Upload
zgembo-handislic
View
113
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
BBB
Citation preview
REGRESIJSKA I KORELACIJSKA REGRESIJSKA I KORELACIJSKA REGRESIJSKA I KORELACIJSKA REGRESIJSKA I KORELACIJSKA REGRESIJSKA I KORELACIJSKA REGRESIJSKA I KORELACIJSKA REGRESIJSKA I KORELACIJSKA REGRESIJSKA I KORELACIJSKA
ANALIZAANALIZAANALIZAANALIZAANALIZAANALIZAANALIZAANALIZA
REGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZA
Neke pojave u poslovanju, gospodarstvu i drugim područjima djelatnosti međusobno su povezane i uvjetovanepovezane i uvjetovane, npr. povećanje opsega proizvodnje povećava ukupne troškove; osobna potrošnja stanovništva ovisi o raspoloživom dohotku i dr.
Cilj istraCilj istražživanja odnosa među pojavamaivanja odnosa među pojavamaje utvrditi statističku ovisnost i pokazatelje jakosti takve ovisnosti. U tu svrhu koriste se metode regresijske i korelacijske analize (regresijaregresija =statistički odnos među pojavama; korelacijakorelacija = uzajamna ovisnost).
Funkcionalne i statistiFunkcionalne i statistiFunkcionalne i statistiFunkcionalne i statističčččke vezeke vezeke vezeke veze
Odnosi (veze) među pojavama mogu biti funkcionalni i statistički (stohastički):
�� Funkcionalni odnosi (veze) Funkcionalni odnosi (veze) su postojani, izražavaju zakonitosti koje se iskazuju analitički (formulom, jednadžbom). Svakoj vrijednosti jedne pojave odgovara točno određena vrijednost druge pojave. Primjer:Primjer: površina kvadrata ovisi o njegovoj stranici. Odnos je funkcionalan, jer se izražava jednadžbom (P=a2).
�� StatistiStatističčki ili stohastiki ili stohastiččki odnosi (veze) ki odnosi (veze) su slabiji od funkcionalnih. Svakoj vrijednosti jedne pojave odgovara više različitih vrijednosti druge pojave. Takva odstupanja su u praksi češća.Primjer:Primjer: zaposlenici iste stručne spreme imaju različite (a ne iste) plaće; kućanstva s istim dohotkom imaju različitu (a ne istu) razinu potrošnje; sve osobe iste visine nemaju jednaku težinu i dr.
REGRESIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA ANALIZA
Za statističku analizu potrebno je izabrati:
�� empirijske vrijednosti empirijske vrijednosti za varijable XX i YY�� oblik modelaoblik modela, tj. funkciju f(X)f(X)
Pomoćno sredstvo za izbor funkcije je dijagram rasipanjadijagram rasipanja (grafički prikaz empirijskih vrijednosti).
REGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZA
Dijagram rasipanja Dijagram rasipanja u pravokutnom koordinatnom sustavu točkama prikazuje parove vrijednosti dviju promatranih numeričkih varijabli.
yi
xi
(a) (a) pozitivna funkcionalnapozitivna funkcionalna
vezaveza
yi
xi
((bb) pozitivna statisti) pozitivna statističčkaka
vezaveza
REGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZA
(c) (c) negativna funkcionalnanegativna funkcionalna
vezaveza
yi
xi
yi
xi
(d) (d) negativna statistinegativna statističčkaka
vezaveza
REGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZA
(e) (e) pozitivna funkcionalnapozitivna funkcionalna
krivolinijska vezakrivolinijska veza
yi
xi
yi
xi
(f) (f) pozitivna statistipozitivna statističčkaka
krivolinijska vezakrivolinijska veza
REGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZA
Uzastopne vrijednosti ne kovariraju, tj. nisu međusobno korelirane:
(g)(g) nema veze među nema veze među
pojavamapojavama
yi
xi
REGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZAREGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZA
�Pod pojmom korelacijakorelacija podrazumijeva se međuzavisnost ili povezanost slučajnih varijabli.
