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1. Si los eventos B1, B2,..., Bk constituyen una partición del espacio muestral S, donde P(Bi) ≠ 0 para i = 1, 2,...,k, entonces, para cualquier evento A en S, tal que P(A) ≠ 0,

P (Br|A )=P (Br ∩ A)P(A)

=P(Br∩ A)

∑i=1

k

P (Bi∩ A)=P (Br )P(A∨Br )

∑i=1

k

P (Bi )P (A∨Bi)parar=1,2…k

Se denomina:a) Muestreo.b) Regla de Bayes.c) Eventos Independientes.d) Ley de conjuntos.e) Probabilidad de eventos independientes.

2. Si A y B son dos eventos, entoncesa) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) + P(A ∩ B).b) P(A ∪ B) = P(A) P(B) – P(A ∩ B).c) P(A ∪ B) = P(A) / P(B) – P(A ∩ B).d) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).e) P(A ∪ B) = P(A) - P(B) – P(A ∩ B).

3. El conjunto de pares ordenados (x, f (x)) es una función de probabilidad, una función de masa de probabilidad o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado x posible,

a) f (x ) ≥ 0, ∑x

f (x ) = 0, P (X = x ) = f (x ).

b) f (x ) ≥ 0, ∑x

f (x ) ≥ 1, P (X = x ) = f (x ).

c) f (x ) ≤ 0, ∑x

f (x ) ≤ 1, P (X = x ) = f (x ).

d) f (x ) ≥ 0, ∑x

f (x ) = 1, P (X = x ) = f (x ).

e) f (x ) ≥ 0, ∑x

f (x ) ≠ 1, P (X = x ) = f (x ).

4. Si A y A’ son eventos complementarios, entoncesa) P(A) + P(A’) = 1b) P(A) - P(A’) = 1

Examen ParcialProbabilidad y Estadística I

Calificación

Nombres: Firma: PARALELO:6440

DOCENTE: Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC FECHA:

c) P(A) P(A’) = 1d) P(A) / P(A’) = 1e) P(A) + P(A’) = 1

1. Dos eventos A y B son independientes si y solo sia) P(A ∩ B) = P(A)/P(B).b) P(A ∩ B) = P(A)+P(B).c) P(A ∩ B) = P(A)P(B).d) P(A ∪ B) = P(A)P(B).e) P(A ∪ B) = P(A)-P(B).

2. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entoncesa) P(A ∪ B) = P(A) - P(B).b) P(A ∪ B) = P(A) P(B).c) P(A ∪ B) = P(A) / P(B).d) P(A ∪ B) = P(A) + P(B)c.e) P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

3. Para tres eventos A, B y C, a) P(A ∪ B ∪ C) = P(A) / P(B) / P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C).b) P(A ∪ B ∪ C) = P(A) – P(B) – P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C).c) P(A ∪ B ∪ C) = P(A) P(B) P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C).d) P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C).e) P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) + P(A ∩ B) + P(A ∩ C) + P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C).

4. La función de la distribución acumulativa F(x) de una variable aleatoria discreta X con distribución de probabilidad f (x) es:a) F ( x )=P (X ≥ x )=∑

t ≤ xf (t ) , para−∞<x<∞

b) F ( x )=P (X ≤ x )=∑t ≤ xf (t ) , para−∞<x<∞


Calificación



c) F ( x )≠P (X ≤x )=∑t ≤ xf ( t ) , para−∞<x<∞

d) F ( x )=P (X ≥ x )=∑t ≤ xf (t ) , para−1<x<∞

e) F ( x )=P (X ≤ x )=∑t ≤ xf (t ) , para−∞<x<0

1. Si, en un experimento, pueden ocurrir los eventos A1, A2,..., Ak, entonces P(A1∩A2∩···∩Ak) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)…P(Ak|A1∩A2∩…∩Ak-1). Si los eventos A1, A2,..., Ak son independientes, entonces

a) P(A1 ∩ A2 ∩···∩Ak) = 1b) P(A1 ∩ A2 ∩···∩Ak) = P(A1)+P(A2)+…+P(Ak)c) P(A1 ∩ A2 ∩···∩Ak) = -P(A1)-P(A2)-…-P(Ak)d) P(A1 ∩ A2 ∩···∩Ak) = P(A1)/P(A2)/…/P(Ak)e) P(A1 ∩ A2 ∩···∩Ak) = P(A1)P(A2)…P(Ak)

2. Si A1, A2,..., An son mutuamente excluyentes, entoncesa) P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An).b) P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) - P(A2) - … - P(An).c) P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) P(A2) … P(An).d) P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) / P(A2) / … / P(An).e) P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) c + P(A2) c + … + P(An) c.

