representacion_sistema_discreto.pdf

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

.

......

Introduccn a los sistemas de control digitales

Arturo Padilla

Arturo Padilla Control digital 1

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

Control digital

En control automtico se distingue entre:

Sistemas de control anlogos

Sistemas de control digitales. Observaciones:

La tendencia actual es usar controladores digitales

Ejemplos: computadores personales, microprocesadores, PLC

(programmable logic computer)

Se requieren herramientas matemticas especiales para tratar

sistemas digitales


...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

Control digital

Controlador anlogo ! corresponde a un sistema continuo

Controlador

anlogoActuador Proceso

Sensor

+-

e(t)

ys(t)

c(t) u(t) y(t)yd(t)


...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

Control digital

Controlador digital ! corresponde a un sistema discreto

Nuevos elementos del sistema

D/A : Conversor Digital/Anlogo

A/D : Conversor Anlogo/Digital

Controlador

digitalActuador Proceso

Sensor

D/A+-

(d)

A/D

(d) (c) (c) (c)

(c)(d)

(d): seal discreta

(c): seal continua

Sistema hbrido = sistema continuo + sistema discreto


...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

Control digital

Muestreador: permite conversin

de seal continua a discreta

T : tiempo de muestreo

muestreador

seal

continua

seal

discreta

x(t) x*(t)

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

x x*

t [s]

T = 1 [s]T = 0


...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

Control digital

Retentor: permite conversin de

seal discreta a continua (necesario

para alimentar el actuador)

seal

discreta

x*(t)Retentor

seal

continua

x(t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t [s]

xx*

t [s]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

T = 1 [s] T = 0


...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

Muestreo de seales continuas

muestreador

seal

continua

seal

discreta

x(t) x*(t) T : tiempo de muestreo

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t [s]

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

x x*

t [s]

T = 1 [s]T = 0


...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..


Observaciones:

Cuando T ! 0 la seal muestreada se aproxima a la seal continua(pero implica un gran nr. de valores muestreados)

Cuando aumenta T la seal muestreada se deteriora (pero implica

menos valores muestreados)

Cmo eligo el tiempo de muestreo?

Para un sistema de primer orden,

p

dy

dt

+ y = Kp

u

0:1p

T 0:2p

, donde p

es la constante de tiempo


...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..


Para muestrear una seal peridica se aplica el teorema de Nyquist para

evitar el fenmeno conocido como aliasing.

Ejemplo. Considere una seal continua f (t),

f (t) = 3 cos(2t) + cos(20t + =3)

Se discretiza f (t) con T = 0:1[s]

f (kT ) = 3 cos(0:2k) + cos(2k + =3)

= 3 cos(0:2k) + 0:5

Con este tiempo de muestreo la componente de alta frecuencia se ha

transformado en una constante (frecuencia cero).


...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..


Efecto del aliasing producido por baja tasa de muestreo.


...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..


Muestreador: switch que se mantiene cerrado cierto tiempo T

c

(ver g.).

Muestreador ideal: en este caso T

c

! 0 . La salida del muestreador serepresenta matemtica% por:

x

(t) = x(kT ) =1Xn=0

x(nT )(kT nT )

donde (kT ) es el impulso discreto,

(kT ) =

1 kT = 00 kT 6= 0


...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..


Muestreador Muestreador ideal


...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

Conversin de seal discreta a continua

Existen distintos tipos de retentores

(con distintos ordenes). El ms

comn es el rententor de orden cero.

seal

discreta

x*(t)

Retentor de

orden cero

H(s)

seal

continua

x(t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t [s]

xx*

t [s]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

T = 1 [s] T = 0


...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

Conversin de seal discreta a continua

Para un retentor de orden cero:

x

(t) = x(kT )

donde

kT t < (k + 1)T ; k = 0; 1; 2; : : :Funcin de transferencia para un retentor de orden cero:

H(s) =1 esTs


...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

Ecuacin de diferencias

Sistemas continuos se representan mediante ec. diferenciales

Sistemas discretos se representan mediante ec. de diferencias

Ejemplo. Ec. de diferencias lineal de orden n:

y(k + n) + an1y(k + n 1) + : : :+ a1y(k + 1) + a0y(k) = f (k)


...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..


Ejemplo. Control de nivel

PID

H + h

qd

Q + qi Q + qo

Estanque

dh

dt

=1

C

(qi

qo

)

C : capacitancia del estanque [m2]

Q : ujo en estado estacionario [m3=s]q

i

: variacin del ujo de entrada c/r a Q [m3=s]q

o

: variacin del ujo de salida c/r a Q [m3=s]H : nivel de lquido en estado estacionario [m]h : variacin en el nivel de lquido c/r a H [m]


...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..


controlador vlvula estanque

sensor

+-

e(t)

hs(t)

c(t) q i(t) h(t)hd(t)

+

qd(t)

+

Controlador PID

c(t) = kp

e + ki

Zt

0

e()d + kd

de

dt

c(s) = Gc

(s)e(s) =k

p

+k

i

s

+ kd

s

e(s)


...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..


controlador vlvula estanque

sensor

H(s)+-

hd(kT) e(kT) c(kT)

hs(kT) hs(t)

c(t) q i(t) h(t)

Ec. de diferencias para el controlador PID

c(kT ) = kp

e(kT ) + ki

T

kXn=0

e(nT ) + kd

fe(kT ) e((k 1)T )gT


...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

...

.

.

.

..

.

.

.

..

.

.

.

..


Trminos integral y derivativo

T 2T0

e

t

T

e

3T 4T 5T 6T

e

t

e(t)dt T e(kT)k = 0

nde e e(kT) - e((k-1)T)dt T T

=


Documents

representacion_sistema_discreto.pdf