RQF-Agostol/2004Realce no Domínio da Freqüência1 “O homem que fala dois idiomas vale por dois” - Ditado Popular

RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência 1

“O homem que fala dois idiomas vale por dois” - Ditado Popular


Jean Baptiste Joseph Fourier

1768 Auxerre, França

1807 1822

On the Propagation of Heat in Solid Bodies

(Série de Fourier)

1830 Paris


Transformada de Fourier Contínua

• Define-se a correspondente Transformada Inversa de Fourier como:

duF(u)exfuF uxj2

π1

• A Transformada de Fourier de uma função contínua de uma variável f(x) em R é definida por :

1onde,π

jdxf(x)euFxf uxj2

uFxf

vuFyxf ,, • A Transformada de Fourier de uma função contínua de duas variáveis f(x,y) em R2 é definida por :

dydxy)ef(xvuFyxf vyuxj2

π,,,

• Define-se a a correspondente Transformada Inversa de Fourier como:

dvduevuFyxfvuF vyuxj2

π1 ,,,


Analogia entre Transformada de Fourier e um Prisma

f(x)

F(0)F(1)

F(M-1)

Transformada de Fourier


Transformada de Fourier Discreta (DFT) de Uma Variável

• Define-se a correspondente DFT Inversa como:

1

0

/πM

u

Muxj2F(u)exf

• A DFT F(u) de uma função discreta de uma variável f(x), x=0, 1, 2, ... M-1 em R é dada pela equação :

MuexfM

uFM

x

Muxj ,...,2,1,0para,1 1

0

/2

• O conceito de Domínio da Freqüência decorre da fórmula de Euler:

sencos je j

• Substituindo na primeira equação obtém-se:

1...,,2,1,0para,/πsen/πcos1 1

0

MuMux2jMux2f(x)M

uFM

x

domínio dafreqüência

componenteem freqüência


Transformada de Fourier em Uma Dimensão

• f(x) será neste curso sempre uma função real. • F(u) é em geral uma função complexa.

ujIuRuF )(

ujeuFuF

uIuRuFuP 222)(

• Espectro de Potência de f(x)

uR

uIu 1tan 2/122 uIuRuF

Válido para as transformadas Contínuas e Discretas


f(x)

M amostras

f(x 0)

f(x 0+

Δx)

f(x 0+

2Δx)

f(x 0+

[M-1

]Δx)

. . .

f(0)

f(1)

f(2)

f(M

-1)

AK/M

M amostras

|F(u)|

Transformada de Fourier Discreta (DFT) de Uma Variável

AK/M

M amostras

|F(u)|

Δx

• f(x) para x=0,1,2,..., M representam M amostras igualmente espaçadas da correspondente função contínua

• x0 é o primeiro ponto da seqüência e a primeira amostra é, portanto, f (x0)

• a próxima amostra é tomada Δx unidades adiante, isto é, f (x0+ Δx)

• a k-ésima amostra é, f (x0+ kΔx), e a última f (x0+ [M-1]Δx),

• análogo para F(u), sendo que u0 é necessariamente igual a 0 (zero)

Δu

. . .|F(1

)|

|F(2

)|

|F(0)|

• para tornar independente da resolução faz-se f (k) = f(x0+ kΔx)

∆u = 1 M ∆x


Transformada de Fourier Discreta Bidimensional

•As transformadas direta e inversa discreta em duas dimensões ficam:

1

0

1

0

//π),(1

,M

x

N

y

NvyMuxj2eyxfMN

vuF

para u=0, 1, 2,...,M-1, v=0, 1, 2,...,N-1, e

1

0

1

0

πM

u

N

v

N/vyM/uxj2ev,uFy,xf

f(x,y) representa as amostras da função f(x0+xx,y0+yy) , para . x=0, 1, 2,...,M-1, e y=0, 1, 2,...,N-1.

Aplica-se o mesmo a F(u,v).

Os incrementos nas amostras em ambos os domínios estão relacionados por:

xM

1u

ΔΔ

yN

1v

ΔΔ e


Transformada de Fourier Discreta Bidimensional

• f(x,y) será neste curso sempre uma função real de dimensão 2, tipicamente uma imagem.

