SDP10a Analisis Frekuensi

Universitas Gadjah MadaFakultas TeknikDepartemen Teknik Sipil dan Lingkungan

ANALISIS FREKUENSIStatistika dan Probabilitas

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Regresi Linear

xi yi = f(xi)

1 0.5

2 2.5

3 2

4 4

5 3.5

6 6

7 5.5

01234567

0 1 2 3 4 5 6 7

y=

f(x)

X

2

Tabel data Grafik/kurva data

24-Nov-17Analisis Frekuensi

Hubungan antara variabel pertama, x, dengan variabel kedua, y, yang merupakan fungsi variabel pertama, y = f(x).


Regresi Linear3

01234567

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

data

regresi


Kurva regresi merepresentasikan pola hubungan (tren, perilaku) variabel y terhadap x.


Sebaran Data


4

q Situasiq Bagaimana kalau kita ingin mengetahui perilaku salah satu variabel itu sendiri?

q Misalnya: ingin mempelajari pola sebaran data X (X tentu saja adalah variabel random)

Berilah contoh data X di bidang teknik sipil dan lingkungan.


Temperatur Udara Harian Maksimum


5

Tahun Temperatur [°C] Tahun Temperatur [°C] Tahun Temperatur [°C] Tahun Temperatur [°C]

1971 31.8 1981 30.7 1991 30.1 2001 32.1

1972 32.9 1982 32.3 1992 31.1 2002 29.1

1973 32.7 1983 31.8 1993 31.9 2003 31.5

1974 30.7 1984 32.8 1994 33.9 2004 32.4

1975 30.4 1985 31.9 1995 31.9 2005 30.7

1976 29.0 1986 31.4 1996 30.3 2006 29.9

1977 31.5 1987 31.1 1997 29.7 2007 33.8

1978 32.6 1988 30.7 1998 33.8 2008 30.0

1979 32.0 1989 32.7 1999 34.1 2009 33.9

1980 30.2 1990 31.4 2000 30.4 2010 29.6




6

28

29

30

31

32

33

34

35

1971 1974 1977 1980 1983 1986 1989 1992 1995 1998 2001 2004 2007 2010

Tem

pera

tur

[oC

]

Tahun



24-Kas-17Analisis Frekuensi

7

q Pertanyaanq Apa nama instrumen untuk mengukur temperatur udara?

q Dapatkah kalian menceritakan cara data tersebut diperoleh?

q Dapatkah kalian mendeskripsikan data tersebut secara statistis?

q Bandingkan presentasi data dalam bentuk tabel dan grafik; yang manakah yang lebih baik?


μ−3σ−∞ μ−2σ μ−σ μ+σ μ+2σ μ+3σμ +∞

Distribusi Normal


8

X

pX(x)N(μ,σ2)

pX x( ) = 2πσ 2( )−

12 e−

12 x−µ( ) σ2

pdf (probability density function)

luas = pX x( )dx

−∞

+∞

∫ =1


Distribusi Normal


9

q Jika X berdistribusi normal, N(μ,σ2), maka prob(X ≤ x) dapat dicari dengan:

+∞−∞ x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )òò¥-

sµ---2

¥-

2

ps===£x

tx

XX tettpxPxX d2dprob 212

1

luas di bawah kurva pdf (dari −∞ s.d. x) à cdf

cdf (cumulative distribution function)


pdf - cdf


10

μ–∞0

1

+∞

pdf

cdfpX(x)

PX(x)


Distribusi Normal Standar


11

μ μ+σ μ+2σ μ+3σμ−3σ μ−2σ μ−σ−∞ +∞ X0−1−2−3 1 2 3−∞ +∞ Z

0

1PX(x)

pdf

cdfpX(x)

