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Revistade la . ~ Union . : ~.
Maternatlea Argentina Volumen 38, Numeros 3 y 4 - 1993
Bahia Blanca· 1993
ISSN 0041·6932
DIRECTOR: Luiz F. Monteiro
VICEDIRECTORA: Agnes Benedek
REDACTORES: A. Calderon R. Panzone L. Santalo J. Tirao E. Zarantonello
R. Cignoli M.I. Platzeck C. Segovia V. Yohai
SECRETARIA DE REDACCION: Susana E. Gastarninza
UNION MATEMATICA ARGENTINA
JUNTA DIRECTIVA: Presidente: Dr. J. Tirao; Vicepresidente 12: Dr. F. ZO; Vicepresidente 22: Dr. E. Lami Dozo; Secretario: Dr. J. Vargas; Prosecretaria: Ora. B. Viviani; Tesorera: Ora. I. Dotti; Protesorero: Dr. A. Tirabo~chi; Directorde Publicaciones: Dr. L. Monteiro; Vicedirectora de Publicaciones: Ora. A. Benedek.
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MIEMBROS HONORARIOS: Manuel Balanzat, Marcel Brelot, Alberto P. Calderon, Felix Cernuschi; Mischa Cotlar, Jean Dieudonne, Felix Herrera, Alexander Ostrowski, Gian Carlo Rota, Luis A. Santalo, Roque Scarfiello, Laurent Schwartz, Cesar Trejo, Orlando E. Villamayor, Pedro Zadunaisky, Eduardo Zarantonello, Antoni Zygmund.
MIEMBROS INSTITUCIONALES: Facultad de Matematica, Astronomfa y Ffsica de la Universidad Nacional de Cordoba; Instituto Argentino de Matematica; Instituto de Matematica de Bahfa Blanca; programa Especial de Matematica Aplicada; Universidad de Buenos Aires; Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires; Universidad Nacional de La Pampa; Universidad Nacional del Nordeste; Universidad Nacional de Tucuman; Universidad Nacional de San Luis; Universidad Nacional del Sur.
La U.M.A. reconoce, ademas de miembros honorarios e institucionales, tres categorfas de asociados: titulares, adherentes y protectores.
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REVISTA DE LA U.MA Instituto de Matematica
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Los auto res reciben gratuitamente 25 separatas.
Ana 1993
La publicaci6n de este volumen ha sido financiada con fondos del Consejo Nacional de Investigaciones Cientfficas y Tecnicas (CONICET) complementados con recursos propios de la U.MA
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Revista de la Union Matematica Argentina .
VOLUMEN 38, NUMEROS 3 Y 4
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Revista de la Uni6n Matematica Argentina Volumen 38,1993.
CON JUNTOS DE PUNTOS FIJOS DE AUTOMORFISMOS INVOLUTIVOS
EN ESPACIOS k-SIMETRICOS
Alicia Garcia
I NTRODUCC ION .
161
En una serie de trabajos ([8], [9], [10] y [11]) D. Leung estudia,
en una variedad r iemanni ana , las subvaried&des obtenidas como conjuntos
de puntos fijos de isometrias involutivas y las llama reflexivas. En
[9] da una caracterizacion de las mismas, para espacios simetricos M,
en terminos del algebra de Lie del grupo de isometrias de M.
El principal objetivo de este trabajo es caracterizar las
subvariedades que son conjuntos de puntos fijos de automorfismos
involutivos en espacios k-simetricos y que llamamos V-reflexivas.
Una abWldante cantidad de ejemplos de estas subvariedades aparecen
naturalmente. En [3], J. jimenez clasifica los espacios 4-simetricos
simplemente conexos y compactos. Geometricamente, estos espacios se
fibran sobre espacios simetricos con fibras totalmente geodesicas. Surge
de su construccion que dichas fibras son subvariedades V-reflexi vas.
Vale la pena notar que esta construccion se aplica a las variedades de
bandera genera li zadas y asi [4] y [5] suministran una importante
cantidad de ejemplos de subvariedades V-reflexivas.
Presentamos este trabajo dividido en 4 secciones. En § 1 destacamos
resultados conocidos en espacios k-simetricos y que usamos en el
desarrollo. La seccion § 2 contiene el resultado mas importante (teorema
2.2) el cual da una caracterizacion, para M espacio k-simetrico y
simplemente conexo, de las subvariedades V-reflexivas que involucra
esencialmente el algebra de Lie del grupo de automorfismos de M . En § 3
162
extendemos el resultado anterior a situaciones donde el espacio
k-simetrico no es simplemente conexo. Finalmente en § 4 damos relaciones
entre subvariedades reflexivas y V-reflexivas en espacios k-simetricos
M = G/R (G grupo de isometrias de M y K grupo de isotropia en el
punto a de M') donde la descomposici6n q = k ® m dada en (1.3) es,
como ocurre en los espacios simetricos, naturalmente reductiva.
Los resultados de este articulo son parte del trabajo de tesis
doctoral realizado bajo la direcci6n del Dr. Cristian Sanchez, a quien
quiero agradecer muy sinceramente.
§ 1. PRELIMINARES.
Un espacio k-simetrico es una variedad riemanniana conexa M tal que
para cada p en M
il s tiene orden P
iil P es un punto
iii) -1 s s s p q p
existe una isometria s p
k , para todo p en M
fijo aislado de s , p
para todo s s (q) p, q p
que satisface:
,
en M
Una familia de isometrias satisfaciendo il, iil Y iiil es llamada una
s-estructura regular de orden k en M.
En un espacio k-simetrico existe un tensor S de tipo 1-1 y una
conexi6n llamada conexi6n can6nica, asociados ambos a la
s-estructura y relacionados por US = 0 Ellos estan definidos por
(SX) = s I X p p *p p v = V - D donde es la conexi6n de Levi-Civita
y D(X,Y) = (V(I_S)-l X S)
Es bien conocido (ver [6] y [2]) que:
1.1. Si I(M) es el grupo de isometrias de M, entonces la clausura
en I(M) del grupo generado por ~s : p e M~ p actua transi ti va y
163
diferenciablemente sobre M.
1.2. El' grupo de automorfismos de M Aut(M) p es
difeomorfismo ~-afin de M y pSp = sp(p)p , para todo p en M~ es un o
grupo de Lie N2 y transitivo de transformacionesde M; asi Aut(M) o
actua transitivamente sobre M (H denota la componente conexa de la
identidad del grupo de Lie H) . o
1.3. Si G = Aut(M) y a 'estaen M, el espacio homogeneo
es reductiv~ respecto a la descomposici6n
M '" GIG a
(esto es,
Ad(g) (m) c m para g
m = Im(id - ~I ) *e '
en K = Ga ) donde k = ~(K) = Ker (id - ~I*e) ,
-1 es el automorflsmo de G dado por ~(g) = sagsa
Y ~(H) denota el algebra de Lie de H . Ademas ~ es completa y
coincide con la conex16n can6nica del espacio homogeneo reductivo G/Ga .
, -1 El grupo de transvecciones Tr(M) , generado por s s ,x,y en M, x y
1.4.
es un subgrupo de Lie conexo y normal en Aut(M). Ademas, es transitivo
sobre M.
Recordemos que una subvariedad N de M es ~-autoparalela si para
cada curva r: [0,1] ~ N y X e Tr(O)N , la ~-traslaci6n paralela de
X a 10 largo de r es un vector tangente aN.
§ 2. SUBVARIEDADES ~-REFLEXIVAS. CARACTERIZACION.
Sea M un espacio k-simetrico. En esta secci6n consideramos
subvariedades de M que coinciden con la componente conexa del conjunto
de puntos fijos de un automorfismo involutivo de M (ver (1.2)) y por su
similitud con las subvariedades reflexivas introducidas por Leung (ver
[9]), las llamaremos subvariedades ~-reflexivas. Estas subvariedades
resultan subvariedades cerradas y ~-autoparalelas (ver [7]).
Las hojas de la conocida fibraci6n de Hopf Sl ~ S5 ~ Cp2 son
164
ejemplos de subvariedades V-reflexivas. En efecto, consideremos en 55
la s-estructura regular de orden 4 (ver [6]) dada por:
(2.ll 5i p = (O,O,ll , s(z,z,z) = (22 ,-21 ,Z) y si q g(p) p 1 2 3
E 5U(3) entonces -1
con g s = gspg q
Es facil verificar que N = (F(s2, 55) ) es la hoja que pasa por q q q
q (F(p,M))a denota la componente conexa de a del conjunto de
puntos fijos del automorfismo p de M).
En (2.2) daremos una caracterizaci6n, cuando M es simplemente
conexa, de subvariedades de M V-reflectivas en terminos del algebra de o
Lie de G = Aut(M) . Por la transitividad de la acci6n de G sobre M, es
suficiente caracterizar las subvariedades V-reflexivas que pasan por a,
para a fijo en M
Conservaremos la notaci6n de § 1. Ademas, denotaremos por [X,Yl m a
la m-componente de [X, Yl .
Teorema 2.2. Sea (M J s L ) un espacio k-simetrico simp1emente , ") xfx E M
conexo y N una subvariedad conexa y cerrada de M que pasa por a EM.
Entonces: N es V-ref1exiva si y s610 si N es V-autopara1e1a y existe
un comp1emento l de n == T N a en m == TaM que satisface:
1) n y l son S s I -invariantes, a a *a
ii) [n,nl m en, [n,llm c l , [l,llm en,
iii) [ tn, nl A:' nl en, [[n,llA:,ll en
[ [n,nlA:,ll c l , [ [l,llA:,nl c n
[ tn, II A:' nl c l , [ [l, II A:' II c l
Demostraci6n. Veremos en primer lugar que estas condiciones son
suficientes para que N sea V-reflexiva. Como m = n ® l podemos definir
el isomorfismo lineal ~ en m por ~In= id y ~Il= -id .
165
Los tensores torsi6n y curvatura de la conexi6n can6nica V de M
estan dados por: T (X,Y) -[X,Y] , R (X,Y)Z = -[[X'Y]A:'Z] para a m a
X,Y,Z e m (ver (1.3)). De (ii ) y (iii ) resultan T Y R a a
I/>-invariantes.
Sea v = ~Vl V ~ c m y 'Iv : [O,q] ~M la V-geodesica q
quebrada asociada a v con 'Iv (0) =
V-traslaci6n paraleia a 10 largo de
a (ver [13] ) .
desde '1 (0) v a
Sean 1: la v
I/>v =
= ~I/>Vl , ... ,I/>Vq~ y I/>v el isomorfismo lineal de sobre
T M dado I/>v ~ ~-1
por = 1: 1/>1: '1l/>v(q) I/>v v Como T Y R son V-paralelos, I/>v
preserva T '1v (q) y R '1v (q) Siendo M simplemente conexa, como
consecuencia del teorema de Cartan-Ambrose-Hicks ([13]), se obtiene que
p('1v (q) ) = '1l/>v(q) es el difeomorfismo V-afin de M que satisface
pea) = a , pI-a = I/> y pl-'1 (q) = I/>v . v
Sea x en M y v = ~Vl V ~ c. m tal que la V-geodesica q
quebrada asociada a v una a con x Como pI-x = I/>v' I/> y S a
conmutan (ver (i)) y S es V-paralelo, es inmediato que (psx) I-x =
2 Y P id .
Para finaliz3r la demostraci6n de la condici6n suficiente,
consideremos la subvariedad cerrada F = (F(p,M)) de M y veamos que a
F = N . Como n =TaF , basta probar que N c F . Esto resulta de
observar que si
tal que '1 c N v
x eN a a
y v en.
Probaremos ahora la reciproca. Sea N = (F(p,M))a donde p es un
automorfismo involutivo de M. La funci6n p de Aut(M) dada por
p(h) = php-l define un automorflsmo del grupo de Lie G y por 10 tanto,
p I-e es un automorfismo de algebra de Lie q, Si q, = A: ® m es la
descomposici6n reductiva dada en (1.3), es faci! ver que A: y m son
166
pi -invariantes. Como *e (pl*e)lm *' id (con la identificaci6n natural,
) y ~2
P id , si es el autoespacio de
correspondiente al autovalor j = ± 1 , resulta m1 = n . Eligiendo £ =
m_ 1 se concluye facilmente la demostraci6n. -
§ 3. SUBVARIEDADES LOCALMENTE ~-REFLEXIVAS EN ESPACIOS k-SIMETRICOS.
Sea (M, {sx~x E M) un espacio k-simetrico.
Definicion 3.1. Una subvariedad N de M es localmente ~-reflexiva si
para cada p en N existen entornos a.biertos de p , A P Y B en N p
Y M respectivamente y un automorfismo involutivo p de B , tales p
que A = (F(p,B )) (Entendemos por automorfismo de B a un p p p
difeomorfismo ~-afin p
abierto de x, x en B ) P
de B p
tal que
p
en un entorno
Todo subconjunto abierto de una subvariedad ~-reflexiva es una
subvariedad localmemte ~-reflexiva.
Nuestro objetivo es encontrar, cuando M no es simplemente conexa,
subvariedades N de M que puedan ser levantadas localmente a
subconjuntos abiertos de subvariedades N del cubrimiento universal M
de M, de modo que N sea localmente ~-reflexiva si y s610 si N es
~-reflexiva (ver (3.6) y (3.7)).
Asumimos en esta seccion que toda var.iedad y subvar iedad satisface
el segundo axioma de numerabilidad (N ). 2
Definicion 3.2. Una subvariedad conexa N de M es localmente del tipo
* si satisface las siguientes cor~iclones:
il Para cada p en N , existe un entorno abierto U de p en N p
tal
que s Iu es una 1sometria. (1) p p
167
ii) Para cada . p, q en N y cada g en Tr(M) tal que g(p) = q ,
ex1ste un entorno abierto U de p en N p
una 1sometria. (1)
tal que g: U ~ g(U ) c N p P
es
Diremos que N es de t1po • s1 los entornos que aparecen en (i) y
(ii) pueden ser reemplazados par N.
Es irunedla to que si Q es (localmente) de tipo • , ~ s : p e Q ~ p
induce una s-estructura regular (local) de orden j , 2 :S j :S k .
Un ejemplo de una subvariedad de tipo • esta dado por 55 con la
s-estructura regular definida en (2.1). Como e 5U(3) para g
en 5U(3), resulta que Tr(M) c 5U(3) . Es facil ver que 51 = ~(O,O,u)~ C
C 55 es de tipo • y por 10 tanto, todo subconjunto abierto de 51 es
localmente de tipo • . Veremos en (3.3) que tambien vale la reciproca.
Lema 3.3. Sea Q una subvariedad de M localmente de tipo • .
Entonces ex.iste una iinica subvariedad N de M, de tipo • , tal que
dim N = dim Q y Q es una subvar1edad abierta de N.
Demostraci6n. Notemos que:
(3.4) Q es V-autoparalela y por 10 tanto VIQ es una conexi6n en Q.
asociada a la
s-estructura de Q inducida por M, ·entonces:
(3.5) VQ = VIQ
Las pruebas de (3.4) y (3.5) son analogas a las de IV.2 y IV.3 de
[6] . (3.5) implica que induce una conexi6n completa en una
(ll Nolemos que N en general no es subvarledad regular de M.
168
subvariedad de tipo •
Fijemos a en Q y sea W = TaQ . Notemos que W es invariante por
la representaci6n lineal isotr6pica de (Tr(M))a en TaM. Este hecho
nos permite definir la siguiente distribuci6n a en M:
si x eM, a x
donde g e Tr(M)
gl·aw
es tal que g(a) = x
Observando que a es Tr(M)-invariante y W es T -invariante, a
podemos pro bar , como en IV. 5 de [6], que es .una distribuci6n
diferenciable e involutiva. Sea N la subvariedad integral conexa
maximal de a que pasa por a Mostraremos ahora que N es la
subvariedad deseada. Para verificar que es de tipo • , veremos que
es una isometria de N cuando peN (la otra condici6n se
prueba en forma analoga). Para esto es suficiente probar que s (N) c N p
(ver [12]). Si peN y a es una curva diferenciable a trozos con
a(O) p y
~ ( t ) e a{3 ( t )
entoncEo:s
veremos que
Consideremos ht en Tr(M)
-1 S hts e Tr(M)
p P y
B(t) = s aCt) satisface p
tal que ht(p) aCt)
(3(t) Como W es
sal.a-invariante y la s-estructura es regular, ap es s I -invariante p .p
y en consecuencia = (ItS ) I a = (s ht ) I a = s I a (t) . p .p p p .p p p.p a
Luego, ~ (t) e a{3(t) .
Es inmediato que Q es una subvariedad integral de a, por 10
tanto Q c N y Q es una subvariedad de N (ver [12]). Como TaQ =
TaN Q es una subvariedad abierta de N
La unici.dad sigue de (3.4) y (3.5). En efecto, si N 1
es otra
subvariedad que satisface las condiciones, V induce conexiones completas
en N y N 1
Como T N = TN, usando argumentos can6nicos podemos a a 1
concluir que los conjuntos N y N 1
son iguales. De [12] resulta que
N Y N 1
coinciden como subvariedades. _
169
Veremos en (3.6) que si Q es una subvariedad de M localmente de
tipo • , podemos considerar a Q (localmente) como un abierto de una
subvariedad de tipo • de un espacio k-simetrico simplemente conexo.
Sea M el cubrimiento universal de M y deriotemos por n a la
funci6n de cubrimiento. Siendo M una variedad riemanniana analitica
completa (ver [6]) result a que M, con la s-estructura y la metrica
inducidas naturalmente, hereda las mismas propiedades; ademas n es una
isometria local. Como consecuencia, las simetrias locales s z
natural mente definidas en M pueden ser extendidas a simetrias ~ A ~
globales, satisfaciendo nsz = sn(z)n . Asi, (M,~sz : z e M~) es un
espacio k-simetrico. S1 V denota tamb1en su conex16n can6nica, n I. preserva el tensor D = V - V y p~r 10 tanto n resulta V-afin.
Proposicion 3.6. Sea Q una subvariedad de M loca1mente de tipo • y
sea N 1a subvariedad asociada a Q seglin (3.3). Entonces Q es
loca1mente isomcHrica y afin (respecto de las conexiones canonicas)
a una subvariedad N de M , de tipo ., que satisface n(N) = N.
Demostracion. Sea y W = (n ) T Q . 1 -1 Como en la
·z q A
demostraci6n de (3.3), podemos encontrar una subvar1edad N z de M, de
tipo ., tal que T N = W . Sea V un entorno abierto de z z z
en M tal que n V --+ n(V) V sea un difeomorfismo. Sea U la
componente conexa en Q de V n Q con q e U·. Entonces U es abierta
~ 1-1 Em Q y U = (n y) U , con la estructura diferencial llevada de U
por (nl y)-l, es subvariedad de M.
Veremos ahora que U es abierto en N z Sea u en U . Por (3.4) y
(3.5) podemos encontrar veT Q q
tal que la V-geodesica quebrada
este contenida en U y una n(z) con n(u) . Asi es la
170
1 A
z con ~-geodesica. quebrada asociada a v = (xl )-vcTN .z z z que une
u . Siendb ~ una conexi6n completa en N z resulta u en N z o sea
U c Nz . Por 10 tanto podemos concluir que U es una subvariedad
abierta de N (ver la demostraci6n de (3.3)) y que x: U ~ U es una z
isometria y un difeomorfismo afin con respecto a las conexi ones
can6nicas.
Ahora veremos que la subvariedad N z es independiente del punta q
en Q . Mas precisamente, si q' esta en Q mostraremos que existe z' en
Nz tal que Nz ' = Nz . Sea q' otro punta en Q. Si '¥ es una
~-geodesica quebrada en Q desde q a q' ,su levantamiento con punta
inicial z es una ~-geodesica quebrada en M y es facil ver que '¥
esta contenida en Nz . Asi, obtenemos z' en N z
Sea g en Tr(M) satisfaciendo g(z) z' y
A 1 A
gx = xg Luego ( gxg - ) I. ,T • N = Tq,Q , esto z . z z
con 10 cual facilmente se concluye 10 deseado.
tal que x(z') = q'
g en Tr(M) tal que
es, xl·z,Tz,Nz = T q,Q
Sea N = Nz . Como N y N son ~-autoparalelas, ~-completas y
xl T N .z z TzN , usando argumentos can6nicos es facil concluir que x(N)=
= N .•
Ahora probaremos el resultado mas importante de esta secci6n.
Teorema 3.7. Sea Q una subvariedad de M localmente de tipo • y sea
N una subvariedad de M dada por (3.6). Entonces Q es localmente
~-reflexiva si y s610 si N es ~-reflexiva.
Demostraci6n. Condici6n suficiente: sea (F(p,W)) un entorno abierto x
de x en Q donde W es un entorno abierto de x en M y p es illl
automorfismo involutivo de W. Usando (3.6) podemos asumir que existe
171.
z en N y un automorfismo involutivo p de un abierto W en M tal que
z e W y A = (F(p, W» z es un entorno abierto de z en N . Como
es un isomorfismo lineal sobre TzM que preserva
p
T z
es
y V-arin, ~ I*z
R Por el z teorema de Cartan-Ambrose-Hicks existe un difeomorfisnio
V-arin f en M tal que f(z) = z y Es irunedia to
verificar que f extiende a p y f2 = id . Ademas, con los argumentos
utilizados en la demostraci6n de (2.2) se prueba que f e Aut(M) A
Sea F =. (F(f,M»z . Como A es abierto en F y N, TzF T A z
T N (las estructuras diferenciales en A inducidas por F y N z
coinciden); ademas F es v-autoparalela, entonces FeN. Luego F es
abierto en N . Por ser F cerrado en M resulta F cerrado en N y
en consecuencia F = N (como subvariedades de M).
Para probar la condici6n necesaria, notemos que si N es una
subvariedad de M V-reflexiva, entonces N es una subvariedad regular
de M.
Para cada q en Q elegimos z en N (F(p,M»z con x(z) = q y
consideramos los conjuntos U y V definidos en la prueba de (3.6). Es A A
facil ver que existe un abierto B en M tal queB c V , p(B) = B y A
(F(p,B» = U Y con esto concluir la demostraci6n. _ z
§ 4. SUBVARIEDADES REFLEXIVAS Y V-REFLEXIVAS.
En esta secci6n G denotara la componente conexa de la identidad,
de la clausura en I(M) del grupo generado p~r ~sx: x e M~ . Para G
tambien vale (1.3), siendo dicha descomposici6n naturalmente reductiva
eli el caso 2-simetrico. Debido a que en [9], Leung caracteriza las
subvariedades reflexivas de espacios 2-simetricos, es natural estudiar
la relaci6n entre las subvariedades reflexivas y las V-refl~xivas en
172
espacios k-simetricos 'M para los cuales la descomposici6n para q,
dada en (1.3) es naturalmente reductiva. Esto sera nuestro pr6ximo
objetivo.
Sea q, k $ m la descomposici6n reductiva de M ~ G/K K G a
(m coincide con el subespacio m de (1.3».
Asumimos en esta secci6n que 1a descomposici6n anterior es
natura1mente reduct iva. Usaremos la identificaci6n natural de m con
T'M Y manlendremos la notaci6n de las secciones previas. a
Recordemos que un espacio riemanniano homogeneo M '" G/K es
naturalmente reductivo con respecto a la descomposici6n q, k $ m si
m es Ad(K)-invariante y <[X,Y] ,Z> + <Y, [X,Z] > = 0 para X,Y,Z em, m m
donde <,> denota el producto interno en m inducido por la metrica de
M.
Denotemos por TX y TX a las V y V-traslaciones paralelas a
10 largo de la geodesica r(t) = (exp tX).a, X em, desde el punta a
al punta r(l) (exp denota la exponencial de grupo de Lie). Es conocido
que en este caso (ver [1]), las V y V-geodesicas coinciden y
Y exp XI e-D(X,Y) TX *a '
Como T(X,Y) 2D(Y,X)
que preserva Ta entonces
(4.1)
Proposici6n 4.2. Sea p
D = V - V (ver [1]), si
l/>e-D(X,y)
TXY = exp XI*aY .
I/> es un isomorfismo de m
e-D (I/>X, I/>Y) y por 10 tanto
un automorfismo 'invo1utivo de M • Si
N = (F(p,M»a y t es e1 comp1emento de n en m dado en e1 teorema
(2.2), entonces
i) P es V-afin,
Ii) si t y n son ortogona1es, entonces p es una isometria (y
por 10 tanto, N es una subvariedad ref1exiva).
173
Demostraci6n. 1) resulta facilmente usando que p es V-arin y
preserva D (pl. preserva T) . Es claro que p es el difeomorfismo V-afin dado por el teorema de
Cartan-Ambrose-Hicks [13]. Como M es riemannianahomogenea para cada
y en M existe Y en m tal que ry(t) (exp tV). a es una
V-geodesica uniendo a con y. Usando (4.1) se prueba que pl.y = -1 = ~~y~~y ,con 10 cual se concluye facilmente (ii) .•
Observaci6n 4.3. Si q. PC Ell m es una descomposicion natural mente
reductiva de M ~ GIK con K = G y g e G , no es dificil verificar a
que es una descomposicion naturalmente reductiva de GIK x
donde K es la isotropia en x = g(a) y m = Ad(g) m . x x
Como G c I(M) , Ad(p) m c to (M)) para p en I (M) y x en M' . x
Proposici6n 4.4. Sea puna isometr ia 1nvolut 1va de M Y N
~ (F(p,M»a . S1 Ad(p) mx c mp(x) para cada x en M, entonces:
i) p es V-afin,
il) s1 n es un subespacio sal.a-invariante de m, entonces N es
V-reflex1va.
Demostraci6n. Como p es V-afin, para probar (i) es suficiente mostrar
preserva e 1 tensor i}--.---sea--x---en- -M-,---x----err----m- - Y' 1 ( l) x
= (exp tX).x . Entonces, ~(t) = pr(t) = (exp t Ad(p)X).p(x) pues ~
es la V-geodesica con ~(O) = p(x) y ~(O) = pl.xX = Ad(p)X e mp(x)
• Si y es el campo local obtenido de Y e m por V-traslacion paralela x - .. .
a 10 largo de V-geodesicas y Y (t) = Yr(t) , obtenemos que pl.Y (t) =
(exp t Ad(p)X) I' ()pl Y .p x .x Como consecuencia, • pl.Y (t) es el
V-trasladado paralelo de p l.xY a 10 largo de ~(t) . Ahora podemos
174
escribir Asi, pi D(X, Y) ·x
'il I X pl·Y· P .x
v I pl· Y· + p .xX
Para probar (ii), mostraremos que ps x
Si es el complemento ortogonal de
(4.5)
Usando que p es una isometria y (4.1) ,
1: I X p I. 1:~ 1 ~-l
1:
pl·aX pl.a 1:x donde X p .a a
para x
n en m
podemos escribir
7(0) e m Y '¥
en M.
es
pl·x = es una
geodesica uniendo a con x De (4.5) y VS 0 obtenemos que
REFERENCIAS.
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in Pure and Applied Mathematics. Vol 5, 1972. 'M. Dekker. New York.
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175
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Facultad de Matematica, Astronomia y Fisica
Universidad Nacional de Cordoba
Valparaiso y Rogelio Martinez
5000 Cordoba - ARGENTINA
Recibido en marzo de 1992.
Revista de la Union Matematica Argentina Volumen 38, 1993.
CALCULO DE UN INVARIANTE AFIN UNIMODULAR EN EL CASO DEL
n-SIMPLEX
1. Van N ypelseer
Pr'esentada par Luis SantalO
Abstract
The affine unimodular invariant I n , introduced by L.A. Santalo, measures the pairs of parallel hyperplanes containing a convex set of the n-dimensional affine space. Among the convex sets with volume V, the ball is the one which maximizes I n . A conjecture of L.A. Santalo says that the n-simplex minimizes J", The following paper shows that for a n-simplex, the value of I n is
1 Introducci6n
n(n + 1) 2n!V
176
El invariante afin unimodular I n , introducido por L.A. Santa16 ([1 J), mide el volumen de los pares de hiperplanos paralelos que contienen a un conjunto convexo C del espacio affn de dimension n. Su valor es:
.l - r dO n - J1sn-l ~(O)n
donde sn-1 es la esfera de radio 1 y ~ es la anchura de C en la direcci6n O.
Se sabe que dentro de los convexos del mismo volumen V, el que maximiza
I n es la bola ([1]). L.A. Santa16 ha conjeturado que el minimo era alcanzado
177
para un n-simplex. EI siguiente trabajo consiste en el caJculo del valor de
In para un n-simplex de volumen V. EI valor obtenido es:
. n(n + 1) In(n-slmplex) = 2n! V
2 Preliminares
Dado que I n es invariante por transformaciones afines de determinante 1, su valor es igual para todos los n-simplices del mismo volumen V. En 10 que
sigue hacemos el calculo expHcito para uri n-simplex regular; el result ado sera valida para cualquier simplex del mismo volumen.
Sea Sn un n-simplex regular de JRn. Llamemos PO,PI, ... ,Pn sus vertices. Ubicamos Sn en un sistema de coordenadas Xl, ... ,:En del siguiente modo:
• Po en el origen del sistema de coordenadas .
• Pi en el subespaeio (Xl, ... , Xi) a una distaneia hi del subespaeio
(Xl, ... ,Xi-l), eon la ultima eoordenada positiva (para cada i, 1 ::; i ::; n).
Comentarios: eon esta eleeeion del sistema de coordenadas aparecen las siguientes propiedades:
1) • Pn tiene por primera eoordenada (Pn)l = ~hl;
• Pn tiene por ultima eoordenada (Pn)n = hn (1)
2) La interseceion de Sn con el subespaeio. (:El' ... ,:Ei) es un simplex --regular-gi pam e-ad.a i-::; T/;; Esd-eeir:(:El; ... ,'Ii) liSn =Si. - --~2)--
3) Se puede demostrar que el volumen de un tal simplex esta dado por
(3)
La anchura de un eonvexo en una direecion [2 se define como la distancia entre los hiperplanos de apoyo perpendieulares a esta direccion. En el caso
del n-simplex, claramente todos los hiperplanos de apoyo salvo un conjunto de medida nul a contienen exactamente dos vertices. Dado que el n-simplex
------------ -------- - ---- ------------- ----
178
es regular, en el calculo de I n bastani con integrar sobre el conjunto de los
hiperplanos que contienen a Po Y PI Y despues multiplicar el result ado por el numero de aristas, 0 sea n(~+l); ASl,
(4)
donde In es la restriccion de I n a los hiperplanos que contienen a Po Y Pl.
3 Calculo del valor de I n
Vamos a establecer primero una relacion entre el valor de In+l asociado con
el (n + l)-simplex Sn+l Y el valor de In, correspondiente al n-simplex Sn. En primer lugar, asociamos a cada direccion 0 suscoorclenadas esfericas. En lRn+l , una direccion 0 = (01, ... ,On+d se puecle definir por n angulos
(al,"" an) de modo que
0 1 - senal'" sen an
O2 cos al sen a2 sen an
cos ai-l sen ai ... sen an
clonde a1 E [0,271"[, ai E [0,71"[ 1 ~ i ~ n. De esta manera, ai mide el angulo entre la proyecdon ortogonal de 0 en
el subespacio (Xl, ... ,Xi+l) Y el eje Xi+l. Se puede demostrar que
dll 2. n-l d 1 H = sen a2 sen a3'" sen an al'" ( an
Lema 1. ~(O) = I sen al ... sen ani hI
(5)
(6)
Demostracion: Sean 71"0 y 71"1 los dos hiperplanos de apoyo perpendiculares
a O. Acordamos que 71"0 contiene al punto Po y 71"1 al punto Pl' De este modo, la distancia entre 71"0 y 71"1 es la distancia de 71"l al origen del sistema.
La ecuacion de 71"1 es 01XI + ... + On:"Cn = d, donde Idl es la distanda de 71"1 al origen. Dado que 71"1 contiene al punto PI = (hI, 0, ... ,0) se deduce que d = hIOI = hI sen ai ... sen an, de donde se sigue el resultado.
In Proposici6n. In+1 = -h-
n+1
179
La demostraci6n se deducini del caJculo de la integral en ]Rn+1. Para
esto, estudiemos primero los dominios de integraci6n: llamemos Di el dO'
minio de variaci6n de los angulos aI, ... ,ai (par (2), Di es el dominio de
variaci6n de los angulos de un (i + I)-simplex SHd. Dados a1,··· ,an-1
fijados en el dominio Dn - 1 , sean /30 y /31 los lfmites de variaci6n del angulo
I 1 hI sen a1 ... sen an-1 Lema 2. -- - -- = --------
tan/31 tan/3o hn+1 (7)
Demostracion: Una vez fijados a1, . .. ,an-I, el angulo an varia entre los angulos
• /30 del hiperplano 7ro que contiene al vert ice Pn+1
• /31 del hiperplano 7r1 que contiene al vert ice Pn+1
El punto Pn+1 tiene coordenadas ((Pn+1h, ... , (Pn+dn+d tales que (Pn+l h =
~h1 Y (Pn+1)n+1 = hn+1 (por (1)). Dado que Pn+1 pertenece al hiperplano 7ro cuya normal 0 = (01, ... ,rln+d
tiene angulos (a1,' .. , an-I, (30) se deduce que
o sea:
hI sen a1 ... sen a n-1 sen /302 + 02(Pn+1h + ... + On(Pn+dn + cos /30hn+1 = O.
1 cos /30 1 hI L~e~o, --. = -- ---.-L- selLa l . ·_~senan-_1 sen.,8o)-=-:.
-tan ttd- sen /30 hn+1 Z-1
--(3-(02(Pn+1h + ... + rln(Pn+dn) (8) sen 0
Por otro lado, 7ro es la imagen de 7r1 por la translaci6n paralela al eje Xl de
longitud hI. Luego, 7r1 contiene a Pn+1 exactamente cuando 7ro contiene al punta P~+l de coordenadas
180
Del mismo modo que antes, se deduce que·
1 1 hI 1 -- = -h . -(sen al ... sen an sen (80) --2 - --(3- (D2 (Pn+ 1 h+-· . +Dn (Pn+ dn) tan,81 n+1 sen 0
(9) Restando (8) de (9) se obtiene el resultado . .
Demostracion de la proposicion : Haciendo el ca1culo explicito de la
integral se obtiene :
4 EI Resultado
Un ca1culo elemental muestra que It = hI Y de la proposicion se deduce
que In = hl-~-h" . Luego I n = ~n(n + 1) . In = ~n(n + 1) . hl-~-hn
Combinando este resultado con el valor de V (3), se deduce que
J _ n(n + 1) ~ ~ n - 2 n! V·
(Trabajo realizado en la Universidad de Buenos Aires bajo la direccion de L.A. Santalo )
181
5 Bibliografia
- 1 - L.A. Santal6, Un nuevo invariante afln para las figuras convexas del plano y del espacio - Mathematicae Notae, Allo XVI
Recibido en marzo de 1992.
Revista de la Uni6n Matematica Argentina Volwnen 38, 1993.
THE CORE-STABLE SETS-THE BARGAINING THEORY FROM A FUNCTIONAL
AND MULTI CRITERION VIEWPOINT
Magdalena Cantisani and Ezio Marchi
Abstract:
182
In this paper,it is introduced the concept of f-imputation from which the
core is defined and a theorem of analogous characterization to that given in
Owen(1982)is proved.
Also,the bargaining theory from the viewpoint analogous to that developed
in Davis and Maschler(1963)and Peleg(1963)is exposed.
1. Introduction
In his excellent book [2], G.Owen provides a characterization of the core
of a game as a subset of IRn.There,he defines the usual notions of imputations
and domination for cooperative n-person games.Davis-Maschler and Peleg in [1]
and [3],introduce the notion of stable coalitions, bargaining sets and prove
existence theorems for the bargaining set M(I) in euclidean spaces. 1
In this paper we introduce the concept of f-imputation which generalizes
the classical notion of imputation. We also extend the concept of core. In
particular, we characterize the latter as a subset of a topological space.
Besides, in the same framework, we study the bargaining set and prove an
existence theorem only assuming the continuity of the function f.
X will indicate a compact connected subset of a topological space.