� Po smjerusmjeru korelacija može biti pozitivna i negativna. � Pozitivna korelacija je prisutna kada rast jedne varijable prati rast druge promatrane varijable, odnosno kada pad jedne prati pad druge varijable.
� Negativna korelacija prisutna je kada rast jedne varijable prati pad druge varijable i obratno.
�Za razliku od korelacijske analize zadaća regresijske regresijske analizeanalize je da pronađe analitičko-matematički oblik veze između jedne ovisne ili regresand varijable i jedne ili više neovisnih ili regresorskih varijabli.
Model jednostavne linearne regresijeModel jednostavne linearne regresijeModel jednostavne linearne regresijeModel jednostavne linearne regresije
Ako su u analizi prisutne samo dvije varijable tada se radi o jednostavnoj regresijijednostavnoj regresiji. Na temelju uzorka parova vrijednosti varijabli X i Y crta se dijagram rasipanja:
y
xxi
yi
Model jednostavne linearne regresijeModel jednostavne linearne regresijeModel jednostavne linearne regresijeModel jednostavne linearne regresije
Y Y –– zavisna varijablazavisna varijabla, vrijednost pojave čije se varijacije objavarijacije objaššnjavaju njavaju modelommodelom (npr. broj kupljenih proizvoda A)
X X –– nezavisna varijablanezavisna varijabla, stvarne vrijednosti pojave kojom se objaobjaššnjavaju varijacije zavisne varijablenjavaju varijacije zavisne varijable (npr. spol, dob)
Jednostavna linearna regresija Jednostavna linearna regresija predstavlja odnos između dvije pojave i to takav da promjenu jedne pojave prati približno linearna promjena druge:
Y = f(X) + e
f(X) = a + b X
Deterministički dio modela glasi:
Y = deterministička komponenta + slučajna pogreška
iii ebXaY ++=
y
xxi
yi
ei
bXaY +=ˆ
eeii –pogrepogrešška relacijeka relacije, varijabla koja izražava nepoznate i apstrahirane utjecaje na varijaciju varijable Y
• Svaka točka dijagrama rasipanja zadovoljava jednadžbu:
odnosno svaka tosvaka toččka Yka Yii odstupa od linije pravca za pozitivnu odstupa od linije pravca za pozitivnu ili negativnu razliku eili negativnu razliku eii.
Model jednostavne linearne regresijeModel jednostavne linearne regresijeModel jednostavne linearne regresijeModel jednostavne linearne regresije
1. Regresijska funkcija1. Regresijska funkcija1. Regresijska funkcija1. Regresijska funkcija
gdje je:
�� aa konstantni konstantni ččlanlan, tj. otj. oččekivana vrijednost zavisne ekivana vrijednost zavisne varijable kada je nezavisna varijabla jednaka nulivarijable kada je nezavisna varijabla jednaka nuli::
bXaY +=ˆ
Ya =
Ocijenjeni model Ocijenjeni model glasi:
•• Regresijski koeficijent Regresijski koeficijent bb pokazujepokazuje prosjeprosječčnu promjenu nu promjenu zavisne varijable kada se nezavisna varijabla promjeni zavisne varijable kada se nezavisna varijabla promjeni za jedinicu mjereza jedinicu mjere. Ovaj parametar interpretira se i kao koeficijent smjera, odnosno nagiba regresijskog pravca koji može imati pozitivni i negativni predznak, ovisno o smjeru veze između promatranih varijabli.
(kada je X=0). Ovaj parametar interpretira se i kao odsječak na osi koordinata u kojoj regresijski pravac siječe os, uz pretpostavku da je apscisa te točke X=0.
2. Regresijska funkcija2. Regresijska funkcija2. Regresijska funkcija2. Regresijska funkcija
Može se postaviti i suprotna ovisnost u modelusuprotna ovisnost u modelu, na način da je varijabla X sada ovisna ili varijabla X sada ovisna ili regresorska varijablaregresorska varijabla:
Xi = a’ + b’Yi + ei
Ocjena parametara u ovom slučaju vrši se na jednak način kao kod početnog modela , samo što je sada X ovisna varijabla, pa u izrazima za izračunavanje parametara (metoda najmanjih kvadrata), X i Ymijenjaju mjesta.
