Realized - Software Package 0.8

7/28/2019 Realized - Software Package 0.8

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R e a l i z e d S o f t w a r e P a c k a g e 0 . 8

S c o t t P a y s e u r ( s p a y s e u r @ u . w a s h i n g t o n . e d u )

S e p t e m b e r 2 6 , 2 0 0 7

h t t p : / / s t u d e n t s . w a s h i n g t o n . e d u / s p a y s e u r / r e a l i z e d

A b s t r a c t

T h i s i s a b e t a r e l e a s e a n d i s m e a n t t o s o l i d i f y t h e a c c u r a c y a n d u s e a b i l i t y o f t h e s o f t w a r e . P l e a s e

c o n t a c t m e w i t h a n y b u g s , s u g g e s t i o n s o r c o m m e n t s a t s p a y s e u r @ u . w a s h i n g t o n . e d u . P l e a s e s i t e i f u s e d

f o r a c a d e m i c p u r p o s e s . T h i s v e r s i o n c o n t a i n s t h e f o l l o w i n g i m p r o v e m e n t s a s c o m p a r e d t o v e r s i o n 0 . 7 : a n

i n t e r f a c e t o S P l u s t i m e S e r i e s o b j e c t s ( s e e s e c t i o n S P l u s s u p p l e m e n t ) , a n e w r e a l i z e d O b j e c t , n e w e x a m p l e

d a t a , a n d m u l t i p l e b u g x e s .

1


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C O N T E N T S 2

C o n t e n t s

1 I n t r o d u c t i o n 3

1 . 1 D a t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 R e a l i z e d V a r i a n c e 5

2 . 1 S i g n a t u r e P l o t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 . 1 . 1 O n e D a y S i g n a t u r e P l o t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 . 2 K e r n e l E s t i m a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

2 . 3 S u b s a m p l e E s t i m a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

2 . 4 S i n g l e E s t i m a t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

3 R e a l i z e d C o v a r i a n c e 1 4

3 . 1 L e a d - L a g / K e r n e l E s t i m a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

3 . 2 H a y a s h i - Y o s h i d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

3 . 3 S u b - S a m p l e E s t i m a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

3 . 4 S i n g l e E s t i m a t e s a n d C o v a r i a n c e M a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

4 R e a l i z e d C o r r e l a t i o n 1 9

4 . 1 S i n g l e E s t i m a t e s a n d C o r r e l a t i o n M a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

5 P l o t t i n g T o o l s 2 1

5 . 1 R e a l i z e d A c c u m u l a t i o n a n d M a r g i n a l C o n t r i b u t i o n P l o t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

5 . 2 S c a t t e r P l o t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3

6 E x a m p l e : I m p o r t i n g D a t a 2 4


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1 I N T R O D U C T I O N 3

1 I n t r o d u c t i o n

T h i s l i b r a r y c o n t a i n s c u r r e n t r e a l i z e d v a r i a n c e , c o v a r i a n c e a n d c o r r e l a t i o n e s t i m a t o r s . S h e p h a r d a n d B a r n d o r -

N i e l s e n ( 2 0 0 5 ) p r o v i d e a t h o r o u g h s u r v e y o f t h i s l i t e r a t u r e . T h e l i b r a r y a l s o c o n t a i n s m u l t i p l e p l o t t i n g

f u n c t i o n s t o h e l p s t u d y t h e p r o b l e m o f r e a l i z e d c a l c u l a t i o n s , a s w e l l a s , t h e d i e r e n c e s b e t w e e n e s t i m a t o r s .

W h i l e t h e r e h a s b e e n m a n y a d v a n c e s i n s o l v i n g t h e p r o b l e m o f r e a l i z e d e s t i m a t i o n i t i s a p p a r e n t t h a t t h e

b e s t e s t i m a t e d e p e n d s o n e a c h d i e r e n t d a t a s e t , d u r a t i o n , a n d a s s e t c l a s s . T h i s l i b r a r y w i l l n o t o n l y c a l -

c u l a t e e s t i m a t e s o f r e a l i z e d q u a n t i t i e s b u t a l s o h e l p t h e p r a c t i t i o n e r v e r i f y t h a t t h e e s t i m a t i o n m e t h o d t h e y

a r e u s i n g g i v e s a r e l i a b l e e s t i m a t e . T h e l i b r a r y d o e s n o t i n c l u d e a n y o p t i m a l s a m p l i n g f r e q u e n c y , o p t i m a l

s u b g r i d , o r o p t i m a l l a g l e n g t h c a l c u l a t i o n s , h o w e v e r , t h i s i s p l a n n e d f o r v e r s i o n 1 . 0 .

