REVISTA DE ADMINISTRACIÓN, FINANZAS 1 Y … · Un árbol de expansión mínima en la Bolsa Mexicana de ... [email protected] ... Los dos aportes de este trabajo son la introduccion

Volumen 1

Número 2

Julio-Diciembre

2007

REVISTA DE

ADMINISTRACIÓN, FINANZAS Y ECONOMÍA

(Journal of Management, Finance and Economics)

Artículos Elvio Accinelli y Juan Gabriel Brida

Modelos económicos con múltiples regímenes

Linda Margaita Medina Herrera y Ricardo Mansilla C

Un árbol de expansión mínima en la Bolsa Mexicana de Valores

Irazú de la Cruz Gómez

Capacidades y estrategia competitiva: propuesta de un modelo para su

desarrollo dentro de un sector

Francisco Venegaz-Martínez y Roberto Ballinez-Ambriz

Control óptimo estocástico en una economía bajo riesgo e

incertidumbre

Francisco Venegaz-Martínez y J. Victor Reynoso-Vendrell

The Valuation of Mortgage Backed Securities with Stochastics

Probabilities of Default and Prepayment

René Benjamín Pérez Sicairos

Determinación de una estructura de plazos para el merado de renta fija

de México mediante un modelo de tres factores para la dinámica de la

tasa corta

TECNOLÓGICO DE MONTERREY

CAMPUS CIUDAD DE MÉXICO

Dr. José Antonio Núnez Mora

Carlos M. UrzúaEnrique CásaresJosé C. Ramírez-Sánchez

Alberto HernándezAntonioRuiz-PorrasEdgar OrtizElvio AccinelliJosé L. de la CruzAnabella Dávila

Revista de Administración, Finanzas y Economía(Journal of Management, Finance and Economics)

DirectorTecnológico de Monterrey

Directores AdjuntosTecnológico de MonterreyUniversidad Autónoma MetropolitanaTecnológico de Monterrey

Comité EditorialTecnológico de MonterreyUniversidad de GuadalajaraUniversidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Economía de la UASLPTecnológico de MonterreyTecnológico de Monterrey

ISSN: en trámite

Revista de Administración, Finanzas y Economía

Escuela de Negocios

Escuela de Graduados en Administración y Dirección de Empresas, EGADE

Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México

Calle del Puente 222, Col. Ejidos de Huipulco, Tlalpan. C.P . 14380, México D.F.

Aulas III, cuarto piso. Tel. +52 (55) 54832020 ext. 1390 y 1392

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Artıculos

Pagina

Elvio Accinelli y Juan Gabriel BridaModelos Economicos con Multiples Regımenes..........................................96

Linda Margarita Medina Herrera y Ricardo Mansilla CUn arbol de expancion mınima en la Bolsa Mexicana de Valores ...........116

Irazu de la Cruz GomezCapacidades y estrategia competitiva: propuesta de un modelopara su desarrollo dentro de un sector.......................................................125

Francisco Venegas-Martınez y Roberto Ballinez-AmbrizControl optimo estocastico en una economıa bajo riesgoe incertidunbre...........................................................................................134

Francisco Venegas-Martınez y J. Vıctor Reynoso-VendrellThe Valuation of Mortgage Backed Securities with StochasticProbabillities of Default and Prepayment...................................................148

Rene Benjamın Perez SicairosDeterminacion de una estructura de plazos para el mercado de rentafija de Mexico mediante un modelo de tres factores para la dinamicade la tasa corta.........................................................................................169

1

Revista de Administracion, Finanzas y Economıa (Journal of Management, Finance and

Economics), vol. 1, num. 2 (2007), pp. 96-115.

Modelos Economicos conMultiples Regımenes†

Elvio Accinelli††Juan Gabriel Brida†††

Recibido 29 de noviembre 2007, Aceptado 30 de mayo 2007

ResumenEn este trabajo introducimos una formalizacion del concepto de regimen eco-nomico. Hacemos una revision acerca de las nociones basicas y las distintasdefiniciones de regimen economico y cambio de regimen para describir comoestas nociones aparecen implıcita o explıcitamente en diferentes areas de la lite-ratura economica. Luego describimos un metodo para representar la dinamicade cambio en modelos economicos con multiples regımenes. La idea central esque en estos modelos el espacio de los estados de la economıa puede ser divididoen subconjuntos cada uno de ellos representando uno de los regımenes posiblesque puede ocupar la economıa. De esta manera es posible observar dos tiposde dinamica: una dentro del regimen, propia de cada estado, y una de cambiode un regimen a otro. Para representar la dinamica de cambio entre regımenes,cada uno de ellos es representado con un sımbolo (etiquetado). De esta man-era la dinamica de cambio de regımenes tiene como dominio un conjunto desımbolos que representan los estados posibles de la economıa en estudio. Esentonces posible en el analisis de la dinamica de cambio de regimen usar lasherramientas de la dinamica simbolica, obteniendo en algunos casos representa-ciones mediante grafos dirigidos y matrices de los que se pueden comprenderalgunas de las propiedades fundamentales de la dinamica de regımenes del mod-elo.

AbstractIn this paper we introduce the concept of economic regime. We review thebasic notions and different definitions of economic regime and regime switchingto describe how these notions appear implicitly or explicitly in different areasof the economic literature. Then we introduce a method to represent dynamics

† Our research was supported by Conacyt-Mexico , project 46209 and by the Free Uni-versity of Bolzano, project: ” Dynamica l Regimen sin Economics: modellin gand statistical

tools”

†† Universidad Autonoma Metropolitana (Unidad Azcapotzalco) y Universidad Autonoma

de San Luis Potosı(Facultad de Economıa), Mexico. E-mail: [email protected]

††† School of Economics and Management - Free University of Bolzano, Italy. E-mail:

[email protected]

Modelos Economicos con Multiples Regımenes 97

across regimes in multiple regime economic models. In these models the statespace of the economy can be divided in regions, each of them representing adifferent regime of the economy. Then, we have a twofold dynamics: one withina given regime and one across regimes. To represent dynamics across regimes,each regime is labeled with a symbol and so doing, the domain is a set ofsymbols representing the possible states of the economy. Then the evolution ofthe economy is represented by a coded dynamics. The latter is related with themore formal, mathematical branch called symbolic dynamics. Such proximityoften permits the use of formal techniques that are well established in themathematician’s tool box to represent dynamics across regimes with directedgraphs and matrices and to extract dynamical properties of the models.

Clasificacion JEL: C49, G11

Palabras Clave: Arbol de expansion mınima, matrices de correlacion, analisis de portafolios

1. Introduccion

Muy frecuentemente podemos observar en economıa que relaciones muy distin-tas gobiernan la conducta dinamica en diferentes situaciones. Si definimos unregimen economico como una conducta dinamica cualitativa que puede ser clara-mente distinguida de otras conductas (llamadas tambien regımenes), entoncesuna economıa ideal deberıa representarse con un modelo que admita multiplesregımenes. En este tipo de modelo pueden ser distinguidas dos dinamicas, unaal interno de cada regimen y otra de cambio de regimen. La primera puede servista como un modelo local de la economıa cuando esta ocupa un determinadoregimen y es, en cierto sentido, una dinamica ”puntual” a la que pueden seraplicados los metodos tradicionales a la hora de estudiar sus propiedades. Porotro lado, la dinamica de cambio de regimen puede ser interpretada como uncambio estructural en la economıa ya que lo que cambia es el modelo que larepresenta. Es claro que esta dinamica tiene como dominio un conjunto discreto(el conjunto de los regımenes que puede ocupar la economıa) y en este trabajointentaremos introducir un metodo para representarla. Este metodo esta es-trechamente relacionado con una rama de la teorıa de los sistemas dinamicosllamada dinamica simbolica.

Gran parte de la historia economica reciente de varios paıses se puede re-producir como una sucesion de cambios de regimen de crecimiento economico.El objetivo central de este trabajo es el de proponer un instrumento (la dinamicacodificada y la dinamica simbolica) para analizar la dinamica de estos fenomenoscon multiples regımenes, esto es, para la dinamica donde los saltos de regimende crecimiento economico representan cambios estructurales, cambios cualita-tivos abruptos en el tipo de dinamica economica observada. Desde el puntode vista teorico esta impostacion se inspira en la investigacion en sistemasdinamicos complejos, donde los investigadores recolectan datos o construyenmodelos para determinar cuales variables o parametros pueden ser importantespara la identificacion de regımenes y sus fronteras. Los dos aportes de estetrabajo son la introduccion del formalismo y la terminologıa de la dinamicacon multiples regımenes y la aplicacion de estas tecnicas de codificacion enalgunos ejercicios simples en modelos con dos regımenes. Partiendo de estosejercicios, mostramos la relacion de los modelos con multiples regımenes con lamacroeconomıa dinamica clasica.

98 Revista de Administracion, Finanzas y Economıa

Dado que el concepto de regimen economico aparece reiteradamente ycon varias acepciones en la literatura economica, empezaremos este artıculo(seccion 1) haciendo una revision de algunos trabajos relevantes en la literaturaeconomica en los que el concepto de regimen juega un papel importante parapoder unificar criterios y obtener una definicion coherente y general. Luego deesta revision, en la seccion 2 propondremos una definicion formal de regimeneconomico que intente capturar las distintas acepciones del termino. A par-tir de esta definicion, hacemos una reformulacion de los conceptos dinamicosmas importantes en terminos de la dinamica de cambio de regımenes y pre-sentamos la simbolizacion como metodo de representacion de dicha dinamica.Finalmente, en la seccion 3 presentamos un ejemplo ilustrativo de la utilizaciondel metodo para un modelo con dos regımenes donde la dinamica de cambio deregımenes es representable mediante un grafo dirigido. Este trabajo tiene comoantecedentes dos trabajos conjuntos (Brida y Punzo (2003) y Brida, Puchety Punzo (2003)) en el que se reinterpreta una parte importante de la historiade las teorıas del ciclo economico mediante modelos con multiples regımenes4 y se introducen algunas tecnicas estadısticas para el trabajo con fenomenoscon multiples regımenes y varios trabajos de Punzo (Punzo (1995, 1996, 1997),Punzo y Bhm (1992, 1994, 1997, 1998), Punzo, Abraham y Hotton, (1996))acerca del cambio economico estructural y metodos en dinamica economica.Hemos construido este artıculo basados en estos antecedentes, pero dando unpaso adelante al introducir la posibilidad de representar la dinamica del cambioeconomico estructural a traves de una sucesion de sımbolos y el uso de estapara recabar propiedades del cambio estructural.

2. El concepto de regimen economico

El termino regimen tiene una larga historia en la literatura economica. Hasido usado implıcita o explıcitamente en forma extensiva en varias areas re-firiendose no solamente a aspectos metodologicos sino tambien analıticos, depolıtica economica, etc. A pesar del uso extensivo del termino, este no esta biendefinido y no significa lo mismo para los distintos autores que lo utilizan. Desdeel punto de vista intuitivo, un regimen es una conducta economica cualitativa-mente distinta de otras conductas economicas tambien llamadas regımenes. Unejemplo cotidiano de regımenes economicos lo podemos tener en la separacion delas economıas de acuerdo a los niveles de inflacion que presentan en regimen deinflacion controlada, regimen de deflacion, regimen de inflacion elevada, etc. Esclaro que una economıa puede pasar por estos distintos regımenes de inflaciony que sus mecanismos de funcionamiento cambian al cambiar la economıa deregimen. Entonces, para poder establecer un modelo global de una economıa(con respecto a la variable inflacion en este caso), uno tiene que pensar en unmodelo que pueda ser descompuesto en distintos modelos locales, cada uno deestos representando un regimen de la economıa. Es claro que interesa conocerel modelo global pero nosotros nos concentraremos en la modelizacion de loscambios de regimen, es decir en cuales son las reglas de cambio del modelo local.

Desde el punto de vista economico, un regimen esta caracterizado por unconjunto de reglas e instituciones que representan la economıa y generan su

4 En este trabajo ya aparece la idea de usar la codificacion en la representacion de los

regımenes economicos.


conducta dinamica cualitativa. Por lo tanto, un cambio de regimen se asociacon un cambio en ese conjunto de reglas e instituciones. Desde el punto devista matematico, hay un cambio de regimen cuando cambia la naturaleza deuna ecuacion. Los cambios de regimen pueden ser continuos o discontinuos ymuy frecuentemente estan asociados a shocks, valores umbrales, bifurcacioneso puntos de cambio en la economıa. El mecanismo que causa los cambios deregimen puede ser endogeno o exogeno, siendo la primera de estas posibilidadesla perspectiva que tendremos en este trabajo. Los cambios de regimen puedenser reversibles o irreversibles, pero solo los cambios reversibles tienen interesa la hora de entender las relaciones entre las fluctuaciones de las variableseconomicas y los cambios de regimen. La idea de cambio de regimen entresucesivos perıodos de expansion y contraccion en la dinamica del ciclo economicoes tambien relevante en la prensa popular donde lo que interesa es identificar ypredecir los puntos de cambio en la actividad economica5.

Los modelos economicos con multiples regımenes seguramente recibieronsu primera version sofisticada en los trabajos de Georgescu-Roegen (1951), en elque estudio los fenomenos de oscilaciones de relajacion en modelos economicoslineales. El autor atribuye a Le Corbeiller (1933) la idea de que las oscila-ciones de relajacion (introducidas por van der Pole en la literatura matematica)pueden ser usadas para representar los ciclos economicos en un modelo con dosregımenes. En particular, el autor afirma que la propiedad de periodicidadasimetrica que se encuentra en los fenomenos de oscilaciones de relajacion esfundamental para capturar los ciclos economicos, tratados hasta ese momentocomo un fenomeno periodico. En los fenomenos de oscilaciones de relajacionuno puede distinguir dos regımenes distintos que dan lugar a dos fases dife-rentes en la dinamica del modelo. Estos fenomenos son un caso particular demodelos con dos regımenes, donde el cambio de regimen es debido a una dis-continuidad en la funcion que genera la dinamica6. Estos puntos de vista deGeorgescu-Roegen acerca de los ciclos economicos inspiraron a Goodwin (1951)y Leontief (1953), pero, fuera de estas contribuciones, la posibilidad del usode las oscilaciones de relajacion como modelo de los ciclos economicos fue casiabandonada en la literatura teorica moderna.

Para muchos historiadores de la economıa, el crecimiento economico de-berıa ser descrito en terminos de estadios de desarrollo. Para estos, las eco-nomıas han pasado a traves de las epocas historicas con muy diferentes es-tructuras caracterizadas por distintas tecnologıas, modos de produccion y or-ganizaciones sociales. Es entonces que en este ambito, las ideas de regimen ycambio de regimen aparecen en modo natural relacionadas a los estadios dedesarrollo. Estos estadios cambian con el tiempo dando lugar a distintas es-tructuras con diferencias cualitativas en sus conductas dinamicas7.Esto es, eldesarrollo economico involucra cambios no solo en los niveles de las variables

5 Un ejemplo bien conocido es el chartismo.6 “The difference between up and down swings is created by a certain discontinuity in

the regime. Such a discontinuity will introduce a discontinuity of the movement (at least insize or in direction). Therefore the movements related to each phase will be described by a

different function.” (Georgescu-Roegen, (1951, p.117).7 Siguiendo a Schumpeter, podemos distinguir entre crecimiento, explıcitamente definido

como un fenomeno cuantitativo, y desarrollo, un “cambio discontinuo que viene desde elinterno del proceso economico a causa de la naturaleza del proceso” (Georgescu-Roegen 1976,


sino tambien cambios en el modo en que la economıa funciona. Estos cambiospueden incluir modificaciones en las tecnologıas, la emergencia de nuevas in-stituciones socioeconomicas, la utilizacion de nuevos recursos, cambios en losgustos y preferencias del consumidor, etc. Todos estos cambios introducen unamodificacion cualitativa en la conducta dinamica de la economıa. La liter-atura en desarrollo economico contiene descripciones de varios aspectos delproceso de cambio de regimen asociados al cambio estructural. Conceptoscomo el “big push” (Rosenstein-Rodan, 1943), el “crecimiento no balanceado”(Streeten, 1959), las “trampas de pobreza” (Nurkse, 1953) o las “economıasduales” (Lewis, 1954) estan todos conectados con un cierto tipo de cambio deregimen en el sistema economico. Integrando la teorıa economica con la his-toria, en su libro The Stages of Economic Growth (Rostow (1960)), Walt W.Rostow presenta una clasificacion de los sistemas economicos en cinco categorıas(o regımenes), cada una de ellas con su propia conducta dinamica, donde cadaeconomıa puede pasar por estos regımenes en forma ascendente a lo largo desu historia. Es claro que en la vision de Rostow los cambios de regimen sonirreversibles y ademas estan dados en un cierto orden y el escenario parece sermucho mas complejo de lo que sostienen los economistas del desarrollo.

Genericamente, los modelos con multiples regımenes se pueden caracteri-zar por la presencia de multiples equilibrios, al menos uno por cada regimen y,recıprocamente, muchas veces es util interpretar un modelo con multiples equi-librios mediante la posibilidad de exhibir multiples regımenes. Sabemos que enlos modelos economicos de ultima generacion, la presencia de multiples equi-librios8 es una propiedad generica. Por ejemplo, los modelos macroeconomicosdonde hay fallas de coordinacion, spillovers y complementariedades estrategicaspueden producir multiples equilibrios9. En gran parte de esta literatura, losequilibrios son Pareto-ordenables y uno de los problemas es el de encontrarmecanismos que permitan pasar de un equilibrio a otro. Generalmente los cam-bios de equilibrio se deben a shocks y muchas veces son modelados medianteprocesos de Markov10.

La nocion de regimen economico ha sido tambien introducida en la nuevaliteratura empırica en crecimiento economico11 en referencia al problema dela convergencia por S.N. Durlauf, P.A. Johnson y D. Quah entre otros au-tores. Tıpicamente los modelos teoricos del crecimiento economico analizanla conducta dinamica de una unica economıa nacional representativa pero, sianalizamos las experiencias historicas observadas en las economıas nacionalesdurante el siglo XX, vemos que no hay evidencia para el uso de una unicaeconomıa nacional representativa. Es bien conocido el resultado de que el mod-elo neoclasico de crecimiento implica la convergencia (bajo ciertas hipotesisstandard) de todas las economıas nacionales hacia un unico valor de equilibriode largo perıodo de la tasa de crecimiento del output per capita independiente-

p. 245).8 Generalmente son dos equilibrios llamados “alto” y “bajo”, “bueno” y “malo”, etc.9 En Diamond (1982), Cooper and John (1988) y Howitt (1985) hay ejemplos de economıas

que presentan estas propiedades.10 Para un ejemplo, ver Howitt and MacAfee (1992) y Aoki (1996).11 Para una revision de trabajos reciente de investigacion empırica sobre el problema de la

convergencia en el crecimiento economico ver Durlauf and Quah (1998).


mente del nivel inicial del output. La nueva literatura en crecimiento economicoha presentado evidencia en la persistente divergencia en la tasa de crecimientodel output per capita en las distintas economıas nacionales y ha estudiado comodiferentes hipotesis economicas implican diferentes conductas en las trayectoriastemporales del output per capita. Esta persistente divergencia ha sido inter-pretada con la posibilidad de que existan distintos ”clubs” (o regımenes, paraponerlo en nuestro lenguaje) de convergencia caracterizados por distintas tasasde crecimiento de equilibrio donde el conjunto de economıas nacionales puedeser dividido en los distintos regımenes de convergencia.12 Esta evidencia es par-ticularmente compatible con modelos de crecimiento que presentan multiplesequilibrios, con modelos de crecimiento donde la no convexidad puede producirmultiples equilibrios que son localmente estables.13

A partir del rol de las expectativas de los agentes de un sistema economico,Leijonhufvud (1987) introduce el concepto de regimen monetario. Al tomar de-cisiones, los agentes se forman expectativas acerca del futuro y estas puedeninfluenciar la trayectoria dinamica del sistema generando fluctuaciones, equi-librios multiples, etc. Luego, distintos estados de expectativas dan lugar a dis-tintos regımenes del sistema.14 La nocion de regimen esta tambien relacionadaal concepto de ”corredor de estabilidad” de Leijonhufvud15 : la estabilidad deuna economıa de mercado no se ve perturbada cuando el sistema es afectadopor shocks suficientemente pequenos (tan pequenos de dejar la economıa en elmismo regimen que ocupa actualmente) y tendremos inestabilidad cuando losshocks son suficientemente grandes para sacar la economıa del regimen al quepertenece.16 Podemos entonces identificar diferentes regımenes en un sistema

12 Contrariamente al modelo lineal que se utiliza comunmente para estudiar el crecimientoeconomico, Durlauf y Johnson (1995) presentan un modelo de crecimiento con multiplesregımenes donde las diferentes economıas son representadas con diferentes modelos linealescuando son agrupadasde acuerdo a los valores iniciales del output per capita. En este trabajo,los autores encuentran evidencia para la existencia de multiples regımenes en la dinamica decrecimiento en el sentido de que subgrupos de economıas identificadas por las condiciones

iniciales obedecen a distintas regresiones del tipo de Solow.13 Ver Azariadis and Drazen (1990) para un modelo de este tipo. La conducta dinamica

de crecimiento en este modelo es tıpicamente no lineal donde economıas asociadas al mismoequilibrio obedecen a una regresion lineal comun. Los modelos de este tipo presentan “trampade pobreza”, donde economıas con un nivel de output inicial bajo convergen a un nivel deequilibrio bajo y economıas con un nivel inicial alto convergen a un equilibrio alto. Quah(1996) obtiene tambien evidencia de multiples regımenes de crecimiento en el modelo deGalor y Zeira (1993). Aquıel modelo tiene una unica ley dinamica no lineal que tiene dosequilibrios localmente estables y las economıas convergen hacia uno de estos: las economıas

“ricas” convergen hacia el nivel alto y las pobres hacia el nivel bajo.14 Como sostiene el autor, “the concept of monetary regime figures prominently in the

recent rational expectations literature. Elsewhere, I have used the following two-part defini-tion of it: a monetary regime is a system of expectations that governs the behavior of thepublic and that is sustained by the consistent behavior on the policy-making authorities.”