Procjena parametara modelaProcjena parametara modelaProcjena parametara modelaProcjena parametara modela
∑
∑
=
=
−
−=
n
i
i
n
i
ii
xnx
yxnyx
b
1
22
1
Parametri Parametri modela jesu:
xbya −=
ModelModel jednostavne linearne regresije (regresijska funkcija) s procijenjenim parametrima glasi:
bxay +=ˆ
Regresijske jednadRegresijske jednadRegresijske jednadRegresijske jednadžžžžbebebebe
Za dvije varijable (X i Y) moguće je postaviti dva regresijska modela:
�� XX nezavisna varijabla, a YY zavisna varijabla
�� YY nezavisna varijabla, a XX zavisna varijabla
Prva regresijska jednadPrva regresijska jednadPrva regresijska jednadPrva regresijska jednadžžžžbabababa
ubxay ++=ˆ
yyu iiˆ−=
( )bxayu ii +−=
∑
∑
=
=
−
−=
n
i
i
n
i
ii
xnx
yxnyx
b
1
22
1 xbya −=
Parametri regresijske jednadžbe:
ui ⇒ pogreška relacije
Prva regresijska jednadžba (yy zavisna varijabla):
Druga regresijska jednadDruga regresijska jednadDruga regresijska jednadDruga regresijska jednadžžžžbabababa
'''ˆ uybax ++=
xxu iiˆ' −=
( )ybaxu ii ''' +−=
∑
∑
=
=
−
−=
n
i
i
n
i
ii
yny
yxnyx
b
1
22
1' ybxa '' −=
'
iu
Parametri regresijske jednadžbe:
⇒ pogreška relacije
Druga regresijska jednadžba (xx zavisna varijabla):
Reprezentativnost linearne regresijeReprezentativnost linearne regresijeReprezentativnost linearne regresijeReprezentativnost linearne regresije
Nakon ocjene parametara regresijskog modela postavlja se pitanje reprezentativnostireprezentativnosti, odnosno sposobnosti modela da objasni kretanje ovisne varijable Y uz pomoć odabrane neovisne varijable X.
Varijanaca regresije Varijanaca regresije je aritmetička sredina kvadrata rezidualnih odstupanja:
( )
n
yyn
i
ii
y
∑=
−= 1
2
2
ˆ
ˆ
σ
( )
n
yyn
i
ii
y
∑=
−= 1
2
ˆ
ˆ
σ
Standardna devijacija regresijeStandardna devijacija regresije je apsolutni pokazatelj reprezentativnosti regresijskog modela, a pokazuje prosječni stupanj varijacije stvarnih vrijednosti ovisne varijable u odnosu na očekivane regresijske vrijednosti:
Reprezentativnost linearne regresijeReprezentativnost linearne regresijeReprezentativnost linearne regresijeReprezentativnost linearne regresije
�Relativni pokazatelj reprezentativnosti regresijskog modela je koeficijent varijacije regresijekoeficijent varijacije regresije, koji predstavlja postotak standardne pogreške regresije od aritmetičke sredine varijable Y.
�Što je koeficijent varijacije regresijskog modela bliži nuli, to je model reprezentativniji.
�Često se uzima dogovorena granica reprezentativnosti od 10%. Dakle ako je koeficijent varijacije manji od 10% kaže se da je model reprezentativan (dobar).
100ˆ
ˆ ⋅=y
Vy
y
σ
Reprezentativnost linearne regresijeReprezentativnost linearne regresijeReprezentativnost linearne regresijeReprezentativnost linearne regresije
Odstupanja protumaOdstupanja protumaččena modelom ena modelom (SP = ST – SR):
( )∑=
−=n
i
i yySP1
2ˆ
( )∑=
−=n
i
i yyST1
2
( )∑=
−=n
i
i yySR1
2ˆ
Ukupna odstupanjaUkupna odstupanja:
NeprotumaNeprotumaččena odstupanjaena odstupanja:
Reprezentativnost linearne regresijeReprezentativnost linearne regresijeReprezentativnost linearne regresijeReprezentativnost linearne regresije
Koeficijent determinacije Koeficijent determinacije –– RR22 predstavlja omjer protumačenih i ukupnih odstupanja:
ST
SPR =2
10 2 ≤≤ R
Visina koeficijenta determinacije govori o reprezentativnosti modela – model je reprezentativniji što je R2 bliži 1:
Procjena koeficijenta korelacije Procjena koeficijenta korelacije Procjena koeficijenta korelacije Procjena koeficijenta korelacije
Najpoznatija mjera linearne korelacije između slučajnih varijabli je Pearsonov koeficijent linearne korelacije Pearsonov koeficijent linearne korelacije (r)(r).
