Secao 4, Artigo 01 RomualdoMiltao - Acustica e o Cavaquinhodfisweb.uefs.br/caderno/vol13n2/s4Artigo1RomualdoMiltao_Acustica… · através de instrumentos musicais, em especial o

CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 13 (02): 2401.1-36, 2015

2401.1

O FENÔMENO ACÚSTICO E O ENSINO MÉDIO: UTILIZAÇÃO DE INSTRUMENTOS MUSICAIS COMO INCENTIVO PARA O

ENSINO DE ACÚSTICA; O CASO DO CAVAQUINHO ACOUSTIC PHENOMENON AND HIGH SCHOOL: USE OF MUSICAL INSTRUMENTS AS INCENTIVE

FOR ACOUSTIC TEACHING; THE SMALL GUITAR CASE

Romualdo S. Silva Jr.a e M. S. R. Miltãob

a Discente do Curso de Física Bacharelado, Departamento de Física, Universidade Federal de Sergipe – DFI/UFS.

E-mail: [email protected]

b Universidade Estadual de Feira de Santana, Departamento de Física, Feira de Santana, Bahia. E-mail:

[email protected]

Este trabalho objetiva explorar o fenômeno da acústica voltado para o ensino médio por considerar que essa temática não é apropriadamente abordada nesse nível de ensino. Para tanto, faz uma descrição de tal fenômeno considerando-o como associado ao Campo Acústico, o que propicia uma referência para o estudo do fenômeno eletromagnético. Nesse sentido, como uma maneira de dar concretude aos conceitos associados com a acústica faremos uso da música através de instrumentos musicais, em especial o cavaquinho, o que possibilita abordar este conhecimento por meio de uma linguagem acessível para professores e estudantes do ensino médio, com o intuito de aprofundar o ensino e a aprendizagem. Palavras-chaves: acústica, instrumentos musicais, cavaquinho, ensino médio.

This study aims to explore the acoustic phenomenon facing the high school on the grounds that this issue is not appropriately addressed at this level of education. To this end, gives a description of this phenomenon considering it as associated with the Acoustic Field, which provides a reference for the study of electromagnetic phenomena. Thus, as a way to give concreteness to the concepts associated with the acoustics we will make use of music through musical instruments, especially the small guitar (cavaquinho), which makes it possible to address this knowledge through a language accessible to teachers and high school students, with the aim of deepen the teaching and learning. Keywords: acoustics, musical instruments, small guitar, high school.

INTRODUÇÃO

Uma das dificuldades enfrentadas por professores do ensino médio sem dúvida é a falta de

interesse por parte dos estudantes quando tópicos de Física são abordados. Quase sempre os conteúdos de

Física são abordados através da utilização de fórmulas prontas e diretas, onde por sua vez os estudantes

não conseguem relacionar estas com o seu cotidiano. Tendo em vista a grande relação entre Matemática e

Física, é muito difícil não utilizar equações e fórmulas no ensino de Física, logo o estudante acaba se

distanciando da disciplina por achar complicada e até mesmo chata.

A compreensão de fenômenos e seus respectivos conceitos, relacionados com a Física, muitas

vezes requer do estudante uma noção, tanto teórica quanto experimental, das teorias e leis gerais deste

Campo do Saber, onde se faz necessário uma metodologia mesclada entre a teoria e a prática.

Considerando esta problemática, direcionaremos a atenção para a relação entre Física e Acústica,

particularmente com a Música, a fim de buscarmos uma interação interdisciplinar e até transdisciplinar

entre a teoria e a prática no processo de ensino-aprendizagem do Campo do Saber de Física.

A relação entre Física e Música é bastante rica no sentido de poder explorar diversos conceitos

importantes da Física como frequência, amplitude, oscilação, ondas e acústica, através da utilização de

temas e exemplos advindos da Música, durante o processo de ensino (CONCEIÇÃO et al, 2009; GÓMEZ

e PONCZEK, 2014; KRUMMENAUER, PASQUALETTO, e COSTA, 2009; RIBEIRO, 2008). Nesse

Silva Jr. e Miltão CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 13 (02): 2401.1-36, 2015

2401.2

sentido, muitas perguntas dos estudantes podem surgir, tais como ‘o que diferencia uma nota da outra de

um instrumento?’, e tais perguntas podem ser significativamente respondidas após uma aula motivadora

utilizando instrumentos musicas e conceitos de acústica e ondas. Instrumentos musicais são grandes

elementos da curiosidade do estudante, de tal forma que a utilização destes poderá abrir a mente para a

compreensão de novos conceitos e ideias. Não é desconhecida, por exemplo, a importância da musica

para o nosso corpo (CERQUEIRA, 2015).

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s) são os indicadores oficiais de projetos voltados

para o ensino médio, e os PCN+’s são as orientações educacionais complementares. Estes relatam ser

uma das competências da disciplina Física:

Compreender a Física como parte integrante da cultura contemporânea, identificando sua presença em diferentes âmbitos e setores, como por exemplo, nas manifestações artísticas ou literárias, em peças de teatro, letras de música, etc., estando atento à contribuição da ciência para a cultura humana (MEC, 2002).

Os PCN+’s propõem ainda a divisão da Física em seis temas estruturadores, que visam organizar o

ensino da disciplina. Aqui é destacado o tema 3 – Som, imagem e informação, que possui uma unidade

temática coerente com o nosso objetivo neste trabalho. Ela sugere que as fontes sonoras sejam abordadas

a fim de: 1 - identificar objetos, sistemas e fenômenos que produzem sons para reconhecer as

características que os diferenciam; 2 - associar diferentes características de sons a grandezas físicas, como

frequência, intensidade e etc. para explicar, reproduzir, avaliar ou controlar a emissão de sons por

instrumentos musicais ou outros semelhantes. Assim sendo, a importância do ensino de acústica é

enaltecida, como se comprova em Souza (2011a).

A acústica aborda as ondas sonoras e as suas propriedades, sendo muito útil para explicar os

fenômenos sonoros que estão presentes em diversos ambientes cotidiano dos estudantes. O estudo da

acústica envolve diversas áreas do conhecimento como Física, Matemática, Engenharia e Música. Ela

ainda nos ensina sobre a caracterização e produção de um som limpo e agradável (melodioso, harmonioso

e rítmico), sendo assim uma obra de arte para as pessoas.

Segundo Torres e Barrios (2002), é importante se valorizar as estratégias de ensino no processo de

aprendizagem, ressaltando que existem estratégias para cada situação específica, ou seja, para cada

abordagem de ensino, deve-se assumir um olhar diferente, tendo em vista sempre a aprendizagem do

estudante.

Desta maneira, observamos a importância do ensino de acústica através de instrumentos musicais,

onde o estudante irá compreender a Física de maneira mais apropriada à sua estrutura cognitiva e de

forma interessante. A intenção neste trabalho, portanto, é explorar o ensino de Física em conjunto com a

Música através de instrumentos musicais, em especial o cavaquinho, abordando este conteúdo através de

uma linguagem acessível para professores e estudantes do ensino médio, com o intuito de aprofundar o

processo de ensino-aprendizagem.

O CAMPO DO SABER DA FÍSICA E OS FENÔMENOS ACÚSTICOS

Considerações Gerais sobre o Campo Acústico

CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 13 (02): 2401.1-36, 2015 O Fenômeno Acústico e o Ensino Médio...

2401.3

Acompanhamos a definição que estabelece que a Física, na compreensão dos fenômenos da

natureza

[estuda o] comportamento e [a] constituição do Universo, com o objetivo de descrevê-lo; portanto, é o conjunto sistematizado de conhecimentos científicos que objetivam estabelecer a origem, evolução e estrutura da matéria e da radiação do Universo, e cujo método passa pelas dificuldades do teste, da verificação ou [da falseabilidade], da relação entre as teorias e [o fato empírico], e da validação das descrições, previsões e aplicações (Área de Física apud FARIAS e MILTÃO, 2005, p. 80).

Nesse sentido, a relação da Física com os fenômenos acústicos (muitas vezes denominados

sonoros) é muito imediata, de forma tal que, nesse Campo do Saber, a área denominada “Física da

Matéria Condensada”, através de sua subárea de atuação ‘Mecânica dos Meios Contínuos’ se debruça na

compreensão, dentre outros, do estudo dos fenômenos sonoros ou acústicos, através da Acústica Física, a

qual “é o estudo da produção, propagação e recepção das ondas elásticas” (PERUCCA, 1953, p. 633).

O som faz parte do nosso cotidiano, onde através deste fenômeno podemos analisar o meio em que

nos encontramos, sendo assim de fundamental importância em nossas vidas (OLIVEIRA, 2013). No

entanto, do ponto de vista filosófico,

[a] Filosofia da percepção tipicamente se centra em cores, como faz a metafísica da mente quando se discute a dependência-da-mente em termos das qualidades secundárias. Possivelmente, o privilégio filosófico do visível apenas reflete o privilégio cognitivo do visível - pois a visão é considerada a responsável pela maior parte da coleta de informações sensoriais úteis.

Esta negligência dos sons às vezes é um estado lamentável de coisas, pois sons não são apenas um elemento importante da cena perceptual, mas também são filosoficamente idiossincráticos em muitos aspectos intrigantes; em particular, o seu desdobramento temporal e espacial, tal como apresentado na percepção, tem aspectos metafísicos e epistemológicos interessantes. Existe, no entanto, uma vantagem da negligência. Muitos aspectos filosóficos do som e da percepção do som não são idiossincráticos e de fato dirigem-se a questões gerais na filosofia da percepção. (...).

Os principais problemas que se encontram na mesa se preocupam com a natureza dos sons. Sons se inserem no conteúdo da percepção auditiva. Mas o que eles são? Sons são organismos únicos? São eles eventos [acontecimentos]? Eles são propriedades dos objetos sonoros? Se eles são eventos, que tipo de evento são eles? Qual é a relação entre sons e objetos sonoros? Características temporais e causais de sons serão importantes para decidir essas e outras questões relacionadas. No entanto, verifica-se que um caminho frutífero para organizar estas questões lida com as propriedades espaciais de sons.

De fato, os vários pronunciamentos filosóficos sobre a natureza dos sons podem ser mais cuidadosamente classificados de acordo com o estatuto espacial que cada um deles atribui aos sons. Onde estão os sons? Eles estão em qualquer lugar? As famílias relevantes principais de respostas incluem as teorias proximais, mediais, distais, e não-espacias. Teorias proximais alegariam que os sons estão onde o ouvinte está. Teorias mediais - exemplificados pelas correntes acústicas principais – localizam os sons no meio entre o objeto ressonante e o ouvinte. Teorias distais consideram os sons como localizados no objecto de ressonância. Finalmente, as teorias não-espaciais negam a relevância espacial aos sons. Existem variantes significativas de cada uma delas. Teorias de som também podem ser classificadas de acordo com outras dimensões, tais como o estatuto metafísico que concedem aos sons (por exemplo, como eventos corridos em oposição a propriedades ou disposições). (CASATI and DOKIC, 2014, p. 1-2).

