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Metodología para el estudio de lostejidos biológicos usando matrices deMueller

Derechos reservados, Copyright © 2005:Sociedad Mexicana de Ingeniería Biomédica, AC

Revista Mexicana de Ingeniería Biomédica

edigraphic.com

VolumenVolume 2 6 2Número

Number 2 0 0 5SeptiembreSeptember

Revista Mexicana de Ingeniería Biomédica • volumen XXVI • número 2 • Septiembre 2005106

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ARTÍCULO DE INVESTIGACIÓN ORIGINALSOMIB

REVISTA MEXICANA DEINGENIERÍA BIOMÉDICA

Vol. XXVI, Núm. 2Septiembre 2005

pp 106 - 116

Metodología para el estudio de los tejidosbiológicos usando matrices de Mueller

R.A. Martínez-Celorio,*Rafael Espinosa-Luna,**

J.O. Rivera-Vázquez,*R. Castro-Sánchez*

* Facultad de Ingeniería MecánicaEléctrica y Electrónica (FIMEE),Universidad de Guanajuato.

** Centro de Investigaciones enÓptica, A.C.

Correspondencia:R.A. Martínez-CelorioE-mail: rcelorio@salamanca.ugto.mxTel. +52 464 6480911

Artículo recibido: 7/diciembre/2005Artículo aceptado: 26/enero/2006

RESUMENRESUMENRESUMENRESUMENRESUMEN

Una metodología para el estudio de los tejidos biológicos mediantelas matrices de Mueller es propuesta. La metodología está basadaen obtener las diferencias fundamentales entre los elementos de lasmatrices de Mueller correspondientes a dos muestras de tejidos bio-lógicos, una del seno de una mujer y la otra del tejido del tórax de unhombre. Cada elemento de la matriz es obtenido mediante un arre-glo óptico que consiste en un esparcímetro de resolución angular, elcual es robusto y sencillo de construir. Los resultados muestran dife-rencias sustantivas entre los elementos de la matriz de Mueller decada tejido. Se discuten las ventajas y desventajas del método pro-puesto.

Palabras clave:Matrices de Mueller, esparcimiento de la luz, tejidos biológicos.

ABSTRACTABSTRACTABSTRACTABSTRACTABSTRACT

A methodology for the study of the biological tissues by means of thematrixes of Mueller is proposed. The methodology is based on ob-taining the fundamental differences among the elements of the matrixof Mueller corresponding to two samples of biological tissues, one ofthe breast and the other a man thorax tissue. Each element of thematrix is obtained by using an optic arrangement that consists onAngular Resolution Scattering, which is robust and simple of imple-menting. The obtained results show differences among the elementsof the matrix of Mueller of each tissue. The advantages and disad-vantages are discussed.

Key words:Mueller’s matrix, scattering, biological tissues.

1. INTRODUCCIÓN

La óptica médica (OM) es una de las áreas deinvestigación con mayor importancia en la actua-lidad, ya que ofrece importantes ventajas sobreotros tipos de técnicas entre las que se puedenmencionar: el uso de dispositivos optoelectróni-cos con pequeñas dimensiones y con alta capa-cidad de respuesta y de almacenamiento. Otra

de las ventajas que ofrece la OM es que constitu-ye técnicas no-destructivas, lo cual permite ha-cer investigaciones sin daño alguno para los teji-dos. Debido principalmente a estas ventajas, laOM es una de las técnicas de gran expectativapara poder investigar y dictaminar enfermedadesen los individuos. Por esta razón, varios autores handedicado muchos trabajos tanto teóricos comoexperimentales en los cuales implementan las di-

107Martínez-Celorio RA y cols. Metodología para el estudio de los tejidos biológicos usando matrices de Mueller MG

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ferentes técnicas en que se divide la OM. Entreestos trabajos se pueden citar: el uso de las téc-nicas espectroscópicas para poder dictaminarenfermedades del seno, tal como muestran Trom-berg et al1. Usando técnicas foto-acústicas, Gutié-rrez et al.2 estudiaron la absorción de sustanciasaplicadas sobre la piel. Otros trabajos, por ejem-plo, han estado enfocados al desarrollo de teo-rías como la presentada por Martí et al.3, quienespropusieron una condición para la divergencia dela trayectoria de los rayos que cumplen las leyesde la óptica geométrica, en los problemas detomografía óptica. También existen trabajos en elárea de procesamiento de imágenes médicas,por ejemplo Arrigde et al.4 propusieron un méto-do de reconstrucción de imágenes para tomo-grafía óptica y Martínez-Celorio et al.5,6 desarro-l laron un s is tema para medir por técnicasendoscópicas de Moiré desplazamientos de lamembrana timpánica.