Vrijednost koeficijenta korelacije kreće se u intervalu:
-1≤ r ≤1
Koeficijent korelacije (r) Koeficijent korelacije (r) predznak dobiva prema predznaku parametra bb, a može se izračunati iz koeficijenta determinacije:
2Rr =
Procjena koeficijenta korelacije Procjena koeficijenta korelacije Procjena koeficijenta korelacije Procjena koeficijenta korelacije
U skladu s veličinom ovog koeficijenta može se zaključiti smjer i intenzitet linearne korelacije među promatranim varijablama:
Chadockova ljestvicaChadockova ljestvica
R2 r Objašnjenje
0 0 Odsutnost veze
0,00-0,25 0,00-0,50 Slaba veza
0,25-0,64 0,50-0,80 Veza srednje jakosti
0,64-1 0,80-1 Čvrsta veza
1 1 Potpuna veza
Procjena koeficijenta korelacije Procjena koeficijenta korelacije Procjena koeficijenta korelacije Procjena koeficijenta korelacije
NAPOMENA:NAPOMENA:
� prije donošenja zaključka provjeriti koeficijent varijacije koeficijent varijacije regresijske funkcije (je li zaista riječ o linearnoj funkciji)
� kod donošenja zaključka treba tumačiti i koeficijent determinacije koeficijent determinacije i koeficijent koeficijent korelacije korelacije
Model jednostavne linearne regresijeModel jednostavne linearne regresijeModel jednostavne linearne regresijeModel jednostavne linearne regresije
Primjer 1.Primjer 1.Tablica 1. Godine obrazovanja i prosječne plaće
zaposlenika u trgovini «Z» u 2009. god.
Godine obrazovanja (xi)
Prosječna neto mjesečna plaća u kn (yi)
6 3.5008 3.60010 3.60012 4.10012 4.20014 4.90014 4.70015 4.90016 5.80018 6.500125 45.800
Izvor: Podaci trgovine «Z», 2010. god.
Zadatak je:a) nacrtati dijagram rasipanjab) ocijeniti parametre jednadžbi
pravaca linearne regresijec) izračunati koeficijent
determinacijed) izračunati Pearsonov
koeficijent linearne korelacijee) izračunati koeficijent
varijacije regresije
Dijagram rasipanjaDijagram rasipanjaDijagram rasipanjaDijagram rasipanja
0
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
7.000
5 7 9 11 13 15 17 19
Mje
sečna p
laća
Godine obrazovanja
Izvor: Podaci trgovine «Z», 2010.god.
Grafikon 1. Godine obrazovanja i prosječne plaćezaposlenika u trgovini «Z» u 2009. god.
Primjer 1.Primjer 1.
(xi) (yi)
6 3.5008 3.60010 3.60012 4.10012 4.20014 4.90014 4.70015 4.90016 5.80018 6.500125 45.800
xiyi
21.00028.80036.00049.20050.40068.60065.80073.50092.800117.000603.100
36641001441441961962252563241.685
2
ix JednadJednadžžba prvog pravca regresije:ba prvog pravca regresije:
8,2495,12101685
45805,12106031002
1
22
1 =⋅−
⋅⋅−=
−
−=
∑
∑
=
=n
i
i
n
i
ii
XnX
YXnYX
b
6,14575,128,2494580 =⋅−=−= XbYa
XbXaY 8,2495,1457ˆ +=+=
Regresijski koeficijent (b) pokazuje da se mjesečna neto plaća povećava u prosjeku za 249,8 kn kada se dužina obrazovanje produži za 1 godinu.