(Leijonjufvud (1987, p. 44).15 Ver Effective demand failures, capıtulo 6 en Leijonhufvud (1981).16 En Leijonhufvud (1981, Pag. 109-110), el autor presenta la nocion de corredor dinamico

en la construccion de una tercera “cosmologıa” economica entre Neoclasicismo y Keynesian-ismo en el modo siguiente: “The system is likely to behave differently for large than formoderate displacements from the full coordination time path. Within some range from thepath (referred to as “the corridor” for brevity), the system’s homeostatic mechanisms work


economico con diferentes corredores de estabilidad que corresponden a distintosestados de las expectativas de los agentes y, de acuerdo con esto, tendremos uncambio de regimen cuando los shocks sean suficientemente grandes.

No es sorprendente que el concepto de regimen aparezca naturalmente enel campo de las teorıas del desequilibrio. Malinvaud (1977, 1980) considera laexistencia de diferentes regımenes en la economıa que estan asociados a dife-rentes regiones del espacio de precios y salarios. El modelo macroeconomicodesarrollado en estos trabajos consiste en firmas y agentes que interactuan endos mercados: bienes y trabajo. Los precios de los bienes y de los salariosson rıgidos y por lo tanto la demanda y la oferta agregadas no son necesaria-mente iguales. El modelo contiene multiples regımenes e interpreta la evolucioneconomica como un continuo cambio de regımenes. Cada regimen esta basadoen un analisis economico completo y representa un modelo de situacion quepuede ser observada por un determinado perıodo de tiempo. En el analisisimpostado por las teorıas del desequilibrio uno supone que hay un cambio enlas ecuaciones de precios y salarios de acuerdo a la naturaleza del desempleo:se pueden identificar los tipos de equilibrio Keynesiano, clasico y de inflacionreprimida de acuerdo a las diferentes ecuaciones de precios y salarios. Entoncescada equilibrio corresponde a un regimen diferente del modelo. La figura 1ilustra la particion en regımenes del espacio de precios y salarios. El punto deinterseccion de las dos curvas es el equilibrio walrasiano.

well, and deviation-counteracting tendencies increase in strength. Outside that range thesetendencies become weaker as the system becomes increasingly subject to “effective demandfailures”. If the system is displaced sufficiently“far out”, the forces tending to bring it backmay, on balance, be so weak and sluggish that -for the practical purposes- the Keynesian “un-employment equilibrium model is as sensible a representation of its state as economic static’swill allow. Inside the corridor, multiplier-repercussions are weak, and dominated by neo-classical market adjustments; outside the corridor, they should be strong enough for effectsof shocks to the prevailing state to be endogenously amplified. Up to a point, multiplier-coefficients are expected to increase with distance from the ideal path. Within the corridor,the presumption is in favor of “monetarist”, outside in favor of “fiscalist” policy prescriptions.Finally, although within the corridor market forces will be acting in the direction of clearingmarkets, institutional obstacles of the type familiar from the conventional Keynesian litera-ture may, of course, intervene to make them ineffective at some point. Thus, a combinationof monopolistic wage setting in unionized occupations and legal minimum wage restrictionscould obviously cut the automatic adjustment process short before “equilibriumemployment”

is reached.”


Figura 1. Regımenes en el modelo de Malinvaud. La particion en regımenes delespacio de precios y salarios depende de las distintas constelaciones de exceso deoferta y demanda en los mercados de precios y bienes K = Regimen Keynesiano,C = Regimen de desempleo clasico, I = Regimen de inflacion reprimida y U =Regimen de bajo consumo.

Cuando hay Exceso de oferta en los dos mercados, la economıa esta en elregimen Keynesiano. Cuando hay exceso de oferta en el mercado del trabajoy de demanda en el mercado de bienes estamos en presencia del regimen dedesempleo clasico y el regimen de inflacion reprimida se da cuando la demandaexcede a la oferta en ambos mercados. Para completar la particion del espaciose introduce un cuarto regimen (que se da cuando hay exceso de demanda enel mercado de trabajo y de oferta en el mercado de bienes y es raramente ob-servable) llamado de bajo consumo. El modelo de Malinvaud es estatico perotrabajos posteriores (como por ejemplo Blad (1981), Blad y Zeeman (1982),Honkopohja e Ito (1983) e Ito (1980)) introducen la dinamica en el sistema.Estos trabajos discuten la estabilidad del equilibrio walrasiano pero no presen-tan una descripcion explicita de la dinamica de pasaje de un regimen a otro.

El termino regimen se hizo notorio en la literatura economica a partir delos trabajos de Lucas. En la crıtica de Lucas se argumenta que los parametrosmacroeconomicos no son invariantes a cambios en los regımenes polıticos y porlo tanto la estima econometrica no es eficiente para calcular el impacto de loscambios polıticos. Lucas argumenta que la inestabilidad de los parametrospuede ser explicada por un cambio en las expectativas de los agentes en re-spuesta a cambios en el regimen polıtico.17 De acuerdo a esto, los parametrosde las ecuaciones estimados a nivel macro son inestables debido a los posiblescambios en el ambiente y, si hay cambios, la forma reducida de los parametrosno es mas fiable. Una de las vıctimas de la crıtica de Lucas es la curva de

17 Como puede verse en la siguiente argumentacion: “given that the structure of an econo-metric model consists of optimal decision rules of economic agents, and that optimal decisionrules vary systematically with changes in the structure of series relevant to the decision maker,it follows that any change in policy will systematically alter the structure of econometric

models” (Lucas, (1976, p. 184).


Phillips, cuyos parametros dependen del regimen monetario. Esto dio lugar nosolo al abandono de la curva de Phillips sino tambien a una nueva explicacionexogena del ciclo economico. Pero esta no es la unica alternativa; estos cam-bios en el ambiente pueden ser tambien representados con modelos del cicloeconomico endogenos (o mixtos) con multiples regımenes.18

Para finalizar esta revision, vamos a analizar los diferentes usos y defini-ciones del concepto de regimen que aparecen en la literatura econometrica.Los comovimientos entre las variables economicas (esto es, un gran numerode variables que cambian conjuntamente) y la division en estados separados(o regımenes) son dos propiedades clave para cualquier investigador del cicloeconomico empıricamente orientado, pero, gran parte de la literatura econome-trica trabaja con una estructura lineal del ciclo economico y esta perspectivale impide capturar los co-movimientos y regımenes. Los trabajos de Quandt(1958) y Goldfeld y Quandt (1973) son pioneros en la introduccion del con-cepto de regimen y cambio de regimen. En estos se presentan metodos paraencontrar puntos de cambio en una regresion lineal que obedece a dos regımenesdistintos, donde el proceso de cambio de regimen se representa mediante unacadena de Markov.19 Un trabajo reciente que presenta un modelo econometricode cambio de regimen es Hamilton (1989). En este modelo hay dos regımenesy estos son tratados como distintos objetos probabilısticos donde nuevamentela transicion entre los regımenes esta gobernada por un proceso de Markov.Otra clase de modelos econometricos de cambio de regimen son los “thresholdautoregressive models” (TAR)20 que son una linearizacion a trozos de modelosno lineales en el espacio de los estados por intermedio de la introduccion de uncierto conjunto de valores umbrales. En todos los modelos econometricos quehemos senalado un regimen es considerado como un objeto probabilıstico rep-resentando “episodios en los cuales la conducta dinamica de la serie temporales marcadamente diferente” (Hamilton (1989, p. 358)) y el cambio de regimentiene una explicacion exogena como un proceso de Markov.

3. Definicion formal de regimen. Modelos con multiples regımenes

En esta seccion intentaremos formalizar las ideas expuestas en la seccion ante-rior rescatando lo esencial de los distintos conceptos de regimen que aparecenen la literatura y para esto empezaremos por definir que es lo que entendemospor regimen y por modelo con multiples regımenes. La idea central es que enestos modelos el espacio de los estados de la economıa puede ser dividido ensubconjuntos de acuerdo a la conducta dinamica que se presenta en cada unode ellos. Cada uno de estos subconjuntos con su correspondiente dinamica esun regimen. Nuestra definicion la daremos en el caso en que la dinamica de laeconomıa es determinista y a tiempo discreto pero es facilmente adaptable alcaso continuo y/o con una componente estocastica.

Definicion: Si M es un espacio metrico, (Mi)i∈I es una particion de M yfi : Mi → M, i ∈ I es una familia de funciones, entonces cada par Ri :=

18 Ver Brida (2006a).19 Neftci (1982) presenta un modelo similar donde hay dependencia temporal de las pro-

babilidades de transicion, a diferencia del modelo de Hamilton donde las probabilidades de

transicion son independientes del tiempo.20 Ver Tong (1983), Tong y Lim (1980) y Potter (1995).


(fi, Mi) es un regimen. La dinamica al interno de un region Mi esta dada porla ecuacion en diferencias

xt+1 = fi(xt), xt ∈ Mi,

y la dinamica global del modelo con multiples regımenes esta dada por el sistemadinamico (f, M) con dominio M y donde f es tal que f(x) = fi(x), si x ∈ Mi.Esto es, la dinamica en M esta dada por la ecuacion en diferencias

xt+1 = f(x) = fi(x), x ∈ Mi.

Recıprocamente, si el dominio M de un sistema dinamico (f, M) se puededividir en una familia de subconjuntos que no se solapan (Mi)i∈I , al interno decada uno de los cuales la conducta dinamica puede ser considerada diferente,entonces podemos definir un regimen mediante el par Ri := (fi, Mi). Noteseque estas descomposiciones en general no son unicas y los criterios para hacerla division pueden ser pueden ser economicos, matematicos, estadısticos, etc.

La definicion que hemos dado refleja el hecho de que distintos regımenesestan representados con diferentes modelos locales. Para ser interesante, unaparticion tiene que tener por lo menos dos regımenes y estos no deben ser in-variantes, permitiendo el pasaje de uno a otro regimen. En nuestra concepcion,un regimen es entendido como un modelo local y por lo tanto un modelo conmultiples regımenes debe ser visto como un hipermodelo o modelo de modelos.Tenemos entonces que los modelos con multiples regımenes, aun en el caso quela dinamica al interno de cada regimen sea lineal, deben ser siempre modelosno lineales.

En los sistemas dinamicos con multiples regımenes podemos distinguir dostipos de dinamica: una al interno de cada regimen y una a traves de los distintosregımenes. La primera (cuantitativa) representa la conducta dinamica de cadaregimen y la segunda (cualitativa) formaliza el cambio de regımenes. Estamosinteresados en la segunda dinamica, que llamamos dinamica de regımenes yrepresenta una cierta forma de cambio estructural en la economıa pues lo quecambia es el modelo local.

A este punto podemos presentar nuestro metodo de representacion de ladinamica de regımenes mediante la codificacion de los distintos regımenes delmodelo. Cada trayectoria de un sistema dinamico con multiples regımenespuede ser representado por la sucesion de regımenes por los que pasa; estoes, podemos olvidar los valores que toma y sustituirlos por el correspondienteregimen. Si definimos, por ejemplo, el ındice de regımenes para un estado dadomediante la funcion:

π : M → I con π(x) = i si y solo si x ∈ Mi

entonces la sucesion simbolica

(Sn(x))n∈N = (π(f(n)(x)))n∈N

nos da la dinamica del sistema como una sucesion de regımenes. O sea que loque hacemos es etiquetar cada regimen con un sımbolo21 y, teniendo en cuenta

21 El conjunto A de los sımbolos usados para etiquetar los regımenes se llama alfabeto.


la region en la que esta el sistema para cada tic del reloj, podemos traducirla trayectoria puntual en una sucesion simbolica. Para cada orbita del sistemaoriginal obtenemos una sucesion de sımbolos y es claro que dos orbitas distintaspodrıan estar representadas por la misma sucesion simbolica (este es el casocuando dos trayectorias puntuales visitan exactamente los mismos regımenescontemporaneamente). Tenemos entonces un sistema dinamico simbolico quereproduce la conducta del sistema original en una version simplificada pero quees adecuada para la representacion de la dinamica de regımenes. En el sistemadinamico simbolico el espacio esta formado por sucesiones de sımbolos del alfa-beto (que es espacio metrico donde dos sucesiones estan “cerca” si coinciden enun bloque inicial de sımbolos “suficientemente grande”) y la dinamica esta dadapor la funcion shift (representada con σ) que mueve cada sımbolo una posicionhacia la izquierda (o, dicho de otra manera, que suprime el primer sımbolo). Lariqueza de la dinamica de este sistema no depende de las propiedades topologicasdel espacio ni de la definicion de la funcion shift sino de las reglas que permitendecidir si una sucesion simbolica pertenece al espacio o no. En algunos ca-sos estas reglas pueden ser especificadas mediante grafos dirigidos que tienencomo vertices los sımbolos del alfabeto o mediante matrices (que son las ma-trices adyacentes a los grafos). Al grafo dirigido que especifica las posiblessucesiones simbolicas del sistema se le llama grafo de transicion y en este grafotoda caminata infinita es una sucesion del sistema. Un ejemplo sencillo de estarepresentacion se puede dar con el shift total en n sımbolos: si A es un alfabetocon n sımbolos, el conjunto de todas las sucesiones simbolicas definidas en A sellama el espacio shift total y se representa por AN . El sistema dinamico (σ, AN)se llama shift total y podemos pensar las orbitas de este sistema como todaslas caminatas infinitas en el grafo dirigido que tiene como vertices los sımbolosdel alfabeto A y esta totalmente conectado (es decir que hay una flecha desdei hacia j para todo par de sımbolos i, j ∈ A). En la figura 2 hemos represen-tado el grafo de transicion y la matriz adyacente que especifican las sucesionessimbolicas que pertenecen al shift total con dos sımbolos.

Otra variedad importante de espacios de sucesiones simbolicas que se pue-den representar mediante grafos dirigidos son los shifts de tipo finito. Paraintroducir este tipo particular de shifts, debemos dar algunas definiciones pre-vias que pasamos a detallar. Dada una sucesion S = (Sn)n∈N definida en elalfabeto A y una sucesion finita (llamada palabra) de sımbolos de A, decimosque w ocurre s en si existen ındices i y j tales que w = SiSi + 1 . . .Sj . Si P es unconjunto finito de palabras de A, llamamos espacio shift de palabras prohibidasP (y lo denotamos por XP ) al conjunto de todas las sucesiones simbolicasdefinidas en A en las que no ocurren las palabras de P . No vamos aquıa in-dicar como se pueden especificar mediante grafos dirigidos las sucesiones quepertenecen a un shift de tipo en un caso general;22 solamente presentamos unejemplo que ilustra el caso en que P esta formado por palabras de dos sımbolos.

22 Esto requerirıa una exposicion tecnica y extensa que esta fuera de los objetivos intro-ductorios al metodo de representacion de la dinamica de regımenes de este artıculo. El lectorinteresadopuede consultar los libros Adler (1998) y Lind y Marcus, (1995) para una exposiciondetallada de la teorıa de los sistemas dinamicos simbolicos y la representacion de shifts detipo finito. Los libros de Devaney (1987) y Alliood, Sauer y J.A. Yorke, (1997) contienevarios ejemplos de representacion de sistemas dinamicos unidimensionales y bidimensionales

mediante sistemas dinamicos simbolicos.


Figura 2. Grafo de transicion y matriz de adyacencia que representan el shifttotal con alfabeto A = 0, 1.

La presencia en el grafo de una flecha desde i hacia j indica que en unasucesion del espacio el sımbolo j puede seguir a la i y la ausencia de esta flechaindica que en las sucesiones del espacio el sımbolo j no puede seguir a la i. Uncero en la entrada ij de la matriz significa que no hay una flecha desde i haciaj en el grafo y un uno significa que hay una flecha desde i hacia j.

Ejemplo: El shift de Fibonacci es el conjunto de las sucesiones binarias enque no hay dos 1 seguidos; o sea es el espacio shift de tipo finito XP en el alfabetoA = 0, 1 con conjunto de palabras prohibidas P = 11.23 Las sucesionesque pertenecen a XP pueden ser especificadas mediante el grafo dirigido de lafigura 3.

Figura 3: Grafo de transicion y matriz adyacente que representan al shift deFibonacci.

Para cada caminata infinita en este grafo existe una sucesion del shift deFibonacci que satisface la sucesion de sımbolos determinada por la caminatay recıprocamente. La construccion del grafo de transicion para el caso de unshift de tipo finito definido en el alfabeto de n sımbolos A = 1, 2, . . . , n conconjunto de palabras prohibidas P de dos sımbolos se hace mediante la siguienteregla: si la palabra ij es permitida entonces hay una flecha del vertice i al j ysi la palabra ij es prohibida entonces no hay una flecha del vertice i al j. Lamatriz adyacente se construye del modo siguiente: un cero en la entrada ij dela matriz significa que no hay una flecha desde i hacia j en el grafo y un unosignifica que hay una flecha desde i hacia j.

En los casos en que el espacio de las sucesiones simbolicas se puede repre-sentar por grafos y matrices, las propiedades dinamicas del cambio de regimendel sistema se ven reflejadas en propiedades algebraicas del grafo o la matriz.24

Esto simplifica mucho el estudio de las propiedades dinamicas del sistema y

23 Este shift se llama de Fibonacci porque el numero de trayectorias de longitud n son los

numeros de Fibonacci24 En particular en Brida (2000) el lector puede encontrar un diccionario para traducir

propiedades de sistema dinamico simbolico en propiedades algebraicas de la matriz adyacente.


permite, por ejemplo, calcular la entropıa topologica del sistema (que es unindicador de su complejidad) mediante tecnicas sencillas.

Cuando tenemos un modelo cuya dinamica de regımenes esta representadasimbolicamente, la evolucion y las propiedades de recurrencia del sistema orig-inal son reflejadas por propiedades analogas de su trayectoria simbolica.25 Apartir de esta representacion podemos redefinir todos los conceptos dinamicosen terminos de la dinamica de regımenes: regimen de equilibrio, periodici-dad en los regımenes, etc. Por ejemplo, podemos decir que el regimen A esun equilibrio si existe una trayectoria puntual cuya dinamica de regımenes es. . .AAAAAA . . . = . . .A∞, un ciclo de perıodo dos en los regımenes A y B esuna sucesion de regımenes que puede ser representada simbolicamente medianteABABABABAB . . . = (AB)∞, etc. En particular, decimos que un regimen esestable si toda trayectoria que entra en su dominio queda allı; esto es, el regimenRi = (fi, Mi) es estable si y solo si fi(Mi) ⊆ Mi. En este caso, ya que solo haycambio de regimen si la sucesion simbolica (Sn(x))n∈N es tal que Sn+1 6= Sn,cuando una trayectoria entra en el regimen estable A, la representacion de ladinamica de regımenes debe continuar con A . Un regimen es inestable si todatrayectoria que entra en su dominio, en un numero finito de perıodos escapaa otro dominio de fase; esto es, Ri := (fi, Mi) es inestable si y solo si paratodo x ∈ Mi existe un natural k tal que (fi)

k(x) /∈ Mi. Los regımenes establese inestables son casos extremos; en general un regimen tiene trayectorias queescapan y otras que quedan en el dominio de fase. Si todos los regımenes sonestables no hay posibilidad de cambio de regimen y el sistema puede ser de-scompuesto en distintos modelos con un unico regimen. Es claro que para tenerdinamica de regımenes no trivial al menos dos regımenes deben ser no estables.

Un punto interesante (pues tiene que ver con lo que en la literatura seconoce como “path dependence”) es saber si un modelo (f, M) con multiplesregımenes es capaz de generar una determinada evolucion finita de regımenes.Dado un sistema dinamico con multiples regımenes Ri = (fi, Mi), i ∈ I y unasucesion finita y ordenada de sımbolos i0i1 . . . ik con ij ∈ I(j = 0, 1, . . . , k), lacondicion para que exista un x ∈ M tal que (π(f i(x))) = ij para j = 0, 1, . . . , k(es decir, una trayectoria que visite los regımenes Rp0

, Rp1, . . . ,y Rpk

en eseorden) es que el punto x verifique la condicion

x ∈ Mp0, f(x) ∈ Mp1

, . . . , fk(x) ∈ Mpk,

o en forma equivalente,x ∈ ∩k

i=0f−i(Mpi

).