Una de las técnicas que ofrecen mayor opor-tunidad para el estudio de los tejidos biológicoslo constituye el uso de las matrices de Mueller(MM), las cuales describen de forma matricial larespuesta óptica de un sistema físico, a travésde su relación con los vectores de Stokes7 inci-dentes y de salida que interaccionan con unobjeto. Entre las múltiples aplicaciones de las MMse puede mencionar el trabajo hecho por Colletet al.8, los cuales propusieron una técnica muysofisticada, basada en cadenas de Markov, parala obtención de imágenes codificadas en estruc-turas biológicas esqueletizadas. También median-te las MM han sido detalladas las propiedadesestadísticas de las superficies rugosas aleatoriasunidimensionales9, donde merecen especialatención los estudios en geometría de inciden-cia cónica10-16.

Sin embargo, entre las aplicaciones más atrac-tivas de las MM, desde el punto de vista de la OM,se encuentra sin lugar a dudas el estudio de teji-dos biológicos, donde las mismas han sido usadaspara caracterizar el tejido del miocardio17 calcu-lando el tiempo de resolución del paso de la luz.Por otro lado, Gayen et al.18 mostraron un estudiode las características espectrales de polarización,tanto temporal como espacial cuando la luz atra-viesa tanto a un tejido normal como a uno cance-rígeno del seno de pacientes. Otras de las aporta-ciones importantes al estudio de los tej idosmediante el formulismo de Stokes-Mueller fue rea-lizada por Jiao et al.,19 quienes obtuvieron la pro-fundidad de resolución de la matriz de Mueller del

tejido biológico usando la técnica de tomografíaóptica coherente.

En este artículo se presenta una metodologíapara el estudio de los tejidos biológicos medianteel formulismo de las matrices de Mueller usando unesparcímetro de resolución angular. El objetivo deesta metodología es obtener las diferencias funda-mentales entre los elementos de la MM para dife-rentes tejidos biológicos. Para lograr dicho objetivo,este artículo ha sido dividido en cinco secciones.En la sección 2, se hace un breve desarrollo teóricode las matrices de Mueller. En la sección 3, se des-criben los componentes fundamentales del arregloexperimental usado para mostrar el método pro-puesto. En la sección 4 se muestran y discuten losresultados experimentales obtenidos. Finalmente enla sección 5, se presentan las conclusiones de estetrabajo.

2. DETALLES TEÓRICOS

Una de las formulaciones más completa de la óp-tica lo constituye sin dudas la relación entre las ma-trices de Mueller (MM) y los vectores de Stokes. LasMM describen la manera en que un sistema ópti-co afecta el estado de polarización de la luz inci-dente, ya sea bajo la presencia de efectos de re-f lex ión, t ransmis ión, di f racción, dispers ión,esparcimiento, absorción o de combinacionesentre éstos. Por su parte, mediante los vectoresde Stokes se pueden medir los diferentes estadosde polarización de la luz. Así, los cambios del esta-do de polarización de la luz pueden ser atribuidosa la respuesta lineal del medio con el cual la luzinteractúa. En la Figura 1, se muestra la interac-ción de un sistema lineal al cual entra un haz deluz incidente y como resultado de esta interacciónse tiene un haz de luz saliente.