N will indicate a finite set of index,card(N)=n.
v will indicate a defined function on the subsets of N to nonnegative real
values such that:
v(~)=O
v(SvT) ~ v(S)+v(T) S"T~
(1-1)
(1-2)
183
For all leN let f :X->[O,co) and we indicate f:X->[O,co)n to the application I .
defined by
f(x)={fl (x)} leN
Definition 1-1:An element xeX is an f-imputation for a game v,if
{ I) L f (x) = yeN)
leN I
II) f (x) ~ V({I}) I
(1-3)
for all leN
Definition 1-2:Let x and y be two f-imputations,SeN,then we say that x
dominates y through S and we denote this by x ~ y,if
{
2 - The Core
1l fl(x) > fl(y) for all leS
11) L f (x) :s yeS) leS I
(1-4)
Definition 2-1:The set of all undominated f-imputations for a game v,wil
be called core and we will denote ·it by e(v)
Theorem 2.1:Let f:X -> [O,co)n be surjective,then the core for game v is
the set of all xeX that satisfy:
{ Proof:
t }.£ E +xl~ vtS} -f-or- all Se N leS I
II) L f (x) = yeN) leN I
Let x be (2-1) I) and II)
(2-1)
If S={I} the condition 1l means that fl (x) ~ V({I}) that together with the
condition II) means that x is an f-imputation.
x is undominated,in fact,let us suppose that there exists yeX and SeN such
that f (y) > f (x) for all leS,but this together with (2-1) I) means I I
184
I [ (y) > yes) leS I
and this contradicts (1-4) 11).Hence xeC(v).
Conversely, suppose that y does not satisfy (2-1) I) or II).
If 11) fails,y is not an [-imputation and hence y~C(v).
If y is such that it does not verify i) then there exists SeN such that
I [I(Y) < v(S);this is I [ (y) = v(S)-e with e >0. leS leS I
Let oc = v(N)~v(S)-I V({I}) and ~ =card(S) oc ~ O. leS
Let t={t} e [O,oo)n where I leN
{ [ (y)+~
I ~
t = I v({!})+~
n-~
if leS
if I~S
then by the surjectivity of [,there exists zeX such that [(z)=t,then
{ [ (y)+~
I ~
[ (z)=
I V({I})+~ n-~
if leS
if I~S
Clearly z is an [-imputation and z > y,then y~C(v). s
3-The Bargaining Theory
Hence forth,let us suppose that v:~(N) ~ [0,1) is such that
moreover properties
o {
I) v({d)
II) yeN) = 1
(1-1) and (1-2).
(3-1)
•
For each leN, [I:X ~ [0,1) is continuous and [:X~[O,l)n is surjective.
Definition 3-1:By an [-coalition structure (f.c.s.) for N={1,2, .. n} we
shall mean a partition
185
'-={T • T •......• T } of N 12m
Definition 3-2 : An [-payoff configuration (f.p.c.) for a game v is
(x;'-) = ([1(xl •....• [n(x);T1 •••.•• Tm) • where'- is an [-coalition
(f.c.s.) and xeX is such that
L [ (x) leT I
k
for k 1,2, .. ,m
structure
Definition 3-3: Given a [-payoff configuration as in definition 3-2. we
say that it is individually rational (i.r.f.p.c.) for a game v if it verifies
that
[ (x) ~ V({l}) = 0 I
fur all leN
Y is coalitionally rational (c.r.f.p.c.) for a game v if verifies that
L [ (x) ~ v(S) leS I
for SeT e ,k
Definition 3-4 : Let (x;'-) be a c.r.f.p.c. for a game v and let M and A
(M * A) be belonging to an [-coalition T of'-. j
c An [-objection o[ A against M in (x;'-) is a vector [ (y) = Uk (y) )keC where C
is an [-coalition containing A but not M.and where its coordinates satisfy:
and
and [ (y) ~ [ (x)
k k
L [ (y) = v(C) keC k
Definition 3-5:As
[-objection is a vector
in definition 3-4.an [-counter D
[ (z) = ([ (z)) D • where D is k ke containing M but not A and whose coordinates satisfy
objection to this
an [-coali tion
[k(Z) ~ [ (x) k for each keD
and
[ (z) k ~ [key) for each keD"C
and L [ (0) = v(O)
keD k
186
Definition 3-6 : We say that I is stronger than k (or equivalently,that k
is weaker than I) in (x;~) if I has an f-objection against k which cannot be
f-countered.
We denote this by l»k.We say that I and k are equal if neither I»k nor k»I.We
denote this by I ~ k.
Remark : By definition I~ k in (x;~) if I and k belong to different
f-coalitions.
Definition·3-7:An f-coalition T in ~ is called f-stable in (x;~) if each j
two of its members are equal.
Definition 3-8 The set of all f-stable individually rational f-payoff
configurations is called the f-bargaining set and we denote it by M(I)(f). 1
Given an f-coalition structure ~ , we denote X(~) the set of XEX such that
(x;~) is an i.r.f.p.c.
Lemma 3-1 : Let c 1 (x),c2 (x), ... ,cn(x) be continuous functions defined for
XEX(~) to nonnegative real values.
If,for each XEX(~) and for each TjE~ there exists IET j such that cI(x)~fl(X)
then,there exists ~EX(~) such that cI(~)~fl(~) for each lEN.
Proof:
For XEX(~) and lEN we denote,using the surjectivity of f,
and if lET j
where 1: =card(T ) j j
f (x)-c (x) I I
if f (x)~c (x) I I (3-2)
a if f (X)~C (x) I I
1 f (y)=f (x)-f (z)+- L f (z)
I I I 1: kET k (3-3) j j
It is clear that fey) is a continuous function of f(x).Moreover,it can be see
that fl(Y)~ a and L f (y) = v(T) and as a = v{(ll} ::5 f (y) then y E X(~). lET I J I
j
Let us suppose now f (x) > c (x) . This means that f (z) > a. Moreover, there I I I exists kET such that f (x) ::5 c (x) , then by (3-2) • f (z) a.Hence j k k k
187
then f(x) is not a fixed point by the application of [O,l]n in [O,l]n that to
f(x) it assigns fey) defined in (3-3). Then ,by Brouwer's fixed point theorem,
there exists ~eX(~) such that
fl (~) = f (~)-f (z)+ __ l __ [ f (z) 1 1 't j keT k
and clearly,this means by (3-2) that
fl(~) :s CI(~)
j
for all leN
• Definition 3-9: Let (x;~) be an i.r.f.p.c., and let C be an f~coalition.
Then the f-excess of C is
e(C) = v(C)-[ f (x) leC I
Lemma 3-2 : If in (x;~) , A has an f-objection fC(y) against ~ and this
f-objection cannot be f-countered, then each f-coalition D, for ~eD , and
e(D) ~ e(C),must contain A.
proof:
Let us suppesethat e{D) ~ e(C) and AED we shall see that there exists
zeX such that fD(z) is an f-counter objection of ~ against A.
Let zeX,such that
{ fk(y) if keCn!)
f (z) k
f (X)+E if keD-C k k
(3-4)
We compute Ek ~ 0
In fact,by hypothesis:
and
v(D)-v(C)+[ fk(x)-[ fk(x) ~ 0 C-D D-C
(3-5)
Then,by (3-5)
v(D)=v(C)-[ f (x)+[ f (x)+[ E k k k
C-D D-C D-C
[ E =v(D)-v(C)+[ f (x)-[ f (x) ~ 0 D-C k C-D k D-C k
Selecting
e k
188
v(D)-v(C)+L [ (x)-L [ (x) k k
C-D D-C
card (D-C)
there results that [D(z) is an [-counter objection.
:!: 0
• Lemma 3-3:Let (x;~) be an i.r.f.p,c. Then,the relation » is acyclic.
proof:
It is clear that if I and k are in different [-coalitions,then I - k
Let us suppose that an [-coalition Tie ~ is such that TI={1,2, .. ,t} and that
1 » 2 » 3 » ..... » t. •
Then each leT has an [-objection through the [-coalition C against 1+1 (modt) , I
which cannot be [-counter objected.
Let CI be [-coalition ( among C1 ' ..... ,Ct ) which has maximal [-counter
objected.
We claim that I can [-counter object against 10-1 (mod t) through t.he
[-coalition C I
Clearly i o -l( mod t has only the amount. e(CI -1) at his
disposal to from the [-objecting coalition having 10 the amount
e(CI ) ~ e(CI -1) at his disposal, can always [-counter object
I -l(mod deC o I
unless
Repeating this argument,we must have I -2(mod t) e C ,etc., and eventually o I
I + l(mod deC o I
But this is obviously impossible.
• Theorem 3-1 : Given v as in (3-1) , and ~ any [-structure coalition. Then
there exists at least xeX such that (x;~)eM(I)([). 1
proof:
Let (x;~) be an i.r.f.p.c. T N-T
We denote by (y J,x J ;~) the i.r.f.p.c. which is obtained by keeping [I(x)
fixed for Ie N-TJ and replacing [k(x) by [key)
~eT [k (y) v (T j ). j
for keT where [ (y) ~ 0 and J k
189
T T ~ Y j such that in the i.r.f.p.c. (y j,x j,:7"), Let EI(x) be the set of points
j
I (leT) is not weaker than any other jeN . j
The set EI(x) is closed and j
contains the set of y from the face [1(y)=O of simplex ~j (since,if [1(y)=O,
I can [-counter object with an [-coalition of only 'one element).
We define the function
C 1 (X)=[I (x)+ m a x T
y je E1(x) j
(3-6)
where Tj is the [-coalition in :7" that contains I.It can be easily
C (x) I is continuous as function of x ; since EI (x)
j is upper and
semi-continuous.
EI (x) is semi-continuous since given y with T upper x -7 x Y-7 Y j j n n n
T T N4
seen that
lower
e Ei (x ). j n
For each y j e EI(X ) in each i.r.f.p.c. (y j,x j :7") 1 is not weaker than n j n n n '
any other jeN,i.e. ,I has an [-objection [G(z) against each jeN which cannot
be [-counter objected. Then
[I (z) > [I (YN)
[k(z) ~ [k(YN)
L [k (z) = v(C) keG
for keCcT j
and for all [D(t) where D is any [-coalition such that I~D
or
or
[(t)<[(y) k k n
[ (tl < [ (z) k k
L[ (t) '4:v(D) k keG
for some keD
for some keDnC
T
Then considering the continuity of ~ ,there results y j e Ei(x) and EI is • k j j
upper semi-continuous.
E1(x) is lower semi-continuous. In fact j
let us suppose x -7 x , and for all T
sequence y -7 Y there exists ~o such that y j n ~o
~ E (x j ~o
n
. We shall prove that
190
T
By the assumption,there exists ~~Tj and f j(z) such that
and
f (z) > f (y ) ~ ~ 110
fk(z) l!: f (y ) k 110
for keT j
T
then,by the continuity of fk ,there results y j ~ EICx ) and EI(x) is lower 110 j 110 J
semi-continuous.Moreover,it can be: seen that c (x) is nonnegative .Then , by I
Lemma 3-3,for any xeX(Y) and any T e ~,there exists leT such that I is not . J j
weaker than any keTJ ; then
and c (x) l!: f (x) I I
Then,by Lemma 3-1 there exists t; such that c (t;) l!: f (i;) for all leN. ! I
Moreover,it is clear that
veT ) = L f (i;) = L f (y) ,and c (i;) ~ fl (t;) for all I, since, if J keT k keT k I
j J
there exist.s 10EN such that c i (t;) > fl (t;) , then
M a x Min (f k (t;l-f k (yll > 0 T keT
y leEI (i;) j
j
T
and there exists y J E EI (i;) such that for all keT ,f (t;) > f (yl, then J J k k
L fk(i;) > L f (y) keT kET k
J J
which contradicts (3-7).Hence,there results cl(t;)=fl(t;) for all I.
I But this means that there exists ye EJ(i;l for all I,such that f (y)=f (1;) and T k k
therefore I; .J e EI (i;) for each I and each J . J
Then,in (t;;~) no member is stronger than another.This means that (t;;~)eM(I) 1
•
191
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Universidad Nacional de San Luis & Conicet.
Recibido en marzo de 1992.
Versi6n corregida en noviembre de 1992.
Revista de la Uni6n Matematica ArgeBtina Volumen 38, 1993.
ABOUT THE LP-BOUNDEDNESS OF SOME INTEGRAL OPERATORS
1 2 T. Godoy - M. Urciuolo
192
ABSTRACT. In this note we prove the LP-boundedness, l<p<oo, and the weak type 1-1
of integral operators with kernels of the form n(x,y) j x-y j.a j x+y j'D+a, with n
in L oo(1R2D) and O<a<n.
1. INTRODUCTION.
In [R-S], authors show the boundedness in L2(1R) of the operator
Tf(x) = J jx_yj·a jx+yja.1 f(y) dy (1.1)
for 0<0;<1.
The fundamental tool for the proof of this result is the following
generalization of Schur's boundedness criterion.
LEMMA I. Let IQ() be a measurable function on R2n. Assume that there exist a
function g E LI (~) with g >0 a.e.such that loe
Tg(x) = J K(x,y) g(y) dy S c g(x) a.e.
and
T* g(x) = J K(y,x) g(y) dy S c g(x) a.e.
Then the operator T defined by the kernel K is bounded on L2(~).
1 Partially supported by CONICOR and SECYT (U.N.C.)
2 Partially supported by CONICOR and SECYT (U.N.C.)
193
For the proof of lemma 1 see [B-H-S]. As this is an n-dimensional result, we can
expect that operators of the form
Tf(x) = J O(x,y)lx-yl-a Ix+yl-D+a f(y) dy (1.2)
with 0 in Loo(~2n) and O<a<l1, be bounded on L2(lRn). Indeed, we obtain the
boundedness of (1.2) on LP(lRn), 1 <p<oo.
2.THE MAIN RESULT.
THEOREM I. Let 0 be afunction of Loo(R2n). Then for O<a<n, the operator given by
(1.2) is bounded on LP(~), 1 <p<oo.
PROOF. I Tf(x) I :s; 1101100 J Ix-yl-a Ix+YI-n+a If(y) I dy. We will show that the
operator TI with kernel I x-y I-a I x+y r n+a is bounded on L2(1R0) and of weak type
1-1. The Marcinkiewicz interpolation theorem will then provide the boundedness
of TI on LP(iR") for 1 <p<2. As it is self adjoint, it is also bounded on LP(iR")
for 2<p<00, and the theorem follows. See ([S]) for details.
To study TI, we set k(x,y) = Ix-yl-a I x+yrn+a . This kernel satisfies the
hypothesis of lemma 1. We take g(x) = I x I-~. for some O<~n. It is enough to
obtain, for some constant c>O, J k(x,y) g(yj dy :s; c g(x), for almost every x.
~ x*Q J I x-y I-a I x+y I-o+a I y I-~ dy = J + J A + J A + J
. Al 2 3 ~ with Al = { y:ly-x l:S;l x ll2 }, A2 = { y:ly+xl:S;lxll2 },
A3 = { y:lyl:S;l x ll2} and A4 = (Alu A2u A/.
Now, if y belongs to AI' Iy+xl = I y+2x-x I ~ 2Ixl-ly-xl ~ Ixl and
Iyl ~ Ixl-Ix-YI ~ Ix ll2· Then
J A Ix-yl-a Ix+yl-O+a Iyl-~ dy:S; 2~lxl-o+a-~ J Jr-a+n-I dr dcr =
I 1: O<r<lxll2
=2~+a-n(n-arll1: II x I-~ = C I g(x).
Similarly, J I x-y I-a I x+y I-o+a I y I-~ dy :s; c2 g(x). A2
For yeA3, Ix-yl ~ Ixl-Iyl ~ Ixll2, and also, Ix+yl ~ Ix1/2. So
194
J -~+n-I dr r = c3 g(x).
0< r< I x 112
To estimate the fourth integral, we define B = { y: I y I <31 x I } and we observe
that for YEBc, Ix-YI ~ Iyl-lxl ~ 21y1/3; also Ix+yl ~ 21y1/3. So
I Ix-yl-(l Ix+yl-n+(l IYI-~dy = J + J ~ A An BAn BC
4 4 4
2n+~lxl-n-~ J. dy + (3/2)n J IYI-n-~dy = c' g(x). B BC 4
Then le~ma 1 implies the boundedness of T on L2(lRri). It remains to check the 1 1 2 3
weak type 1-1 of T1·We set EA = { x: I T/(x) I > A}. Then EA !;;; EA u EA u EA, where
= Ix I (l-n L J I x-y I -(l I f(y) I dy ~ j E N 2 - j -I I x I < I x-y I <2 - j I x I
I x I-n L 20+1)(X J I f(y) I dy ~ 2(lMf(x)
j E N I x _ y I <2 -j I x I
L ~«l-n)
JEN
where Mf denotes the Hardy Littlewood maximal function of f. As it is of weak
type 1-1, we get IE~I ~ alllfllllA. , for some positive constant aC
In a similar way we obtain, for XE~, ').)3 ~ 2n-(lMf( -x) L 2-j(l, and so
JEN IE~I ~ a2 IIfll llA., for another positive
If XE~, ').)3 ~ 2nlxl-nllflll and so xEB(O,2(3I1fIl 11A.)11n), then I~I ~ a3 IIfU/A,
for some a3>O.
195
So T is of weak type 1-1 and the theorem follows. • 1
REFERENCES.
[B-H-S] Brown, A., Halmos, P.R., and Shields, A.L. : Cesaro
operators. Acta Szeged 26, 125-137, 1965.
[R-S] Ricci,F., Sjogren,P. : Two parameter maximal functions in
the Heisemberg group, Math. Z. vol 199, 4, 565-575,1988.
[S] Stein, E. Singular integrals and differentiability
properties of functions, Princeton Univ. Press Princeton,
1970.
Facultad de Matematica, AstrOllomia y Fisica
Universidad Nacional de Cordoba
Argentina
Recibido en noviembre de 1992.
Revista de la Uni6n Matematica Argentina Volumen 38, 1993.
DYNAMIC BEHAVIOR OF POSITIVE SOLUTIONS TO REACTION-DIFFUSION PROBLEMS WITH
NONLINEAR ABSORPTION THROUGH THE BOUNDARY
1. Introduction
by JULIAN LOPEZ GOMEZ
VIVIANA MARQUEZ
and NOEMI WOLANSKI*
196
In this paper we study a reaction-diffusion problem with nonlinear absorption through the boundary. We are interested in the existence of positive global solutions.
We find out how the existence of such a solution depends on the relation of the initial datum with the nonnegative solution/solutions to the associated stationary problem.
We give a precise description of the set of positive stationary solutions and the long time behavior of positive global solutions to the evolutionary problem. This description depends on some parameters appearing in the problem.
The problem we consider is
(1.1) Ut = u"'''' - AUP
u",(O,t) = 0,
u(x,O) = uo(x)
O<t<T, O<x<R, u",(R, t) = uq(R, t) t > 0 ,
O<x<R,
where A > 0, p, q > 1 are given constants and Uo > 0, Uo E CHa [0, R] satisfies the compatibility condition,
u~(O) = 0 u~(R) = ug(R) .
Under these conditions there exists a unique maximal solution ([AI], [Am], [An]). From the compatibility condition the smoothness of u(x, t) up to the boundaries x = 0 and x = R is deduced (see [AI] for the smoothness of u in [0, R] x (0, T) and [LMW] for an argument that applied to (1.1) gives the smoothness up to t = 0). So that u E CHa ,1+t ([0, R] x [0, T)).
When A = 0 it was shown in [LMW] (see also [F]) that no global solution exists. In this pa.per we s,how that when A > 0 a completely different picture arises since positive stationary solutions exist in most cases.
Thus as a first step towards the understanding of the dynamic behavior of the solutions to (1.1) for different initial values we analyze in Section 2 the stationary problem,
u"'''' = AUP 0 < x < R,
(1.2) u",(O) = 0, u",(R) = uq(R),
*Member of Consejo Naciona! de Investigaciones Cientificas y Tecnicas of Argentina,
This work was partia.lly supported by the University of Buenos Aires under grant EX-117.
197
and give a complete bifurcation diagram. In Section 3 we analize the stability of the stationary solutions and the long time behavior
of the solutions to (1.1). We also prove that when p :::; q blow up may occur only at x = R. There have been several papers dealing with the balance betw~en different processes. For
instance the balance between reaction and a nonlinear diffusion both when the reaction takes place in the interior or at the boundary as well as reaction against dispersion (see among others [Fij, [ChLSj, [LPSStj, [L]). In this paper we are considering two different reactions one in the substallce that consumes energy and the other with the surrounding medium that produces energy.
2. The stationary problem
In this section we analyze problem (1.2) and give a complete bifurcation diagram. Let us call Uo = u(O) and UR = u(R). Then if u is a positive solution of (1.2), Uo and
UR satisfy
(2.1) {ifl+ 1 _l..=.! /, ~ dt R- --u 2
- . 2>' 0 1 vtp+1 - 1
and
(2.2) 2q _ 2>' (p+1 P+1) u R - P + 1 u R - Uo
Conversely if Uo and UR are related by (2.1) and (2.2) and u is defined on [O,Rj by
(2.3) x = Jp + 1 lU(z) --;==d=s==
2>' luo JSP+1 ~ u~+1
u is a solution of (1.2). . UR
Assume first that 2q :f:. p + 1. Let us call 8 = -. From (2.1) we see that 8 > 1. Let us Uo
rewrite (2.1) in terms of 8. We get,
( p + 1) a 8q/3 19 dt R = -v:- (V8p +1 -1)/3 11 y'tp+1 - 1.
q-1 p-1 where a = , f3 = ---"'----
2q - p - 1 2q - p - 1 8q/3 1,9 dt
Let 1(8) = (_I 1 )'" _I. • Then (2.1) is equivalent to v 8p+ - 1,., 1 V tp+1 - 1
(2.4)
where cpq = (p ~ 1) a. It is easy to verify that I' (8) > 0 if
(2.5) . 8-(p+1) < 1 _ P + 1 - 2q
198
This is the case for instance when 2q > p + 1 and 9 :.::: ( 2q ) P~'
. If (2.5) does not 2q - p - 1
hold we can show that
1'(9) > 9q(3-1 (v'9P: 1 -=---1)(3 v'9P-~1 -1 2q ~/-1 by applying the inequality
18 dt 2 --;==;:::;===. < -- vo;:t-l - 1
1 v'tp+1 - 1 P -+ 1
Thus we conclude that f'(9) > 0 for all 9 > 1 if q :.::: p or 2q < p + 1. Also f'(9) > 0 for 9 sufficiently large when 2q > p + 1.
Let us first consider the case q :.::: p. We have a > 0 and f increasing, thus there exists a unique (I>. for each A such that,
( R -1f )1/01 / \ ( R-1f )1/01 Cpq m '- 1\ < Cpq M
where fm = inf f(8), fM = sup f(8). It is easy to see from the definition of f and the fact 8>1 8>1
that f3 > 0, q > p; 1 that fM = +00. In order to compute fm we apply L'Hospital and
get
fm = { _L p+l
p<q
p=q
Thus if p < q there exists a unique 9).. for each A > 0 whereas if p = q there exists a unique
9).. if A > R- 1 • In both cases :A 8).. > O. From the relation
(2.6)
we get the existence of a unique u)..(R) for each A in the ranges above with :A u)..(R) > O.
It is clear from the considerations above that no positive solution exists if p = q and A ::; R-1 • From (2.6) we see that
lim u)..(R) = 00 for p::;q )..-->00
lim u)..(R) = 0 for p<q )..-->0
lim u)..(R) = 0 for p=q )..-->R-l+
Let us analyze the case 2q < p + 1. We know that f' (8) > O. Since Q < 0 there exists a unique 9).. for each A in the range
( R --1f )1/01 / \ -' ( R-1f )1/01 C pq M -... 1\ "- Cpq m
199
and :>. fh, < o. From the fact that f3 < 0, q < p; 1, it is easy to see that 1M = +00 and
1m = o. Therefore, there exists a solution for each>' > o. From (2.6),
lim u;\(R) = lim [_2_>._ (1- 8 1+1 )] 2q-~-1 = 00 ;\-+0 8 ..... 00 p + 1 p
;\ ..... 0
From the relation u;\(R) = u;\(O)8;\ we can see that 88, u;\(R) < 0 and lim u;\(R) = o. In A A-+oo
fact, 8~ U;\(O) < 0 and lim U;\(O) = 0 as can be seen from (2.1), and by (2.4) lim B;\ = l. A. A-+OO ,).-+00
Assume now that 2q > p + 1 and p > q; This ·is q < p < 2q - 1. We know that I' (B) > 0 for B large enough. It is easy to see that there exists exactly one value 1 < Bo < 00 such that I'(B) < 0 for 1 < 8 < Bo and 1'(8) > 0 for 80 <: 8 < 00. We see that this is true by showing that lim 1(8) = +00 and that 1'(8) cannot vanish more than once. To this end
8 ..... 1 we write
/,(8) = 8qf3-1 ( 1 )f3 g(8) V8p+1 -1
and show that 9 is strictly increasing when q < p < 2q - 1 by using the inequality
/,8 dt 2 V8p+1 - 1
--;=:::::;=;;=== > -- ----,---1 vtp+1 - 1 P + 1 8p
and the fact that f3 - 1 > o. Let A = (Cpq R-1 1(80))1/0/. If >. < A there is no positive solution. If >. = A there is exactly one solution that corresponds to 8 = Bo. When>. > A
there are two different values of 8, 81 > 8i for which :>. 81 > 0, :>. 8~ < o. Associated to each of these 8's there is a solution ui. (2.6) immediately gives that
8 1( ) (). 8 2() 8 2 8>' u;\ R > o. From 2.1 we obtam 8>' u;\ 0 < 0 and therefore also 8>' u;\(R) < o. Finally, lim u1(R) = 00 and lim ui(R) = 0 since this is true for ui(O) and lim 8i = l.
).-+00 A-+OO A-+OO
It is easy to see that ui -7 UA uniformly as >. 1 A since 8i -78A as >. 1 A. So it only remains to analyze the case 2q = p + 1. From (2.2),
2q 2q (1 q) Uo = uR -:x
1
Thus it is clear that we must have>. > q. When this is the case UR = (->.-) 2q" so that . ~ >.-q
(2.1) gives an explicit formula for the value U;\(O),
R-1 q f A-. dt ( If (_A )'/2' ) .,:,
>. i1 vtp+1 - 1
200
From this formula it is clear that lim u)..(O) S· li u)..(R) O. mce m --)..-->00 u)..(O)
1 we find that .A.-·-+oo
lim u)..(R) = O. )..-->00
On the other hand lim (J>, = +00. Since lim u)..(O) > 0 we deduce that lim u)..(R) = )..-->q+ )..-->q+ )..-->q+
+00. It is easy t.o see by analyzing the behavior of (J>, and u)..(O) that in this case :A u)..(R) < O.
We may summarize these results in the following bifurcation diagrams. The stability or instability of the branches is a consequence of the results in Section 3.
\1 v..lIoo
""_-J-; _____ .::;.
tI,-' ). -f---------';>
A
Uu.u .. -.< f < 2.'4-' II 'U. u.. f :.l.~-I 11""\1,.,
~ ')0 4'1--1
( I
~ 310 1\ ).. '\- 1\ >-
It can be seen from the diagrams that when q ~ p ~ 2q - 1 there are some values of >.. for which there is no positive solution. In all other cases there is exactly one positive solution for each A.
We write these results in detail in the following theorem,
201
THEOREM 2.1. Let A > 0, p, q > 1. Then (1) p < q
For each A > 0 there exists a unique positive solution u)., to (1.2). u).,(R) is strictly increasing as a function of A, lim u).,(R) = 0 and lim u)..(R) = 00.
)..->0 )..->00
(2) p = q i) If A :::; R-1 (1.2) has no positive solutions. ii) If A > R- 1 there e4ists a unique positive solution u).. of (1.2), u)..(R) is strictly increasing as a function of A, lim u).,(R) = 0 and lim u)..(R) = 00.
)..->R-l+ )..->00
(3) q < p < 2q - 1 There exists A > 0 depending on p, q and Rsuch that i) If A < A (1.2) has no positive solutions. ii) If A = A there exists a unique positive solution to (1.2). iii) If A > A there exist exactly two positive solutions ul > ui and they satisfy
88, ul(R) > 0, 8~ ui(R) < 0, lim ui = UA uniformly on [O,Rj, lim u\(R) = 00 1\ 1\ )..->A )..->00
and lim ui(R) = o. ).,->00
(4) p=2q-1 i) If A :::; q (1.2) has no positive solutions. ii) If A > q there exists a unique positive solution u).. to (1.2), u)..(R) is strictly decreasing as a function of A, lim u)..(R) = 00 and lim u)..(R) = O.
)..->q+ )..->00
(5) p> 2q-1 For each A > 0 there exists a unique positive solution u).. to (1.2), u)..(R) is strictly decreasing as a function of A, lim u)..(O) = 00 and lim u).,(R) = O.
)..->0 ).,->00
OBSERVATION. Let UR = lim u)..(R) and Uo given by )..->)..0
p+l _ p+l (1 P + 1 2Q - P-l) U o - uR - 2Ao uR
Let u( z) be given by ~
dt z - --u 2 &,+1 -l'.::.!l"O
- 2Ao 0 1 .jtp+1 - 1
then u is a solution of
{ u",,,, = AouP
u",(O) = 0
u",(R) = uQ(R)
and u).. converges to u as A -+ Ao uniformly on [O,Rj.
3. The evolutionary problem
In this section we study the global behavior of the solution to (1.1) depending on the relation of the initial datum Uo with respect to the stationary solution/solutions found in Section 2.
202
We "\0 show that every solution remains bounded in time at each point of the interval [O,R) when p S q. ~
Local existence of weak solutions to (1.1) was proved in [AI], [Am]' [An]. [AI] and [Am] also show the solution to be classical for t > 0 'Nhen u() satisfies the compatibility condition
u~(O) = 0 , u~(R) = u5(R)
On the other hand argueying as in Section 1 in [LMW] it is possible to show that '/1 is smooth up to t = 0. This is,
PROPOSITION :3.1. Let ° < a < 1 and 'Uo E CHa[O, R] be such that u6(0) = 0, u~(R) = U6(R). There exists a maximal T = T(uo) > ° (if. could be infinity) such that (1.1) has a unique solution u E CHa,Hg ([0, R] x [0, T)). Moreover if T < 00, lim sup lu(R, i)1 = 00.
tTT Also if Uo :::0: 0, u(x, i) :::0: ° for t > o.
In the next proposition we characterize the w--limit set of a global solution. As one expects, if v E w-limit set of uo, v is a solution of (1.2). In fact,
PROPOSITION 3.2. Letuo E Hl(O, R) be such that the weak solution to (1.1) exists for all times (1~ E Lfoc(O, 00; 1[1 (0, R)). Let "-'( uo) be the ""'-limit set of uo. If v belongs to w( uo), v is a solution to (1.2).
Proof. As has already been observed in [AI] problem (1.1) has the following Liapunov functional,
V(u) = ~- lR 'u;(x)da: + ~_ lR n P+1(x)dx _ ----.:~-71,q+l(R) 2 io P + 1 io q + 1
In fad it is immediate to see that any solution satisfies,
(3.1 )
j t iR 1 lR ). iR 11;(X,T)dxdT + - u;(x,t)dx + -- up+1 (x,t)dx-
sO 20 p+1 0 ·
1 1 j'R ). lR 1 - --nQ+1(R,i) == - u;(x,s)dx + --- uP+1(x,s)dx- --uQ +1 (R,s) q+l 2 0 p+1 0 q+1
General results on dynamic behavior of semilinearparabolic p;ooblems (see for instance
[H]) imply that w( 7)'0) is an invariant subset of {V = O} where V is the derivative of V fR
along trayectories, Simple computations show that V(u) = io (u",,,, - A11'p)2dx. Therefore
any function v E w( uo) satisfies
203
In order to see that v also satisfies the boundary conditions it is necessary to use the invariance of w(uo). In fact, let w('; t) = S(t)v where S(t) is the semigroup associated to problem (1.1). Since w(uo) is invariant w(·, t) satisfies
W.,., - AWP = 0
therefore'wt == O. This implies that W = v and thus v satisfies the boundary conditions.
REMARK. Identity (3.1) with s = 0 shows that bounded global solutions have no empty w-limit set since they belong to Loo(O,oo; Hl(O, R)). Moreover, for every tn --+ 00 there exists a subsequence tn' --+ 00 such that u(·,tn,) ~ v E w(uo) in Hl(O,R) as n --+ 00. In particular, if w(uo) = {v} and u is a bounded solution, u(·,t) ~ v in Hl(O,R) (t --+ 00)
and also uniformly on [O,R].
We state here a comparison result that can be found in [An].
PROPOSITION 3.3. Let u 1 and u 2 he weak solutions of (1.1) with initial values uij ~ u~. The u 1 ~ u 2 for t < min (T(uij), T(um.
COROLLARY 3.1. Let u be a classical solution of (1.1) such that
uou - AU~ <: (resp. » 0 on [0, R]
then Ut ~ (resp. ~) 0 for t < T(uo).
Proof. It follows by comparison between the two solutions of (1.1), u and U e where
ue(X, t) = u(:c, t + c)
and e < c~.
COROLLARY 3.2. Let u be a solution of (1.1) with Uo = up. where up. is a positive stationary solution of
u.,., =J.LUP '
U.,(O) = 0,
Then if J.L > A, Ut ~ 0 and if J.L < A, Ut ~ O.
O<x<R
u.,(R) ~ uq(R)
We are now able to analyze the global behavior of the solutions to (1.1) for different initial values.
We prove the following result,
204
THEOREM 3.1. Let 11, be the maximal solution to (1.1) with 11,0 E C2+"'[O,R], 11,0 ~ 0 and compatible and T( 11,0) :::; 00 its existence time. Then,
(1) Let p < q. Let 11,>. be the unique positive stationary solution .. Then (i) Ifuo > u>., T(uo) < 00 and limsupu(R,t) = +00.
t->T( .. o)
(ii) Ifuo < u>., T(uo) = +00 and u(.,t) -+ 0 (t -+ 00).
(2) Let p == q (i) If>..:::; R-l, lim sup uCR,t) = +00 for every 11,0 > O. Moreoverif>.. < R-l, T(uo) < 00.
t->T( .. o)
(ii) If >.. > R-1 , let 11,>. be the unique positive stationary solution. Then, (a) Ifuo > 11,>., limsupu(R,t) = +00.
t->l'( .. o)
(b) Ifuo < 11,>., T(uo) = +00 and u(.,t) -+ 0 (t -+ 00).
(3) Let q < p < 2q -1. Let A E R be such that for>.. > A there are two branches of positive stationary solutions. With th.e notation of Section 2, (i) If >.. < A, lim sup u(R, t) = +00 for every 11,0'
t->T( .. o)
(ii) If >.. = A there is a unique positive stationary solution u>. and, (a) 11,0:::; 11,>., T(uo) = +00 and u(·,t) -+ 11,>. (t -+ 00).
(b) 11,0> 11,>., limsupu(R,t) = +00. t->T( .. o)
(iii) If >.. > A and, (a) 11,0> u1, limsupu(R,t) = +00.
t->T( .. o)
(b) 11,0 < 11,1. T(uo) = +00 and u(·,t) -+ u~ (t -+ 00).
(4) Let p = 2q -1 and (i) >..:::; q. Then limsupu(R,t) = +00 for every 11,0'
t->T( 'Uo)
(ii) >.. > q. Let 11,>. be the unique positive stationa.ry solution. Then T(uo) = +00 and u(·,t) -+ 11,>. (t -+ 00).
(5) Let p > 2q - 1 and 11,>. be the unique positive stationary solution. Then T(uo) = +00
. and '1£(" t) -+ 11,>. (t -+ 00).