ZX =

X −µσ


Tabel Frekuensi


12

Rentang temperatur [°C] Temperatur [°C] frek frek rel

28 − 29 28.5 1 0.025

29 − 30 29.5 5 0.125

30 − 31 30.5 9 0.225

31 − 32 31.5 12 0.300

32 − 33 32.5 8 0.200

33 − 34 33.5 4 0.100

34 − 35 34.5 1 0.025

Jumlah 40 1

Temperatur udara harian maksimum tahunan

minimum 29.0°Cmaksimum 34.1°Crerata 31.5°Csimp. baku 1.4°C

nilai median rentang temperatur

jika memakai MSExcel, gunakan fungsi=FREQUENCY(…,…) control+shift+enter


Histogram Frekuensi


13

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

28 - 29 29 - 30 30 - 31 31 - 32 32 - 33 33 - 34 34 - 35

Frek

uens

i rel

atif

Temperatur [°C]


Histogram Frekuensi


14

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

28 - 29 29 - 30 30 - 31 31 - 32 32 - 33 33 - 34 34 - 35

Frek

uens

i rel

atif

Temperatur [°C]


Pengamatan vs Teoretik


15

q Ekspektasi frek. relatif (frek. relatif teoretis menurut distribusi normal)q klas ke-2: temperatur 29 – 30°C

fT t = 29.5( ) = 2πsT2( )

29

30

∫−1 2

e−1 2 t−T( )2 sT2

dt = 2× π×1.42( )29

30

∫−1 2

e−1 2 t−32.1( )2 1.42

dt

= FT 30( )− FT 29( ) = FZ

30−31.51.4

%

&'

(

)*− FZ

29−31.51.4

%

&'

(

)*

= FZ −1.0714( )− FZ −1.7857( )= 0.1420−0.0371

= 0.1049

frek. relatif(dist. normal)

baca di tabel distribusi normal standar


Frekuensi Teoretik (Distribusi Normal)


16

Temperatur [°C] z FZ(z) frek rel

28 − 29 28.5 -2.5000 − -1.7857 0.0062 − 0.0371 0.0309

29 − 30 29.5 -1.7857 − -1.0714 0.0371 − 0.1420 0.1049

30 − 31 30.5 -1.0714 − -0.3571 0.1420 − 0.3605 0.2185

31 − 32 31.5 -0.3571 − 0.3571 0.3605 − 0.6395 0.2790

32 − 33 32.5 0.3571 − 1.0714 0.6395 − 0.8580 0.2185

33 − 34 33.5 1.0714 − 1.7857 0.8580 − 0.9629 0.1049

34 − 35 34.5 1.7857 − 2.5000 0.9629 − 0.9938 0.0309




17

q Cara lain untuk memperkirakan frekuensi relatif dalam suatu interval klas

fT ti( ) = Δti ⋅ pT ti( )

pT ti( ) = pZ zi( ) dzdt

=pZ zi( )

sT




18

q Cara lain (lanjutan…)

i = 2 :

Δti =1°C

ti = 29.5⇒ zi =29.5−31.5

1.4= −1.4286

pZ zi( ) = pZ −1.4286( ) = 0.1480

pT ti( ) =pZ zi( )

sT

=0.1480

1.4

$

%&

'

() = 0.1027

fT ti( ) = sT pT ti( ) =1×0.1027 = 0.1027

baca di tabel distribusi normal standar

frek. relatif teoretis (distribusi normal)


Frekuensi Teoretik (Distribusi Normal)


19

Temperatur [°C] z pz(z) pT(t) frek rel

28 − 29 28.5 -2.1429 0.0402 0.0287 0.0287

29 − 30 29.5 -1.4286 0.1438 0.1027 0.1027

30 − 31 30.5 -0.7143 0.3091 0.2208 0.2208

31 − 32 31.5 0.0000 0.3989 0.2850 0.2850

32 − 33 32.5 0.7143 0.3091 0.2208 0.2208

33 − 34 33.5 1.4286 0.1438 0.1027 0.1027

34 − 35 34.5 2.1429 0.0402 0.0287 0.0287


Kurva Pengamatan vs Kurva PDF Teoretis


20

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

28 - 29 29 - 30 30 - 31 31 - 32 32 - 33 33 - 34 34 - 35

Frek

uens

i rel

atif

Temperatur [°C]

