Roberto De Pietri- Spin Networks and Recoupling in Loop Quantum Gravity

8/3/2019 Roberto De Pietri- Spin Networks and Recoupling in Loop Quantum Gravity

1/8

U P R F 9 7 - 0 1

J a n u a r y 1 9 9 7

S p i n N e t w o r k s a n d R e c o u p l i n g i n L o o p

Q u a n t u m G r a v i t y

1 ; 2

R o b e r t o D e P i e t r i

D i p a r t i m e n t o d i F i s i c a ,

U n i v e r s i t a d e g l i s t u d i d i P a r m a

a n d

I N F N , G r u p p o C o l l e g a t o d i P a r m a ,

I T A L Y .

A b s t r a c t

I d i s c u s s t h e r o l e p l a y e d b y t h e s p i n - n e t w o r k b a s i s a n d r e c o u p l i n g

t h e o r y ( i n i t s g r a p h i c a l t a n g l e - t h e o r e t i c f o r m u l a t i o n ) a n d t h e i r

u s e f o r p e r f o r m i n g e x p l i c i t c a l c u l a t i o n s i n l o o p q u a n t u m g r a v i t y .

I n p a r t i c u l a r , I s h o w t h a t r e c o u p l i n g t h e o r y a l l o w s t h e d e r i v a t i o n

o f e x p l i c i t e x p r e s s i o n s f o r t h e e i n g e n v a l u e s o f t h e q u a n t u m v o l u m e

o p e r a t o r . A n i m p o r t a n t s i d e r e s u l t o f t h e s e c o m p u t a t i o n s i s t h e

d e t e r m i n a t i o n o f a s c a l a r p r o d u c t w i t h r e s p e c t t o w h i c h a r e a a n d

v o l u m e o p e r a t o r s a r e s y m m e t r i c , a n d t h e s p i n n e t w o r k s t a t e s a r e

o r t h o n o r m a l .

1

T o a p p e a r i n t h e P r o c e e d i n g s o f t h e 2 n d C o n f e r e n c e o n C o n s t r a i n e d D y n a m i c s a n d

Q u a n t u m G r a v i t y , S a n t a M a r g h e r i t a , I t a l y , 1 7 - 2 1 S e p t e m b e r 1 9 9 6 .

2

T h i s w o r k h a s b e e n p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y t h e I N F N g r a n t \ I n i z i a t i v a s p e c i c a F I - 4 1 "

( I t a l y ) .


2/8

1 I n t r o d u c t i o n

A p r o m i s i n g a t t e m p t t o w a r d s a q u a n t u m t h e o r y o f g r a v i t a t i o n i s p r o v i d e d

b y t h e l o o p q u a n t i z a t i o n 1 ] . I t a m o u n t s t o t h e d i r e c t c a n o n i c a l q u a n t i z a t i o n

o f t h e ( P o i s s o n b r a c k e t ) h o l o n o m y a l g e b r a g e n e r a t e d b y :

T ] =

?T r U

] ; ( 1 )

T

a

] ( s ) = ? T r U

( s ; s )

~

E

a

( s ) ] ; ( 2 )

w h e r e U

i s t h e p a r a l l e l p r o p a g a t o r o f t h e A s h t e k a r - S e n c o n n e c t i o n A

a

a l o n g

a l o o p . T h e c r u c i a l p o i n t i s t h a t t o e a c h l o o p i s u n i q u e l y a s s o c i a t e d

a

To b s e r v a b l e . T h i s s u g g e s t s t o u s e a s c a r r i e r s p a c e o f t h e r e p r e s e n t a t i o n

a s u i t a b l e s u b s p a c e

Vo f t h e f r e e l o o p a l g e b r a d e n e d a s t h e n i t e l i n e a r

c o m b i n a t i o n s o f n i t e p r o d u c t s o f l o o p s , a s i n :

= c

0

+

X

i

c

i

i

] +

X

j k

c

j k

j

]

k

] + : : : : ( 3 )

I n t h i s t a l k I s h a l l s u m m a r i z e t h e r e s u l t s o b t a i n e d i n 5 ] ; i n p a r t i c u l a r , I

s h a l l s h o w t h a t t h e V - s p a c e a d m i t s a t a n g l e - t h e o r e t i c d e s c r i p t i o n i n t e r m s o f

t h e T e m p e r l e y - L i e b r e c o u p l i n g t h e o r y 6 ] , a n d t h a t a c o n v e n i e n t b a s i s i n t h i s

s p a c e i s g i v e n b y t h e s p i n - n e t w o r k s t a t e s .