Proof. (1) Let p < q and 11,0 < 11,>. on [O,R]. As a consequence of the uniform convergence on [0, R] of 11,,.. to 11,>. as p, -+ >.., there eXists p, < >.. such that 11,0 < 11,,... Let v be the solution of (1.1) with initial value 11,,.., then, by Corollary 3.2, Vt :::; 0 and u :::; v by comparison. This estimate implies that 11, is a global solution and
u(R, t) :::; vCR, t) :::; u,..(R) < u>.(R)
for every t > O. This in turn implies that 11,>. tJ. w(uo). Thus
11,(" t) -+ 0 (t-+oo)
Let 11,0 > 11,>.. The argument above shows tha,t there exists p, > >.. such that 11,0 > 11,,... If v is the solution of (1.1) with initial value 11,,.., Vt ~ 0 and 11, ~ v. This in turn implies that u(R, t) ~ vCR, t). It is clear that vCR, t) -+ 00 as t -+ T( 11,,..) since v cannot be bounded and at the same time
vCR, t) ~ u,..(R) > u>.(R) > 0
205
Let us see that v actually blows up in finite time. Assume v exists globally; we claim that there exists a time to such that
(3.2) 1 rR
1 Ii 10 v(a:,to)da: > (AR)q-p
. 1 rR We prove it by contradiction. Let m(t) = Ii 10 v(a:, t)da:. Then,
(3.3) Rm'(t) = iR Vt(a:, t)da: = iR v"'''' (a:, t)da: - A iR vP(a:, t)da:
= vq(R, t) - A iR vP(a:, t)da:
From (3.3) and the fact that Vt ~ 0 we see that there exists limt-+oo m'(t). Assume 1
(3.2) is not true, then m(t) is bounded from above by (AR)q-p and nonnegative. By the considerations above m'(t) -+ 0 as t -+ 00, so that there exists tl such that t > tl implies Rm'(t) < 1.
From (3.3) we see that for t > t l , vq(R,t) < 1 + ARvP(R,i) since Vo increasing implies that v is increasing in space. This last inequality is impossible since p < q andv(R, t) -+ 00. So let to be such that (3.2) holds. Proceeding as before we get from (3.3)
(3.4) m'(t) ~ ~(vq(R,t) - ARvP(R,t)) = ~vP(R,t)(vq-P(R,t) - AR)
~ ~vP(R,t)(m(t)q-p - AR)
thus m'(to) > 0 which implies that
(3.5) m(t) > m(to) > (AR)q~p
for t > to, t close to to. And therefore (3.5) holds for every t. We have
so m(t) cannot exist for all t. Therefore u does not exist globally and we have
(2) p = q
lim sup u(R,t) =-+00 t-+T(uo)
(i) Let A ~ R- I . Let,.." > R- I such that u,.. < uo. Since,.." > A if v is the solution of (1.1) with v(a:,O) = u,.., Vt ~ O. Therefore u(a:, t) ~ u,..(a:) ~ u,..(O) > O. Thus u cannot
206
remain bounded since there are no positive stationary solutions in this case. Moreover if >. < R- 1 , u blows up in finite time. In fact from (3.4)
1 1 m'(t) ~ :R(l - >.R)vP(R, t) ~ :R(l - >'R) [m(tW
and therefore v cannot exist for all time. (ii) If >. > R- 1 , the same arguments as in the case p < q show that for Uo > u)..,
limsupu(R,t) = 00 and for Uo < u).., lim u(·,t) = O. t->T( uo) t->oo
(3) q < p < 2q - 1 . (i) Let>. < A. Let Uo > 0 and let J.L large enough so as to have J.L > A, Uo > u!. Let v
be the solution with initial datum u!. Then
u(x,t) ~ v(x,t) ~ u!(O) > 0
As there is no positive stationary solution we deduce that
(ii) >. = A
limsupu(R,t) = +00 t->T( uo)
(a) Let UA ~ Uo > 0 on [0, RJ. Let J.L large enough so as to have J.L > A and Uo > u!. Then
uA(R) ~ u(x, t) ~ u!(O) > 0
and we conclude that u converges to UA as t goes to infinity. (b) Let Uo > UA and let J.L > A small enough as to have Uo > u~. We have
as long as it exists. This implies that u(x, tn) cannot converge to UA or 0 as n goes to infinity. Therefore
(iii) >. > A
lim sup u(R, t) = +00 t->T(uo)
(a) If Uo > u\ we proceed as in (3.ii.b) to conclude that
Hm sup u(R, t) = +00 t->T(uo)
(b) Let 0 < Uo < u\ on [O,RJ. Let J.L large enough as to have J.L > >. and Uo > u!; and >. > v > A close enough to >. as to have Uo < u~. Then
0< u!(O):::; u(x,t):::; u~(R) < u\(R)
and we conclude that u converges to ui as t goes to infinity.
207
(4)p=2q-l (i) If >. ~ q we proceed as in the case (2.i) by taking JL > q sufficiently large and
comparing u with v. We deduce that
limsupu(R,t) = +00 t-+T(uo)
(ii) Let>. > q. We want to show that u exists globaJJ.y even if Uo > u>.. For this purpose we construct a supersolution v with v(:z:, 0) = Vo ~ uo. Let us see that there exist >. > JL > q and c > 0 such that the function
satisfies v~(O) = 0, v~(R) = vg(R) and v~ - >'v~ < 0
In fact the condition at the origin is immediate. We choose q < JL < v < >. such that v is 1
large enough so that· h( c) = c1 / q - c is a decreasing function of c for (~) p-l < c < 1 and
JL is sufficiently close to q so as to have
1
Here we use the fact that lim u,.(R) = +00. Now let (~) p-l < c < 1 be such that . ,.-+q+ >.
(3.6)
Let us see that with this choice of c and JL, Vo satisfies the conditions above. In fact,
(cuI' + IluoIILoo)""" - >.(cu,. + IluollLoo)P = CJLU~ - >.(cu,. + IluollLoo)P =
= c1 - p JL( CU,.)P - >.( cUI" + Iluo IILoo)P < 0
because C1-PJL < >. by construction. Let us check the boundary condition,
if and only if c1/qu,.(R) = cu,.(R) + IluollLoo
and this is eqUivalent to (3.6). Since Vo > Uo we have v(:c, t) > u(:z:, t) if v is the solution of (1.1) with initial datum Vo.
Also Vt ~ O. Therefore u is bounded. On the other hand we may choose u large enough as to have u > >. and Ucr < Uo, since ucr(R) ---; 0 (u ---; 00) in this case. Therefore
u(:c, t) ~ ucr(O) > 0
208
for every t. This implies that u converges to u).. as t goes to 00.
(5) P > 2q-1 From Theorem 2.1 we know that u,.(R) --+ 0 (p, --+ 00) and uv(O) --+ 00 (v --+ 0). Let Uo > 0 on [0, R], let p, large enough so as to have p, > ). and u,. < Uo and v small
enough so as to have v < ). and Uo < Uv • Let v be the solution of (1.1) with initial datum u,. and 10 the solution with initial datum U v • We have
0< U,.(O):::; v(x,t) :::; u(x,t):::; lO(X,t):::; uv(R)
Therefore T( uo) = +00. Since u( x, tn) cannot converge to zero for any sequence tn --+ 00
we deduce that u converges to u).. as t --+ 00. .
This concludes the proof of Theorem 3.1.
Finally we prove that when p :::; q blow up may occur only at the boundary x = R.
PROPOSITION 3.4. Let p :::; q and let u be a classical positive solution of (1.1), there exists a constant c = c( uo) such that
c u( x, t) :::; 1
(R-x)q::T
as long as it exists.
Proof. The ideas in this proof have already been used in [LMW], also in [FMcL] for the semilinear equation. Assume first that u'" 2: o. We show that there exists a nonnegative smooth function· 9 with g( R) > 0 such that
(3.7) u",(x, t) 2: g( x )uq (x, t)
In fact let v = u'" and w = g( x )uq where 9 is chosen smooth convex with g(O) = 0, g(R) > 0 and such that
then
also
u' ~ 2: g(x) Uo
on [O,R]
(w - v)t - (w - v)",,,, = _).gqup+q - 1 - g"uq - 2g'quq - 1u",
- q(q -1)guq - 2u; + ).pup-1u",
v(x,O) 2: w(x,O)
v(O, t) = w(O, t)
v(R, t) 2: w(R, t)
O<x<R
t >0
t>O
209
Thus if w - v were positive somewhere it would attain its positive maximum at an interior point (xo, to). At this point we would have w = guq > u., = v. Also (w - v)t ::::: 0 and (w - v).,., ::; o. Therefore
0::; (w - v)t - (w - v).,., < AguP+q - 1(p - q) ::; 0
Therefore v ::::: w everywhere. This estimate leads to the inequality c
u(x,t)::; 1
(R-X)q-l (3.8)
In fact after an integration of (3.7) we get to
(q -:-l)U~-:l(X, t) ::::: lR g(8)d8
As g(R) is positive an estimate from below of the integral gives (3.8). When u., is not necessarily nonnegative it is 'possible to show that a nonpositive bound
from below of u~ is a bound from below of U.,( x, t). A slight modification of the arguments above leads to (3.8) (see [LMW] for the details).
REFERENCES
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Viviana Marquez and Noemi Wolanski Departamento de Matematica J:i'acultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires (1428) Buenos Aires, Argentina
Version modificada en setiembre de 1993.
Revista de la Union Matematica Argentina Volumen 38, 1993.
ABSTRACT
A CLASS OF MINIMAL SUBMANIFOLDS
IN A 2-STEP NILPOTENT LIE GROUP
Carlos J. Ferraris
210
We study the existence of minimal submanifolds in a simply connected 2-step nilpotent
Lie group N with a left invariant metric, the main result being that everyone-parameter
subgroup of N lies in at least one 2-dimensional connected subgroup which is a minimal
submanifold of N. A similar result is also obtained for a class of solvable Lie groups
with a left invariant metric.
INTRODUCTION
This article deals with the existence of minimal submanifolds ina 2-step nilpotent Lie
group N with a left invariant metric.
In Section 1, we introduce the notation and recall some of the concepts to be used in
the sequel.
In Section 2, we derive the existence of minimal submanifolds uaturally associated to
one-parameter subgroups of N.
In Section 3, we obtain a similiar result for a class of solvable Lie groups (semi-direct
product of R and a 2-step nilpotent Lie group) with a left invariant metric.
211
1. MINIMAL SUBMANIFOLDS IN A LIE GROUP
Let (G, ( , ) be a connected Lie group with a left invariant metric ( , ) and let (9, ( , )
denote its Lie algebra with the inner product ( ,). The Levi-Civita connection for
( G, ( , ) can be expressed in terms of 9 by the formula
(1) 'V X Y = 1/2([X, Y] - adx - adyX), X, Y E g,
where * stands for the adjoint relative to the inner product ( , ) on g, cf. [2].
DEFINITION 1.1. A submanifold M of (G, ( , )) is called a minimal submanifold if
trace 11M == 0, where 11M stands for the second fundamental form of Min (G, ( , ).
Let H be a connected Lie subgroup of G and let H be its Lie sub algebra.
PROPOSITION 1.2. A connected Lie subgroup H of G is a minimal submanifold
of (G, ( , ) if and only if L: 'VXiXi belongs to H, for an orthonormal basis (X;) of
(H, ( , ). (L: 'VX.Xi is independent of the orthonormal basis (Xi». i
PROOF: It follows from the formula
X,YEg
(where 'V1l indicates the covariant derivative in H) and the fact that
trace lIn = LIIH(Xi,X;l i
for an orthonormal basis {Xi) of (9, ( , ).
The remark tha.t L: 'VX.Xi is independent of the orthonormal basis (Xi) follows from
the properties of the covariant derivative and the fact that if (l'j ) is another orthonormal
basis, then l'j = L: aij Xj, where (aij) is an orthogonal matrix, and hence i
= Lbik'VX.Xk = L'VX.Xi. i,k i
212
2. 2-STEP NILPOTENT LIE GROUPS
Let N be a real finite dimensional 2-step nilpotent Lie algebra, i.e. 0 -=f. [N,N] c Z,
where Z is.the center of N. If ( , ) is a positive definite inner product on N, then
where V = Z.l = orthogonal complement of Z.
For every Z E Z, there is a skew-symmetric operator j(Z) on V defined by
(j(Z)V, W) = ([V, W], Z), Z E Z, V, WE V.
Let (N, ( , ) denote the simply connected 2-step nilpotent Lie group with Lie algebra
N end left invariant metric ( , ).
From formula (1) follows:
i) \1vW =:= 1/2 [V, W], V, WE V,
ii) \1z Z' = 0, Z,Z' E Z,
iii) \1vZ = \1zV = -1/2 j(Z)V, Z E Z, V E V.
THEOREM 2.1. Let (N, ( , ) be a simply connected 2-step nilpotent Lie group
with a left invariant metric ( , ). Every one-parallleter tiubgl'oup of N lies in at least
one 2-dimensional connected (abelian) subgroup H which is a minimal submanifold of
(N,{, ).
PROOF: We consider first the generic case, i.e., let X E N, with X = V + Z, 0 -=f.
V E V and 0 -=f. Z E Z. In this case, we take H = span {V, Z} and we prove that the
connected subgroup H = exp(H), which contaill~ the one-parameter. subgroup exp tX,
is a minimal submanifold of (N, ( , ). In fact, by applying formulas (i) and (ii) to the
orthonomlal basis {V/IIVII' Z/llzll} of (H, ( , ) we obtain
\1 V/ 11 1'1I V/IIVII + \1 z/llzIIZ/llzll = O.
Hence H = exp(H) is a minimal submanifold of (N, ( , ) by Proposition 1.2. In the case
V = 0 or Z = 0 we just take a non zero vector ei ther in V or Z, to obtain a 2-dimensional
minimal subgroup H of (N, ( , ). This concludes the proof of the theorem.
213
REMARK. We observe that if H = exp(1t) for 1t = span {V, Z}, 0 -# V E V and
o -# Z E Z and (N, ( , ) is of Heisenberg type, i.e., j2(Z) = -IIZII2 Id., for every
Z E Z, cf. [3] and [5], or more generally nonsing-ular adx: N --+ Z is surjective for
every X E N - Z} then th~ subgroup H is a minimal submanifold which is neither
totally geodesic ('V X Y E 1t, -for every X, Y E 1t) nor fiat (the sectional curvature
K(V, Z) = 0). In fact,
0-# 'VvZ = ...,.1/2j(~)V tf. 1t
and a simple calculation shows that
K(V,Z) = ~ IU(Z)VW if V and Z are unit vectors.
The property of Theorem 2.1 is not shared for every 3-step nilpotent Lie group with a
left invariant metric as it is shown by the following example. Let N be the Lie algebra
of matrices
}f~q~ Xl YI
~l 0 X2 Xl, X2, X3, YI , Y2, Z E R} 0 0 l' ,
3
0 0 0
N is a 3-step nilpotent Lie algebra aud if we set
X, ~ [! L 0
!l ' [0 0 0
!l ' X, ~ [! 0 0 !l ' 0, 0 _ - 0 0 1 0 0 o· 0 ){2 = ~ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Y, ~ [~ 0 1
~l ' y, ,~ [~ 0 0
~l ~d z ~ [~ 0 0
~l 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
we have
214
We give to N the inner procitlct ( , ) such that the vectors {Xl, X 2 , X 3 , Yl , Yz, Z} form
an orthonormal basis. Let (N, ( , )) denote the simply connected 3-step nilpotent Lie
group with Lie algebra N anclleft invariant metric ( , )
We show there is a vector inN for which the corresponding one-parameter subgroup
cannot lie in any 2-dimensional minimal subgroup of (N, ( , ).
We consider V = 1/ J3 (X3 +1'2+Z) and we shall prove that the one-parameter subgroup
exp tV cannot lie in any 2-dimensional minimal subgroup H of (N, ( , ).
In fact, let us assume that H = exp(H) is a 2-dimensional subgroup containing the one
parameter subgroup exp nT, then H must cCllltaill aunit vector U such that (U, V) = 0
and [U, Vl = 0, the latter is due to the fact that H must be abelian since it is a
2-climensional nilpotent Lie algebra. We shall show that H cannot be minimal.
Let
smce
this implies 02 = 0 and 1'1 + n j = O.
On the other hand
and hence
Therefore
and
215
From now on we indicate a = a3 and (3 = (32, wi"th this notation a computation using
formula (1) gives us
"VuU + "VvV = [1/3 - (3(a + (3)]Xl + [1/3 + (a~ + a(3)]X2 -
- al(a + (3)X3 + [1/3 - a(a + (3)]Yl + + al(a + (3)Y2 .
We have two cases to be considered, namely.
CASE 1: al= O. We claim that "V uU + "V V V =I O. In fact, if it were equal to zero,
then
1/3 - (3(a + (3) = 1/3 + a(3 = 1/3 - a(a + (3) = o.
From this follows easily that a 2 = (32 =2/3.
On the other hand
and by substituting the values of a 2 and (32, we would have that IIUI12 = 2, contradicting
the .fact that U is a unit vector. It is also clear that "V uU + "V v V ¢. 'H.
CASE 2: al =I 0: We have two subcases:
i) a + (3 = 0, and then it follows immediately that "VuU + "VvV ¢.'H.
ii) a + (3 =I 0, then "VuU + "V v V =I o. We claim that "VuU + "V v V ¢. 'H, if it were not
so, then there would exist constants A and B such that
"VuU + "VvV = AU + BV.
Now by looking at the components in the X 3 , Y2 and Z directions we would have , A = B = 0, contradicting the fact that "V u U + "V v V =I O. This concludes our assertion.
REMARK. It seems quite reasonable to conjecture that the property of Theorem 2.1
characterizes thf; 2-step nilpotent Lie groups in the class of nilpotent Lie groups with a
left invariant metric.
216
3. SOLVABLE LIE GROUPS
Let (N, ( , )) be a 2-step nilpotent Lie algebr'a with an inner product ( , ) as in Section
2.
We define
,\ E R, ,\ i= O.
adAV = ,\V,
adAZ = 2,\Z,
by
V E V,
Z E Z,
S becomes a solvable Lie algebra and we define an inner product on S. by assuming that
IIAII = 1 and A is orthogonal do N.
Let (S, ( , )) denote the simply connected solvable Lie group 'with Lie algebra Sand
left invariant metric ( , ).
We have the following formulas for the covariant derivative
\7 AB = O. \7AV = 0; \7AZ = 0;
\7 v A = -/\V; \7 zA = -2'\Z;
\7vW = 1/2 [V, ~'V] +,\ (V, W) A;
\7 zZ' = 2,\ (Z, Z') A;
\7 v Z = \7zV = -1/2j(Z)V
where B ERA, V, 'IV E V, Z, Z' E Z.
For more details on the geometry of (S, ( , )), see [1] and [4].
THEOREM 3.1. Let (S, ( , )) be as above. Every one-parameter subgroup of S lies
in at least one 3-dimensional connected subgroup H which is a minimal submanifold of
(S, ( , )).
217
PROOF: We just consider the generic case, that is, X = a A + V + Z, a =1= 0, 0 =1= V E V
and 0 =f Z E Z. We take 7-{ = span {A., V, Z} and H = exp(H), By appling formulas
(2) to the orthonormal basis {A, V IIIVII, Z/IIZII} of (H, ( , )) we get
\7 AA + \7v/IIVIIVIIIVII + \7 z/llzllZ/IIZII =
= >. (VIIIVII, VIIIVII) A + 2>' (Z/IIZII, Z/IIZII) A =
= 3>'A E H.
This shows that H = exp(H) is a minimal submanifold of (S, ( , )) by Proposition 1.2.
REMARK. If (N, ( , )) is of Heisenberg type or nonsingular then the subgroup H = exp(H) of Theorem 3.1 is minimal without being totally geodesic, in fact, \7 Z V = -1/2j(Z)V i H.
ACKNOWLEDGMENT. The author wishes to thank the referee for pointing out a
fact that simplified the proof of Theorems 2.1 and 3.1.
218
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Campus Universit1:1.rio- Trinclade
CEP 88049 Florianopolis, SC
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Recibido en abril de 1993.
Version modificada en junio de 1993.
Revista de la Uni6n Matematica Argentina Volumen 38,1993.
219
BOUNDEDNESS OF SINGULAR INTEGRAL OPERATORS ON Hw.
Eleonor Harboure - Beairiz Viviani
Presentado pOl" Carlos Segovia
Abstract: We study the boundedness of singular integral operators on Orlicz-Hardy
spaces H w , in the setting of spaces of homogeneous type. As an application of this
result, we obtain a characterization of HwIRn in terms of the Riesz Transforms.
§ 1. NOTATION AND DEFINITIONS
Let X be a set. A function d : X x X -+ IR+ U {OJ shall be called a quasi-distance on
X if there exists a finite constant K such that
(1.1 ) d(x, y) = 0 if and only if x = y
(1.2) d(x,y)::.~ d(y,x)
and
(1.3) d(x, y) :::; K[d(:T, z) + d(z, y)]
for every x, y and z in X.
In a set X, endowed with a quasi-distance d(x, V), the balls
B(x,r) = {y: d(x,y) < r}, r > 0,
form a basis for the neighbourhoods of x in the topology induced by the uniform struc
ture on X.
We shall say that a set X, with a quasi-distance d( x, y) and a non-negative measure
p, defined on a O"-algebra of subsets of X containing the balls B(.T,7'), is a. norma.l
220
space of homogeneous type if there exist four positive finite constants 04 1 ,'042 • Kl and
J{z, J{z ~ 1 ~ J{l, such that
(1.4)
(1.5) B(x, r) = X if r > J{lI.t(X)
(1.6)
(1.7) B(x,r) = {x} if r < J{zl.L({x}).
We note that, under these conditions, there exists a finite constant A., sueh that
(1.8) 0< J.L(B(x, 2r)) ~ AJ.L(B(x, r))
holds for every x E X and r > O.
We shall say that a normal space of homogeneous type (X, d, J.L) is of order 0:, 0 < 0: < 00,
if there exists a finite constant J{3 satisfying
(1.9)
for every x,y and z in X, whenever d(x,z) < r and d(y,z) < r (See [MS]).
Throughout this paper X = (X, d, J.L) shall denote a normal space of h.omogeneous type
of order 0:,0 < 0: ~ 1.
Let p be a positive function defined on lR+. vIe shall say that p. is of upper type m . .
(respectively, lower type m) if there exists a positive constant c such that
(1.10)
221
for every t 2: 1 (respectively, 0 < t :5 1). A non-decreasing function p of finite upper
type such that limt~o+ p( t) = 0 is called a growth function.
For pet) a positive right-continuous non-decreasing function satisfying limt_o+ pit) = 0
and limt~oo pet) = 00, the function
(1.11) ~(t) = 1t p(s)ds
will be called a Young function.
Given ~(t) a Young function of finite upper type, we define the Orlicz space L~ by
Lip = {J: J ~(If(x)l)dx < oo},
and we denote by
II f IIL.= inf{A : J ~ Cf~)I) :5 I}
the Luxemburg norm.
G~ven a Young function, we consider the complementary Young function of·~ defined
by
.,p(t) = t q(s)ds , with q(s) = sup t. 10 p(t)~s
For ~(x) a Young function, the Holder inequality
(1.12)
holds for every f E Lip and gEL",.
We shall understand that two positive functions are equivalent if their ratio is bounded
above and below by two positive constants.
Let p be a growth function. We shall say that a function .,p(x) belongs to Lip(p), if
l.,p(x) - .,p(y)1 11.,p IILip(p)= sup (d( )) < 00
x#y P x,y
holds. When pet) is the function t~, 0 < j3 < 00, we shall say that .,p(t) is in Lip(j3)
and, in this case, II .,p II~ indicates its norm.
222
The space of distributions (EQ:)', introduced by Maci.a"s and SeHo'via in [MS], is the dual "i4 space of EQ: consisting of all function with bounded support belonging to Lip un for
some 0 < (J < 0',
For x E X and 0 < , < 0', we consider the dass T")' (:r )of functions 4' belonging to
EQ: satisfying the following condition: there exists r such that r ;::: f(2;.t( {:z:}), Sltpp1j' C
B(x, r) and
(1.13)
Given ,,0 <, < 0', we define the ,-maximal function f;(.r) of a distribution f on EO: by
(1.14)
(1.15) Definition: Let p be a growth function plus a non negative constant or' p == 1.
A (p,q)-atom, 1 < q:::;: 00, is a function a(x) on X satisfying:
(1.16) /, a(x)d{t(x) = 0,
(1.17) the support of a( x) is contained in a ball Band
(1.18)
or
Clearly, when p(t) = t1/p-l,p :::;: 1, a. (p, q)-atom is a (p.q)-atoll1 in the sense of [M-S].
Let w be a growth function of positive lower type I such that I( 1 + 0') > 1. For every .,
with 0 < , < 0' and 1(1 + ,) > 1, we define
(1.19)
and we denote
(1.20)
223
Let w be a growth function of positive lower type I. If p(t) = Ci/w-i(t-I), we define
the atomic Orlicz Space HP,q(X) = HP''!, 1 < q:::; 00, as the space of all distributions f on Ea which can be represented by
(1.21)
for every 'ljJ in E(\ where {b;}; is a sequence of multiples of (p, q)-atoms such that if
supp(b;) c B;, then
(1.22) LJ1.(B;)w (II b;ll q J1.(Bi)-l/Q) < 00.
;
Given a sequence of multiples of (p, q)-atoms, {bdi we set
(1.23)
and we define
(1.24)
where the infimum is taken over all possible representa.tions of f of the form (1.21).
It has been ~hown in [V] that the spaces Hw and HP,q are equivalent. More precisely,
in that paper the following Theorem is proved
THEOREM A: Let w be a function of lower type 1 .mch that 1(1 + Q) > 1. Assume
that'w(s)/s is non-increasing. Let p(t) be the function defined by tp(t) = 1/w-1 (1/t).
Then Hw == HP,q for every 1 < q :::; 00.
We 0bserve that the statement of the Theorem A implies in particular that the definition
of Hw is independent of 1',0 < I' < Q and I( 1 + 1') > 1. Furthermore, from proposition
(3.1) in [V], we may assume without lost of generality; that w is, in additon, continuous,
strictly increasing and a subaditive function.
224
§ 2. BOUNDEDNESS OF SINGULAR Ii\TEGRAL OPERATORS ON HARDY-
ORLICZ SPACES
In this section (X, d, f-L) shall mean a normal space of homogeneous type of order (x,
o < (X :::; 1 and J{ shall denote the constant appearing in (1.3).
We assume that a singular kernel is a measurable function k : X x X -; Hi satisfying
the following conditions:
(2.1) \ k( x , y) \ :::; cdC x, y) -1 for x =F y
(2.2) There exist 0, ° < 0 :::; (x, such that
\k(x,y) - k(x',y)\ + \k(y,:r) - k(y,x')\:::; cd(x,x')Od(x,y)-l-O,
provided d(x,y) > 2d(x,x').
(2.3) Let ° < r < R < 00, then
a) J k(x, y)df-L(y) = 0, for every x E X. r5,d(x,y)<R
and
b) J key, X )dll(Y) = 0, for every x E X. r5,d(x,y)<R
Given c: > 0, we define
T~f(x) = J k(x, y)f(y)df-L{y).
~5,d(x,y)<l/E
For singular integrals, in the context of spaces of homogeneous type, conditions for their
boundedness on L2 were given in [AJ, [D-J-S], [M-TJ and [M-·S-TJ.
In the sequel we shall assume that T is a bounded singular integral operator on L2(X)
associated to a kernel k(x, y) satisfying (2.1), (2.2) and (2.3). Under these assumptions
we shall obtain, in Theorem 2.20, the boundedness of T on the spaces Hw'
225
In order to prove the main theorem we shall need some previous results.
(2.4) LEMMA. Let k(x, y) be a kernel satisfying (2.1) and (2.3). Let cI>(t) be a Lipschitz
function defined on [0,(0) such that cI>(t) =' 0 for t ~ 2. Assume that cI>( t) satisfies one
of the following two conditions:
a) cI>(t) = 1 for t::::; 1, or
b) cI>(t) = 0 for t::::; 1.
Let 0 < r < R < 00, then
J k(x,y)cI>(d(x,y»dJ.t(Y) = 0, for every x E X.
r~d(x.y)<R
PROOF. We prove the lemma for cI> satisfying (a). The other case follows the same
lines. Given 0 < r < R, we have three possibilities:
i) 2::::; r,
ii) 0 < r < 2 < R
iii) 0 < r < R::::; 2.
If r ~ 2 the lemma follows inmediately. Supposse that (ii) holds. Since k(x, y) satisfies
(2.3) and cI>(t) = 1 for t ::::; 1, it is enough to assume that r ~ 1 in this case. Given c > 0,
let P = {to, t 1, ... t N} be a partition of the interval [r, 2], with t:l.ti = ti ~ ti-l < S and
S a constant depending on c to be determined later. Then we have
J k(x,y)cI>(d(x,y»dJ.t(Y) = t, J k(x,y)[cI>(d(x,y» ~ cI>(td]dJ.t(y)
r~d(x.y)<R t'_1 ~d(X.y)<ti
N
+ L cI>(ti) k(x, y)dJ.t(y); i=l
226
Using that ~ is a Lipschitz function and applying (2.1) and (2.3), we obtain
N . J k(x, y)~(d(x, y))dfL(y)1 :s; Cb?= J Ik(x, y)ldfL(y) r~d(z,y)<R l=lti_c5d(z,y)<ti
:s; cb J Ik(x, Y)ldfL(Y)
1~d(z,y)<2
:s; cb.
Choosing b such that cb < c:,we conclude the proof of (ii). The remaining case (iii)
follows the same line.
(2.5) REMARK. Let ~ be as in Lemma (2.4). For c: > 0, the kernel k (x, y) ~(d(:,y»). satisfies (2.1) and, from Lemma (2.4), also verifies (2.3). On other hand,
since X is of order Ct, (2.2) holds with constant independent of c: ..
Let 'l/Jl and 'l/J2 in COO([O, 00)) satisfying the following conditions: SUPP'I/JI C [1/2,00) and
'l/Jl(t) = 1 ift;::: l;supp'I/J2 C [0,2] and 'l/J2(t) = 1 for t S 1. For f E P, 1 :s; p < 00, we
define - J d(x y) . T"J(x) = k(x, Y)'l/Jl(-;-)'l/J2(c:d(x, y))f(y)dfL(Y).
(2.6) LEMMA. Let k( x, y) be a singular kernel satisfying (2.1), (2.2) and (2.3). Then,
liTe! - Tfll£2 -t 0, asc: -t O.
PROOF. We have
Tef(x) = J k(x, Y)1/Jl (d(X: y)) f(y)dfL(y) + Tef(x)
e/2~d(z,Y)~E
+ J k(x, y)'l/J2(c:d(x, y))f(y)dfL(Y) = T; f(x) + T,d(x) + T; f(x).
1/e~d(z,y)<2/E
Since TEf(x) converges to Tf in L2, we only need to'prove that T;f converges to zero
in L2 for i = 1,2. Clearly from (2.1), we have
(2.7) T;f(x):s; cMf(x) , for i = 1,2.
227
From (2.7) and by the density in L2 of the Lipschitz -y functions with bounded support,
it is enough to prove the convergence of Til for such functions. Let I be a function
with bounded support belonging to Lip(-y). Then by Lemma (2.4), we get
(2.8) IT;f(x)1 = I J k(X,y)1fJ1 (d(X;Y») [f(y) - l(x)]dJl(Y)I:::; c II I 11""1 c:""1.
t:/2<d(x,y)<t:
On the other hand from (2.1), we obtain
IT; f(x)1 :::; c: J 11fJ2(c:d( x, Y »IIf(y )ldll(Y)
l/t:'5,d(x,y) <2/t:
( )
1/2
:::; c: II IIIL2 J 11fJ2(c:d(x,y»12dIL(Y) 1/t:'5,d(x,y)<2/t:
(2.9) :::;cIlIIlL2c:1/ 2.
By (2.7), (2.8), (2.9) and the Lebesgue dominated convergence Theorem, the desired
conclusion follows, ending the proof of the Lemma.
(2.10) LEMMA. (Partition of unity). Let x E X and r > O. Then, there exists a
sequence {<Pi(x, y)} i~O of non-negative functions satisfying:
(2.11) the support of <Pi for j ~ 1 is contained in the ring C(x, (2J()i r , (2J()i+ 2r ),
'(2.12) the support of <Po is contained in B(x,4](r) and <po(x) = 1 on B(x,3](r),
(2.13) there exists a constant c shuch that for every j ~ 0, <Pi E Lip(a) as functions of
y with II <Pi lIa:::; c(2I()-ia r - a ,
00
(2.14) E <Pi(x, y) = 1 for every y E X. i~o
PROOF. Let 7J(t) and -yet) in COO([O,oo)) satisfying: 0 :::; 7J(t) :::; 1, S1tpp 7J C [0,4/(],
7J(t) = 1 if 0:::; t :::; 3J(; 0:::; -y(t) :::; 1, S1tpP'Y C [2/(,8J(3] and -yet) = i if 3K :::; t S 6/(2.
228
Taking tPo(x, y) = 17 (d(x, y)/r') and1j'i(x, y) = 1'( r(~}~)~~l) for every j ~ 1, it follows
easily th,at <I>r:(x, y) = tPi(x, y»/ L: tPk(X, y) for j ~ 0, satisfy all the conditions in the J k~O
lemma.
LEMMA (2.15). Let k(x,y) be a kernel satisfying (2.1), (2.2) and (2.3). Let b(x) be a
multiple ola (p, 00) atom with support contained in B(xo, r). Assume that {<I>j(x, y)} i~O
is as in Lemma (2.10) and TJ is the operator associated to the kernel
kj = k(x, y)<I>j(x, y), for j ~ O. Then
(2.16) the support ofTJb is contained in B(xo,"(2J()i+3r ) for j ~ 0,
(2.17) II TJb 1100:5 (2~J')~'lr'+6) for j ~ 1, II Tab IIp:5 c II b 1100 p(B(xo,r»1/2, and
(2.18) JTJb(x)dp(x) = 0 for every j ~ O.
PROOF. Let us first note that if C(x, (2J()i 1·, (2J()i+2 r ) n B(xo, r) #0 for j ~ 1, from
(1.3),we have
(2.19)
Therefore if x ¢ C(xo,(2J()i- 1r ,(2K)i+3r), then TJb(x) = o for every j ~ 1. For j = 0,
it is clear that supp (Tab) C B(xo, 8J(2 r ), and hence (2.16) follows. Next we shall prove
(2.17). By remark (2.5), we get
On the other hand, since X is a normal space, from (2.5) and (2.19) we obtain, that for
anyj~1.
d(y,xo)<r
Finally, (2.18) is a consequence of Lemma (2.4).
229
Now we are in position to prove the main result.
THEOREM 2.20 Let T be a singular integral operator associated to a kernel k( x, y)
satisfying (2.1), (2.2) with 8 > 1/1-1 and (2.3). Assume that 1(1 + a) > 1. Then, T is
a bounded operator from H", into H",.
PROOF: By the density ofL2(X) in H"" it is enough to show the theorem for f E
L2(X)nH",. Given € > 0, from Theorem A and (1.24), there exists a sequence {bdk
of multiples of (p,oo) atoms with supp(bk) C Bk = B(xk,rk), such that f = 'L-bk in k .
(EO)' and
(2.21)
If we are able to prove that
(2.22) T f= LTbk in (Eo)', . '.k
we will get Tf E H", and II Tf IIH",:::; c II f IIH", . In fact, let {lPj} j be a partition of the
unity as in Lemma (2.10) associated to B k , ther~fore
(2.23) Tf = LLTfbk + ETtbk in (EO)'. k j~l k
Futhermore, Lemma.(2.15) implies that {Tjkbk} j,k are multiples of a (p, 00) atom. Hence,
from (1.24) it follows that
(2.24)
Let 7J ~ 1 be a' constant -to be determined later, >. = '7JAoo({ bd-k} and'
Bt ::J supp(Tjbk),j ~ o. We now estimate
(2.25)
By (1.8), (2.16) and (2.17), the sum (2.25) is bounded by .
c ~~(C2K)j Jl(Bk)W C2il):(~_~;).l/I) J_
" !