458010
458001 ===∑
=
n
y
y
n
i
i
5,1210
1251 ===∑
=
n
x
x
n
i
i
Primjer 1.Primjer 1.
(xi) (yi)
6 3.5008 3.60010 3.60012 4.10012 4.20014 4.90014 4.70015 4.90016 5.80018 6.500125 45.800
xiyi
21.000
28.800
36.000
49.200
50.400
68.600
65.800
73.500
92.800
117.000603.100
12.250.000
12.960.000
12.960.000
16.810.000
17.640.000
24.010.000
22.090.000
24.010.000
33.640.000
42.250.000218.620.000
2
iy JednadJednadžžba drugog pravca regresije:ba drugog pravca regresije:
Regresijski koeficijent (b’) pokazuje da se obrazovanje produžilo u prosjeku za 0,0035 godine ukoliko se mjesečna neto plaća povećala za 1 kn.
0035,0458010218620000
45805,1210603100'
2
1
22
1 =⋅−⋅⋅−
=−
−=
∑
∑
=
=n
i
i
n
i
ii
YnY
YXnYX
b
53,345800035,05,12'' −=⋅−=−= YbXa
YYbaX 0035,053,3''ˆ +−=+=
4580=y5,12=x
Primjer 1.Primjer 1.�� Koeficijent determinacijeKoeficijent determinacije
ST
SPR =2
( )∑=
−=n
i
yySP1
2
1ˆ
( )∑=
−=n
i
i yyST1
2
(xi) (yi)
6 3.500
8 3.600
10 3.600
12 4.100
12 4.200
14 4.900
14 4.700
15 4.900
16 5.800
18 6.500
125 45.800
2.956
3.456
3.956
4.455
4.455
4.955
4.955
5.204
5.454
5.954
45.800
iy
2636316
1263560
389988
15600
15600
140395
140395
389987
764375
1887539
7643754
1166400
960400
960400
230400
144400
102400
14400
102400
1488400
3686400
8856000
XY 8,2492,1457ˆ +=
( )2ˆ yyi − ( )2
yyi −
7643754=SP
8856000=ST
863,08856000
76437542 ==R
�� Pearsonov koeficijent korelacijePearsonov koeficijent korelacije 2Rr = 93,0863,0 ==r
Primjer 1.Primjer 1.
(xi) (yi)
6 3.5008 3.60010 3.60012 4.10012 4.20014 4.90014 4.70015 4.90016 5.80018 6.500125 45.800
295.58120.760
126.387126.09765.0772.991
64.86992.714
119.519298.250
1.212.245
Varijanca regresije:Varijanca regresije:
Koeficijent varijacije regresije manji je od 10% pa je ocijenjeni model regresije reprezentativan.
�� Koeficijent varijacije regresijeKoeficijent varijacije regresije
( )
n
yyn
i
ii
y
∑=
−= 1
2
2
ˆ
ˆ
σ
( )∑=
−=n
i
ii yySR1
2ˆ
5,12122410
12122452
ˆ ==yσ
1212245=SR
2
ˆˆ yy σσ =
Standardna devijacija regresije:Standardna devijacija regresije:
17,3485,121224ˆ ==yσ
Koeficijent varijacije regresije:Koeficijent varijacije regresije:
100ˆ
ˆ ⋅=y
Vy
y
σ%6,7100
4580
17,348ˆ =⋅=yV
( )2ˆ
ii yy −
KOEFICIJENT KORELACIJE RANGA
Koeficijent korelacije rangaKoeficijent korelacije rangaKoeficijent korelacije rangaKoeficijent korelacije ranga
� Koeficijent korelacije ranga koristi se za ispitivanje stupnja veze između pojava ispitivanje stupnja veze između pojava danih u obliku modaliteta ordinalne (redoslijedne, ordinalne (redoslijedne, rang) varijablerang) varijable.
� Najpoznatija mjera korelacije ranga između dviju varijabli je Spearmanov koeficijent Spearmanov koeficijent korelacije ranga (rkorelacije ranga (rSS)).