I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t a n e l e m e n t o f t h e T h o l o n o m y a l g e b r a

T ] = c

0

+

X

i

c

i

T

i

] +

X

i j

c

i j

T

i

] T

j

] + : : :

i s a s s o c i a t e d t o e a c h e l e m e n t o f t h e f r e e l o o p a l g e b r a , a n d t h a t t h e c o n n e c -

t i o n r e p r e s e n t a t i o n i s d e n e d b y i n t r o d u c i n g a n H i l b e r t s p a c e s t r u c t u r e o n

a s u i t a b l e e x t e n s i o n s A = G o f t h i s T a l g e b r a 2 ] . T h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e

t w o r e p r e s e n t a t i o n s i s g i v e n b y t h e l o o p t r a n s f o r m 3 ] . F o r a m o r e d e t a i l e d

a n a l y s i s o f t h i s p o i n t s e e 4 ] .

2 T h e C a r r i e r S p a c e o f t h e L o o p R e p r e s e n -

t a t i o n a n d t h e S p i n - N e t w o r k s B a s i s

T h e l o o p r e p r e s e n t a t i o n o f q u a n t u m g r a v i t y i s a s s u m e d t o b e t h e l i n e a r r e p -

r e s e n t a t i o n o f t h e P o i s s o n a l g e b r a o f t h e T v a r i a b l e s o v e r V d e n e d b y :

h j T ] = h ] j . I t m a y h a p p e n t h a t t w o e l e m e n t s a n d o f t h e

f r e e l o o p a l g e b r a c o r r e s p o n d t o t h e s a m e f u n c t i o n o n t h e h o l o n o m y a l g e b r a

T ] = T ] ( i . e . , t h e y g i v e t h e s a m e v a l u e f o r a n y v a l u e s o f t h e c o n n e c t i o n ) .

A s a c o n s e q u e n c e , t h e c a r r i e r s p a c e V o f t h e r e p r e s e n t a t i o n m u s t b e d e n e d

1


3/8

a s t h e s p a c e o f t h e e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f t h e f r e e l o o p a l g e b r a u n d e r t h e

e q u i v a l e n c e d e n e d b y a l l t h e r e l a t i o n s ( M a n d e l s t a m r e l a t i o n s )

i f T ] = T ] ; ( 4 )

n a m e l y b y t h e e q u a l i t y o f t h e c o r r e s p o n d i n g h o l o n o m i e s . T h e p r i n c i p a l c o n -

s e q u e n c e s o f t h e M a n d e l s t a m r e l a t i o n s a r e t h a t t h e V - s p a c e d o e s n o t d e p e n d

o n t h e o r i e n t a t i o n a n d p a r a m e t e r i z a t i o n o f t h e l o o p s . M o r e o v e r , t h e f o l l o w -

i n g i d e n t i t i e s h o l d t r u e : R e t r a c i n g ] : i f i s a s e g m e n t s t a r t i n g i n a p o i n t o f

t h e n

? 1

] ] ; B i n o r i d e n t i t y ] : ] ] ? #

s

] ? #

s

? 1

] .

A c c o r d i n g t o 5 ] , a n a t u r a l w a y t o r e p r e s e n t a n e l e m e n t o f V i s t h e

f o l l o w i n g : r s t , o n e i n t r o d u c e s t h e e x t e n d e d p l a n a r g r a p h ?

e x

o f a s t h e

t w o - d i m e n s i o n a l s u r f a c e o b t a i n e d b y \ t h i c k e n i n g o u t " a p l a n a r r e p r e s e n t a t i o n

o f t h e i m a g e o f a l l t h e l o o p i n ; t h e n , o n e d r a w s t h e l o o p s o f o v e r ?

e x

.