3. Si un experimento puede dar como resultado cualquiera de N diferentes resultados que tienen las mismas probabilidades de ocurrir, y si exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad del evento A esa) P (A )=n/Nb) P (A )=N /Nc) P (A )=n/nd) P (A )=N /ne) P (A ) '=n/N


Calificación



4. Definición: La función f (x) es una función de densidad de probabilidad (fdp) para la variable aleatoria continua X, definida en el conjunto de números reales, si

a) f (x ) ≥ 0, para toda x ∈ R. ∫−∞

∞

f ( x )dx=1 P (a < X < b) =∫a

b

f ( x )dx

b) f (x ) ≤ 0, para toda x ∈ R. ∫−∞

∞

f ( x ) dx=1 P (a < X < b) =∫a

b

f ( x )dx

c) f (x ) ≥ 0, para toda x ∈ R. ∫−∞

∞

f ( x )dx ≠1 P (a < X < b) =∫a

b

f ( x )dx

d) f (x ) ≤ 0, para toda x ∈ R. ∫−∞

∞

f ( x ) dx=1 P (a < X < b) =∫a

b

f ( x )dx

e) f (x ) ≥ 0, para toda x ∈ R. ∫−∞

∞

f ( x )dx=1 P (a < X < b) ≠∫a

b

f ( x )dx

1. Un conjunto de eventos a = {A1,…, An} son mutuamente independientes si para cualquier subconjunto de a, Ai1 ..., Aik, para k ≤ n, entonces

a) P(Ai1 ∩···∩ Aik) = P(Ai1) P(Ai2)…P(Aik).b) P(Ai1 ∪···∪ Aik) = P(Ai1) P(Ai2)…P(Aik).c) P(Ai1 ∪···∪ Aik) = P(Ai1) P(Ai1)…P(Aik).d) P(Ai1 ∩···∩ Aik) = P(Ai1) P(Ai1)…P(Ai1).e) P(Ai1 ∩···∩ Aik) = P(Ai1)- P(Ai1)-…-P(Aik).

2. Si A1, A2,..., An (eventos) es una partición de un espacio muestral S, entoncesa) P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An) = P(S) = 0.b) P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An) = P(S) = -1.c) P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An) = P(S) = 1.d) P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) P(A2) … P(An) = P(S) = 1.e) P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) / P(A2) / … / P(An) = P(S) = 1.


Calificación



3. La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales en A donde S es el espacio muestral y ϕ es un evento imposible de S. Por lo tanto,a) -1 ≤ P(A) ≤ 1, P(ϕ) = 0 y P(S) = 1.b) 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(ϕ) = 0 y P(S) = 1.c) 0 ≤ P(A) ≤ -1, P(ϕ) = 0 y P(S) = 1.d) 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(ϕ) = 1 y P(S) = 1.e) 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(ϕ) = 0 y P(S) = 0.

4. La probabilidad condicional de B, dado A, que se denota con P(B|A), siempre que P(A) > 0, se define comoa) P (B|A )= P(A∩B)

P(B)b) P (B|A )= P(B∩B)P (B)c) P (B|A )= P(A∩B)P (A )d) P (B|A )= P(A∪B)P (A )e) P (B|A )= P(A∩B)P (A )'

1. Dos eventos A y B son independientes si se asume la existencia de probabilidad condicional, si y solo si

a) P(B|A) = P(A) o P(A|B) = P(B).b) P(B|A) = P(B) o P(A|B) = P(B).c) P(B|A) = P(A) o P(A|B) = P(A).d) P(B|A) = P(B) o P(A|B) = P(A).e) P(B|A) = P(B)’ o P(A|B) = P(A)’.


Calificación



2. Se le llama espacio muestral y se representa con el símbolo S.a) A los eventos independientesb) A los eventos dependientesc) A los eventos mutuamente excluyentesd) A la probabilidade condicionale) Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico

3. Si un espacio muestral contiene un número finito de posibilidades, o una serie interminable con tantos elementos como números enteros existen, se llama:a) Error de muestreo.b) Espacio muestral continuo.c) Espacio muestral discreto.d) Función de densidad de probabilidad.e) Variable aleatoria.