1 . 1 D a t a

T h e f o c u s o f t h i s l i b r a r y i s t h e c a l c u l a t i o n a n d e x p l o r a t i o n o f r e a l i z e d v a r i a n c e , c o v a r i a n c e a n d c o r r e l a t i o n

e s t i m a t e s . I h a v e a t t e m p t e d t o m a k e t h e p a c k a g e d a t a a g n o s t i c a n d l e a v e i t u p t o t h e u s e r t o c l e a n a n d

a l i g n t h e d a t a . S + F i n m e t r i c s 3 . 0 a n d Y a n a n d Z i v o t ( 2 0 0 3 ) h a v e S + u t i l i t y f u n c t i o n s t h a t w i l l h e l p i n t h i s

e o r t . A f t e r d i s c u s s i o n s w i t h m a n y a c a d e m i c s a n d p r a c t i t i o n e r s i t a p p e a r s t h a t e v e r y o n e h a s t h e i r o w n d a t a

m a n a g e m e n t p r a c t i c e s a n d t h i s l i b r a r y w a s w r i t t e n t o h a n d l e v e r y g e n e r i c d a t a t y p e s t h a t c a n b e c r e a t e d

f r o m a n y d a t a m a n a g e m e n t s t r a t e g y .

F o r t h o s e s t a r t i n g f r o m s c r a t c h , I w i l l b r i e y d i s c u s s t h e d a t a m a n a g e m e n t s t r a t e g y t h a t I u s e f o r m y

d i s s e r t a t i o n . H i g h f r e q u e n c y d a t a p o s e s a m e m o r y i s s u e t h a t i s n o t c o m m o n i n m o s t t i m e - s e r i e s a n a l y s i s .

F o r a b a l l p a r k g u r e , s a y I h a v e 1 0 y e a r s w o r t h o f d a t a f o r 1 0 a s s e t s t h a t t r a d e a t a s i m i l a r f r e q u e n c y t h a t

M S F T i n 2 0 0 4 d o e s ( r o u g h l y 1 5 , 0 0 0 t r a d e s p e r d a y ) . T h e a m o u n t o f t r a n s a c t i o n s f o r t h e w h o l e p e r i o d i s

1 0 * 1 0 * 2 5 0 * 1 5 , 0 0 0 = 3 7 5 , 0 0 0 , 0 0 0 . A t s o m e p o i n t l o a d i n g t h i s i n t o m e m o r y b e c o m e s i n f e a s i b l e . H o w e v e r , a l l

o f t h e r e a l i z e d v a r i a n c e , c o v a r i a n c e a n d c o r r e l a t i o n c a l c u l a t i o n s a r e c o m p u t e d o v e r a p a r t i c u l a r t i m e i n t e r v a l .

T h i s t i m e i n t e r v a l c o r r e s p o n d s d i r e c t l y t o t h e i n t e g r a t i o n b o u n d s f o r i n t e g r a t e d v a r i a n c e

1

( T h i s t i m e i n t e r v a l

i s u s u a l l y o n e t r a d i n g d a y ) . T h i s a l l o w s u s t o k e e p o n l y o n e d a y o f d a t a i n m e m o r y a t a t i m e .

I i m p o r t e d N Y S E T r a d e s a n d Q u o t e s ( T A Q ) l e s i n t o a M y S Q L d a t a b a s e w i t h i n d i c e s o n t r a d e d a t e a n d

t i c k e r . F r o m t h e r e I u s e d t h e R O D B C l i b r a r y f o r R ( L a p s l e y ( 2 0 0 7 ) ) o r t h e i m p o r t D a t a c o m m a n d f o r S + t o

q u e r y f o r o n e d a y a n d o n e s t o c k a t a t i m e . A f t e r a l i g n i n g t h e l o g - r e t u r n s t o t h e h i g h e s t p o s s i b l e f r e q u e n c y ,

u s i n g t h e r e a l i z e d O b j e c t f u n c t i o n , t h e R e a l i z e d l i b r a r y i s u s e d . F o r m o r e i n f o r m a t i o n o n s e t t i n g u p y o u r

1

A s s u m i n g t h a t t h e l o g - p r i c e p r o c e s s f o l l o w s a n I t o p r o c e s s


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1 I N T R O D U C T I O N 4

o w n d a t a s e e S e c t i o n 6 o r t h e S + S u p p l e m e n t f o r S + u s e r s w i t h S + F i n m e t r i c s 3 . 0 o r Y a n a n d Z i v o t ( 2 0 0 3 ) ' s

s c r i p t

2

.

