relativo de cada medida:

Cota de Errores Absolutos y Relativos

En el caso en que el valor real sea un número irracional no pueden realizarse los cálculos anteriores con exactitud por tener su desarrollo decimal infinitas cifras y no poder expresarse en forma fraccionaria. Por eso se utilizan cotas.

Una cota del error absoluto es un numero  que ϵcumple :

Donde:

Si la aproximación es por redondeo se puede afinar algo más: una cota de error absoluto es media unidad del orden n de la última cifra significativa:

Como se ha dicho, si el valor exacto es irracional no puede utilizarse en los cálculos. En este caso, se utiliza la fórmula:

Ejemplo: Redondear el número  : 3,412 a las πmilésimas y acotar los errores absoluto y relativo:

Errores De Una Suma Y Una Resta

En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la computadora

En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy pequeño,

Estabilidad e Inestabilidad

Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto

El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los errores relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal condicionamiento

Condicionamiento

Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número de condición: "Un número condicionado puede definirse como la razón de los errores relativos".

Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un número de condición