4. La función de distribución acumulativa F(x), de una variable aleatoria continua X con función de densidad f (x), es

a) F ( x )=P (X ≥ x )=∫−∞

x

f (t )dt , para−∞<x<∞

b) F ( x )=P (X ≤ x )=∫−∞

x

f ( t )dt , para0<x<∞

c) F ( x )=P (X ≤ x )=∫−∞

x


d) F ( x )=P (X ≤ x )=∫−∞

x

f ( t )dt , para−∞<x<0

e) F ( x )=P (X ≥ x )=∫−∞

x


1. Definición: Si un espacio muestral contiene un número infinito de posibilidades, igual al número de puntos en un segmento de recta, se le denomina:


Calificación



a) Función de densidad de probabilidad.b) Espacio muestral continuo.c) Variable aleatória.d) Error de muesreo.e) Espacio muestral discreto.

2. Sea la función de distribución acumulativa F(x), de una variable aleatoria continua X Como una consecuencia inmediata a su definición se pueden escribir que:a) P (a<X<b )=F (b )+F (a )b) P (a<X<b )=F (b ) F (a )c) P (a<X<b )=F (b ) /F (a )d) P (a<X<b )=F (b )−F (a )e) P (a<X<b )=F (b )−F (a )=1

3. Una variable aleatoria es:a) Una función de densidade de probabilidadb) Una función que asocia un el error de muestreo,c) Una función de distribución acumulativa F(x),d) Una función que asocia un número imaginario con cada elemento del espacio muestral,e) Una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral,4. De una variable aleatoria discreta X, con distribución de probabilidad f(x), la función F ( x )=P (X ≤ x )=∑

t ≤ xf (t ) , para−∞<x<∞, se denomina:a) La función de la distribución acumulativa F(x) b) La función de densidad acumulativa F(x) c) La función de errores de F(x) d) La función de probabilidad condicional de F(x) e) La función de muestreo F(x)

Capítulo: Probabilidad (4pts)5. Suponga que los cuatro empaquetadores de una empresa de dedicada al servicio de transporte colocan por medio de una etiqueta lugar de entrega en cada paquete antes de ser enviados. Alex, quien coloca la etiqueta en un 20% de los paquetes, no logra ponerla en uno de cada 200 paquetes; Manuel, quien la coloca en 60% de los paquetes, no logra ponerla en uno de cada 100 paquetes; Jeff, quien la coloca en 15% de los paquetes, no lo hace una vez en cada 90 paquetes; y Carlos, que etiqueta 5% de los paquetes, falla en uno de cada 200 paquetes. Si un cliente se queja de que su paquete no llegó a su destino, la probabilidad de que haya sido inspeccionado por Alex es:Resp.: 0.11Capítulo: Probabilidad (4pts)6. En la siguiente figura se muestra un sistema de circuitos. Suponga que los componentes fallan de

manera independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema completo funcione? Ver figura1.

Figura 1

Resp.::0.5708Capítulo: Variables aleatorias y Distribución de Probabilidad (4pts)7. Los científicos del Departamento de Patología Vegetal en el Tecnológico de Virginia Tech,

realizaron un experimento en el que se aplicaron en tratamientos diferentes a varias localidades y en distintos huertos de manzanas. El crecimiento medido por metros en un periodo de tiempo de los árboles se resume en una distribución de densidad de probabilidades f ( x ), como se muestra a continuación:

f ( x )={x2

k2 ; 2≥x ≥1

0 ; Resto x


Calificación



Lleve a cabo un análisis de varianza y determine el valor de verdad para cada una de las siguientes proposiciones. Determine el valor de k, para que f ( x ) sea considerado como una función de densidad. Resp.: k=√7/3

Capítulo: Probabilidad (4pts)8. Suponga que una familia sale de vacaciones de verano en su casa rodante y que M es el

evento de que sufrirán fallas mecánicas, T es el evento de que recibirán una infracción por cometer una falta de tránsito y V es el evento de que llegaran a un lugar para acampar que esté lleno. Remítase al diagrama de Venn de la figura 2 y exprese con palabras los eventos representados por las siguiente región: REGIÓN 5 ó 3

Figura 2

Resp.:M= Sufrirán fallas mecánicasT= Sufrirán una infracción por cometer una falta de tránsitoV= Llegarán a un lugar para acampar que este llenoREGIÓN 5 ó 3: Sólo Sufrirán fallas mecánicasÓ Sufrirán una infracción por cometer una falta de trânsito Y Llegarán a un lugar para acampar que este lleno PERO NO Sufrirán fallas mecánicas