• F(u,v) é em geral uma função complexa.

vujIvuRvuF ,,),(

vujevuFvuF ,,,

vuIvuRvuFvuP ,,,),( 222

• Espectro de Potência de f(x)

vuR

vuIvu

,

,tan, 1 2/122 ,,, vuIvuRvuF


Exemplo de Senos e Cossenos em Duas Dimensões

cos[2(0,y)] cos[2 (x,0)] sen[2 (0,y)]

cos[2 (3x,4y)] sen[2 (5x,2y)] cos[2 (3x,-5y)] sen[2 (-3x,6y)]

sen[2 (x,0)]

As figuras abaixo estão normalizada de modo a se ajustarem ao intervalo [0:1]


Propriedade da Periodicidade e Simetria do Conjugado

vuFNvMuFvuF ,,, * vuFvuF ,,

Exemplo:


Propriedade da Translação

vuu,vF/Ny,/Mxf

122 1

2/2/1 N,vMuFx,yf yx e

Exemplo:

Imagem Original Transformada sem deslocamento

origem origem

Transformada com origem no centro

da matriz


Propriedade da Rotação

senωvcosωusenθrycosθrx •Introduzindo coordenadas polares

f(x,y) e F(u,v) se tornam f(r,) e F(, )

00 ,, θFθθrf

Imagem original

Imagem rotacionada

Espectro

Espectro resultante

Exemplo:


Propriedades da Distributividade, Escala, Similaridade, Valor Médio

yxfyxfyxfyxf ,,,, 2121 •Distributividade:

•Escala: vuaFyxaf ,,

•Similaridade: bvauFab

byaxf /,/1

,

•Valor Médio: 0,01

, FN

yxf

yxfyxfyxfyxf ,,,, 2121

depende da implementação


Visualização da Transformada em 2D

• A transformada de Fourier Discreta bidimensional é freqüentemente visualizada como uma função de intensidade. Para facilitar a visualização, ao invés de se apresentar |F(u,v)|, o que se apresenta é a função:

),(1log),( vuFcvuD

onde c é uma constante arbitrária.

Exemplo

|F(u,v)| D(u,v)


transformada

Filtragem em Freqüência – relações espaço × freqüência

Características:• bordas a ±45º • duas incrustações de óxido

imagem microscópica de um circuito integrado

imagem


Filtragem no Domínio da Freqüência - procedimento

Transformada

de Fourier ×Transformada

Inversa de Fourier

f(x,y) g(x,y)

H(u,v)

G(u,v)F(u,v)

domínio dafreqüência

(3)parte real (4)

(1)

(2)

domínio do espaço


Filtros Básicos: “Notch”

contráriocaso

0,0,se

1

0,

vuvuH


Filtros Básicos: Passa-Baixas

Filtros Passa-Baixas (FPB) “borram” a imagem

Função de Transferência Imagem produzida por FPB


Filtros Básicos: Passa-Altas

Filtros Passa-Baixas (FPA) realçam detalhes da imagem.

Função de Transferência Imagem produzida por FPA


f(, ):h(-,-)

x

y

f(, ):h(-,-)

x

y

f(, ):h(-,-)

x

y

f(,):h(-,-)

Filtragem Espacial – Convolução - Correlação

f(,)

h(-,-)

A convolução entre duas funções f(x,y) e h(x,y) de dimensões M×N é definida por

•Exemplo:

1

0

1

0

),(),(1

),(),(M

m

N

n

nymxhnmfMN

yxhyxf


Comparação

1

0

M

m

mxwmfxwxf

1

0

M

m

mxwmfxwxf

2/)1(

2/)1(

M

Mm

mxwmfxg

3 2 1 0 0

0 0 1 0 0

0 0 1 2 3

1 2 3

0 0 0 00 0 1 0 0

0 3 2 1 0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6x

f (0)=0; f (1)=0; f (2)=1; f (3)=0; f (4)=0

w(0)=1; w(1)=2; w(2)=3

f (0)=0; f (1)=0; f (2)=1; f (3)=0; f (4)=0

w(0)=1; w(1)=2; w(2)=3

f (0)=0; f (1)=0; f (2)=1; f (3)=0; f (4)=0

w(-1)=1; w(0)=2; w(1)=3

Correlação Convolução Filtragem Digital

a ordem não importa!a ordem importa!eqüivale a tomar o simétrico de w e fazer a convolução.

a ordem importa!eqüivale a deslocar w e fazer a correlação, oua tomar o simétrico de w, deslocar e fazer a correlação.

3 2 1

0 0 1 0 0

1 2 3

0 0 0 0


Filtragem nos Dois Domínios - Teorema da Convolução

vuHvuFyxhyxf

vuHvuFyxhyxf

,,,,

,,,,

),(, vuFyxf

),(, vuHyxh

Sejam F(u,v) a transformada de Fourier de f(x,y), isto é,

e H(u,v) a transformada de Fourier de h(x,y), isto é,

então vale a relação

O símbolo indica que a expressão do lado esquerdo pode ser obtida pela transforma inversa de Fourier da expressão do lado direito, e vice-versa.