O estudo do som teve uma evolução na História do Conhecimento. De acordo com Casati e Dokic

(2014):

(i) Aristóteles estabeleceu em seu tratado Sobre a Alma que “o som é um movimento particular do

ar” (Aristóteles apud CASATI and DOKIC, 2014, p. 3);


2401.4

(ii) Galileo em 1623 registrou que “os sons são produzidos e ouvidos por nós quando... uma

vibração frequente de ar agitada em ondas minúsculas move certa cartilagem do tímpano em nosso

ouvido... quanto mais frequente a vibração, maior a altura [pitch]; menos frequente, menor” (Galileo

apud CASATI and DOKIC, 2014, p. 3);

(iii) Descartes “em seu Passions of the Soul considerou que o que nós de fato ouvimos são, não os

objetos em si, mas algum ‘movimento vindo a partir deles’ (1649, XXIII)” (CASATI and DOKIC, 2014,

p. 3);

(iv) Mersenne, em torno de 1636, “mediu a velocidade de propagação das ondas sonoras”

(CASATI and DOKIC, 2014, p. 3);

(v) Berkeley em seu Three Dialogues Between Hylas and Philonous, de 1713, nas palavras de

Hylas diz que “Um sino golpeado dentro de um receptor exaurido de uma bomba de ar, envia nenhum

som. O ar, portanto, deve ser pensado como o sujeito do som (1713: 171-2)” (CASATI and DOKIC,

2014, p. 5).

(vi) Perkins em seu Sensing the World de 1983 sumariza a visão da teoria ondulatória

estabelecendo que “... o som que ouvimos é idêntico com o trem de ondas aéreas que se estica a partir do

objeto sonoro distante até o nosso ouvido” (CASATI and DOKIC, 2014, p. 4).

Consideraremos do ponto de vista filosófico, as teorias mediais no estudo da acústica. Do ponto de

vista histórico,

[a] acústica era originalmente o estudo de ondas de pressão pequenas no ar que poderiam ser detectadas pelo ouvido humano: sons. O arcabouço da acústica foi ampliado para freqüências altíssimas e baixíssimas: ultrassom e infrassom. Vibrações estruturais são agora frequentemente incluídas na acústica. Também a percepção do som é uma área da pesquisa acústica. (RIENSTRA & HIRSCHBERG, 2015, p. vii).

Dessa maneira, considerando esse aspecto mais geral da acústica, observemos que:

os elementos constituintes da matéria, elétrons, íons, átomos, moléculas, etc., possuem várias alternativas de manifestação, em qualidade e quantidade, quer do ponto de vista microscópico de sua estrutura, estado e combinação, quer do ponto de vista macroscópico de suas propriedades: densidade, temperatura, pressão, fluxo, volume, propagação de ondas de choque e transição de fase. (ENCICLOPÉDIA..., 1976, p. 7381-7382).

Do ponto de vista macroscópico, que é o objeto de nosso estudo,

em numerosas investigações do comportamento material, contudo, as moléculas individuais em nada influenciam, e somente o comportamento do material como um todo é considerado importante. Para esses casos o comportamento macroscópico observado é usualmente explanado negligenciando as considerações moleculares e, como alternativa, assumindo que o material seja distribuído continuamente através de seu volume e preenchendo completamente o espaço que ele ocupa. Esse conceito de

contínuo da matéria é o postulado fundamental da Mecânica do Contínuo. Dentro das limitações para as quais a assunção do contínuo é válida, esse conceito provê um arcabouço para estudar o comportamento de sólidos, líquidos e gases igualmente.

A adoção do ponto de vista do contínuo como base para a descrição do comportamento material significa que as quantidades de campo tais como a tensão e o deslocamento sejam expressas como funções contínuas em trechos das coordenadas espaciais e do tempo (MASE, 1970 p. 44).

Ademais, para estudar o comportamento dos plasmas, como “o comportamento de fluidos

ordinários difere consideravelmente do comportamento de sistemas de partículas carregadas” (COSTA

Jr., SIMÕES Jr., ALVES, 2011, p. 2302-2), devemos levar em consideração, além de aspectos da


2401.5

Mecânica do Contínuo, aspectos do Eletromagnetismo (NELSON, 3013, p. 3317-1; COSTA Jr., SIMÕES

Jr., ALVES, 2011, p. 2302-3).

Assim sendo, a matéria ordinária pode se apresentar sob diferentes estados de agregação, a

depender das interações entre suas partículas constituintes (que produzem coesão e aderência), em virtude

da energia cinética e da energia potencial existente, o que propicia a manifestação dos diferentes estados

físicos da matéria: sólido, líquido, gasoso e plasmoso (vide Figura 1). Além disso, no interior da matéria

em um determinado estado físico, tais forças de natureza eletromagnética, ao propiciarem a existência dos

processos de coesão e aderência, fazem com que apareçam as resistências à sua deformação, através da

elasticidade e viscosidade1.

Figura 1: Estados de Agregação da Matéria. Fonte: http://www.thinglink.com/scene/445000736611237889.

Como um meio material tem massa, elasticidade e viscosidade devidas às ligações atômicas e

moleculares, então, sob a ação de uma perturbação no seu interior, as partes do meio tendem a se

movimentar através de pressões, tensões e deslocamentos, sempre buscando voltarem ao seu ponto de

equilíbrio, mas propagando o ‘efeito dessa perturbação’ - uma onda mecânica; a esse processo

denominamos ‘Som’ ou ‘fenômeno acústico’.

Assim, o fenômeno sonoro ou acústico é um dos tipos de fenômenos do Movimento estudado pela

Física, definido como o ‘efeito de uma perturbação’ (o efeito de um ‘objeto’ sonoro) em um meio

material (sólido, líquido, gasoso, plasmoso) o qual, devido às suas forças internas (elásticas ou viscosas),

produz um movimento vibratório transmitido através de ondas mecânicas de pressão, de tensão e de

deslocamento.

Observemos que, de fato, no fenômeno acústico ou sonoro temos um Campo Acústico (que é o

‘efeito da perturbação’ no meio), o qual está associado com sua onda mecânica, a qual apresenta uma

faixa audível (som) (≈ 16 a 20.000 Hertz), uma faixa de infrassons (< 16 Hertz) e uma faixa de ultrassons

(> 20.000 Hertz), essas duas últimas insensíveis aos ouvidos humanos, conforme representação

esquemática da Figura 2; à semelhança do que acontece com o fenômeno do Eletromagnetismo, onde

temos um Campo Eletromagnético, o qual está associado com sua onda eletromagnética, “em óptica das

ondas luminosas”, com as faixas visível (luz) (≈ 4,0x1014 a 7,5x1014 Hertz), infravermelha para baixo

(infraluzes) (< 4,0x1014 Hertz) e ultravioleta para cima (ultraluzes) (> 7,5x1014 Hertz), essas duas

últimas insensíveis aos olhos humanos (PERUCCA, 1953, p. 682), conforme representação esquemática

da Figura 3. Uma distinção entre o Campo Acústico e o Campo Eletromagnético se dá no fato de que,

1 Estamos assumindo que as forças internas de um meio material são responsáveis pela existência da resistência à sua deformação, i.e., mudança de sua forma. Assim sendo, se um meio material for submetido a uma força externa, a depender de seu estado de agregação sua resposta ou reação a tal força externa variará entre a elasticidade e a viscosidade. No caso de um sólido, teremos uma deformação elástica com uma viscosidade infinita, visto que a resistência às tensões de cisalhamento é muito grande, de tal maneira que suas partes não fluem e consequentemente sua forma não se altera; no caso de fluídos (líquidos, gases e plasmas), teremos uma deformação viscosa e irreversível com uma viscosidade finita, visto que a resistência às tensões de cisalhamento é finita, de tal maneira que suas partes fluem e consequentemente sua forma se altera. Assim sendo, em geral considera-se que os sólidos são materiais do tipo elásticos e os fluidos são materiais do tipo viscosos; na interface entre eles teremos os materiais do tipo viscoelásticos.


2401.6

sendo o primeiro o ‘efeito de uma perturbação’ no meio, a sua onda mecânica (ou acústica) necessita

desse meio para propagar-se, enquanto no segundo, a sua onda eletromagnética não necessita de meio

algum para propagar-se.

Figura 2: Espectro das Ondas Mecânicas, no qual estão descritos os limites médios de cada faixa. Fonte: http://brunovianna.net/devorondina/.

Figura 3: Espectro das Ondas Eletromagnéticas, no qual estão descritos os limites médios de cada faixa. Fonte: http://www.sobiologia.com.br/conteudos/oitava_serie/Ondas4.php.

Considerando o aspecto puramente elástico e viscoso nos líquidos, gases e plasmas o ‘som’ (ou

Campo Acústico) se transmite através de ondas mecânicas longitudinais; nos sólidos o ‘som’ (ou Campo

Acústico) pode ser transmitido através de ondas mecânicas longitudinais e transversais. No caso das

ondas sonoras (ou acústicas) longitudinais, estas se caracterizam como “ondas de pressões alternantes a

partir da pressão de equilíbrio, causando regiões de compressão e rarefação, [na direção da

propagação]” (MALIK & SINGH, 2010, p. 8.1); por seu turno, as ondas sonoras (ou acústicas)

transversais (em sólidos) “são ondas de tensões de cisalhamento alternantes em um ângulo reto com a

direção da propagação [a partir da situação de equilíbrio]” (MALIK & SINGH, 2010, p. 8.1)2.

Como exemplos de ondas mecânicas, temos:

(i) as ondas mecânicas longitudinais no ar, de frequência audível, denominadas por isso de ondas

sonoras (PERUCCA, 1953, p. 682), como ilustrado na Figura 4;

2 A Pressão, p, é um escalar, enquanto a Tensão, �, é um tensor. Dessa forma, a pressão será um número englobando a média das forças por unidade de área sobre todas as três direções espaciais (MALVERN, 1969, p. 90), enquanto o tensor das tensões será um objeto que englobará as forças internas bidirecionais em cada ponto, com um total de nove números em três dimensões (SANTOS et al, 2010, p. 056601-3; MALVERN, 1969, p. 72). A relação entre essas duas grandezas é dada pela expressão (MALVERN, 1969, p. 90) p=-(1/3)tr(�ii), onde tr denota a operação de tomar o traço de uma matriz representada por �ii, a i-ésima tensão normal, com o índice i indicando a i-ésima dimensão espacial.

CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 13

Figura 4: Onda mecânica audível http://commons.wikimedia.org/wiki/File:CPT

(ii) as ondas mecânicas longitudinais

chamadas às vezes de ‘ondas sonoras’

Figura 5: Onda mecânica inaudível de infrassom de fevereiro de 2013 na matéria gasosa ar, r

evento. Fonte: http://www.metsul.com/blog2012/Home/home/174/lista.php/

(iii) as ondas mecânicas m

longitudinal e outra transversal (

de elástica (GOMES, 2003, p. 2

oceânicas profundas são puramente transversais

tais ondas mecânicas estão situ

(INFRASOUND..., s/d; MALIK & SINGH

Figura 6: Ondas mecânicas infrassônicas na matéria aquosa mar. “circulares, embora o raio diminua à medida que se desce na coluna de água. Em águas pouco profundas, devido

a interacção com o fundo, as órbitas correspondem a elipses sendo

fundo, até que junto a este apenas existe um movimento de vai e vem

http://www.aprh.pt/rgci/glossario/ondasmarinhas.html

13 (02): 2401.1-36, 2015 O Fenômeno Acústico e o Ensino Médio

2401.7

: Onda mecânica audível proveniente de um alto-falante na matéria gasosa ar. Fonte: p://commons.wikimedia.org/wiki/File:CPT-sound-physical-manifestation.svg

longitudinais no ar, de frequências ‘inaudíveis’ (infrassons

chamadas às vezes de ‘ondas sonoras’ (PERUCCA, 1953, p. 682), como ilustrado na Figura

: Onda mecânica inaudível de infrassom proveniente da passagem do meteoro do Sul da Rússiana matéria gasosa ar, registrado por sensor de infrassom a 600 km do hipercentro

http://www.metsul.com/blog2012/Home/home/174/lista.php/

mistas de águas (SOUZA & AGUIAR, 2011), compostas de uma parcela

longitudinal e outra transversal (observando que, nesse caso, a força restauradora é gravitacional, ao invés

(GOMES, 2003, p. 2; SANTOS & BARROS, 2008, p. 15)). Observemos que

oceânicas profundas são puramente transversais” (RAYMOND, 2008, p. 2). Veja a

estão situadas na faixa dos infrassons, como esboçado na

MALIK & SINGH, 2010, p. 8.4);

mecânicas infrassônicas na matéria aquosa mar. “Em águas profundas as órbitas são

circulares, embora o raio diminua à medida que se desce na coluna de água. Em águas pouco profundas, devido

a interacção com o fundo, as órbitas correspondem a elipses sendo cada vez mais achatadas na direcção do

fundo, até que junto a este apenas existe um movimento de vai e vem”: Fonte: http://www.aprh.pt/rgci/glossario/ondasmarinhas.html.

O Fenômeno Acústico e o Ensino Médio...

na matéria gasosa ar. Fonte: manifestation.svg.

infrassons, ultrassons),

Figura 5;

do Sul da Rússia em 15 sensor de infrassom a 600 km do hipercentro do

http://www.metsul.com/blog2012/Home/home/174/lista.php/.

, compostas de uma parcela

força restauradora é gravitacional, ao invés

Observemos que, “ondas

Veja a Figura 6. Em geral

, como esboçado na Figura 7

Em águas profundas as órbitas são

circulares, embora o raio diminua à medida que se desce na coluna de água. Em águas pouco profundas, devido

cada vez mais achatadas na direcção do

”: Fonte:

Silva Jr. e Miltão

Figura 7: Espectro das Ondas mecânicas na matéria aquosa. Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Wind_wave#/media/File:Munk_ICCE_1950_Fig1.svg

(iv) as ondas ‘mecânicas

3317-4; OLIVEIRA, 2013). As ondas em plasmas são de três tipos: ‘ondas de Alfvén’ que são

transversais com a força restauradora sendo dada pela tensão magnética, ao invés da

(NELSON, 2013, p. 3317-6) de tal maneira que tais ondas “

mecânico prosseguindo como uma onda eletromagnética

o fluido e as linhas de campo magn

na pressão do meio” (COSTA Jr. et al.

são longitudinais (NELSON, 2013, p. 3317

rarefações da densidade do fluido

fluido nesse caso” (COSTA Jr. et al.

acústicas’ que são longitudinais e ao se propagarem “

não só de densidade do fluido, mas também de intensidade do campo magnético

3317-6), representadas na Figura

infrassons (INFRASOUND..., s/d

Figura 8: Ondas de Alfvén na matéria plasmosa. Fonte:

Silva Jr. e Miltão CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 13 (02

2401.8

: Espectro das Ondas mecânicas na matéria aquosa. Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Wind_wave#/media/File:Munk_ICCE_1950_Fig1.svg

mecânicas’ em plasmas (COSTA Jr. et al., 2011, p. 2302-4; NELSON

, 2013). As ondas em plasmas são de três tipos: ‘ondas de Alfvén’ que são

transversais com a força restauradora sendo dada pela tensão magnética, ao invés da

6) de tal maneira que tais ondas “são associadas com um distúrbio magnético e

mecânico prosseguindo como uma onda eletromagnética-hidrodinâmica” (ALFVÉN, 1942, p. 406)

de campo magnético oscilam sem, no entanto, provocarem “variações na densidade e

COSTA Jr. et al., 2011, p. 2302-5), representadas na Figura 8; ‘ondas a

, 2013, p. 3317-4), propagando-se através de regiões de compressão e

rarefações da densidade do fluido, de tal maneira que “o campo magnético não influencia o movimento do

COSTA Jr. et al., 2011, p. 2302-5), representadas na Figura 9;

acústicas’ que são longitudinais e ao se propagarem “vão criando regiões de compressão e rarefa

não só de densidade do fluido, mas também de intensidade do campo magnético” (

Figura 10. Em geral tais ondas ‘mecânicas’ estão situadas na faixa dos

INFRASOUND..., s/d).

: Ondas de Alfvén na matéria plasmosa. Fonte: WUENSCHE, 2004, p. 29.

2): 2401.1-36, 2015

http://en.wikipedia.org/wiki/Wind_wave#/media/File:Munk_ICCE_1950_Fig1.svg.

NELSON, 2013, p.

, 2013). As ondas em plasmas são de três tipos: ‘ondas de Alfvén’ que são

transversais com a força restauradora sendo dada pela tensão magnética, ao invés da tensão elástica

com um distúrbio magnético e

, 1942, p. 406), onde

variações na densidade e

‘ondas acústicas’ que

se através de regiões de compressão e

o campo magnético não influencia o movimento do

e ‘ondas magnéto-

vão criando regiões de compressão e rarefações

” (NELSON, 2013, p.

estão situadas na faixa dos

, p. 29.


2401.9

Figura 9: Ondas Acústicas na matéria plasmosa. Fonte: WUENSCHE, 2004, p. 30.

Figura 10: Ondas Magnéto-Acústicas na matéria plasmosa. Fonte: WUENSCHE, 2004, p. 31.

(v) as ondas mecânicas do solo (ondas sísmicas), que podem ser volumétricas e superficiais. As

ondas sísmicas de corpo ou volumétricas têm componentes longitudinais, P do inglês Pressure (Pressão),

representadas na Figura 11, e transversais, S do inglês Shear (Cisalhamento), representadas na Figura 12

(DOURADO, 2009; PERUCCA, 1953, p. 682). As ondas sísmicas superficiais são denominadas de

‘ondas Rayleigh’, representadas na Figura 13 e de ‘ondas Love’, representadas na Figura 14, sendo a

primeira uma onda mista e a segunda uma onda transversal (DOURADO, 2009). Em geral tais ondas

elásticas estão situadas na faixa dos infrassons (INFRASOUND..., s/d; MALIK & SINGH, 2010, p. 8.4);

Figura 11: Onda mecânica volumétrica longitudinal P inaudível de infrassom na matéria sólida solo. Fonte:

DOURADO, 2009, p. 17.


2401.10

Figura 12: Onda mecânica volumétrica transversal S inaudível de infrassom na matéria sólida solo. Fonte: DOURADO, 2009, p. 20.

Figura 13: Onda mecânica superficial mista de Rayleigh inaudível de infrassom na matéria sólida solo. Fonte:

DOURADO, 2009, p. 22.

Figura 14: Onda mecânica superficial transversal de Love inaudível de infrassom na matéria sólida solo.

Fonte: DOURADO, 2009, p. 25.

(vi) as ondas mecânicas em uma corda leve, uma corda massiva, um cabo ou em um sistema físico

semelhante, os quais sendo materiais sólidos apresentam forças internas de elasticidade, são compostas de

componentes longitudinais e transversais. No caso de uma onda puramente longitudinal, considerando a

propriedade de elasticidade desse sistema físico, uma tensão aplicada ao longo de seu comprimento será

transmitida de uma extremidade para outra longitudinalmente por conta das regiões de compressão e

rarefação de sua estrutura molecular, conforme representado esquematicamente na Figura 15. No caso de

uma onda puramente transversal, considerando a propriedade de elasticidade aludida do sistema físico,

uma tensão aplicada perpendicularmente ao seu comprimento será transmitida de uma extremidade para

outra por conta do cisalhamento entre as camadas adjacentes, conforme a Figura 16. No caso de uma onda

mista, situação comum em tais sistemas físicos reais, conforme representado esquematicamente na Figura

17, considerando a propriedade de elasticidade desse sistema físico, as tensões T1 e T2 aplicadas em um

elemento infinitesimal (i.e., muito pequeno) em geral não são iguais em módulo e consequentemente,

suas componentes longitudinais não se cancelam, mesmo para pequenas oscilações onde os ângulos α e β


2401.11

são aproximadamente iguais, dessa maneira, teremos uma resultante líquida, tanto na direção

longitudinal, quanto transversal. Em geral tais ondas podem se situar nas três faixas do espectro.

Figura 15: Onda mecânica longitudinal na matéria sólida corda. Fonte: http://slideplayer.com/slide/3952054/.

Figura 16: Onda mecânica transversal na matéria sólida corda. Fonte: Paul G. Hewitt.

Figura 17: Onda mecânica mista na matéria sólida corda. Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Vibrating_string.

Expressando de maneira sistemática o significado físico e matemático de um Campo Acústico ou

onda mecânica, consideremos as palavras de CHRISTOV (2014):

Na mecânica clássica, uma onda é um distúrbio mecânico. Se o distúrbio é estacionário ou viajante e se ele é causado pelo movimento de átomos e moléculas ou pela vibração de uma estrutura reticular, uma onda pode ser entendida como um tipo específico de solução de uma equação matemática apropriada modelando a física subjacente. Modelos típicos consistem de equações diferenciais parciais que exibem certas propriedades gerais, i.e., hiperbolicidade. Isso, por seu turno, leva à possibilidade de soluções ondulatórias. Várias técnicas analíticas (transformadas integrais, variáveis complexas, redução a equações diferenciais ordinárias, etc.) estão disponíveis para encontrar soluções ondulatórias de equações diferenciais parciais lineares (CHRISTOV, 2014, p. 6495).

Frequentemente, o movimento de um sistema vibrante pode ser descrito por uma combinação

linear de vibrações ou modos vibracionais. Desde que estamos lidando com um sistema linear, a solução

do problema em qualquer tempo será a soma (de um conjunto discreto) ou integral (que é uma espécie de

‘soma’ de um conjunto contínuo) das soluções individuais ou modos vibratórios individuais. Este é o

celebrado ‘princípio da superposição linear’ (CHRISTOV, 2014, p.6498-6500; FLETCHER &

ROSSING, 1998, p.7; MALVERN, 1969, p.499; TIJONOV & SAMARSKY, 1980, p.47, 63, 107, 249,


2401.12

564). A condição de linearidade de um sistema vibracional ocorre “se a amplitude da vibração é muito

pequena comparada com as dimensões características do sistema” (FLETCHER & ROSSING, 1998,

p.28). Isso significa que em um sistema linear podemos encontrar coordenadas coletivas (denominadas

coordenadas normais) em relação às quais os modos vibracionais são os celebrados ‘modos normais’ que

vibram com suas respectivas frequências normais ou naturais e que são independentes uns dos outros

(JÁCOME et al, 2002 p.215, 220), o que significa que, nas coordenadas normais, “um sistema linear é

aquele no qual a presença de uma vibração não altera a resposta do sistema a outras vibrações, ou

aquele no qual dobrando-se a excitação dobra-se a resposta” (FLETCHER & ROSSING, 1998, p.7).

