UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS Facultad de Cs. Económicas y Financieras

Carrera de Economía

REGRESIÓN LINEAL CON ÁLGEBRA LINEAL Y MCO

APLICADA A LA ECONOMÍA

PRIMERA PARTE

Autor: Aux. de Doc. Miguel Clares Mamani Gestión 2014

La Paz - Bolivia

Nota: El presente trabajo contiene aspectos básicos sobre el uso de la regresión lineal (MCO)

aplicado a la Economía para poder obtener algunas funciones económicas fundamentales. Las

aplicaciones que se desarrollaran a continuación son principalmente Microeconómicas.

ÍNDICE: Pág.

INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………………………………………….. 1

TEOREMA DE GAUSS-MARKOV………………………………………………………………………………………. 1

FUNCIONES USUALES DE OFERTA Y DEMANDA ……………………………………………………………... 1

FUNCIONES DE DEMANDA …………………………………………………………………………………………….. 1

FUNCIONES DE OFERTA…………………………………………………….……………….…………………………... 2

REGRESIÓN LINEAL PARA UNA FUNCIÓN LINEAL ………………………………………………………….. 3

MATRIZ DE DISEÑO ……………………………………………………………………………………………………….. 3

REGRESIÓN LINEAL PARA UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA ……………………………………………….… 5

REGRESIÓN LINEAL PARA UNA FUNCIÓN MULTIVARIABLE ……………………………………………. 7

OTRAS FUNCIONES ………………………………………………………………………………………………………… 9

VARIABLE ESTOCÁSTICA………………………………………………………………………….……………………... 9

FUNCIÓN PRODUCTO………………………………………………………………………………….………………….... 9

FUNCIÓN HIPERBÓLICA…………………………………………………………………………………………….……. 11

FUNCIÓN CUADRÁTICA………………………………………………………………………………………………..….. 13

ÍNDICE DE EJERCICIOS RESUELTOS:

Ejercicio 1 (Regresión lineal simple)……………………………………………………………….………………… 4

Ejercicio 2 (Regresión lineal: Función cuadrática)……………………………………………..……………….. 6

Ejercicio 3 (Regresión lineal: Función Multivariable)…………………………………………..……………… 8

Ejercicio 4 (Regresión lineal: Función producto)…………………………………………………...…..……… 10

Ejercicio 5 (Regresión lineal: Función hiperbólica)………………………………………………….....……... 12

Ejercicio 6 (Regresión lineal: Función cuadrática)……………………………………………………….…….. 14

1

INTRODUCCIÓN:

El método de los mínimos cuadrados ordinarios (MCO) llega a ser un método que ayuda a encontrar

los parámetros en un modelo de regresión lineal. Este método consiste principalmente en

minimizar la suma cuadrada de las distancias verticales entre las respuestas observadas en la

muestra y las respuestas del modelo.

El presente método de los Mínimos Cuadrados Ordinarios llega a ser una herramienta fundamental

al momento de obtener funciones económicas dependiendo del tipo de función que se desea

obtener ya que existen diversos métodos para hallar dichas funciones.

TEOREMA DE GAUSS-MARKOV:

Los MCO es un método eficiente para obtener los coeficientes de algún modelo de regresión lineal

esto por el Teorema de Gauss-Markov, el cual indica que dados los supuestos del modelo clásico de

regresión lineal, donde los estimadores de mínimos cuadrados, dentro de la clase de estimadores

lineales insesgados, tienen varianza mínima, es decir son MELI. Este teorema fue presentado

documentalmente junto con los primeros avances de la regresión lineal el año 1805 por el

matemático francés Legendre.

En simples palabras, lo que el presente teorema indica es que siempre y cuando se cumplan los

supuestos del modelo clásico (no autocorrelación, no multicolinealidad, homocedasticidad, etc.), los

parámetros estimados mediante el método de los mínimos cuadrados ordinarios, serán los mejores

estimadores linealmente insesgados (MELI), lo que permite que los datos obtenidos sean válidos y

confiables.

FUNCIONES USUALES DE OFERTA Y DEMANDA:

Las funciones de oferta y demanda más comunes que existen son:

FUNCIONES DE DEMANDA:

Función lineal:

Función cuadrática (parábola):

Función hiperbólica:

Cabe recalcar que existen más funciones, pero para facilitar el análisis se desarrollaran

principalmente estas funciones ya que son las funciones de demanda más comunes.