I n t h i s w a y , t o e a c h e l e m e n t o f t h e

V- s p a c e c o r r e s p o n d s a n e l e m e n t i n t h e

a l g e b r a o f a l l p o s s i b l e t a n g l e s o v e r ?

e x

. M o r e o v e r , i n t h e t a n g l e - t h e o r e t i c

p l a n a r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s t a t e s h j , t h e r e t r a c i n g a n d b i n o r i d e n t i t i e s

b e c o m e t h e f o l l o w i n g t a n g l e i d e n t i t i e s

= ? 2 ( 5 )

J

J

= ? ?

: ( 6 )

T h e s e i d e n t i t i e s a r e t h e k e y a x i o m s o f t h e t a n g l e - t h e o r e t i c r e c o u p l i n g t h e o r y

6 ] , i f t h e v a l u e o f t h e A p a r a m e t e r s e t t o ? 1 . T h i s g i v e s t h e p o s s i b i l i t y o f

u s i n g t h e w h o l e m a c h i n e r y o f t h e t a n g l e - t h e o r e t i c r e c o u p l i n g t h e o r y 6 ] f o r

d e a l i n g w i t h t h e g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s t a t e s . I n p a r t i c u l a r , a b a s i s

i n t h i s t a n g l e - t h e o r e t i c a l g e b r a i s p r o v i d e d b y t h e s p i n - n e t w o r k s , w h e r e a

s p i n n e t w o r k S i s t h e s u m o f t a n g l e s g i v e n a s f o l l o w : c o n s i d e r a t h r e e - v a l e n t

\ v i r t u a l " g r a p h ?

v

o v e r ?

e x

a n d a \ c o m p a t i b l e c o l o r i n g " f p

e

g o f t h e e d g e s

o f ?

v

; r e p l a c e e a c h e d g e w i t h t h e f u l l - a n t i s y m m e t r i c s u m o f p

e

p a r a l l e l l i n e s ;

t h e n , i n e a c h t h r e e - v a l e n t v e r t i c e s c o n n e c t a l l t h e i n c o m i n g l i n e s i n t h e u n i q u e

p o s s i b l e p l a n a r w a y .

I n t h i s w a y , a n y e l e m e n t o f t h e V - s p a c e c a n b e c h a r a c t e r i z e d i n t e r m s o f

t h e t a n g l e - t h e o r e t i c s p i n n e t w o r k q u a n t u m s t a t e h S j = ( ; ?

e x

; S ) , d e -

n e d a s t h e e l e m e n t o f V d e t e r m i n e d b y t h e g r a p h , i t s e x t e n d e d p l a n a r

g r a p h ?

e x

, a n d t h e s p i n - n e t w o r k t a n g l e S o v e r ?

e x

. T h e s e s t a t e s a r e e s s e n -

t i a l l y c h a r a c t e r i z e d b y t h e g r a p h , t h e n u m b e r p

e

o f l o o p s i n e a c h e d g e e o f ,

a n d t h e r e c o u p l i n g ( i n t e r m s o f t h r e e - v a l e n t v e r t i c e s ) o f t h e e d g e s c o n n e c t e d

t o e a c h v e r t e x o f ( s e e g u r e 1 ) .

N o t e t h a t , r e p r e s e n t i n g a v e r t e x o f a s p i n n e t w o r k s t a t e h S j b y m e a n s o f

2


4/8

2

5

23

2 1

3

2

V1

5 2

2

2

V1

3

21

3

ex

2(2) (2)

F i g u r e 1 : A n e x a m p l e o f s p i n - n e t w o r k s t a t e a n d o f i t s e x t e n d e d p l a n a r r e p -

r e s e n t a t i o n

t h e p o r t i o n o f i t s s p i n - n e t w o r k S c o n t a i n e d i n t h e v e r t e x

D

V

( n )

P

0

; : : : ; P

n ? 1

] ( K

I

i

)

=

*

P

0

?