Entonces, la condicion necesaria y suficiente para que exista una trayectoria quesiga la evolucion de regımenes definida por i0i1i2 . . . ik es que ∩k

i=0f−i(Mpi

) 6= ∅.En resumen, en esta seccion vimos que para estudiar la dinamica de regımenesde un modelo con multiples regımenes, tenemos que estudiar la dinamica sim-bolica que tiene como alfabeto las etiquetas de los regımenes y las sucesiones quesuceden en la dinamica son las sucesiones definidas en el alfabeto tales que existe

25 En algunos casos, podemos obtener una representacion total de la dinamica del sistemamediante un sistema simbolico que es conjugado al sistema original. Este es el caso cuando

tenemos una particion de Markov. Vease el ejemplo d3e la seccion 3 de este trabajo.


una trayectoria puntual que sigue la secuencia de regımenes representados en lasucesion simbolica. En otras palabras, si A = 1, 2, . . . , S es el alfabeto y AN =(Sn)n∈N |Sn ∈ A es el espacio de todas las sucesiones simbolicas definidas enA, el dominio de la dinamica de regımenes de un modelo (f, M) con multiplesregımenes es el conjunto formado por las sucesiones simbolicas (Sn)n∈N ∈ AN

tales que existe un x ∈ M con (Sn)n∈N = (Sn(x))n∈N = (π(f(n)(x)))n∈N , en laproxima seccion presentaremos un ejemplo sencillo de como puede ser usado elmetodo en un caso particular. No pretendemos desarrollar un modelo nuevo yes por esto que hemos usado la ecuacion logıstica (o cuadratica) que aparece enmuchos modelos economicos de la literatura en dinamica economica reciente.

Un ejemplo

En esta seccion (y con el unico fin de ilustrar la utilidad del metodo) presenta-mos un ejemplo de representacion simbolica del modelo logıstico con dos re-gımenes. En realidad no vamos a describir el modelo sino que usaremos lafuncion logıstica que aparece en muchos modelos de dinamica economica. EnSordi (1996) se puede encontrar una revision muy completa de la literatura enteorıa del caos y dinamica economica donde la ecuacion final de los modelos sereduce a una ecuacion logıstica.

Figura 4: El grafico de la funcion logıstica fλ(x) = λx(1 − x) cuando λ4.

Sea fλ : [0, 1] → [0, 1] definida por fλ(x) = λx(1 − x) la funcion logıstica,donde λ es un numero real positivo mayor que 4.26 En la figura 4 presentamosel grafico de fλ.

La funcion es creciente en el intervalo I0 = [0, 1/2) y decreciente en I1 =(1/2, 1], lo que nos da un criterio matematico para dividir en estos dos regı-menes, que seran representados por los numeros 0 y 1 respectivamente. Sea

26 Trabajamos con los valores de mayores que 4 para no hacer tediosa la discusion delejemplo que pretende solamente ser ilustrativo del metodo de representacion de la dinamica

de regımenes.


x un punto del intervalo [0, 1]; de acuerdo al criterio descrito en la seccionanterior a x le asociamos la sucesion S = (Sn)n∈N ∈ 0, 1N eligiendo Sn = 0si (fλ)n(x) ∈ I0 y Sn = 1 si (fλ)n(x) ∈ I1. Es claro que hay puntos deldominio de fλ cuya imagen no pertenece al intervalo [0, 1] por lo que debemosrestringir el dominio de nuestra funcion. Vamos a tomar como dominio delsistema dinamico el conjunto de puntos cuya orbita permanece siempre en elintervalo [0, 1]; esto es,

Λ = x ∈ [0, 1]/fnλ (x) ∈ [0, 1] para todon ≥ 0.

Notese que el conjunto Λ es invariante bajo fλ.27 Sean 0, 1N =∑

2 el es-pacio shift total de todas las sucesiones simbolicas definidas en el alfabeto 0, 1y σ :

∑2 →

∑2 la funcion shift dada por σ((Sn)n∈N ) = (Sn+1)n∈N ; queremos

mostrar que para los valores de λ mayores que 4, los sistemas dinamicos (Λ, fλ)y (σ,

∑2) son topologicamente conjugados. Para esto consideramos la funcion

de simbolizacion π. Λ →∑

2 definida del modo siguiente: si x ∈ Λ , la sucesionπ(x) = S = (Sn)n∈N ) = S0S1S2S3 . . . ∈

∑2 = 0, 1N verifica que para todo

numero natural n es Sn = 0 si f(x)n(x) ∈ I0 y Sn = 1 si f(x)n(x) ∈ I1.Podemos ahora enunciar el resultado que permite representar la dinamica deregımenes del modelo:28

Proposicion:La funcion π: Λ →∑

2 es una conjugacion topologica entrelos sistemas dinamicos (Λ, fλ) y (

∑2, σ). Esto es,

a) π es biyectiva,b) π es continua,c) π−1 es continua, yd) πo fλ = σoπ.

De aquıse deduce que la dinamica de regımenes de la funcion logıstica conlos dos regımenes elegidos esta representada por el shift total con dos sımbolosy por lo tanto el grafo dirigido o la matriz de adyacencia de la figura 3 dan unaespecificacion de las posibles sucesiones de regımenes que se pueden dar en elmodelo.

27 El conjunto de los puntos cuya orbita permanece en el intervalo [0,1] es un conjuntode Cantor. Ver Brida (2000) para una demostracion de este resultado. Este conjunto tienemedida de Lebesgue cero y por lo tanto casi todo punto del intervalo [0,1] deja el intervaloluego de un numero finito de iteraciones. A pesar de ser un conjunto “pequeno”, contiene

todas las orbitas interesantes de f?.28 Brida (2000) para una demostracion de los resultados enunciados en esta seccion.


Figura 5: Grafo de transicion y matriz de adyacencia que representan la dinami-ca simbolica de la funcion logıstica fλ(x) = λx(1−x) cuando λ4. Un cero en laentrada ij significa que no hay una flecha de i a j y un uno que hay una flechade i a j, donde i, j = 0, 1.

Observacion: Esta division en dos regiones del dominio es un ejemplo deuna particion de Markov y en este caso cada punto de se puede identificar conuna sucesion simbolica de ceros y unos. El uso de la dinamica simbolica en esteejemplo manifiesta todo su poder ya que obtenemos una conjugacion topologicaentre la funcion logıstica y el shif total de tipo finito en dos sımbolos. Por lotanto la dinamica de regimenes del modelo es comparable a la generada por unacadena de Markov con dos estados y probabilidades de pasaje entre los estadosiguales a 1/2.

4. Conclusiones

Este trabajo esta escrito en la filosofıa de que las observaciones y medicioneshumanas de los fenomenos economicos se llevan siempre a cabo con precisionfinita. Esta precision se afina con el avance de la ciencia, pero nunca podraalcanzar un estado de exactitud absoluta. No es posible atrapar un procesoeconomico en todos sus detalles y conexiones y debemos focalizarnos en uncierto nivel de observacion. Por otro lado, el objetivo de nuestras observacionesy mediciones es la construccion de conclusiones rigurosas acerca de la ley y delas propiedades basicas del proceso economico en estudio. El balance entre pre-cision finita y conclusiones rigurosas puede ser alcanzado por intermedio de unadescripcion gruesa de la dinamica y la dinamica de regımenes que intentamosrepresentar en este trabajo no es mas que eso, una descripcion gruesa de ladinamica del proceso en estudio.

El metodo simbolico de representacion de la dinamica de regımenes quehemos introducido reproduce la evolucion de una economıa desde el punto devista de los cambios de regimen como una sucesion temporal de sımbolos. Elpunto de partida del metodo es la division del espacio de los estados de unaeconomıa en un numero finito de regiones llamadas regımenes y considerarexplıcitamente la dinamica de pasaje de un regimen a otro. A partir de estadivision y de la codificacion de los regımenes se obtiene una dinamica simbolicaa la que, en principio, se le pueden aplicar los instrumentos matematicos desa-rrollados en la teorıa de los sistemas dinamicos simbolicos. Uno de los meritosdel metodo es la posibilidad de representar en algunos casos la dinamica deregımenes mediante grafos dirigidos y traducir propiedades algebraicas de lamatriz adyacente en propiedades de la dinamica de regimenes. Asimismo, elmetodo puede ser aplicado para el estudio de la dinamica de regımenes deuna economıa real pues a partir de las series temporales de datos y un criterioprefijado para la division del espacio de los estados de la economıa en regımenes,


podemos codificar las series temporales transformandolas en series temporalessimbolicas. Estas series simbolicas pueden luego estudiadas mediante tecnicasestadısticas que permiten, entre otras cosas, hacer estudios comparativos de lasdinamicas de cambio de regımenes de distintas economıas y la calibracion demodelos teoricos a partir de los datos de modo tal que la dinamica de cambiode regımenes observada y la del modelo sean suficientemente cercanas.29

29 En Brida (2000) y (2006b) se encuentra el desarrollo teorico y aplicaciones del analisis

de series temporales simbolicas para modelos economicos con multiples regımenes.


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Un arbol de expansion mınima en la

Bolsa Mexicana de Valores

Linda Margarita Medina Herrera†

Ricardo Mansilla Corona††

Recibido 11 de enero 2007, Aceptado 28 de enero 2007

Resumen

En este artıculo se muestra la taxonomıa economica de un arbol de expansionmınima obtenido a partir de una matriz de correlacion formada con los rendi-mientos diarios de 65 acciones comercializadas en la Bolsa Mexicana de Valoresen un periodo de 8 anos y se realiza una clasificacion del riesgo y rendimientode estas acciones dependiendo de sus distancias en el arbol al vertice central(centro de masa).

Abstract

This paper exhibits the economic taxonomy of a minimal spanning treeconstructed from the correlation matrix of daily returns of 65 stocks traded atthe Bolsa Mexicana de Valores during a 8-year trading period. This paper alsomakes a classification of the risk and returns of these stocks depending on hisdistances in the tree to the central vertex (mass center).

Clasificacion JEL: C49, G11

Palabras clave: Arbol de expansion mınima, matrices de correlacion, analisis de portafolios

1. Introduccion

En este artıculo se quiere mostrar que el concepto de arbol tiene aplicacionespotenciales en el analisis de mercados financieros, en particular, en la BolsaMexicana de Valores (BMV). En este documento se analizara la correlacionde los rendimientos de las principales acciones que cotizan en la BMV, usandoarboles de expansion mınima, un novedoso metodo que ha tenido aplicacionesimportantes en los ultimos anos. Los arboles nos permiten visualizar de unamanera muy especial la estructura de correlacion del mercado.

† Departamento de Matematicas, Tecnologico de Monterrey, Campus Ciudad de Mexico,Calle del Puente 222, Col. Ejidos de Huipulco, Del. Tlalpan, 14380 Mexico, D.F., E-mail:

[email protected], Oficinas 1, Piso 2, Tel: +52(55)54832191

†† Centro de Investigaciones Interdisciplinarias, Torre II de Humanidades, 4to piso.UNAM,

Mexico 04510, D.F., E-mail: [email protected]

Un arbol de expansion mınima 117

Un arbol de expansion mınima es una red con caracterısticas especiales,que conecta todos los vertices de una grafica sin formar lazos. Recientementese ha venido prestando mucha atencion al estudio de las propiedades topolo-gicas de las redes. En particular, se ha mostrado que muchos sistemas na-turales y sociales presentan propiedades estadısticas inesperadas de relacionesque conectan diferentes elementos del sistema y que no pueden ser descritascon graficas aleatorias. Investigaciones recientes muestran propiedades de redesque describen sistemas fısicos y sociales como el sistema de World Wide Web,Internet y redes sociales.

La nocion de arbol de expansion mınima proviene de la teorıa de grafos,en el ambiente de mercados financieros este concepto fue introducido por Man-tenga, Bonano y otros (1989) como un metodo para encontrar arreglos jerarqui-cos de acciones a traves del estudio de conglomerados de companınas, usandolas correlaciones de los rendimientos de las acciones. Bonano (2004) lo em-plea para investigar no solo las acciones de un portafolio, sino tambien ındicesfinancieros y volatilidad.

Con una metrica apropiada, basada en la matriz de correlacion, se de-fine un grafo totalmente conectado donde los nodos son companıas o accionesy las distancias entre ellas son obtenidas de sus correspondientes coeficientesde correlacion. Onnela, Chakraborti, Kaski y Kertesz (2002) analizan arbolesdinamicos, esto es, con ventanas en el tiempo, para mostrar que los activosdel portafolio optimo de Markowitz estan practicamente todo el tiempo en lasramas externas del arbol. En Onnela, Chakraborti, Kaski y Kertesz y otros(2003) se usa el concepto de vertice central, escogiendo el nodo mas fuerte-mente conectado del arbol y definen una medida importante, el ”promedio delnivel de ocupacion” que durante las caıdas del mercado aparece con un valormuy bajo.

En este artıculo se muestra la construccion y taxonomıa de un arbol deexpansion mınima obtenido a partir de una matriz de correlacion formada conlos rendimientos diarios de 65 acciones comercializadas en la Bolsa Mexicanade Valores. Se mostrara cual de las 65 empresas seleccionadas para este estudioes la empresa que puede representar el papel de centro de masa del arbol,permitiendonos clasificar el riesgo y rendimiento de las demas dependiendo desu distancia al mismo.

En la seccion 2 se dara una breve revision del concepto de arbol de ex-pansion mınima y su uso en la optimizacion de portafolios. En la seccion 3se muestra el arbol de expansion mınima empırico, su taxonomıa economica,el centro de masa y la clasificacion riesgo/rendimiento de las 65 acciones deacuerdo a su posicion relativa al vertice central.

2. Arboles de expansion mınima

Un arbol de expansion es una grafica de N objetos (vertices o nodos) unidospor N − 1 arcos que permiten ir de un vertice a cualquier otro vertice. Si cadaarco representa una distancia o costo, o en general si a cada arco se le asocia unpeso (numero real), la suma de los pesos de todos los lados de un arbol, sera elpeso total del arbol. Un arbol de expansion mınima es un arbol de expansioncuyo peso total es el mınimo posible entre todos los arboles de expansion conlos mismos vertices. En este artıculo los vertices del arbol son las empresas(acciones) y los arcos representan las distancias entre las acciones, obtenidas a


partir de cada coeficiente de correlacion de acuerdo con la formula

dij =√

2(1 − ρij)

que es una distancia metrica que relaciona el activo i y el activo j. Debido aque 1 ≤ ρij ≤ 1, se tiene que 0 ≤ dij ≤ 2. Note que si dos acciones estanperfectamente correlacionadas (rij = 1) la distancia entre ellas es 0, si estan“anticorrelacionadas” (rij = −1) su distancia es 2.

2.1 El Promedio de ocupacion y el vertice central

Es importante caracterizar la forma en que se extienden los nodos en el arbol.Para ello, se define la cantidad “promedio de ocupacion” l(νc) ası:

l(νc) =1

N

N∑

i=1

niv(νi)

donde niv(νi) es el nivel del vertice νi. Los niveles, (no confundirlos con la dis-tancia dij entre los nodos) se miden con relacion a un vertice especial, llamadoel vertice central νc, cuyo nivel se toma como cero. El niv(νi) sera la sumade los arcos que hay que pasar para ir de νi a νc. El promedio de ocupacionindica que tanto se extienden las ramas del arbol. Un valor alto de l(νc) reflejauna estructura de mercado muy fina, mientras que en el otro extremo valoresbajos se asocian con crisis en el mercado (las ramas del arbol se contraen). Elvertice central νc es considerado como el padre de todos los vertices del arbolo tambien como la raız del mismo. Este se usa como punto de referencia en elarbol, contra el cual la posicion de los demas vertices es relativa.

Hay un poco de arbitrariedad en la eleccion del vertice central, sin embargolos siguientes criterios pueden ayudar a escoger al mejor candidato:

i) Es el vertice que tiene mas nodos conectados, esto es, el vertice con mayornumero de vecinos. El numero de vecinos se conoce como el grado delvertice.

ii) Es aquel cuya suma de los coeficientes de correlacion de los vertices vecinoses maxima. Este criterio se conoce como el peso del vertice.

iii) Es el vertice que produce el valor mas bajo del promedio de ocupacion,esto es, el centro de masa.

Intuitivamente hablando, es muy probable que los tres criterios coincidan.Un vertice con un grado de vertice alto, el vertice central en particular, cargamucho peso alrededor de el (los nodos vecinos), quienes a su vez pueden estaraltamente conectados con otros y asısucesivamente.

2.2 Arboles de expansion mınima y analisis de portafolios

En esta seccion se presenta una breve introduccion a la aplicacion de los arbolesde expansion mınima en el analisis de portafolios.


Sea P un portafolio de Markowitz con pesos de los activos w1, w2, . . . , wN .En el esquema clasico de optimizacion del portafolio de Markowitz, los activosfinancieros se caracterizan por su riesgo y rendimiento promedio, donde el riesgoasociado con un activo se mide con la desviacion estandar. Usualmente se reali-za la optimizacion de Markowitz usando datos historicos. La idea es optimizarlos pesos de los activos de tal forma que el riesgo del portafolio sea minimizadopara un rendimiento del portafolio rP . Sin embargo, en el marco de arboles deactivos, la tarea es determinar como el activo esta localizado con respecto alvertice central. Sean rm y rM los rendimientos mınimo y maximo de un portafo-lio, respectivamente. El rendimiento esperado varıa entre estos dos extremos,y se puede expresar como

rP,θ = (1 − θ)rm + θrM , 0 ≤ θ ≤ 1.

Se define lP , el “promedio ponderado del portafolio”, de la siguiente manera:

lP (θ) =∑

i∈P

winiv(νi),

donde∑N

i=1= 1. Los activos que minimizan el riesgo de un portafolio se en-

cuentran en las ramas exteriores del arbol, por lo tanto, se espera que arboleslargos (con l grande) tengan mayor potencial de diversificacion, esto es, la opor-tunidad del mercado financiero para eliminar un riesgo especıfico del portafoliode riesgo mınimo (θ) = 0. A medida que se incrementa (θ) hasta llegar a launidad, el riesgo del portafolio en funcion del tiempo empieza prontamente acomportarse muy diferente del promedio de ocupacion l. Consecuentemente, yano es util para describir la diversificacion potencial del mercado. Sin embargo,emerge otro resultado interesante: el promedio ponderado del portafolio lP (θ)decrece cuando θ aumenta su valor. Esto significa que de todos los posiblesportafolios de Markovitz, las acciones del portafolio de riesgo mınimo estanlocalizadas lo mas lejos posible del vertice central, y a medida que se muevehacia portafolios con altos rendimientos esperados, las acciones incluidas en eseportafolio estaran localizadas cerca del vertice central.

3. Construccion y analisis del arbol de expansion mınima

Las series de tiempo que conforman la base de datos para este estudio estanformadas por los precios de cierre diario de 65 empresas que cotizan en la BMV,en el periodo comprendido entre el 19/09/97 y el 06/02/04. Para la eleccionde las empresas y la longitud de la serie se tuvo en cuenta la bursatilidad, ca-pitalizacion y mantenimiento de las mismas. La longitud final de las series esde 1598. Dentro de las 65 empresas seleccionadas para el estudio se encuen-tran representados todos los sectores economicos, las empresas elegidas tienenla mayor bursatilidad de cada sector y juntas representan mas del 85% de par-ticipacion en el IPC y el 100% del ındice Mexico (INMEX). Todas las accionesincluidas han permanecido activas en el periodo seleccionado para el estudio.

A partir de los coeficientes de correlacion rij se construye la matriz dedistancias D cuyas entradas estan dadas por:

dij =√

2(1 − ρij).


Los nodos se conectan siguiendo los siguientes pasos (algoritmo de Kruskal):Se selecciona una accion de manera arbitraria y se conecta a la accion

mas cercana (en terminos de dij) esto es, se conecta al nodo que minimiza elpeso total. Considerando todos los nodos que estan conectados, se encuentra yconecta el nodo mas cercano que no este conectado. Se continua este procesohasta que todos los nodos estan conectados, creando asıun arbol de expansionmınima para la matriz D.

La Figura 1 muestra la grafica del arbol de expansion mınima. El caminomınimo se obtuvo con el algoritmo de Kruskal usando Windqsb y el arbol fuehecho con el software Pajek.

Figure 1Arbol de expansion mınima

Analizando la distribucion de las empresas en el arbol se tiene que:

1. El conglomerado (cluster) mas grande esta liderado por Cemex, empresalıder en la produccion y comercializacion de cemento, concreto y produc-tos relacionados. Todo el sector de minerales no metalurgicos se muevealrededor de Cemex: Apasco, Vitro, Gissa y GCC (cementos Chihuahua).Las empresas de construccion: Geo, Ara, Hogar e incluso ICA, la empresade ingenierıa, procuracion y construccion mas grande de Mexico, tambienpermanecen cerca de Cemex.


2. El segundo conglomerado es el de las empresas de telecomunicaciones, do-minado por Telmex, en este conglomerado se encuentran Iusacell, TelecomCarso y Movil Acces.

3. Las acciones de Wal Mart de Mexico aparecen en las ramas exterioresdel arbol, mostrando cierta independencia del resto del mercado. De lamisma forma aparece Penoles, el mayor productor de plata y oro afinado,Gmodelo, empresa lıder en elaboracion, distribucion y venta de cervezay sorprendentemente Cintra, la empresa que reune las mas importanteslıneas aereas mexicanas y cuyo mayor accionista es el gobierno mexicano.

4. Las acciones de los bancos Bancomer (GFBBB) y Banorte (GFNorte)aparecen unidas en todos los arboles, no asıInbursa, que siempre apareceen otra rama.

5. Las acciones de las televisoras Tvazteca y Televisa se encuentran muy cerca.Del nodo de Televisa se desprende no solamente Tvazteca sino tambien lasacciones de Kofl (Coca-cola) y Cel (Iusacell).