La relación entre la entrada y salida de este sis-tema puede expresarse por medio de una relaciónmatricial dada por:

(1)

donde: Ssc, inc representan a los vectores de Stokesde la irradiancia luminosa incidente (inc) y esparci-da (saliente), respectivamente y constituyen unamatriz de 4 × 1 elementos reales; mientras M es lamatriz de Mueller asociada al sistema óptico linealde 4 × 4 elementos reales. Para un haz de luz mo-nocromática, los parámetros de Stokes salientesestán dados por7,13-16:

Revista Mexicana de Ingeniería Biomédica • volumen XXVI • número 2 • Septiembre 2005108

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(2)

donde: Ip (Is) indica la irradiancia del haz en ladirección paralela (perpendicular) al plano de inci-dencia y ε indica la diferencia de fase entre lascomponentes ortogonales del vector de intensidadde campo eléctrico. Un detalle a tener en cuentaes que estos vectores de Stokes obedecen el prin-cipio de conservación de energía, expresados enla relación:

(3)

donde la desigualdad se cumple cuando existeabsorción o depolarización total o parcial del me-dio con el que interaccionan. La igualdad se pre-serva cuando no ocurre absorción o depolarizaciónalguna.

Para calcular los elementos de MM existen dife-rentes métodos, los cuales se diferencian entre sípor la capacidad que tienen de simplificar los cál-culos a realizar para obtener cada elemento de MM.Estos métodos dependen del tipo de instrumenta-

ción utilizada. Atendiendo a que se desean estu-diar tejidos biológicos y no conocemos la simetríade estos sistemas, los elementos de MM en estetrabajo serán obtenidos usando el método de 36mediciones de irradiancias, el cual es un métodomás general y aplicable a cualquier sistema físico(este método fue propuesto de manera explícitapor Espinosa-Luna et al.13-15). Cuando este métodoes usado es necesario generar diferentes tipos deestados de polarización, que serán representadosmediante vectores de Stokes normalizados. Estosvectores de Stokes incidentes se proyectan sobreel objeto bajo estudio, que tiene asociado la MMque se desea calcular; así, la irradiancia esparcidapor la superficie del objeto se pasa por un sistemaóptico con el objetivo de analizar o determinar losdiferentes estados de polarización esparcidos paraconformar cada elemento de su MM. Los estadosde polarización usados por el método son seis bási-camente (p, s, +, -, r, l), estos son implementadostanto en el haz incidente como una vez que el hazes esparcido por la muestra. La expresión matemá-tica que caracteriza esta operación se expresacomo13-15:

(4)

donde: [A] representa la matriz asociada al ana-lizador para obtener los mencionados seis estadosde polarización que requiere el método.

Considerando que el sistema de detección sola-mente es sensible a la irradiancia total y que éstase encuentra contenida en el primer parámetro deStokes, tenemos que cada elemento puede serobtenido mediante las siguientes ecuaciones13-15:

(a)

(b)

(5)

(c)

Vector incidenteSinc

Vector salienteSSC

Figura 1. Esquema de interacción de la luz incidente con unsistema óptico lineal.

109Martínez-Celorio RA y cols. Metodología para el estudio de los tejidos biológicos usando matrices de Mueller MG

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(d)

donde los términos de la forma Iab indican lasirradiancias medidas por el detector cuando se tie-ne luz incidente con polarización a y la luz detec-tada corresponde al estado de polarización b. Es-tas ecuaciones han sido organizadas en forma decuadrantes para facilitar la discusión de los resul-tados en las siguientes secciones. Así podemos verque el primer juego de ecuaciones (a) correspon-den con el primer cuadrante de la MM, mientrasque los restantes (b), (c) y (d) constituyen los cua-drantes segundo, tercero y cuarto de la MM, res-pectivamente.

3. DETALLES EXPERIMENTALES

En la Figura 2 se muestra un diagrama en bloquesque explica el funcionamiento del arreglo experi-mental usado para medir los elementos de MM decada muestra de tejido biológico. Como fuentede iluminación se utilizó un láser no polarizado deHe-Ne que emite en forma continua con una lon-gitud de onda de 633 nm y una potencia de sali-da de 12 mw. La luz saliente del láser se pulsa usan-do un cortador mecánico (chopper) que escontrolado por un generador que trabaja a unafrecuencia de 440 Hz. Luego el haz láser se pasa através de un divisor de haz (BS) 50:50 no polarizadopara disminuir la irradiancia del haz de iluminacióna la mitad de su valor inicial. Seguidamente, la señalluminosa a la salida del BS es entregada a un siste-ma óptico incidente (SOI), que está compuestopor un polarizador lineal, una lámina birrefringente