As condições de contorno ou condições de fronteira (veja a Figura 18) constituem-se em um

conjunto de restrições adicionais que existem no meio onde uma onda mecânica se propaga, relacionadas

com as variáveis espaciais, de tal maneira que, a depender da simetria e da limitação de tais restrições, os

movimentos vibratórios se restringirão àqueles possíveis a tal simetria e limitação.

Figura 18: Esquema das condições de contorno impostas em um sistema físico. Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Boundary_value_problem#/media/File:Boundary_value_problem-en.svg.

Quando no meio as condições de contorno existentes não o limita espacialmente, o conjunto

infinito de modos vibratórios torna-se contínuo e se constitui em uma onda viajante, um ruído, que se

comporta como uma ‘coisa’ que se move no seio do meio material transportando energia e momento

associados à perturbação externa original. Quando, por outro lado, no meio as condições de contorno

existentes o limita completamente, confinando-o a uma parte finita do espaço, o conjunto infinito de

modos vibratórios torna-se discreto e se constitui em uma onda estacionária, devido às reflexões que

ocorrerão nas superfícies de contorno existentes no meio.

Considerando as coordenadas normais, no caso de um Campo Acústico submetido a condições de

contorno que o delimita completamente, os movimentos vibratórios são distribuídos com alguma

regularidade (uma onda estacionária), de tal forma que tal regularidade é representada através de um

conjunto discreto de modos normais harmônicos, cada um com sua frequência respectiva, cujas razões

formam frações simples, i.e., são números racionais, apresentando uma frequência dominante discernível

denominada por frequência fundamental, conforme a Figura 19 (CHRISTOV, 2014, p.6498-6499;

ELERT, 2015; FERNANDES, 2005, cap.03, p. 34; FLETCHER & ROSSING, 1998, p.9; JÁCOME et al,

2002, p.216; LOPES DOS SANTOS, 2011, p.27-28; PEREIRA & MIRANDA, 2002, p.240-241;

TIJONOV & SAMARSKY, 1980, p.101, 103); no caso de um Campo Acústico livre (não delimitado

completamente por condições de contorno), os movimentos vibratórios são distribuídos irregularmente,

desprovidos de regularidade (uma onda viajante) e representados através de um conjunto contínuo de

modos normais, cada um com sua frequência respectiva, descritos por uma distribuição de probabilidade,

não apresentando uma frequência dominante discernível, conforme a Figura 20 (CHRISTOV, 2014,


2401.13

p.6499-6500; FERNANDES, 2005, cap.02, p. 24; LOPES DOS SANTOS, 2011, p.26-27; PEREIRA &

MIRANDA, 2002, p.242-246; SOUZA, 1998, p. 4; TIJONOV & SAMARSKY, 1980, p.87).

Figura 19: Representação esquemática das vibrações transversais numa corda de comprimento L com os extremos fixos, mostrando os quatro primeiros modos normais discretos com seus respectivos deslocamentos

transversais da posição de equilíbrio ��, ��, � � , , �, �, de cima para baixo, dos infinitos graus de liberdade do sistema físico. Fonte: KUNDUS, GUTMANN & CASTILHO, 2006, p.429.

Figura 20: Representação esquemática das vibrações transversais numa corda infinita, mostrando um modo normal contínuo genérico, onde ��, �� representa o deslocamento transversal da posição de equilíbrio, de tal

forma que os infinitos graus de liberdade do sistema físico são os deslocamentos em cada ponto da corda. Fonte: LOPES DOS SANTOS, 2011, p.26.

Tais movimentos vibratórios são compreendidos através de algumas propriedades físicas, são elas:

amplitude, frequência, período, número de onda, comprimento de onda, fase, velocidade de fase, e

velocidade de grupo.

- Amplitude – é uma quantidade A que expressa o valor máximo da variação da grandeza que

caracteriza uma vibração a partir de sua situação de equilíbrio, por exemplo, a pressão, a tensão de

cisalhamento, ou o deslocamento. A Amplitude de uma onda sonora está relacionada com a Intensidade

Sonora: quanto maior a Amplitude, maior a Intensidade e vice-versa;

- Frequência – é uma quantidade que expressa o número de ocorrências na unidade de tempo da

variação da grandeza que caracteriza uma vibração a partir de sua posição de equilíbrio;

- Período – é uma quantidade τ que expressa o tempo necessário para que a variação da grandeza

que caracteriza uma vibração a partir de sua posição de equilíbrio se repita. Logo, o período é o inverso

da frequência:

� � �; Equação 1

- Número de Onda ou Frequência Espacial – é uma quantidade ξ que expressa o número de

ocorrências na unidade espacial de comprimento da grandeza que caracteriza uma vibração a partir de sua

posição de equilíbrio;


2401.14

- Comprimento de Onda – é uma quantidade λ que expressa o comprimento necessário para que a

variação da grandeza que caracteriza uma vibração a partir de sua posição de equilíbrio se repita. Logo, o

comprimento de onda é o inverso do número de onda:

� � �; Equação 2

- Fase – é uma quantidade φ que expressa cada uma das alterações que ocorre com a variação da

grandeza que caracteriza uma vibração a partir de sua posição de equilíbrio.

- Velocidade de fase – é uma quantidade � que expressa a rapidez com que a variação da

grandeza que caracteriza uma vibração a partir de sua posição de equilíbrio se propague, ou seja, expressa

a rapidez com que uma fase se propague:

� � �� , Equação 3

onde usamos a Equação 1 e a Equação 2 na segunda igualdade. Ou seja: � � ��.

Equação 4

- Velocidade de Grupo – é uma quantidade �� que expressa a rapidez com que um grupo de fases

se propaga em uma onda viajante. Intuitivamente, temos que “a velocidade de fase descreve a

propagação coerente de um modo singelo com um número de onda ξ, enquanto a velocidade de grupo

descreve a propagação coerente de um grupo de modos com números de onda próximos no alcance

�� ∆� , � � ∆� �” (CHRISTOV, 2014, p.6499-6500).

Assim sendo, em termos das coordenadas normais, os modos normais de vibração de uma onda

mecânica são os padrões de movimento coletivo do meio permitidos pela situação física vigente e que

apresentam, para cada modo normal, a mesma frequência, o mesmo comprimento de onda e a mesma

relação de fase. Dessa forma, definimos um modo normal de vibração ou automodo como um movimento

coletivo que um meio pode vibrar (com sua frequência e comprimento de onda normais) considerando sua

estrutura atômica e molecular bem como suas condições de fronteira, sendo que tais modos normais de

vibração são independentes entre si (FLETCHER & ROSSING, 1998, p.24,27,117; LOPES DOS

SANTOS, 2011, p.26).

Do ponto de vista matemático, representando a variação da grandeza que caracteriza uma vibração

a partir de sua posição de equilíbrio pela função Ψ em relação aos parâmetros espaciais e temporais,

temos que

� � ��…�… �; �, �, �… �… �, �…�… �, �… !… �� Equação 5

� � ��…"#$%&'()* )* (# #+)+ ,&-./0&+1/% … �; �…2/3* )* (# #+)+ ,&-./0&+1/%… ��, onde os parâmetros na segunda chave representam a fase de cada modo de vibração; a primeira chave

representa as amplitudes de cada modo de vibração; a função Ψ representa a onda, a qual é solução de

uma equação diferencial que fornece a dinâmica da variação da grandeza que caracteriza uma vibração a

partir de sua posição de equilíbrio (por exemplo, para uma onda sonora, a variação da pressão do ar ou o

deslocamento em uma corda, ou para uma onda do mar, a variação de altura da água); �, � representam o

CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 13

ponto do espaço-tempo;

indica o conjunto infinito de frequências possíveis

vibração quando . Observemos que a forma funcional de

diferencial representativa do campo acústico

FLETCHER & ROSSING, 1998

NELSON, 2013, p. 3317-4; RIBEIRO, 2008, p. 14

discretização ou continuidade da frequ

contorno existentes. Se estivermos considerando na

cada componente vibratório será um dos modos normais do sistema.

Se dois ou mais modos de vibração

ponto determinado do espaço-tempo, então esses modos

conforme representado esquematicamente

vibracionais não apresentem mesma frequê

tempo, então o conceito de diferença de fase não se aplica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fase_%28f%C3%ADsica%29#/media/File:Sine_waves_same_phase.svg

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fase_%28f%C3%ADsica%29#/media/File:Sine_waves_different_phase.svg

Quando uma onda sonora se propaga algumas propr

as superfícies (i) de contorno que existam

forma de obstáculos em um mesmo meio

superposição das ondas, a saber:

da vibração da onda, a saber: polarização

- Reflexão – é o fenômeno que expressa a propriedade que uma onda sonora tem d

ser refletida, quando incide sobre uma superfície cujas dimensões forem maiores do que

comprimento da onda sonora, ou seja, a onda incidente muda de direção, retornando à região original

forma de uma onda refletida, conforme

onda e a velocidade de propagação não se alteram

observado sempre que a onda incidente possui intensidade suficiente e permite um atraso suficiente para

que a onda refletida seja percebida distintamente

- Refração – é o fenômeno que expressa a propriedade que uma onda sonora

ser refratada, quando incide sobre uma superfície

comprimento da onda sonora, ou seja, a onda sonora incidente muda de direção, passando para a região

13 (02): 2401.1-36, 2015 O Fenômeno Acústico e o Ensino Médio

2401.15

indica o conjunto infinito de comprimentos de onda possíveis

indica o conjunto infinito de frequências possíveis; e é o valor das fase

Observemos que a forma funcional de Ψ advém da resolução da equação

campo acústico (ALFVÉN, 1942, p. 406; COSTA Jr. et al., 2011, p. 2302

FLETCHER & ROSSING, 1998; FELSEN & MARCUVITZ, 1994, p. 2; MALVERN, 1969, p. 423

; RIBEIRO, 2008, p. 14; RIENSTRA & HIRSCHBERG, 2015, p. 8

discretização ou continuidade da frequência e comprimento de onda advêm dos tipo

Se estivermos considerando na Equação 5 um sistema de coordenadas norma

cada componente vibratório será um dos modos normais do sistema.

de vibração têm mesma frequência e mesmo comprimento de onda em um

tempo, então esses modos vibracionais podem estar em fase ou

conforme representado esquematicamente na Figura 21 e na Figura 22 respectivamente

não apresentem mesma frequência e comprimento de onda no ponto determinado do espaço

tempo, então o conceito de diferença de fase não se aplica.