En arboles de acciones altamente capitalizadas en mercados financierosde Estados Unidos , los conglomerados formados por sectores economicos sonmuy claros, no asıen este arbol del mercado mexicano, donde los unicos con-glomerados por sector economico son: el de minerales no metalurgicos y el detelecomunicaciones.

La siguiente figura muestra las empresas alrededor de Cemex. Entre lascuales encontramos a Femsa, Televisa, Gfbb, Gcarso, Bimbo y los conglomera-dos de construccion y de minerales no metalurgicos.

Figura 2Cemex: el vertice central en el arbol

El criterio del grado del vertice nos deja a Cemex como la empresa con masvecinos, con un total de 23, seguido por Telmex con 7. El criterio del peso delvertice nos da como resultado: en primer lugar Cemex con 25.0354 y segundo


lugar Telmex con 5.3976. Por ultimo, el promedio de ocupacion mas bajo loobtuvo Cemex, quedando de manera indiscutible como vertice central. Es muyinteresante comparar los resultados de Cemex con el que se podrıa esperar quefuera el vertice central: Telmex. Ademas de tener un grado del vertice muchomayor que Telmex (23 vrs 7), Cemex cuenta con un peso del vertice casi 5 vecesmayor que el de Telmex (25.03 vrs 5.3), los vecinos de Cemex suman un totaldel 25% de la participacion del IPC contra un 5% de Telmex, esto sin contarsus participaciones propias.

Figura 3Los vecinos de Telmex

Figura 4Distancias medidas desde Cemex


La existencia de un centro significativo en el arbol no es un asunto trivialy menos el hecho de que este coincida con el centro de masa. Partiendo delvertice central νc =Cemex se construye el nivel nivνi del vertice νi que mide ladistancia de una empresa (accion) a Cemex.

La Figura 4 muestra las distancias entre los nodos del arbol de expansionmınima. Con ellas se construye el nivνi que es la distancia total en el arbolentre el vertice νi y Cemex.

Como se ha visto, las acciones del portafolio de riesgo mınimo estan locali-zadas lo mas lejos posible del vertice central. Estas resultan ser: Las hotelerasCid Mega y Posadas, la minera Penoles, Waltmart de comercio y Cintra detransporte aereo. A medida que se mueve hacia portafolios con altos rendimien-tos esperados, las acciones incluidas en ese portafolio estan localizadas cerca delvertice central: Cemex, Ica, Apasco, Maseca, Gfbbb y Femsa entre las 23 querodean el vertice Cemex.

El “promedio de ocupacion” l(Cemex) es:

l(Cemex) =1

65

65∑

i=1

niv(νi) = 2.14

En las bolsas financieras americanas el promedio de ocupacion oscila entre3 alcanzado en 1986 y 9.5 en 1994, manteniendose la mayorıa del tiempo porencima de 4. El valor 2.14 nos muestra que aunque el mercado mexicano noesta en crisis, es aun un mercado en desarrollo, uno donde el comportamientodel sistema es todavıa muy homogeneo.

4. Conclusiones

El arbol de expansion mınima ha mostrado ser un instrumento eficaz para vi-sualizar la distribucion de las acciones mas importantes de la Bolsa Mexicanade Valores y para filtrar informacion economica y financiera de la matriz de co-rrelacion. Al utilizar la longitud del arbol como una manera de medir la diversi-ficacion del mercado (una de las formas de eliminar el riesgo sistematico) medi-ante ”el promedio de ocupacion” se encuentra que aunque el mercado mexicanono esta en crisis, es aun un mercado en desarrollo, donde el comportamientodel sistema es todavıa muy homogeneo. Para apoyar esta conclusion se puedeobservar que a diferencia de los mercados americanos, donde los conglomera-dos por sectores economicos son claramente identificables, el arbol de la BMVsolo presenta dos: el de Minerales no Metalurgicos, liderado por Cemex y el deTelecomunicaciones, liderado por Telmex.

El arbol permite mostrar una clasificacion del riesgo de las acciones inclu-idas en el estudio, mostrando su distancia relativa al vertice central (Cemex)que en este caso coincide con el centro de masa del arbol (Fig 3).

La contribucion fundamental de este trabajo es mostrar una alternativa ala teorıa de Markowitz para la formacion de un portafolio optimo. De todos losposibles portafolios de Markovitz, las acciones del portafolio de riesgo mınimoestan localizadas lo mas lejos posible del vertice central y a medida que se pasahacia portafolios con altos rendimientos esperados, las acciones incluidas en eseportafolio estaran localizadas cerca del vertice central.

Futuros estudios pueden partir de este artıculo. Parece interesante analizarlos cambios en la estructura de arboles de expansion mınima en la BMV que


pueden darse al cambiar las ventanas de tiempo. Esto es, construir arbolesdiarios, semanales, mensuales o con la frecuencia que los datos permitan (arbolesdinamicos) y comparar los vertices centrales y los promedios de ocupacion, entreotras cosas. De la misma forma se puede construir arboles con activos diferentes(no solo acciones), inclusive con los activos que componen un portafolio paraanalizar su eficiencia. Los arboles construidos a partir de series de volatilidadtambien parecen ser interesantes.

Finalmente, el arbol de activos se puede ver como una poderosa herramien-ta grafica, pues aunque parece estar fuertemente reducido, contiene informacionesencial del mercado y se puede usar para anadir un juicio subjetivo al problemade optimizacion de un portafolio.

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Capacidades y estrategia competitiva:

propuesta de un modelo para su desarrollo

dentro de un sector

Irazu de la Cruz Gomez†

Recibido 29 de noviembre 2006, Aceptado 31 de julio 2007

Resumen

La busqueda de competitividad por parte de los sectores y de las empresasproviene inherentemente del afan de supervivencia. Esto puede lograrse a travesdel desarrollo de capacidades y estrategias competitivas. El objetivo de estetrabajo es examinar las capacidades de innovacion y tecnologıa, las capacidadesde administracion y las capacidades de recursos humanos articuladas con las tresestrategias competitivas genericas. En el documento se propone un modelo dedesarrollo de capacidades por medio de las estrategias competitivas de liderazgototal en costos, diferenciacion y enfoque o alta segmentacion.

Abstract

The search of competitiveness on the part of the sectors and companies comes in-herently from the survival eagerness. This can be obtained through the develo-pment of capabilities and competitive strategies. The objective of this work is toexamine the innovation and technology capabilities, administration capabilitiesand human resources capabilities with the three generic competitive strategies.In this document, I propose a capabilities model of development through treecompetitive strategies which are: Total leadership in costs, dierentiation andapproach or focus in segmentation.

Clasificacion JEL: M10.

Palabras clave: Administracion de Negocios

1. Introduccion

Los recursos son el corazon de las empresas y de la teorıa basada en recursos. 1

Esta teorıa posee una gran influencia y explica como las ventajas competitivasde las organizaciones son obtenidas (Eisenhardt y Martin, 2000).

† Candidata a Doctorado en Ciencias Administrativas por el ITESM, Campus Ciudad deMexico. Direccion: Tecnologico de Monterrey, Campus Ciudad de Mexico. Calle del Puente222, Col. Ejidos de Huipulco, C.P. 14380, Tlalpan, Mexico D.F. Telefono: +52 (5 5)54831305.

Correo electronico: [email protected] En Ingles conocida como Resource Based View.

126 Capacidades y estrategia competitiva: propuesta de un modelo. . .

En particular dicha teorıa atribuye el desempeno superior de las organizacionesa los recursos y capacidades que la firma posee (Teece, 1980; Wernerfelt, 1984;Barney, 1991; Peteraf, 1993).

En esta perspectiva predomina el enfoque hacia las caracterısticas estruc-turales de un sector que da forma a las fuerzas competitivas las cuales generanla dinamica de las capacidades en los sectores donde participan las empresas, ytoma como unidad de analisis la industria. (Porter, 1985 y 1990).

Para generar estas capacidades se han desarrollado diferentes estrategiasque involucran sectores articulados y vinculados que les permita competir dentroy fuera de su entorno. La busqueda de competitividad por parte de los sectoresy de las empresas proviene connaturalmente de la supervivencia del sector y losnegocios que la integran, lo cual determina en gran medida su permanencia enel mercado, por ello, el objetivo de este documento es proponer un modelo quearticule el desarrollo de capacidades y la estrategia competitiva dentro de unsector.

2. Capacidades

El termino de capacidades se ha desarrollado en las ultimas decadas bajo elcobijo de la teorıa de la vision basada en recursos.En la literatura sobre capaci-dades es posible identificar dos escuelas de pensamiento:

1. Teorıa basada en recursos (Penrose, 1959; Richardson, 1972; Wernerfelt,1984; Barney, 1991; Peteraf, 1993).

2. Teorıa de capacidades dinamicas (Teece, Pisano y Shuen, 1997; Eisenhardy Martin, 2000).

La primera, sigue el trabajo de Richardson (1972) y se enfoca al estudiode las actividades en las organizaciones. En esta corriente las descripciones decapacidades tienen que ver con actividades (Penrose, 1959; Zander y Kogut,1995), flujos (Dierickx y Cool, 1989), conocimientos (Leonard-Barton, 1992),rutinas (Collis, 1994), procesos (Amit y Shoemaker, 1993; McEvily y Zaheer,1999) o habilidades (Day, 1994) que al ser ejecutadas aseguran una ventajacompetitiva en la organizacion (Peteraf, 1993).

La segunda escuela de pensamiento enfatiza la flexibilidad y cambios na-turales de los procesos organizacionales como respuesta al entorno (Zollo yWinter, 2001; Teece et. al., 1997; Eisenhart y Martin, 2000). La definicion decapacidades dinamicas esta relacionada a la habilidad de integrar, construir yreconfigurar rapidamente recursos internos y externos conforme existen cambiosen el ambiente laboral (Teece, Pisano y Shuen, 1997).

Ambas escuelas poseen un destacable punto en comun: Las capacidadesrepresentan una habilidad de la empresa para combinar eficientemente un nu-mero de recursos en una actividad productiva con el proposito de alcanzar unobjetivo especıfico o una ventaja competitiva (Amit y Schoemaker, 1993). Paraalcanzar el objetivo de este estudio definimos a las capacidades como:

Un conjunto de conocimientos (Leonard-Barton, 1992), procesos (Amit ySchoemaker, 1993; McEvily y Zaheer, 1999; Yeoh y Roth, 1999), actividades(Zander y Kogut, 1995) rutinas (Verona, 1999) o habilidades (Day, 1994) queal ser ejecutadas aseguran una ventaja competitiva en la organizacion (Peteraf,1993).

Irazu De La Cruz Gomez 127

La clasificacion de capacidades que se utilizara en este documento com-prende tres areas2 :

1. Capacidades de Innovacion y tecnologıa: Se integra por las capacidadestecnologicas y las capacidades de produccion.

2. Capacidades de Administracion: Compuesta por el conjunto de capaci-dades comerciales, capacidades financieras y capacidades logısticas.

3. Capacidades de Recursos Humanos: Formada por la capacidad laboral

3. Estrategia competitiva

Toda empresa que compite en un sector posee una estrategia competitiva, yasea explıcita o implıcita. Esta estrategia puede ser desarrollada explıcitamentemediante un proceso de planeacion o bien, puede originarse en forma implıcitaa traves de la actividad agregada de los diferentes departamentos funcionalesde la empresa (Porter, 1982). En este sentido, el termino capacidades de laorganizacion es fundamental en las organizaciones que compiten en un sectorpara generar sus estrategias competitivas.

El desarrollo de capacidades en un sector industrial depende en gran me-dida de la estrategia competitiva que se implemente en el sector. Existen en lossectores tres estrategias competitivas genericas (Porter, 1985):

1. Liderazgo total en costos: Esta estrategia fue muy comun en la decadade los anos setenta debido a la popularizacion del concepto de la curvade experiencia. El liderazgo en costos requiere de la construccion agresivade instalaciones capaces de producir grandes volumenes en forma eficiente,de vigoroso empeno en la reduccion de costos basado en la experiencia,de rıgidos controles de costo y de los gastos indirectos, evitar las cuentasmarginales, y la minimizacion de los costos en areas como investigacion ydesarrollo, servicio, fuerza de ventas, publicidad etcetera. (Porter, 1982).

2. Diferenciacion: La segunda estrategia generica consiste en la diferenciaciondel producto o servicio que ofrece la empresa, creando algo que sea per-cibido en el mercado como unico. Los metodos para la diferenciacionpueden tomar muchas formas: Disenos o imagen de marca, tecnologıa van-guardista, servicio al cliente, cadena de distribuidores entre otras. La dife-renciacion, si se logra, es una estrategia viable para devengar rendimientosmayores al promedio en un sector debido a que proporciona un aislamientocontra la rivalidad competitiva, es decir, genera una lealtad de los clienteshacia la empresa. (Op. Cit.)

3. Enfoque o alta segmentacion: La ultima estrategia generica consiste encentrarse en un grupo de compradores en particular, en un segmento de lalınea del producto, o en un mercado geografico. La empresa que logra unaalta segmentacion tambien esta en condiciones de alcanzar rendimientosmayores al promedio de su sector. (Porter, 1982).

2 Para profundizar en esta discusion acerca de las clasificaciones de las capacidades puederevisarse el trabajo de De La Cruz, Morales y Carrasco (2006): Construccion de un instru-mento de evaluacion de capacidades en la empresa: una propuesta metodologica; Ponenciapresentada en el X Congreso Anual de Investigacion en Ciencias Administrativas ACACIA,SLP, Mexico. Tambien se puede ver ahondar en el tema en el trabajo presentado por De LaCruz y Morales (2006): Desarrollo de capacidades en la pequena, mediana y gran empresa deMexico: Un estudio empırico exploratorio; Ponencia presentada en el XI Foro de Investigacion

Congreso Internacional de Contadurıa, Administracion e Informatica ANFECA, Mexico D.F.


4. Capacidades y estrategia competitiva: Hacia un modelo para suarticulacion y desarrollo

Hasta ahora hemos definido por separado que es una capacidad, que tipode capacidades se evaluaran para formular el modelo y cuales son las estrategiascompetitivas existentes. En este apartado se expondra como cada uno de losconjuntos de capacidades tiene diferente prioridad en su desarrollo de acuerdoal tipo de estrategia competitiva que se implemente en el sector. Es importanteno perder de vista que el desarrollar un area afecta en mayor o menor grado eldesarrollo de las otras.

Capacidades y estrategia competitiva de liderazgo total en costos

Para implementar una estrategia de liderazgo total en costos es imprescindiblelograr altos niveles de eficiencia en todos los procesos que desarrolla el sector ylas empresas que lo integran. En terminos de las capacidades en innovacion ydesarrollo tecnologico es necesario que el sector domine las tecnicas de manufac-tura de clase mundial lo que le permitira eficiencia en los procesos productivos.

Asımismo, se deben desarrollar las capacidades de administracion, y orien-tarse al desarrollo de procesos administrativos y de control financiero eficientes.En este rubro la capacidad mas importante a desarrollar es la de comercia-lizacion que debe hacer posible el convencer al mercado de que la relacion cali-dad/precio de los productos que ofrece el sector son optimos.

El tercer elemento para la implementacion de esta estrategia son las capaci-dades de recursos humanos las cuales deben asegurar que existan trabajadoresflexibles que permitan un mayor grado de automatizacion en el sector. El cuadro1 explica esta interaccion.

Cuadro 1: Interaccion de las capacidades y la estrategia competitiva


Estrategia competitiva de diferenciacion y capacidades

Para articular la estrategia competitiva de diferenciacion se debe, en lascapacidades de innovacion y tecnologıa, optimizar los procesos asıcomo generarinnovaciones en los productos que dicten las nuevas tendencias del sector.

En cuanto a las capacidades de administracion se debe preparar al mercadoy educar a los consumidores para que estos adopten las diferencias como un valoragregado. En lo que se refiere a las capacidades de recursos humanos se debetener un fuerte enfoque a la calidad tanto en los productos como en los servicios.

Para que se alcance lo anterior, el mayor enfasis debe ponerse en el de-sarrollo de las capacidades de innovacion y tecnologıa. Es fundamental unamayor articulacion de las empresas con las instituciones de Educacion Superiorlocalizadas en la region donde se ubique el sector.

Si bien lo anterior es un elemento necesario, este no es suficiente, debeexistir un elemento coordinador de los esfuerzos, que interactue con los centrostecnologicos, las instituciones de educacion superior, los empresarios, es decircon todos los actores involucrados y que pueda orientar el rumbo y los esfuerzosde todos ellos. Este papel corresponde a las camaras empresariales, las cualespueden desarrollar esta tarea debido al conocimiento que tienen sobre el sectorEl cuadro 2 muestra la interaccion entre las areas de desarrollo de capacidadesy la estrategia competitiva de diferenciacion


Estrategia competitiva de enfoque o alta segmentacion y capacidades

Las actividades que debe realizar el sector para implementar una estrategiacompetitiva de enfoque o alta segmentacion son: Dentro de las capacidades de


innovacion y tecnologıa se debe implementar en el sector sistemas de manufac-tura agiles que den una rapida respuesta a las oscilaciones del mercado; ademasdel desarrollo de sistemas para productos especıficos. En terminos de las capaci-dades de administracion se deben generar sistemas administrativos y financieroslivianos que desarrollen relaciones con clientes especıficos para comprender susnecesidades y ofrecer soluciones a ellas. Para las capacidades laborales se debepermitir que los trabajadores realicen innovaciones en los procesos, asıcomorealzar el compromiso con la calidad y el servicio que se entregan al mercado.

Es util mencionar que el mayor enfasis debe ser puesto en el desarrollode las capacidades administrativas puesto que, en este rubro es importante laimplementacion de sistemas de informacion y monitoreo del mercado, ademasde medios de comunicacion bidireccionales con los clientes asıcomo la imple-mentacion de sistemas de control administrativo y financiero. El cuadro 3muestra esta interaccion.


En el cuadro 4 mostramos el resumen de las acciones a seguir dependiendode las estrategias que puede implementar el sector.

Es importante mencionar que existen tres consideraciones para la imple-mentacion de un programa que articule las tres areas de capacidades y las tresestrategias competitivas en un sector:

1. Es necesario definir un organo coordinador de las actividades a realizar elcual debe contar con el reconocimiento de los empresarios, el conocimientodel sector y el compromiso de conducir a buen termino el programa. Paraejercer esa coordinacion se puede pensar en las camaras empresariales delsector.


2. Es necesario analizar que tipo de empresas son las que componen al sectormayoritariamente. Con base en esta informacion es conveniente enfocar eldesarrollo de las capacidades a ese tipo de organizaciones (empresas micro,pequenas, medianas o grandes).

3. Por ultimo es necesario establecer una permanente evaluacion del desarrollode las capacidades dependientes a cada lınea estrategica. Esta evaluacionpermitira una retroalimentacion que verifique el cumplimiento de los obje-tivos y de la estrategia competitiva implementada.

Cuadro 4: Tipos de Estrategias y Capacidades

El cuadro 5 muestra el modelo global de desarrollo de capacidades y estrategiascompetitivas para un sector.


Cuadro 5: Modelo para el desarrollo de capacidades con estrategias competitivas

5. ConclusionesEl modelo propuesto para el desarrollo de capacidades a traves de estrategiascompetitivas puede llegar a ser de suma utilidad para los sectores al aseguraruna permanencia en los mercados. Para la implementacion del modelo de desar-rollo de capacidades es necesario que primero se defina la estrategia competitivadel sector . Los pasos recomendados son: 1) Definir la estrategia competitivaa seguir. 2) Formalizar el organismo coordinador del programa de desarrollode capacidades del sector 3) Definir a partir de las lıneas estrategicas, las ac-ciones, los recursos y los tiempos de ejecucion del proceso. 4) Evaluar el gradode desarrollo de las capacidades en el sector. 5) Retroalimentar el programacorrigiendo o reforzando las acciones implementadas.

6. Referencias

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Control optimo estocastico en

una economıa bajo riesgo

e incertidumbre

Francisco Venegas-Martınez†

Roberto Ballinez-Ambriz††

Recibido 12 de abril 2007, Aceptado 7 de junio 2007

Resumen

En este trabajo se desarrolla un modelo de control optimo estocastico parauna economıa cerrada con tres sectores: consumidores, empresas y gobierno.Las variables aleatorias que conducen la dinamica estocastica de las variableseconomicas y financieras relevantes siguen procesos de Wiener o movimientosBrownianos. Con base en el modelo propuesto se analizan diferentes aspectosde polıtica monetaria y fiscal y se discuten varias relaciones de equilibrio; comoacumulacion de capital e inflacion.

Abstract

The aim of this paper is to develop a stochastic optimal control model for aclosed economy with three sectors: consumers, firms and government. Therandom variables that drive the stochastic dynamics of relevant economic andfinancial variables follow a Wiener process or Brownian motion. On the basis ofthe proposed model, several aspects of monetary and fiscal policy are analyzedand various equilibrium relations, such as capital accumulation and inflation,are discussed.

Clasificacion JEL: C61, E22, E52, E62

Palabras clave: Analisis dinamico, Polıtica monetaria y fiscal, Crecimiento economico e in-

version, Riesgo inflacionario

1. Introduccion

La independencia del banco central ha sido uno de los principales mecanismospara reducir la inflacion y dar efectividad a la polıtica monetaria, ya que alseparar del gobierno la facultad de emitir dinero, se limita la posibilidad de que

† Investigador ESE-IPN. Tel: +52(55)54831878

†† Alumno del doctorado en Ciencias Financieras Tecnologico de Monterrey Campus Ciu-

dad de Mexico.