de λ/4, un filtro espacial y una lente convergente.La función de este SOI es formar el conjunto devectores de Stokes incidentes necesarios para im-plementar el método de 36 mediciones como fueexplicado en la sección 2. Una vez formado el vec-tor de Stokes incidente, el mismo es usado parailuminar la muestra de tejido bajo estudio. Comomuestras de estudio fueron usadas dos rebanadasde tejido biológico del seno y del tórax de pacien-tes de un diámetro de 1 cm y con un grosor de 60µm, las cuales fueron preparadas sobre un portao-bjeto de microscopio y fueron cubiertas de parafi-na para su conservación y manejo. Debido a quelas muestras ofrecen poca reflexión a la longitudde onda de trabajo, las mismas fueron analizadaspor transmisión, colocándose el sistema de detec-ción detrás de la muestra.

El sistema de detección está compuesto por unsistema óptico de salida (SOD), el cual es parecidoal SOI, con la diferencia que los elementos estáncolocados en orden inverso y al final de estos ele-mentos se coloca un fotodetector. El objetivo delSOD es analizar o determinar los vectores de Stokestransmitidos por el tejido. Para estudiar el esparci-miento de la luz por los tejidos, ambas muestras fue-ron colocadas en una base de motor a pasos quepermite hacer un barrido con una resolución de0.01°. Una vez capturado por el fotodetector el va-lor de la irradiancia correspondiente al ángulo deesparcimiento en cuestión, la misma es entregadaconjuntamente con la señal eléctrica del genera-dor del cortador mecánico a un amplificador deLock-in, para hacer una detección sincrónica de laseñal medida y evitar los efectos de ruido ópticoexterno a la medición. Finalmente, la señal es intro-ducida a través de una tarjeta de adquisición de

Figura 2. Diagrama a bloquesdel arreglo experimental usa-do para medir el esparci-miento de la luz. C es el cho-pper mecánico; BS divisor dehaz; SOI sistema óptico inci-dente; M muestra; SOD siste-ma óptico de detección.

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señales NI-DAQ PCI-6220 a una computadora per-sonal, donde las señales obtenidas son procesadaspor software usando el lenguaje de programaciónLabView versión 7.0 y Matlab versión 7.0 para laadquisición y el procesamiento de datos respecti-vamente, ambos programas usan como sistemaoperativo Windows XP.

4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Un conjunto total de 72 mediciones de irradian-cia (36 valores por cada muestra) fueron medidosusando el arreglo experimental anteriormente de-tallado para obtener los dieciséis elementos deMM, habiéndose tomado datos cada 0.5 gradosdentro de un intervalo angular de 60 grados cen-trado en la dirección de transmisión directa a in-cidencia normal para cada medición. Los valoresde irradiancia medidos corresponden a valores ar-bitrarios de irradiancia luminosa. En la Figura 3 semuestra un total de 4 gráficas de valores de irra-diancia versus ángulo de esparcimiento, éstas co-rresponden a los elementos Ipp, Ips, Isp e Iss, aso-ciadas a la muestra de tejido del tórax de unhombre.

Como se observa en la figura 3, la irradiancia dela luz esparcida correspondiente a los estados co-polarizados (identificados con los subíndices, pp oss) son de un orden de magnitud mayor que las

correspondientes a estados de polarización cruza-dos (ps y sp); adicionalmente, se pueden apreciarque las mediciones de polarización cruzadas, tie-nen asociadas curvas más anchas que las co-pola-rizadas, lo cual significa que el tejido biológico tien-de a cambiar los estados de polarización linealincidente. Otro detalle importante en estas gráfi-cas es que para un ángulo de –180 grados se ob-serva un mínimo en cada una de ellas, que apare-ce porque en el arreglo experimental fue necesariocolocar una pequeña pantalla para evitar que elalto valor de la irradiancia luminosa, que impactasobre el detector bajo este ángulo, produjera unasaturación.