230
since w is of lower type I> 1/1 + 5), (2.25) is bounded by
c L(c2Inj(1-(lH)I) L p(Bdw (II ~~)!oo ) j~l k
'" (1Ibkll oo ) :sc ~ p(Bdw )..lll . k
Therefore, using again that w is oflower type I and choosing 17 = c, the sum (2.25) is
less than or equal to 1,which implies
(2.26)
On the other hand, by (2.5) Tok is a bounded operator on L2, thus applying (1.8), (2.16),
(2.17) and the fact that w(s)/s is nonincreasing, we get
(2.27)
Taking 1] = c, and using (2.27), it follows that
(2.28)
Collecting the estimates (2.21), (2.24), (2.26) and (2.28), we obtain that
II TIll H", :S C " 1 "H",
In order to prove (2.22), let us first note that if 1'1 is the opr'rator of Lemma (2.6)
associated to the kernel ke(x, y), then ke(x, .)is a function of houndp.d support belonging
to Lip( 8) for each x EX. Therefore
Tel'= LTebk' pointwise and in (EDt)' . k
231
Moreover Lemma (2.6) implies that TEf converges to Tf in L2. In eOllseqlleuCl" if we
are able to show
(2.29) LYebk _ LTbk in Hw, k ,,--+0 k
then (2.22) holds inmediately, completing the proof of the Theorem. Now, in order to
prove (2.29), we decompose both operators, To and T, as in (2.23). Therefore, we have
(2.30)
= LLt;'jh, k j?O
where t:'j is the operator associated to the kernel
Since by (2.5) K,,(x, y) satisfies (2.1), (2.2) and (2.3) with a constant independent of 10,
using Lemma (2.15) and proceeding as in estimates (2.25) and (2.27), we get that
LL/-L(Bj)w(11 tE~jbk 112 /-L(Bj)-1/2) < 00,
k j?O
where i3j :J supp(t':'jbk ). Thus, given: 0 < j3 ::; 1, there exists N = N(j3) such that
(2.31) L L /-L(i3j)",'(11 tek,jbk 112 /-L (i3j)-J/2) < /3/2. Ikl>N j>N
This finishes the proof of the Theorem.
232
§ 3. CHARACTERIZATION OF THE ORLICZ-HARDY SPACES Hw
In this section we shall ~ork, as before, on a normal space X = (X, d, /1) of order a.
Let {bdi a sequence of multiples of (p, q) atoms, 1 < q ~ 00, such that Aq( {bd) < 00 and
ai =11 bi Ilg /1(Bi)-l/q /w- 1(/1(B;)-J), where Bi ~ supp(bi ). Let pet) = t-1/w-1(r 1)
and 'Ij;(x) E Lip(p) . Then
(3.1) I L bi('Ij;) I ~II 'Ij; IILip(p) LP(ri)/1(Bd/ql II bi Ilq
~ c II 'Ij; IILip(p) L ai· i.
In order to estimate the sum I: ai we shall need the following lemma whose proof can i
be found in [V], p. 410.
(3.2) LEMMA: Assume that pet), {bdi and Cl:i are as above. Then there exists a consta.nt
c independent of {bi.}, such that
Using Lemma (3.2), by (3.1) it follows that the serie I:b i (1') is absolutely convergent i
for every 'Ij; E Lip(p). Thus, if we define
(3.3)
we obtain a linear funtional on Lip(p) satisfying
(3.4) If('Ij;)1 ~ c II v' IILip(p) [Aq({bd + 1)] 1// 2
(3.5) DEFINITION: Let w be a growth function of positive lower type t. If p(t) =
r1/w-1(r1), we define HP,g(X) = HP,q, 1 < q ~ 00, as the linear space of a,ll bO'llnded
linear functionals f on Lip(p) which can be represented as in (3.3), where {b;} is a
seq1tenCe of multiples of (p, q) atoms st£ch that Ag( {bi }) < 00. For f E ii p,q, we define
II f II][P .• = inf {Ag({bi})} ,
where the infimum is taken over all possible representations of f of the fOT'm (4.3).
We now observe that, since every 'It' in EO! belongs to Lip(p), we can define the linear
transformation R from HP,g into Hw given by
(3.6) R (1) = 1,
233
where 1 is the restriction of f to Ecr.
The next result states that R is an isomorphism onto H w. Its proof makes use of the
atomic decomposition of Hw and Lemma (5.5) in [V], and it follows the lines of (5.9) in
[MSJ.
(3.7) THEOREM: Let R be as in (3.6). Then R defines a one to one l-inear mapping
from jjp,q onto HW. Moreover, there exist two positive constants c] and C2 such that
(3.8)
PROOF: Let f = L, bi in jj p,q. Theorem A implies that
On the other hand, given 9 E Hw , again by Theorem A, there exists a sequence {bd of
multiples of (p, q) atoms such that
9 = :L bi in (E cr ), and Aq( {bd) :s: c II 9 IIHw .
By (3.4), the sum L, bi defines an element f of jjp,q whose restriction to EDt coincides I
with g, that is R(J) = g. In order to show that R is one to one, we need to prove
that f( 'lj;) = 0 for every 'lj; E EDt implies f( 'lj;) = 0 for every 'lj; in Lip(p). This result is
obtained in Lemma (5.5) of [V] as a consequence of lemma (3.2).
In what follows we will restrict our attention to the case X = IRn and we shall study
the connection of the Hardy-Orlicz spaces Hw(IRn) with Riesz transforms. Using the
boundedness result established in section 2, we shall obtain in Theorem (3.38) a char
acterization of Hw(IRn) in terms of these operators
LetP(x) be the Poisson kernel defined by Pix) = cn (1 + !xI2)-~ and denote Pt(x) = rn P(x/t). For f E L2 n Hw(IRn ), we shall consider' the n + 1 harmonic functions in
IR~+ 1 = {( x ,t) : x E IRn, t > O} defined by
234
Let us denote by F(x, t) the vector field associated to I given by
(3.9) F( x, t) = (Ul (t, .c), ... , tt n ( t, x), Un+l (t, x)).
The vector field F satisfies the following generalized Cauchy-Riemann equations:
(3.10) n au' au' aUk
divF = '" _J = 0 and _J = -~ax' aXk ax'
. j=1 J J
for every j =I- k ; j, k E {I, ... , n + I}, where Xn+l = t.
Let x E mn and f(x) = {(y, t) E m++l : Ix - yl < t} the cone of aperture one and
vertex in x. We define the non-tangential maximal function f**(x) of I as
f**(x) = sup u(t,y) = sup Pt*l(y)· (y,t)Er(x) (y,t)Er(x)
We shall also consider the following maximal operator
IM(x) = supII(~)I/A(~),
where A(~) = J 1~(t)ldt + Isupp~IM+l J Iv,(M+l)(t)ldt and the supremum is taken over
all the functions ~ E Coo with compact support such that dist(x, suPPv') < Isupp~l. For the case ofHP, p ~ 1, it is known that the norm 111M IILP is equivalent to that
given by the atomic descomposition. On the other hand, in [V] (see Theorem A) the
equivalence between the atomic Orlicz norm and the norm II I; IlL., is shown in the
general context of spaces of homogeneous type.
For the case mn , following the same argument given in Theorem A it can also be
established that the norm 111M IlL., is equivalent to that defined in the a.tomic Orlicz
space HP,q. Therefore, in the following we shall make use of the maximal 1M instead of
I;.
Moreover, following Garda Cuerva - Rubio de Francia ([GC-RF] pag. 247) it is easy to
see that
111M IlL., ~ c II f** IlL., forM such thatMI > 1 .
On the other hand, the reverse inequality is a consequence of the following result whose
proof is similar to that of Lemma (4.3) in [V].
(3.11) LEMMA: Let w a growth function of positive lower type I > n~l' Assume that
b(x) is a function belonging to be Lq(mn ), 1 < q ~ 00, with S1tpport cointained in
235
B = B( Xo, ro) and J b( x )dx = o. Then, there exists a constant c, independent of b( J:},
such that J w(b**(x))dx ::; clBlw(11 b Ilg IBI-llg),.
Therefore, in the following we shall assume that there exist two positive constants
0< Cl ::; C2, satisfying
(3.12)
We shall need the following technical lemma concerning the equivalence between growth
functions.
(3.13) LEMMA: Let 'Y ~ 1. Let 1jJ(t) be a contin1tOus increasing function of lower type
a and upper type (3 such that (3 ~ a > 'Y. Then, the function
cI>( t) = ('I t 1jJ( s) ds Jo s1+/'
is a continuous, increasing and convex function equivalent to 1/'( t).
PROOF: Since a> 'Y, we get
111jJ(tS) 11 SO c cI>(t) = ~ds ::; c1jJ(t) j::tds = --1/,(t).
os/' 0 s"'f 0'-1
On the other hand, using the fact that 1/,{t) is the upper type /3, we have that
1jJ(st) ~ csfJ1jJ(t) if s::; 1 .
Therefore, since (3 > 'Y, we obtain that
To prove that cI> is a convex function, it is enougth to see that cI>t (t) is increasing. Take
tl < t 2 • Since 1jJ is non-decreasing and I ~ 1, it follows that
236
which ends the proof of the lemma.
In the sequel, we shall assume that cfl(t) is a continuous strictly increasing non negative
function of lower type greater than one and of finite upper type, such that lim cfl( t) = 0 t-O+ .
and lim cfl(t) = 00. t-+oo
The following result, on harmonic majorization of subharmonic functions which are
uniformly in an Orlicz space LIl>, is an extension to that of Theorem 4.10 in [GC-RF].
(3.14) THEOREM: LetU(x, t) be a non-negative subarmonic function in lR++lsuch
that
sup II U(.,t) IIL.< 00. t>o
Then, U(x, t) has a least. harmonic majorant·in lR++l. Moreover, this harmonic majo
rant is the Poisson integral of a function h E Lcp (lRn), where h is obtained as the limit
ofU(x,tj) for any sequence tj 10 (j -'"+ 00) in the weak - * topology of Lcp.
For the proof of Theorem (3.14) we shall need the next result.
(3.15) LEMMA: Let U(x, t) be a non-negative subarmonic function in lR++l satisfying
(3.16) sup II U(., t) IIL.= M < 00. t>o
Then, there exists a constant c depending only on cfl and n, such that
(3.17)
Consequently, U(x, t) is bou.nd~d in each proper sub-half-space {(x, t) E lR++l : t ~ [>
O}. Moreover, the following property holds:
U(x, t) -'"+ 0 as I(x, t)l-'"+ 00 in each proper sub-half-space.
PROOF: Let (xo, to) E lR++ 1 and
Eo = B((xo, to), to/2) c B(xo, t o/2) x (to - to/2, to + to/2)
= Bo x (to/2,3to/2).
Since U(x, t) is sub-harmonic, applying the Holder inequality (1.12) with III the com
plementary function of cfl, we have
(3.18) U(xo, to) :::; -l-J U(x, t)dxdt::; n~l l~to r XBo (x)U(x, t)dxdt IBol_ to to/~ ilRn
Bo
c l~to :::; t n+! II U(.,t) IIL.II XBo IIL~ dt.
o to/2
237
Taking II XBo ilL",=: IBol1>-I(l/IBo/), from (3.16) and (3.18), we get (3.17). On the
other hand, given to > 0 fix and E > 0, since lim 1>-1(5) = 0, there exists t1 > to such 8-+0+
that 1>-l(l/t~).s E. Thus, by (3.17) we obtain that
U(x, t) .s CME, for every t 2: i l and.r E JR"
It only remains to prove that U(x, i) .s E, for every io .s t < t] and I:rl big enough. Let
x E JR"and Ixl > tl . Take B = B((x, i), io/2) with to .s i < i l . Proceeding as in the
first part of the proof, we get
(3.19)
3 t
U(x, i) .s tn~l II XB(x,t o/2) ilL", 12 1 II XB(x,to/2)(')U(" i) ilL .. di a . to /2
Now, let us observe that, for each i, we have
(3.20) J1> [XB(x,to/2)(y)U(y,i)] dy = r 1>(U(y, i))dy } B(x,to/2)
.s r 1> (U(y, i)) dy JIYI~lxHl /2
Since 1> is of finite upper type, from (3.16) and (3.20) it follows that
II XB(x,to/2)(.)U(.,i) IIL .. ---> 0 as I:rl---> 00 for each i .
Therefore, using in (3.19) tht; Lebesg71.e dominated convergence Theorem, we obtain that
U(x, i) ---> 0 as Ixl ---> 00, uniformly for every to .s t < t, completing the proof of the
lemma.
PROOF OF THEOREM (3.14) : Let {ij}j be a sequence such that tj 1 0 and
denote iJ(x) = U(x,tj). Since II iJ IIL .. < 00 for every j, there exists a subsequence of
{iJ}, that we also denote {iJ}, converging in the weak- * topology of Lcp (see Theorem
144 in [K]). That is, there exists a function f E Lcp, such that for every 9 E LIjJ, W being
the complementary function of 1>, we have
(3.21 ) J iJ(x)g(x)dx i:--;" J f(x)g(x)dx.
If we are able to prove that
(3.22) U(x,i+ij).s J Pt(x -y)fj(y)dy
JR"
238
for every j, then using (3.21), Lh, conclusion of the Theorem follows inmediately. Now,
in order to prove (3.22) it is enougll to see that the functions
tend to zero when I(x, t)1 --.. 00. In fact, if this happens, given E > 0, there exists R > 0
big enough satisfying
(3.23)
for every (x, t) such that I(x, t)1 ;::: R, and in particular, (3.23) holds for every (x, t)
in the boundary of the region ]{R = {(x, t) E 1R~+1 : I(x, t)1 ::; R}. Since Dj(x, t) is
subharmonic, it follows that
D j (x, t) ::; E , for every (x, t) E ]{ R ,
which together with (3.23) proves (3.22). Finally, let us prove the convergence of the
functions Gj and Fj . Applying Lemma (3.15), we obtain,
Gj(x, t) --.. 0 as I(x, t)1 --.. 00
and
fJ(x) --.. 0 as Ixl --.. 00 .
Using this fact and that fJ E; Lit>, by a standard argumente, we may conclude that
Fj(x, t) --.. 0 as I(x, t)1 --.. 00 ,
which completes the proof of the Theorem.
We also need the following lemma which gives a norm inequality between the vector
field F(x, t), defined in (3.9), and the function f(x) ..
(3.24) LEMMA: Let F(x, t) be the function defined in (3.9). Then
sup II F(., t) IILw::; c II f IIHw . t>o
PROOF: Let "I = "11 + "12 be a constant to be fixed· later on. Let us estimate
(3.25) J [ IF(x, t)1 ] d < J [~ IUj(t, x)1 1 d sup w x w ~ sup x t>o ("I II f IIHw)I/1 - j=] t ("I II f IIHw )1/1
239
An application of Theorem 2.20, together with (3.25) and the fact that w(s) is lower
type 1, imply
by choosing "71 = C2 and "72 = nC2c with C2 the constant appearing in (3.12). This
finishes the proof of the lemma.
The next lemma provides the boundedness of the Poisson integral on Hw'
(3.26) LEMMA: Let f E Hw. Then u(t,x) = Pt*f(x) belongs to U nHw, 1 < q:::; 00,
and
II u(t,·) 11K,:::; ell f IIH",.
PROOF: In view of Theorem (3.7), we have that f E HP'oo and there exists a sequence
of multiples of (p, 00) atoms such that
f('Il) = L bj('Il) , for every 'Il E Lip(p) . j
Since Pt{x) E Lip(p) with II Pt IILip(p):::; c(t), we get
(3.27) lu(t,x)1 = If(Pt(x -.)) I ~ I Lbj (Pt(x - .» I:::; c II Pt(x -.) IILip(p):::; c(t) . j
Therefore, u(t,.) is an Loo function. Now, let us see that u(t,.) E Lq, 1 < q < 00. Given
9 E 5, we have N
u(t, ~)(g(.)) = J lim "bj*Pt(x)g(x)dx N-+oo L...J
j=1
240
Using (3.27) and the Lebesgue dominated convergence Theorem, we obtain
N
lu(t,·)(gc))1 = I )~L J bj*Pt(x)g(x)dxl j=1 N
= I lim "'Jbj(x)Pt*g(x)dx l N---oo ~ j=1
N
= I lim '" bj(Pt*g)1 N---oo ~
j=1 = I!(Pt*g)1 ::;; e /I Pt*g /lLip(p) .
In order to prove that u (t, .) E L q, it is enough to show
(3-.28) /I Pt*g /lLip(p)::;; e(t) /I 9 /lLq'
Let x, x' E IRn with Ix - x'I> t/2. Then using the fact that p is of upper type m < 1,
we have
(3.29) /Pt*g(x) - Pt*g(x')1 ::;; 2 /I Pt*g /100::;; 2 /I Pt ilL' /I 9 /lL"
::;; eCn/q'p ex ~ xII) /I 9 /lL"
::;; eCn/q'max{l/t, l}mp(lx - x'I) /I 9 /lLq'
= e(t)p(lx - x'I) /I 9 /lL"
On the other hand, if Ix - x"1 < t/2, we obtain
(3.30) IPt*g(x) - Pt*g(x')1 ::;; J /Pt(x - y) - Pt(x' - y)1 Ig(y)ldy
::;; (J /Pt(x - y) - Pt(x' - yWdy y/q /I gilL"
::;; Ix - x'iII 9 /lL" (J IV' xPt((x - y) + 8(x _ xl)Wdy) l/q
( )
1/9
Ix - x'I dy ::;; e t n+1 /I gilL" J dy + J (tllx _ y/)(n+2)q
x-yl<t Ix-yl>t
::;; e (Ix ~ xII) m C n/q' II 9 /lLq'
::;; ep ex ~ xII) c n/q' Il 9 /lL"::;; e(t)p(lx - x') II 9 /lL" ,
241
because p is of upper type m < 1. Thus, from (3.29) and (3.30) we obtain (3.:28). Next
we prove that u(t,·) E Hw. In fact,
(3.31) u(t,·)**(x) = sup JPs*Pt*f(y)l:::; sup IPt+s*f(x)l:::; f**(:r) . Iy-xl<s Iy-xl<s+t
Therefore, we conclude that Pt* f E H"" with II Pt* f II Hw:::; c II f II Hw'
(3.32) REMARK: Let f E (Lip(p»)', then u(x, t) = f(Pd x - .)) i8 a. harmonic fll:nction
in m~+l. In fact, taking for example Hu( x, t + h) - u(.r)], it can be proved that this
incremental quotient tends to f( it Pt ( x - .) ),by showing that for each (x, t) fixed
II ~[Pt+h(X - .) - Pt(x - .)]- .! Pt(x - .) IILip(p) ~·o ' h~O
This, in turn, is a consequence of the mean value Theorem, and the fact that p is upper
type m < 1.
(3.33) LEMMA: Let f be a distribution belonging to Hw. Then
lIu(t,.)-fIIHw~O, ast~O.
PROOF: Let e: > O. We first assume that f E Hw n Lq, 1 < q :::; 00. Thus, there exists
a ball B = B( Xo ,R) such that
(3.34) J w (f**(x)) dx < c/2.
CB
Since by (3.31) u(t, ·)**(x) :::; J**(x), it follows that
(3.35) J w [(u(t,.) - f(·»**(x)] dx :::; 2 J w (f**(x» dx < c.
CB CB
On the other hand, if >'t =11 u(t,·) - f IILq IBI-1/q, using that w(s)/s is non increasing,
we have
w ((u(t,.) - f)**(x)) :::; cw (M(u(t,.) - f)(x»)
:::; cw [(M(u(t, J - f) (x) + At]
:::; CW(At) (M(U(t, 1t- f)(x) + 1) . Integrating on B, we obtain
242
(3.36) J W[(ll(t,.) - f)**(x)]d:r
B
::; CW(At)IBI ~o . t~O
From (3.35) and (3.36), since W is of finite upper type, we get
(3.37) II ll(t,·)-fIIHw _0, t-O
which proves the lemma under the assumnption f E Hw nLg. Next, we shall remove
that assumption. Let f E Hw. Given c > 0, by the density of Lq in Hw (see Theorem
(4.16) in [VD, there exists 9 E Lq such that II f - 9 IIHw < c. Hence, in view of Lemma
(3.26), we have that there exists to = to(c) such that
Illl(t,·) - f IIHw ::;11 Pt*(f - g) IIHw + II P,*g - 9 IIHw+ II f - 9 1111.;,
::; c + c II f - 9 II Hw::; cc: ,
for every t ::; to, as we wanted to prove.
Now we are in a position to prove the main theorem, which give5 another characteriza
tion of the H ardy- Orlicz spaces.
(3.38) THEOREM: Let W be a j1mction of lower type I s'uch tha.t I > n~ l' Ass·u.rne that
w(s)/s is non increasing. Then there exist two consta.nts (;1 an C2 ,lU,tisfying
n.
(3.39) C1 II f IIHw ::;11 f IILw + L II Rjf IILw::; C2 II f Illiw ' j+1
n
(3.40) C1 II f IIHw ::;11 ~~ u(t,.) IILw + L II ~~IJ Rj(ll(t, .)) IILw j=l
::; C2 II f IIHw' for every f E Hw'
PROOF: Let f E Lq n Hw(.JRH ). Let us first check'the right inequality on (3.39). Since
Pt* f tends to f in Lq, we have that
If(x)1 ::; f**(x) and IRif(x)1 ::; (Rjf)**(x) for a.e.x E mn.
243
rherefore,
f w [(c IIIJ~~~~)l/I] ~ J w Lc I:/;~I(:~I)I/I] dx ~ 1 ,
and, applying Theorem (2.20),
f [ 'IRj/(x)1 ] d < f [ Rjf**(x) 'J d < 1 w (c II I IIH,..) 1/1 X - w (c II I IIH,.,)I/1 x - ,
for every j = 1"" n, which implies that
n
II filL.., + L II Rjl ilL.., ~ c2 II I IIH.., j=l
On the other hand, in order to prove the left inequality on (3.39), we sha.ll eonsider the
function
(3.41) U(y, t) = W(y, t)1" ,
with n;;l < n~1 < l' < 1, which is subharmonic in view of ,Lemma 4.14 in [Ge,
RF]. Now, we observe that Lemma (3.13) implies that the function 'INt) = w(t l / I') is
equivalent to a Young function q,(t) of lowe type Ill' > 1 and of upper type 1//'. Then
using Lemma (3.24), we get
f [ U(y,t) ] < f ( IF(y,t)1 ) < ' ~~~ q, (cllfIlH.,)I'/1 dy_~~~ w (cIl/IlH..,)!/1 dy_1.
Therefore
sup II U(·,t) IIL.~ c II I II~'< 00. t>o ..,
By Theorem (3.14), there exists a function h E L</> such that
(3.42) U(y, t) ~ Pt*h(y).
Moreover, for tj ! 0 (j -+ (0) andg E L"" with t/J the Young complementm'y function
of q" we have
(3.43) f h(x)g(x)dX = lim f U(x, tj)g(x)dx. }-OO
Now, if G(x) = sup(y,t)Er(z) IF(y,t)l, by (3.41) and (3.42) we obtain that
f w [G(x)/(c II h IIL.)I/I'] dx ;;:: fw [ sup (U(y, t)/c II hilL", )I/I'jdx , ' (y,t)Er(z)
f ( h**(X) )1/1 f (Mh(X») ~ w c II h II L. dx ~ q, c II h II L. dx,
244
where Mh(x) is the Hardy-Littlewood maximal function. From the maximal operator
theory in Orlicz spaces, it is known that M is bounded on Lq,. Therefore, it follows
that
(3.44) II G IILw Sell h II~~' , This implies, in particular, that F is non-tangentialry bounded at almost every x E JRn.
Consequently, by Theorem 4.21 in [GC, RF)), there exists a function Fo(x) such that
(3.45) Fo(x) = lim non tang F(y, t) , for a.e.x E JRn (y, t) - x
In view of (3.43) and (3.45), we get
, 1/1' (3.46) h(x) = IFo(x)11 for a.e.x E JRn and II Fo IILw~11 hilL,. Futhermore, since Pt* f converges to f in Lq, we obtain
(3.47) 1F,(x)1 ~ (/(X)' + t,(R;/(X))') '1' for a.e.x E JRn and
n
II Fo ilL", SII f IILw + L II Rjf IILw j=1
Then, from (3.44),(3.46) and (3.47), we have
J w [f**(x)/(c(1I f IILw + til Rd IILw ))1/1] dx J=1 .
<; J w [G(X)/('(II 1 ilL. + t, II R;f ilL. ))'1'] dx
S J w Lc II ~(~~w )1/1] dx S J w [(ell ~~:~ )1//'] dx
s 1,
which completes the proof of the Theorem for the case f E Lq nHw. Now, we assume
that f E Hw. Since Lemma (3.26) implies that u(t,·) E Lq nHw, applying (3.39) it
follows that n
(3.48) Cl II u(t,.) IIHwSIl u(t,.) IILw + L II Rj(u(t, .» IIH~. j=1
S C2 II u(t,·) IIHw From Lemm~ (3.26) and Remark (3.33), we m1W conclude that u(t, ;1') is harmonic
and non-tangentially bounded function. Hence, there exists limu{t,x) for a.e.x E JRn. 1-0
Therefore, taking limit in (3.48) and applying Lemma (3.33) and the Lebesgue dominated
convergence Theorem, we obtain (3.40) ending the proof of the Theorem./ / /
246
REFERENCIAS
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Giiemes 3450
3000 Santa Fe, Argentina
Recibido en setiembre de 1993.
Revista de la UDi6D Matematica Argentina VolumeD 38, 1993.
, CONVERGENCE IN Ll OF SINGULAR INTEGRALS
WITH NON-STANDARD TRUNCATIONS
LILIANA DE ROSA and CARLOS SEGOVIA
246
Presentado pOT Agnes Benedek
ABSTRACT. Singular integrals with non standard truncations (intervals) are considered. Under the assumption that the limit of the truncations
belongs to L1 (w) , it is shown that the truncated integrals converge to its limit in £1(v) where (v,w) satisfies an A1type condition.
1. NOTATIONS AND DEFINITIONS. By Rn we denote the n-dimensional . , , n 1/2
euclidean space. As usual, the norm of x ERn is the number Ixl = (L xn and i=1
for t > 0, the ball Bt centered at the origin is the set {x: Ixl < t}. If A is a Lebesgue
measurable set, we denote its measure by IAI and the characteristic function of A by
XA(X) .
Let f(x) be a measurable function. The Hardy-Littlewood maximal function Mf(x) is defined as
Mf(x) = sup IQI-1 f If(y)ldy, zEQ lQ
where Q is any cube in Rn.
If u( x) ~ 0 is a locally integrable function and A is a measurable set, its measure with
respect to the weight u(x) is denoted by u(A) = fA u(x)dx. A measurable function
f belongs to L1(u) if Ilfll£1(,.) = fR" If(x)lu(x)dx is finite. If u == 1 then we simply write IIfllL1 and L1, as usual.
We shall say that a pair of non-negative and measurable functions (v,~) belongs to A1 if
(1.1) IQI-1 r v(x)dx:5 c ess.inf 1.11(X) , lQ zEQ
247
where Q is any cube in R n and c is a constant not depending on Q. The least
constant c such that (1.1) holds is called the constant of the pair (v, w) in the class
A1 • We observe that condition (1:1) holds if and only if Mv(x) ~ cw(x) a.e .. In the
case v == w, we simply write wEAl.
Let S(x) be the even function defined on R n
(1.2)
where x = (Xl, ... ,xn) and St(x) = rnS(x/t). We shall say that a pair of non
negative and measurable functions (v, w) belongs to the class A1 if there exists a finite
constant c such that
(1.3) sup(St * v)(x) ~ cw(x) t>o
holds almost everywhere in x. The least constant c satisfying (1.3) shall be called the
constant of the pair (v, w) in the class A1 • If v == w , we simply write wEAl.
Let k(x) = O(x )Ixl-n be a measurable function defined on Rn - {O}. Let us assume
that 0 satisfies
(i) for every .x> 0 and xi- 0, O(.xx) = O(x) ,
(ii) O(x) is bounded on Rn - {O},
(iii) IE O(x)du., = 0, where ~ is the unit sphere, ~ = {x : Ixl = I} and du., is the
element of surface area,
(iv) if w(t) = sup sup 10(x + h) - O(x)1 then the Dini condition Iklst .,EE
holds.
11 . dt w(t)- < 00
° t
We say that a function k(x) satisfying conditions (i) to (iv) is a singular integral kernel
and that KBf(x) , where
(1.4) KBf(x) = lim KB.f(X) = lim 1 k(x - y)f(y)dy t-+O+ t-+O+ .,-y rf:- B.
is the corresponding singular integral of f at the point x E Rn, whenever it exists.
Let {Rth>o be a family of n-dimensional intervals centered at the origin with sides
parallel to the axes. Let Rt = {x: IXil ~ lPi(t) , 1 ~ i ~ n}.
(1.5) DEFINITION We shall say that the family of intervals {Rth>o is admissible if the functions lPi(t) satisfy
248
(i) there exists io such that 'f"o~t) = t and for every i, i -I- i o , I.f'i(t) ;:: t holds,
(ii) for every i, lim I.f'i(t) = 0 and t->O+
(iii) for each i, lim I.f'i(t)/t exists (this lirrit may be equal to infinity). t->o+
We can assume that io = n. Let
KR.J(X) = 1 k(x - y)f(y)dy . ",-yf/:R,
We shall call K R , f the singular integral truncated by the interval Rt and
(1.6) KRf(x) = lim KR.J(X) t->O+
the singular integral associated to the family {R t } , whenever this limit exists.
2. STATEMENTS OF THE RESULT. Singular integrals with non-standard
truncations of the type (1.5) were considered by E.O. Harboure in [3]. In that paper,
norm inequalities in LP, 1 < p < 00, for singular integral operators KRf and the
maximal singular integral operator Kjd were obtained. For the case of p = 1 , weak
type estimates are shown to hold. Some years later, H. Aimar and E.O. Harboure
introduced in [1] new techniques to deal with the weighted case, generalizing the results
of[3].
In the present paper, we study the convergence in L1 (v), of the truncated singular
integrals with non standard truncations of the type considered by E.O. Harboure, under
the assumption that both f and KRf belong to LI (w ). The case of K B f , that is to
say, the case of ordinary truncations by a family of balls with weights was considered
by O.N. Capri and C. Segovia in [2]. For rather general singular integral kernels and
pairs of weights we refer to the paper of L. de Rosa and C. Segovia [4].
The main result of this paper is the following theorem:
(2.1) THEOREM. Let (v,w) belong to Al and let {Rt}t>o be an admissible family
of n-dimensional intervals. Let k( x) be a singular integral kernel. Then, if fELl (w) the function KRf(x) , introduced in (1.6) is well defined almost everywhere. Moreover,
if KRf(x) belongs to L1(w), we have:
(i) IIKR .JII£1(v)::::; c(llfll£1(w) + IIKRfll£1(w)) for every t > O. The constant c does not depend on either t or f .
(ii) lim IIKR.J - KRfll£1(v) = O. t->o+
If WEAl, then (i) and (ii) hold taking v = w .
249
3. PROOFS. In order to prove the theorem we shall need some results.
We begin with the following proposition which gives a characterization of the class AI:
(3.1) PROPOSITION. Let St(x) be the function defined in (1.2). Then, the inequal
ity
(3.2) liSt * JIIL1(v) :::; C IIJIIL1(w)
holds for every t > 0 with a constant c not depending on t and J , if and only if (v, w)
belongs to AI'
Proof. If (v,w) E Al and assuming as we can that J ~ 0, since St(x) is an even
function, we have
j (St * f)(x)v(x)dx = j j J(y)St(x - y)v(x)dx dy
= j J(y)(St * v)(y)dy :::; c j J(y)w(y)dy ,
where c is the constant of (v, w) in the class AI.
Let us assume that (3.2) holds, then
j J(x)(St * v)(x)dx = j(St * f)(x)v(x)dx
:::; c j J(x)w(x)dx .
Thus, (St *v)(x) :::; cw(x) for almost every x ERn. The set where the inequality does
not hold, may depend on t. However, since for p < q, Sp{x) :::; (q/p)nSq(x) , we get that
sup(St * v)(x) t>o
is equal to the supremum taken on the positive rational numbers. Then, for almost every x E Rn
sup(St * v)(x) :::; cw(x) . t>o
(3.3) PROPOSITION. If the pair (v,w) belongs to AI, then it also belongs to AI.
Proof. This follows from the fact that S( x) ~ 2-n XB( x), where B is the unit ball in Rn.
(3.4) LEMMA. Let w belong to AI. There exists r, 0:::; r < 1, such that
250
holds for any cube Q and any interval R, such that R C Q with C w a constant
depending on the constant of w in Al and r only.
Proof. Since wEAl, there exists rJ > a such that w1+'1/ E AI' Let r = 1/(1 + rJ).
Then
By the condition Al on w(x)1+'1/, we get
(3.6) PROPOSITION. The weight w belongs to Al if and only if w belongs to AI'
Proof. If wEAl, Proposition (3.3) shows that wEAl. Now, let w belong to AI'
For every non negative integer k, let Rk be the interval centered at the origin, with
sides parallel to the axes of length 2k+1, ... , 2k+1, 2, and Qk :J Rk the cube with sides
of length 2k+1. It is easy to check that
00
S(x) ~ 2n LTnkXRk(X) . k=O
Therefore, 00
St(x) ~ 2nC n LTnkXtRk(X) . k=O
(St*W)(X)~2ncnf:Tnk f w(y)dy k=O j"'+tRk
= 4n f: Tklx + tRkl- I l. w(y)dy. k=O :c+tRk
Then, taking Q = x + tQk in Lemma (3.4), we obtain
00
(St * W )(x) ~ cw 4n LTk2kr ess. inf w(y) k=O yE:c+tQk
~ cw 4n(21-r /(21 - r -l))Mw(x) ~ cw(x) a.e.
Thus, we have shown that w belongs to Al .
251
We shall give an example showing that for pairs of weights, the class Al is strictly
contained in A1 . Let V(Xl,X2) = IX1IX[-1,lj(x2), (Xl,X2) E R2. After some ele
mentary computations it can be shown that the Hardy-Littlewood maximal function
MV(Xl,X2) = W(Xl,X2) satisfies W(Xl,X2) ::; IXll + 1. As it is well known, the pair
(v,w) E A1 • Let I(Xl,X2) = XQ(Xl,X2), Q = [-1,1]2. This function 1 belongs to
Ll (w ) , however S * 1 does not belong to P (v) and by Proposition (3.1) the pair (v, w) can not belong to A1 • In fact, if IX21 < 1/2, then
Thus
/(S* f)(x)V(X) dX l dx 2 ;::: /(3 !1~~~I)2 dXl = +00.
We observe that Proposition (3.6) holds for a pair of weights (v, w) provided that there
exists r, 0 ::; r < 1 , such that
(3.7)
holds for every cube Q and every interval R, Q :J R. This is the two weight analogous
of (3.5) in Lemma (3.4).
However, as the following example shows, the condition (3.7) is not necessary for a pair
(v, w) of weights to belong to A 1 •
Let V(Xl, X2) = XQ(Xl, X2) where Q = [-1,1]2 and W(Xl, X2) = MV(Xl, X2)' It can be
easily shown that MV(X17X2) Ri (1 + Ixl)-2. On the other hand, if RN = [-N,N] x
[-1,1] and QN = [-N,N]2, N;::: 1, we have
IRN I- 1 . r V(Xl,X2)dx l dx2 = liN and JRN ess.inf Mv(x) ::; c(l + N)-2 .
ZEQN
Then, if we assume (3.7), we get
This inequality is false for any given c and N large enough. However, we shall show
that. (v,w) belongs to A 1 • In fact, since
252
Then
{St * V)(Xl,X2)::; 2{5/2)2(1 + IXll + IX21)-2 11 Xt(l x 2 - Y21)XQ(Yl,Y2)dYl dY2
::; 50(1 + IXll + IX21)-2 .
If IX21 ::; 1 + t andlxll < 3, we distinguish two cases: t < 1 and t ~ 1. In the first
case we have 1 + 1;£11 + IX21 ::; 6. Thus,
(St * V)(Xl,X2)::; 18(1 + IXll + IX21)-2 1 XQ(Yl,Y2)dYl dY2
= 72{1 + IXll + IX21)-2.
Therefore, we have shown that for every t > 0,
(St *V)(Xl,X2)::; c(l + IXll + IX21)-2
::; c' M XQ(a:l, a:2) = c' W(Xl,a:2)
holds, proving that (v, w) belongs to .41 .
(3.8) LEMMA. If fELl, then
KBf{a:) = KRf(a:) + L f(a:)
holds a.lmost everywhere for L = lim f k(y)dy . t--+o+ JR.-B.
Proof. The proof of this lemma is contained in [3] and shall not be given here.