T h e r e a r e 1 1 d a y s o f M i c r o s o f t ( M S F T ) a n d G e n e r a l E l e c t r i c ( G E ) h i g h f r e q u e n c y t r a n s a c t i o n s i n c l u d e d i n

t h i s p a c k a g e . T h i s d a t a c o m e s f r o m t h e T A Q . I h a v e c l e a n e d t h i s d a t a u s i n g S + F i n m e t r i c s 3 . 0 a n d u s e d t h e

m e d i a n t r a n s a c t i o n f o r t r a n s a c t i o n s w i t h t h e e x a c t s a m e t i m e s t a m p . T h e d a t a s e t

m s f t . r e a l . t t s

i s a l i g n e d t o

t i c k - t i m e s a m p l i n g ( T T S ) a n d

m s f t . r e a l . c t s

i s a l i g n e d t o c a l e n d a r - t i m e s a m p l i n g ( C T S ) u s i n g t h e p r e v i o u s

t i c k m e t h o d ( f o r f u r t h e r d i s c u s s i o n o n a l i g n m e n t o f t r a d e s s e e H a n s e n a n d L u n d e , 2 0 0 6

)

. I t i s i m p o r t a n t t o

n o t e t h a t c a l c u l a t i o n o f r e a l i z e d c o v a r i a n c e a n d c o r r e l a t i o n m u s t b e p e r f o r m e d o n C T S d a t a , e x c e p t f o r t h e

H a y a s h i a n d Y o s h i d a ( 2 0 0 5 ) e s t i m a t o r .

T h e s a m p l e d a t a i s l o a d e d w i t h t h e f o l l o w i n g c o m m a n d s :

> l i b r a r y ( r e a l i z e d )

> d a t a ( m s f t . r e a l . c t s )

> d a t a ( m s f t . r e a l . t t s )

> d a t a ( g e . r e a l . c t s )

E a c h o f m s f t . r e a l . c t s , m s f t . r e a l . c t s , a n d m s f t . r e a l . c t s o b j e c t s i s a l i s t o f o b j e c t s r e p r e s e n t i n g a p a r t i c u l a r

m a r k e t d a y o f d a t a f r o m 5 / 1 / 1 9 9 7 t o 5 / 1 5 / 1 9 9 7 . T h e s e o b j e c t s a r e o f t y p e ' r e a l i z e d O b j e c t ' , S e c t i o n 6

c o n t a i n s e x a m p l e s o f c r e a t i n g y o u r o w n r e a l i z e d O b j e c t s . T h e r s t 1 0 M S F T r e t u r n s f o r 5 / 1 / 1 9 9 7 C T S

a l i g n e d d a t a a r e :

> m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] [ 1 : 1 0 ]

R e a l i z e d O b j e c t : ( l e n g t h = 1 0 , c t s = T R U E )

d a t a m i l l i s e c o n d s

0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 2 0 1 0 0 0

0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 2 0 2 0 0 0

0 . 0 0 1 0 2 4 0 6 6 3 4 2 0 3 0 0 0

0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 2 0 4 0 0 0

0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 2 0 5 0 0 0

0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 2 0 6 0 0 0

- 0 . 0 0 1 0 2 4 0 6 6 3 4 2 0 7 0 0 0

0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 2 0 8 0 0 0

0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 2 0 9 0 0 0

0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 2 1 0 0 0 0

T h e

r C u m S u m

f u n c t i o n p l o t s t h e c u m u l a t i v e r e t u r n s f o r a p a r t i c u l a r a l i g n m e n t o f t h e d a t a . T h e r s t s i x d a y s

o f M S F T T T S d a t a a t t h e h i g h e s t f r e q u e n c y o f e v e r y t i c k i s p l o t t e d i n F i g u r e 1 .

# F i g u r e 1 : M u l t i p l e d a y s o f M S F T c u m u l a t i v e r e t u r n s .

> p a r ( m f r o w = c ( 2 , 3 ) )

> t m p < - s a p p l y ( 1 : 6 , f u n c t i o n ( x , r e t s ) { p l o t ( r C u m S u m ( r e t s [ [ x ] ] ) , y l a b = " C u m u l a t i v e R e t u r n " , x l a b = " " ) } , r e t s = m s f t . r e a l . t t s

T h e d a t e s f o r t h e e x a m p l e d a t a a r e i n c l u d e d f o r e a s e o f u s e a n d a r e :

> d a t a ( d a t e s . e x a m p l e )

> d a t e s . e x a m p l e

2

A v a i l a b l e a t h t t p : / / f a c u l t y . w a s h i n g t o n . e d u / e z i v o t /


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2 R E A L I Z E D V A R I A N C E 5

F i g u r e 1 : M S F T c u m u l a t i v e r e t u r n s a l i g n e d a t h i g h e s t f r e q u e n c y i n t i c k t i m e .