P

1

P

2

@

i

1

?

i

2

i

3

r

r

: : :

@i

n ? 2

i

n ? 1

r

r

P

n ? 3

?

P

n ? 2

P

n ? 1

@

; ( 7 )

a n d c o n s i d e r i n g t w o v e r t i c e s , V

n

a

1

; : : : ; a

n

] a n d V

0

n

b

1

; : : : ; b

n

] , t h e y c a n c o n -

n e c t e d o n l y i f a l l t h e c o r r e s p o n d i n g i n c o m i n g l i n e s h a v e t h e s a m e c o l o r s . I n

t h i s c a s e , i t i s p o s s i b l e t o a t t a c h t h e a

i

l i n e s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g b

i

l i n e s

t o e a c h o t h e r . T h e n , i t i s o b t a i n e d a t a n l e o v e r ?

e x

c o n s t i t u t e d o n l y o f l o o p s

c o n t r a c t i b l e t o a p o i n t . B y r e c o u p l i n g , a t a n g l e i n w h i c h a l l t h e l o o p s a r e

c o n t r a c t i b l e t o a p o i n t r e d u c e t o a n u m b e r . T h e o p e r a t i o n o f c o m p u t i n g

t h i s n u m b e r i s n a m e d c h r o m a t i c e v a l u a t i o n . T h i s e v a l u a t i o n , d e n o t e d b y

h V

n

( a

1

; : : : ; a

n

) j V

0

n

( b

1

; : : : ; b

n

) i , i s a s c a l a r p r o d u c t i n t h e s p a c e o f t h e p o s s i -

b l e v e r t i c e s . I n p a r t i c u l a r , t h e c h r o m a t i c e v a l u a t i o n o f a 2 - v e r t e x ( i . e . o f a

l i n e ) a n d t h a t o f a 3 - v e r t e x w i l l b e d e n o t e d a s f u n c t i o n a n d f u n c t i o n ,

r e s p e c t i v e l y :

n

= h V

2

n ] ; V

2

n ] i =

n

( 8 )

( a ; b ; c ) =

hV

3

a ; b ; c ] ; V

3

a ; b ; c ]

i=

a

b

c

q q

: ( 9 )

F o r t h e e x p l i c i t v a l u e s o f t h i s e v a l u a t i o n a n d a l l t h e d e t a i l s s e e 5 ] a n d 6 ] . I n

t h i s t a n g l e - t h e o r e t i c i n t e r p r e t a t i o n o f t h e l o o p r e p r e s e n t a t i o n , o n e s t i l l h a s

t h e a n a l o g o u s o f t h e W i g n e r - E c k a r t t h e o r e m : t h e r e c o u p l i n g t h e o r e m o f 6 ]

( p g . 6 0 ) s t a t e s , a s a t a n g l e r e l a t i o n , t h a t

a

b

d

c

?

@ ?

@

j

r r

=

X

i

(

a b i

c d j

)

a

b

d

c

?

@ ?

@

i

r

r

; ( 1 0 )

3


5/8

w h e r e t h e q u a n t i t i e s

n

a b i

c d j

o

a r e s u ( 2 ) s i x - j s y m b o l s ( n o r m a l i z e d a s i n 6 ] ) .

O n e o f t h e m a i n a d v a n t a g e s o f t h e s p i n - n e t w o r k b a s i s i s t h a t t h e a c t i o n

o f t h e T

a

] ( s ) o p e r a t o r s i s p a r t i c u l a r l y s i m p l e . I n f a c t , o n e h a s :

1

2

1

1

1

p

p

R

p

a s

GRASP

= p [ ,s]

( 1 1 )

w h e r e

a

; s ] =

R

d

_

a

( )