Spearmanov koeficijent korelacije Spearmanov koeficijent korelacije Spearmanov koeficijent korelacije Spearmanov koeficijent korelacije
Postupak:kreiraju se parovi vrijednosti varijabli ranga:r(xr(xii), r(y), r(yii)), i=1,2,...,n
za modalitete varijabli ranga, pretpostavlja se da poprimaju vrijednosti prvih n prirodnih brojeva, izračunavaju se razlike rangova:ddii = r(x= r(xii) ) –– r(yr(yii)), i=1,2,...,n
pri potpunom slaganju varijacija varijabli ranga (perfektna rang-korelacija) razlika rangova varijable X i varijable Y jednaka je 0utjecaj predznaka razlika rangova uklanja se njihovim kvadriranjem
Spearmanov koeficijent korelacijeSpearmanov koeficijent korelacijeSpearmanov koeficijent korelacijeSpearmanov koeficijent korelacije
Može poprimiti vrijednosti iz intervala: --11≤≤ rrs s ≤≤11
�� rrssće biti --11 ako je redoslijed modaliteta varijable X obrnut od
redoslijeda modaliteta varijable Y
� ako dva modaliteta jedne varijable imaju jednaki rang, oba modaliteta pridružuju aritmetičku sredinu rangova
nn
d
r
n
i
i
s −−=∑
=3
1
26
1
Spearmanov koeficijent korelacije ranga glasi:
Primjer korelacije rangaPrimjer korelacije rangaPrimjer korelacije rangaPrimjer korelacije rangaPrimjer korelacije rangaPrimjer korelacije rangaPrimjer korelacije rangaPrimjer korelacije ranga
Primjer 2.Primjer 2.
Vlasnik velikog salona automobila «Z»želi utvrditi odnos između postignutih bodova na testu koji su prodavači ispunjavali prilikom prijema na posao i prodanih automobila, koje su ti prodavači uspjeli prodati tijekom svoje prve godine rada u tom salonu. Slučajni uzorak od 10 prodavača dao je sljedeće rezultate:
Tablica 2. Bodovi postignuti na testu i broj prodanih automobila
10 prodavača (N=10) autosalona “Z”, 2009. godine
Prodavač Bodovi na testu (xi)
Broj prodanih automobila (yi)
A 51 35
B 65 46
C 49 33
D 66 45
E 50 29
F 64 42
G 68 47
H 72 50
I 77 52
J 75 53
Izvor: Podaci autosalona “Z”, 2010. god.
Zadatak je izračunati Spearmanov koeficijent korelacije ranga.
Prvo se rangiraju vrijednosti varijabli:
Prodavač Bodovi na testu (xi)
Broj prodanih automobila (yi)
Rangirane varijable
r(xi) r(yi)
A 51 35 8 8
B 65 46 6 5
C 49 33 10 9
D 66 45 5 6
E 50 29 9 10
F 64 42 7 7
G 68 47 4 4
H 72 50 3 3
I 77 52 1 2
J 75 53 2 1
Primjer 2.Primjer 2.
Primjer 2.Primjer 2.
Prodavač Rangirane varijable
di = r(xi)-r(yi) di2
r(xi) r(yi)
A 8 8 0 0
B 6 5 1 1
C 10 9 1 1
D 5 6 -1 1
E 9 10 -1 1
F 7 7 0 0
G 4 4 0 0
H 3 3 0 0
I 1 2 -1 1
J 2 1 1 1
Nakon rangiranja varijabli, izračunavaju se razlike rangova vrijednosti varijabli X i Y (d):
∑=
=N
i
id1
2 6
Primjer 2.Primjer 2.
gdje N = broj parova vrijednosti varijabli X i Y
OOččita je jaka veza između postignutih bodova na testu i ita je jaka veza između postignutih bodova na testu i broja prodanih automobila.broja prodanih automobila.
96,01010
661
6
133
1
2
=−⋅
−=−
⋅−=
∑=
NN
d
r
N
i
i
s
Spearmanov koeficijent korelacije ranga Spearmanov koeficijent korelacije ranga iznosi:
∑=
=N
i
id1
2 6