Figura 21: Ondas em Fase. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Fase_%28f%C3%ADsica%29#/media/File:Sine_waves_same_phase.svg

Figura 22: Ondas Fora de Fase. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Fase_%28f%C3%ADsica%29#/media/File:Sine_waves_different_phase.svg

Quando uma onda sonora se propaga algumas propriedades podem se manifestar relacionadas com

de contorno que existam separando regiões com diferentes meios materiais

forma de obstáculos em um mesmo meio, a saber: reflexão, refração e difração; relacionadas com a

: interferência, batimento, e ressonância; e relacionadas com

polarização.

o fenômeno que expressa a propriedade que uma onda sonora tem d

quando incide sobre uma superfície cujas dimensões forem maiores do que

comprimento da onda sonora, ou seja, a onda incidente muda de direção, retornando à região original

, conforme a Figura 23. Nesse fenômeno a frequência, o comprimento de

onda e a velocidade de propagação não se alteram. “Um exemplo interessante de reflexão sonor


que a onda refletida seja percebida distintamente” (WUENSCHE, 2009).

é o fenômeno que expressa a propriedade que uma onda sonora tem de ser

, quando incide sobre uma superfície cujas dimensões forem maiores do que


O Fenômeno Acústico e o Ensino Médio...

indica o conjunto infinito de comprimentos de onda possíveis;

fases de cada modo de

advém da resolução da equação

; COSTA Jr. et al., 2011, p. 2302-3;

; MALVERN, 1969, p. 423, 497;

; RIENSTRA & HIRSCHBERG, 2015, p. 8), e a

tipos de condições de

um sistema de coordenadas normais então

têm mesma frequência e mesmo comprimento de onda em um

podem estar em fase ou fora de fase,

respectivamente; caso os modos

ncia e comprimento de onda no ponto determinado do espaço-

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fase_%28f%C3%ADsica%29#/media/File:Sine_waves_same_phase.svg.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fase_%28f%C3%ADsica%29#/media/File:Sine_waves_different_phase.svg.

iedades podem se manifestar relacionadas com

separando regiões com diferentes meios materiais e (ii) na

difração; relacionadas com a

relacionadas com a orientação

o fenômeno que expressa a propriedade que uma onda sonora tem de ser retornada,

quando incide sobre uma superfície cujas dimensões forem maiores do que aquelas do

comprimento da onda sonora, ou seja, a onda incidente muda de direção, retornando à região original na

Nesse fenômeno a frequência, o comprimento de

Um exemplo interessante de reflexão sonora é o eco,


tem de ser quebrada,

cujas dimensões forem maiores do que aquelas do



2401.16

adjacente à superfície na forma de uma onda refratada, conforme a Figura 24. Nesse fenômeno a

velocidade de propagação e o comprimento de onda se alteram e a frequência não se altera.

- Difração – é o fenômeno que expressa a propriedade que uma onda tem de ser desviada, ser

difratada, quando incide sobre uma superfície cujas dimensões são semelhantes ou inferiores àquelas do

comprimento da onda sonora, ou seja, a onda sonora incidente espalha-se ao encontrar o obstáculo,

conforme a Figura 25.

- Interferência – é o fenômeno que expressa a propriedade que uma onda tem de, ao se superpor

com outras, uma onda resultante ocorrer com frequência, comprimento de onda e amplitude diferentes das

originais, conforme a Figura 26.

- Batimento – é uma interferência na qual as frequências das ondas superpostas estão próximas,

ocorrendo na onda resultante intervalos de frequências construtivas e destrutivas, conforme a Figura 27;

- Ressonância – é uma interferência na qual as frequências das ondas superpostas são idênticas,

ocorrendo na onda resultante uma amplitude máxima de vibração, conforme a Figura 28.

- Polarização – é o fenômeno que expressa a propriedade de uma onda vibrar em mais de uma

direção de orientação, conforme a Figura 29. Assim sendo, tal fenômeno é exclusivo de ondas

transversais, não ocorrendo em ondas longitudinais.

Figura 23: Esquema do fenômeno da reflexão para dois meios, ar e água, separados por uma superfície horizontal. A linha vertical serve para indicar a direção de incidência e reflexão do raio sonoro com o ângulo 4 que é o mesmo para as duas direções. Fonte:

http://moodle.madeiratorres.com/mod/lesson/view.php?id=8502&pageid=143.

Figura 24: Esquema do fenômeno da refração para dois meios, ar e água, separados por uma superfície horizontal. A linha vertical serve para indicar a direção de incidência e refração do raio sonoro com os

ângulos 4 e 4 respectivamente. Fonte: http://moodle.madeiratorres.com/mod/lesson/view.php?id=8502&pageid=143.


2401.17

Figura 25: Esquema do fenômeno da difração com dois tipos de obstáculos. Fonte: http://www.cgomes.uac.pt/TE/Estagio/03-04/Rg03-04/Alunos/apoio/Difracao_ficheiros/frame.htm.

Figura 26: Esquema do fenômeno da interferência entre duas ondas. Fonte: http://www.brasilescola.com/fisica/interferencia-ondas.htm

Figura 27: Esquema do fenômeno da interferência do tipo batimento. Fonte: http://www.if.ufrj.br/~bertu/fis2/ondas2/ondas2.html.

Figura 28: Esquema do fenômeno de interferência do tipo ressonância, onde 5! é a frequência natural de vibração de um ressonador e 5 é uma frequência de estímulo. Fonte:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Resson%C3%A2ncia.


2401.18

Figura 29: Esquema do fenômeno da polarização de uma onda acústica. No exemplo, uma onda polarizada na direção y (a) e outra polarizada na direção x (b). Observe que ao passar pelo polarizador a onda polarizada na direção x deixa de oscilar, sendo filtrada. Fonte: http://www.unb.br/iq/kleber/EaD/Fisica-4/Aulas/Aula-

17/fig17-5.gif.

No que tange à recepção ou percepção dos fenômenos acústicos,

o físico tende a substituir o receptor ‘ouvido’ por qualquer um dos numerosos receptores de ondas elásticas [existentes, denominados vibroscópios (Sismógrafos, Acelerômetros, Microfones, Tubos de Kundt, Membrana de Cápsula Monométrica, Disco de Rayleigh, Ressonadores)]. Obtêm-se com isto duas vantagens: independência dos resultados experimentais em ralação às faculdades auditivas do experimentador, e extensão do campo de investigação a um espectro acústico que compreende frequências não audíveis (infrassons, de frequência inferior a 16 hertz, e ultrassons, de frequência maior que 20.000 hertz) (PERUCCA, 1953, p. 633, 687-697).

Uma característica importante na recepção das ondas acústicas se relaciona com o Efeito Doppler,

representado na Figura 30. O Efeito Doppler é a mudança do valor da frequência de uma onda, para um

observador que se move em relação à fonte do fenômeno acústico (RIENSTRA & HIRSCHBERG, 2015

p.216). Para uma fonte acústica se aproximando do observador a frequência é maior do que para a fonte

se afastando do mesmo (PERUCCA, 1953, p.739). Como estamos estudando ondas acústicas que

representam o efeito de uma perturbação em um meio, as velocidades do observador e da fonte acústica

são consideradas em relação ao meio no qual a onda é transmitida e, nesse caso, tal efeito é o resultado

dos movimentos da fonte, do observador e do meio. No caso das ondas eletromagnéticas que não

necessitam de um meio para propagarem-se, tal efeito, denominado Efeito Doppler-Fizeau, leva em

consideração a velocidade relativa entre o observador e a fonte eletromagnética.

Considerando uma situação física onde o observador e a fonte estão se movendo na mesma direção

em relação ao meio, considerado em repouso, a expressão do Efeito Doppler se dá como segue. Seja 67 a

velocidade do Observador (sendo positiva se o Observador se aproxima da Fonte, e negativa se o

Observador se afasta da Fonte) e seja 68 a velocidade da Fonte (sendo positiva se a Fonte se afasta do

Observador, e negativa se a Fonte se aproxima do Observador), ambas em relação ao meio. No tempo

9 � 0 a fonte emite uma frente de onda e enquanto essa frente de onda se propaga com velocidade 6 em

relação ao meio, tanto o Observador quanto a Fonte se movem com as velocidades especificadas. No

tempo 9 � ;, o período real da onda, a frente de onda se desloca 6; e nesse mesmo tempo, o Observador

se desloca 67; e a fonte 68;, emitindo uma segunda frente de onda. Nessas condições, o comprimento de

onda aparente <7 percebido pelo Observador, entre as duas frentes de onda é dado por:

<7 � 6; � 68; � �6 � 68�;. Equação 6

Por outro lado, a frequência aparente percebida pelo Observador, usando a Equação 4, é dada por:


2401.19

7 � =>=?@? .

Equação 7

Substituindo a Equação 6 na Equação 7, temos que

67 � =>=?�=>=A�B. Equação 8

Finalmente, usando a Equação 1 que relaciona a frequência da Fonte 8 com o período ;, temos

que

7 � =>=?=>=A 8,

Equação 9

que expressa o Efeito Doppler quando o Observador e a Fonte se movem em relação ao meio em repouso.

Figura 30: Representação esquemático do Efeito Doppler. Fonte: http://www.arquivos.ufs.br/mlalic/UAB_livro/Fisica_C_Aula_04.pdf.

O Meio Sólido Corda

Como todas as frequências acústicas, as frequências ligadas à música são criadas por um

mecanismo externo, isto é, “é necessário ‘excitar’, estimular externamente um corpo, para que ele emita

um som. Em outras palavras, é necessário que se aplique uma força a esse corpo para que o elemento

vibrante (que transmitirá a energia às moléculas de ar) seja colocado em movimento” (WUENSCHE,

2009), conforme esquematizado na Figura 31.

Figura 31: Produção, através de alguma excitação externa, de ondas mecânicas transversais na membrana (sólido) de um tambor, cujas oscilações perturbam o ar (gás) que propaga ondas mecânicas longitudinais.

Fonte: http://osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2013/12/cursos-do-blog-termologia-optica-e-ondas_10.html.


2401.20

Em particular, uma corda quando estimulada externamente produz uma onda acústica e sendo um

material que está no estado sólido, seu campo sonoro devido a tal perturbação se propaga através de

ondas acústicas longitudinais e transversais, como mostra a Figura 17.

De maneira aproximada, podemos considerar uma corda como um sistema contínuo em uma

dimensão, sendo “um exemplo muito simples de um sistema com um número infinito de graus de

liberdade, nomeadamente, os deslocamentos em cada ponto da corda” (LOPES DOS SANTOS, 2011,

p.26), conforme a Figura 20. Para obtermos os modos normais de oscilação de uma corda, a estratégia é

utilizar o sistema de coordenadas normais (PEREIRA & MIRANDA, 2002, p.244), de tal forma que em

relação a tal sistema de coordenadas normais (onde cada uma delas ‘agrupa’ os infinitos graus de

liberdade (FLETCHER & ROSSING, 1998, p.28,104,117)) “todos os pontos da corda tivessem uma

oscilação harmônica com a mesma frequência” (LOPES DOS SANTOS, 2011, p.26), sem, no entanto

existir uma regularidade entre eles devido à continuidade de tais modos ou oscilações.