2

FUNCIONES DE OFERTA:

Lo propio con las funciones de oferta para poder realizar un estudio de mercado:

Función Lineal:

Función cuadrática (parábola):

Función producto (desde el origen):

Como se podrá apreciar las funciones presentadas anteriormente tienen la forma: la

cual corresponde al enfoque de Walras.

Así mismo, al analizar las funciones de demanda se debe aclarar que la relación precio y cantidad es

inversa, o sea, si sube el precio baja la cantidad y viceversa, esto se conoce como Ley de la Demanda.

Lo propio con las funciones de oferta, la relación entre las variables precio y cantidad es directa.

Entonces bajo estas cortas indicaciones, a continuación se desarrollaran los distintos

procedimientos y demostraciones de los denominados Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO).

Nota.- Algo importante que se debe aclarar es que las letras del alfabeto griego:

𝛼 𝐴𝑙𝑝ℎ𝑎 ,𝛽 𝐵𝑒𝑡𝑎 , 𝛾 𝐺𝑎𝑚𝑎 ,𝛿 𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎 , 휀 𝐸𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛 ,𝜇 𝑁𝑖𝑢 ,𝜌 𝑅ℎ𝑜 ,𝜎 𝑆𝑖𝑔𝑚𝑎 ,𝜑 𝐹𝑖 ,𝜔 𝑂𝑚𝑒𝑔𝑎 , 𝑒𝑡𝑐.

Representan constantes en los modelos económicos.

3

REGRESIÓN LINEAL PARA UNA FUNCIÓN LINEAL:

La función que se desea obtener es:

Donde se deben hallar los parámetros: .

El método a usar para la obtención de una función lineal con matrices ya sea para una función de

oferta o de demanda es la siguiente:

Primero se formara una matriz al estilo Valdermonde o también conocida como matriz de

diseño, la cual tendrá como elementos a los datos de los precios obtenidos (variables

independientes) mediante encuestas, se llamará a la matriz “A”:

[

]

Segundo, se construirá una matriz , la cual tendrá como elementos a los datos de las

cantidades (variable dependiente), se llamará a la matriz “B”:

[

]

Tercero, realizamos las operaciones matriciales bajo la siguiente definición:

Donde es la matriz de estimaciones que deseamos hallar, esta contiene nuestras

constantes: .

[

]

Para hallar dicha matriz se debe obtener la inversa de y posteriormente multiplicarlo a

.

[ ]

4

Desarrollando más las matrices se obtiene:

[ ∑

∑

∑

]

[ ∑

∑

]

Terminando las operaciones se obtienen los parámetros deseados.

Ejercicio 1:

Obtención de una función de demanda lineal:

Con los siguientes datos se desea hallar la función de demanda:

10 80

20 60

30 40

40 20

Como se podrá apreciar en base a los presentes datos se debe hallar: ∑ , ∑ , ∑ ∑ para

poder formar la matriz.

1 10 80 100 800

2 20 60 400 1200

3 30 40 900 1200

4 40 20 1600 800

SUMATORIA 100 200 3000 4000

Formando matriz:

[

]

[

]

5

Resolviendo se obtiene:

[

]

Donde 100 es el intercepto y -2 es la pendiente, por lo tanto la función de demanda es:

Analizando la función se llega a concluir que en el presente caso si el precio del bien X fuese gratuito

se demandaran 100 unidades, y el parámetro -2 indica que si el precio se incrementa en una unidad

monetaria el consumo del bien X disminuirá en 2 unidades.

REGRESIÓN LINEAL PARA UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA (PARÁBOLA):

La función que se desea obtener es:

Donde se deben hallar los parámetros: , .

El método a usar es similar al de una función lineal:

Primero se debe formar la matriz de diseño pero esta vez ampliada con una columna que captara la

variable independiente elevada al cuadrado ya que se trata de una función cuadrática.

[

]

La matriz B no tendrá cambio alguno en su estructura:

[

]

Bajo la misma definición:

Donde por inversa:

[ ]

6

Desarrollando las matrices:

[

]

[ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

]

[ ∑

∑

∑

]

Terminando las operaciones se obtienen los parámetros: , .