Let (v,w) belong to the class A1 • It is well known that for these weights there exists a
constant a> 0 such that a(l + 1a:I)-n::; w(a:), a.e .. In particular, if f E £1(w), then f E Ll((l + 1a:J)-n), which implies that f belongs locally to Ll.
253
(3.9) LEMMA. Let {Rth>o be an admissible family of intervals and let f belong to Ll«1 + Ixl)-n). Then,
(i) for every t > 0, K RJ (x) is well defined almost everywhere,
(ii) the limit KRf(x) = lim KRJ(x) exists everywhere, . t-o+
(iii) for almost every point x
KBf(x) = KRf(x) + Lf(x)
holds with L = lim r k(y)dy . t_o+ JRt-Bt
Proof. Let T > 0 and Ixl ~ T. We define h(y) = f(y) if Iyl ~ 2T, fl(y) = 0
otherwise and h(y) == f(y) - h(Y). Then,
KRJ(X) = KRth(x) + KRtfa(x) .
The integral defining K Rt fa ( x) exists since
IK f (x)1 < c r Ih(y)1 dy < C(T) J If(y)1 dy. Rt 2 - JOBt Ix _ yin - (Iyl +1)n .
We observe that KRtf2(X) does not depend on t for t small enough. Then by Lemma
(3.8) the limit of KRtf(x) exists almost everywhere. Moreover, since KRtfa(X) = KBf2(X) and by Lemma (3.8), we have
KRf(x) = KRfl(X) + KBh(x)
= KBh(x).....; Lh(x) + KBfa(X)
= KBf(x) - Lf(x) .
. (3.1Q) LEMMA. Let {Rth>o be an admissible family of intervals. Let L = lim Lt , t-+O+
Lt '= JRt-Bt k(y)dy, and (v,w) in AI. H g(x) is a bounded function with bounded support then
Proof. Since 1
Ik(y)1 ~ c Iyln ' then for y E Rt - Bt we have Ik(y)1 ~ cSt(Y). Thus,
(3.11) r Ik(y)ldy ~ cJ St(y)dy = c' . JRt-Bt
On the other hand, since we assume that 9 is a bounded function with bounded support, given ." > 0 there exists 8 > 0 such that
(3.12) J Ig(x - y) - g(x)lv(x)dx <."
254
provided that Iyl < {j. Therefore by (3.11) and (3.12) we get
IILg - (kXR.-B.) * gfILl(v) :::;
IL - Ltlllgllu(v) + k.-B. Ik(y)1 (J Ig(x - y) - g(x)Jv(x)dx )dy < t:
if TJ and t are small enough.
PROOF OF THEOREM (2.1). Since by Lemma (3.9), KRf(x) = KBf(x) - Lf(x) a.e., from the hypothesis that KRf belongs to L1( w) we get that KB f belongs to
L1 (w). Besides we observe that Theorem A in [4]holds in the case p = 1 and r = 00 .
Then, it follows that
(a) IIKB.fllL1(v):::; c(llfIILl(w) + IIKBfllu(w») for every t > 0, and
(3.13)
(b) lim IIKB.! - KBfllu(v) = O. t--->O+
We have
KR.f(x) = - f k(y)f(x -- y)dy + KB.!(X) . JR.-B,
The integral above is the convolution of f with the kernel key hR. -B. (y) which is
bounded by a constant times St(Y). Therefore, by Proposition (3.1) and part (a) of
(3.13), we have
Taking into account Lemma (3.9), part (iii), we obtain part (i) of the theorem. As for
part (ii) of the statement of the theorem, let 9 be a bounded function with bounded
support such that Ilf - gIILl(w) < t:. Then
IIKR,f - KRfllu(v) = IIKB.! - (kXR.-B,) * f - KBf + Lfllu(v)
:::; IIKB.! -- KBfIILl(V) + II(kXR,-B,) * (g - f)llu(v) + ILlllf - gllL1(v) + IILg - (k XR,-B, * gllu(v)
Therefore, by part (b) of (3.13), Proposition (3.1) and Lemma (3.10) we obtain part (ii) of the theorem.
REFERENCES [1] H. Aimar and E.O. Harboure, "On weighted inequalities for non-standard trun
cations of singular integrals". Revista de la Union Mat. Argentina 33 (1987),Nro.1-2, 21-30.
255
[2] O.N. Capri and C. Segovia, "Behavior of Lr -Dini singular integrals in weighted P spaces", Studia Math. 92 (1989), 21-36.
[3] E.O. Harboure, "Non-standard truncations of singular integrals", Indiana Univ. Math. Journal, 28 (1979), 779-790.
[4] L. de Rosa and C. Segovia, "Convergence of truncated singular integrals with two weights", Colloquium Mathematicum, Vol LX/LXI (1990), 579-592.
LILIANA DE ROSA and CARLOS SEGOVIA Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires and Instituto Argentino de Matematica (CONICET).
Recibido en setiembre de 1993.
256
XL REUNION ANUAL DE COMUNICACIONES CIENTIFICAS DE LA . UNION
MATEMATICA ARGENTINA Y XIII REUNION DE EDUCACION MA1'EMATICA
En la ciudad de San Luis, del 17 al 22 de setiembre de 1990 se real izaron la XL Reunion. Anual de Comunicaciones Cientificas· de la Union Matematita Argentina y la XIII Reunion de Educacion Matematica con el auspicio de la Universidad Nacional de San Lui~ y del Consejo Nacional de Investigaciones Cientificas y
Tecnicas.
En el marco de estas reuniones se realizo tambien el Segundo
Encuentro de Estudiantes de Matematica.
En la reunion de la U .M.A. se presentaron 65 comunic.aciones cientificas y se dictaron la conferencia "Julio Rey Pastor" a cargo del Dr. Jose Garcia Cuerva de la Universidad Autonoma de
Madrid, sobre "Factorizacion de operadores y desigualdades con peso", y la conferencia "Alberto Gonzilez Dominguez", a cargo del Dr. Enrique Lami Dozo (UBA-IAM), sobre "Problemas elipticos con autovalores con peso". Ademas el Dr. Roberto Miatello (U.N.C.-CIEMEN) di6 una conferencia sobre "La resolvente del laplaciano en espacios localmente simetricos de volumen finit~'
y el Dr. Hernan Cendra (INMABB-UNS) otra sobre "EI teorema de Frobenius y el problema inverso en el calculo de variaciones".
Se ofrecieron ademas cinco cursillos para estudiantes de matematica sobre temas variados.
En laReunion de Educacion Matematica se aceptaron 28 comunicaciones, se desarrollaron siete talleres, se ofrecieron seis minicursos y se dictaron tres conferencias.
La Asamblea Anual Ordinaria de la U.M.A. tuvo lugar el dia 21 y en el curso de la misma se resolvio dedicar la proxima reunion anual al Dr. Luis Santalo con motive de cumplir 80 afios.
257
RESUMENES DE LAS COMUNICACIONES PRESENTADAS A LA XL
REUNION ANUAL DE LA UNION MATEMATICA ARGENTINA
NOTA: Las comunicaciones' que van precedidas p~r un asterisco,
no fueron expuestas.
ALGEBRA DE LA WGICA.
FIGALLO,A.V. (U.N.S.J.), SUARDIAZ,A. Y ZILIANI,A. (U.N.S.):
613~4lgeb4a~ mon~d~ea~.
Una 613-algebra monadica (0 M61 3-algebra) es un algebra (A,~,6,'V,1) de tipo ("Z,l,l,O) tal que el reducto (A,~,6,1) es
un 613-algebra (A.Figallo, Rep.on Math.Logic, por aparecer) y se satisfacen: eMl) 'Vl = 1, (MZ) 'Vx ~ x = 1, (M3) 'V(x v 'Vy) =
= 'Vx v 'Vy, (M4) 'Vex >+ y) >+ ('Vx ~ 'Vy)= 1, (MS) 'V6x = MIx,
CM6) Xi/x = V'Vx (donde x v y = (x >+ y) >+ y, Vx = (x ~ 6x) >-+ x).
En este trabajo determinamos las congruencias, probamos que toda M61 3-algebra no trivial es producto subdirecto de MM 3-algebras simples y determinamos las simples.
Sea L(m) la M613-algebra res libres tal que IGI =
Sean V = n! 1 en - s) ! ; r. 1 n,s J,
1 < t ..; zm-j . rl , j ,t o
si 1 ..; t ..; zm-j
si 3m- j < t ; kl 1
Sean: i E {l,Z},
P <m fi m,m,t'
=
2 r. t J, .
Zm-l
fi . p, J ,t
0
que tiene un conjunto G de generado-
m, donde m~
= V 2m- j 1 ,
si zm-j < t
es un
1 ; r.
J , t
2 r. t J ,
ente.ro.
V 2m- j ,t
si
V . si zm-j < t ..; 3m- j ; rJ~,t = 0 3m- J ,t
V si t > 2m,t
i ri 1 r - , p,t p+l, t
ki - f (j) i t p=l P
a. t J , t!
..;p
k2 = V t 3m ,t
..; j ..;m
fi . P ,J , t
y
258
Entonces tenemos:
(2°) Si m> 1 IL(m)i
m 1 m .2 a. L (-1)( II (2t) J,t
j=l t=l
FIGALLO,A.V. (U.N.S.J.): I-A!geb4a~ eon ~n6imo.
En este trabajo consideramos la contraparte algebraica de un fragmento del calculo proposicional de Lukasiewicz w-valuado. Mas precisamente, el fragmento donde participan la implicaci6n (>+) y la conjugaci6n (A) como unicos conectivos primitivos.
Este calculo puede ser axiomatizado mediante los esquemas indi
cados por A.Rose para la parte implicacional (Fo4ma!i~ation du
ea!eu! p4opo~itione! imp!ieati6 a Xo-Va!eu4~ de Luka~iewiez,
C.R. Acad.Sci.Paris, 243(1956),1183-1185), los esquemas adicionales:
(Sl) (XA y) >+x , (S2) (XI\Y) >+Y , (S3) x >+ (y >+ (XI\ y)) , (S4) cex. >+ y) A (x >+ z)) >+ (x >+ (y A z)) Y la regIa usual de deducci6n.
A las algebras asi obtenidas las hemos llamado I-algebras con infimo.
CANALS FRAU,M.C. Y FIGALLO,A.V. (U.N.S.J.): E! ope4ado4 de neee~idad en !a~ a!geb4a~ de Hi!be4t t4iva!ente~.
En este trabajo determinamos condiciones necesarias y suficientes para que en un algebra de Hilbert trivalente (0 H3-algebra) se pueda definir un operador unario ~ sobre A de modo que (A,+,~,l) sea un MH3-algebra (M.Canals Frau, A.Saad, A.V.Figa-110, Moda! th4ee-va!ued Hi!be4t a!geb4a~, Inst. de Ciencias Basicas, U.N.de San Juan, Argentina, 1990).
Sea peA) el conjunto {x E A: (x+y) +x = x para todo yEA}, de los elementos peirceanos de A.
Entonces:
259
TEOREMA 1. Sea A E MH 3, (PCA),+,l) es una MH -subalgebra de A que es un algebra de Tarski. Ademas el conjunto Ax'" {p E PCA):
p ~ x} tiene ultimo elemento ~x.
A E H3 es una ~H3-algebra si para cada x E A existe el ultimo
elemento de Ax, denotado sx.
Sea A E ~H3 Y DCA un sistema deductive (s.d.) p+1-valente
p = 1,2 CL.Monteiro, Algib~e6 de Hilbe~t n-val~nte6, Port.Mat~, VoL3.6, Fas.3-4(1977), p.p.159-173), Des un S-s.d. si verifica:
xED implica sx E D.
Entonces:
TEOREMA 2. Sea (A,+,l) E H3 . Sobre A se puede definir un operadol' unario ~ de modo que CA,+,~,l) es un algebra MH 3, si y. s6lo
si se verifican:
(1 0)
(2°)
(30)
A E ~H3'
si D S;; A es un s.d. 3-valente, entonces D es un S-s .d. ,
si D C A es un s.d. 2-valente, entonces se verifica: cual-quiera de las tres condiciones (1) Sx ED, (2) x ~ D , (3) Y E D impliea (Sx+Sy) +SCx+y) E D.
FIGALLO,A.V. (U.N.S.J.) Y LATTANZI,M. (U.N.La Pampa): Algeb~a
de Waj6be~g (n+l)-aeotada6 k-elcliea6 ..
En este trabajo consideramos la clase de algebras CA,» ,'V,h, 1) tales que el reducto CA,» ,'V, 1) es un algebra de Waj sberg (n+l)acotada C~er A.Rodriguez, Un e6tudio algeb~aico de l06 c4lcuto4
p~opo6icionale6 de Luka6iewicz, Tesis, Univ. de Barcelona (198~)
y h es un automorfismo de algebras de Wajsberg, tal que hkCx) = x para todo x E A.
GALLI,A.C. Y SAGASTUME,M.S. (U.N.La Plata): Un Ugeb~a de Hey
ting 6im~t~ica 6ubdi~ectamente i~~eductible no 6imple.
Dado un conjunto ordenado P se considera el algebra de Heyting p+ de los subconjuntos crecientes de P. Se define en p+ una ne gaci6n de De Morgan mediante el operador de Birula-Rasiova. Pa
260
ra cierto P se prueba que el conjunto F de subconjuntos crecie~ tes cofinitos de P es un filtro minima no trivial de P+. Luego,
el algebra de Heyting simetrica p+ es subdirectamente irreducible y no simple. Se prueba asimismo que p+ es un algebra de Hey
ting doble subdirectamente irreducible y no simple.
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ORDENADAS - ALGEBRA UNIVERSAL.
CELANI,S.A. (U.N.S.J.): Sob~e aLgeb~a~ de Heyting ~im~t~~ca~
t~~vaLente~.
El espacio de Priestley asociado a un algebra de Heyting sime
trica trivalente se obtiene facilmente considerando un espacio
de De Morgan y un espacio de Heyting con una condici6n adicional. Por medio de esta representaci6n se determinan las alge
bras subdirectamente irreducibles, resultado obtenido anteriormente por L.Iturrioz [2] aplicando m~todos algebraicos.
Se dan condiciones para que el reticulado dual de este espacio sea un algebra tetravalente modal. En particular si el espacio
es de Kleene entonces el reticulado dual es un algebra de Lukasiewicz (R.Cignoli [1]).
Tambien se determina que un algebra tetravalente modal tiene como maximo dos puntos fijos. Por ultimo se encuentra el nume
ro de epimorfismos entre dos algebras de Heyting simetricas trivalentes finitas.
REFERENCIAS
[l] CIGNOLI, R., Coproducts in the Categories of Kleene algebras and Three-Valued Lukasiewicz algebras, Studia Logica, 38 (1979), 237-245.
[2] ITDRRIOZ,L., Algebres de Heyting Trivalent~s Involutives, Tesis Doctoral. D.N.del Sur.
CELANI,S.A. (U.N.S.J.): Cong~uenc~a~ en H-~et~cuLado~,
Un H-reticulado [1] es un algebra (A,v,A,T,O,l) de tipo
261
(2,2,1,0,0) donde (A,V,A,0,1) es un reticulado distributivo y T es un endomorfismo. Un H-reticulado k-ciclico es un H-reticuI ado donde T verifica -Tk(x) = x para todo x E A. En esta no
ta consideramos las congruencias principales en la variedad de los H-reticulados k-ciclicos. Se dan condiciones para que un filtro propio genere una k-congruencia. Para el caso particular de k=2 se da una caracterizaci6n de las congruencias prin
cipales en terminos de cuatro identidades.
Por ultimo se determinan los H-reticulados subdirectamente irre
ducibles para k=2.
REFERENCIAS
[1] FIGALLO,A. y MONTEIRO,L., H-reticulados.
ZILIANI,A.N. (U.N.S.): Algeb~a~ tet~avalente~ modale~ k-e~el~ea~.
Un algebra tetravalente modal k-ciclica es un par (A,T) donde A es un algebra tetravalente modal (0 TM-algebra) (I.LOUREIRO, Axiomatisation et propriete des algebres modales tetravalentes, C.R.A.S. de Paris, t.295, Serie I, 555-557) Y T es un TM-automorfi~ mo tal que Tk(x) = x. Determinamos las congruencias, caracteriza
mos las algebras simples y demostramos que toda algebra tetrav~ lente modal k-ciclica es producto subdirecto de TM-algebras kciclicas simples. Finalmente hemos determinado la estructura de las TM-algebras k-ciclicas con un numero finito de generadores libres para algunos valores de k.
VAGGIONE,D. (V.N.C.): Rep~e:6entae~one~ Booleana~ de Algeb~a~.
Se trabaja sobre representaciones Boole" _,lS de algebras. Se prueba el siguiente teorema:
TEOREMA. Sea A semi-irreducible y supongamos que existe una clase universal M tal que Tot(A,M) ~ IrrCon(A) es dens~. Entonces el unico posible espectro localmente Booleano de irreducibles es MinSpec(A) y son equivalentes:
262
(1) MinSpec(A) es localmente Booleano
(2) A es proyectable.
(3) A es localmente Booleanamente M-representable.
Mas aun si MI es tal que Tot(A,M I ) b IrrCon(A) , entonces son equivalentes:
(1) A es localmente Booleanamente M1-representable.
(2) A es proyectable y Tot(A,M I ) ~ MinSpec(A).
(3) A es proyectable y T6t(A,M I ) escompacto denso.
Si ademas M no contiene algebras triviales. entonces se pueden suprimir todas las ocurrencias del termino "localmente".
GRUPOS DE LIE - ALGEBRAS DE LIE.
TlRABOSCHI,A. (U.N.C.): F6nmula de Blattnen.
Sea G un grupo real de Lie semisimple, conexo, A un subgrupo de G de Lie semisimple conexo. Sean g, a sus algebras de Lie complexificadas. Pediremos que el par (g,a) sea regular. Sea
{ri}·=o I 2 . el functor de Zuckerman. Sea b una subalgebra 1 , , , •••
de Cartan de g, b = b+n una subalgebra de Borel de g y sea CI un b m6dulo irreducible, que 10 consideraremos como b-m6dulo extendiendo la acci6n en n en forma trivial. Definamos el siguiente (g,A)-m6dulo virtual
Xl = I(-l)n rn(C(g)xbC l )
Es de interes conocer las A-multiplicidades de Xl y para ciertos A esto esta dado por las f6rmula de Blattner. Aqui daremos una nueva demostraci6n, totalmente algebraica, de la f6rmula de Blattner.
GALINA,E. (U.N.C.): Autoe~pac~o~ del openadon Ca~~m~n pana SL(2,R) lj SO(2N, 1).
263
Sea G = SL(2,R) 0 G ~ SO(2n,1) y sean el elemento Casimir del centro de U (C) algebra universal del algebra de Lie de G. n actua en las secciones COO del-fibrado vectorial asociado G xTV, donde (T,V) es una representaci6n irreducible de un subgrupo compacto
maximal K. Sea MAN un subgrupo parab6lico de G ® IM~N(~ ® e A ® 1)
la representaci6n de G inducida por la representaci6n ~ ® eA ® 1 de MAN. En este trabajo se obtienen, para SL(2,R), dados (T,V) una representaci6n de K y A E ~a' (a' dual del algebra de Lie de A), todos los autoespacios de n como subcocientes de
IM~N(~®eA®1), con ~ = TIM'
Para SO(2n,1) pensamos n actuando en el subespacio de secciones COO tal que el centro de U(C) actua por algun caracter infinitesimal en cada secci6n. Cada autoespacio de n se descompone en
Ell VA, F finito, A E ~h' (h' subUgebra de Cartan de G), tales Ae:F que cada VA tiene caracter infinitesimal XA. Entonces, dada (T,V) una representaci6n irreducible de K Y A integral y no sin
gular, cada VA se obtiene como cociente de IM~N(~®eA®l).
Ademas, se puede observar que los autoespacios de n definido sobre las secciones L2 del fibrado vectorial asociado G xTV son infinitesimalmente equivalentes a subespacios incluidos estrictamente en los autoespacios asociados al mismo autovalor para n definido sobre las secciones Coo.
ANDRUSKIEWITSCH,N. (U.N.C.): fo~ma~ de ~tgeb~a~ de Kae-Moody.
Sea k un cuerpo de car 0, K su clausura algebraica. Usaremos
la notac i6n de [K]. Sea A generalizada, i.e.
(a .. ) E Znxn una rna tr iz de Cartan 1J
Sean b.
1 -= a.
1
a. . 2 11
a .. "' 0 1J i " j
a .. O=>a .. 0 1J J 1
ai,bi,sij elementos de k-O (1 "' i,j "' n), tales que b.
J 2 s. Sij' Sij SikSkj 'rJ i,j ,k.
J
264
TEOREMA. Supongamos que A es simetrizable. Sea gel. algebra de
Lie sobre k presentada por generadores {Xi,Yi,Zi: 1 < i < n} y
relaciones
(1)
(2)
(3)
(4)
Y si i " j (5)
(6 )
(7)
(8)
Donde
[Zi,Zj]
[X. ,Y.] ~ J
[Z. ,X.] J ~
[Y j , Z i]
[Xi' Y j ]
[X. ,X.] ~ J
F (X.)(X.) -Sij ,a i ~ J
F (X .. )(X.) -a ij , s i ~ J
F (x)" n,t
o 2Z.
~
-1 -a.s .. a .. Y. ~ ~J ~J J
-b.s .. a .. X. ~ ~J ~J J
o
si n
si n
2 j + 1 es impar
2j es par
Entonces g®kk es isomorfa al algebra de Kac-Moody "derivada" so br e k, [g (A) , g (A)] .
[Al ANDRUSKIEWITCH,N., Some forms de Mac Moody algebras. To appear, J. of Algebra.
VARGAS,J.A-. (U.N.C.): Re.6:tJI"(.c.c..i..6YL de SeJr..i..ell V.i..lIc.Jr.e:ta..6·.
Sea G un grupo de Lie simple, conexo, real del tipo nocompacto y K un subgrupo compacto maximal de G. Supongamos que range de K esigual a rango de G. En este caso G admite representaciones de cuadrado integrable. Si ademas G/K admite una estructura compleja G invariante, ciertas series discletas pueden realizarse en espacios de secciones holomorfas y de cuadrado integrable de fibrados·holomorfos sobre G/K. A estas representaciones de cuadrado integrable se las llama series discretas h£ lomorfas. Cada raiz no compacta determina una copia H del grupo SL(2,R). Fijemos una de tales copias. Entonces vale:
265
TEOREMA. Si (n,V) es una representaci6n de cuadrado integrable
e irreducible no holomorfa de G entonces su restricci6n a H no
contiene subrepresentaciones irreducibles.
COROLARIO. Si (n,V) es una representaci6n de cuadrado integra
ble e irredicible de G y su restricci6n a H contiene subrepre
sentaciones irreducibles, entonces G/K es un espacio hermitia
no simetrico y (n,V) una representaci6n holomorfa.
Par un teorema S.Martens sabemos que las series discretas holo
morfas restrictas a H se descomponen discretamente y que cada
factor irreducible tiene multiplicidad finita. En esta comuni
caci6n presenteremos una descomposici6n en integral directa
de la restricci6n a H de las series discretas no holomorfas.
BREGA,A.O. Y TIRAO,J.A. (U.N.C.): Una p~opiedad de t~an~ve~~aiidad de toda~ ia~ potencia~ de una de~ivaci6n dei aigeb~a unive~~a£ de Sl(n,C) y SO(n,C).
Sea U el algebra universal de k = gl(n,C) 0 SO(n,C), y sea E
la derivaci6n de U asociada a un elemento determinado E de k.
Sea m = gl(n-l,C) 0 SO(n-l,C), respectivamente. Denotemos con
Urn el algebra de m-invariantes en U y sea m+ una subalgebra
nilpotente maximal determinada de m. En este trabajo se demues
tra la siguiente propiedad de.transversalidad:
e (Ej (Urn)) n Urn + = O. j<:O
Este resultado permite concluir la caracterizaci6n de la imagen
en U(k) III U(a) del anillo clasificante U(g) k de G = SU(n,l) a G = SO (n, 1) .
TEORIA DE NUMEROS - ALGEBRAS NO ASOCIATIV AS - TEORIA DE GRUPOS.
MIATELLO,R.J. (U.N.C.): Una 66~muia de Kuznet~ov en ~upe~6i-
266
Qie~ modula~e~ de Hilbe~~.
Dada F una extensi6n finita, totalmente real de Q, sea H = SL(2)
Y sea G = ResF/Q(H), donde Res denota restricci6n del cuerpo de n
escalares y K = x SO(2). Entonces r = Gz es un lattice irredu-1
cible en G y r\G/K es una superficie modular de Hilbert. Con-juntamente con N.Wallach hemos obtenido una f6rmula analoga a la de Kuznetsov ([K]) en el caso n=l, en este caso, para una clase mas restringida de funciones de prueba. Esta f6rmula vincula coeficientes de Fourier de formas cuspidales con generalizaciones se sumas de Kloosterman.
[K] KUZNETSOV,N., The conjecture of Linnik ... , Math.Sbornik III (1940, preprint original de 1977).
[MW] MIATELLO,R., WALLACH,N.R., Kuznetsov formula for products of rank one groups, aparecera en Israel Journal of Mathematics.
CAL1,A.L. (U.N.S.L.): Algeb~a~ Reale~, de divi~i6n de dimen~i6n do~, Qon un unieo idempo~ente.
Se clasifican completamente las algebras no asociativas reales de divisi6n de dimensi6n dos con un Gnico idempotente. Cada algebra de este tipo es isomorfo precisamente a un miembro de diez familias infinitas.
ARAUJO,J.O. (U.N.C.P.B.A.): Regi6n Fundamental y Gene~ado~e~
de un G~upo Finito.
Sea G un grupo finito irreducible de On (R) y v en Sn-l un vector tal que g.v # v para todo g, g#l. Notemos con P e1 po1iedro determinado por 1a capsula convexa de 1a G-6rbita de v.
Sean gl"" ,gk en G tales que los segmentos de extremos v,gi'v
son las aristas de P que contienen a v. Por (I) se tiene que
gl" ··,gk generan G.
Una pol igonal cerrada formada con aristas de P es un circuito. Un circuito reducido es aquel que no pase dos veces por una
267
misma arista. Cada circuito w da lugar a una relaci6n
Rw(gl, ... ,gk) = 1. Sean Rl , ... ,Rm las relaciones dadas por los
circuitos asociados a las caras bidimensionales que contienen
a v. Con las notaciones previas se tiene:
TEOREMA. Si w es un circuito reducido, entonces R es un prow ducto de las Rl ,· .. ,Rm.
COROLARIO. Si G es un grupo de reflexiones, r l , ... ,rn reflexio
nes en G asociadas a una regi6n fundamental con m .. el orden de ~J
ri.r j , toda relaci6n en r l , ... ,rn se deduce de las relacio-
nes:
REFERENCIAS
m .. (r .. r.) ~J 1.
~ J
(1) ARAUJO,J.O.: Comunicaci6n UMA 1987, Sobre la Regi6n Fundamental de un Grupo Finito, Bahia Blanca.
(2) BENSON-GROVE, Finite Reflexion Group. (1971).
PIOVAN,L.A. (U.N.S.): CLLbft.-i.m.i.eYtto-6 C.-f.c.i.-i.C.O-6 de vaft.-i.edade-6 abe
!.-i.aYta-6 y a!guYto-6 -6.-i.-6tema-6 .-i.Yttegftab!e-6 fte!ac..-i.oYtado-6.
Estudiamos casos particulares de sistemas completamente inte
grables algebraicos generalizados (terminologla de M.Adler y
P. van Moeibek). En estos sistemas Hamiltonianos, las varieda-
_ des invariantes complexificadas pueden completarse como cubri
mientos clclicos de variedades abelianas. En el caso de dos
grados de 1 ibertad podemos describir estas compl'etaciones como
superficies de tipo general y calcular sus invariantes birra
cionales. Expllcitamente mediante tecnicas del aSl llamado ana
lisis de Pail eve, construimos compactificaciones de las super
ficies invariantes del sistema del cuerpo rlgido estudiado por
Goryachev y Chaplygin.
268
GEOMETRIA DIFERENCIAL - GEOMETRIA HOMOGENEA -
GEOMF.TRIA RIEMANNIANA - GEOMETRIA ANALITICA.
SANCHEZ,C.U. (F.A.M.A.F.(U.N.C.)- CONICET): Subva~~edade~ de Va~~edade~ de Bande~a~.
Sea G ungrupo de Lie reductivo real 0 complejo. Si peG es un subgrupo parab6lico la variedad cociente G/P se denomina una variedad de banderas real 0 compleja segun la naturaleza
del grupo G.
En este trabajo se estudian ciertas subvariedades de una variedad de banderas. Estas tienen propiedades geomfitricas interesantes en si mismas y al mismo tj.empo tienen importancia en la descripci6n de la geometrla del espacio ambiente.
DRUETTA,M.J. (F.A.M.A.F. (U.N.C.)): O~b~ta~ m~n~male~ en e~pa
e~o~ homog~neo~ de eu~vatu~a no po~~t~va.
Sea M un espacio homogfineo simplemente conexo y de curvatura seccional K ~ 0 sin factor euclldeo. M se expresa como M = G/K donde G es la cO,mponente conexa de la ident idad de grupo de is~ metrlas de M y K es la isotropla en algun punto de M. Sea S un subgrupo soluble de G, con algebra de Lie ~, que actua simple y transitivamente en M, yael complemento ortogonal de [~,~]
en ~ respecto de la mfitrica inducida por la acci6n de G en M.
Si YH (H E a) denota la geodfisica en M asociada al subgrupo monoparamfit-rico exp tHen G, se dan condiciones necesarias y suficientes, en tfirminos de K, para que la clausura de G(x)
. (x = YH(-oo)) sea G-minimal en M(oo) , el borde ~sint6tico de M.
Esta condici6n asegura que M es un espacio simfitrico. Como con secuencia se obtiene que M es un espacio simfitrico de tipo no compacto sii G(x) = K(x) para x = YH(-oo). Es ~onocido que si M es simfitrico de tipc no compacto, G(x) ~ K(x) para todo x en M(oo).
DOTTI,I.G. (U.N.C.): E~t~uetu~a~ eompleja~ en j-algeb~a~ no~-
269
ma.lu.
Sea (s,j,w) una j-algebra normal ,0 sea,s es un algebra de Lie soluble de tipo split (los autovalores de adx , xes, son reales), j es un endomorfismo de 5 tal que j2 = -id, j [x,y] = [jx,y] + [x,jy] + j [jx,jy] y w es una forma lineal en 5 tal que <x,y> = w[jx,y] es sim6trica, definida positiva y j-invariante. Diremos que (s,j,w) es irreducible cuando no puede des componerse como suma de ideales j-invariantes.
Dos triples (s,j ,w) y (~,L;';) son equivalentes si existe un endomorfismo de algebras de Lie a tal que J a = aj y wa = w. Cuando a es 5610 complejo decimos que los triples son isomorfos~ El prop6sito de esta nota es describir los pares (j,w) en 5, algebra de Lie soluble de tipo split. Probamos en [1] que si (s,j,w) es irreducible entonces cualquier triple (s,j,;';) es isomorfo a (s,j ,w) salvo conjugaci6n, en particular (5,1,;';) es irreducible. Como consecuencia todo isomorfismo de algebras de Lie entre j-algebras normales irreducibles da origen a un isomorfismo complejo (salvo conjugaci6n). Establecemos ademas una correspondencia biunivoca entre clases de equivalencia de. (s,j,w) en un j-lilgebra normal irreducible y un cociente de (R+)~ , r = codimensi6n de [s,s]. Resultados conocidos de Pyatetskii-Shapiro muestran que las clases de isomorfismo de j-algebras normales se correspondan con las. clases de biholomorfta de dominios acotados homog6neos en Cn . La m6trica de Bergman en el dominio se corresponde con una w distinguida (l1nica Kahler-Einsten invariante) en la j-algebra correspondiente.
[I] I.DOTTI, Complex structures on normal j-algebras, aparece-ra en Journal of Pure and Applied Algebra. .
SALVAI,M.L. (U.N.C.): La. d~6e~ene~a.b~l~da.d del bo~de a.~~nt6t~eo de un e~pa.e~o ~~m~t~~eo ~~~edue~ble de t~po no eompa.eto.
Sea M una variedad riemanniana conexa de curvatura seccional no positiva y 1T: TIM"" M el fibr~do tangente unitario de M. Para cada v en TIM sea Tv la geod6sica en M tal que T' (0) = v,
v hv la horosfera en M asociada a v, y Bv el operador de forma
270
de hv en el punto w(v). ..'., .
Llamamos T"(ob). a la.clase ;ge ge().de~ic.a?,asJnt?tJcas, a :vY .... M{oo)al cpnjun,to ,die' es,asclases,,_, ,Dad;o, p, ep. M,,- sa.bemos., que.
Fp: T'~'M .'-+: M(ooJ,. Fp:(v), ;,.TvCP'\) esuna,biyecci~in,que inp.uceen,:
M(oo) una to,pologi;a q:ue ,.as, independ,i~A-te -de p e;n M,oi Tambi~n ,es
conoc;ido que/clados ve; TIMY q,~, M.exi?te" u;n ,~ntco .w=:.A(v;~,;q) en, T~M .tal,queT,v.coo } := TwC~); .en ese caso di~~m~s que: w,es."
asint6tico a v; la as,int9ticidad e.~una, re,1,aqi6ndeeq4ival,en-i cia en J M.
Sea S una. subvariedad .. de '1', M ,cer;rada, par,a la re~aci6nd,e,aSi:in,
toticidad .. Probam05- que la,apli.caci6n,A'ISxM::' SxM,+ S as di:i;,e-
ren'ciable si y 5610 si 18. aplicaci6n iT ..,:: B '; estHferehc'fabl'e v
en S.
Comoaplicaci6n del resultado anterior, ten~mos 10 siguient~: S'ea'M un e'spacio_si~~trico"irrecluciblede't'ipo no c~~~acto, .,
G':= I oCM)p, 'E ,My:,~( la. ,isotr~Jlia, e,~. p'.'sea,.! ;;. ~+£;'la ,des
composici~n de Sartan aSE>cia~,a: a p ,~el lilgebrade Lie,d~ G ~ ... , a un subespacio abeliano maximal dep. Tomaino 5' la clausura de
~nacaIllara deWeyl C: ena ~q~~;~suA -copo s,impl iCi~l,: y. ~ea' E = {c n TiM:' ces u~ac;~~ de' c{ E~presa~do' M(~) como l'a,
uni6n disj unta' de p'Ce) ,~~n c E E ,d~mos:tr~IIlos que l~ estruc,-';, ".). '" '. p . .' '::" , . ." " ·"1:';', " , :'.',';,' I ... ·"" .,',,!
tura ~ife.ren,cial de,,F (~,) i;Ildu~~~a ~e; Tp~ a tf.llves .de ,Fp ,e,s . independiepte del p elegido enM. Ade,mas proba:rnosque .si yJt) es una ~urva en' TiM con v(()j"~p'y ~"(O)en el ortogonal a '
. "'''',.'' .. :,',P",:.::>, .. ,:,.",, .,' "c'" , ,,"", ,
T~f.:, l.a ~plic:aci:6n,.t~Bv(t) no e~ difere,nciabl,~",ep't ~.,O,. 10 que nos lleva a conjeturar la existencia de q en M tal que
t ~'(~'1 OFp)v(t) :IJ.O es;,~iie.r~nc-ia,bie ,en t';,o"c'bn. .10 c~I ~a mencionada descomposici6n menos fina, las partes no admitirian
estructura diferencial independiente de la elecci6n de p en M.
MAZ~ INA, L .M. F6Jtmulu de Maz z.if1.a pa,Jta latJt{c6 e,c.c.,[6YL d.el 4YLgu-,. .": )"
lo. ", ,': "I." .
Las f6rmulas ,de. Mazz ina consti:tuyen un conjunto de soluciones
nqmericamen,te .aproximadas,que res,ue,lven Ill: tris.ecci6n. de.un
cualquiera (0 0 ~ ~ ~ 90 0 ) con regIa y compas:
271
soluci6n te6rica e:";;; 0" (precisi6n cero segundo)
soluci6n practica e: ..;;; 3'
REFERENCIA: Enciclop~di~ Universal Espasa Calp~, Tomo LXIV. Ver trisecci6n del angulo, construcciones elementales aproximadas, metodo P.Monti-Schiaparelli (precisi6n 7').