As vibrações advindas da perturbação exercida nas cordas de um instrumento, aqui em específico,

do cavaquinho, nos permitem discutir sobre ondas sonoras, modos normais de vibração, meios rígidos,

oscilações acopladas, dentre outros. Do ponto de vista do estudo da teoria das cordas vibrantes, existem

modelos matemáticos simples e complexos, que servem para tratar de maneira aproximada do real os

detalhes do comportamento do instrumento, que no caso das cordas pode-se assumir que possuem um

comprimento l, uma densidade linear uniforme σ, como também uma tensão T e nesse caso, podemos

assumir também que só existirão na corda oscilações transversais, de acordo com a Figura 16. No instante

em que a corda do instrumento é tangida, o sistema fica perturbado gerando assim um pulso que se

propaga transversalmente ao longo da corda.

Sendo assim, por conta destas perturbações haverá um pulso que se propaga na matéria (no caso,

na corda), e a depender da existência de condições de contorno em tal matéria, modos de vibração

discretos existirão, e que expressos nas coordenadas normais propiciarão a existência dos modos normais

de vibração. Como dito, estes modos normais estão relacionados com as condições de contorno do

sistema, que satisfazem uma equação de movimento descrita pela segunda lei de Newton. Tais condições

de contorno, se limitarem completamente a corda, implicam que apenas frequências bem determinadas

poderão interagir construtivamente na corda, o que dará a qualidade tonal da corda, ou seja, ondas

estacionárias para algumas frequências específicas, conhecidas como harmônicos.

Pode-se determinar não apenas o movimento da corda do instrumento, mas também a qualidade

tonal do som emitido por um instrumento, i.e. o seu timbre. É desta forma que nosso ouvido faz a análise

quando escutamos algum som. Para ser mais preciso, o timbre será determinado pelas diversas variações

dos harmônicos que compõem o som emitido, a partir de alguma excitação. Esta propriedade é o que

diferencia o som de dois instrumentos, mesmo que toquem a mesma nota musical, e isso mostra que o

som de um instrumento depende também das características do material, sua densidade, bem como da

estrutura física de construção do instrumento musical (FLETCHER & ROSSING, 1998, p.252).

Estabelecidas as ideias iniciais a respeito do som, podemos então correlacionar com a acústica de

instrumentos musicais, que está diretamente relacionada com as ondas sonoras. Tendo em vista a idéia de

incentivar o ensino de acústica para os estudantes, é imediato perceber esta relação, pois hoje em dia, a

convivência das pessoas com instrumentos musicais não é pequena. Assim, a noção musical presente nos


2401.21

estudantes pode ser facilitadora do ensino aprendizagem do tema da acústica, sendo um caminho para o

ensino de Física através de instrumentos musicais.

Segundo Krummenauer, Pasqualetto e Costa (2009):

Estudar a Física presente no funcionamento de um instrumento específico é um assunto tão vasto quanto a diversidade de instrumentos. Cada instrumento se apresenta como uma fonte de abordagens físicas diferindo desde a maneira como se gera o som até o processo para emitir as diferentes notas musicais (2009, p. 23).

Nesse sentido, observamos o quanto é importante o estudo e compreensão dos instrumentos

musicais através da acústica. Os instrumentos musicais tradicionais acústicos podem ser divididos em três

grupos, de acordo com o tipo de meio utilizado para a propagação da onda, entretanto cada instrumento

possui seu próprio timbre. O primeiro grupo compreende os instrumentos de cordas vibrantes, onde as

ondas estacionárias são geradas em cordas esticadas e fixadas em suas extremidades, como por exemplo,

o violão, o cavaquinho, o violino, o violoncelo, a harpa, o cravo, a cítara, o clavicórdio, o piano. O

segundo abrange os instrumentos de percussão, onde as ondas estacionárias são geradas por objetos

bidimensionais como membranas fixadas em suas extremidades (ex.: o tarol, o tímpano, o tambor) ou

tridimensionais como blocos de madeira ou de metal (ex.: a marimba, o xilofone, o sino, o prato). E o

terceiro é formado por instrumentos de sopro, nos quais as ondas estacionárias são geradas por colunas de

ar vibrante com as condições de contorno delimitando a região, como a flauta, o trompete, o saxofone, o

trombone, o órgão ‘de tubos’ (FLETCHER & ROSSING, 1998; TREFIL, 2006).

Na maioria [dos] instrumentos [de corda], o comprimento das cordas [é] geralmente variado pelos dedos da mão esquerda. Obtêm-se os diferentes tons variando tal comprimento. A harpa e o piano são exceções. Por não ser possível variar o comprimento das cordas da harpa, seus pedais variam a tensão aplicada em tais cordas. Já o piano possui cordas com tensões definidas. Utiliza-se de alavancas associadas [às] teclas para que se acione a corda.

A maioria dos instrumentos, no entanto, possui cordas presas a um braço e sobre uma caixa acústica de madeira (utilizada para amplificar o som). A madeira e os espaços de ar no corpo de um violino, por exemplo, são essenciais na produção de um som com qualidade. (OLIVEIRA, 2004).

Discutir a evolução histórica dos instrumentos musicais, bem como observar as peculiaridades

inerentes à sua construção, é um objetivo deste trabalho, que está pautado no instrumento cavaquinho em

especial, tendo em vista a utilização do mesmo como incentivador no ensino de acústica para estudantes

do ensino médio.

GRANDEZAS MUSICAIS E SUA CONEXÃO COM GRANDEZAS FÍSICAS

No que segue, daremos algumas definições de grandezas musicais relacionando-as com

propriedades físicas.

- A Melodia é a propriedade sonora que significa uma sucessão linear (não simultânea) de

frequências perceptíveis como uma entidade única.

- A Harmonia é a propriedade sonora que significa uma emissão simultânea de diferentes

frequências, denominada acorde.

- O Ritmo é a propriedade sonora que representa um padrão de regularidade estabelecido para a

Harmonia e a Melodia, instituindo uma Duração relativa para uma Nota Musical, conforme a Tabela 1.


2401.22

Dessa forma, o ritmo está relacionado com a grandeza tempo para a ocorrência de uma Nota Musical,

sendo representado pela frequência na unidade bpm (batidas por minuto), por exemplo. Para tanto,

escolhendo uma das Figuras Musicais ou Figuras Rítmicas (primeira coluna da Tabela 1) como referência

de tempo, podemos utilizar a coluna 5 da Tabela 1 para determinar o valor temporal ou frequencial das

outras Figuras Musicais. Por exemplo, escolhamos

que uma Semínima vale 120 batidas por minuto. Dizer ‘120 batidas por minuto’ significa dizer que a duração de cada batida ou nota é tal que cabem 120 dessas dentro de um minuto. Como um minuto possui 60 segundos, isso é o mesmo que dizer ‘cabem 2 batidas em um segundo’. Indo mais além, podemos concluir que uma batida/nota dura meio segundo nesse caso. (DESCOMPLICANDO..., s/d).

Outros valores para a Semínima poderiam ser escolhidos para o seu solfejo, no entanto, qualquer que

fosse a escolha ela nunca deixaria de ser uma Semínima. No exemplo dado, uma Semínima vale 2 bps

(batidas por segundo) e, considerando as relações da coluna 5 da Tabela 1, determinamos as frequências

ou Durações das outras Figuras Rítmicas.

- A Nota Musical é a propriedade sonora que representa o elemento mínimo de um som, formado

por um único modo normal de vibração fundamental, com sua frequência fundamental respectiva,

superposto com seus respectivos harmônicos, conforme a Tabela 2. Observe que, quando um meio

limitado (uma corda, por exemplo, com os extremos fixos) é posto em vibração, surge uma onda sonora

que é consequência de uma superposição de ondas, i.e., de modos normais, de tal forma que se tem o

modo fundamental e a série de harmônicos superiores; assim sendo, a Nota Musical será aquele elemento

mínimo caracterizado pelo modo fundamental e seus harmônicos que, ao se superporem, guardam uma

relação matemática simples entre si, implicando que a frequência do modo fundamental definirá a Nota

Musical.

Na música ocidental, há 12 notas: dó, dó#, ré, ré#, mi, fá, fá#, sol, sol#, lá, lá# e si. O símbolo ‘#’ significa sustenido. Dessas 12 notas, 7 delas recebem um nome específico (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si) e as demais são identificadas por um sustenido (#) ou bemol (b) dessas notas, também chamados de acidentes. Um sustenido, por definição, é a menor distância entre duas notas na música ocidental, assim como um bemol. A diferença de nomenclatura (bemol ou sustenido) serve apenas para indicar se estamos nos referindo a uma nota acima ou abaixo. (DESCOMPLICANDO..., s/d).

- O Tom é a propriedade sonora que representa a distância entre dois sustenidos ou entre dois

bemóis e o semitom é a distância de um sustenido ou de um bemol: “Por exemplo, a distância entre dó e

ré é de um tom, pois entre dó e ré há uma distância de dois sustenidos (de dó para dó# e de dó# para

ré)”. (DESCOMPLICANDO..., s/d).

- A Qualidade Tonal é a propriedade sonora relacionada com a produção de diversas frequências

ao mesmo tempo presentes em uma nota musical, sendo a frequência mais baixa a fundamental, que

determina a Altura, e as outras as frequências secundárias, múltiplas da fundamental.

- O Timbre é a propriedade sonora relacionada aos harmônicos presentes em uma nota musical,

sendo assim leva em consideração o meio (corda, membrana, ar e etc.), suas condições de contorno e as

características do instrumento musical (OLIVEIRA, 2004). Vemos assim que a qualidade tonal e o timbre

representam a mesma propriedade sonora.

- A Altura (Pitch = Assomo) é a propriedade sonora relacionada com a frequência de uma nota

musical, i.e., é a qualidade de um som ‘ser produzido’ (assomar, principiar a manifestar-se) pela taxa de

vibrações existentes, permitindo definir se uma nota musical é Grave (baixa), Média ou Aguda (alta), a


2401.23

depender de sua frequência; quanto menor a frequência, mais grave é a nota e quanto maior a frequência,

mais aguda é a nota (DESCOMPLICANDO..., s/d). A Altura “é o atributo perceptual de um som que

corresponde intimamente com sua frequência” (MATHER, 2006, p.120), mas é distinto dela; a frequência

é um atributo físico e objetivo que podemos mensurar, enquanto o Assomo é um atributo subjetivo de

cada pessoa em relação ao som, não sendo medido diretamente (DAVENPORT & HANNAHS, 2013

p.58).

- A Intensidade é a propriedade sonora relacionada com a amplitude de uma onda, propiciando o

atributo perceptual do Volume (Loudness) sonoro (MATHER, 2006).