Control optimo estocastico en una economıa 135

este financie su gasto por esa vıa y genere procesos inflacionarios. Ası, las fluc-tuaciones esperadas en torno de la polıtica monetaria son mınimas, generandoun ambiente donde el componente estocastico de la inflacion se reduce conside-rablemente. En sentido estricto, esto no significa que desaparezca el riesgo, loque significa es que se reduce la varianza de algunos de los determinantes de lainflacion.

La discusion sobre el diseno de la estrategia de polıtica economica, ası comolos instrumentos y mecanismos para desarrollarla, se ha ubicado recientementeen un marco de referencia mas amplio que incorpora el riesgo y la incertidumbre.La estrategia de polıtica economica siempre combina instrumentos de polıticamonetaria (crecimiento de la base monetaria, tasa de interes y regulacion ban-caria) con instrumentos de polıtica fiscal (gasto publico e impuestos), y unapregunta relevante es cual de estos instrumentos genera mayor varianza en laestrategia general.

La globalizacion en los mercados, ası como la creacion de regiones de librecomercio e instituciones internacionales como FMI, Banco Mundial, etc., hanredefinido las reglas y restricciones del desarrollo economico para muchos paıses.En estas condiciones, las estrategias a seguir para estabilizar una economıa nosolo dependen de la incertidumbre interna, sino tamben de la incertidumbreinternacional, ya que la eficacia de los instrumentos de polıtica economica estaen funcion de las relaciones con el exterior, vıa tipo de cambio, flujo de capi-tales y tasas de interes. En sıntesis, las condiciones actuales de una economıaglobalizada plantean la necesidad de marcos teoricos mas sofisticados, capacesde incorporar no solo las relaciones basicas del funcionamiento interno de laeconomıa, sino tambien la incertidumbre en el comportamiento de agentes com-plejos que responden a factores externos de riesgo.

En este trabajo se retoman todas las ideas expuestas anteriormente conel objetivo de desarrollar un modelo de control optimo estocastico para unaeconomıa cerrada. Para ello se consideran tres sectores: consumidores, empresasy gobierno. Por razones tecnicas, el modelo se plantea para una economıacerrada, ya que el hecho de abrirla impone serias complicaciones en el proceso deoptimizacion. Para efectos de modelacion las variables principales evolucionande acuerdo a procesos markovianos de difusion de la forma:

dx = µxdt + σxdz;

donde µ y σ representan la media y varianza de la variable x (veanse, porejemplo, Turnovsky (1999), Giulano y Turnovsky (2003), y Turnovsky y Smith(2006)). Las perturbaciones aleatorias se incorporan en el factor dz, donde zsigue un proceso de Wiener o movimiento Browniano. Con base en este patron elmodelo incorpora elementos estocasticos a la toma de decisiones de los agentes,ademas de considerar de manera especıfica el efecto de la incertumbre fiscaly monetaria y, consecuentemente, sobre las decisiones optimas de los agentes.Al mismo tiempo, aporta un marco mas amplio y mas rico para el analisisde los intrumentos de polıtica economica. El marco de referencia es similaral de Turnovsky (1993) y Venegas-Martınez (2001), (2005), (2006a), (2006b),(2006c) y (2008), en donde se supone una economıa cerrada con las siguientescaracterısticas:


a) Presencia de agentes representativos (consumidores maximizadores de uti-lidad y empresas maximizadoras de beneficios).

b) Todos los procesos estocasticos que modelan los riesgos a los que se exponenlos agentes son generados por movimientos Brownianos.

c) Las medias y varianzas de los procesos estocasticos en cuestion estan rela-cionadas.

El trabajo esta organizado en cinco secciones las cuales presentan una des-cripcion de la economıa, los sectores que la integran, los problemas objetivode cada uno de los agentes y sus soluciones optimas, ası como las relaciones deequilibrio general. Asimismo, se presentan las conclusiones junto con las limita-ciones del modelo propuesto y algunas sugerencias para futuras investigaciones.

2. Consumidores

En este modelo el consumidor representativo tiene un horizonte de vida infinitoy maximiza su utilidad total descontada a una tasa intertemporal subjetiva δ.El consumidor obtiene utilidad del consumo de un bien generico y de la tenenciade saldos reales. A partir de estas consideraciones, los elementos que definen elproblema de maximizacion del agente representativo, son:

a) Restriccion presupuestal. El consumidor posee tres activos: dinero, M ,bonos de gobierno, B, y acciones, S; sujeto a la restriccion presupuestal

M

P+

B

P+ S = W, (1)

donde M/P y B/P indican los acervos reales de dinero y bonos de gobierno,mientras S es el acervo real de acciones. La riqueza real del individuo esdenotada por W .

b) Utilidad Esperada. Dado que el consumidor obtiene satisfaccion del biende consumo, C, y la tenencia de saldos reales, M/P , el objetivo es elegirel portafolio y la cantidad de consumo que maximicen

E0

[ ∞∫

0

U

(

C,M

P

)

e−δtdt

∣

∣

∣

∣

∣

F0

]

, (2a)

donde E0 es la esperanza condicional a la informacion disponible, F0, altiempo t = 0, y U es el ındice de felicidad. Por otra parte, la evolucion dela riqueza sigue la ecuacion diferencial estocastica

dW = W (θ1dRM + θ2dRB + θ3dRS) − Cdt − dT, (2b)

donde

θ1 ≡ (M/P )/W : porcentaje del portafolio en saldos reales,θ2 ≡ (B/P )/W : porcentaje del portafolio en bonos de gobierno,en terminos reales,θ3 ≡ S/W : porcentaje del portafolio en acciones,dRi = tasa de rendimiento real despues de impuesto sobre el activo i,


i = M, B, S,dT = impuestos sobre riqueza.

c) Rendimiento de los activos. Se supone que las tasas nominales de rendi-miento del dinero y de los bonos son cero e i, respectivamente. Asimismo,se supone que el consumidor percibe que los precios evolucionan estocasti-camente de acuerdo con la siguiente ecuacion diferencial estocastica:

dP

P= πdt + dp, (3)

donde πdt es la media esperada de la inflacion en el periodo dt y dp es unfactor estocastico que se distribuye normalmente con media cero y varianzaσ2

pdt. A partir de esta ecuacion y empleando el lema de Ito, se obtienenlas tasas de rendimiento del dinero y de los bonos de gobierno:

i) Para obtener dRM se calcula

dRM =d

(

MP

)

MP

= rMdt − dp, (4a)

donderM = −π + σ2

p.

ii) De manera similar, para obtener dRB se calcula

dRB =d(P−1)

P−1= rBdt − dp, (4b)

donderB = i(1 − τy) − π + σ2

p,

aquı τy es la tasa de impuesto sobre ingresos por intereses ganados.Es importante observar que los rendimientos del dinero y de los bonosse ven afectados con la varianza de la tasa de inflacion.

iii) La tasa de rendimiento de las acciones, despues de impuesto, esta dadapor

dRS = rSdt + du, (4c)

donde du, al igual que dp, es una variable aleatoria, temporalmenteindependiente, que tiene una distribucion normal con media cero yvarianza σ2

udt. La tasa de rendimiento media esperada rS se especificaposteriormente cuando se estudie a la empresa.

d) Impuestos. Ademas de los impuestos τy y τc que se pagan sobre los ingresospor intereses y ganancias de capital, respectivamente, el consumidor pagaun impuesto sobre la riqueza de la forma

dT = τWdt + Wdv, (5)


y al igual que en los casos anteriores, dv es una perturbacion estocastica,que se distribuye normalmente con media cero y varianza σ2

vdt.

Si se sustituyen θ1 en (2a), y (4a), (4b), (4c) y (5) en (2b), y se supone que lafuncion de utilidad del consumidor es de la forma

U = β log C + γ logM

P, β + γ = 1,

el problema de optimizacion del consumidor consiste en elegir C, θ1, θ2 y θ3

que maximicen

Maximizar E0

[ ∞∫

0

[β logC + γ log(θ1W )]e−δtdt

∣

∣

∣

∣

∣

F0

]

(6a)

sujeto a:

dW

W=

(

θ1rM + θ2rB + θ3rS −C

W− τ

)

+ [−(θ1 + θ2)dp + θ3du − dv] (6b)

yθ1 + θ2 + θ3 = 1, (6c)

donde i, π, τy, τc, τ , y las varianzas y covarianzas correspondientes se tomancomo dadas. Para resolver este problema se utiliza la ecuacion de Jacobi-Hamilton-Bellman

0 = maxC,θ1,θ2,θ3

β logC + γ log(θ1W ) − δV (W )

+WV ′(W )

[

θ1(−π + σ2

p) + θ2(i(1 − τy) − π − σ2

p) + θ3rS −C

W− τ

]

+1

2W 2V ′′(W )

[

(θ1 + θ2)2σ2

p + θ2

3σ2

u + W 2σ2

v − 2(θ1 + θ2)θ3σpu

+2(θ1 + θ2)σpvW − 2θ3Wσuv]

sujeta aθ1 + θ2 + θ3 = 1

Para ello, se utiliza el Lagrangiano

L = ∗ + λ(1 − θ1 − θ2 − θ3),


donde ∗ representa la ecuacion de Jacobi-Hamilton-Bellman, definida arriba.Las condiciones de primer orden (o condiciones necesarias) en este caso son:∂L/∂C = 0; ∂L/∂θi = 0, i = 1, 2, 3; y ∂L/∂λ = 0. Equivalentemente,

β

C= V ′(W ), (7a)

γ

θ1

+ WV ′(W )(−π + σ2

p) + W 2V ′′(W )[(θ1 + θ2)σ2

p − θ3σpu + σpv]

− λ = 0, (7b)

WV ′(W )(i(1 − τy) − π − σ2

p) + W 2V ′′(W )[(θ1 + θ2)σ2

p − θ3σpu + σpv]

− λ = 0, (7c)

WV ′(W )rS + W 2V ′′(W )[θ3σ2

u − (θ1 + θ2)σpu − σuv]− λ = 0, (7d)

θ1 + θ2 + θ3 = 1. (7e)

A partir de los coeficientes de correlacion rij se construye la matriz dedistancias D cuyas entradas estan dadas por:

dij =√

2(1 − ρij).

Para resolver este sistema de ecuaciones, se supone que V (W ) es de la forma:V (W ) = b0 + b1 log(W ). Consecuentemente, las dos primeras derivadas deV (W ) son:

V ′(W ) =b1

W

y

V ′′(W ) = −b1

W 2.

Si se sustituyen las dos expresiones anteriores en las condiciones de primer ordeny se elimina λ el sistema de ecuaciones (7a)-(7e) se simplifica considerablemente.En efecto, a partir de (7a) se obtiene

β

C=

b1

W,

de donde

C =βW

b1

.

Asimismo, de (7b) y (7c), se sigue que

γ

θ1

= i(1 − τy)b1,

lo que implica que

θ1 =γ

i(1 − τy)b1

.


Tambien, a partir de (7c) y (7d), y recordando que rB = i(1 − τy) − π − σ2

p, seobtiene

θ3 =(rS − rB) + σ2

p + σpu + σpv + σuv

σ2p + σ2

u + 2σpu

.

Por ultimo, θ2 se obtiene al despejarla de 1 = θ1 + θ2 + θ3. Ahora bien, paraque V (W ) sea solucion, se debe cumplir que b1 = 1

δ, por lo que las decisiones

optimas de consumo e integracion del portafolio de activos del consumidor estandadas por:

C = δβW, (8a)

θ1 =δγ

i(1 − τy), (8b)

θ2 = 1 −δγ

i(1 − τy)−

(rS − rB) + σ2


σ2p + σ2

u + 2σpu

, (8c)

θ3 =(rS − rB) + σ2


σ2p + σ2

u + 2σpu

. (8d)

3. Empresas

En esta economıa, la empresa representativa produce el unico bien que hay en elmercado. Por otro lado, los rendimientos que paga sobre las acciones emitidasesta en funcion de la produccion y de la polıtica de dividendos. De esta forma,los elementos que definen el comportamiento de la empresa son:

a) Tecnologıa. En esta economıa la produccion sigue una trayectorıa definidapor:

dY = νKdt + νKdy, (9)

donde ν representa el producto marginal del capital. Aquı, como en el casodel consumidor, dy sigue un proceso Winer o movimiento Browniano quese distribuye normalmente con media cero y varianza σ2

ydt.

b) Rendimiento sobre acciones. En terminos generales, el rendimiento quepaga la empresa sobre las acciones emitidas se puede definir como:

dRS = (1 − τy)dD

S+ (1 − τc)

ds

s, (10)

donde:

dD = flujo de dividendos,

s = precio relativo de las acciones, en terminos de producto,

τc = impuestos pagados sobre ganancias de capital.

De esta forma, el rendimiento de las acciones tiene dos componentes: losdividendos que se pagan por accion y las ganancias (o perdidas) de capitalque resultan de movimientos en el precio de las acciones al final del periodo.Se analizan cada uno por separado.


c) Ganancias o perdidas de capital. Para conocer la trayectoria que sigueds/s, es necesario analizar el comportamiento de la produccion, el stockde acciones, el capital y la polıtica de inversion de la empresa. Ası, en elequilibrio el stock de acciones es igual al stock de capital existente, porlo que S = K. Ahora bien, si se denota como N el stock de acciones encualquier tiempo t, se debe cumplir que:

sN = K = S, (11)

lo que representa el valor monetario de las acciones emitidas, el capital yel stock de acciones en poder de los consumidores. Si se deriva sN = Ksiguiendo el lema de Ito, se obtiene:

dK = Nds + (s + ds)dN, (12)

es decir, el capital sigue una trayectoria definida por el nivel de accionesen cada momento y los cambios en el precio de estas. Por otra parte,la produccion neta despues de impuestos puede tener dos usos: para pa-gar dividendos o para financiar nueva inversion, RE, entendida como am-pliacion de la capacidad de planta. De esta forma, la trayectoria que sigueel producto despues de impuestos es:

(1 − τp)dY = dD + dRE, (13)

donde τp es el impuesto sobre ingresos corporativos. Ahora, dado que lasempresas pueden financiar nuevo capital emitiendo acciones o reteniendoganancias, la acumulacion de capital enfrenta la restriccion:

dK = (s + ds)dN + dRE, (14)

lo cual indica que el valor del nuevo capital esta en funcion de las ganaciasretenidas y del valor de las nuevas acciones que se venden al precio s + ds.De esta forma, si se sustituyen las ecuaciones (11), (12) y (13) en (14) y sedespeja ds/s, se obtiene:

ds

s=

(1 − τp)dY − dD

s. (15)

Si la ecuacion anterior se sustituye en la expresion del rendimiento de lasacciones (10), se sigue que

dRS = (τc − τy)dD

S+ (1 − τp)

dY

S. (16)

d) Polıtica de dividendos y rendimiento del capital. En este modelo, asumimosque los dividendos que pagan las empresas son una fraccion w del ingresocorporativo despues de impuestos. Es decir, los dividendos adquieren laforma

dD = w(1 − τp)dY , 0 ≤ w ≤ 1. (17)


De esta forma, si se sustituye esta expresion en la ecuacion (16) y se re-cuerda que en el equilibrio K = S, se obtiene la trayectoria estocastica delrendimiento de las acciones en terminos del proceso de difusion que siguenel producto y el stock de capital:

dRS = [1− τc + w(τc − τy)](1− τp)dY

K, (18)

Es importante observar en la ecuacion anterior que el componente es-tocastico esta dado por dY , ya que el resto de las variables son deter-ministas. De manera similar, si se sustituyen (16) en (13), se obtiene latrayectoria estocastica que siguen las ganancias (o perdidas de capital) enterminos de dY y K:

ds

s= (1 − w)(1 − τp)

dY

K.

Como puede observarse, el rendimiento de las acciones varıa directamentecon w, a diferencia de la tasa de ganacias de capital, que lo hace de formainversa. Por ultimo, si se toma en cuenta que en la ecuacion (4c) el cambiomarginal dRS esta en terminos de rS y du, y se desea obtener una expresionsimilar, entonces se sustituye (9) en (18). Ahora bien, si se define τk como elimpuesto promedio que pagan los consumidores por ingresos de dividendosy ganancias de capital, ponderados con w de la forma τk = wτy +(1−w)τc,y si tambien se sustituye esta expresion en (18), se obtiene que:

rS = (1 − τk)(1 − τp)ν, (19a)

du = (1 − τk)(1 − τp)νdy. (19b)

De esta forma, la tasa de rendimiento de las acciones esta en funcion de latasa del producto marginal del capital; y de manera similar, el componenteestocastico du depende de los shocks de productividad derivados de cambiosen ν .

4. Gobierno

En virtud de que el gobierno tiene el monopolio de emision de dinero y, a la vez,emite deuda para financiar su gasto, es necesario analizar los tres principalesinstrumentos de polıtica que emplea: polıtica de gasto, polıtica monetaria ypolıtica de deuda; ademas de la restriccion presupuestal que enfrenta y losingresos derivados de la recaudacion de impuestos.

a) Restriccion presupuestal. De manera similar al caso del consumidor, larestriccion presupuestal del gobierno, expresada en funcion del deficit fi-nanciero en terminos reales, tiene la forma:

dG − dTh − dTf +M

PdRM +

B

PdRB = d

(

M

P

)

+ d

(

B

P

)

(20)

donde:dG = gasto real del gobierno,

dTh = impuesto total recaudado de los consumidores, en terminos reales,


dTf = impuesto total recaudado de las empresas, en terminos reales.

b) Polıtica de gasto. En este modelo el gasto que realiza el gobierno sigue unatrayectoria estocastica definida por:

dG = gνKdt + νKdz, (21a)

donde, al igual que en los casos anteriores, dz es una variable estocasticacon una distribucion normal con media cero y varianza σ2

zdt. De esta forma,el gasto de gobierno esta definido como una fraccion g del producto real.El factor estocastico del gasto, en cambio, es proporcional al producto.

c) Polıtica monetaria. En esta economıa, la regla de crecimiento de la ofertamonetaria sigue un proceso estocastico de difusion de la forma:

dM

M= µdt + dx, (21b)

donde µ es la tasa nominal de crecimiento monetario y dx es el componenteestocastico con distribucion normal con media cero y varianza σ2

xdt.

d) Polıtica de deuda. La deuda que contrata el gobierno se hace vıa emisionde bonos. En este caso, la polıtica de endeudamiento se fija de forma talque el cociente del stock de bonos entre el stock monetario, se mantengaconstante a una tasa λ, que se fija de manera exogena, es decir:

B

M= λ, (21c)

esta relacion resulta de definir el stock de bonos como una proporcion fijadel stock de dinero: B = λM . De esta forma, diferenciando totalmente laecuacion (21c), se tiene la expresion

dB

B=

dM

M,

lo que indica que ambos stocks crecen a la misma tasa. Por lo tanto, elunico recurso para cambiar λ es vıa operaciones de mercado abierto enfuncion de dB = −λdM . Por lo tanto, si λ = 1, la cantidad de deudaemitida, es igual a la cantidad de dinero que se saca de circulacion de laeconomıa; o inversamente, la cantidad que crece la oferta monetaria esigual a la deuda gubernamental que se salda.

e) Recaudacion de impuestos. Finalmente, las cantidades reales de la recau-dacion total del gobierno, dTh y dTf que se aplican a consumidores yempresas, estan definidas por:

i) En el caso de los consumidores, el impuesto total tiene tres compo-nentes: el gravado sobre los intereses que reciben por la tenencia debonos, el de las ganacias de capital y el que se hace sobre el nivel deriqueza (5). De esta forma, las cantidas respectivas son:

dT ih = iτyθ2Wdt,


dT ch = τk(1 − τp)νK(dt + dy),

dT = τWdt + Wdv.

En consecuencia,dTh = dT i

h + dT ch + dT.

ii) En el caso de las empresas, los impuestos se gravan sobre los ingresoscorporativos. Es decir,

dTf = τpdY = τpνK(dt + dy),

donde las tasas τy, τc y τp son exogenamente determinadas.

5. Relaciones de equilibrio

Para encontrar la trayectoria que sigue la acumulacion de capital en esta eco-nomıa, dK/K, se parte de la identidad de la renta nacional, la cual garantizael equilibrio en el mercado de bienes:

dK = dY − dC − dG. (22)

Si se sustituyen en el la expresion anterior las ecuaciones (7a), (9) y (21a)que corresponden a las trayectorias del consumo, la produccion y el gasto degobierno, respectivamente, se obtiene

dK

K=

[

ν(1 − g) −βδ

θ3

]

dt + ν(dy − dz). (23)

De esta forma, la acumulacion de capital sigue una trayectoria estocastica de-terminada por la produccion, el consumo y el gasto de gobierno. Consecuente-mente, el componente no estocastico de esta ecuacion, E[dK/K], esta determi-nado por

φ = ν(1 − g) −βδ

θ3

, (24a)

mientras que el componente estocastico, dk, se deriva de

ν(dy − dz), (24b)

donde dy y dz son los movimientos Brownianos respectivos a la produccion yal gasto de gobierno.