BIRMAN,ds. (IAM-CONICET): Ven.6-i.dad IJ med-i.da total de GJtauman
n-i.ana.6 -i.nde6-i.n-i.du.
Definimos a G como la variedad grassmanniana del conjunto . r;s,n
de -r-hiperplanos que pasan por el origen en un espacio semieuclideano de signatura (s,n-s). Para obtener su densidad y medida total consideramos la descomposici6n de r segun sea o ..;;; r ..;;; s 6 no. La medida total se expresa en funci6n de la
medida total d~l grupo ortogonal (no indefinido).
Este resultado se aplica para obtener una acotaci6n de la curvatura absolutatotal de una curva cerrada en la esfera de Lorentz generalizando un teorema de E.Teufel publicado en "On the total curvature of closed curves in spheres", Manuscripta Ma t h., vo 1. 57, ( 1 986), 1 0 1 - 1 08 .
COMBINATORIA - TEORIADE GRAFOS ..
GUTIERREZ,M. Y OUBIRA,L.G. CU.N.La Plata): ApJtox-i.mae-i.6n de una d-i..6-i.m-i.laJt-i.dad poJt ~nd-i.ee.6 p-i.Jtam-i.dale~.
Dado un conjunto finito E de objetos a clasificar, una disimilaridad es una aplicaci6n d:ExE + R, simetrica y tal que d(x,y) = 0 sii x = y.
Las ultrametricas producen las clasificaciones jerarquicas y lOS/Indices piramidales las generalizan, dando l~gar a las clasificaciones piramidales.
Se demuestra que el problema de encontrar un Indice piramidal
272
que minimiza la distancia a d, entre todos los indices pirami
dales mayores 0 iguales que d es NP-Hard.
Se da un algoritmo que construye elementos maximales del con
junto de los indicespiramidales inferiores a d, en el caso en que d tOl)la valores 0,1 Y 2. En este mismo caso, el problema de aproximacion piramidal inferior optima puede reformularse en terminos de los cliques maximales de un grafo.
MARTINEZ FAVINIDUBOST,C. Y OUBIl\iA,L. (U.N.La Plata): C£...i.c.o..i.
d e.-6 •
Se define un clicoide como un grafo conexo tal que todo bloque es un clique. La motivacion para el estudio de los clicoides surge de la propiedad siguiente: Un grafo conexo es un clicoide si y solo si el conjunto de sus partes conexas, ordenado pOI' inclusion, es un reticulado. Se dan resultados sobre el centro de un clicoide. Se caracterizan, en forma inductiva,
los hipergrafos clicoidales (las hiperaristas son las partes conexas de un clicoide).
CHIAPPA,R.A" MACCARI,A. Y VIAZZI,V. (U.N.S.): MuLUgJta-6o-6 tota£.e.-6, un..i.c...i.dad de. -6u -6ubmu£'t..i.gJta-6o e.-6pe.c...i.a£..
La nocion de grafo total, introducida pOI' Behzad en 1965, fue estudiada casi exclusivamente con referencia a grafos sin bucles y sin aristas paralelas. En 1968, Behzad y Radjavi demostraron que: Si H es total de un grafo conexo que no es cicIo elemental ni completo, H contiene un unico subgrafo G cuyo total es isomorfo con H.
En este trabajo se considera una extension natural del concep
to de grafo total para el caso general y se ve que el resultado anterior tambien es valido si se admiten bucles 0 aristas paralelas.
BERRONE,L.R. (U.N.R.): SobJte. e.£. nume.Jto de. e.-6pac...i.o-6 topo£.6g..i.-
273
Se reduce el problema de enumeraci6n de los espacios topo16gicos sobre un conjunto fin.ito de puntos, a la enumeraci6n de una clase restringida de ellos. Los mthodos empleados son fra~ camente elementales: no se va m&s all& de la herramienta frecuentemente utilizada de particionar un conjunto de clases segun una relaci6n de equivalencia, y contar luego los elementos en cada una de elIas.
Adem&s de algunos resultados colaterales, obtenemos una cota inferior de expresi6n recursiva para el numero de espacios topo16gicos sobre un conjunto de n elementos.
ANALISIS FUNCIONAL.
* GUICHAL,E.N. Y PAOLINI,G.B. (U.N.S.): Ca~aete~izaei6ndei e~
paeio~ de momento~ de una ~uee~i6n de exponeneiaie~.
Se considera la sucesi6n:
( 1 )
2 de L (0,00), donde {A.}. N es una sucesi6n creciente de numeros
l. l.e:
reales positivos que verifica: 00 I _1 <00
i= 1 Ai
Se nota M al espacio de momentos de la sucesi6n (1), es decir, al conjunto de todas aquellas sucesiones {c.}. N de i 2 para
. l. l. e:
las cuales existe un elemento ~(t) E L2 (0,00) tal que
-L t (~(t) ,e J ) = c. ,'d j E N
J
Llamaremos Gala matriz de Gram de (1), y G1/ 2 al operador ra
1z cuadrada de G. Se demuestra el siguiente resultado:
274
Ademas , si existe una constante a > 0 tal que:
An+1 - An ;;;. a 't:J n E N
entonces se encuentra una forma exp1icita de 1a sOluci6n:
00
c,o (t) I i= 1
y. e J.
-A.t J.
CERUTTI,R.A. (U.N.Nordeste): TIta.n..6nOl!.ma.da. de La.pla.c.e de la. d-i..6 tlt-i.~uc.-i.6n. (P+iO)~.
Se calcu1a 1a transformada de Laplace de 1a distribuci6n
( .) Add P 2 2 _ x 2 ., C P+10 on e = Xo - Xl - •.• n-1' A E .
TELLEz,M.A. (U.N.C.P.B.A,): La. tlta.n..6noltma.da. de Ha.n.kelde d~.6-
tlt-i.buc.-i.on.e.6 c.a.u.6a.le.6 0 a.n.t-i.c.a.u.6a.le.6.
En est a nota se obtiene exp1icitamente f6rmu1as basicas de 1a transformada Hankel en e1 sentido distribuciona1 de fami1ias de funciones distribuciona1es 11amadas causa1es 6 anticausa-
1es.
Se e"xtienden resultados unidimensiona1es a los casas mu1 tidimensiona1es ap1icando una f6rmu1a de cambio de variables para 1a transformada de Hankel sobre variedades COO sin puntos singu1ares.
Como caso particular se obtiene 1a transfor"mada de Hankel de
o(k)(m2+p) dada en [1] pagina 3, f6rmu1a (I,2,2), donde:
2 p 2 P () 2 2 2 2 x2 m + = m + X = m + xl + ... + X - X +1 - ••. - , p. p p+q
p+q = n (dimensi6n del espacio).
[1] .M.A.AGUIRRE and S.E.TRIONE. The distributional Hankel
Transfotm of o(k)(m+P). Studies in Applied Mathematics, Massachusetts Institute of Technology, Cambrige, USA, 415, 1990.
275
PENA,C.C. (U.B.A.): E~pacio~ Mab y t~an~no~mada de Mellin.
Se definen los llamados espacios Mab , munidos de una topolog1a
que puede describirse por familias de seminormas; se demuestran que estos estan "continuosly embedded" en un espacio producto de espacios de Schwartz, que D(R+) es un subespacio no dens~. Se caracterizan las distribuciones que son funcionales de Mab . Se demuestra que la transformaci6n de Mellin aplica
los Mab en esp"acios de funciones ana11ticas suj etos a condici£.
nes adecuadas. De este trabajo se desprende al menos tres 11-neas de estudio que podrian continuarse.
TRIONE,S.E. (U.B.A.): Sob~e la t~an~6o~mada de Laplace de nuncio ne~ ~adiale~.
Sea ~(t) (t E R ) una funci6n radial, es decir, una funci6n
que satisface ~(t) = FCr2) donde r2 t 2 + ••• + t 2 . 1 n
Sea fez) la transformada de Laplace de ~(t) definida f6rmula
L[~] = f(zl""'z) = f" e-i(x,z) F(r 2)dx, n Rn
por la
donde dx = dx1, ... ,dxn y (x,z) = x1z 1 + ... + xnz n y g(y) es
la transformada de orden v dada por la f6rmula
Xv(f) = g(y) = foo f(x) Jv(xy) IXY dx, Jv(z) designa . 0
la funci6n de Bessel: 00
L p=O
(-l)p Cz/2.) v+2p
p!r(p+v+l)
Probaremos dos f6rmulas de representaci6n que expresan la tran~ formada de Laplace de funciones radiales mediante la derivada de orden m de la transformada de Hankel de orden 0 y orden -1/2, si la ~imensi6n del espacio es n = 2m+2 y m = 0,1 •..• ; Y n = 2m+l, m = 1,2, ...• respectivamente. A saber:
TEOREMA. Hip6tesis: ~(t) = F(r ) E D n R
276
Tesi<;: a) Si n 2m+2, m = 0,1, ... ,
L [F]
s = z2 + + z2. 1 . • . n'
li) Si n
L [F)
p
2m+1, m = 1,2, ... ,
C_l)m22m+lWm foo F(t 2)t cos(tp)dt, .0
2 2 1/2 (Zl + ••. + Zn) •
BENEDEK,A. Y PANZONE,R. (U.N.S.): Inten~eee~6n de e~pae~o~ de Soboiev.
Dado un dominio acotado n y un numero natural r, definimos
D (n) := {f E Coo(IT): Daf = 0 en an si lal < r}. r
Para r,R enteros positivos, R ~ r, definimos C1 ~ p < 00):
normado con la norma WR,p.
Para una ampl ia clase de domini.os D un = w "n C"'"CIT). En un 1: r,,,
trabajo previo se mostr6 que si an E COO entonces Dr(n) es den-
so en Wr,'R' .
Se puede demostrar que la condici6n an E COO no puede ser ree~ plazada por la condici6n mas debil an E CR. Ademas puede cara£
terizarse a Wr,R por el comportamiento de sus elementos en el borde.
STOJANOFL,D. Y SUAREZ,D. (U.B.A.): U.". pnobiema de ~n.tenpoiae~6n no eonmutat~va.
Sean M = L2 [0,1] y ~ la medida espectral asociada al operador . M dado por MCf)(x) xfCx).
277
Dada ~ una partici6n finita del [0,1] se define para
T E L(M) , d (T) = ~
En-la topologla debil de operadores hay subredes de la red total (d~) que convergen. Se prueba que la red completa no con~
verge, mostrando un operador P tal que la red o~(P) tiene subredes que convergen a distintos llmites.
Sin embargo todos los llmites de subredes resultan proyectores en L(L(M)) cuyo range es la subalgebra de operadores de multiplicaci6n.
ANALISIS ARMONICO - ANALISIS REAL.
* de ROSA,L. y SEGOVIA FERNANDEZ ,C. (U.B.A.): CovtveJtgevtc.e 06 tJtuvtc.ated ~ivtgufaJt ivttegJtaf~ with two weight~.
Singular integral operators K with kernels satisfying the Lr_ Dini condition introduced by D.S.Kurts and R.L.Wheeden are considered here. The convergence in LP(v P ) of the truncated singular integrals Ke(f) to K(f) is proved provided that f and K(f) belong to LP(uP), (v,u) in the class A(p,p(r/p)l), l.e;;;p.e;;;r <00.
HARBOURE,E.O., TORREA,J .L. Y VIVIANI,B.E.(PEMA - INTEC - Univers.idad Aut6noma de Madrid): SobJte uvta apfic.ac.i6vt de fa 6uvt r
c.i6vt "~haJtP" de Fe66eJtman y Stein ..
La funci6n sostenida 0 sharp se define. por
donde B denota una bola de Rn y f el promedio de f sobre B respecto a la medida de Lebesgue. Resulta inmediato que
278
f# < Mf, con M el operador maximal de Hardy-Littlewood; mas
aun Fefferman y Stein demostraron que IIMfll p < II f#11 p siempre
que Mf E Lpo' Po < p.
Presentamos aqui una aplicaci6n de esta desigualdad para obtener una relaci6n entre las funciones A f(x) y C f(x) que inter q q
vienen en la definici6n de los espacios tienda T~, introduci
dos poi Coifman-Meyer y Stein.
MARANO,M.A. Y CUENYA,H.H. (U.N.R.C.): P~opagac~6n de punto~
de .den~-i..dad.
Consideramos un subconjunto medible Lebesgue A del intervalo unitario. Si a es un punto de densiqad de A, se estudia la
densidad de A en 0 con respecto a la medida ~g(E) = fEg ,
donde g es una funci6n no decreciente, nula y continua en el
origen.
Se obtiene que a resulta un punto de densidad de A, con respe£ to a ~g' en un sentido debil y se muestra con un ejemplo que este resultado no puede en general ser mejorado. Tambien se estudian condiciones necesarias sobre A y g para que 0 resulte un punto de densidad de A con respecto a ~g. Un problema analogo se analiza en n dimensiones,----9-onde g es ahora una funci6n radialmente no decreciente. En este caso es necesaria una hip6tesis adicional sobre g para que una identica conclusi6n se mantenga.
TEORIA DE LA APROXIMACION - APROXIMACIONES Y EXPANSIONES.
ZO,F. Y FAVIER,S. (U.N.S.L.): La mejo~ ap~ox~mac~6n natu~at
de Lande~~ y Rogge en e~pac~o~ de O~t~~z.
Un espacio de Orlicz L~ es aproximado por espacios L~ , don-O t
de las funciones ~t tienden de cierta manera a la funci6n ~o
cuando E: tiende a cero. Dada una funci6n f y una clas,e aproxi-
279
mante fija se estudia 1a convergenciade las mejores L.pE
aproximantes de f cuando E tiende a cero.
Ademas, e1 limite de estas aproximantes es bbtenido como 1a soluci6n de un problema de minimizaci6n en otro espacio de
Orlicz.
AUBONE,A. Y FAVIER,S. (IM.ASL - U.N.S.L.): Con:t,(.nu,(da.d de. Me.jo-
4e.~ Ap4ox,(ma.n~e.. Mon6~ona.~ e.n E~pa.c,(o~ de. 04L,(cz.
Dada una funci6n .p:R+ -+- R, .p(.0) = 0, convexa, consideramos e1
Espacio de Or1icz correspondiente a esta funci6n, e.d.
L.p [0, 1) = (f: R -+- R I f .p ( I f I) < oo} . [0,11
Sabemos que si 1a funci6n .p satisface 1a ~2-condici6n, e.d . .p(2x) EO:::K.p(x), x;;"xo ' e1 espacio L.p[0,1] es unespacio lineal
donde podemos definir 1a siguiente forma
1If1l.p = inf {c > 0: f .p (ill) EO::: 1}. . [0,1] c
En este trabajo bajo condiciones sobre f y .p se obtiene continuidad de las Mejores Aproximantes Mon6tonas, e.d. V.p(f/M.p) y
VII 1I.p (f/M.p) elementos. que satisfacen
(1) f· .pClf-V.p(f/M.pJ I) EO::: f .pOf-gi) 'd g E M.p [0,1] LO,l]
(II)
donde en (1) y (II)
M.p = {g:R -+- R / g es no decreciente} n L.p[0,1].
MARANO,M.A.A. (U.N.R.C.) ,: Ap4ox,(ma.c,(6n e.n La. me.d,(a. ~ob4e.6un:c,(one.~ mon6~ona.~.
Es sabido que si una funci6n esta en Ll [0,1] existen mejores
280
aproximantes en esta norma dentro de las c1ases de funciones no decrecientes. Si ademas 1a funci6n esta en LP para a1gun p > 1 entonces los mejores aproximantes en norma LP convergen cuando p + 1 al 11amadoaproximante natural, que es un particular aproximante en la media de 1a funci6n. En este trabajo se da una caracterizaci6n construct iva del aproximante natural, supuesto que se conocen e1 supremo e infimo de los mejores
aproximantes en 1a media. Tambien se obtiene un procedimiento ana10go para ca1cu1ar el mejor aproximante en 1a media cuando
este es unico.
MELAS,D.B. Y SERRANO,E.P. (U.B.A.): cta~e~ de equ~vatene~a en L2{R) a pa~t~~ de un an~t~~~~ mutt~g~aduat y ~u apt~eae~6n at
p~aee~am~enta de ~enate~.
Una Emisi6n Acustica se presenta frecuentemente como una sucesi6n de eventos re1ativamente breves y de energia re1ativamente alta. Las caracteristicas de tales eventos dependen del correspondiente sistema transductor y de 1a natura1eza del fen6meno 'fisico que los causa.
Uno de los objetivos del ana1isis de tales emisiones consiste justamente en c1asificar los eventos e1ementa1es y comparar sus estructuras. Esto se traduce en 1a necesidad de definir adecuadas c1ases de equiva1encia y de una distancia entre las mismas. Tales c1ases deberan ser cerradas respecto de tras1aciones 0 cambios de amp1itud de sus elementos.
E1 ana1isis por Onde1ettes implica descomponer una sefia1 en componentes ortogona1es bien 10ca1izadas en frecuencia. Tales componentes son justamente sus proyecciones sobre los subespacios ortogona1es determinados por e1 correspondiente Ana1isis Mu1tigradual.
Se definen c1ases de equiva1encia dentro de dichos subespacios y una distancia entre las clases de proyecciones. C1ases inc1uidas en distintos subespacios resu1tan disjuntas y rea1izan 1a maxima distancia.
La ap1icaci6n de estos conceptos permite 1a comparaci6n de
281
eventos por sus componentes. El calculo de la distancia se
efectua en forma sencilla y efeciente a partir de los coefi
cientes de la representaci6n.
FABIO,M.A. Y SERRANO,E.P. (U.B.A.): Compa~aei6n ent~e fa ~a~-
6o~mada de Wigne~-Viffe y fa T~an~6o~mada en Ondefette~ de~de
ef punta de vi~ta de fa Repke~entaei6n Tiempo-F~eeueneia.
La Transformada de Wigner-Ville de una sefiak en L2(R) es con
siderada como una eficiente Representaci6n Tiempo-Frecuencia
de la misma. Su aplicaci6n esta actualmente muy difundida en
el campo del Analisis de Sefiale~.
Sin embargo la no linealidad de la transformaci6n implica des
ventajas frente a las representaciones basadas en la descompo
sici6n de la sefial en eventos elementales bien localizados en
el Dominio Tiempo-Frecuencia y mutuamente ortogonales.
La Transformada en Ondelettes y el empleo de Paquetes de Ondas,
de reciente desarrollo conducen a esta ultima clase de repre
sentaciones.
Se comparan ambos m€todos y sus fundamentos te6ricos.
ANALISIS NUMERICO.
TARZIA,D.A. (CONICET - U.N.R.): An4fi~i~ numl~ieo de de~iguafdade~ ent~e ef 6fujo de eafo~y ef eoe6ieiente de t~an~6e~eneia~ eon~tante~ a 6in de obtene~ un p~obfema a do~ 6a~e~.
Se considera un problema de conducci6n de calor estacionario
en un material n C Rn con front era regular r = r 1 U r2 con
Ir11 > 0 y Ir21 > 0, de manera que se satisfagan las siguien
tes condiciones:
o en n ,
a(u-B) au I -an r 2 q
282
con a,q,B = Const > O. Se considera una triangulaci6n del do-
minio ~ con triangulos tipo Lagrange de tipo [Ci], siendo
h > 0 el parametro de la discretizaci6n.
Se Tealiza el analisis numerico del problema continuo, des
cripto en [TaTa], obteniendose condiciones suficientes para la
existencia de la sOluci6n discreta de signo no-constante en ~h'
[Ci] P.G.CIARLET, The finite element method for elliptic problems, North-Holland, Amsterdan (1978).
[TaTa] E.D.TACACMAN-D.A.TARZIA, J.Differential Equations, 77 (1989), 16-37.
* GONZALEZ,R.L.V. Y TIDBALL,M.M. (U.N.R.): Soluci6n ~~pida de p~oblema~ de punto 6ijo gene~ale~ no lineale~.
Frecuentemente, problemas de_control 6ptimo y rle juegos dife
renciales, entre otros, se reducen a resolver inecuaciones va
riacionales. Para obtener soluciones numericas es necesario
discretizar el problema original empleando el metoda de los
elementos finitos 0 de diferencias finitas y resolver computa
cionalmente las inecuaciones variacionales obtenidas utilizan
do algoritmos iterativos de tipo relajaci6n. El problema dis
creto implica, generalmente, encontrar el punto fijo de un
operador de contracci6n, cuando la constante de contracci6n
es muy cercana a 1. La resoluci6n numerica del problema, pue
de ser de convergencia muy lenta.
En [1] fue presentado un procedimiento acelerado para la reso
luci6n numerica del problema del punto fijo especificamente
asociado a ecuaciones de Hamilton-Jacobi-Bellman. En [2] esta
metodologia fue extendida para tratar las inecuac~ones varia
cionales bilateras asociadas a problemas de juegos diferencia
les con tiempo de detenci6n. En esencie, ambos trabajos em
plean un cuidadoso criterio para modificar los metodos itera
tivos usuales y emplean un numero reducido de veces el algo
ritmo de Newton (resultante de considerar la linealizaci6n del
operador T en entornos de los puntos encontrados por los algoritmos usuales).
283
En este trabajo, teniendo en cuenta este hecho y generalizando los resultados arriba mencionados, presentamos una modifi
cacion del metodo de Newton para acelerar la convergencia de los metodos iterativos usuales de resolucion de problemas de puntos fijo generales Cdonde el operador T es no lineal y solo se consideran que T es lipschitziano y contractivo).
El conjunto de resultados obtenidos es el siguiente:
• Se ha desarrollado un procedimiento general para estabili
zar el metodo usual de Newton, logrando que los algoritmos obtenidos convergan globalmente a la unica soluci6n del problema de punto fijo.
. 1 2 00 • Se prueba, en el caso donde el operador T E C n H ' , que la convergencia ~s cuadritica y en el caso donde T es seccionalmente afin que la convergencia se obtiene en un numero fi
to de pasos .
• Se I1iuestra la limitacion de los metodos de Newton para el problema de un operador T general, dando un ejemplo donde, a peasr de utilizar un metodo de tipo Newton, no se obtiene ninguna mejora en la velocidad de convergencia ya que cualquiera sea el punto inicial elegido la convergencia es geometrica de orden a 10 sumo 1/3.
REFERENCIAS
[1] R.GONZALEZ, C.SAGAZTIZABAL, An algoritme rapide pour la resolution numerique des equations de Hamilton-JacobiBellman, C.R.Acad.Sci. Paris, Serie I, Tome 311, pag.45, 1990.
[2] R.GONZALEZ, M.TIDBALL, Fast solution of Isaacs's inequalities, Rapport de Recherche, nOl167, INRIA, 1990.
* AMGONE,L.S. Y GONZALEZ,R.L.V. CU.N.R.): Ex:ten.6'[6n de. mUodo.6 aee.le~ado.6 pa~a la ~e..6oluc'[6n num~~,[ea de. e.euac,[one..6 'de. Bellman.
Recientemente en [1], Falcone y Capuzzo Dolcetta pr~pusi~ron una metodologia de aceleracion del cilculo iterativo de las soluciones de las ecuaciones discretizadas de Hamilton-JacobiBellman asociadas a problemas de control optimo. El problema
284
de resolver estas ecuaciones discretizadas implica, general
mente, encontrar el punto fijo de un operador de contracci6n,
cuando la constante de contraccion es muy cercana a 1, la re
solucion numerica del problema, pl..lede ser de convergencia muy
lenta. El metoda mencionado de aceleracion esta basado en una
modificacion apropiada de los algoritmos usuales de tipo re
lajacion y consiste en desplazrse en forma maximal dentro del
conjunto de subsoluciones.
Presentamos en este trabajo una extension de esa metodologia
con las siguientes propiedades:
• Permite resolver cualquier tipo de problema de punto fijo
no lineal que involucre un operador contractivo .
• El algoritmo es convergente desde cualquier punta inicial,
no necesitando conocer una subsolucion de partida, ni conjun
to de subsoluciones.
REFERENCIAS
[1] I.CAPUZZO DOLCETTA and M.FALCONE, Discrete dynamic programming and viscosity solutions of the Bellman equations, Preprint URLS-DMNS-88/001, Univ.Roma, La Sapienza.
ECUACIONES DIFERENCIALES.
BARRAZA,O.A. (D.N.La Pampa - D.de San Andres): Relaci6n ent~e do~ m~todo~ de ~egula~izaci6n del cociente de dete~minante~ de ope~ado~e~ el~p~ico~.
Se generaliza la relacion existente (1) entre det 1 (A) (deter
minante de Fredholm) y detp(A) valida para l-A E J 1 (clase de
operadores tipo traza) que ademas resulta es~ar en la p-~sima
clase de Schatten (Jp). Si ademas A esun cociente de operado
res elipticos se tiene que det (A) = Det(A) donde Det denota
el determinante regularizado mediante la funcion zeta de
Riemann generalizada asociada (P). Combinando ambas igualda
des se establece un vinculo entre detp(A) y Det(A) que se ex
tiende al caso en que l-A no sea tipo traza pero este en J p
285
para algun p > 1.
TEOREMA. Sean B y C dos operadores pseudo-diferenciales ellpticos, invertibles, de orden m > a definidos en una variedad diferencial compacta y sin borde. Supongamos que B y C tienen identico slmbolo principal, el cual tiene un rayo de minima crecimiento (3), y sea p > 1 el menor posible tal que
(l-CB- I )P es tipo traza. Entonces
REFERENCIAS.
Det (C) Det(B)
p-I exp[ I 1 dd [s.Tr[(l-CB- I ) .c-sll 1.
k=1 k s· s=O
(I) GOHBERG-KREIN, Introduction ~o the theory of linear nonselfadjoint operators, Trans.AMS, 18 (1969).
(2) MUSCHIETTI,M.A., Sobre las potencias complejas de operadores elipticos, Tesis. UNLP (1984).
(3) SEELEY,R., Complex powers of an elliptic operator. Proc. Sym. Pure Math. AMS, VoLIO, 288-307, (1967).
(4) FORMAN,R., Functional determinants and geometry, Invent. Math.88, 447-493 (1987).
SANZIEL,M.C. Y TARZIA,D.A. (PROMAR,U.N.R.): Ex~~tene~a de 6a~e~ en un mate~~al ~em~-~n6~n~to eon un pa~t~cula~ 6lujo
de calo~ en el bo~de 6~jo.
Se considera un problema de Stefan a n fases [Wel para un material semi-infinito x > a con una condici6n inicial eonstante y con un flujo de calor de la forma q(t) = -qo/it (qo > 0)
impuesto en el borde fijo x = a [Ta] .
Se determinan condiciones necesarias y/o suficientes sobre el parametro qo para la existencia de soluci6n, la que viene dada explicitamente a traVes de la funci6n erf.
Se prueba tambien la equivalencia de este problema con aquel en el cual se impone una temperatura constante en el borde fi
jo [Wi].
[Ta] D.A.TARZIA, Quart.App1.Math., 39 (1981/82), 491-497.
286
[We] J.R.WEINER, Brit.J.App1.Physics, 6 (1955), 361-363.
[Wi] D.G.WILSON, SIAM J.App1.Math., 35 (1978), 135-147.
BOBULA,E., TARZIA,D.A., TWARDOWSKA,K. Y VILLA,L.T. (Jagie110-nian Univ.Krakow, Po10nia - U.N.R. - Jagie110nian Univ.Krakow, Po10nia - U.N.S.): Sob~e un p~oblema de 6~onte~a l~b~e en el modelo del nacleo en cont~acc~6n de Wen-Langmu~~ pa~a ~eacc~one~ ga~-~6l~do no-catal~t~ca~.
Se estudia e1 mode10 de Wen-Langmuir de contracci6n del nuc1eo en reacciones gas-s61ido no-cata1iticas siguiente:
<
u -u xx t
u(O,t)
0, 0< x < s (t), 0 < t .;;; T ,
u o (t) , 0 < t .;;; T,
U x (s (t ), t) = g (u (s (t ), t )), 0 < t .;;; T,
set) = f(u(s(t) ,t)) , 0 < t .;;; T,
u (x, 0) 1jJ(x) ,O';;;x ';;;b,
s (0) = b > O.
En este trabajo se genera1izan los resultados obtenidos para e1 caso particular uO(t) = Constante en [TaVi], uti1izando 1a metodo10gia emp1eada en [BoTw]. Se deducen resultados sobre 1a existencia y unicidad de soluci6n local en e1 tiempo.
[BoTw] E.ROBULA-K.TWARDOWSKA, Bull.Polish.Acad.Sciences-Tecnical Sciences, 33 (1985), 359-370.
[TaVi] D.A.TARZIA-L.T.VILLA, Meccanica, 24 (1989), 86-92.
TARZIA,D.A. Y VILLA,L.T. (PROMAR,U.N.R. - INIQUI,U.N.Sa.):
P~oblema~ dE conducc~6n del calo~ no-l~neale~ con 6uente que depende del 6lujo de calo~ en el bo~de 6~jo pa~a mate~~ale~
~ em~-~nMn~to~.
Se estudia e1 siguiente problema de conducci6n del calor nolineal para un material semi-infinito con una fuente de energia que depende del f1ujo de calor en e1 borde fijo x=O, es
(
287
dec ir:
{
u -u = ~(x) F(u (O,t),t), x > 0, t > 0, xx t x
u(x,O) = hex) , x> 0,
u(O,t) 0, t > O.
Este problema puede ser pensado como un modelo matematico para un sistema de control t~rmico en el cual el t~rmino de fuente juega el rol de un termostato que es activado por la informaci6n delf1ujo de calor en el borde fijo x=o [KePr].
Se obtienen resultados de existencia y unicidad de soluci6n, estimaciones a priori, dependencia continua de los datos y
comportamiento asint6tico. Estos resultados se obtienen a trav~s del analisis de una ecuaci6n integral no-lineal de Volterra de segunda clase. Los mismos gen~ralizan los obtenidos en
[Vi,TaVi] para el caso ~ = Constante.
[KePr] N.KENMOCHI-M.PRIMICERIO, IMA J.Appl.Math., 40 (1982), 205-216.
[TaVi] D.A.TARZIA-L.T.VILLA, Remarks on some nonlinear initial ..• , Revista UMAi Por aparecer.
[Vi] L.T.VILLA, Revista UMA, 32 (1986), 163-169.
BOUILLET,J.E. Y TARZIA,D.A. (U.B.A. - PROMAR,U.N.R.): Soluei6n mediante eeuaei6n integ~al de un p~oblema de Ste6an eon va~ia~ 6u e~y 6uente ~ingula~.
Se estudia el problema de contorno en x > 0, t > 0,
uCD,t) = C > 0, E(u(x,O+)) = 0, E(u) acotada,
para la ecuaci6n E(u) -A(u) = (1/t)B(x/t 1/ 2), que debido a t XX
la forma de la fuente/sumidero, admiten soluciones que son
funciones de x/t 1 / 2 como en [1], donde se estudia el caso de
una fase y A(u) = k.u. La soluci6n u= u(z), z = x/t 1 / 2 del problema de contorno para la ecuaci6n ordinaria resultante resulta funci6n decreciente de z en (0,00) para B(z) < 0, Y para
288
B(z) ~ 0 si U ' (0) < O. En estos casos el problema de contorno
se reduce a una ecuaci6n integral para la funci6n inversa
z(u), u en (O,C), para cuya soluci6n se dan condiciones suficientes sobre A, ByE.
Como la funci6n entalpia E(u) puede experimentar saltos, el
problema de contorno representa un problema de Stefan a varias
fases, con conductividad termica dependiente de la temperatura, y con fuentesingular.
Este tipo de situaci6n, para coeficientes mas simples, fue es
tuiada en [1], donde ademas se caracteriza el conjunto de fun
ciones B para las cuales hay una unica soluci6n.
[1] J.L.MENALDI, D.A.TARZIA, Generalized Lame-Clapeyron solution for a one-phase source Stefan problem. Manuscrito, Enero 28 de 1990.
LARA,L.P. Y MARTINEZ,G. (V.N.R.): Integ~aci6n de fa ecuaci6n
def cafo~.
Presentamos un metoda para determinar soluciones semianaliti
cas de la ecuaci6n del calor 0 de difusi6n en una variable es
pacial y una temporal.
En primer lugar generamos una ley de escala de la ecuaci6n, a
traves de la introducci6n de tiempos y longitudes caracteris
ticas.
Se semidiscretiza el plario espacio-tiempo y se demuestra la
existencia de soluciones simples semianaliticas aun para con
diciones de contorno no-homogeneos. Se estudian las propieda
des de los autovalores asociado al problema, mostrandose la
existencia de soluciones simples y acotadas.
Se demuestra la convergencia y estabilidad del metodo propues
to y se compara con otros metodos clasicos.
KORTEN M.K. (V.B.A,): Sofucionea diat~ibucionafea de u = div grad(u-1)+.
289
TEOREMA. Sea O.s;;;;u E Lil (Rnx (O,T)) soluci6n en el sentido .oc
de las distribuciones de
u t = II (u-1)+.
Entonces (u-1)+ es subca16rica, es decir
a ll(u-1)+ - at (u-1)+ ;;;. 0 en D' (Rx (O,T)).
No se requiere ninguna hip6tesissobre el comportamiento en el infinito ni en t=O de la soluci6n u, que es en general una funci6n discontinua de (x,t). En Ii demostraci6n de este teorema se emplea una representaci6n local de la soluci6n y una
iteraci6n que permite probar que u e L~oc' variantes de la
introducidas por Dahlberg y Kenig en [1]. El resultado se obtiene mediante una comparaci6n local.
[1] B.E.J.DAHLBERG y C.E.KENIG, Weak Solutions of the Porous Medium Equation, manuscrito.
CONVEXIDAD.
TORANZOS,F.A. (U.B.A.): Ca~aete~~zae~6n de un~one~ de 6~n~to~ ut~e.e..e.ad(}~ .
El problema te6rico de caracterizar los subconjuntos de Ed que
pueden expresarse como uni6n de k conjuntos estrellados ha cobrado importancia por su obvia relaci6n con la familia de problemas combinatorios conocidos como "Problemas de los guardianes de la galeria". Existen varias soluciones en la bibliografia reciente de Geometria Combinatoria, pero todas elIas restringidas a los casos d = 2 y k = 2 6 k = 3. Demostramos aqui:
TEOREMA 1. Sea S subconjunto de un espacio vectorial real y kEN. Son equivalentes los siguientes enunciados:
(1) S se expresa como uni6n de k estrellados no convexos
(2) Inc S es la uni6n de k subconjuntos no vacios, tales que
290
cada uno de ellos admite un "jefe de visibilidad" en S.
En. ambos resultados, si se pide compacidad de S pueden expresarse los enunciados en terminos d.e conjuntos finitos de puntos, aprovechando la "propiedad de intersecci6n finita" de ciertas familias de subconjuntos de S.
TORANZOS,F.A. Y WACHENCHAUZER,R. (U.B.A. - ESLAI): Se.palLac..i6YL de. C.OYLjUYLto~ mult~c.oYLve.xo~.
Sea E el producto cartesiano de varios espacios vectoriales de dimensi6n flnita sobre R. Si M C E, diremos que M es muZti
aonvexo si para cada punto de M, la secci6n de M que se obtiene fijando todas las coordenadas menos una es un convexo e? el correspondiente espacio factor de E. Este tipo de conjuntos (0 variantes de este tipo) es emp1eado en optimizaci6n, en Teoria de Juegos, en e1 estudio de funciones cuasiconvexas y en Geometria Computaciona1. Estudiamos aqui la posibilidad de obtener teoremas de separaci6n analogos a los resultados conoci
dos para conjuntos convexos.
TEOREMA 1. Sean A y B conjuntos cerrados, multiconvexos, conexos y disjuntos en E. Existe un ~-hiperplano en E que separa A de B.
TEOREMA 2. Sean A'y B como en e1 teorema anterior. Existe una funci6n f a va10res rea1es y ~-mon6tona y un numero real a tal que para todo x E A, para todo y E B vale f(x) <; a <; f(y).
TEOREMA 3. Sea A cerrado, mUlticonvexo y conexo. Entonces A es intersecci6n de sus ~-semiespacios de apoyo cerrados.