Tabela 1: Descrição das Durações Representação Gráfica

da Duração

Representação Gráfica

da Pausa

Nomenclatura Significado Duração

Máxima Oito vezes a duração

integral

32/4

Longa Quatro vezes a duração

integral

16/4

Breve Duas vezes a duração

integral

8/4

Semibreve Duração Integral 4/4

Mínima Metade da duração

integral

2/4

Semínima Um quarto da duração

integral

1/4

Colcheia Um oitavo da duração

integral

1/8

Semicolcheia Um dezesseis avos da

duração integral

1/16

Fusa Um trinta e dois avos

da duração integral

1/32

Semifusa Um sessenta e quatro

avos da duração

integral

1/64

Quartifusa Um cento e vinte e oito

avos da duração

integral

1/128

Tabela 2: Exemplo de Escala na música ocidental: Escala Maior no tom de Dó, pois a nota inicial foi o Dó.

Nota Musical Representação Frequência fundamental Fator multiplicativo

Dó C 264 Hz multiplica por 9/8 para obter a


2401.24

Nota Musical Representação Frequência fundamental Fator multiplicativo

próxima nota

Ré D 297 Hz multiplica por 10/9 para obter

a próxima nota

Mi E 330 Hz multiplica por 16/15 para

obter a próxima nota

Fá F 352 Hz multiplica por 9/8 para obter a

próxima nota

Sol G 396 Hz multiplica por 10/9 para obter

a próxima nota

Lá A 440 Hz multiplica por 9/8 para obter a

próxima nota

Si B 495 Hz multiplica por 16/15 para

obter a próxima nota

Dó C 528 Hz multiplica por 9/8 para obter a

próxima nota e a sequência se

repete aumentando a

frequência das notas

O CAVAQUINHO

Descrição Geral do Cavaquinho

O estudo das oscilações em Física desempenha um papel fundamental na compreensão de

fenômenos naturais, bem como no mecanismo de vibração de instrumentos musicais. O Cavaquinho é um

instrumento de origem portuguesa, sendo considerado o mais agudo da família das guitarras europeias de

tampos chatos. Outras denominações para o Cavaquinho são usadas em Portugal, como por exemplo:

Machimbo, Machim, Machete ou Marchete, Braguinha e Cavaco (CAZES, 2009); sendo irmão do

Ukulele do Hawaii, para onde o Cavaquinho português foi levado, sendo lá popularizado com esse nome

“que quer dizer ‘pulga saltadora’” (ALMEIDA, 2007).

Em Portugal, mais precisamente em Lisboa, o Cavaquinho ganhou características cosmopolitas,

passando a ser usado em conjunto acompanhado de bandolins, violas e guitarras, nas conhecidas tunas. O

cavaquinho, sendo um instrumento rudimentar dos camponeses, em que a caixa e o braço eram uma só

peça (escala rasa), ganhou um melhoramento, ampliando assim seu som e sua projeção sonora (CAZES,

2009).

A escala passou a ser de uma madeira de maior densidade colada sobre o braço e que avança por

cima da caixa até a proximidade da boca, conferindo maior resistência contra empenamentos e

aumentando a sustentação do som. Foi em Lisboa, também, que a palheta passou a ser usada, onde até

então, o Cavaquinho minhoto ainda era tocado de forma rasgueada, com o dedo polegar e indicador da

mão direita (CAZES, 2009) passando as unhas rapidamente pelas cordas, sem as pontear, i.e, sem fazer

pressão com os dedos. As quatro cordas em geral são feitas de tripa, de nylon, ou de metal. Quando

tangida com os dedos, como no Ukulele, podem-se usar as seguintes técnicas: apoyando e tirando

conforme a Figura 32.

A unha actua como um tipo de rampa, convertendo alguns dos movimentos horizontais do dedo em movimento vertical da corda, tal como mostrado na [Figura


2401.25

32]. Embora [a tangida] apoyando tenda a induzir ligeiramente mais movimento vertical na corda, há pouca diferença entre as duas [tangidas] nos seus aspectos. O tocador pode mudar o equilíbrio entre o movimento horizontal e vertical da corda através da variação do ângulo da ponta do dedo, no entanto. FLETCHER & ROSSING, 1998, p.255).

Quando tangida com uma palheta, que é a maneira mais usual devido à tensão das cordas e por

serem em sua maioria de metal, “segura-se a palheta com os dedos polegar e indicador... [com

movimentos que podem ser] para cima e para baixo” (JACSON DO CAVACO, 2011, p.3,6), “não

apertando muito a palheta” (LUCCHESI, s/d, p.4), deixando “a mão... se movimentar paralelamente ao

tampo” (CAZES, 2009, p.12) conforme a Figura 33, sendo que tais movimentos da palheta, de forma

geral, do ponto de vista físico lembram as tangidas apoyando e tirando, podendo ser usadas as técnicas da

‘Palheta Cedendo’, da ‘Palheta Diagonal’ ou da ‘Palheta Horizontal’ conforme a Figura 34. Como o

músico Damiro Lucchesi nos contou em diálogo pelo Messenger do Facebook (LUCCHESI, 2015) em

relação à sua palhetada, “de uma forma mais prática, para solos [se] utiliza a palheta alternada entre as

cordas e na parte das batidas, normalmente é para cima e para baixo na forma da palheta horizontal”.

Figura 32: “Movimento do dedo e movimento resultante da corda em [tangidas] apoyando e tirando. Na [tangida]

apoyando, o dedo vai do repouso até uma corda adjacente; na [tangida] tirando, ele sobe o suficiente para limpá-

la” (Taylo, apud FLETCHER & ROSSING, 1998, p.256). Fonte: FLETCHER & ROSSING, 1998.

Figura 33: Posição da mão da Palheta. Fonte: LUCCHESI, s/d, p.4.

Figura 34: Exemplo de possíveis palhetadas. Aqui, usando o Baixo, como ilustração. Fonte: MARKS, s/d.


2401.26

Figura 35: Corpo de um cavaquinho explicitando as partes que o compõem.

Como mostrado na Figura 35, o cavaquinho é composto basicamente dos seguintes elementos:

corpo, tampa, mosaico, braço, trastes, tarraxas, cabeça, pestana, escala, cordas, boca, cavalete e rastilho.

No Brasil a afinação majoritária utilizada para o cavaquinho é RÉ-SOL-SÍ-RÉ, de baixo para cima (veja

Figura 36), porém existem usuários da afinação RÉ-SOL-SÍ-MÍ.

Figura 36: Notas ao longo de um braço de Cavaquinho na afinação Ré, Sol, Sí, Ré. Observemos que cada corda nesse esquema completa o ciclo de uma oitava (12ª casa). Fonte: JACSON DO CAVACO, 2011, p.14.

Tocado desde os tempos do Brasil colonial, o Cavaquinho participou ativamente da gênese do

lundu, considerado nosso primeiro gênero popular. Mais tarde, em meados do século XIX, o Cavaquinho

esteve presente na chamada música dos chorões, acompanhado de Flauta e Violão, considerada a primeira

formação instrumental do choro, onde o mesmo exercia uma função mista, um pouco harmônica, e meio

percussiva (rítmica). Já a partir do momento em que a percussão foi sendo incorporada, no que viria ser

chamado de ‘conjunto regional’, o Cavaquinho exerceu sua função de amálgama entre cordas e

percussão, contribuindo não só na harmonia e ritmos, mas também na melodia através de belos solos.

(CAZES, 2009).

Com o surgimento do samba na década de 1910, o Cavaquinho ganhou especial importância, tanto

nos aspectos mais visíveis, como o desfile das escolas de samba, quanto também na intimidade da criação

do sambista.

Modelo Teórico

A onda mecânica é uma perturbação qualquer sobre um meio, que se propaga de uma região do

espaço para outra, no decorrer do tempo. Uma das principais características das ondas é o fato delas

poderem transportar energia e quantidade de movimento de um local para outro sem haver o transporte de

partículas, ou seja, a onda não faz o transporte de matéria (TREFIL e HAZEN, 2006). Consideremos a

aproximação onde só existam ondas transversais, como estabelecido anteriormente no início da subseção

‘O Meio Sólido Corda’.


2401.27

Ao tocar um cavaquinho, a onda que se propaga pela corda é um exemplo de onda transversal, se

assumimos uma aproximação de acordo com a Figura 16, onde a velocidade � de um pulso, em termos

da densidade linear de massa (µ) e da tensão na corda (T) é escrita como (FLETCHER & ROSSING,

1998, p. 37):

� � CDμ,

Equação 10

onde μ � F/H, em que L é o comprimento da corda medido entre as suas duas extremidades, e m a

massa. Considerando a massa especifica do material que é composto a corda, dada por F � IJ, podemos

escrever a massa como:

K � LMNO� ,

Equação 11

em que d é o diâmetro da corda. Desta forma a densidade linear de massa agora fica:

μ � LNO� . Equação 12

É importante lembrar-se de outra expressão fundamental, que é a da velocidade de propagação de

uma onde transversal, em termos do comprimento de onda λ e da sua frequência �, dada pela Equação 4.

Como vimos, as ondas mecânicas nas cordas de instrumentos musicais são ondas estacionárias,

logo o comprimento de onda do oscilador harmônico fundamental é 2L, conforme análise na Figura 37.

Portanto a Equação 4 fica: � � M�.

Equação 13

Assim, podemos então encontrar a frequência, substituindo a Equação 12 e a Equação 13 na

Equação 10, chegando a:

� � MOQ D

NL. Equação 14

Uma maneira imediata e direta de proceder a esta verificação consiste em tomar os dados das

cordas do cavaquinho de um fabricante confiável. Através da verificação pode-se calcular com os dados

do fabricante e as fórmulas do texto, a frequência que a corda deveria apresentar quando montada numa

escala de comprimento padrão e corretamente afinada, podendo então esta frequência obtida ser

comparada com o valor especificado.

Como o músico Damiro Lucchesi nos contou em diálogo pelo Messenger do Facebook

(LUCCHESI, 2015) em relação ao timbre, “no cavaquinho a sonoridade se dá com a vibração do tampo,

mas é um conjunto todo que faz isso. Essa vibração é passada para o rastilho, cavalete até ecoar dentro

da caixa sonora e sair pela boca. Tem também a qualidade da madeira que influencia nisso”. Ou


2401.28

fisicamente colocando, o Cavaquinho, um instrumento de cordas pertencente à família dos violões (vide a

Figura 35),

pode ser considerado como um sistema de vibradores acoplados. As cordas [tangidas] irradiam somente uma pequena quantidade de som diretamente, mas ele excita o cavalete e a tampa superior, os quais por seu turno transferem energia à cavidade de ar, lateral, e tampa inferior. O som é irradiado eficientemente pelas tampas e através da boca sonora. (FLETCHER & ROSSING, 1998, p.240).