Ejercicio 2:

Obtención de una función de oferta (cuadrática):

Con los siguientes datos se desea hallar la función de oferta:

10 100

20 400

30 900

40 1600

50 2500

60 3600

70 4900

De igual manera, para poder formar la matriz se deben hallar los elementos con sumatorias:

1 10 100 100 1000 10000 1000 10000

2 20 400 400 8000 160000 8000 160000

3 30 900 900 27000 810000 27000 810000

4 40 1600 1600 64000 2560000 64000 2560000

5 50 2500 2500 125000 6250000 125000 6250000

6 60 3600 3600 216000 12960000 216000 12960000

7 70 4900 4900 343000 24010000 343000 24010000

SUMATORIA 280 14000 14000 784000 46760000 784000 46760000

7

Formando matriz:

[

]

[

]

Resolviendo:

[

] [ ]

Por lo tanto la función de oferta es:

Analizando la función, se puede observar que pasara por el origen, lo que indica que a un precio

gratuito el oferente no está dispuesto a ofrecer su producto en el mercado.

REGRESIÓN LINEAL PARA UNA FUNCIÓN MULTIVARIABLE:

La presente regresión lineal es para funciones donde la variable dependiente depende de dos o más

variables independientes.

Por ejemplo una función de demanda donde se incorpora el ingreso de las personas:

Para obtener esta función se debe realizar un procedimiento similar al de una función cuadrática:

Primero se debe formar la matriz “A” ampliada con la información del ingreso de las personas:

[

]

La matriz B sin cambios:

[

]

Nuevamente bajo la misma definición:

Y por inversa:

8

[ ]

Desarrollando las matrices:

[ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

]

[ ∑

∑

∑

]

Terminando las operaciones obtenemos los parámetros deseados.

Ejercicio 3:

Obtención de una función de demanda con incorporación del ingreso:

Hallar la función de demanda en base a los siguientes datos:

10 100 180

20 120 160

30 140 140

40 160 120

50 180 100

60 190 70

70 200 40

Para formar la matriz se deben hallar las sumatorias:

1 10 100 180 100 1000 10000 1800 18000

2 20 120 160 400 2400 14400 3200 19200

3 30 140 140 900 4200 19600 4200 19600

4 40 160 120 1600 6400 25600 4800 19200

5 50 180 100 2500 9000 32400 5000 18000

6 60 190 70 3600 11400 36100 4200 13300

7 70 200 40 4900 14000 40000 2800 8000

SUMATORIA 280 1090 810 14000 48400 178100 26000 115300

9

Formando matrices:

[

] [

]

[

]

Resolviendo:

[

]

Por lo tanto la función de demanda:

Analizando la función, como se podrá apreciar el parámetro 120 indica la cantidad consumida que

no depende del ingreso ni del precio, el parámetro -4 muestra que si el precio se incrementa en una

unidad monetaria el consumo del bien X se reducirá en 4 unidades, y por último el parámetro 1 del

ingreso refleja que si el ingreso de una persona se incrementa en una unidad monetaria su consumo

se incrementara en una unidad.

Como se podrá observar en las regresiones ya presentadas el orden es importante a la hora resolver

los ajustes, se debe tener cuidado en el orden de la función, la matriz y en la función que se desea

obtener, o sea, si se desea obtener una función bajo el enfoque de Marshall: o una

función bajo el enfoque de Walras:

OTRAS FUNCIONES (OTRO MÉTODO SIN MATRICES):

FUNCIÓN PRODUCTO:

La presente función es aquella a la cual le corresponde la recta que pasa por el origen, esta se usa

para la obtención de una función de oferta, tiene la forma:

Para hallar la constante se debe usar una sencilla formula, la cual se demostrara a continuación:

Se adiciona el margen de error a la función, también llamada variable estocástica:

Donde , es conocida como el término de perturbación, o margen de error, es una variable

aleatoria (estocástica) que tiene propiedades probabilísticas claramente definidas. El término de

perturbación o variable estocástica puede representar claramente todos aquellos factores que

afectan a la variable que se desea estudiar pero que no se consideran en la función o el modelo. En

otras palabras la variable absorbe todas aquellas variables que explican el comportamiento de

la variable dependiente pero que no están planteadas en la función o el modelo, ya sea porque no

son cuantificables o medibles.

10

Posteriormente se aplica MCO:

∑ ∑

Derivando la función para minimizar los errores:

∑

∑

Resolviendo:

∑

∑

∑ ∑

Despejando la constante se tiene:

∑

∑

Remplazando las sumatorias indicadas se obtiene el parámetro para la función producto.