TORANZOS,F.A. Y FORTE CUNTO,A. (U.B.A.): Nue.vo~ 1Le.~ultado~ ~o
bILe. v~~~b~l~dad c.lalLa.
En 1972 Nick Stavrakas demostr6 que el mirador de un conjunto compacto no convexo de Ed es 1a intersecci6n de las novas de
sus puntos de no convexidad local. Recordemos que un punto x ve aZaramente a otro y via S, si se a1gun entorno re1ativo U
291
de y. La nOVa de x en S es el conjunto de puntos de S que yen claramente a x. Demostramos aqui que el teorema de represent~ ci6n del mirador de Stavrakas es valido sin la condici6n de compacidad del conjunto ni la dimensi6n finitadel espacio.
Mas preclsamente, probamos:
TEOREMA 1. Sea E un.espacio vectorial topo16gico localmente
convexo, S un,conjunto cerrado y conexo tal que Inc S sea co~ pacto y no vacio. Entonces mir S = n{nova(x,S) I x E Inc S}.
TEOREMA 2. Sea S un subconjunto cerrado, conexo y no convexo de Ed tal que Inc S seacompacto. Entonces mir S es la intersecci6n de las capsulasconvexas cerradas de las novas de sus
puntos de no convexidad local.
Este ultimo resultado permite obtener varios teoremas de tipo
KrasnoseZsky nuevos, en los que se describen atributos del estrellato de S mediante condiciones finitas de visibilidad.
WACHENCHAUZER, R. (ESLAI): Re.ia.c..i.on.e..6 e.n.tJte. d-i..6t-i.n.tO.6 .6-i.6te.ma..6 de. d-i.6-ib-ii-ida.d eon. d-i.Jte.ee-ion.e..6 Jte..6tJt-i.n.g-ida..6.
Sea 0 un conjunto de direcciones en el plano. Llamaremos 0-
recta a una recta cuya orientaci6n es un elemento de O. Un su~ conjunto del plano es O-co~vexo si su intersecci6n con cualquier O-recta es convexa (en el sentido clasico). La convexidad clasica resulta un casu particular de O-convexidad, cuando 0 = [0,180). La noci6n de visibilidad clasica se extiende analogamente a la noci6n de O-visibilidad: se dice que un par de puntos de un subconjunto Sse O-ven via.S si existe un segmento O-convexo de curva integramente contenido en S que los une. La teoria de conjuntos O-convexos y la noci6n de O-visibilidad fue estudiada por G.J.E,. Rawlins en su tesis doctoral ("Explorations in Restricted Orientation Geometry", U de Waterloo, 1987). En este trabajo se establecen condiciones suficientes para que un pol igono en un sistema de vis ibil idad dado posea propiedades similares a las de un poligono asociado a el en otro sistema de visibilidad. En un segundo paso busca
292
mos representar fielmente propiedades de visibilidad de con
juntos pIanos mas generales, mediante propiedades de conjun
tos asociados en un sistema de visibilidad diferente. Se bus
ca con esta representaci6n estudiar propiedades de visibilidad de una familia mas amplia de conjuntos pIanos asociando
les pollgonos ortogonales' en un sistema de visibilidad orto
gonal, y aprovechar de este modo la simplicidad de los algo
ritmos de este ultimo sistema.
* BRESSAN,J.C. (U.B.A.): C~lula~ de vi~ibilidad en JHC-e~pacio~
de convexidad.
En un trabajo del autor de esta comunicaci6n presentado en la Reuni6n Anua1 de 1a U.M.A. de 1988, se estudian las celu1as de
visibi1idad en espacios de convexidad. Las proposiciones obte
nidas generalizan resultados de F.A.Toranzos (1982) sobre ce
lu1as de visibilidad en espacios vectoria1es rea1es.
En 1a presente comunicaci6n se generaliza a JHC-espacios de
convexidad una caracterizaci6n de las celu1as de visibi1idad en espacios vectoria1es rea1es dada por R.Wachenchauzer (1990),
y se demuestran otros teoremas dentro de 1a convexidad axioma
tica. Algunos resultados que comp1ementan los formu1ados en la
comunicaci6n de 1988 son los siguientes:
1.- Si (X,C) es un espacio de convexidad y xES C X, entonces
C-mir(C-st(x,S)) C C-vis(x,S).
2.- Si (X,C) es un JHC-espacio de convexidad y 0 # sex, entonces:
(i) para todo xES C-vi~(x,S) = C-mit(C-st(x,S)).
(ii) C-mir(S) = (l{C-mir(C-st(x,S)): xES}.
3.- Si (X,C) es un espacio de convexidad, ent1nces son equivalentes:
(i) (X, C) es un T~espacio de convexidad TI' (ii) para todo 5 C X, para todo x E 5
C-vis(x,5) = n {C: C componente convexa de C-st(x,5)}
= n {C: x E C componenteconvexa de 5}.
293
HANSEN,G.L. (V.B.A.): JConvexo~ no-aeotado~ ot4a vez?
Mediante las aplicaciones de las tecnicas de images esfericas de convexos y del espacio afin ampliado, expuestas por el
autor de esta comunicaci6n en anteriores reuniones de la V.M.A.,
se obtienen versiones extendidas de un teorema de Sandgren (On
convex cones, Math.Scan. 2 (1954)) Y del teorema clasico de
Minkowski sobre puntos extremos. Los resultados son:
TEOREMA 1. Sea C una familia de conos convexos en Rn. Si para
cada subfamilia de 2n miembros de C existe un semiespacio de Rn que contiene atodos sus miembrosentonces existe un semi
espacio que contiene a todos los miembros de C.
TEOREMA 2. Sea C un conjunto convexo y cerrado en Rn (espacio
afin ampliado) que no contiene puntos impropios antipodales.
Entonces C = ext C.
MATEMATICA APLICADA.
CESCO,J.C. Y MARCHI ,E. (IMASL - V.N.S.L.): El lema de Kna~te4-
KU4atow~k~ y Mazu4k~ew~ez en un p4odueto a4b~t4a4~o de ~~mpl~ee~ .
Presentamos una extensi6n de una generalizaci6n del KKM, debida a B.Peleg, a un producto arbitrario de simplices. El re
sultado de Peleg considera un producto finito.
* CAPVTTI,T. (V.B.A.): Sob4e e~e4ta~ ela~e~ de 6une~one~ L~p~
eh~tz eont~nua~ en opt~m~zae~6n no d~6e4ene~able y de4~vada~
gene4al~zada~.
En el analisis de problemas de optimizaci6n no diferenciable, donde el punto de vista algoritmico, el calculo de gradientes generalizados de Clarke [1] para funciones f: Rn -+ Rl local
mente Lipschitz continuas arbitrarias permiti6 caracterizar
294
derivadas generalizadas de primer orden de f y, 5610, aproxi
mar Jerivadas segundas de f Qtiles en el disefio de metodos de
descenso de segundo orden en el caso de ser f convexa [2].
El prop6sito de este trabajo es tratar varias de funciones
Lipschitz continuas en optimizaci6n no diferenciable y mostrar
una funci6n "convexa cuadratica simplemente generalizada" que
sirve como una clase de funci6n de derivada segunda de una fu!!-.
ci6n f: X -+ R1 "10wer"C 211 siendo X un subconjunto abierto de
Rn [3].
[1] CLARKE,F.R., Generalized gradients and applications, Trans actions of the American Mathematical Society Volume 205, 1975, p.p.,247-262.
[2] CAPUTTI,T., On the s-subdifferential of a convex function, Rev.U.M.A., Volumen 31(4),1985, p.p.,202-210.
[3] CAPUTTI,T., On certain classes of Lipschitz continuous in nondifferentiable optimization and generalized derivatives, forthcoming.
* CAPUTTI,T. (U.B.A.): Mltodo6 de de6cen6o en optimizaci6n
cua6i-di6e~enciable.
Los metodos de descenso para la minimizaci6n de funciones
f: Rn -+ R1 localmente Lipschitz continuas no necesariamente
diferenciables 0 convexas, basados en el calculo de gradien
tes generalizados de Frank H. Clarke convergen, tipicamente, a
puntos estacionarios de f en los cuales 0 E af(x)-gradiente
generalizado de f en el punto x. Sin embargo, en algunos ca
sos,los puntos estacionarios estan lejos de ser optimales
pues f puede tener direcciones de descenso en tales puntos.
Apoyandonos en el metoda de aproximaciones de Pshenichny, B.
N. [1] presentamos un metodo de descenso para la minimizaci6n
de f y condiciones bajo las cuales los puntos de acumulaci6n
de la sucesi6n de puntos factibles generada por el algoritmo
son inf-estacionarios para f.
[1] PSRENICRNY,B.N., Convex Analysis and Extremal Problems, Nauka-Moscow, 1980.
295
CASTAGNINO,M.A., LARA,L.P. y'-1ARTINEZ,G. (li.N.R.): Camb..(o de.
~opoiogla e.n un eampo e.~eaia~ ~..(n ma~a.
En esta comunicaci6n presentamos los aspectos matematicos que resulta de estudiar la topologia introducida por Anderson y De Witt, quienes estudiaron la cuantizaci6n de un campo escalar sin masa en un espacio-tiempo cuyas hipersuperficies sufren un cambio topo16gico.
En particular, demostramos que el cambio "instantaneo" de la topologia es la causa de la divergencia en la energia y nume
ro de particulas, contrariamente a los resultados de De Witt que los asocia unicamente al simple cambio topo16gico.
GONZALEZ,G. Y TROPAREVSKY,M.I. (li.B.A.): V..(nam..(ea no i..(ne.ai e.n eon~~oi adapt..(vo.
En este trabajo se estudia el comportamiento del sistema dinamico de sgundo orden:
siendo los parametros a y ~ desconocidos cuando se intente regular la salida a cero.
A tal efecto se propone el modelo de primer orden:
y la ley de control adaptivo:
definiendose a k a traves de distintos metodos de estimaci6n de parametros.
En ~odos los casos se logra la regulaci6n de la salida a cero -aunque el comportamiento de ak varia desde la estabilizaci6n hasta el caos.
Se presentan tambien una extensi6n de los metodos anteriores a sistemas discretos de mayor orden.
296
WEIDENBACH,R.J. (V.N.La Plata): Ana!i~i~ de extnema!e~.
Se trata de interpretar el concepto de extremal en su aplica
ci6n mas actualizada al campo de la Macroeconomia.
La independencia buscada elementalmente para maximizar y/o
minimizar una expresi6n con la investigaci6n, en general de
un nfimero, tema ya conocido, es posible tambi§n su extensi6n
para determinar el valor de la f f(x)dx que es un nfimero que
puede desde luego hacerse corresponder a la funci6n y al in
tervalo (a,b) en que esta definida.
El analisis de estos nfimeros, segfin Volterra, que dependen
de una 0 varias funciones y al "conjunto de valores que toma
una funci6n en un intervalo perteneciente a un cierto campo,
las denomina funcionesde linea".
Hadamard, independientemente de 10 anterior, propone la deno
minaci6n de funcional, termino que ha prevalecido; para ello
analiza la funcional en funci6n del apgumento, y su estudio
pertenece a Volterra, siendo el objeto de esta comunicaci6n su
aplicaci6n a la Investigaci6n Operativa, la cual busca la maxi
mizaci6n 0 minimizaci6n de estes argumentos, que constituyen
los extremales de los mismos. Esta comunicaci6n busca encon
trar estes extremales en una cierta integral, determinando
los valores de la variable que maximizan 0 minimizan el valor
de la funci6n; 10 anterior implica parametrizar una funci6n
arbitraria, continua y que admite al menos las dos primeras
derivadas, y que se anula en funci6n de los extremos y=a y=b
y por tanto analizar matematicamente el estudio de la funci6n
y = y(x).
Fundamentalmente, se desea estudiar una determinada propiedad
optimizante de una integral donde figu'ra la funci6n desconoci
da y(x) y su derivada y' (x).
Se destaca que este problema puede generalizarse, y que la
funci6n incognita dependa de varias funciones inc6gnitas
YlY2··. Yn' y sus respectivas derivadas YiY~ ... y~, e incluso
pueden presentarse derivadas de orden superior, es decir, te-
297
ner que buscar la extremal de Jb f(x y y' y" ... y(n») dx. a
NOTA. Se har~ un comentario sobre su aplicac~6n a la Rob6tica.
298
XLI REUNION ANUAL DE COMUNICACIONES CIENTIFICAS DE LA UNION
MATEMATICA ARGENTINA Y XIV REUNION DE EDUCACION· MATEMATICA
En la Universidad Nacional de Santiago del Estero, desde el lunes 30 de septiembre hasta el s~bado 5 de octubre de 1991, se realizaron la XLI Reunion Anual de Comunicaciones Cient1ficas y la XIV Reunion de Educacion Matem~t1ca, con el auspicio de la Universidad Nacional de Santiago del Estero, del Gobierno de esa Provincia, de la Municipalidad de la ciudad capital y del Consejo Nacional de Investigaciones Cient1ficas y Tecnicas.
En el marco de estas se efectuo adem~s el III Encuentro de Estudiantes de Matem~tica. Hubo en total 484 participantes, de los cuales 203 fueron estudiantes.
Las actividades de la XIV Reunion de Educacion Matem~tica co
menzaron el lunes 30. Durante su transcurso se dictaron 9 cursillos sobre temas variados, un taller sobre problemas inform~ticos y se realizaron tres mesas redondas. De martes a viernes, se expusieron paneles sobre ensefianza de la matem~tica y se presentaron nuevas comunicaciones.
La XLI Reunion Anual de Comunicaciones Cientificas, realizada en homenaje al Dr. Luis A.Santalo, se inicio el miercoles 2 de octubre con la inscripcion de lbs participantes~ efectu~ndose
por la tarde el acto inaugural en el paraninfo de la Universidad Nacional de Santiago del Estero. En la oportunidad hicieron uso de la palabra la representante de la Comision Organizadora Local, Lic. NOri Cheein de Auat; el Presidente de la U.M.A U.M.A., Dr. Rober~o Macias; el Decano de la Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologias, Ing. Eduardo A. QUesta y el Rector de la Universidad Nacional de Santiago del Estero, Dr. Dante C. Fiorentino. A continuacion actu6 el coro de la Escuela de Musica. Despues de un cuarto intermedio el Dr. Luis A. Santa16
pronunci6 la conferencia "Dr. Julio Rey Pastor" sobre el tema "Geometria Diferencial, Geometr1a Integral y Geometria Estoc~s
299
tica". Luego los participantes y autoridades fueron agasajados
con un vino de honor.
Los dias jueves 3 y viernes 4 se expusieron 48 comunicaciones
cientificas, distribuidas en los siguientes temas: Geometria,
Algebra y L6gica, Ana1isis Matematico y Matematica Ap1icada.
E1 viernes a las 18,30 tuvo 1ugar 1a Asamblea Anua1 de Socios
de 1a U.M.A., en 1a que se eligieron nuevas autoridades.
El congreso se clausur6 e1 sabado 5 a las 11 hs con 1a confe
r~ncia "1:)1"_ Albe~~o Gonz_a1ezD~mingU:e!~, a ca!go ~~ 1a Dra. Maria Ines Platzeck, sobre e1 tema "Idea1es Idempotentes de un
Algebra". La misma estuvo dedicada a 1a memoria del Dr. Enzo
Gentile.
Para terminar, e1 presidente de la Uni6n Matematica Argentina,
Dr. Roberto Macias agradeci6 la calida hospita1idad y las aten
ciones recibidas durantee1 desarrollo de las reuniones y fe1i
cit6 a 1a comisi6n organizadora local por su esmerada labor,
pidiendo un fuerte aplauso para 1a misma.
Posteriormente se agasaj6 a los participantes con un a1muerzo
de despedida.
300
NOMINA DE LAS COMUNICACIONES PRESENTADAS A LA XLI REUNION
ANUAL DE LA UNION MATEMATICA ARGENTINA
NOTA: Las comunicaciones que van precedidas por un asterisco
no fueron expuestas.
GEOMETRIA DIFERENCIAL
DAL LAGO,' Walter Norberto (U.N.C.): Subva~~edade~ k-~~m€t~~ea~
de e~pae~o~ ~~m~t~~eo~ no eompaeto~.
SANCHEZ, Cristian U. (U.N.C.): E~6e~a~ m~n~mate~ can eu~vatu~a ean~tante en ~~m€t~~ea~ he~m~t~ano~.
SALVAI, Marcos (U.N.C.): Gead~~~ea~ en et tangente un~ta~~a at e~pae~a h~pe~b6t~eG.
DRUETTA, Marla J. (U.N.C.): Ve~eampa~~e~6n det atgeb~a de L~e
det g~upa de ~~amet~la~ de un e~pae~a hamog~neo de eu~vatu~a no pa~~t~va.
DOTTI, Isabel G. y MIATELLO, Roberto J. (U.N.C.): Va~~edade~
eampaeta~ 6tat eon ~guat e~peet~a.
ANDRUSKIEWITSCH, Nicolas (U.N.C.): 9~upa~ euant~ea~ eampaeto~
de mat~~ee~.
GEOMETRIA Y REPRESENTACIONES
TIRABOSCHI, Alejandro (U.N.C.): Seudag~upo~ eompaeto~ de t~po Es ,F4 y G2 ·
BIRMAN, Graciela Silvia (IAM-CONICET,U.N.La Plata): Sab~e un ~nva~~ante a61n de Santat6.
301
DICKENSTEIN, Alicia y SESSA, Carmen (U.B.A.): Conn~ente~ ne~~
dua!e~ y openadone~ d~6enene~a!e~.
OVEJERO, Roberto German (U.N.Salta): Soponte pnoyeet~vo pana
!a mee4n~ea ne!at~v~~ta.
OVEJERO, Roberto German (U.N.Salta): La e~tnuetuna net~eu!an de! plano de 6a~ e de~ de e! punta de vb.ta pno yeet~vo.
ALGEBRA, LOGICA Y COMBINATORIA
ARAUJO. Jose Orlando (U.N.C.P.B.A.): Sobne. lu nepne~entae~one~ ~nnedue~b!e~ de G(m,l,n).
SOLOTAR, Andrea (U.B.A.): Homolog~a e~e!~ea de! e~pae~o de lazo~ de un e~pae~o topo!6g~eo.
GALLI, Adriana C. y SAGASTUME, Marta S. (U.N.La Plata): Algebna~ de t~po nonmal en DH.
GALLI, Adriana C. y SAGASTUME, Marta S. (U.N.La Plata): A!gebna~ ~ubd~neetamente ~nnedue~b!e~ en DH.
HIBBARD, T.N. Y ALIA de SARAVIA, D. (U.N.Salta): La~ Tonne~
de Hano~ en Panalela.
OUBI~A, Lia y GUTIERREZ, Marisa (U.N.La Plata): Gna6o~ de ~ntenva!o~ eon ~nten~eee~on pnop~a.
ZUCCHELLO, Ruben J. (U.B.A.): Gna6o~ ,(nnedue~b!e~ eon ne~peeto a .!a ~u~t~~ue~6n.
ANALISIS REAL
HARBOURE, Eleonor, SEGOVIA, Carlos y TORREA, Jose Luis (PEMAINTEC):Aeotae~6n Loo-BMO de eonmutadone~ de ~ntegna!e~ ~~ngu-
302
HARBOURE, Eleonor y VIVIANI, Beatriz (PEMA-INTEC): Catego~~za
e~6n de lo~ e~pae~o~ de Ha~dy-O~l~ez a t~av~~ de ~nteg~ale~ ~~ngula~e~.
BERNARDIS, Ana y SALINAS, Oscar (PEMA-INTEC): Cla~e:6 Ap ~ob~e e~pae~o~ de t~po homog~neo.
TRIONE, Susana Elena (IAM-CLAMI-CONICET,U.B.A.): Gene~al~za
e~one~ de un te~~ema de Beppo Lev~.
CUENYA, Hector Hugo (U.N.R.C.): Conve~gene~a de Mejo~e~ Ap~ox{ mante~ en E~pae~o~ L~.
FABIO, Marcela y SERRANO, Eduardo (U.B.A.): Ba~e~ o~tono~male~
de L 2'(R) de paquete~ de onda~ y ~u apl~eae~6n al an,fl~~~~ de em~~~one~ aec1~t~ea.~.
SERRANO, Eduardo (U.B.A.): Una l~b~e~.(.a de ba~e~ o~tonMma'le.6
de L2(R) eon~t~u~da a pa~t~~ de la~ ondelette~ ~pl~na.
BENEDEK, Agnes y PANZONE, Rafael (U.N.S.): Vombl.~o~ u:n~6o~me~.
AGUIRRE, Manuel (U.N.C.P.B.A.): El pMdueto de eonvolue~6n. ena-n
t~e (P± io) --r- I]' 0 (k) (P) .
SEGOVIA, Carlos y HARBOURE, Eleonor (U.B.A. ,PEMA.-INTEC): '.Un
teo~ema de Mueken.houpt pa~a p~omed~o~ eon pe~o~ late~ale~.
OPTIMIZACION, TEORIA DE JUEGOS, CONVEXIDAD Y APLICACIONES
DE ALGEBRA LINEAL
* CAPUTTI, Telma (U.B.A.): Sob~e la ep~/h~po d~6e~eneiabil~dad de 6une~one~.
* CAPUTTI, Telma (D.B.A.): Exten~~6n. de m~todo~ de pun.to~
p~o x~ri1al e~ .
303
* QUINTAS, Luis (IMASL,U.N.San Luis) y QUINT, Thomas (US Naval Academy-Maryland-USA): El valo~ de Shapley pa~a t~anhaccioneh
a p~ueba de ~eventa~.
MASSO, Jordi (U.Aut6noma de Barcelona,Spain) y NEME, Alejandro (U.N.San Luis):Equilib~ium pay066~ 06 dinamic gameh.
TORANZOS, Fausto A. y FORTE CUNTO, Ana (U.B.A.): VihibiUdad
cla~a if componente~ convexa~ calzada~.
ROJO ,JERALDO, Oscar, SOTO MONTERO, Rica~do (U. Ca t . del Nort e Antofagasta,Chile) y ROJO JERALDO,Hector (U.de Antofagasta,
--1mtufagasta,- -Ch+l-eT:--Ntt~--e-e.t~-j9~ -£.~a~-va.-Lo~ u-aL~_
mat~iz .
SISTEMAS Y CONTROL
CEREZO, Grac iela (C.N. E .A.) Y FERNANDEZ, Elena (Centro At6mico Constituyentes): E~timaci6n de pa~~met~o~ y ap~oximaci6n de ~olucione~ pa~a una ecuaci6n neut~al con ope~ado~ D no
at6m-<.co.
GONZALEZ, Graciela y SERRANO, Eduardo (U.B.A.): Ca~acte~iza
ci6n de conjunto~ at~acto~e~ en ~-<.~tema~ de 6uncione~ ite~ada~ de cont~acci6n (IFS).
TROPAREVSKY, Maria Ines y GONZALEZ, Graciela A. (U.B.A.): Un p~oblema de cont~ol adaptativo.
WINITZKY de SPINADEL, Vera (U.B.A.): Acotac-<.6n uni60~me local
de la~ ~olucione~ en un ~i~tema de cont~ol con ~uido.
D'ATTELLIS, Carlos (C.N.E.A.-U.B.A.) y.GARCIA, Rafael (CONICET-U.B.A.): Output Cont~oU .. abaity 06 NonliYlea~ Sy~temh wilh Bounded Cont~ol.
304
ANALISIS NUMERICO
DURAN,Ricardo y LIBERMAN, Elsa (U.N.La Plata): M~todo~ m~xto~
de Elemento~ F~n~to~ pa4a el Modelo de Plaea~ de Re~~~ne4-M~ndl~n.
VAMP A , Victoria C. (U.N.La Plata): P4eeond~e~onante~ pa4a el
MUodo de. Ele.me.nto~ F~n~to~ no Con604me. ut~l~zando de.~eompo~~
e~6n de.l dom~n~o.
ARAGONE, L.S. Y GONZALEZ, R.L.V. (U.N.R.): Algo4~tmo~ 4ap~do~
pa4a la opt~m~zae~6n de. maqu~na~ mult~p4odueto.
DIMARCO, S. (U.N.R.): Te.en~ea~ de. de.~eompo~~e~6n-ag4e.gae~6n e.n e.l t4atam~e.nto de. la ~ne.euae~6n b~late.4a de. l~aae~.
MANCINELLI, E. (U.N.R.): SOb4e. la 4e.~olue~6n num~4~ea de. ~~~te.ma~ de. e.euae~one.~ e.n de.4~vada~ pa4e~ale.~ de.b~lme.nte. acoplada~.
DUBUC, Eduardo J. (U.B.A.): M~n~m~zae~6n de.l aneho de. banda P04 4e.eoe~do ~~mulado.
DIAZ LOZANO de MACIAS, Maria (U.N.del Litoral): Una ela.&e. de. ~nve.4~a~ gene.4al~zada~ de. una mat4~z como va4~e.dad ~olue~6n
de. un p4oble.ma l~ne.al.
FlORA, Jorge (INTI): Un eont4ol e.n t~e.mpo d~~e4e.to.
ECUACIONES DIFERENCIALES
PETROVA, Anna (Altay State Univ.USRR), TARZIA, Domingo A. (Univ.Austral y PROMAR) Y TURNER, Cristina V. (U.N.C.): El p4oble.ma de. Ste.6an a una 6a.&e. ~upe.4e.n64~ado eon una eond~e~6n de. te.mpe4atu4a.
ANDREUCCI, Daniele (Univ.degli Studi di Firenze) y KORTEN,Ma-
305
rianne (U.B.A.,IAM-CONICET): Sob4e el e4ee~m~ento en el ~n6~
n~to de .6olue~one.6 0 E;; u E L11 (Rnx (OT)) de ut = A(u-l)+. OC
TARZIA, Domingo A. (Univ.Austral y PROMAR) Y VILLA, Luis T. (INIQUI~CONICET,U.N.Sa.): Sob4e alguno.6 p4oblema.6 no l~neale.6
de eonduee~6n de eal04 en un med~o piano aeotado.
·TARZIA, Domingo A. (Univ.Austral y PROMAR) Y VILLA, Luis T. (INIQUI-CONICET,U.N.Sa.): Solue~one.6 explie~ta.6 en alguno.6 p40 blema.6 no l~n.eale:6 de eo nduee~6n de ealoJr..
* LAMI DOze, Enrique y MARIANI, Maria C. (IAM-CONICET,U.B.A.):
Solue~one.6 de la eeuae~6n Ax = 2H{X) X u
2 3 n X en H (B,R ). v
BERRONE, Lucio R. (Univ.Austral y PROMAR) Y GARGUICHEVICH, Graciela G. (PROMAR): Sob4e un p40blema de Ste6an pa4a la eeuae~6n de PO~.660n eon eond~e~one.6 de eonto4no m~xtaa.
TARZIA, Domingo A.' (Urtiv.Austral y PROMAR): Vete4m~nae~6n de eoe6~e~ente.6 t€4m~e0.6 a t4av€.6 de un p4oeeao eon eamb~o de 6aae eon eonduet~v~dad a61n de la tempe~atu~a.
306
XLII REUNION ANUAL DE COMUNICACIONES
CIENTIFICAS DE LA UNION MATEMATICA ARGENTINA
Y XV REUNION DE EDUCACION MATEMATICA
En la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires, desde ellunes 5 de octubre hasta el sabado 10 de octubre de 1992, se realizaron la XLII Reunion Anual de Comunicaciones Cientfficas de la Union Matematica Argentina y XV Reunion de Educacion Matematica y IV Encuentro de Estudiantes, con el auspicio de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires y del Consejo N acional de Investigaciones Cientfficas y Tecnicas (CONICET).
En el marco de estas hubo un total de 610 participantes de los cuales 189 fueron estudiantes.
Las actividades de la XV Reunion de Educacion Matematica comenzaron el lunes 5 de octubre. Durante su transcurso se dictaron 11 cursillos sobre temas variados y se realizo un Coloquio bajo la coordinacion del Profesor Juan Carlos Dalmasso. En este coloquio se plantearon diferentes ponencias sobre temas de AnaIisis, Geometria, Computacion y Algebra vinculados con la enseiianza de la matematica. Del 8 all0 de octubre se expusieron paneles sobre enseiianza de la matematica y se presentaron nuevas comunicaciones.
La XLII Reunion Anual de Comunicaciones Cientificas, realizada en homenaje al Dr. Manuel Balanzat se inicio el miercoles 7 de octubre con la inscripcion de los participantes, efectuandose por la tarde el Acto Inaugural en el Aula Magna de U.N.C.P.B.A. En la oportunidad hicieron uso de la palabra: el Sr. Rector, Dr. Juan Carlos Pugliese; el Sr. Decano de la Facultad de Ciendas Exactas, Dr. Roberto Gratton; yel Sr. Presidente de la U.M.A., Dr. Roberto Macias. A continuacion se leyeron los considerandos de la Ordenanza del Consejo Superior de la Universidad Nacional de San Luis por medio de la eual se Ie otorgo el diploma de Profesor Honorario al Dr. Manuel Balanzat. Seguidamente el Dr. Norberto Fava hizo una semblanza sobre la obra del Dr. Miguel Herrera; a continuacion se entregaron los premios Miguel Herrera correspondientes a este aiio.
Luego actuo el coro estable de la Municipalidad de Tandil.
Despues de un cuarto intermedio, el Dr. Angel Larotonda hizo una breve reseiia de la obra del Dr. Manuel Balanzat y seguidamente proilUncio la conferencia Dr. Julio Rey Pastor sobre el tema calculo diferencial en Espados Vectoriales Topologicos.
Una vez finalizado el acto, los participantes y autoridades fueron agasajados eon un vino de honor, el cual se llevo a cabo en la Camara Empresaria de Tandil.
307
Los dias jueves 8 y viemes 9 se expusieron setenta y seis oomunicaciones cientificas, distribufdas en los siguientes temas: COD\7exidadj Algebra y Logicaj Teoda de Sistemas y Optimizacionj AnaJisis Real y Armonicoj Geometda Diferencialj Teoda de Aproximaciones y Analisis Numericoj Ecuaciones Diferenciales Parciales ; Analisis Funcional y Global; Teona de Grafos y Optimizacionj Teoda de ·Lie.
El viemes a las 18 hs. tuvo lugada Asamblea Anual de Socios de la U.M.A.
El Congreso se clausuro ei sabado a las 10 hs. con la conferencia Dr. Alberto Gonzalez Dominguez a cargo del Dr. Eduardo Zaranton~llo sobre el tema Hacia una teoria espectml primordial. Para terminar, el Presidente de la Union Matematica Argentina, Dr. Roberto Macfas cerro el Acto de mausura con palabtas de agradecimiento.
Posteriormente se agasajo a los participantes con un asado de despedida en el comedor del Campus Universitario.
308
NOMINA DE LAS COMUNICACIONES PRESENTADAS A LA XLII REUNION ANUAL DE LA UNION MATEMATICA ARGENTINA
NOTA: Las comunicaciones que van precedidas por un asterisco no fueron expuestas.
SESION 1 - CONVEXIDAD, ALGEBRA Y LOGICA
HANSEN, Guillermo y TORANZOS, Fausto (FAC. CS. EXACTAS Y NAT., U.B.A.): Poliedro = Politopo -una faceta.
BRESSAN, Juan Carlos (FAC. DE FARMACIA Y BIOQUIMICA, U.B.A.): Caracterizacion de espacios de convexidad mediante operadores de convexidad.
RODRIGUEZ, Mabel y TORANZOS, Fausto (FAC. CS. EXACTAS Y NAT., U.B.A.): Revision de rayos salientes.
ARAUJO, Jose (U.N.C.P.B.A.): Representaciones de G(m,l,n).
CARBONI, Graciela y LAROTONDA, Angel (FAC. CS. EXACTAS Y NAT., U.B.A.): Estructura local del espectro de algebras topolOgicas noetherianas.
SOLOTAR, Andrea y REDONDO, M.J. (FAC. CS. EXACTAS Y NAT., U.B.A.): Homologia de Hoschschild del algebra de Q-analogos de operadores diferenciales.
(*) VAGGIONE, Diego (FAMAF, U.N.C.): Glases axiomaticas de produetos loealmente booleano.s.
FERNANDEZ, Alicia B. y MESKE, Nelly E. (FAC. ECONOMIA Y ADMINISTRACION, U.N. COMAHUE): Algebras de Heyting simetricas stonianas k"dclicas.
LATTANZI, Marina (FAC. CS. EXACTAS Y NAT., U.N. LA PAMPA): Epimorfismos de un algebra de Wajsbery (n + 1 )-acotada fin ita en otra.
(*) BERRONE, Lucio (PROMAR - U.N.R.) y GUERSENZVAIG, Natalio (U. CAECE): Topologias sobre eonjuntos finitos e irreducibilidad polinomial.
FIGALLO, Aldo V. (LC.B. - U.N.S.J.): Sobre las algebras 13 - monadicas.
SESION 2 - TEORIA DE SISTEMAS Y OPTIMIZACION
(*) CAPUTTI, Telma (FAC. CS. EXACTAS Y NAT., U.B.A.): Condiciones de optimalidad en problemas de optimizacion compuesta no diferenciable.
309
ETCHECHOURY, Maria y MURAVCHIK, Carlos (LAB. DE ELECTRONICA INDUSTRIAL, FAC. INGENIERIA, U.N. LA PLATA): Linealizacion exact a local de sistemas no lineales con control y observadores con dinamica lineal del error.
GUILLON, Maria de la P. y MARRON, Beatriz (U.N.S.): Estimacion de parametros en dina mica de sistemas.
GONZALEZ, Graciela; SERRANO, Eduardo y TROPAREVSKY, Maria (FAC. CS. EXACTAS Y NAT., U.B.A.): Aplicacion de JUtros conjugados a la caracterizacion de la dinamica de un sistema discreto no lineal.
TROPAREVSKY, Maria y GONZALEZ, Graciela (FAC. CS. EXACTAS Y NAT., U.B.A.): ---COnlrotaaor adaptattvopara l1'T£Sistemu discleto de ·cua/quierfYf'flen.- - - --_._-_. __ . __ .
PUENTE, Ruben (I.M.A.S.L.): El conjunto competitivo y el core en juegos de programac ion lineal simples.
(*) NEME, Alejandro (LM.A.S.L.): Votacion con restricciones.
CESCO, Juan C. (IMASL y CREA, GOBIERNO PCIA. SAN LUIS) y MARCHI, Ezio (IMASL-CONICET-UNSL): Equilibrio para una economia de intercambio con economias regionales.
SESION 3 - ANALISIS REAL Y ARMONICO
HARBOURE, Eleonor (PEMA; INTEC), MACIAS, Roberto (PEMA; INTEC), SEGOVIA, Carlos (lAM) y TORREA, J. L. (UNIV. AUTONOMA DE MADRID): Estimaciones para funciones maximales en espacios de Kothe.
AIMAR, Hugo y FORZANI, Liliana (PEMA ; INTEC): Propiedades de continuidad de funciones con condiciones sobre sus oscilaciones laterales.
FORZANI, Liliana (PEMA ; INTEC): Generalizaciones del lema de cubrimiento de Besicovitch y operadores maximales asociados.
SERRA, Claudia (PEMA ; INTEC) : Una caracterizacion molecular de los espacios de Hardy de tipo Orlicz.
SALINAS, Oscar y BERNARDIS, Ana (PEMA ; INTEC): Acotacion con dos pesos para operadores integrales y maxim ales fraccionarios en espacios de tipo homogeneo.
BERNARDIS, Ana (PEMA ; INTEC): Desigualdades de tipo debil para operadnres maximales con nucleos no suaves en R2 con homogeneidades mixtas.
GATTO, Eduardo (lAM) y VAGI, Stephen (DE PAUL UNIVERSITY, CHICAGO): Integrabilidad exponencial de integrales fraccionarias en espacios de tipo homogeneo.
(*) PANZONE, Pablo (U.N.S.): On the measure of self-similar sets.
310
SESION 4 - GEOMETRIA DIFERENCIAL
BIRMAN, Graciela (lAM - CONICET, U.N.LA PLATA): Metricas de Lorentz invariantes a izquierda sobre grupos de Lie.
CENDRA, Hernan y DIAZ VARELA, Jose P. (U.N.S.): A formula to calculate holonomy.