[ 1 ] " 5 / 1 / 1 9 9 7 " " 5 / 2 / 1 9 9 7 " " 5 / 5 / 1 9 9 7 " " 5 / 6 / 1 9 9 7 " " 5 / 7 / 1 9 9 7 " " 5 / 8 / 1 9 9 7 "

[ 7 ] " 5 / 9 / 1 9 9 7 " " 5 / 1 2 / 1 9 9 7 " " 5 / 1 3 / 1 9 9 7 " " 5 / 1 4 / 1 9 9 7 " " 5 / 1 5 / 1 9 9 7 "

2 R e a l i z e d V a r i a n c e

T h i s s e c t i o n d i s c u s s e s t h e t h e o r y b e h i n d r e a l i z e d v a r i a n c e , p r o b l e m s w i t h r e a l i z e d v a r i a n c e e s t i m a t o r s a n d

i n t r o d u c e s t h e r e a l i z e d v a r i a n c e f u n c t i o n a l i t y o f t h e t h i s p a c k a g e . T h i s f u n c t i o n a l i t y i n c l u d e s t h e t r a d i t i o n a l

r e a l i z e d v a r i a n c e e s t i m a t o r ( A n d e r s e n e t a l . , 2 0 0 1 ; B a r n d o r - N i e l s o n a n d S h e p p a r d , 2 0 0 2 ) , k e r n e l b a s e d

e s t i m a t o r s ( Z h o u , 1 9 9 6 ; H a n s e n a n d L u n d e , 2 0 0 6 , 2 0 0 4 ; B a r n d o r - N i e l s e n e t a l . , 2 0 0 4 ) , s u b - s a m p l e b a s e d

e s t i m a t o r s ( Z h a n g e t a l . , 2 0 0 5 ) , a n d s i g n a t u r e p l o t s ( F a n g , 1 9 9 6 ; A n d e r s e n e t a l . , 2 0 0 0 ; P a y s e u r , 2 0 0 7 ) .

U n d e r c e r t a i n a s s u m p t i o n s , r e a l i z e d v a r i a n c e i s a n u n b i a s e d e s t i m a t e o f c o n d i t i o n a l v a r i a n c e . A n o v e r v i e w

o f t h e t h e o r y f o l l o w s . F o r e a c h d a y c o n s i d e r t h e o b s e r v e d p r i c e p r o c e s s t o b e :

Pti,m = Pti,m

Uti,m i = 1, 2, ..., (m + 1) ( 1 )

w h e r e ti r e p r e s e n t s t h e i t h i n d e x t h e m + 1 o b s e r v a t i o n p r i c e s e r i e s , w h i c h c a n b e T T S o r C T S w i t h a 1m

s a m p l i n g f r e q u e n c y . Pti,m i s t h e e c i e n t p r i c e a n d Uti,m i s m i c r o s t r u c t u r e n o i s e . A l o g - r e t u r n t r a n s f o r m a t i o n


6/28


y i e l d s

3

:

pti,m pti1,m yi,m

pti,m p

ti1,m

yi,m

+uti,m uti1,m

ei,m

i = 1, 2,...,m ( 2 )

W h e r e p ln(P), p ln(P), a n d u ln(U). A s s u m e t h a t t h e e c i e n t l o g p r i c e p r o c e s s , p , i s a c o n t i n u o u s

l o c a l m a r t i n g a l e :

dp = (t)dw(t) ( 3 )

w h e r e dw(t) i s a s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n a n d (t) i s t h e i n d e p e n d e n t c a d l a g s p o t v o l a t i l i t y p r o c e s s . T h e

q u a d r a t i c v a r i a t i o n o v e r t h e s u b - i n t e r v a l Ti,m t o Ti1,m ( Ti,m Ti1,m i s u s u a l l y o n e d a y ) i s d e n e d b y :

QVi,m = E(y2i,m) 1, 2,...,m ( 4 )

T h e r e a l i z e d v a r i a n c e o f t h e e c i e n t p r i c e p r o c e s s