PDF Distribusi Normal

Kurva data


Frekuensi Kumulatif Pengamatan vs Teoretis


21

Temperatur [°C]Pengamatan DistribusiNormal

frek rel frek rel kum frek rel frek rel kum

28 − 29 28.5 0.025 0.025 0.0287 0.0287

29 − 30 29.5 0.125 0.15 0.1027 0.1314

30 − 31 30.5 0.225 0.375 0.2208 0.3522

31 − 32 31.5 0.3 0.675 0.2850 0.6372

32 − 33 32.5 0.2 0.875 0.2208 0.8580

33 − 34 33.5 0.1 0.975 0.1027 0.9607

34 − 35 34.5 0.025 1 0.0287 0.9894


Kurva Pengamatan vs Kurva CDF Teoretis


22

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

28 - 29 29 - 30 30 - 31 31 - 32 32 - 33 33 - 34 34 - 35

Frek

uens

i rel

atif

kum

ulat

if

Temperatur [°C]

CDF Distribusi Normal


Kurva CDF pada Kertas Khusus


23

q Kurva CDFq Berupa garis lengkung.q Ada satu cara tertentu yang memungkinkan kurva CDF berupa garis lurus, yaitu dengan

melakukan transformasi koordinat.n Ordinat: magnitud data.

n Skala biasa.

n Absis: probabilitas, PX(x) atau kadang dituliskan pula dengan notasi prob(X < x).n Skala dibuat sedemikian hingga kurva CDF distribusi normal berupa garis lurus.

q Pada tempo doeloe, kertas grafik seperti di atas dibuat dulu à priori sebelum pemplotan data.n Kertas grafik seperti itu dikenal dengan nama kertas probabilitas.n Pemplotan (penggambaran) data dilakukan pada kertas probabilitas tersebut.

q Pada saat ini, langkah automatisasi dengan program aplikasi komputer dapat dilakukan sehingga kertas probabilitas dibuat bersama-sama dengan pemplotan data.

http://istiarto.staff.ugm.ac.id 24-Nov-17Analisis Frekuensi24

Kert

as p

roba

bilit

as d

istrib

usi n

orm

alU

ntuk

mem

plot

kan

data

pen

gam

atan

dan

kur

va C

DF

teor

etis

Dap

at d

iund

uh d

ari h

ttp:/

/ist

iart

o.st

aff.u

gm.a

c.id

/

absis adalah probabilitas, prob(X < x) atau PX(x) à frekuensi relatif kumulatifskala dibuat sedemikian hingga CDF berupa garis lurus

ordinat adalah magnitud data (skalar)

prob(X > x) atau 1 − PX(x)


Plot Data pada Kertas Probabilitas


25

q Data temperatur udara harian maksimum diplotkan pada kertas probabilitas.q Urutkan data dari kecil ke besar, m = 1, 2, …, n

m adalah nomor urut data, n adalah jumlah data.

q Posisi titik data pada kertas probabilitas adalah:n absis: m/(n+1),

n ordinat: magnitud data.

q Cara penempatan titik data tersebut adalah cara Weibul. Ada beberapa cara yang lain, yang akan dikenalkan pada kuliah Hidrologi.


Temperatur Udara Harian Maksimum (Data Urut)


26

mm/(n+1)

[%]Temperatur

[°C]m

m/(n+1)[%]

Temperatur[°C]

mm/(n+1)

[%]Temperatur

[°C]m

m/(n+1)[%]

Temperatur[°C]

1 2.44 29.0 11 26.83 30.4 21 51.22 31.5 31 75.61 32.6

2 4.88 29.1 12 29.27 30.7 22 53.66 31.8 32 78.05 32.7

3 7.32 29.6 13 31.71 30.7 23 56.10 31.8 33 80.49 32.7

4 9.76 29.7 14 34.15 30.7 24 58.54 31.9 34 82.93 32.8

5 12.20 29.9 15 36.59 30.7 25 60.98 31.9 35 85.37 32.9

6 14.63 30.0 16 39.02 31.1 26 63.41 31.9 36 87.80 33.8

7 17.07 30.1 17 41.46 31.1 27 65.85 32.0 37 90.24 33.8

8 19.51 30.2 18 43.90 31.4 28 68.29 32.1 38 92.68 33.9

9 21.95 30.3 19 46.34 31.4 29 70.73 32.3 39 95.12 33.9

10 24.39 30.4 20 48.78 31.5 30 73.17 32.4 40 97.56 34.1




27

q Data temperatur udara harian maksimum adalah time series data, data runtut waktu.