Capítulo: Probabilidad (4pts)5. El jefe de operaciones tiene planeado realizar un seguimiento a los productos perdidos en cuatro líneas de producción L1, L2, L3 y L4 que operaran en 40%, 30 %, 20% y 10% en la elaboración de productos. Con sus investigaciones realizadas anteriormente, el jefe de operaciones sabe que una persona tiene probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5 y 0.2 de substraerse productos elaborados en cada línea de producción respectivamente. Al realizar una inspección a la salida de la jornada laboral, se detecta que una persona ha sustraído un producto elaborado. La probabilidad de que pase por el sistema de radar que se ubica en L2 es:Resp.::0.13

Capítulo: Probabilidad (4pts)6. En la siguiente figura se muestra un sistema de circuitos. Suponga que los componentes fallan de

manera independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema completo funcione? Ver figura1.

Figura 1

Resp.: 0.9216Capítulo: Variables aleatorias y Distribución de Probabilidad (4pts)7. Los científicos del Departamento de Patología Vegetal en el Tecnológico de Virginia Tech,


f ( x )=¿


Calificación



Lleve a cabo un análisis de varianza y determine el valor de verdad para cada una de las siguientes proposiciones. Determine el valor de k, para que f ( x ) sea considerado como una función de densidad.Resp.: k3=4 entonces k= 3√4

Capítulo: Probabilidad (4pts)8. Suponga que una familia sale de vacaciones de verano en su casa rodante y que M es el evento de

que sufrirán fallas mecánicas, T es el evento de que recibirán una infracción por cometer una falta de tránsito y V es el evento de que llegaran a un lugar para acampar que esté lleno. Remítase al diagrama de Venn de la figura 2 y exprese con palabras los eventos representados por las siguiente región: REGIÓN 7 ó 2

Figura 2Resp.:M= Sufrirán fallas mecánicasT= Sufrirán una infracción por cometer una falta de tránsitoV= Llegarán a un lugar para acampar que este llenoREGIÓN 7 ó 2: Sólo Sufrirán una infracción por cometer una falta de tránsito Ó Llegarán a un lugar para acampar que este lleno Y Sufrirán fallas mecânicas PERO NO Sufrirán una infracción por cometer una falta de tránsito

Capítulo: Probabilidad (4pts)


Calificación



5. Tres máquinas de cierta planta de ensamble, B1, B2 y B3, montan 30%, 45% y 25% de los productos, respectivamente. Se sabe por experiencia que 98%, 97% y 98% de los productos ensamblados por cada máquina, respectivamente no tienen defectos. Ahora bien, suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado, y se ha determinado que le producto está defectuoso, entonces la probabilidad de que haya salido ensamblado de la máquina B2 es:Resp.: 0.55Capítulo: Probabilidad (4pts)

6. En la siguiente figura se muestra un sistema de circuitos. Suponga que los componentes fallan de manera independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema completo funcione? Ver figura1.

Figura 1Resp.: 0.5196Capítulo: Variables aleatorias y Distribución de Probabilidad (4pts)7. Los científicos del Departamento de Patología Vegetal en el Tecnológico de Virginia Tech, realizaron

un experimento en el que se aplicaron en tratamientos diferentes a varias localidades y en distintos huertos de manzanas. El crecimiento medido por metros en un periodo de tiempo de los árboles se resume en una distribución de densidad de probabilidades f ( x ), como se muestra a continuación:

f ( x )={xk3 ; 3≥ x≥10 ; Resto x

Lleve a cabo un análisis de varianza y determine el valor de verdad para cada una de las siguientes proposiciones. Determine el valor de k, para que f ( x ) sea considerado como una función de densidad.Resp.: k= 3√4


que sufrirán fallas mecánicas, T es el evento de que recibirán una infracción por cometer una falta de tránsito y V es el evento de que llegaran a un lugar para acampar que esté lleno. Remítase al diagrama de Venn de la figura 2 y exprese con palabras los eventos representados por las siguiente región: REGIÓN 2 ó 3 ó 4