3

( ) ; s ] . I n d e e d t h e a c t i o n o f t h e o p e r a t o r s

c o r r e s p o n d s t o a d d i n g a n e w v e r t e x o f t h e k i n d s h o w n i n e q . ( 1 1 ) a t t h e

i n t e r s e c t i o n p o i n t s b e t w e e n a n d . T h i s g i v e s t h e p o s s i b i l i t y o f e x p r e s s i n g

t h e a c t i o n o f a n y o p e r a t o r o n t h e s p i n n e t w o r k b a s i s a s a p r o d u c t o f t h r e e

p a r t s : a n a n a l y t i c r e g u l a r i z a t i o n f a c t o r , a g r a p h i c a l p a r t ( d u e t h e a p o s s i b l e

c h a n g e o f ) , a n d a v e r t e x p a r t ( s e e 8 ] ) . T h e v e r t e x p a r t , c o n n e c t e d w i t h

t h e r e d u c t i o n t o e l e m e n t a r y v e r t i c e s , c a n b e c o m p u t e d u s i n g t h e r e c o u p l i n g

t h e o r y a n d t h e a s s o c i a t e d c h r o m a t i c e v a l u a t i o n s .

3 T h e V o l u m e O p e r a t o r

A s a n e x a m p l e o f a p p l i c a t i o n o f t h e r e c o u p l i n g t h e o r y , I s h o w h o w i s p o s s i b l e

t o o b t a i n e x p l i c i t f o r m u l a s f o r t h e e i n g e n v a l u e s o f t h e v o l u m e o p e r a t o r . I n

5 ] , i t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e a c t i o n o f t h e v o l u m e o p e r a t o r i s g i v e n b y a

r e g u l a r i z a t i o n f a c t o r a n d a v e r t e x p a r t . T h e f o l l o w i n g n a l e x p r e s s i o n f o r t h e

a c t i o n o f t h e v o l u m e o p e r a t o r o n a g i v e n s p i n - n e t w o r k h a s b e e n o b t a i n e d

V V ] =

X

i 2 f S \ V g

V

i

;

V

i

= l

3

0

v

u

u

u

t

n

i

? 1

X

r 6= s 6= t = 0

i

1 6 3 !

W

( n

i

)

r t s ]

: ( 1 2 )

T h e r s t s u m i s o v e r a l l t h e v e r t i c e s a n d t h e s e c o n d s u m i s o v e r t h e t r i p l e s

o f e d g e s a d j a c e n t t o e a c h v e r t e x . I n 5 ] , i t h a s a l s o b e e n s h o w n t h a t t h e

v e r t e x o p e r a t o r s

W

( n

i

)

r t s ]

a r e r e p r e s e n t e d b y d i a g o n a l i z a b l e m a t r i c e s w i t h r e a l

e i g e n v a l u e s . I n f a c t , a n o r m a l i z a t i o n o f t h e v e r t e x e x i s t s s u c h t h a t , i n t h i s b a -

s i s , t h e v e r t e x o p e r a t o r

W

( n

i

)

r t s ]

a r e r e p r e s e n t e d b y t h e r e a l a n d a n t i s y m m e t r i c

m a t r i c e s

D

V

( n

i

)

( K

I

i

)

N

W

( n

i

)

r t s ]

=

X

K

I

i

W

( n

i

)

r t s ]

K

I

i

K

I

i

D

V

( n

i

)

(

K

I

i

)

N

:

4


6/8

I n t h e c a s e o f 4 - v a l e n t v e r t i c e s , t h i s n o r m a l i z a t i o n i s e x p l i c i t l y g i v e n b y :

D

V

( 4 )

( i )

N

=

v

u

u

u

u

t

i

a

b

i

q q

c

d

i

q q

*

a

b

d

c

?

@ ?

@

i

r r

; ( 1 3 )

a n d t h e m a t r i x e l e m e n t s o f t h e v e r t e x o p e r a t o r a r e g i v e n b y t h e c h r o m a t i c

e v a l u a t i o n :

~

W

( 4 )

0 1 2 ]

( a ; b ; c ; d )

k

i

= a b c

v

u

u

u

u

t

i

k

a

b

i

q q

a

b

k

q q

c

d

i

q q

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k

q q

a

r

b

r

r

r

c

r

r

r

d

2

2

2

r

i

k

:

( 1 4 )

T h e m a t r i c e s

~

W

( 4 )

0 1 2 ]

( a ; b ; c ; d )

k

i

h a v e e l e m e n t s d i e r e n t f r o m z e r o o n l y i f j i ?

k

j= 2 . U s i n g t h e e q u a t i o n s

i

a

k

r

r

r

c

c

d

=

@

@

k

?