Una vez especificadas las ecuaciones que modelan las decisiones optimasde los agentes, ası como las variables endogenas y exogenas, lo que resta esobtener algunas relaciones de equilibrio. Ahora, dado que en esta economıael stock de capital y las cantidades nominales de bonos y dinero se heredandel pasado, y dado que el stock real de dinero y bonos estan determinadospor los movimientos en el nivel de precios, es necesario, en primera instancia,especificar el comportamiento que sigue la inflacion. Para ello, se parte de lasrelaciones del equilibrio del portafolio de activos, derivadas en el apartado delconsumidor.


A partir de las condiciones de primer orden del consumidor (7a) a (7e),se puede ver que si los activos tienen las mismas caracterısticas estocasticasen el tiempo, entonces las decisiones optimas en cada momento seran iguales.Es decir, corresponderan a un mismo portafolio. De esta forma, mientras lascantidades θ1 , θ2, θ3 ası como la tasa de interes nominal (i), sean endogenas,estas seran no estocasticas en el tiempo. Al considerar un equilibrio con estascaracterısticas y al combinar las condiciones de equilibrio de saldos reales yacciones, θ1 = (M/P )/W y θ3 = S/W , respectivamente, podemos expresar elnivel de precios actual de la forma:

P =θ3

θ1

M

K,

que es una expresion similar a la que corresponde al caso determinista, dadapor P = M/L donde L, indica la demanda de saldos reales.

Si se supone que θ1 , θ2 y θ3 son constantes y se deriva estocasticamente,se tiene

dP

P=

dM

M−

dK

K−

(

dM

M

) (

dK

K

)

+

(

dK

K

)2

.

Si se sustituyen las expresiones (3), (21b) y (23), respectivamente, en dP/P ,dM/M y dK/K, se obtiene la expresion:

πdt + dp = µdt + dx−

[

ν(1− g) −C

K

]

dt − ν(dy − dz) + ν2(σ2

y + σ2

z)dt, (25)

donde los componentes determinista y estocastico estan dados, respectivamente,por

π = µ −

[

ν(1 − g) −C

K

]

+ ν2(σ2

y + σ2

z) (25a)

ydp = dx − ν(dy − dz). (25b)

De esta forma, la ecuacion (25a) proporciona la tasa de inflacion esperada con-sistente con un portafolio cuya integracion es constante en el tiempo. Y, comopuede verse, varıa proporcionalmente a la tasa esperada de crecimiento mone-tario, ası como a los shocks fiscales y productivos, mientras que con la tasaesperada de crecimiento del capital, crece de manera inversa. Por otra parte, laecuacion (25b) determina el componente estocastico endogeno de la tasa actualde inflacion, en funcion de los componentes estocasticos del crecimiento mo-netario y de los shocks de productividad y fiscales. Por lo tanto, incrementosestocasticos en la oferta de dinero y en el nivel de gasto gubernamental incre-mentaran el nivel de precios, mientras que, por otro lado, los incrementos en elnivel de producto lo reduciran.

6. Conclusiones

En este trabajo se desarrollo un modelo de control optimo estocastico parauna economıa cerrada con tres sectores. Las variables exogenas incluyen los


parametros de polıtica economica (crecimiento monetario, µ; gasto publico, g;y polıtica de deuda, λ) y las tasas de impuesto (τy, τc y τp). De igual forma,los procesos estocasticos exogenos son los respectivos al crecimiento monetario,dx, el gasto publico, dz, y la produccion, dy, que se supone que no estan co-rrelacionados. El resto de los procesos estocasticos son endogenos y pueden serexpresados como funciones simples de los shocks exogenos: dp, du, dv, y dw.

Por otro lado, se discutieron los efectos de polıtica economica sobre laacumulacion de capital y la inflacion, obteniendo que la relacion entre ambasdepende de la polıtica empleada. Los resultados obtenidos fueron tres. Primero,la reduccion de la incertidumbre economica, dx, estimula el crecimiento, altiempo que reduce la inflacion. Segundo, el aumento de la tasa de crecimientode la oferta monetaria, µ, estimula el crecimiento, pero aumenta tambien latasa de inflacion. Tercero, vıa impuestos se puede elevar la tasa de crecimientode la economıa, al tiempo que se disminuye la inflacion.


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The Valuation of Mortgage Backed Securities

with Stochastic Probabilities ofDefault and Prepayment

Francisco Venegas-Martınez†

J. Victor Reynoso-Vendrell††

Recibido 15 de marzo 2007, Aceptado 6 de junio 2007

Resumen

En este artıculo se propone una nueva metodologıa para la proyeccion de losflujos de bonos respaldados por hipotecas (BORHIS) en mercados emergentesdonde la informacion del colateral es limitada, incorrecta o incompleta. Bajoesta metodologıa se utiliza el proceso de Cox para modelar las probabilidadesestocasticas de prepago e incumplimiento. El modelo utiliza una dinamicageneral en la intensidad, la cual se aplica en el naciente mercado de BORHIS.

Abstract

The aim of this paper is to provide a new approach to project the MortgageBacked Securities (MBS) cash flows in emerging markets where collateral in-formation is limited, wrong or scarce. Under this framework, we used theCox Process to model stochastic probabilities of prepayment and default. Themodel deals with general intensity dynamics and is applied to the starting MBSMexican market.

Clasificacion JEL: G12, G13 y G14.

Palabras clave: Mortgage valuation, MBS prepayment, MBS default, MBS curtailment, Cox

Process.

1. Introduccion

The Mortgage Backed Securities (MBS) market is just growing in Mexico. Theoldest MBS was sold to the investors in December 2003. In the following years2004 and 2005, 250 million USD were put on the market each year, and in2006 this amount increased 330(in April 2007) in assets backed with mortgageloans.1 The government agency that promotes the MBS market is “SociedadHipotecaria Federal” (SHF). This agency not only provides the funding for the

† Investigador ESE-IPN.

†† Subdirector MBS/ABS Risk Management HSBC Mexico,

mail: [email protected] Source: SHF, April 2007. (http:// www.shf.gob.mx/les/pdf/BORHIS04071.pdf)


mortgage banks, but also attempts to create the MBS market (primary andsecondary) so as to change the funding from government to investor with themortgage backed securities.As known, the two risky events in the mortgageworld are the prepayment and default events. The first one is related to thepossibility that the borrower prepays the loan before maturity without penalty,so the investor has to reinvest his money in a new mortgage loan at the currentrate, losing the difference between the old loan rate and the new one if thecurrent coupon is lower, which is the most frequent case because the borrowerprepays the old mortgage to refinance his debt with a lower rate.

Of course, there are many other causes to prepay the loan making a dif-ficult task to forecast the mortgager cash flows. The second risky event is thepossibility that the borrower does not pay his debt and the house has to be soldat stressed prices.

The literature related to the valuation of this kind of assets is veryextensive; see for instance: Fabozzi (2006), Davidson (2003) and Austin (2005),just to mention a few ones. However, most of this literature deals with the USAmarket case where many statistical or econometrics approaches have been usedin modeling probabilities of prepayment and default.

However, when modeling such probabilities it is important to mention thatthere are two main differences between the USA case and the emerging marketscase. The first one is that most of the MBS credit risk is practically nonexistent(government agencies maintain this risk, 65% of the market)2 , and the secondone, and most important, is the market liquidity.

In contrast with the USA case, the emerging markets have very poor orscarce information, so our approach has to be different. The market participantsnot only have to consider all international experience and knowledge to valueand deal with this new financial instrument dependent on local environment,but also have to be creative to deal with missing information.

This paper is an effort to provide a new approach for the emerging marketscase to price and deal with risk management of the mortgage related assets. Themodel recognizes the random behavior of the cash flows by using stochasticprobabilities of default and prepayment. After the cash flows are modeled, theMBS (subordinated or senior tranche) is the present value of the aggregated anddistributed flows with the structure waterfall (the money distribution rules).

The paper is organized as follow; the next section deals with the mortgageloans basic effects. Section 3 provides the underlying theory to construct thestochastic probabilities of prepayment and default. Section 4 assigns stochas-tic probabilities of prepayment and default. Section 5 is a simple but realisticimplementation with the collateral (mortgage pool) information from theMexican market (BRHCGCB-03U). Section 6 presents conclusions, acknowl-edges limitations, and makes suggestions for further research.

2 Source: IMF, Global Financial Stability Report, Market Development and Issues, Chap-

ter I, April 2007, (http://www.imf.org/external/pubs/ft/gfsr/2007/01/index.htm).


2. Loan Cash flows

The first step for the valuation of any security backed with mortgage loansis to know the collateral cash flow dynamics, this flow is generated from themortgage pool. We will be modeling the cash flow of an individual loan andthen aggregate the loans to complete the collateral cash flow.

The loans that we will be considering in the modeling are mortgage withequal payments, fixed rate loans, and mortgage with floating payments,adjustable rate mortgages, and every month or payment day some part of thepayment goes to principal and the other part to interest, also the borrower canprepay the total or some additional part of the outstanding balance with nocost, which is the most common case in Mexican mortgage market.

Every payment day we have a scheduled payment of principal (PO) andinterest (IO), but the borrower has at least three more possibilities; eitherpaying more principal than the scheduled (curtailment), prepaying the totalloan balance (prepayment) or not paying (delinquency), these effects makes theassets collateralized with mortgage very speculative.

We start by introducing some notation before we proceed to work onformulas, the payment dates are denoted by t = (t0, t1, . . . , tn) with t0 the initialdate and tn the last scheduled payment date. The original balance is denotedby B(t0), and the scheduled payment of principal and interest is PMT (t), thenthe first expected flow is:

F low(t1) = (PMT (t1)︸︷︷︸

Payment

+ τ (t1))B(t1)λC (t1)(1 − λP (t1))

︸︷︷︸

Curtailment

(IO+PO)

+ B(t1)λP (t1)(1 − λC(t1))

︸︷︷︸

Prepayment

(1 − λDel(t1))︸︷︷︸

Delinquency

(1)

where:

λC(t1) : Probability that the borrower prepays at time t1 moreprincipal that the scheduled but not the total balance, this situation iscalled curtailment.

λP (t1) : Conditional probability that the borrower prepays the total loanbalance at time t1 given that the borrower did not prepay before.

λDel(t1) : Probability that the borrower does not pay at time t1, thissituation is called delinquency.

τ (t1) Percentage of the loan balance at time t1 which is prepaid.

Equation (1) reflects the different possibilities of the flow at the firstpayment day, t1, which are the payment amount if there is no delinquency, thecurtailment and the total prepayment. At time t2 , it is more complicated be-cause the balance, after the first payment date, has many different possibilitiesdepending on the amount of curtailment or delinquency and the Flow(t2) isdependent on the first payment, then the next expected cash flow is:


F low(t2) = (PMT (t2) + τ (t2)(B(t2|C(t1))λC(t1) + B(t2)S

C (t1))λC (t2)

SP (t2))SDel(t2) +

(B(t2 |C(t1))λ

C (t1) + B(t2)SC (t1)

)λP (t2)S

P (t1)

SC(t1)SDel(t2) +

(PMT (t1) + PMT (t2) + τ (t2)B(t2)λ

C(t2)

(1 − λP (t2)) +(B(t2)λ

P (t2)(1 − λC(t2))))

λDel(t1)(1 − λDel(t2))

(2)

where:B(t2|C(t1)) : Balance at time t2, given that the loan had a curtailment attime t1.

B(t2) : Scheduled balance.

SC (tn) =

n∏

i=1

(1 − λC(ti)),

SP (tn) =n∏

i=1

(1 − λP (ti)),

SDel(tn) =

n∏

i=1

(1 − λDel(ti)).

The last equation looks complicate because the different paths of the balancebuild a non-recombining lattice; the curtailment at time t1 and no curtailmentat time t2 finishing with different balance than no curtailment at time t1 andcurtailment at time t2, making the implementation computational difficult andintensive.

To simplify the analysis, we will consider that the probability of curtail-ment is one, this means that every payment day the borrower prepays an extraamount of principal. This assumption is not dangerous because we are goingto aggregate the pool of loans and is very common that a few loans does somecurtailment, then we replace equation (1) with:

F low(t1) = (PMT (t1) + τ (t1)(B(t0) − (PMT (t1) − IO(t1))) + B(t1)

λP (t1))(1 − λDel(t1))(3)

where: IO(t1) = B(t0)rM (t0), interest in the first payment day; rM (t0),

effective mortgage rate in the time t0 y B(t1) = B(t0)− (PMT (t0)− IO(t1))−τ (t1)(B(t0)−(PMT (t0)−IO(t1))), principal outstanding after the curtailment.

Now the prepayment is over the remaining balance after the curtailment.The flow at time t2 is:

F low(t2) = (PMT (t2) + τ (t2)(B(t1) − (PMT (t2) − IO(t2))) + B(t2)λP (t2))

SDel(t2)SP (t1) + (PMT (t1) + PMT (t2) + τ (t2)(B(t1)−

(PMT (t2) − IO(t2))) + B(t2)λP (t2))λ

Del(t1)(1 − λDel(t2))(4)


Even thought the above formula is simpler than the complete process, we willmake an additional assumption when changing from delinquency to default;the difference between these two effects is that once the borrower is in defaulthe will never pay again, and delinquency assume that the borrower would becurrent again (pay again), the usual time to change from delinquency to defaultis three consecutive months of delinquency. Now, we have that the flow at timetn is:

F low(tn) = (PMT (tn) + τ (tn)(B(tn−1) − (PMT (tn) − IO(tn))) + B(tn)

λP (tn))SD(tn)SP (tn−1)(5)

whereSD(tn) =

∏n

i=1(1 − λD(ti)): Surviving probability or not be in defaultbefore the time tn.

λD(tn)): Conditional probability that the borrower default in the time tn,given that the borrower did not default before.

B(tn) = B(tn−1) − (PMT (tn) − IO(tn)): Outstanding balance after thescheduled principal payment.

IO(tn) = B(tn−1)rM (tn): Interest paid in the time tn.

The next step is the estimation of the two conditional probabilities ofdefault and prepayment, and the curtailment rate. Once we have these proba-bilities, we may calculate the future cash flows and aggregate the flows of everyloan to have the total pool flows, the basic element in the valuation and riskmanagement of MBS. In the next section, we will explore the different methodsto estimate the default, prepayment and the curtailment rate.

3. Theoretical Framework

This section establishes the statistics underlying the prepayment and defaultmodeling. Both events can be expressed as the first jump of a point process,which is the event we want to forecast by using the characteristics of the loan,borrower and the economic environment in which the mortgagor and the marketinteract.

Every month, we will expect some default and prepayment in the pool ofloans, no loan can be prepaid twice and we will assume that no loan can bedefaulted twice, although in reality some of them can be in default and thencured.

In the pool or sample we observe n loans (i = 1, . . . , n) with continuoussurvival times T1, T2,. . . ,Tn, nevertheless, we will work thinking of just oneloan and at the end we will aggregate the flows. The borrower or loan survivalfunction in the pool is S with hazard rate α, the hazard rate is the probabilityof failure in the next instant t + dt conditional of being alive in t, we expressthis as:

α =f

1 − F(6)

where F is the distribution function at time Ti and f is the density, thecomplement of the distribution function is the survival, S = 1 − F .


The hazard rate completely determines the distribution trough the relation:

S(t) = P (Ti > t) =

t∏

0

[1− α(s)ds] ≈ exp

(

−

∫ t

0

α(s)ds

)

, (7)

where the product function means a product-integral; the product over a 1/npartition of the interval [0, t], 0 < t0 < t1 < · · · < tn = t and taking thedifferences to the limit of zero:

t∏

0

[1− α(s)ds] = limmax |ti−ti−1|→0

∏

[1 − (α(ti) − α(ti−1))]. (8)

The interpretation of the hazard rate α is the probability of failure in the nextinstant given that the failure is grater that t:

P (Ti ∈ [t, t + dt)|Ti ≥ t) = α(t)dt (9)

The default/prepayment is the first jump of the counting process:

N(t) = 1Ti≤t (10)

and the intensity of the jump process is:

λ(t) = Y (t)α(t), (11)

where Yi(t) = 1τi≥t , is a right continuous predictable process.

Now we are going to write the difference from time t to t+dt of the countingprocess as d(N(t)), meaning N((t + dt)−) − N(t−), and the expected value isthe intensity:

E[dN(t)|=t−] = λ(t)dt. (12)

The cumulative intensity is called the compensator:

Λ(t) =

∫ t

0

λ(s)ds, t ≥ 0. (13)

The compensated counting process or counting process martingale is thedifference between the counting process and the cumulative intensity, that is

M(t) = N(t) − Λ(t), (14)

or, equivalently:

dN(t) = dΛ(t) + dM(t) = λ(t)dt + dM(t). (15)

Consider now a probability space (Ω,=, P ) equipped the filtration F = (=)t∈R

, a increasing right-continuous family of sub σ-algebras of = . Consider also the


conditional expectation of the increment of the process M , given the informationavailable we have:

E[dM(t)|=t−] = E[dN(t) − dΛ(t)|=t−]

= E[dN(t) − λ(t)dt|=t−]

= E[dN(t)|=t−] − λ(t)dt

= 0

(16)

In modeling the intensity, the error has to be just noise and the model is ourbest guess about the failure of the loans in the future. Now, we will find thevariance of the noise in the model, which is known in the martingale theory asthe predictable variation and denoted by 〈M〉:

Var[dM(t)|=t−] = E[dM(t)2]

= E[dN(t)2]− dΛ(t)

= dΛ(t)(1 − dΛ(t)).

(17)

Thus, the probability of default and prepayment can be estimated with theinformation of the pool, in the developed countries such as USA where theinformation is available, a lot of statistical tools can be used to get these proba-bilities, like logistic regression, survival theory or Generalized Additive Modelsof Hastie and Tibshirani (1986).

In the emerging markets other assumptions has to be made because theinformation is incomplete and with low quality, then we will incorporate thisstylized fact, and we will recognize that the probability of default/prepaymentis unknown or stochastic, to do that we will use the Cox Process, which incor-porates an stochastic intensity. We take the definition as in Schnbucher (2003):Cox process: A point process N(t) with intensity λ(t) is a Cox process if, con-ditional on the background information ς, N(t) is an inhomogeneous Poissonprocess with intensity λ(t).

The background information is a filtration (ς)t≥0 with all the future andthe past information related to the intensity (the economical information, theborrower characteristics, etc.) except the counting process or the jumps whichare in =t, and then the complete filtration is:

(=Total

t≥0

)

t≥0= (=t≥0)t≥0 ∨ (ςt≥0)t≥0 . (18)

The inhomogeneous Poisson process is similar to the Poisson process, but withan intensity λ(t), a non-negative function of time. We will use again Schnbucher(2003) definition: Inhomogeneous Poisson process: An inhomogeneous Poissonprocess with intensity function λ(t) > 0 is a non-decreasing, integer-valuedprocess with initial value N(0) = 0 whose increments are independent andsatisfy,

P [N(T ) − N(t) = n] =1

n!

(∫ T

t

λ(s)ds

)n

exp

(

−

∫ T

t

λ(s)ds

)

. (19)


In the next section we will show how to incorporate this technology to themortgage loans assuming some stochastic dynamic to the intensity of prepay-ment and default. Incorporating this technology to the mortgage loans flows wecan do a better pricing and risk management because we are recognizing thatwe really do not know the conditional probability of default/prepayment andwe will need to wait many years (at least 7 years) to know the real borrowerbehavior over the loan live.

4. Mortgage Flows with Stochastic Intensity of Default andPrepayment

We will assume a Gaussian stochastic dynamic for the prepayment and defaultintensities with negative correlation between them. It is natural to assume thatthe borrower with problems to pay his debt hardly will prepay the whole bal-ance, and then if the probability of default is high the probability of prepaymentis low.

We can also incorporate the relation between the prepayment and the mort-gage rates, when the borrower has a higher coupon than the current marketcoupon he is tempted to go with other mortgage bank and get a new loan withlower rate, with this money he will prepaid the current mortgage loan, thisphenomena is called refinance. In Mexico this effect is not very clear becausethe mortgage rates moves very slow (low volatility) mainly because the marketis under development and the credit spread is high enough to absorb all thedaily volatility of the funding rate, nevertheless with the securitization of themortgage loans via MBS and the competence the market will grow faster andthe pricing of the credit spread will be better.

Other variables like the Loan to Value (LTV)3 , Debt to Income (DTI)4 orany other variable related to the borrower or the economy can be incorporatedin the mean of the intensity of prepayment or default, so the model has a goodflexibility to fit the complexity involved in the borrower behavior.

We will assume the following stochastic dynamic for the intensities:

dλP (t) = µλP (t, β, rM(t))dt + σλP dW (t), (20)

dλD(t) = µλD(t, β)dt + σλDdW (t), (21)

dWdW = ρdt, (22)

whereβ: Vector with all the relevant variables or covariates related to the pre-payment, like LTV, loan size, seasonality, etc.rM (t): Stochastic market mortgage rate.

β: Vector with all the relevant variables or covariates related to the default,like LTV, DTI, etc.

W : Wiener process.

3 Loan to Value is the loan principal outstanding divided by the value of the collateral or

the house price.4 Debt to Income is the total debt of the borrower divided by his income.


The mean of the prepayment intensity process, µλP (t, β, rM(t)), has allthe important information of the market, loan and borrower characteristics. Infact, if we assume σλP = 0, we get one of the standard econometric model usedin the USA case.