Figura 2Resp.:M= Sufrirán fallas mecánicasT= Sufrirán una infracción por cometer una falta de tránsitoV= Llegarán a un lugar para acampar que este llenoREGIÓN 2 ó 3 ó 4: Llegarán a un lugar para acampar que este lleno Y Sufrirán fallas mecánicas Ó Sufrirán fallas mecánicas Y Sufrirán una infracción por cometer una falta de tránsito Ó Llegarán a um lugar para acampar que este lleno Y Sufrirán una infracción por cometer uma falta de tránsito PERO No Llegarán a un lugar para acampar que este lleno Y Sufrirán una infracción por cometer una falta de tránsito Y Sufrirán fallas mecánicas

Capítulo: Probabilidad (4pts)5. Una empresa de manufactura emplea tres planos analíticos para el diseño y desarrollo de un producto específico. Por razones de costos los tres se utilizan en momentos diferentes. De hecho, los planos 1, 2 y 3 se utilizan para 40%, 30% y 30% de los productos, respectivamente. La tasa de defectos difiere en los tres procedimientos de la siguiente manera, P(D|P1) = 0.01, P(D|P2) = 0.02, P(D|P3) = 0.01 en donde P(D|Pj) es la probabilidad de que un producto este defectuoso, dado el plano j. Si se observa un producto al azar y se descubre que esta defectuoso, entonces, el plano que tiene más probabilidad de haberse utilizado es el plano No:Resp.: 2Capítulo: Probabilidad (4pts)

6. En la siguiente figura se muestra un sistema de circuitos. Suponga que los componentes fallan de manera independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema completo funcione? Ver figura1.

Figura 1

Resp.: 0.6144Capítulo: Variables aleatorias y Distribución de Probabilidad (4pts)7. Los científicos del Departamento de Patología Vegetal en el Tecnológico de Virginia Tech,


f ( x )={xk3 ; 3≥ x≥10 ; Resto x


Calificación



Lleve a cabo un análisis de varianza y determine el valor de verdad para cada una de las siguientes proposiciones. Determine el valor de k, para que f ( x ) sea considerado como una función de densidad.Resp.: k= 3√4


que sufrirán fallas mecánicas, T es el evento de que recibirán una infracción por cometer una falta de tránsito y V es el evento de que llegaran a un lugar para acampar que esté lleno. Remítase al diagrama de Venn de la figura 2 y exprese con palabras los eventos representados por las siguiente región: REGIÓN 4 ó 6

Figura 2

Resp.:M= Sufrirán fallas mecánicasT= Sufrirán uma infracción por cometer uma falta de trânsitoV= Llegarán a um lugar para acampar que este llenoREGIÓN 4 ó 6: Sólo Llegarán a um lugar para acampar que este lleno Ó Sufrirán fallas mecânicas Y Sufrirán uma infracción por cometer uma falta de trânsito PERO NO Llegarán a um lugar para acampar que este lleno.

HOJA DE RESPUESTAS


Calificación



Pregunta a b c d e1234

Pregunta Respuesta5678

7. ¿cual de los planos tiene mas probabilidades de haberse utilizado y, por lo tanto, de ser el responsable?3) Indiana Juan tiene que salvar el día. Existen tres cuevas en la que puede entrar. En la cueva 1 puede entrar el 20% de su cuerpo, en la cueva 2 puede entrar el 30% de su cuerpo y en la cueva 3 entra el 50% de su cuerpo. En cada cueva existe un cofre. En la cueva 1 existe un cofre con 10 llaves envenenadas y una llave, Suponga que los cuatro empaquetadores de una empresa de dedicada al servicio de transporte colocan por medio de una etiqueta lugar de entrega en cada paquete antes de ser enviados. Alex, quien coloca la etiqueta en un 20% de los paquetes, no logra ponerla en uno de cada 200 paquetes; Manuel, quien la coloca en 60% de los paquetes, no logra ponerla en uno de cada 100 paquetes; Jeff, quien la coloca en 15% de los paquetes, no lo hace una vez en cada 90 paquetes; y Carlos, que etiqueta 5% de los paquetes, falla en uno de cada 200 paquetes. Si un cliente se queja de que su paquete no llegó a su destino, la probabilidad de que haya sido inspeccionado por Alex es:

8. Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pintura de látex y semiesmaltada. De acuerdo con las ventas a largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre pintura de látex es 0.75. De los que compran pintura de látex, 60 % también compra rodillos. Sin embargo, solo 30 % de los que compran pintura semidesnatada compra rodillos. Un comprador que se selecciona al azar adquiere un rodillo y una lata de pintura. ¿Cuál es la probabilidad de que sea pintura de látex?

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