A Função de Transferência H(u,v) usada na filtragem no domínio da freqüência é (quase) a transformada de Fourier da máscara h(x,y) usada nos filtros lineares espaciais.


Mais sobre Periodicidade

O que se assume quanto aos valores de f(x+y) fora do intervalo coberto pelas MN amostras disponíveis? Da definição da transformada inversa

decorre

analogamente conclui-se que:

1

0

1

0

//π,,M

u

N

v

NvyMuxj2evuFyxf

yxfeevuF

evuFyMxf

M

u

N

v

j2NvyMMxuj2

M

u

N

v

NvyMMxuj2

,,

,,

1

0

1

0

πu//π

1

0

1

0

//π

NyMxfNyxfyMxfyxf ,,,,

NvMuFNvuFvMuFvuF ,,,,

A DFT assume implicitamente que f (x,y) é periódica, com período M e N.

=1, pois uZ



x

m x

h (-m) f (m)*h (m)

f (m)

m m

h (m)

A convolução:



m

h (-m)

m

h (m)

x

f (m)*h (m)

f (m)

m

x

A convolução considerando a periodicidade implícita na DFT:

wraparound error



x

m

h (-m)

m

h (m)f (m)

m

x

f (m)*h (m)

Para contornar o problema acrescentam-se zeros (zero padding)


“Zero padding” em 2 D

• Para que o teorema da convolução seja válido, as funções no espaço devem ter zeros “apendados” convenientemente.• Consideram-se f(x,y) e h(x,y) matrizes de dimensões AB e CD respectivamente. As funções discretas são estendidas:

110

1010,,

,110

1010,,

NyDouMxC

DyeCxyxhyxh

eNyBouMxA

ByeAxyxfyxf

e

e

• No MATLAB: [A B]=size(f);[C

D]=size(h);

fe=zeros(A+C-1,B+D-1);

he=fe;

fe(1:A,1:B)=f;

he(1:C,1:D)=h;

onde M ≥ A+ C -1 e N ≥ B+ D -1


Correspondência Entre a Filtragem nos Dois Domínios exemplo de “zero padding”

A

A

B

B

D

C

imagem f(x,y)

máscara h(x,y)

imagem filtradano espaço g(x,y)

máscara estendida he (x,y)

imagem filtrada na freqüência g(x,y) (miolo)

B

imagem estendida fe(x,y)

D-1 D

C

B-1

A-1

A

C-1

A

B


Filtragem no Domínio da Freqüência – procedimento completo

Transformada

de Fourier ×Transformada

Inversa de Fourier

f(x,y) g(x,y)

H(u,v)

G(u,v)F(u,v)

“ zero padding ”

“ zero unpadding”


Filtros de Passa-Baixa Ideal (FPBI)

2

122),(onde,

,se

,se

0

1, vuvuD

DvuD

DvuDvuH

o

o


Filtros de Passa-Baixa Ideal (FPBI) - Exemplo

imagem 500×500 pixels Saída FPBI raio=5 Saída FPBI raio=15

Saída FPBI raio=30 Saída FPBI raio=80 Saída FPBI raio=230


Filtros de Passa-Baixa de Butterworth(FPBB)

nDvuD

vuH 20/,1

1,

grau do filtro

freqüência de corte


Filtros de Passa-Baixa de Butterworth(FPBB) - Exemplo

imagem 500×500 pixels Saída FPBB raio=5 Saída FPBB raio=15

Saída FPBB raio=30 Saída FPBB raio=80 Saída FPBB raio=230


Filtros de Passa-Baixa Gaussiano(FPBG)

20

2

2

2

2,

2,

, DvuDvuD

eevuH

abertura do filtro


Filtros de Passa-Baixa Gaussiano (FPBG) - Exemplo

imagem 500×500 pixels Saída FPBG raio=5 Saída FPBG raio=15

Saída FPBG raio=30 Saída FPBG raio=80 Saída FPBG raio=230


Filtros de Passa-Alta

Hfpai=1-Hfpbi

Hfpab=1-Hfpbb

Hfpag=1-Hfpbg


Filtros de Passa-Alta - Exemplos

D0 = 15 D0 = 30 D0 = 80

Passa-alta Ideal

Passa-alta Butterworth

Passa-alta Gaussiano


Unsharp Masking, High Bosst e Ênfase de Altas Freqüências

Unsharp Masking : Subtrai da imagem parte da saída de um filtro de suavização (passa-baixa)

fum(x,y) = f(x,y) – B fpb(x,y) Hum(u,v) = 1 – B Hpb(u,v)