RV(m) =

mi=1

y2i,m ( 5 )

c o n v e r g e s t o q u a d r a t i c v a r i a t i o n a s m . ( T h i s q u a n t i t y c o n v e r g e s t o i n t e g r a t e d v a r i a n c e i f t h e l o g - p r i c e

p r o c e s s i s I t o . )

H o w e v e r , yi,m i s l a t e n t a n d t h e o b s e r v a b l e r e a l i z e d v a r i a n c e b a s e d o n yi,m

RV(m) =

mi=1

y2i,m ( 6 )

i s b i a s e d a s m d u e t o t h e m i c r o s t r u c t u r e n o i s e , ei,m . T h e b i a s c a n b e s h o w n w i t h a s i m p l e e x p a n s i o n :

RV(m) =mi=1

y2i,m =

mi=1

y2i,m

RV

(m)

+

mi=1

e2i,m

RV

(m)u

+

2 mi=1

yi,mei,m

2RC

(m),u

( 7 )

3

A l l o f t h e f u n c t i o n s f r o m t h e R e a l i z e d p a c k a g e a s s u m e t h a t y o u r l o g r e t u r n v e c t o r i s i n t h e f o r m

yi,m w i t h m a t a s h i g h a

f r e q u e n c y a s p o s s i b l e .


7/28


T h e b i a s i s c o m p o s e d o f t w o c o m p o n e n t s . T h e r e a l i z e d v a r i a n c e o f t h e n o i s e p r o c e s s , RV(m)u , a n d t h e r e a l i z e d

c o v a r i a n c e b e t w e e n t h e e c i e n t p r i c e a n d n o i s e p r o c e s s e s , RC(m),u . T h i s b i a s i s t y p i c a l l y p o s i t i v e a s m

( a l w a y s p o s i t i v e a s s u m i n g t h a t t h e n o i s e a n d e c i e n t p r i c e p r o c e s s e s a r e u n c o r r e l a t e d ) d u e t o a n e g a t i v e

a u t o c o r r e l a t i o n i n t h e n o i s e p r o c e s s k n o w n a s b i d - a s k - b o u n c e .

2 . 1 S i g n a t u r e P l o t s

T h e u p w a r d b i a s i n t h e t r a d i t i o n a l r e a l i z e d v a r i a n c e e s t i m a t o r a t h i g h s a m p l i n g f r e q u e n c i e s c a n b e s e e n

g r a p h i c a l l y i n a v o l a t i l i t y s i g n a t u r e p l o t ( A n d e r s e n e t a l . , 2 0 0 0 a n d F a n g , 1 9 9 6 ) . T h i s t o o l d i s p l a y s t h e

s a m p l e a v e r a g e r e a l i z e d v a r i a n c e a c r o s s n d a y s ( o f t e n f o r o n e y e a r o r m o n t h ) , RV(m)

= 1n

nt=1 RV

(m)t , a s a

f u n c t i o n o f d i e r e n t s a m p l i n g f r e q u e n c i e s ,

1m

.

T h e f u n c t i o n

r S i g n a t u r e

i s u s e d t o c r e a t e a n a v e r a g e s i g n a t u r e p l o t . A s m e n t i o n e d a b o v e t h i s p a c k a g e t a k e s

a h a n d s o a p p r o a c h t o d a t a m a n a g e m e n t . F o r t h i s r e a s o n t h e w h e n t h e

r S i g n a t u r e

i s u s e d f o r m u l t i p l e d a y s

t h e i t e r a t i o n f u n c t i o n a n d i t e r a t i o n s a r g u m e n t s m u s t b e s p e c i e d

4

. T h e i t e r a t i o n f u n c t i o n m u s t r e t u r n a n

o b j e c t o f t y p e r e a l i z e d O b j e c t t h e i n t e r v a l Ti,m Ti1,m ( u s u a l l y e a c h t r a d i n g d a y ) . T h e o t h e r p a r a m e t e r s

i n t h e

r S i g n a t u r e

f u n c t i o n w i l l b e d i s c u s s e d i n t h e n e x t s e c t i o n . S i n c e t h e e x a m p l e d a t a i s a s i m p l e l i s t o f

r e a l i z e d O b j e c t s t h e i t e r a t i o n f u n c t i o n s i m p l y r e t u r n s t h e n e x t e l e m e n t o f t h e l i s t :

> p a r ( m f r o w = c ( 1 , 1 ) )

> s i m p l e I t e r a t i o n < - f u n c t i o n ( x , i , a r g s ) { x [ [ i ] ] }

A s i x d a y v a r i a n c e s i g n a t u r e p l o t f o r M S F T 5 / 1 / 1 9 9 7 t o 5 / 8 / 1 9 9 7 i s d i s p l a y e d i n F i g u r e 2 .