With this model, the intensities are stochastic and the formula (5) leadsto the following expected value:

E[F low(tn)|=t0 ] = E [(PMT (tn) + τ (tn)(B(tn−1) − (PMT (tn) − IO(tn)))

+B(tn)λP (tn))SD (tn)SP (tn−1)|=t0

]

(23)In order to manipulate the above formula, we will assume continuous time,hence

E[F low(t)|=0] = E [(PMT (t) + τ (t)(B(t−) − (PMT (t) − IO(t)))

+B(t)λP (t))SD (t)SP (t−)|=0

] (24)

where

t− = lim∆→0(t − ∆),

SD(t) = exp

(

−

∫ t

0

(

λD(0) +

∫ u

0

µλD (s, β)ds + σλD (W (u) − W (0))

)

du

)

,

t− = lim∆→0

(t − ∆),

SP (t) = exp

(

−

∫ t

0

(

λP (0) +

∫ u

0

µλP (s, β, rM(s))ds + σλP (W (u) − W (0))

)

du

)

,

The mean of these intensities processes can be stochastic because they maybe dependent to economical variables like the interest rate or the employment,but with the theorem of iterated expectation and the background information,which contains all the economy future information and the borrower character-istics, we can simplify the problem by using the fact:

E[E[F low(t)|ςt]]. (25)

Under the conditional expectation given the background filtration, the meanof the intensity is deterministic and we can use all the literature related to theinterest rates model (see Venegas 2006) to solve the expectation. The generalmethodology is as follows; first solve the expectation, E[F low(t)|ςt], assumingthat all the economical variables are deterministic, after that the only stochasticvariables are those related to the economy, so the second expectation can besolve with Monte Carlo simulation.

To show a simplified version of the model, we will assume constant means ofdefault and prepayment (µλD , µλP ), subsequently we solve the expected value,finishing with a closed formula easy to implement.


The formula to calculate the cash flows in the time 0 ≤ s < t with constantmean of prepayment and default, and correlation ρ is:

E[F low(t)|=s] ≈ [PMT (t) + τ (t)(B(t−) − (PMT (t) − IO(t)))

+ B(t)(λP (s) + µλP (t − s))]P (λ∗(s), t− − s)(26)

where

P (λ∗(s), t− − s) = exp

(

−λ∗(s)(t− − s) −1

2µ∗(t− − s)2 +

σ∗2

6(t− − s)3

)

,

λ∗(s) = λP (s) + λD(s),

µ∗ = µλP + µλD ,

σ∗ =√

σ2λP + σ2

λD + ρσλP σλD .

Proof: (see Appendix 1)

The above formula can be easily change to a deterministic time-varyingmean like the PSA5 methodology, which assume a constant positive mean thefirst thirty months and then a zero mean.

With the last formula is possible to calculate the flow loan by loan oraggregating those with similar characteristics, after that, the structure waterfallwill distribute these flows to the different tranches, the present value of thesecash flow will be the value6 of the MBS or subordinated bond. The followingsection will show how the model works with the information of one of the MBSfrom the Mexican market.

5. Implementation

In this section, we will show how the model can be easily implemented withthe available public data. The pool selected is the BRHCGCB-03U collateral,the first MBS in the Mexican market since the Tequila crisis, and because ofthat, with the greatest time series information (39 months). This information isavailable in the “Sociedad Hipotecaria Federal” (SHF) World Wide Web page7 ;the needed data is the monthly total number of loans, the prepaid loans anddefault loans, located in the payment report (see appendix 2 for the time series).

The following figures, 1 and 2, have the prepayment, and default curveexpressed in conditional prepayment rate (CPR) and conditional default rate

5 The Public Security Association (PSA), now the Bond Market Association has a con-ditional prepayment rate (CPR) of min(6%·i/30,6%) for 0≤i≤ Mortgage term (see The BondMarket Association’s Standard Formulas manual, 2000). The CPR will be defined in the

following section.6 The MBS in illiquid markets, like Mexico, have an important component of Model

Risk meaning that the mark-to-model value can be different from the true traded price, see

Rebonato (2002).7 http:www.shf.gob.mxinversionistas−institucionalesREPFIDEMVIGGMACBRHCG03

U.html


(CDR), which are a transformation of the single monthly mortality (SMM) ofprepayment and default, calculated with the following formulas8,

CPR(t) = 1 − (1 − SMM(t))2 , (27)

SMM(t) =#of Prepaid Loans(t)

#of Loans(t − 1). (28)

The international standard is to calculate the SMM with the dollar amount,the prepaid amount divided by the scheduled balance, but with the informa-tion available we can not separate the curtailment and the prepayment so asan approximation we used the count SMM, which is also consistent with thedeveloped underlying theory.

Figure 1. Historical Collateral’s Prepayment Curve. This is the prepay-ment curve calculated with the number of prepaid loans in each monthdivided by the number of loans at the beginning of the month, expressedin CPR. This is the empirical or observed monthly prepayment intensity.

8 The CDR is equal defined but we change from (# of prepaid loans) to (# of default

loans), where the default loans are those with four months of delinquency.


Figure 2. Historical Collateral’s Default Curve. This is the default curvecalculated with the number of loans in four months delinquency, divided bythe number of loans at the beginning of the month. This is the empiricalintensity of default.

The curves observed from Figures 1 and 2 are the prepayment and defaultempirical intensities, the prepayment has a small constant trend and the defaultintensity has a positive trend for the first 15 months and then zero mean. Figure3 shows the first difference of the prepayment (left) and default (right) curves:

Figure 3. First difference of Prepayment/Default time series.

From Figures 1-3, we can see that the prepayment has a small trend and thedispersion increase with the time, like the Wiener process, in the default themean also looks close to zero and the dispersion does not increase with the time.

The following dynamic is proposed to model the flows from the mortgageloans of this MBS:

dλP (t) = µλP + σλP dW (t), (29)

dλD(t) = σλDdW(t), (30)


dW (t)dW (t) = −1dt, (31)

We assume a zero mean for the default, a constant mean for the prepaymentand constant volatilities for both intensities, also a perfect negative correlation,to stress the fact that the borrower can not prepay and default at the sametime.

With the above assumption and using formula (26), we can calculate thecash flows for every loan. Next, we show in Figure 4 the cash flows with a justoriginated loan with the following characteristic:

Table 1. Loan Characteristics

Original balance (UDIS1) 93,002

Monthly payment 873

Coupon rate (annualized, monthly composition) 10.8%Term (months) 360

Prepayment constant intensity2 7.41%

Default constant intensity2 3.94%

Intensity mean (prepayment)3 0.012%

Monthly pool difference intensity volatility(prepayment)4 3.10%

Monthly pool difference intensity volatility(default)4 2.06 %

Monthly curtailment rate5 2.00%

1 UDIS is an inflation indexed currency.

2 Intensity empirical, pool average, expressed in CPR.

3 Prepayment ntensity mean.

2 Standard desviation from the empirical intensity first difference

in times series expressed in CPR.

2 The curtailment is expressed in CPR.

In Figure 4, we can see that for a 30 years loan the flows are reduced to 17 yearbecause the borrower does curtailment, next we show the difference between amodel with and without curtailment:


Figure 4. Loan Cash Flow.

Figure 5. No curtailment vs Curtailment.

As shown in Figure 5, with curtailment, the flow has the highest difference inthe beginning and in the tail of the cash flow; this effect will have implicationin the first loss tranche, called the Residual9 or ”constancia” in the prospectus,because the interest and excess spread10 flows are reduced, which are the highestcontribution to the value of this asset.

9 The Residual is the remaining flows from the structure; this asset takes the first loss

from the pool protecting the senior bond like in the BRHCGCB-03U deal.10 The excess spread is the difference between the interest rate paid by the mortgage loans

after the structure costs and the interest paid to the bond holders, this flow goes to the

Residual an asset highly sensitive to prepayment and specially default.


Next, we will show, in Figure 6, the difference between the proposed modeland a zero volatility model, just a constant prepayment/default rate

Figure 6. Loan Cash Flow.The effect to incorporate stochastic prepayment and default intensities is

the reduction in the loan flows and decreasing the present value of the as-set, reflecting the fact that the loan with deterministic/stochastic flows haslower/higher risk.

6. Conclusions

A lot of work must be done in the MBS Mexican market, most of the dealsare priced assuming some constant prepayment and default speed with little orno research about the underlying pool. This makes the secondary market veryilliquid because there is a lot of uncertainty about the future loans performanceor borrower behavior.

Other problem in the secondary market stands in the difficulties that thetraders have to translate the yield to a price, which is not a trouble in theauction or the primary market because the bonds are sold at par, nevertheless,the missing of standard or market formulas has an important impact in thetrading activity.

To fill this gap between theory and practice, in this paper we explainedthe three most important effects in the mortgage loan cash flows, which arethe basic and most important element in the MBS valuation, then a valuationformula is proposed with assumptions specially designed for emerging marketwhere the information is limited, the model propose prepayment and defaultstochastic intensities recognizing that the future individual and aggregate loansbehavior is unknown.

With the proposed formula three parameters have to be estimated or as-sumed; the curtailment, the mean and the volatility of the intensities dynamicsfrom prepayment and default, this information can be estimated from the trustpublic reports, which are in Mexico concentrated in the SHF web page.


In the last section we show an example of the implementation of the model,the cash flows can be easily calculated with very limited information from thepool. The model adjust these future flows to the uncertainty involve, reflectingthe fact that the loan with deterministic/stochastic flows has lower/higher risk.

Appendix 1

Proof of formula (26).

We start with the general formula (24):

E[F low(t)|=s] = E [(PMT (t) + τ (t)(B(t−) − (PMT (t) − IO(t)))

+B(t)λP (t))SD(t)SP (t−)|=s

] (A.1)

We assume that the intensities have the following dynamics:

dλP (t) = µλP dt + σλP dW (t), (A.2)

dλD(t) = µλDdt + σλDdW (t), (A.3)

dWdW = ρdt, (A.4)

After computing the expected value the stochastic process, we have:

E[F low(t)|=s] = PMT (t) + τ (t)(B(t−) − (PMT (t) − IO(t)))

E[SD(t)SP (t−)|=s

]+ B(t)E

[λP (t)SD (t)SP (t−)|=s

] (A.5)

The first expected value in the above equation satisfies:

E[SD(t)SP (t−)|=s

]= E

[

exp

(

−

∫ t

s

λD(u)du

)

exp

(

−

∫ t−

s

λP (u)du

)

|=s

]

,

(A.6)or

E[SD(t)SP (t−)|=s

]= E

[

exp

(

−

∫ t

s

λD(u)du

)

|=s

]

E

[

exp

(

−

∫ t−

s

λP (u)du

)

|=s

]

+ Cov(SD(t)SP (t−)|=s

).

(A.7)The solution of the first two expected values in equation (A.7) are well knownin the interest rate literature, see Nielsen (1999). For the covariance we have:

Cov(SD(t)SP (t−)|=s

)= σSD(t)σSP (t)ρSDSP . (A.8)

Then, we need to compute the variance of SD and SP , the solution is the samefor both so we will just show for default:

Var

[

exp

(

−

∫ t

s

λD(u)du

)

|=s

]

= E

[

exp

(

−

∫ t

s

λD(u)du

)2

|=s

]

− E

[

exp

(

−

∫ t

s

λD(u)du

)

|=s

]2. (A.9)


If 0 ≤ s ≤ t, then

λD(t) =(λD(s) + µλD (t − s) + σλD(W (t) − W (s))

), (A.10)

E

[

exp

(

−

∫ t

s

λD(u)du

)

|=s

]

= E

[

−

∫ t

s

(λD(s) + µλD (u − s) + σλD(W (u)

−W (s)))du|=s

].

(A.11)

E

[

exp

(

−

∫ t

s

λD(u)du

)

|=s

]

= E

[

exp

(

−

(

λD(s) +1

2µλD(t − s)

)

(t − s)

−

∫ t

s

σλD (W (u) − W (s))

)

du|=s

] .

(A.12)The only stochastic element in the above equation is the following integral:

E

[∫ t

s

(W (u) − W (s))du|=s

]

=

∫ t

s

E[(W (u) − W (s))|=s

]du = 0. (A.13)

Then, we have that the mean and variance of (A.13) are:

E

[

−

(

λD(s) +1

2µλD (t − s)

)

(t − s) −

∫ t

s

σλD (W (u) − W(s))

)

du|=s

]

=

−

(

λD(s) +1

2µλD (t − s)

)

(t − s),

(A.14)

Var

[

−

(

λD(s) +1

2µλD (t − s)

)

(t − s) −

∫ t

s

σλD(W (u) − W (s))

)

du|=s

]

=

σ2λDVar

[∫ t

s

(t − u)dW (u)|=s

]

,

(A.15)

Var

[

−

(

λD(s) +1

2µλD (t − s)

)

(t − s) −

∫ t

s

σλD(W (u) − W (s))

)

du|=s

]

=

σ2λD

3(t − s)3.

(A.16)Finally, we have that the exponential of a random normal distributed variablewith mean (A.15) and variance (A.16) is:

E

[

exp

(

−

∫ t

s

λD(u)du

)

|=s

]

= exp

(

−

(

λD(s) +1

2µλD(t − s)

)

(t − s)

+σ2

λD

6(t − s)3.

.

(A.17)


and the expected value of the square of SD is:

E

[

exp

(

−2

∫ t

s

λD(u)du

)

|=s

]

= exp

(

−2

(

λD(s) +1

2µλD(t − s)

)

(t − s)

+2σ2

λD

3(t − s)3.

.

(A.18)Hence, the variance of SD is:

Var

[

exp

(

−

∫ t

s

λD(u)du

)

|=s

]

=

(

exp

(2σ2

λD

3(t − s)3

)

− exp

(σ2

λD

3(t − s)3

))

exp

(

−2

(

λD(s) +1

2µλD (t − s)

)

(t − s)

)

.

(A.19)

Var

[

exp

(

−

∫ t

s

λD(u)du

)

|=s

]

≈

(σ2

λD

3(t − s)3

)

(

−2

(

λD(s) +1

2µλD(t − s)

)

(t − s)

)

,

(A.20)

σSD (t) ≈ exp

(

−2

(

λD(s) +1

2µλD (t − s)

)

(t − s)

)σ2

λD

√3

(t − s)3/2. (A.21)

If the volatility is small, then

Cov(SD(t)SP (t−)|=s

)= σSD (t)σSP (t)ρSD/SP ≈ 0, (A.22)

and equation (A.5) is approximately:

E[F low(t)|=s] ≈ PMT (t) + τ (t)(B(t−) − (PMT (t) − IO(t)))

E[SD(t)|=s

]E[SP (t−)|=s

]+ B(t)E

[λP (t)SD(t)SP (t−)|=s

]

(A.23)With similar arguments, we can see that the second part of the equation alsohas covariance close to zero:

E[λP (t)SD(t)SP (t−)|=s

]=E

[λP (t)|=s

]E[SD(t)SP (t−)|=s

]+

Cov[λP (t), SD(t), SP (t−)|=s

],

(A.24)

and if the volatility of prepayment is small then:

Cov[λP (t), SD(t), SP (t−)|=s

]= σλP σSD,SP ρ ≈ 0, (A.25)

E[λP (t)SD(t)SP (t−)|=s

]=E

[λP (t)|=s

]E[SD(t)|=s

]E[SP (t−)|=s

],

(A.26)where

E[λP (t)|=s

]=λP (s) + µλP (t − s). (A.27)


Thus, the expected value of both survival probabilities is given by

E[SD(t)|=s

]E[SP (t−)|=s

]=E

[

exp

(

−

∫ t

s

(λ∗(s) + µ∗(u − s) + σ∗(W ∗(u)

−W ∗(0))) du

)

|=s

]

,

(A.28)with

λ∗(s) = λP (s) + λD(s),

µ∗ = µλP + µλD ,

σ∗ =√

σ2λP + σ2

λD + ρσλP σλD .

The solution of the (A.28) expected value is (see Nielsen, 1999):

E[SD(t)|=s

]E[SP (t−)|=s

]=P (λ∗(s), t − s)

(A.29)

P (λ∗(s), t− − s) = exp

(

−λ∗(s)(t− − s) −1

2µ∗(t− − s)2 +

σ∗2

6(t− − s)3

)

,

(A.30)


Appendix 2

Month Number of Credits Prepayment Default (90+ DaysDelinquency)

11-2003 1979 8 012-2003 1971 7 301-2004 1964 8 002-2004 1956 10 303-2004 1946 12 404-2004 1934 10 405-2004 1924 10 406-2004 1914 8 507-2004 1906 11 608-2004 1895 7 409-2004 1888 10 510-2004 1878 11 511-2004 1867 10 1012-2004 1857 10 601-2005 1847 9 702-2005 1838 12 303-2005 1826 8 1004-2005 1818 10 505-2005 1808 13 806-2005 1795 9 807-2005 1786 19 608-2005 1767 17 709-2005 1750 9 710-2005 1741 11 1111-2005 1730 10 512-2005 1720 14 601-2006 1706 11 202-2006 1695 9 603-2006 1686 15 704-2006 1671 12 605-2006 1659 11 606-2006 1648 19 1007-2006 1629 9 708-2006 1620 11 809-2006 1609 17 510-2006 1592 8 911-2006 1584 13 1012-2006 1571 11 701-2007 1560 19 3


References

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Venegas-Martınez, F., (2006). Riesgos Financieros y Economicos, InternacionalThomson.



Determinacion de una estructura de plazos

para el mercado de renta fija de Mexico

mediante un modelo de tres factorespara la dinamica de la tasa corta

Rene Benjamın Perez Sicairos†

Recibido 2 de julio 2007, Aceptado 27 de julio 2007

Resumen

En este trabajo se obtiene una estructura de plazos para valuar activos de rentafija en sus diferentes plazos. En esta estructura se modela la dinamica de la tasacorta de interes, rt, con base en el modelo de tres factores de Lin-Chen (1995).En este caso, utilizaremos la tasa de fondeo gubernamental mexicana a un dıacomo tasa corta. La estructura se modela mediante parametros obtenidos pormınimos cuadrados en tres etapas, 3SLS. Estos parametros se usan para lasimulacion de Monte Carlo. Este enfoque difiere al de Lin-Chen, quien proponeuna solucion analıtica.

Abstract

In this paper we obtain an interest rate term structure to price fixed-rate assets.In such structure we model the dynamic of the short interest rate, rt, based onthe three factor model proposed Lin-Chen (1995). Here we used the Mexicandaily funding government rate as the short interest rate. The term structureis modeled with parameters obtained by three-stage least squares, 3SLS. Suchparameters are used as input for Monte Carlo simulation. This approach differsfrom the one of Lin-Chen, who proposes an analytical solution.

Clasificacion JEL: E43, G12

Palabras clave: Estructura de plazos de tasas de interes, tasa corta, tasa corta promedio de

corto plazo, volatilidad

1. IntroduccionEl proposito de obtener una estructura de plazos para el mercado de renta fijamexicana es el de darle mas realismo al comportamiento de dicha tasa. Esta

† Departamento de Ingenierıa y Tecnologıa, Universidad de Occidente, Unidad Culiacan,Carretera a Culiacancito Km. 1.5, Culiacan, Sinaloa. Telefono (667) 7-59-13-00 Ext. 2272.

C.P. 80020 Correo Electronico: [email protected]


tasa se ve explicada tanto por su volatilidad como por su promedio de cortoplazo (short term). En la practica esto conlleva a un sistema de ecuacionesdiferenciales estocasticas, en el que cada variable se correlaciona con su fuentede incertidumbre (Browniano). Para poder obtener la estructura de plazos,Lin-Chen en 1995 resolvio este sistema de manera analıtica, para ello calculo elprecio de un bono al tiempo t y plazo T, P (r, θ, σ, t; T ), mediante la expresion:P (r, θ, σ; τ ) = A(τ )e−B(τ)r−C(τ)θ−D(τ)σ . Nosotros, a diferencia de Lin-Chen, eneste trabajo obtenemos econometricamente los parametros del modelo. Dichosparametros se utilizan en la simulacion Mote Carlo para la obtener la estructurade plazos deseada.

La discusion sobre el diseno de la estrategia de polıtica economica, ası comolos instrumentos y mecanismos para desarrollarla, se ha ubicado recientementeen un marco de referencia mas amplio que incorpora el riesgo y la incertidumbre.La estrategia de polıtica economica siempre combina instrumentos de polıticamonetaria (crecimiento de la base monetaria, tasa de interes y regulacion ban-caria) con instrumentos de polıtica fiscal (gasto publico e impuestos), y unapregunta relevante es cual de estos instrumentos genera mayor varianza en laestrategia general.

2. Modelo de Tres Factores

En 1995 Lin-Chen propuso un modelo de tasa de interes para obtener unaestructura de plazos a partir de la tasa corta. En su modelo la tasa corta (tasade interes de corto plazo) futura, rt+1, depende de: i) el valor actual de la tasacorta, rt ii) la media de la tasa corta de corto plazo actual (short-term mean),θt y iii) la volatilidad actual de la tasa corta, σt. De manera mas detallada yformal se considera lo siguiente:

Sean Wtt≥0, Vtt≥0 y Utt≥0 movimientos Brownianos definidos sobreun espacio de probabilidad fijo con filtracion aumentada (Ω, F, Ftt≥0, P ). Sesupone que la dinamica de la tasa corta, es conducida por el proceso lista:

drt = k(θt − rt)dt +√

σt

√rtdWt, t ≥ 0, k > 0, dWt ∼ N(0, dt), (1)

donde,√

σt es la varianza de rt y k es una constante conocida como factor deaceleracion. El desarrollo de su media short-term, θt, es conducido mediante:

dθt = ν(θt − θt)dt + ς√

θtdVt, t ≥ 0, θ, ν > 0, ς > 0, dVt ∼ N(0, dt), (2)

donde, ς es la volatilidad de θt y θt es la media de largo plazo. Por ultimo lavolatilidad σt de rt sigue el proceso:

dσt = µ(σt − σt)dt + η√

σtdUt, t ≥ 0, θ > 0, µ > 0, η > 0, dUt ∼ N(0, dt),(3)

donde, η es la volatilidad de σt y σt es la volatilidad en el largo plazo. Ademasse supone que los Brownianos estan correlacionados, esto es: Cov(dWt, dVt) =ρWV dt, Cov(dWt, dUt) = ρWU dt y Cov(dVt, dUt) = ρV Udt. La importancia deeste modelo radica en que el autor provee una solucion analıtica.

