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df h kl b

 

 

 

 

Estadística II Facultad Politécnica UNA Segundo Examen 2010 

Prof. Master Emilio Ramón Ortiz Trepowski Mayo de 2010 

  

 

  

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1.  (25 puntos) Defina que es una función característica y derive la misma para una 

distribución normal estándar es decir una distribución  ( )0,1 .X N∼  

2. (15 puntos) La gerencia de un establecimiento de comida rápida está interesada en el 

comportamiento conjunto de las variables aleatorias  1Y , que se define como el tiempo 

total que transcurre en que el cliente llega al establecimiento y el momento en que 

abandona la ventanilla de servicio, y  2Y , el tiempo que un cliente espera  formado 

antes de llegar a la ventanilla de servicio. Puesto que  1Y incluye el tiempo que el cliente 

espera en la fila,  1 2.Y Y≥  La distribución de frecuencias relativas de los valores 

observados de  1Y  y  2Y puede representarse mediante la función de densidad de 

probabilidad: 

  ( )1

2 11 2

, 0,

0, en cualquier otro punto

ye y yf y y

−⎧ ≤ ≤ ≤ ∞= ⎨⎩

 

con el tiempo medido en minutos. 

a) Encuentre  ( )1 22, 1 .P Y Y< >  

b) Encuentre  ( )1 22 .P Y Y≥  

c) Encuentre  ( )1 2 1 .P Y Y− ≥  (Note que  1 2Y Y− denota el tiempor invertido en la 

ventanilla de servicio). 

3. (15 puntos) Sean  ( )1 2,Y Y las coordenadas de un punto elegido aleatoriamente dentro 

de un círculo unitario cuyo centro se ubica en el origen. Es decir,  1Y  y  2Y tienen una 

función de densidad conjunta representada por: 

  ( )2 21 2

1 2

1 , 1,

0, en cualquier otro punto

y yf y y π

⎧ + ≤⎪= ⎨⎪⎩

 

Encuentre  ( )1 2 .P Y Y≤  

4. (10 puntos) Demuestre el siguiente Teorema. Si  1Y  y  2Y son variables aleatorias 

independientes, entonces 

  1 2Cov( , ) 0.Y Y =  

5. (15 puntos) Un proveedor de querosen tiene una demanda semanal Y con la siguiente función de densidad de probabilidad: 

  

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  ( ), 0 1

1, 1 1,50, en cualquier otro punto

y yf y y

≤ ≤⎧⎪= < ≤⎨⎪⎩

 

Los datos se expresen en cientos de litros.  10 4U Y= − expresa las ganancias del proveedor en función de la demanda semanal. 

a) Encuentre la función de densidad de probabilidad de  .U  

b) Encuentre el valor esperado o valor medio de las ganancias del proveedor. 

 

6. (20 puntos) Demuestre el siguiente Teorema conocido como Teorema del Límite 

Central. Sean  nY y Y variables aleatorias con funciones generadoras de momentos 

( )nm t  y  ( ) ,m t  respectivamente. Si 

  ( ) ( )lim nnm t m t

→∞=  

para toda  t real, entonces la función de distribución de  nY converge a la función de 

distribución Y conforme  .n →∞  

7. (10 puntos) Aplique la identidad 

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E E E Bθ θ θ θ θ θ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − + − = − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦  

para demostrar que 

  ( ) ( ) ( ) ( )( )22.MSE E V Bθ θ θ θ θ⎡ ⎤= − = +⎢ ⎥⎣ ⎦ 

8. (15 puntos) En una empresa hay nueve ejecutivos, de los cuales cuatro están casados, tres son solteros y dos son divorciados. Tres de ellos serán seleccionados al azar para 

un ascenso. Si  1Y es el número de ejecutivos casados y  2Y el de ejecutivos solteros 

entre los tres elegidos para el cargo, encuentre la distribución de probabilidad 

conjunta de  1Y  y  2Y . 

9. (15 puntos) La densidad conjunta de  1Y , el nivel de gasolina (proporción) que alcanza 

el tanque cuando se abastece a principios de semana, y  2Y , la proporción del 

combustible que se vende durante la semana, está determinada por: 

  ( ) 1 2 11 2

3 , 0 y 1,

0, en cualquier otro punto.y y

f y y≤ ≤ ≤⎧

= ⎨⎩

 

  

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a) Encuentre  ( ) ( )1 21 2,1 3 1 2, 1 3 .F P Y Y= ≤ ≤  

b) Calcule  ( )2 1 2 ,P Y Y≤ la probabilidad de que la cantidad de combustible que se venda 

sea menor que la mitad del que se adquiera. 

 

10. (15 puntos) Sean  1Y y  2Y dos variables aleatorias tales que 

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 24, 1, 2 y 8.E Y E Y V Y V Y= = − = =  Obtenga  ( )1 2, .Cov Y Y  

11. (15 puntos) La función de densidad conjunta de  1Y  y  2Y se determina por la expresión: 

  ( )2

1 2 1 2 1 11 2

30 , 1 1 , 0 y 1,

0, en cualquier otro punto.y y y y y

f y y⎧ − ≤ ≤ − ≤ ≤

= ⎨⎩

 

a) Encuentre  ( )1 2,1 2 .F  

b) Encuentre  ( )1 2, 2 .F  

c) Encuentre  ( )1 2 .P Y Y>  

 

12. (10 puntos) Suponga que  1Y  y  2Y poseen la siguiente función de densidad de 

probabilidad conjunta: 

  ( ) ( )2 1 21 2

1 , 0 y 1,

0, en cualquier otro punto.k y y

f y y− ≤ ≤ ≤⎧⎪= ⎨

⎪⎩ 

a) Determine el valor de  k para que la expresión sea una función de densidad de probabilidad. 

b) Calcule  ( )1 23 4, 1 2 .P Y Y≤ ≥