q Memperhatikan prosedur pemplotan data temperatur udara harian maksimum, yaitu data diurutkan, maka:q diartikan bahwa data adalah seri data independent sehingga urut data terhadap

waktu boleh tidak diperhatikan,q data diurutkan dari kecil ke besar dan percentile rank setiap titik data dianggap

merupakan nilai pendekatan probabilitas, prob(T < t).

q Arti notasi prob(T < t) = aq probabilitas temperatur udara kurang daripada t°C adalah aq contoh: prob(T < 32°C) = 0.64

http://istiarto.staff.ugm.ac.id 24-Kas-17Analisis Frekuensi28




29

q Kurva CDF distribusi normal (kurva cdf teoretis)q Dapat dengan mudah digambarkan pada kertas probabilitas

q Langkahn Tetapkan dua titik data, misal pada temperatur 29°C dan 34°C

n Hitung prob(T < 29°C) dan prob(T < 34°C) dengan menggunakan tabel distribusi normal standar

n Tarik garis lurus yang melewati titik (3.71%,29°C) dan (96.29%,34°C)

PT 29( ) = PZ

29−31.51.4

"

#$

%

&' = PZ −1.7857( ) = 0.0371= 3.71%

PT 34( ) = PZ

34−31.51.4

"

#$

%

&' = PZ 1.7857( ) = 0.9629 = 96.29%



Uji Kesesuaian Sebaran Data terhadap Distribusi Normal


31

q Dengan mencermati plot data temperatur dan garis CDF distribusi normal, tampak bahwa sebaran data temperatur tersebut mendekati CDF distribusi normal.q Artinya, data temperatur udara harian maksimum tahunan tersebut berdistribusi

normal.q Kesesuaian antara sebaran data dengan CDF distribusi normal perlu diuji

q Dikenal dengan istilah best fit test.q Jenis uji, yang lazim dilakukan di bidang hidrologi, adalah uji Smirnov-Kolmogorov

dan uji chi-kuadrat.q Kedua jenis cara menguji kesesuaian tersebut akan dibahas pada kuliah Hidrologi.q Pada kuliah Hidrologi, akan dikenalkan pula beberapa jenis distribusi teoretis selain

distribusi normal.


Tugas/PR


32

q Rapikan hitungan dan plot data temperatur udara harian maksimum tahunan tersebut.

q Unduh data debit aliran dari weblog saya dan lakukan analisis frekuensi dengan langkah kerja seperti yang telah dibahas pada kuliah ini.q http://istiarto.staff.ugm.ac.id/index.php/kuliah/kuliah-sarjana-s1/statistika-dan-

probabilitas/q Nama fail: Data debit puncak Sungai XYZ.xlsx

q Tugas/PR dikumpulkan di ruang saya atau di Sekretariat MTPBA.q Saran

q Selain menghitung dan menyajikan data, berilah deskripsi tentang data dan interpretasi Saudara tentang data tersebut.


Debit Puncak Tahunan Sungai XYZ


33

Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s)1 473 12 470 23 1110 34 687 45 843 56 8712 544 13 663 24 717 35 801 46 450 57 7053 872 14 809 25 961 36 323 47 284 58 7774 657 15 800 26 925 37 431 48 460 59 4425 915 16 523 27 341 38 770 49 804 60 2066 535 17 580 28 690 39 536 50 550 61 8507 678 18 672 29 734 40 708 51 729 62 8298 700 19 115 30 991 41 894 52 712 63 8879 669 20 461 31 792 42 626 53 468 64 602

10 347 21 524 32 626 43 1120 54 841 65 40311 580 22 943 33 937 44 440 55 613 66 505

Data debit di atas berasal dari data debit rerata harian selama 66 tahun, yang kemudian dicuplik nilai maksimum pada setiap tahun.


Debit Puncak Tahunan Sungai XYZ


34

0

200

400

600

800

1000

1200

0 10 20 30 40 50 60 70

Deb

it [m

3 /s]

Tahun ke-


Documents

SDP10a Analisis Frekuensi