?

i

q@

@

c

?

?

c

q

a

q

q

d

k

a

i

q q

i

a

k

r

( 1 5 )

r

?@

r

p q

r

r

2

= p

?@

r

p q

r

r

2

+ q

?@

r

p q

r

r

2

; ( 1 6 )

i t i s p o s s i b l e t o r e d u c e e q . ( 1 4 ) t o t h e f o l l o w i n g c h r o m a t i c e v a l u a t i o n :

~

W

( 4 )

0 1 2 ]

( a ; b ; c ; d )

k

i

=

k

2

i

q q

v

u

u

u

u

t

i

k

a

b

i

q q

a

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k

q q

c

d

i

q q

c

d

k

q q

b

@

@

2

?

?

2

q@

@

b

?

?

b

q

2

q

q

b

b

b

2

q q

? k

@

@

2

?

?

2

q@

@

k

?

?

i

q

2

q

q

k

k

2

i

q q

b

@

@

k

?

?

i

q@

@

b

?

?

b

q

2

q

q

a

k

2

i

q q

c

@

@

k

?

?

i

q@

@

c

?

?

c

q

2

q

q

d

k

2

i

q q

:

( 1 7 )

D e n e t = ( i + k ) = 2 a n d = ( k ? i ) = 2 . T h e m a t r i x e l e m e n t

~

W

( 4 )

0 1 2 ]

( a ; b ; c ; d )

k

i

( a ; b ; c ; d )

i s d i e r e n t f r o m z e r o o n l y i f = 1 a n d a l l t h e 3 - v e r t i c e s i n e q u a t i o n ( 1 7 )

a r e a d m i s s i b l e . I n d e e d , b y p e r f o r m i n g t h e c h r o m a t i c e v a l u a t i o n s o f e q . ( 1 7 ) ,

5


7/8

o n e g e t s t h e f o l l o w i n g e x p l i c i t f o r m u l a f o r t h e m a t r i x e l e m e n t s ( = 1 ) :

~

W

( 4 )

0 1 2 ]

( a ; b ; c ; d )

t +

t ?

= ? ( ? 1 )

a + b + c + d

2

1

4 t ( t + 2 )

a + b + t + 3

2

c + d + t + 3

2

1 + a + b ? t

2

1 + a + t ? b

2

1 + b + t ? a

2

1 + c + d ? t

2

1 + c + t ? d

2

1 + d + t ? c

2

1

2

( 1 8 )

T h i s f o r m u l a c a n b e u s e d t o o b t a i n e x p l i c i t f o r m u l a s f o r t h e e i g e n v a l u e s

o f t h e v o l u m e o p e r a t o r . F o r e x a m p l e , i n t h e c a s e d = a + b + c ? 2 ,

w h e r e t h e m a t r i c e s

~

W

r s t ]

a r e t w o - d i m e n s i o n a l , o n e o b t a i n s t h e f o l l o w i n g r e -

s u l t f o r t h e ( d e g e n e r a t e ) e i g e n v a l u e o f t h e v o l u m e a s s o c i a t e d t o t h e 4 - v e r t e x

D

V

( 4 )

a ; b ; c ; a + b + c ? 2 ]

:

v ( a ; b ; c ; d ) =

l

3

0

p

2

"

a b c ( a + b + c )

1 6

#

1

4

; ( 1 9 )

t h a t c a n b e c o m p a r e d w i t h t h e r e s u l t s o f 9 ] .