Qualquer sistema físico, seja ele uma molécula, um instrumento musical, uma ponte ou um prédio,

em relação a um sistema de coordenadas normais, tem seu conjunto de modos normais de vibração com

suas respectivas frequências naturais (ou autofrequências) que dependem do seu material, estrutura e

condições de contorno. “A resposta em termos da frequência de um violão é caracterizada por uma série

de ressonâncias e antirressonâncias... [e] uma ressonância pode resultar da excitação de dois ou mais

modos normais” (FLETCHER & ROSSING, 1998, p.251,252). No entanto, como é sabido, “a

configuração de um violão em uma de suas ressonâncias é frequentemente chamada um modo de

vibração, mas ele não é necessariamente um modo normal ou automodo do sistema”. (FLETCHER &

ROSSING, 1998, p.252). Como Arnold e Weinreich estabelecem (1982, p.1739), de acordo com Fletcher

e Rossing,

só quando o espaçamento dos modos normais [das suas autofrequências] é grande em comparação com as suas larguras naturais é que o padrão de vibração em uma ressonância [do instrumento] se assemelha muito daquele de um modo normal de vibração. (FLETCHER & ROSSING, 1998, p.252).

A ressonância é um fenômeno que ocorre em um sistema físico quando o mesmo é submetido a

uma força externa cuja frequência se aproxima de alguma das suas frequências naturais (autofrequências).

Com isso o sistema apresentará amplitudes de vibração cada vez maiores, conforme a Figura 28.

(HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2012).

Para um instrumento musical, a ressonância acústica é um fator importante visto que o elemento

vibrador inicial (uma corda, uma membrana, uma coluna de ar) irradia uma pequena quantidade de som

diretamente. Nesse sentido, a existência de vibradores que se acoplam, formando o instrumento, garantirá

a eficiência da irradiação sonora. Assim sendo, os instrumentos acústicos usam ressonadores (que são os

vibradores acoplados) de maneira tal que ao excitarmos o vibrador inicial do instrumento esse excita as

outras partes do instrumento (os outros vibradores) a ele acopladas aumentando a eficiência sonora. Como

exemplo de ressonadores, em um cavaquinho temos as cordas e o seu corpo, em um tambor, temos a

membrana e o formato do corpo, em um saxofone temos a coluna de ar e o comprimento do tubo e assim

por diante. Em termos da qualidade tonal ou timbre de um instrumento, por exemplo, de corda

esta qualidade, nós sentimos, está fortemente ligada com a maneira com que os modos da ‘corda’ e os modos do ‘corpo’ se acoplam um com o outro. O acoplamento é ‘bom’ na medida em que aumenta a saída de som, e ‘ruim’ na medida em que perturba a vibração da corda, impedindo o controle fino que [uma tangida, uma arqueadura, ou um golpe] de outra forma teria (ARNOLD & WEINREICH, 1982, p.1745).

Do ponto de vista físico, as frequências ressonantes de um ressonador estão associadas com seus

graus de liberdade. Um grau de liberdade de um sistema físico é um parâmetro independente que define a

configuração do sistema, i.e, a forma como esse sistema se ajusta, se conforma no espaço-tempo

considerando os vínculos nele existentes. Consequentemente, os graus de liberdade de um sistema físico

são os parâmetros que determinam o seu estado físico.


2401.29

No caso de sistemas vibrantes, cada grau de liberdade, em primeira aproximação, vibra como um

oscilador harmônico, sendo um oscilador harmônico (FLETCHER & ROSSING, 1998, p.4) um sistema

físico que, quando deslocado de sua posição de equilíbrio, considerando uma direção espacial de

movimento, por exemplo, experimenta uma força restauradora R proporcional ao deslocamento S:

R � �TS,

Equação 15

onde T é uma constante de proporcionalidade positiva denominada elasticidade (a rigidez - stiffness –

sendo o inverso da elasticidade) que caracteriza o material do sistema físico vibrante. Considerando a

segunda lei de Newton em uma dimensão, onde R � FU, com a a aceleração e m a massa do sistema

físico, temos que a equação de movimento do oscilador harmônico torna-se

FU � �TS V U � WX S � 0.

Equação 16

A frequência angular Y de oscilação de um modo vibracional é dada como segue:

Y � 2[� � 2[; � CTF,

Equação 17

onde usamos a Equação 1 na segunda igualdade, e na terceira igualdade usamos uma definição para a

razão entre as constantes k e F que caracterizam o sistema físico vibrante que aparece na Equação 16.

Assim sendo, a equação do movimento do oscilador harmônico unidimensional torna-se:

U � Y\S � 0,

Equação 18

onde Y é a frequência angular natural do modo de vibração do oscilador harmônico.

Se tivermos um sistema vibrante com um grau de liberdade, então teremos uma frequência

ressonante (natural) do modo de vibração. Se tivermos um sistema vibrante com dois graus de liberdade,

teremos duas frequências ressonantes, uma para cada modo de vibração respectivo; considerando o

sistema de coordenadas normais e assumindo pequenas oscilações, então poderemos encontrar dois

modos independentes ou normais de vibração desse sistema, com suas respectivas frequências ressonantes

(FLETCHER & ROSSING, 1998, p.24, 28,102). E assim sucessivamente.

Uma corda é um sistema vibrante contínuo com infinitos graus de liberdade, de forma tal que, em

primeira aproximação, podemos considerá-la como um conjunto de infinitos osciladores harmônicos

acoplados; daí teremos um conjunto infinito de frequências ressonantes, sendo uma frequência para cada

modo de vibração respectivo, o que nos dá um número infinito e contínuo de modos vibracionais;

considerando o sistema de coordenadas normais, teremos infinitos e contínuos modos normais de

vibração (veja a Figura 20). Se tal corda estiver submetida a condições de fronteiras que a limita

completamente teremos, em relação ao sistema de coordenadas normais, um conjunto infinito e discreto

de modos normais (veja a Figura 19 e Figura 37) (CHRISTOV, 2014).


2401.30

Figura 37: Características dos modos normais de uma corda limitada completamente. Fonte: SOUZA, 2011, p.7,8.

Observemos que, conforme o número de osciladores harmônicos acoplados cresçe em um sistema

físico, o tempo de transferência de energia de um oscilador para outro aumenta, visto que as vibrações

viajam através dos osciladores acoplados por meio de ondas, de um oscilador para o adjacente.

Dessa forma, um ressonador é qualquer objeto extenso onde ocorram ressonâncias no seu interior.

Isso acontece porque qualquer objeto pode ser visto como constituído de partes menores que se acoplam,

como por exemplo, os átomos e moléculas do ponto de vista microscópico na matéria em geral (uma

corda, uma membrana, uma coluna de ar, um cristal), ou do ponto de vista macroscópico, um instrumento

musical (com o seu elemento vibrador inicial, as cordas, e as outras partes de seu corpo conforme a

Figura 35), uma ponte, ou um prédio, nos quais pode existir um número infinito de frequências

ressonantes.

Considerando um ressonador homogêneo, i.e., sem partes macroscópicas, como uma corda ou um

tubo de ar, as vibrações no seu interior viajam na forma de ondas, refletindo nas superfícies do

ressonador. Sendo L a distância entre duas superfícies, o comprimento entre uma ida e volta das ondas

será 2L. Dessa forma, uma condição para ocorrer uma ressonância é que as fases das ondas inicial e

refletida têm que ser iguais, o que possibilita o reforço das ondas. Além disso, outra condição para a

ressonância ocorrer no ressonador é que a distância de ida e volta das ondas inicial e refletida seja igual a

um número inteiro de comprimentos de onda λ da onda, como expresso na Figura 37, o que dá para o

comprimento de onda e a frequência dos modos normais as expressões:

< � \]̂, � _ �\].

Equação 19

onde _ ` ab, o conjunto dos números inteiros não nulos. Com isso vemos que as frequências ressonantes

da série harmônica são múltiplas igualmente espaçadas da frequência mais baixa, denominada frequência

fundamental.

Dessa forma,

a nota de um instrumento musical está associada ao modo normal de menor frequência. Ao puxarmos a corda de um violão [ou instrumento semelhante] o som produzido é a soma de todos os modos normais na corda... A contribuição de cada modo normal está associada ao coeficiente da série de Fourier que representa o movimento da corda. (PINHEIRO, 2012, p.46).

As ondas sonoras no ar ao tocar o cavaquinho (à semelhança da ilustração da Figura 31) são ondas

de pressão, pois, ao se propagarem elas causam uma perturbação de compressão e descompressão das


2401.31

moléculas do ar, o que ocasiona uma diferença de pressão ao longo da propagação da onda. A produção

do som, sendo este pela voz ou por um instrumento musical qualquer, é realizada pela transmissão de uma

onda, que é gerada por um sistema vibrante, através de um meio que chega até nós, e esta natureza dos

sons depende das características do sistema vibrante.

A maior parte dos instrumentos musicais apresenta um grande número de frequências naturais de

vibração, onde assim é possível emitir diversas notas musicais. Assim, a representação de um som é feita

de forma bem simplificada como (WUENSCHE, 2009):

cde � f � f � f� �g, Equação 20

em que a contribuição de cada termo Ci corresponde a uma determinada freqüência, múltipla da freqüência do termo C1. Chamamos essa série de ‘série harmônica’ e cada termo da série é chamado de harmônico. Assim, o primeiro termo é o harmônico de ordem 0 (ou fundamental); o segundo, harmônico de primeira ordem, e assim sucessivamente (WUENSCHE, 2009).

Como vimos, a nota musical é dada de acordo com a frequência fundamental. Para criar um som

bonito e contínuo, como o que é produzido por um instrumento musical ou pela voz humana, é necessário

que a onda sonora criada seja estacionária, onde para diferentes instrumentos as ondas estacionárias são

geradas de diversas formas, como discutido anteriormente.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Embora o ensino de acústica esteja previsto nos PCN’s, este não é um tema que receba muita

atenção por parte dos professores no ensino médio. Observa-se que a acústica é realmente um tema

incentivador para os estudantes no ensino médio, capaz de permitir a abordagem de diversos aspectos na

Física. A situação-problema aqui estimulada na utilização de instrumentos musicais para o ensino de

acústica no ensino médio através do cavaquinho se faz necessário, visto que este tipo de abordagem ainda

é pouco utilizada pelos professores desse nível de ensino.

Tendo em vista a necessidade em se discutir esse tipo de estratégia, pois é cada vez maior a

exigência em se ensinar com um direcionamento para uma aprendizagem significativa, ou seja, de forma

tal que o estudante garanta sua formação continuada, esta estratégia pode ser sem dúvida uma forma de o

estudante conseguir alcançar sua formação significativamente, pois através desta o mesmo se sentirá

atraído e estimulado ao estudo interdisciplinar, aprendendo cada vez mais, abrindo sua mente para coisas

novas e interessantes.

Através da abordagem teórica e utilizando o instrumento cavaquinho, o estudante poderá entender,

através da Acústica o significado de som, de onda mecânica, diferenciando cada nota musical,

aprendendo o significado físico de ondas, podendo então encontrar as frequências que as cordas do

cavaquinho devem soar, associando aos seus comprimentos de onda, etc. Além disso, o estudante poderá

vivenciar a interdisciplinaridade dentro de aula, interagindo com os colegas e também com o professor,

favorecendo sua aprendizagem.

REFERÊNCIAS


2401.32

ALFVÉN, H. Existence of electromagnetic-hydrodynamic waves, Nature, 150(3805): 405–406, 1942.

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