High Boost: Acrescenta à imagem parte da saída de um filtro de nitidez (passa-alta)

fhb(x,y) = f(x,y) + B fpa(x,y) Hhb(u,v) = 1 + A Hpa(u,v)

Ênfase de Altas Freqüências: Combina a imagem com a saída de um filtro de nitidez (passa-alta)

faf(x,y) = a f(x,y) + b fpa(x,y) Haf(u,v) = a + b Hpa(u,v)


Filtro de Ênfase de Altas Freqüências - Exemplo

imagem de Raio-X saída de um FPAB

saída de um filtro de ênfase de altas freqüências

após equalização de histograma


Filtros Rejeita-Faixa

2/),(se

2/),(2/se

2/),(se

1

0

1

,

0

00

0

WDvuD

WDvuDWD

WDvuD

vuH

Ideal

Butterworth

Gaussiano

220

2

),(

),(

2

1

1),(

WvuD

DvuD

evuH

n

DvuDWvuD

vuH 2

20

2 ),(),(

1

1),(


Filtros Rejeita-Faixa - Exemplo

imagem com ruído senoidal espectro da imagem

filtro rejeita-faixa de Butterworth resultado da filtragem


Filtros Notch

contráriocaso

),(ou),(

1

0, 0201 DvuDDvuDvuH

Ideal

Butterworth

Gaussiano

21

0022

1

001 )()(),(e)()(),( vvuuvuDvvuuvuD Sendo

20

21 ),(),(

2

1

1),( D

vuDvuD

evuH

n

vuDvuDD

vuH

),(),(1

1),(

21

20


Exemplo de Filtragem em Freqüência no MATLAB

%---------------------------------------% Procedimento de Filtragem%---------------------------------------% Carrega a imagem, seja lá de onde forload imdemosf=im2double(flower);[M,N]=size(f);% Cria as matrizes contendo as coordenadas u e v nas mesmas dimensões da imagem [u,v]=freqspace( [2*M 2*N],'meshgrid');

% Define os parâmetros do filtro, no caso, de Batterworth rejeita-faixaW= 0.1; n=1; D0=.7;

%---------------------------------------% Construção da Função de Transferencia%---------------------------------------% Cria uma matriz que contem o D(u,v)D=sqrt(u.^2 +v.^2);

% Monta a função de transferenciaH=1./(1+((D*W)./(D.^2-D0.^2)).^(2*n));

%---------------------------------------% Filtragem no Domínio da Freqüência%---------------------------------------H=fftshift(H); % coloca a origem no canto superior esquerdo de HF=fft2(f,[2*M 2*N]); % Calcula a transformada da imagem de saída apendando zerosG=H.*F; % Filtragem no domínio da freqüênciag=real(ifft2(G)); % Parte real da transformada inversag=g(1:M,1:N); % Recorta a área correspondente a imagem original%---------------------------------------


Exemplo de Filtragem em Freqüência no MATLAB - Visualização

%---------------------------------------% Visualizacao%---------------------------------------figure(1) % Abre nova janelasurfl(fftshift(H)); % Visualiza Função de Transferência em 3Dshading interp; %colormap copper %

figure(2) % Abre nova janela subplot(2,2,1);imshow(f);title('Imagem de Entrada') % Visualiza a Imagem de Entradasubplot(2,2,2); imshow(real(g)); title('Imagem Filtrada') % Visualiza a Imagem de Saída

% Prepara a Visualizacao da Transformada da Imagem de EntradaFaux=log(1+(abs(F)));Faux=Faux-min(Faux(:));Faux=Faux./max(Faux(:));subplot(2,2,3); imshow(fftshift(Faux)); title('Transformada da Imagem de Entrada') % Visualiza Transformada da Imagem de Entrada

% Prepara a Visualizacao da Transformada da Imagem FiltradaGaux=log(1+(abs(G)));Gaux=Gaux-min(Gaux(:));Gaux=Gaux./max(Gaux(:));subplot(2,2,4); imshow(fftshift(Gaux)); title('Transformada da Imagem Filtrada') % Visualiza Transformada da Imagem de Entrada%---------------------------------------


Realce de Imagens Coloridas

Converte-se a imagem de RGB para HSI, opera-se sobre uma das componentes, como para tons de cinza, e converte-se de volta para RGB.

• Em geral sobre a componente INTENSIDADE; exemplo :

Highboost

• Cores mais “vivas” obtém-se multiplicando a SATURAÇÃO por um fator >1; exemplo:

S= 2 S

• Somar (subtrair) uma constante ao MATIZ “esquenta” (“esfria”) a imagem. Se a constante for elevada, pode haver alteração significativa na aparência da imagem.

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