DAL LAGO, W., GARCIA, A. y SANCHEZ, C. (U.N.C. -ClEM): 8ecciones normales planas de variedades de banderas.
(*) ALEKSEVSKY, D., DOTTI, 1. y FERRARIS, C. (U.N.C. -FAMAF): Deformaciones de metricas de Einstein invariantes en 83 x 82 • .
BARBERIS, M. Laura (U.N.C. - FAMAF) : Estructuras hipercomplejas en espacios homogeneos.
DRUETTA, M. Josefina (U.N.C. - FAMAF): El algebra de Lie de isometrias de espacios homogeneos de curvatura no positiva.
SANCHEZ, Crist ian (FAMAF- ClEM): Nueva caracterizacion de los R-espacios.
PENA, Carlos (FAC. CS. EXACTAS, U.N.C.P.B.A.): 8imetrias de las ecuaciones de Laplace y Bilaplace.
SESION 5 - TEORIA DE APROXIMACIONES Y ANALISIS NUMERICO
ZO, Felipe (IMASL-UNSL y CREA), FERNANDEZ, Carmen (UNSL) y FA VIER, Sergio (IMASL): Mejor aproximaci6n natural en espacios de Orlicz.· Convergencia en norma y ~fu~ .
ZO, Felipe (IMASL - UNSL y CREA) y CUENYA, Hector (U.RIO CUARTO): Convergencia en norma de mejores aproximantes en espacios de Orlicz.
(*) HUOTARI, Robert (IDAHO STATE UNIVERSITY, E.E.U.U.) y MARANO, Miguel (UNIV. DE GRANADA, ESPANA): El algoritmo de P6lya en Rn.
SERRANO, Eduardo (FAC. CS. EXACTAS Y NAT. - U.B.A): Estrategias de representaci6n tiempo - frecuencia asociadas al analisis mediante bases de ondelettes.
FABIO, Marcela (CONICET) , CANCIANI, Pablo (LIARA) y SERRANO, Eduardo (FAC. CS. EXACTAS Y NAT. - U.B.A): Aplicaci6n de la transformada Wavelet al analisis de variaciones de mareas atmosfiricas.
MILASZEWICZ, Juan Pedro (FAC. CS. EXACTAS Y NAT. -U.B.A.): Un teorema de comparaci6n para las iteraciones de Newton-Baluev.
-----------------------------
311
MUSCHIETTI, Maria A. y SOLOMIN, J. E. (FAC. CS. EXACTAS, U.N. LA PLATA): Observaciones sobre la reconstruccion de funciones a partir de los maximos de sus coeficientes de ondelettes.
TIDBALL, Mabel (FAC. CS. EXACTAS, INGENIERIA Y AGRIM, U.N.R.): Solucion numerica de problemas de control impulsional.
TIDBALL, Mabel y GONZALEZ, Roberto (FAC. CS. EXACTAS, INGENIERIA Y AGRIM, U.N.R.): Solucionnumerica de problemas generales de punto fijo no lineales.
SESION 6 - ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
TARZIA, Domingo (UNIV.AUSTRAL) y TURNER, Cristina (FAMAF): EI problem.a de Stefan para un lZquido superenfriado con una condiciOn de contorno convectiva.
GUPTA, S. C. (INDIAN INST. OF SCIENCE -BANGALORE, INDIA), SANZIEL, M.C. (PROMAR-CONICET, U.N.R.) y TARZIA, Domingo (UNIV. AUSTRAL): Una solucion de semejanza para el problema de solidificacion de una aleacion binaria con zona pastosa.
DESTEFANIS, Hugo, ERDMANN, Eleonora, VILLA, Luis (INIQUI - CONICET, U.N.SA.) y TARZIA, Domingo (PROMAR -UNIV. AUSTRAL): Un modelo de frontera libre aplicado a la estimacion del coeficiente de difusion en un sistema gas - solido.
(*) BERRONE, Lucio (PROMAR): Rango temporal de validez para algunos modelos unidimensionales de conduccion de calor.
REGINATO, J. (U.N. RIO IV, DPTO. FISICA), TARZIA, Domingo (PROMAR -UNIV. AUSTRAL) y DZIOBA M. (U.N. RIO IV - DPTO. MATEMATICA): Un modelo de frontera libre aplicado al crecimiento de raices de cultivos por absorcion de iones moviles.
ARMENTANO, Maria Gabriela (U.B.A. - CONEA): Estimacion de parametros en una ecuacion parabolica no lineal.
MULER, Nora (lAM - CONICET): Elastoplasticidad dinamica.
SCHEVEZOV, Carlos (UNAM) y WEIMBERG, F. (UBC, CANADA): Fenomenos transitorios en la fiotacion de cuerpos solidos.
312
SESION 7 - ANALISIS FUN ClONAL Y GLOBAL
ANDRUCHOW, E., RECHT, Lazaro y STOJANOFF, Demetrio (lAM): Estructura geometriea del espacio de medidas espectrales.
AGUIRRE TELLEZ, Manuel (U.N.C.P.B.A.): Transformada de Fourier de c5(k)(r - a) con k = 0,1,2, ....
MARINELLI, Claudia y AGUIRRE TELLEZ,Manuel (U.N.C.P.B.A.): Desarrollo en serie de c5(k)(r - c) con k = 0,1,2, ....
DICKENSTEIN, Alicia y SESSA, Carmen (U.B.A.): COTTientes con soporte analitieo.
LAMI DOZO, Enrique y MARIANI, Cristina (lAM - CONICET , U.B.A.): Solueiones al problema de Plateau para la eeuaeion de eurvatnra media preseripta.
PORTA, Horacio y RECHT, Lazaro (FAC. CS. EXACTAS Y NAT., U.B.A.): Prop iedades de familias de involuciones en algebras C*.
PIOVAN, Luis (U.N.S.): Sistemas a.e.i.relaeionados a variedadcs abelian as polarizadas de tipo (3,3).
BARRAZA, Oscar A. (U.N. LA PLATA, UNIV. DE SAN ANDRES - DPTO. DE ECONOMIA): P-determinantes. y problemas de valores de eontorno.
W. de SPINADEL, Vera (U.B.A.): Sobre una earacterizaeion de la nocion de multifmctalidad.
MAESTRIPIERI, Alejandra (FAC. CS. EXACTAS Y NAT., U.B.A.): EI conjunto de raiees euadradas de sigma.
(*) CERUTTI, Ruben (U.N.N.E. - CORRIENTES): Algunas propiedades del operador ultrahiperbolieo de Bessel. '
SESION 8 - TEORIA DE GRAFOS Y OPTIMIZACION
(*) HIBBARD, Thomas (U.N. SALTA): El problema del agente de viajes.
CANTORE, Sergio; LIN, Min Chich; MENDEZ DIAZ, Isabel y LOISEAU, Irene (U.B.A. - INSTITUTO DE CALCULO): Resolueion de un problema real de ruteode vehieulos.
DUBOST, Clotilde y OUBINA, Lia (l"AC. CS. EXACTAS, U.N. LA PLATA): Hipergmfos de areos.
GUTIERREZ, Maria y OUBINA, Lia (FAC. cs. EXACTAS, U.N. LA PLATA) : Gmfos de intervalos propios con minimo numero de vertices.
313
FAVA, Norberto (FAC. CS. EXACTAS Y NAT., U.B.A.): Problemas de extremo.
CHIAl'PA, RaUl (U.N.S.): Recuento y determinacion de caminos elementales.
NASINI, Graciela (U.N.R., FAC. CS. EXACTAS, INGENIERIA Y AGRIM.): Redes de intercambiadores. de calor con temperaturas de entrada y capacidades ca16ricas variables.
SESION 9 - TEORIA DE LIE
SOLOMIN, Jorge (RAC CS. EXACTAS, . U.N. LA PLATA): 806m las assiontls gtlomi tricas.
KISBYE, Patricia (FAMAF - U.N.C.): Series de Poincare holomorfas de peso 1 ::; r::; 2.
(*) MIATELLO, Roberto (FAMAF -U.N.C.) y WALLACH, Nolan (UNIV. DE CALIFORNIA, S. DIEGO): Distribucion asintOtica de puntos de un reticulo en espacios simetricos de curvatunJ negativa.
VARGAS, Jorge (FAMAF - U.N.C.): Restriccion de series discretas.
LEVSTEIN,Fernando (FAMAF - U.N.C.): Reglas de descomposicion para la inmersion conforme sp(n):> so(n)$su(2).
TlRAO, Juan (FAMAF - ClEM): Sobre el ideal Izquierdo del algebra universal de un gni.po de Lie generado por una subtilgebra de Lie compleja.
314
XLIII REUNION ANUAL DE COMUNICACIONES CIENTIFICAS DE LA
UNIONMATEMATICA ARGENTINA
xv REUNION DE EDUCACION MATEMATICA.
En la Universidad Nacional del Comahue, desde ellunes 4 de Octubre hasta el sabado 9 de
Octubre de 1993, se realizaron la XLIII Reunion Anual de Comunicaciones Cientificas y la
XVI Reunion de Educacion Matematica, con el auspicio de la Universidad Nacional del
Comahue y del Consejo Nacional de Investigaciones Cientificas y Tecnicas, del Gobemador de
la Provincia del Neuquen y de los Consejos de Educacion de Rio Negro yChubut.
En el marco de estas reuniones se efectuo ademas el V Encuentro de Estudiantes de
Matematica. Hubo un total de 739 (setecientos treinta y nueve) participantes, de los cuales
221 (doscientos veintiuno) fueron estudiantes, quienes tuvieron oportunidad de asistir a alguno
de los 6 (seis) cursos que se dictaron para ellos.
Las actividades de la XVI Reunion de Educaci6n Matematica comenzaron el lunes 4. Durante
su transcurso se dictaron 11 (once) cursos sobre temas variados. El jueves 7 y viemes 8 se
expusieron las comunicaciones sobre ensefianza de la matematica.
La XLIII Reunion Anual de Comunicaciones Cientificas, se inicio el miercoles 6 de octubre
con la inscripcion de los participantes, efectulindose por la tarde el Acto Inaugural en el Aula
Magna de la Universidad Nacional del Comahue. En la oportunidad hicieron uso de la palabra
la Decana de la Facultad de Economia y Administracion, Est. Estela Acosta, el Presidente de la
Union Matematica Argentina, Dr. Roberto Macias y el Rector de la Universidad Nacional del
Comahue, Lic Pablo Bohoslavsky.
A continuacion, hizo entrega de los premios del Concurso de Monografia Dr. Enzo Gentile,
la Sra. Sulma Oliva de Gentile esposa del prestigioso matematico fallecido.
Fina}!llente se realizo una presentacion de Piano a Cuatro' Manos a cargo de Ma. Gabriela
Guala y Alejandra Sotile.
Despues de un cuarto intermedio el Dr. Roberto Cignoli pronuncio la conferencia "Dr. Julio
Rey Pastor" sobre el tema "Algebra de la Logica de Lukasiewicz". Luego, los participantes
y autoridades fueron agasajados con un Vino de Honor en instalaciones del Comedor
315
Universitario, donde actuo el Coro Universitario del Comahue.
Los dias jueves 7 y viernes 8 se expusieron Comunicaciones Cientificas, distribuidas en los
siguientes ternas:
- Geometria Diferencial y Algebras de Lie.
- Algebra y Teoria de NUmeros.
- Logica y Combinatoria.
- Convexidad y Geometria.
- Teoria de Juegos y Sistemas de Control.
- ECllaciones Diferenciales Parciales.
- Amilisis Real y de Fourier.
- Analisis Funcional y Complejo.
- Amllisis Numerico.
- Optimizacion.
El viernes a las 19 hs. tuvo lugar la Asamblea Anual de Socios de la Union Matematica
Argentina, en la que se realizo la eleccion de los nuevos miembros de la Comision Directiva,
se aprobo el ejercicio cerrado a1 31-08-93 y se dispuso la creaci6n de una Comisi6n para lograr
sistematizar la Biblioteca. La nueva Comision Directiva debeni resolver sobre la propuesta de
la Universidad del Centro para ser sede de la proxima Reunion AnuaJ.
El Acto de Clausura del Congreso se realizo el sabado a partir de la 9,00 hs., con la
Conferencia "Dr. Alberto Gonzalez Dominguez" a cargo del Dr. Juan Tirao, sobre el tema
"Teoria de Grupos y Geometria". Posteriormente el Dr. Alberto Maiztegui, pronuncio la
Conferencia "La Educacion en las Ciencias y la Formacion de Profesores".
Para terminar, hicieron uso de la palabra el Presidente saliente de la Union Matematica
Argentina, Dr. Roberto Macias, el nuevo presidente Dr. Juan Tirao y la Lic. Fernanda Lopez
Martinolich en nombre de la Comision Organizadora.
Posteriormente se agasajo a los participantes con un almuerzo de despedida.
316
NOMINA DE LAS CO"HNICACIONES PRESENTADAS POR LA Xi..ld REUNION ANUAL DE J.A UNION MATEMATICA ARGENTINA
NOTA: Las comunicaciones que van precediJas por un asterisco no fueron expuestas.
GEOMETRIA DIFERENCIAL Y ALGEBRAS DE LIE
Birman, Graciela (CONICET): Curvatura en "Warped product"".
Dotti, Isabel y Miatello, Roberto (V.N.C.): Variedades compactas planas hipercomplejas.
Barberis, Maria L. (V.N.C): Grupos de Lie que admiten estructura hipercompleja invariante.
Pacheco, Miriam y Sanchez, Cristian (FaMAF- V.N.C.): Subespacios hermitianos maximales en simetricos cuatt;rni6nicos.
Dat Lago, Walter; Garcia, Alicia y Sanchez Cristifm (U.N.C- CONICET): Secciones normales planas de variedades de bandera II.
Druetta, Maria 1. (V.N.C.): Algebras de Lie solubles Kahler.
l,evstein, Fernando ( V.N.C.): Algebras de Lie nilpotentes con forma bilineal invariante no degenerada.
Levstein, Fernando y Liberati, J. ( V.N.C.): Reglas de ramificaci6n para pares conformes.
Hullett, Eduardo y Sanchez Cristian (V.N.C.): Caracterizaci6n algebraica de Respacios.
ALGEBRA Y TEORIA DE NUMEROS
Solotar, Andrea y Redondo, Maria 1. ( D.B.A.): Vn objeto universal para las a -derivaciones.
Grana, Matias ( U.B.A.): Localizaci6n de la homologia de Hochschild.
317
Cecere, Silvia ( V.B.A.): Homologia de cmllgebras y su relaci6n con la construcci6n cobar.
Araujo, Jose (V.N.C.P.B.A.): Sobre representaciones de G(m,p,n).
Dubuc, Eduardo (V.B.A.): Sobre la factorizaci6n de numeros grandes.
Sombra, Martin (U.N.L.P.) : f6miulas de traza en la teoria de funciones L.
LOGICA Y COMBINATORIA
Fernandez, Alicia y Meske, Nelli ( V.N.Co): Reticulados de cortelaci6n booleanos simples.
Petrovich, Alejandro (V.B.A.): Ecuaciones en la teoria de Q-reticulados.
Hibbard, Thomas (V.N.Sa): The lambda calculus as a formas language.
Diaz Varela, Jose ( V.N~S.): Reticulados distributivos monadicos libres sobre un conjunto ordenado.
Chiappa, Raul; Lusente, Maria y Sanza, Claudia ( V.N.S.): Vna identificaci6n numeric a de arboles finitos.
Chiappa, Raul (U.N.S.): Enumeraci6n a la Roy-Marshall, de los caminos elementales de un digrafo.
Oubiiia, Lia y Gutierrez, Marisa (V.N.LP.) : Caracterizaciones metricas de grafos de intervalos propios y grafos arb6reos.
Gutierrez, Marisa (V.N.L.P.): La aplicaci6n clique entre grafos de intersecci6n de una familia I: y grafos clique-I:.
CONVEXIDAD Y GEOMETRIA
Bressan, Juan C. (V.B.A.): Transformaciones en espacios de convexidad.
Bressan, Juan C. ( V.B.A.): Espacios de convexidad topo16gicos.
Alcon, Liliana (V.N.L.P.): Conjuntos cuasiconvexos.
318
Alcon Liliana (U.N.L.P.): Funciones cuasilineales.
Ovejero, Roberto ( V.N.Sa ): Geometria del electromagnetismo.
Ovejero, Roberto ( U.N.Sa ): La transformaci6n de Lorentz. Lam6trica y los sistemas coordenados.
Fernandez, Javier y Zucalli , Marcela ( U.B.A.-V.N.L.P.): Aplicaciones momento no equivariantes y teorias BRST.
(*)Sanchez, Cristian ( FaMAF): Una desigualdad para los numeros de Betti de Respacios.
Tiraboschi, Alejan~ro ( FaMAF): Grupos de Heinseberg cuanticos y algebras de Sklyanin.
TEORIA DE JUEGOS YSISTEMAS DE CONTROL
Marchi, Ezio y Puente, Ruben (U.N.S.L.): Valor de Shapley pesado en un modelo de producci6n lineal extendido.
Cesco, Juan (CREA-U.N.S.L.): U-cicles in games with transferable utility.
Cantisani, Magdalena y Marchi, Ezio (U.N.S.L.): Acerca de una generalizaci6n de un resultado debido a Hartman-Stampacchia.
Brudny, Paula y D'attellis Carlos (CONEA): Criterios estadisticos para el anaIisis de senales y su aplicaci6n a la detecci6n de fallas.
(*)Gonzalez, Graciela (V.B.A.): Control adaptivo en sistemas no lineales.
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Fasano, A. ; Primicerio, M. y Tarzia ,D. (FlRENZE-V.A.): Soluciones de similaridad en problemas de tipo de Stefan.
-- ----------------------
319
Bobula, E. ; Tarzia, D. ; Twardowska, K y Villa, L. (KRAKOW-U.A-VARSOVIAU.N.Sa ): Un problema de frontera libre-m6vil para la ecuaci6n de la difusi6n en un sistema cataHtico gas-s6lido con envenamientodel catalizador.
Tarzia, D. Y Turner, Cristina ( U.A.-FaMAF): EI problema de Stefan para un Hquido superenfriado con una condici6n convectiva.
Berrone, Lucio ( CONICET): Subsistencia de modelos multidimensionales de conducci6n del calor.
Rial, Diego y Rossi, Julio ( U.B.A.): Intervalos de existencia de soluciones de ecuaciones parab6licas con condiciones de borde no lineales.
Tarzia, Domingo (U.A.): Sobre el problema estacionario de Stefan -Signorini.
Lederman Claudia ( CONICET): Propiedades de la soluci6n de un problema de frontera libre en elasticidad
Lami-Dozo, E. Y Mariani, M. (U.B.A.) : EI problema de Neumann para la ecuaci6n de curvatura media prescripta con dato de contorno nulo.
Barraza, Oscar (U.N.L.P.): P-determinantes y problemas de valores de contornos.
ANALISIS REAL Y DE FOURIER
de Rosa, Liliana y Segovia, Carlos (U.B.A.-CONICET): Duales de espacios de Hardy con pesos en la c1ase A1 de Sawyer. .
ZO, Felipe y Favier, Sergio ( U.N.Sa): Mejor aproximante estricto en espacios de Orlicz.
Mazzone, Fernando y Cuenya, Hector (U.N.R.C.): Algunos resultado sobre la norma de proyecciones metricas.
(*)Cuenya, Hector y Marano, Miguel (U.N.R.C.): Una caracterizaci6n de las normas LP·Sanmartino, Maria M. (U.N.L.P.): Sobre bases biortogonales de ondelettes.
Cabrelli, Carlos (U.B.A.): Wavelet amilisis de la ecuaci6n de dilataci6n.
Serrano, Eduardo y Fabio, Marcela (U.B.A.): Ondelettes y bancos de filtros.
320
Serrano, Eduardo (V.B.A.): Procedimientos numericos para el calculo de ondelettes spline.
Aimar, Hugo y Forzani, Liliana (V.N.L.): Lemas de Besicovich para bolas asociadas a metricas parab6licas en Rn.
Aimar, Hugo y Crescimbeni, Raque1 (V.N.L.): Caracterizaci6n de BMO (<I» por medio de integrales singulares para casime-tricas en Rn.
(*)Bernardis, Ana y Salinas, Oscar ( V.N.L.): Extrapolaci6n para pares de pesos en espacios de tipo homogeneo
Gorosito, Osvaldo y Nitti, Liliana ( V.N.L.): Acotaci6n del operadormaximal asociado al semigrupo de difusi6n con convecci6n.
Macias, Roberto y Riveros, Silvina ( INTEC-FaMAF ): Extrapolaci6n con pesos unilaterales.
Godoy, Tomas y Urciuolo, Marta ( FaMAF ): About the LP bou.ndedness of some integral operators.
Godoy Tomas; Saal, Linda y Urciuolo, Marta ( FaMAF ): About certain· singular kernels k(x,y) = kl (x - y) k2 (x + y).
Benedeck, Agnes; Panzone, Pablo y Panzone, Rafael ( U.N.S.): La medici6n de conjuntos autoconvexos.
ANALISIS FUNCIONAL Y COMPLEJO
Aguirre Telles, Manuel (U.N.C.P.B.A.):Transformada de Fourier de 0 (k-l) (P) yo (k-l)(m 2 + P)
Peiia, Carlos (V.N.C.P.B.A.): Avances sobre un problema de Bertran Ross.
Maestripieri, A. y Mariani, M. C. (V.B.A.): Medidas de Gleason complejas.
Carboni, Graciela y Larotonda, Angel (V.B.A.): Algebras topol6gicas noetherianas.
Trione, Susana (CONICET): Sobre un teorema de aproximaci6n: 'Una aplicaci6ndel teorema reciproco de Laplace".
Molter, Ursula (V.B.A.): La metrica de Kantorovich.
321
Dickenstein, Alicia y Sessa, Carmen (U.B.A): Representaci6n de funciones analiticas.
ANALISIS NUMERICO
Dennis, John; EI-Alem, Mahmoud y Maciel, Maria C. ( RICE-ALEXANDRlAU.N.S.): The local analysis for a class of trust region algorithms for equality constrained optimization.
Maciel, Maria C. ( U.N.S.): La funci6n de Lagrange y la estrategia de regi6n de confianza en optimizaci6n con restricciones.
(*) Aragone, Laura y Gonzalez, Roberto ( U.N.R.): Optimizaci6n con criterios erg6dicos de problemas con controles mon6tonos y renovaci6n de recursos.
(*) Valenzuela, Maria A( U.N.R.): Un problema de persecuci6n- evasi6n: Le6nHombre.
Sanziel, Maria C.( U.N.R.); Amilisis numerico de un problema de estacionario de Stefan ados fases con energia intema.
OPTIMIZACION
(*) Caputti, Telma ( U.B.A): Caracterizaci6n de puntos minimizantes en problemas de optimizaci6n compuesta no diferenciable.
(*) Caputti, Telma ( U.B.A): Derivadas segundas generalizadas de funciones LowerC2.
Marchi, Ezio; Puente, Ruben y Vera de Serio, Virginia ( U.N.S.L.-CUYO ): Puntos extremos en sistemas lineales semi-infinitos.
(*)Nasini, Graciela (CONICET): Test de flexibilidad para redes de intercambiadores de calor con variaciones en las temperaturas de entrada sin solapamiento.
Aguilera, Nestor y Nasini, Graciela (CONICET): Red flexible 6ptima: Caso bipartito con ofertas y demandas como parametros independientes.
322
JUAN JOSE MARTINEZ
1945-1992
El Departamento de Matematica de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires, y la comunidad matematiea argentina en su totalidad, lamentan hoy la ausencia irreparable del Dr. Juan Jose Martinez. Su prematura muerte, ocurrida el 23 de abril de 1992, nOB priva a todos de sus excelentes dotes cientificas, y, a quienes 10 conocimos muy de cerea, de invalorable amistad y afecto.
Durante casi 30 ai'ios mantuvo con esta Facultad un vinculo estrecho y permanente. Las vicisitudes y avatares propios de la actividad universita.ria 10 preocupaban hondamente, y podemos decir, sin temor a equivocarnos, que la suya fue una vida plenamente dedicada a los temas academicos.
Desde su ingreso en 1964 fue un estudiantes sobresaliente, 10 que 10 llevo a completar la Licenciatura en apenas tres aiios, y a obtener su titulo de Doctor en Matemciticas cuando
323
apenas contaba veinticinco anos. The su director de tesis el Dr. Enzo Gentile, de quien fue alumno dilecto primero, y gran colaborador y amigo posteriormente.
Juan Jose Martinez fue un destacado investigador. Era un algebrista nato, y sentla una profundaatracci6n por l~ estructuras. En 8U especialidad, 1110 CohomQlogfa de GrupoB, obtuvo importantes resultados en trivialidad y periodicidad cohomo16gica. Asf 10 certifican sus numerosas publicaciones en revistas intemacionales de primer nivel. Miembro de la Carrera del Investigador Cientffico del CONICET'desde 1977, fue asimismo integrante de 1110 Comisi6n Asesora de Matematica de este organismo. Contaba para el desempefio de esta ultima tarea con dos apreciadas cualidades: un equilibrado juicio academico y una gran rectitud moral.
Dedic6 grandes esfuerzos y ,mucha horas al estudio. 811 solidezmate:rna.tiea era muy grande y sorprenru!!. constantemente por 10 vasto y minucioso de sus conocimientos, aun en aquellos temas aparentemente alejados de su campo especffico.
Debemos dedicar un parrafo muy especial!!. su dilatada tarea educativa. Desde ayudante alumno hasta profesor titular, ocupO todas las categodas docentes del Departamento de Mate:rna.tica. 8u preocupaci6n por 1110 excelencia de los cursos y el trabajo y responsabilidad que pollia al servicio de los mismos eran extraordinarios. Las numerosas asignaturas que dieM y organiz6 abarcaron todas las ramas del Algebra, desde, las element ales hast as las mas avanzadas, y siempre se mantuvo. fiel a una fntima convicci6n: 1110 de difundir conocimientos en el mejor nivel posible. No respondfa segp.ramente a 1110 imagen tradicional del profesor expansivo y coloquial, pero no dudamos que sus numerOSOB exalumnos 10 recuerdan hoy con 1110 gratitud y el reconocimiento que siempre despiertan en nosotros aquellos que nos han ensefiado con probidad y dedicaci6n.
8iempre se recordara. tambien su paso por el Instituto de Mate:rna.tica, Astronomfa y Ffsica de C6rdoba, donde en el perfodo 1968-1973 dieM cursos de Topologfay Algebra.
Juan Jose Martinez ya no esta. mas, su presencia es ahora un bien perdido y anorado. Pero quienes 10 quisimos mucho, quienes supimos de su integridad y de su nobleza, 10 seguiremos honrando con nuestra memoria. '
Carlos Marcelo Sanchez
324
RICARDO JOSE NORIEGA
16/02/1945 - 21/07/1992
Varias generaciones de estudiantes y co1egas tuvieron e1 privi1egio de gozar de 180 orientacion, amistad y afecto de ese ser de gran calidad humana que se llamo Ricardo Jose Noriega.
Escudaba su personalidad con 1a natural modestia de losgrandes espiritus. Hacia sentir la fuerza de su opinion con 180 tranqui1a humi1dad del que realmente sabe. Sus conocimientos Ie daban tltu10s de sobra para hacer prevalecer su dictamen con gran sonoridad, sin embargo e1 tono de su hab1ar coma parejo con 180 suave seguridad con que expoilla su juicio de maestro.
Se doctoro en Ciencias Matematicas en 180 Facultad d~ Ciencia Exactas y Naturales de 180 Universidad de Buenos Aires en e1 a.fio 1976 bajo 180 direccion. del Dr. Luis A. Santalo. Determinacion de objetos geometricos fue e1 titulo de su tesis.
Su amplia y brillante actividad docente no deja dudas sobre su capacidad de trabajo reflejada en 180 siguiente sintesis:
• ComenzO cOmo ayudante de segunda en el Departamento de Matematica de 180 Facultad .de Ciencias Exactas y Naturales de 180 Univl'lrsidad de Buenos Aires y llego al cargo de Profesor Asociado con dedicacion exclusiva, en el mismo Departamento, en 1983.
• Dicto cursos optativos de post grado, como por ejemplo Geometria Riemanniana, Grupos de Lie y Fibrados Principales, Geometria del Espacio- Tiempo, que dejC!Xon como saldo 180 formacion de un grupo al que guio en sus estudios, ac1arando dudas, sugiriendo temas de investigaci6n, indicando 180 1ectura de material adecuado para el desarrollo de su formaci6n y 801 que contagi6 su entusiasmo por cada tema que abordaba.
325
• Dirigiolas tesis doctorales de C.G.Schifini (Operadores tensiorales de concomitancia - 1984), Daniel Prelat (Forma general de los concomitantes tensoriales - 1987), Horacio Taboada (Enfoque por conexiones de las ecuaciones de campo de EinsteinYang-Mills - 1989) y de Cristina Lopez Cirio (Covariancia de las ecuaciones de campo y p~incipios variac ion ales - 1989).
• Ademas dieM cursos de grado prodigandose permanentemente y estableciendo con los alumnos tan buena relacion, que los motivaba en el aprendizaje.
Otro topico en el que puso de manifiesto su preocupacion por la formacion de los estudiantes 10 constituyen sus publicaciones didacticas tales como:
• Variedades Diferenciales (1978), en colaboracion con el Dr. Luis A. Santalo.
• El Algebra (1979), en colaboracion con el Dr. Carlos M. Sanchez.
• Calculo Diferencial e Integral (1979).
• Calculo Diferencial e Integral II (1992), de proxima aparicion.
Las veintinueve publicaciones en revitas nacionales y extranjeras dan la pauta del meduloso y extenso trabajo de investigacion realizado por Noriega.
Desde la introduccion de la nocion de tensores a partir de sus leyes de transformacion - y mas generalmente, la de objetos geometricos - por J.A. Schouten (1954) se ha planteado en muchas cuestiones de geometria diferencial y de nsica matematica, el problema de la construccion de objetos geometricos a partir de otros preasignados, 10 que se ha dado en llamar objetos concomitantes de objetos. Noriega se dedico a hacer un estudio sistematico del problema, y a determinar las conexiones concomitantes de escalares, vectores, covectores, tensores metricos y tensores. antisimetricos. Sobre este tema se destacan los siguientes trabajos:
• Scalar Concomitants of a Metric and a Curvature Form, Gen. ReI. and Grav., 1988.
• Scalar Concomitants of a Metric and a Curvature Form II, Journal of Math. Phys., 1989.
• Dos trabajos escritos en colaboracion con el Dr. M.A.Castagnino :On a Weyl-type theorem for higher order Lagrangians, 1987 y Concomitants theory and renormalization in even dimensions, 1992, ambos publicado:;; por el Journal of Math. Phys.
Otro problema que 10 apasiono fue el estudio de las diversas variantes del problema equivariante inverso en el cruculo de variaciones, que consiste en estudiar la relacion entre la covaria.ncia tensorial (espinorial) de las ecuaciones de campo y la covariancia del Lagrangiano que da Iugar a dicha ecuaciones. La resolucion de este problema Ie permiti6 probar la unicidad, bajo hip6tesis fisicamenete naturales, de las ecuaciones habituales en teoria del electromagnetismo y en teorias de gauge no abelianas.
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Por ejemplo, dada la hipotesis de minimo acoplamiento del campo gravitacional con el campo de gauge, suponiendo principios variacionales para las ecuaciones y que estas provienen de un tensor metri<;o y de una forma de curvatura, Noriega mostro que las ecuaciones de Einstein-Yang-Mills son las unicas posibles de conseguir en esas condiciones. Este result ado puede considerarse como el ami.logo del de E. Cartan acerca de la unicidad de las ecuaciones de Einstein en el vacio. Esto muestra que, dentro del contexto matematico en el que se trabaja, la forma de dichas ecuaciones es inevitablemente la usual. .
Sobre el problema equivariante inverso y sus aplicaciones a la teoria de Einstsein a teorias unificadas de campo y a teorias de gauge de la gravitacion publico, entre otros trabajos:
• The uniqueness of the Einstein- Yang-Mills equations, Gen. Rel. and Grav., 1985.
• The equivariant inverse problem and the Maxwell equations, Journal of Math. Phys., 1987.
• The equivariant inverse problem and the uniqueness of Yang-Mills equations, Journal of Math. Phys., 1989.
En su ultimo a:ii.o de vida se ocupo del estudio de problemas relacionados con la logica cuantica, dedi cando mucho tiempo a preparar un seminario para introducirnos en el tema.
Ademas de ser clarisimo, muy ordenado y ameno expositor, tenia la virtud del trato generoso y cordial para con todos. Llamaba la atencion el tiempo que dedicaba a cada alumno que se acercaba a consult arlo, sabia escuchar. Nunca parecia tener apuro, ni daba la sensacion de haber sido interrumpido.
Observador perspicaz pero no malicioso, su hidalguia estaba presente en todos sus actos, haciendola notar con la mayor naturalidad. Cuando 10 perdimos quedamos en parte mutilados, y solo en cierto modo confortados porque la leccion de su ·experiencia, de su
. saber puestos a nuestro servicio no la olvidariamos.
Los cambios ambient ales, las demandas individuales y colectivas, la lucha por la supremacia, la sed de poder, la ambiciori desmedida, no lograron perturbarlo, bohemio hasta el fin, con la bonhomia de quien elabora y vive su propia verdad, conservo intactas sus convicciones.
Evocar a Noriega nos parece extraiio pues vive mas bien en nosotros, quienes tuvimos el privilegio de contarnos entre sus amigos y transitar con el <;Qmunes momentos de vida.
Cristina LOpez Cirio
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Format
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Final remarks
To ensure that the printing of our journal maintains its uniform appearance and high quality, it is important that these instructions be followed closely. The editor will be assisted by qualified referees when deciding the publication of an article. 25 reprints of each published article are free of charge and will be sent to the authors.
INDICE Volumen 38,
Numeros 3 y 4, 1993
Conjuntos de puntos fijos Ide automorfismos involutivos en espacios k-simetricos. I
A. GarcIa ................. ) •................................................................................ ~........................ 161 Calculo de un invariante ~fin unimodular en el caso del n-simplex.
L. Van Nypelseer ....... ,; ....... : ...................................................................................................•. 176 The core~stable sets- ~e bargaining theory from a functional and multi criterion viewpoint.
M. Cantinsani and E.:Marchi ................................................................................................... 182 About the LJ'-boundedness of some integral operators.
( )
1':
( i
T. Godoy and M. Urciuolo ....................................................................................................... 192 '--_1 Dynamic behavior of positive solutions to reaction-diffusion pl'Qblems with nonlinear absorption through the boundary.
J. Lopez Gomez, V. Marqu~z and N. Wolanski ......•.•............................................................. ~96 .' A class ofminimatsubmanifolds in '8 2-stepnilpotent Lie group;
C. J. Ferraris: •..... : ..................................................................................................................... 210 : Boundedness of singular jntegral operators on Hw
Ei.-Harboure and B. Viviani ........ ' .............................................................................................. 219 Convergence inLl of singular integrals with non-standard truncations.
, . ,
L. de Rosa and C. Segovia ....................................................................................................... 246 XL Reun,ion anual de la Union Matematica Argentina ................................................................. 256 Resumenes de-las comunicaciones presentada,s a'is. XL reunion anual de la U.M.A .......•........ 257 XLJReunion anual de la Union Matematica Arg'Emtina ................................................................ 298
. Nomina de las-comunicaciones presentadas a la XLI reunion anual de la U.M.A .............. , ....... 300 ,-- XlII Reunion anual de la Union Matematica Argentina ................................................... , ........... 306 Nomina-de las comunicaciones presentadaS a la XLII reunion anual de la U.M.A ..................... ·308 Xl:.IltReunion anual de la Union Matematica Argentina .............................................................. 314 Nomir;'a de las comunicaciones presentadas a la XLIII reunion anual de la U.MA ................... 316
Necrol6gicas: Juan Jose MartInez ........................................................................ :;..................... 322 Ricardo Jose Noriega .......................................................................................... _. 324
AUSTRAL IMPRESOS VILLARINO 739 BAHIA BLANCA
Reg. Nac. de la Prop. Int. ND180.863
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