Como el objetivo fundamental es obtener losvalores de los elementos de MM en cada muestra,se omitirán las demás gráficas de valores de irra-diancia versus ángulo de esparcimiento y nos limi-taremos a mencionar en cada cálculo de los ele-mentos de MM, los valores de irradiancias usados.Por otro lado, como previamente se mencionó, laMM fue dividida en cuatro cuadrantes para hacermás eficiente la comparación y discusión de losresultados obtenidos para cada tejido estudiado. Acontinuación se hace una presentación por cadacuadrante.

Primer cuadrante: Está conformado por loselementos m11, m12, m21 y m22 de la MM y fueroncalculados usando los valores de irradiancias mos-

Figura 3. Gráfica de los valo-res arbitrarios de las irradian-cias Ipp, Ips, Isp, Iss versus ángulode esparcimiento θ para el te-jido torácico.

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0.0

-0.5-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150

Ángulo de esparcimientoa

ppI

Irra

dia

ncia

0.04

0.02

0

-0.02

-0.04

-0.06-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150

Ángulo de esparcimientoc

spI

Irra

dia

ncia

0.04

0.02

0

-0.02

-0.04

-0.06-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150

Ángulo de esparcimientob

psI

Irra

dia

ncia

0.3

0.2

0.1

0

-0.1-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150

Ángulo de esparcimientod

ssI

Irra

dia

ncia

111Martínez-Celorio RA y cols. Metodología para el estudio de los tejidos biológicos usando matrices de Mueller MG

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trados anteriormente: Ipp, Ips, Isp e Iss, versus ángulode esparcimiento. Luego de sustituir estos valoresde irradiancia en la Ec. 5.a, se obtuvieron las gráfi-cas correspondientes a los elementos del primer

cuadrante, las cuales son mostradas en la Figura4(a-h), donde las cuatro primeras gráficas (a-d) co-rresponden a la muestra de tejido toráxico mientrasque las restantes al tejido del seno.

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

-0.05

-0.1-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150

Ángulo de esparcimientoa

11m

0.15

0.1

0.05

0

-0.05

-0.1-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150

Ángulo de esparcimiento

c

21m

0.1

0.05

0

-0.05

-0.1-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150

Ángulo de esparcimientob

12m

0.3

0.25

0.15

0.05

-0.05-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150

Ángulo de esparcimientod

22m

0.2

0.1

0

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150

Ángulo de esparcimientoe

11m

0.15

0.1

0

-0.05

-0.1

-0.2-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150

Ángulo de esparcimientog

21m

0.3

0.2

0

-0.1

-0.2

-0.4-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150

Ángulo de esparcimientof

12m

0.5

0.4

0.2

0.1

0-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150

Ángulo de esparcimientoh

22m

0.05

-0.15

0.3

0.1

-0.3

Figura 4. Gráfica de los ele-mentos del primer cuadrantede la MM m11, m12, m21, m22 ver-sus θ. (a-d) se corresponde altejido torácico, mientras que(e-h) al tejido del seno.

Revista Mexicana de Ingeniería Biomédica • volumen XXVI • número 2 • Septiembre 2005112

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Como se puede observar en la figura 4, existeuna alta similitud entre los elementos m11 y m22 eigualmente entre los elementos m12 y m21 para cadamuestra de tejido. Además, las señales de estospresentan muy poco ruido estadístico debido alpatrón de moteado esparcido.

Segundo cuadrante: Los elementos de MM co-rrespondientes a este cuadrante son: m13, m14, m23y m24 y para su cálculo se usaron los valores deirradiancia I+p, I+s, I-p, I-s, Irp, Irs, Ilp e Ils versus ángulode esparcimiento. En la Figura 5(a-h) se muestranlos gráficos de los elementos de MM versus ángulo

Figura 5. Gráfica de los ele-mentos del segundo cua-drante de MM, m13, m14, m23,m24 versus θ. (a-d) se corres-ponde al tejido torácico,mientras que (e-h) al tejidodel seno.