Determinacion de una estructura de plazo 171

3. Metodologıa

Un camino alternativo para resolver el modelo es recurrir a algun metodonumerico confiable. Estos nos evitan obtener soluciones de tipo complejo queno tienen sentido financiero ni economico. Uno de estos metodos de resolucionnumerica es el metodo de Monte Carlo, el cual ha sido utilizado en la valuacionde activos financieros. Para poder aplicar este metodo es necesario estimar,primeramente, los parametros que aparecen en las ecuaciones (1), (2) y (3).Estos parametros se estimaran de manera estadıstica utilizando para ello elpaquete econometrico e-views 4.1 por medio de la tecnica de Mınimos Cuadra-dos en Tres Etapas (Three-Stage Least Squares, 3SLS), pues esta tecnica esadecuada para resolver el tipo de sistema de ecuaciones que tenemos, siem-pre y cuando estas se hayan linealizado y cumplan algunos supuestos que masadelante se especifican.

3.1. Informacion: Series temporales

Para llevar a cabo esta investigacion usamos como tasa corta, , la tasa defondeo gubernamental al cierre. Esta tasa es representativa de las operacionesde mayoreo realizadas por las Casas de Bolsa sobre operaciones en reporto aplazo a un dıa habil bancario con Tıtulos de de Deuda emitidos por TESOFE,IPAB y BANXICO, que hayan sido liquidados en el sistema de entrega contrapago del INDEVAL. La serie consta de N = 286 datos comprendidos entre el11 de agosto de 2005 y el 11 de agosto de 2006 (no se incluyen dıas festivos).Puesto que el mercado no provee informacion acerca del short-term mean, θt

y tampoco de la volatilidad, σt de rt, se construyeron estas variables de lasiguiente manera: la serie del short-term mean se obtuvo como un promediosimple, esto es:

θt =1

N

N∑

t=1

rt para t = 1, 2, . . . , N.

La serie de volatilidad se obtuvo mediante la formula:

σt =

√

∑N

t=1(rt − rt)2

N, donde rt =

1

N

N∑

t=1

rt.

3.2. Estimacion de Parametros

Como se menciono anteriormente, para poder estimar los parametros de lasecuaciones (1), (2) y (3) a traves de 3SLS, es necesario primeramente linealizardichas ecuaciones. Dicha linealizacion consiste en dejar aislado el termino de in-certidumbre o Browniano, es decir, que no se vea afectado por ninguna variable.A continuacion se lleva a cabo la linealizacion de cada una de las ecuacionesque conforman el modelo.

3.2.1 Linealizacion de la ecuacion diferencial de la tasa corta

La primera ecuacion a linealizar es la que corresponde a la dinamica de la tasacorta, rt, dada por la ecuacion diferencial (1) esto es:

drt = k(θt − rt)dt +√

σt

√rtdWt, t ≥ 0, k > 0, dWt ∼ N(0, dt).


El primer inconveniente que presenta esta ecuacion es que las variables aparecenen forma diferencial, sin embargo, el problema se resuelve de manera simple sidiscretizamos en el tiempo (a un dıa), quedando de la forma siguiente:

rt − rt−1 = k(θt−1 − rt−1)(t − (t − 1)) +√

σt−1

√rt−1

√

(t − (t − 1))ε(t−1)1,

rt − rt−1 = k(θt−1 − rt−1) +√

σt−1

√rt−1ε(t−1)1, t ≥ 1, k > 0.

Donde, εt−1 ∼ N(0, 1), conocido tambien como termino de error. Despejandort, se obtiene:

rt = kθt−1 + (1 − k)rt−1 +√

σt−1

√rt−1ε(t−1)1 t ≥ 1, k > 0 (4)

Para poder obtener de manera aislada el termino de error dividimos entre elfactor

√σt−1

√rt−1 con lo cual se obtiene que:

rt√σt−1

√rt−1

= kθt−1√

σt−1

√rt−1

+ (1 − k)rt−1√

σt−1

√rt−1

+ εt−1, t ≥ 1, k > 0.

(5)Si definimos:

yt1 =rt√

σt−1

√rt−1

, zt1 =θt−1√

σt−1

√rt−1

zt2 =rt−1√

σt−1

√rt−1

εt1 = ε(t−1)1 δ11 = k y δ21 = (1 − k).

Ası, la ecuacion (5) se transforma en la siguiente:

yt1 = δ11zt1 + δ21zt2 + εt1. Para t = 1, 2, . . . , N, k > 0 y εt1 ∼ N(0, 1).

(6)

3.2.2 Linealizacion de la ecuacion diferencial del short-term

La siguiente ecuacion diferencial a linealizar es la que contiene el termino delshort-term, es decir, la media de la tasa corta, θt. De forma similar como enel inciso anterior dicha linealizacion se lleva a cabo como sigue: Retomemos laecuacion (2),

dθt = ν(θt − θt)dt + ς√

θtdVt, t ≥ 0, θ, ν > 0, ς > 0, dVt ∼ N(0, dt),

Luego, discretizando en el tiempo con perıodo de un dıa queda:

θt − θt−1 = ν(θt−1 − θt−1)(t − (t − 1)) +√

θt−1

√

(t − (t − 1))ε(t−1)2,

θt − θt−1 = ν(θt−1 − θt−1) +√

θt−1ε(t−1)2, t ≥ 1, θ, ν > 0.

Donde ε(t−1)2 ∼ N(0, ς2).


Haciendo un poco de algebra para despejar θt:

θt = νθ + (1 − ν)θt−1 +√

θt−1ε(t−1)2, t ≥ 1, θ, ν > 0. (7)

Ası, si dividimos entre√

θt−1, se obtiene:

θt√

θt−1

= νθ

√

θt−1

+ (1 − ν)θt−1

√

θt−1

+ ε(t−1)2, t ≥ 1, θ, ν > 0. (8)

Si definimos:

yt2 =θt

√

θt−1

, zt3 =1

√

θt−1

, zt4 =θt−1

√

θt−1

, εt2 = ε(t−1)2, δ31 = νθ

y δ41 = (1 − ν).De este modo la ecuacion (8) se transforma en:

yt2 = δ31zt3 + δ41zt4 + εt2. Para t = 1, 2, . . . , N, θ > 0, ν > 0 , (9)

y εt2 ∼ N(0, ς2). Como puede apreciarse esta ecuacion ya contiene el terminode error, ε(t−1)2 por separado

3.2.3 Linealizacion de la ecuacion diferencial de la volatilidad

La ultima ecuacion diferencial por linealizar es la que contiene el termino de lavolatilidad dada por (3):

dσt = µ(σt − σt)dt + η√

σtdUt, t ≥ 0, θ > 0, µ > 0, η > 0, dUt ∼ N(0, dt).

Discretizando en el tiempo nos queda:

σt = µσ+(1−µ)σt−1+√

σt−1ε(t−1)3, t ≥ 1, σ > 0, µ > 0, ε(t−1)3 ∼ N(0, η2),(10)

dividiendo entre√

σt−1 para obtener:

σt√σt−1

=µσ

√σt−1

+ (1 − µ)σt−1√σt−1

+ ε(t−1)3, (11)

Definiendo:

yt3 =σt√σt−1

, zt5 =1√σt−1

, zt6 =σt−1√σt−1

, εt3 = ε(t−1)3, δ51 = µσ

y δ51 = (1 − µ). De este modo la ecuacion (11) se transforma en:

yt3 = δ51zt5 + δ61zt6 + εt3. Para t = 1, 2, . . . , N, σ > 0, µ > 0 , (12)

y εt3 ∼ N(0, η2).


En resumen, se tiene el sistema conformado por las ecuaciones (6), (9) y(12), esto es:

yt1 = δ11zt1 + δ21zt2 + εt1. Para t = 1, 2, . . . , N, k > 0 y εt1 ∼ N(0, 1).

yt2 = δ31zt3 + δ41zt4 + εt2. Para t = 1, 2, . . . , N, θ > 0, ν > 0,

y εt2 ∼ N(0, ς2).

yt3 = δ51zt5 + δ61zt6 + εt3. Para t = 1, 2, . . . , N, σ > 0, µ > 0 ,

y εt3 ∼ N(0, η2).

Los primeros resultados obtenidos fueron los parametros estimados medi-ante 3SLS, (vease apendice A.1) considerando a la tasa de fondeo gubernamentalcomo la tasa corta para el perıodo comprendido entre el 11 de agosto de 2005 yel 11 de agosto de 2006. Estos resultados se muestran en la Tabla 4.1 y Tabla4.2 siguientes:

Tabla 4.1

Coeficientes Estimados

Metodo k 1 − k νθ 1 − ν µσ 1 − µ3SLS 0.151545 0.828704 0.000087 0.998256 0.000085 0.990442

Haciendo un poco de aritmetica podemos obtener el valor estimado de losparametros requeridos:

Tabla 4.2

Parametros

Metodo k ν θ ς µ σ

3SLS 0.151545 0.001744 0.0500000 0.00011 0.009558 0.0088721

ν

3SLS 0.000237

Aquı los parametros mas importantes son k y ς, pues son los determinanla dinamica de la tasa corta y con ello la obtencion de la estructura de plazos.Vale la pena resaltar que el metodo 3SLS es adecuado para muestras pequenas,es por ello que aquı usamos este metodo econometrico. Notese de la Tabla 4.1que la suma de k + (1 − k) ∼= 0.980249, cuando esta deberıa ser exactamenteigual a uno, sin embargo, la aproximacion es buena, por lo que podemos omitiresta pequena discrepancia.

Es importante mencionar que dos de los supuestos en que se basan lastecnicas de regresion antes mencionadas son: E[ε] = 0 y E[εε′] = 0, es decir, elvalor esperado y las covarianzas de los residuales son igual a cero. Los resultadosfueron los siguientes,

E[ε] =

ε1

ε2

ε3

=

0.00174800.00000330.0000046

∼=

000

E[εε′] =

0.00272323 0.00000224 0.000001230.00000224 0.00000001 0.000000020.00000123 0.00000002 0.00000006


Dado que la frecuencia de las observaciones es alta (diaria), es de esperarseque, para este tipo de series, el supuesto de normalidad se viole. Esto puedemostrarse con una prueba de normalidad Q−Q (vease apendice A.2). Estamosconcientes que este resultado impone una limitacion sobre los parametros. Sinembargo consideramos que estos representan una buena aproximacion inicialpara efectos de simulacion.

3.3 Estructura de plazos y tasa corta

La obtencion de la estructura de plazos se lleva a cabo de forma directa medi-ante la utilizacion de la tasa de interes de corto plazo (tasa corta), rs. En lapractica, la formula de valuacion al tiempo t de un Bono cupon cero, B(t, T )con vencimiento en T , viene dada por:

B(t, T ) =V N

(

1 +(

T−t360

)

rt

) ,

dondeB(t, T ), es el valor del Bono en el tiempo t y maduracion T .V N , es el valor nominal del bono ($ 10 pesos para el caso de Mexico),T , es el plazo o maduracion del bono,rt, es la tasa de interes en el tiempo t.

Sin embargo, en el ambito academico la expresion que se utiliza para valuareste tipo de bonos es la siguiente:

B(t, T ) = e−R(t,T )(T−t)

donde, R(t, T ): es la estructura de plazos de la tasa de interes. Cuando la tasacorta, rs, se considera estocastica, la formula de valuacion del bono se expresamediante:

B(t, T ) = e

[

−1

T−t

∫

T

s=t

rsds]

(T−t).

De esta forma, se tiene que la estructura de plazos y la tasa corta se relacionanmediante la expresion:

R(t, T ) =1

T − t

∫ T

s=t

rsds,

donde, rs, obedece en nuestro caso, al sistema conformado por las ecuaciones(1), (2) y (3). La manera que se emplea en que se relaciona la tasa cortacon la estructura de plazos es mediante la siguiente aproximacion: R(t, T ) =

1

T−t

∑T

s=t rs.

4. Simulacion Monte Carlo y resultados

El metodo Monte Carlo es un metodo numerico que permite resolver problemasmatematicos mediante la simulacion de variables aleatorias. El metodo puedesimular cualquier proceso cuya dinamica depende de factores aleatorios. Lasimulacion Monte Carlo consiste en este caso, en generar una muestra aleatoriade posibles valores de rt. Una vez obtenidos suficientes valores muestrales de


rt, se prosigue a calcular su media. La media aritmetica de los ensayos de simu-lacion en su respectivo plazo nos sirve para construir la estructura de plazos.Dicho de otra forma, dado que,

R(t, T ) =1

T − t

T∑

s=t

rs.

y rs sigue el geometrico Browniano definido por (1), tal que:

rt = kθt−1 + (1 − k)rt−1 +√

σt−1

√rt−1ε(t−1)1 t ≥ 1, k > 0

donde, ε(t−1)1 ∼ N(0, 1). Ası, una vez estimados los parametros, podemosllevar a cabo la simulacion de rt, θt y σt mediante las ecuaciones (4), (7) y (10),esto es:

rt = kθt−1 + (1 − k)rt−1 +√

σt−1

√rt−1ε(t−1)1 t ≥ 1, k > 0.

θt = νθ + (1 − ν)θt−1 +√

θt−1ε(t−1)2, t ≥ 1, θ, ν > 0.

σt = µσ + (1 − µ)σt−1 +√

σt−1ε(t−1)3, t ≥ 1, σ > 0, µ > 0,

donde ε(t−1)1 ∼ N(0, 1), ε(t−1)2 ∼ N(0, ς2) y ε(t−1)3 ∼ N(0, η2).

Ahora bien, expresando cada ecuacion en terminos de Brownianos, es decir,la ecuacion (4) queda,

rt = kθt−1 + (1 − k)rt−1 +√

σt−1

√rt−1Wt−1 t ≥ 1, k > 0, γ > 0, (13)

donde Wt−1 ∼ N(0, 1), o bien,

rt = rt−1 + (θt−1 − rt−1)k +√

σt−1

√rt−1Wt−1 t ≥ 1, k > 0, γ > 0. (14)

La ecuacion (7) queda,

θt = νθ + (1 − ν)θt−1 + ς√

θt−1Vt−1, t ≥ 1, θ, ν > 0, ς > 0, (15)

donde Vt−1 ∼ N(0, 1),o bien

θt = θt−1 + (θ − θt−1)ν + ς√

θt−1Vt−1, t ≥ 1, θ, ν > 0, ς > 0. (16)

Y por ultimo la ecuacion (10) queda,

σt = µσ + (1 − µ)σt−1 + η√

σt−1Ut−1, t ≥ 1, σ > 0, µ > 0, η > 0, , (17)

donde Ut−1 ∼ N(0, 1), o bien

σt = σt−1 + (σ − σt−1)µ + η√

σt−1Ut−1, t ≥ 1, σ > 0, µ > 0, η > 0, (18)

Los Brownianos Wt−1, Vt−1 y Ut−1 ∼ N(0, 1), se generan a partir de numerosaleatorios que se distribuyan normalmente con media cero y varianza uno. Esto


se lleva a cabo utilizando el algoritmo de la Inversion Moro (vease apendiceA.3).

Hay que recordar que entre mayor sea el numero de simulaciones o derealizaciones, mejor sera la precision de nuestro resultado, ya que si aumentamosen cien veces las simulaciones aumenta una decima de correccion.

En resumen, el algoritmo propuesto para determinar la estructura de plazo,R(t, T ), utilizando Monte Carlo, sigue los pasos siguientes:

i) Simular el comportamiento del short-therm, θs, definido por (15).ii) Simular el comportamiento de la volatilidad, σs, definido por (17).iii) Simular el comportamiento de la tasa corta, rs, utilizando (13), proponien-

do como valor inicial el valor actual de la tasa corta, esto es, r0 = 0.07020 ycontinuando hasta la fecha del plazo deseado (T ), en nuestro caso, T = 1825dıas. Esto nos da una realizacion de una trayectoria de la tasa corta.

iv) Repetir n = 100, 000 veces las realizaciones del paso anterior.v) Calcular el promedio sobre todas las realizaciones de la tasa corta de un

mismo plazo y obtener de este modo la estructura de plazos, que en estecaso sera para 1825 dıas (cinco anos).

Este algoritmo, se implemento a traves de un programa sustentado en laplataforma de Visual Basic for Excel.

Los valores iniciales de las variables utilizados para generar la estructurade tasa corta son: r0 = 0.07020, θ0 = 0.07912, σ0 = 0.01658, θ = 0.050000 yσ0 = 0.0088721.

A continuacion se presentan los resultados de la estructura de tasas parael perıodo comprendido del 11 de agosto de 2005 y el 11 de agosto de 2006.

Figura 1.- Estructura de plazo de la tasa de fondeo gubernamental duranteel perıodo 11 de agosto de 2005 y el 11 de agosto de 2006.

Las formas de las estructuras de tasas tienden a cambiar dependiendo de lainformacion disponible. Esto lo podemos mostrar en nuestro modelo con otroconjunto de datos. La grafica siguiente muestra la estructura de plazos parala tasa de fondeo gubernamental para el perıodo comprendido entre el 25 de


noviembre de 2004 al 18 de enero de 2006, con valores iniciales: r0 = 0.082400,θ0 = 0.0918607, σ0 = 0.0050556, θ = 0.09481404 y σ = 0.0044715.

Figura 2- Estructura de plazo de la tasa de fondeo gubernamental duranteel perıodo comprendido entre el 24 de noviembre de 2004 y el 18 de enerode 2006.

Estos resultados muestran que diferentes formas de las estructuras de plazospueden modelarse con el enfoque propuesto. La solucion analıtica de Lin-Chen(1995), puede mostrar resultados complejos, como ya se ha indicado, esto es,puede no ser flexible ante cambios en la forma de la estructura de tasas deinteres.

5. ConclusionesEn este trabajo hemos propuesto una metodologıa de estimacion de la dinamicade tasa corta originalmente propuesta por Lin-Chen( 1995). La metodologıapropuesta se basa en metodos econometricos para la obtencion de parametrosy en la simulacion de Monte Carlo para generar las estructuras de tasas. Aquıhemos mostrado como usar dicha metodologıa para modelar la estructura deplazos de la tasa mexicana de fondeo gubernamental.Los resultados muestran que el modelo es capaz de capturar las tendencias demercado. Esto se refleja en las estructuras de plazo obtenidas para diferentesperıodos y series de datos. Esta cualidad nos hace creer que el modelo puedeser util para modelar las estructuras detasas cortas de manera mas realista queotros modelos.


Apendice

A.1 Parametros estimados

Tabla A.1.1: Estimacion de Parametros mediante 3SLS, en basa a las seriesde la tasa corta, el short term y la volatilidad para el perıodo comprendido del11 de agosto de 2005 y el 11 de agosto de 2006.


A.2. Pruebas de Normalidad Q-Q

Las siguientes pruebas de normalidad corresponden a los residuales de la tasacorta, el short term y la volatilidad para el perıodo comprendido del 11 deagosto de 2005 y el 11 de agosto de 2006.


A.3. Algoritmo de Inversion Moro para generar numeros aleatoriosque se distribuyen como una normal estandar

Function Moro−NormSInv(u As Double) As Double’ Calcula los numeros Normal Standard dado u, el numero asociado a la

distribucion uniforme (0, 1)’ Version VBA del codigo de Moro (1995) en C Dim c1, c2, c3, c4, c5, c6,

c7, c8, c9Dim x As DoubleDim r As DoubleDim a As VariantDim b As Varianta = Array(2.50662823884, -18.61500062529, 41.39119773534,-25.44106049637)b = Array(-8.4735109309, 23.08336743743, -21.06224101826,3.13082909833)c1 = 0.337475482272615c2 = 0.976169019091719c3 = 0.160797971491821c4 = 2.76438810333863E− 02c5 = 3.8405729373609E− 03c6 = 3.951896511919E − 04c7 = 3.21767881768E− 05c8 = 2.888167364E− 07c9 = 3.960315187E− 07x = u − 0.5If Abs (x) < 0.42 Thenr = x2

r = x ∗ (((a(4) ∗ r + a(3)) ∗ r + a(2)) ∗ r + a(1))/((((b(4) ∗ r + b(3)) ∗ r+


b(2)) ∗ r + b(1)) ∗ r + 1)ElseIf x > 0 Then r = Log(−Log(1 − u))If x <= 0 Then r = Log(−Log(u))r = c1+r∗(c2+r∗(c3+r∗(c4+r∗(c5+r∗(c6+r∗(c7+r∗(c8+r∗c9)))))))If x <= 0 Then r = −rEnd If Moro−NormSInv = rEnd Function

Bibliografıa

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Fuente de Datos: Banco de Mexico.Frances, Philip Hans, (1998). “Time Series for Business and Economics Fore-

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