4 T h e N o r m a l i z e d S t a t e a n d t h e S c a l a r P r o d -

u c t

A s c a l a r p r o d u c t b e t w e e n t w o s p i n - n e t w o r k s t a t e s c a n b e d e n e d b y a s s u m i n g

t h a t i t i s d i e r e n t f r o m z e r o o n l y i f t h e t w o s t a t e s h a v e e x a c t l y t h e s a m e

g r a p h a n d t h e s a m e c o l o r i n g o f t h e r e a l e d g e s . T h e n , t h e n o r m a l i z a t i o n ( 1 3 ) ,

w i t h r e s p e c t t o w h i c h t h e v o l u m e o p e r a t o r i s r e p r e s e n t e d b y s y m m e t r i c a l

m a t r i c e s , d e t e r m i n e s t h i s s c a l a r p r o d u c t u n i q u e l y . I t s v a l u e i s d e t e r m i n e d b y

t h e c h r o m a t i c e v a l u a t i o n o f t h e v e r t i c e s :

h s ; s

0

i =

;

0

Y

e 2 E

s

n

e

; n

0

e

n

e

Y

i 2 V

s

h V

i

; V

0

i

i ; ( 2 0 )

w h e r e t h e p r o d u c t s a r e e x t e n d e d o n l y t o t h e r e a l e d g e a n d t o t h e r e a l v e r t i c e s ,

a n d h V

i

; V

0

i

i i s t h e c h r o m a t i c e v a l u a t i o n o b t a i n e d b y g l u i n g t h e v e r t i c e s V

i

a n d V

0

i

. I n 4 ] , i t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e s c a l a r p r o d u c t d e n e d i n t h i s w a y

i s p r e c i s e l y t h e l o o p t r a n s f o r m 3 ] o f t h e A s h t e k a r - L e w a n d o w s k i m e a s u r e 2 ] .

I t h a n k w a r m l y M a s s i m o P a u r i f o r a c r i t i c a l r e a d i n g o f t h e m a n u s c r i p t .

6


8/8

R e f e r e n c e s

1 ] C . R o v e l l i a n d L . S m o l i n P h y s . R e v . L e t t . 6 1 ( 1 9 8 8 ) 1 1 5 5 ; N u c l . P h y s .

B 3 3 1 ( 1 9 9 0 ) 8 0 . F o r a r e c e n t r e v i e w s e e C . R o v e l l i , g r - q c / 9 6 0 6 0 9 0 a n d

r e f e r e n c e t h e r e i n .

2 ] A . A s h t e k a r , J . L e w a n d o w s k i , D . M a r o l f , J . M o u r ~ a o a n d T . T h i e m a n n ,

J . M a t h . P h y s . 3 6 ( 1 9 9 5 ) , 6 4 5 6 , a n d r e f e r e n c e t h e r e i n .

3 ] A . A s h t e k a r A a n d C . I s h a m , C l a s s . Q u a n t u m G r a v . 9 ( 1 9 9 2 ) 1 4 3 3 .

4 ] R . D e P i e t r i , C l a s s . Q u a n t u m G r a v . 1 4 ( 1 9 9 7 ) 5 3 .

5 ] R . D e P i e t r i a n d C . R o v e l l i , P h y s . R e v . D 5 4 ( 1 9 9 6 ) 2 6 6 4 .

6 ] L . H . K a u m a n a n d L . S . L i n s T e m p e r l e y - L i e b R e c o u p l i n g T h e o r y a n d

I n v a r i a n t s o f 3 - M a n i f o l d s ( P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s , P r i n c e t o n ( N J ) ,

1 9 9 4 ) .

7 ] C . R o v e l l i a n d L . S m o l i n P h y s . R e v . D 5 3 ( 1 9 9 5 ) 5 7 4 3 ; N u c l . P h y s .

B 4 4 2 ( 1 9 9 5 ) 5 9 3 .

8 ] R . B o r i s s o v , i n t h i s v o l u m e .

9 ] J . L e w a n d o w s k i , C l a s s . Q u a n t u m G r a v . 1 4 ( 1 9 9 7 ) 7 1 . T . T h i e m a n n , g r -

q c / 9 6 0 6 0 9 1 .

7

Documents

Roberto De Pietri- Spin Networks and Recoupling in Loop Quantum Gravity