0.1

0.05

0

-0.05

-0.1-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150

Ángulo de esparcimientoa

0.01

0.005

0

-0.01

-0.015

-0.02

-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150Ángulo de esparcimiento

c

0.02

0.01

0

-0.01

-0.03

-0.04

-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150Ángulo de esparcimiento

b

0.04

0.02

0

-0.04

-0.06-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150

Ángulo de esparcimientod

13m

23m

14m

24m

-0.02

-0.05

-0.02

-0.005

-0.025

0.05

0

-0.05

-0.1

-0.15-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150

Ángulo de esparcimientoe

0.02

0.01

0

-0.01

-0.02

-0.03

-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150Ángulo de esparcimiento

g

0.1

0.05

0

-0.05

-0.1-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150

Ángulo de esparcimientof

0.02

0

-0.04

-0.06

-0.08

-210 -200 -190 -180 -170 -160 -150Ángulo de esparcimiento

h

13m

23m

14m

24m

-0.04

-0.02

-0.1

113Martínez-Celorio RA y cols. Metodología para el estudio de los tejidos biológicos usando matrices de Mueller MG

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:rop odarobale FDP

VC ed AS, cidemihparG

arap

acidémoiB arutaretiL :cihpargideM

sustraídode-m.e.d.i.g.r.a.p.h.i.c

sustraídode-m.e.d.i.g.r.a.p.h.i.ccihpargidemedodaborde esparcimiento para ambas muestras, donde Fi-gura 5(a-d) corresponden al tejido del tórax mien-tras que la Figura 4(e-h) muestra los del seno.

Se puede observar que los elementos m13, m14 ym24 de la figura 5 tienen una menor cantidad deruido que el elemento m23 y sus amplitudes son pe-queñas con valores cercanos a cero.

Tercer cuadrante: Está compuesto por los ele-mentos m31, m32, m41 y m42 de MM y son calcu-lados mediante los valores de irradiancias medi-das experimentalmente: Ip+, Is+, Ip-, I s-, Ipr, Isr, Ipl eIsl versus ángulo de esparcimiento. Igualmente alos casos anteriores si se sustituyen estos valoresde irradiancia en la Ec. 5.c se pueden obtenerlos valores de los elementos asociados a estecuadrante, los cuales se muestran en la Figura6(a-h).

Se observa que salvo m31, los restantes elemen-tos tienen un alto contenido de ruido estadístico,mientras que el elemento m31 mantiene una es-tructura similar a los elementos menos ruidosos dela MM.

Cuarto cuadrante: Está compuesto por los ele-mentos m33, m34, m43 y m44 de la MM y para sucálculo se usan los valores de irradiancias medidas:I++, I+-, I-+, I—, Irr, Irl, Ilr e Ill versus ángulo de esparci-miento. Cuando se sustituyen estos valores en laEcs. 5.d se obtienen las gráficas de los valores delos elementos de este cuadrante, las cuales semuestran en la Figura 7(a-h).

Observe que los elementos de m33 y m44 corres-pondientes a cada muestra de tejido presentanamplitudes significativas, cuando estos son compa-rados con otros elementos de la MM. Por otro ladolos elementos m34 y m43 presentan alto nivel de rui-do y tienen un orden de magnitud menor que losotros dos.

Es evidente que existe un conjunto de elemen-tos de la MM que coinciden en cada muestraque están predominantemente libres de ruido yademás estos presentan diferencias sustantivascon respecto a otros similares elementos (de laotra muestra) cuando se comparan entre sí. Es-tos elementos son los de la diagonal principal(m11, m22, m33, m44) y los componentes del pri-mer cuadrante de la MM. Analizando los elemen-tos de ambas diagonales principales en cadamuestra se puede detectar que los mismos tie-nen una gran diferencia asociada a la diferentecomposición de los tejidos; por ejemplo, el senocontiene tanto tejido adiposo como canales defibrilaciones, mientras que el tejido toráxico espredominantemente muscular. Por otro lado, si

comparamos el primer elemento en cada mues-tra, el elemento m11, se observa que existe unapalpable diferencia entre ambos a pesar de ha-ber sido calculados bajo las mismas condicio-nes experimentales. El mismo análisis puede serrealizado con los demás elementos de la diago-nal principal y del primer cuadrante fundamen-talmente. Por último se pude mencionar que losresultados obtenidos se corresponden con los re-sultados mostrados por Jiao et al.19 usando téc-nicas de imágenes; sin embargo, la técnica pre-sentada en este trabajo presenta una mayorresolución debida a que los equipos electróni-cos como los fotodetectores tienen menor cifrade ruido que las cámaras CCD.