Ejercicio 4:

Obtención de una función de oferta (recta que pasa por el origen):

Con los siguientes datos se desea hallar la función de oferta:

10 20

20 40

30 60

40 80

50 100

60 120

70 140

11

Según la definición se deben calcular las sumatorias:

1 10 20 200 100

2 20 40 800 400

3 30 60 1800 900

4 40 80 3200 1600

5 50 100 5000 2500

6 60 120 7200 3600

7 70 140 9800 4900

SUMATORIA 280 560 28000 14000

Por lo tanto:

Entonces la función de oferta es:

Analizando función para la presente función la constante 2 refleja que si el precio se incrementa en

una unidad monetaria la cantidad ofertada se incrementara en 2 unidades.

FUNCIÓN HIPERBÓLICA:

La presente función se usa principalmente para la obtención de funciones de demanda debido a la

relación inversa existente en la función, el cálculo es similar al anterior, la función tiene la forma:

Para hallar la constante se realizara un cambio de variable y de igual manera se adicionara el

margen de error:

Cambio de variable:

Entonces:

12

Aplicando MCO:

∑ ∑

Derivando la función para minimizar los márgenes de error:

∑

∑

Resolviendo:

∑

∑ ∑

∑ ∑

Despejando :

∑

∑

Volviendo al cambio de variable:

∑

∑

Resolviendo el cociente se obtiene el valor de la constante.

Ejercicio 5:

Obtención de una función de demanda hiperbólica:

En base a los siguientes datos obtener la función de demanda:

10 12

20 6

30 4

40 3

50 2,4

13

Resolviendo y reemplazando:

1 10 12 1,2 0,01

2 20 6 0,3 0,0025

3 30 4 0,13333333 0,00111111

4 40 3 0,075 0,000625

5 50 2,4 0,048 0,0004

SUMATORIA 150 27,4 1,75633333 0,01463611

Por lo tanto:

,

,

Entonces la función de demanda será:

FUNCIÓN CUADRÁTICA:

Anteriormente se desarrolló la regresión lineal para la presente función usando matrices, ahora se

desarrollara el método de ajuste lineal usando otro método:

Ampliando la función con la variable estocástica y efectuando cambio de variable:

Función adicionando el margen de error:

Aplicando MCO:

∑ ∑

14

Derivando función:

∑

∑

Resolviendo:

∑

∑ ∑

∑ ∑

Despejando y volviendo al cambio de variable:

∑

∑

∑

∑

Ejercicio 6:

Resolviendo nuevamente el ejercicio 5 con el presente método.

Obtención de una función de oferta (cuadrática):

Con los siguientes datos se desea hallar la función de oferta:

10 100

20 400

30 900

40 1600

50 2500

60 3600

70 4900

15

Resolviendo y reemplazando valores:

1 10 100 10000 10000

2 20 400 160000 160000

3 30 900 810000 810000

4 40 1600 2560000 2560000

5 50 2500 6250000 6250000

6 60 3600 12960000 12960000

7 70 4900 24010000 24010000

SUMATORIA 280 14000 46760000 46760000

Entonces:

La función de oferta será:

Por lo tanto verifica con el anterior resultado, ambos métodos son útiles para poder hallar este tipo

de función de oferta.

Las funciones y sus respectivos procedimientos con MCO expuestas anteriormente llegan a ser una

aplicación básica del presente tema, ya que conforman funciones sencillas de hallar, resolver y

analizar, en posteriores trabajos se realizaran los procedimientos, demostraciones y sus respectivos

análisis de funciones ya de mayor dificultad y mayor contenido.

Por último, algo importante que se debe recalcar es que estos métodos son útiles por ejemplo para

realizar un estudio de mercado y pretender hallar funciones para el respectivo estudio de este, pero

estos no tendrán la esencia fundamental si no son interpretados y analizados como se deben. El

método de los MCO (Mínimos Cuadrados Ordinarios) solo conforma una herramienta para la

realización de un trabajo, proyecto o estudio, lo importante es llegar a analizar lo que se obtendrá,

caso contrario el trabajo no tiene sentido alguno.

El presente trabajo fue realizado como un curso básico del uso y el análisis de los MCO, para introducir a

los alumnos al estudio de la Econometría, pese a ello el presente documento solo conforma la primera

parte introductoria, donde se podrán apreciar principalmente aplicaciones Microeconómicas básicas. Sin

embargo se espera que el estudiante forme una sólida base en estas aplicaciones para posteriormente

introducir temas más completos y avanzados.