5. CONCLUSIONES

En este artículo se ha mostrado una metodologíapara el estudio de los tejidos biológicos median-te el formulismo de las matrices de Mueller y losvectores de Stokes. Esta metodología ha sido pro-bada en el estudio de dos muestras de tejidos, eltórax de un hombre y el seno de una mujer. El usode un esparcímetro de resolución angular simplifi-ca considerablemente el instrumental médico, yaque los equipos médicos para tales funciones sonmuy caros. Los resultados obtenidos muestran quelos diferentes elementos de la MM especialmen-te los elementos de la diagonal principal y delprimer cuadrante de MM sirven para discernir unadiferencia entre los diferentes tejidos, la cual con-llevó a concluir que esta diferencia es debida ala composición del tejido biológico. A pesar delos resultados obtenidos nuestro experimento noestuvo exento de errores los cuales hay que teneren cuenta para incrementar la calidad de lasmediciones. Por otro lado, la manipulación de losdiferentes componentes ópticos en especial lospolarizadores y las láminas retardadoras del arre-glo experimental no fue óptima propiciando laincidencia de errores de paralaje en el ajuste degiro de sus ejes de transmisión. Teniendo en cuen-ta los errores cometidos un cálculo de la cota deerror relativo en la medición fue producida consi-derando los elementos ij y ji de la matriz de Mue-ller. El valor de esta cota de error relativo fue del4.2%, lo cual hace suponer que las medicioneshechas tienen una confiabilidad aceptable. En-tre los errores que más contribuyeron a esta me-dición fueron, además de los mencionados, seencuentran: el filtraje óptico y la calidad de losdispositivos ópticos y mecánicos.

Revista Mexicana de Ingeniería Biomédica • volumen XXVI • número 2 • Septiembre 2005114

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RECONOCIMIENTOS

Los autores quieren agradecer al Centro de Inves-tigaciones en Óptica, A.C. (CIO) y a la Facultadde Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica (FI-

MEE) por las facilidades brindadas para el desarro-llo de este trabajo. También deseamos reconocerlos apoyos del Dr. Juan Manuel Muñoz Barrett y delDr. Jorge Martínez. RAMC desea reconocer el apo-yo recibido mediante el proyecto PROMEP/103.5/

Figura 6. Gráfica de los ele-mentos del tercer cuadrantede MM, m31, m32, m41, m42 ver-sus θ. (a-d) se corresponde altejido torácico, mientras que(e-h) al tejido del seno.

115Martínez-Celorio RA y cols. Metodología para el estudio de los tejidos biológicos usando matrices de Mueller MG

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04/1335 de la SEP. Así mismo, REL desea hacer agra-decer al CONACYT el apoyo recibido mediante elproyecto 46969-F y al CONCYTEG el apoyo 05-04-K117-066-A02 para la realización de este trabajo.JORV agradece al CONACYT por la Beca otorga-

da para desarrollar sus Estudios de Maestría en laFIMEE con número de registro 183810 y la BecaInvestigación otorgada a través del Proyecto46969-F y al CIO por la beca otorgada para la rea-lización de su tesis de Maestría como estudiante

Figura 7. Gráfica de los ele-mentos del cuarto cuadrantede MM, m33, m34, m43, m44 ver-sus θ. (a-d) se corresponde altejido torácico, mientras que(e-h) al tejido del seno.

Revista Mexicana de Ingeniería Biomédica • volumen XXVI • número 2 • Septiembre 2005116

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externo. Las mediciones mostradas en este traba-jo se realizaron en el CIO, en el Laboratorio de Po-lar imet r ía del Dr. Rafael Espinosa-Luna(reluna@cio.mx).

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