# F i g u r e 2

> p l o t ( r S i g n a t u r e ( ( 1 : 1 2 0 ) * 1 0 + 1 , m s f t . r e a l . c t s , x s c a l e = 1 / 6 0 , i t e r a t i o n . f u n c t = " s i m p l e I t e r a t i o n " ,

i t e r a t i o n s = 1 : 6 ) , y l a b = " R e a l i z e d V a r i a n c e " , x l a b = " S a m p l i n g F r e q u e n c y ( M i n u t e s ) " , m a i n = " M S F T " ,

s u b = p a s t e ( d a t e s . e x a m p l e [ [ 1 ] ] , d a t e s . e x a m p l e [ [ 1 1 ] ] , s e p = " - " ) )

2 . 1 . 1 O n e D a y S i g n a t u r e P l o t s

A v e r a g i n g a c r o s s m a n y d a y s c a n o b f u s c a t e t h e v o l a t i l e b e h a v i o r r e a l i z e d v a r i a n c e e s t i m a t e s a t l o w f r e q u e n c i e s .

T h i s r a n g e i s w h e r e t h e e s t i m a t o r i s b e l i e v e d t o b e u n b i a s e d . I n t h e r e a l i z e d v a r i a n c e a n d c o v a r i a n c e l i t e r a t u r e

t h e r e i s o f t e n a d i s c u s s i o n o f w h e t h e r t o s a m p l e a t 5 , 1 0 , 1 5 o r 2 0 m i n u t e s . T o m a k e t h i s d e t e r m i n a t i o n

p r a c t i t i o n e r s o f t e n u s e t h e f r e q u e n c y w h e r e t h e b i a s e n d s o n t h e s i g n a t u r e p l o t ( e . g . s o m e w h e r e a r o u n d a 3

m i n u t e s a m p l i n g f r e q u e n c y i n F i g u r e 2 ) . H o w e v e r , t h e r e c a n b e e x t r e m e l y l a r g e v a r i a b i l i t y b e t w e e n e s t i m a t e s

e v e n a f t e r t h e s a m p l i n g f r e q u e n c y i s l o w e n o u g h t o c o r r e c t t h e m i c r o s t r u c t u r e b i a s . P a y s e u r ( 2 0 0 7 ) u s e s

4

I n m y o w n r e s e a r c h t h e d a t a s e t i s a n o p e n O D B C c o n n e c t i o n t o m y d a t a b a s e , a n d t h e i t e r a t i o n f u n c t i o n a l l o w s m e t o q u e r y

t h e n e x t d a y .


8/28


F i g u r e 2 : S i x D a y A v e r a g e S i g n a t u r e P l o t f o r M S F T 5 / 1 / 1 9 9 7 t o 5 / 8 / 1 9 9 7

t h e o n e d a y s i g n a t u r e p l o t t o d e m o n s t r a t e h o w v o l a t i l e e s t i m a t e s c a n b e t o s m a l l d i e r e n c e s i n t h e s a m p l i n g

f r e q u e n c y .

T h e

r S i g n a t u r e

f u n c t i o n t a k e s t h e f o l l o w i n g i n p u t s :

> a r g s ( r S i g n a t u r e )

f u n c t i o n ( r a n g e , x , y = N U L L , t y p e = " n a i v e " , c o r = F A L S E , a r g s = l i s t ( ) ,

x s c a l e = 1 , i t e r a t i o n . f u n c t = " " , i t e r a t i o n s = N U L L , p l o t i t = F A L S E , c t s

= T R U E , m a k e R e t u r n s = F A L S E )

r a n g e

i s a n u m e r i c v e c t o r t h a t s p e c i e s a r a n g e o f v a l u e s a s i n p u t s t o r e a l i z e d e s t i m a t o r s .

x

i s a r e a l i z e d O b j e c t f o r t h e r s t a s s e t

y i s a r e a l i z e d O b j e c t f o r t h e s e c o n d a s s e t i n t h e c a s e o f c o v a r i a n c e o r c o r r e l a t i o n

t y p e i s t h e t y p e o f e s t i m a t o r t o u s e . I f y = N U L L t h e n t h e n t y p e m u s t b e t h e * s t r i n g f r o m t h e r v . * f u n c t i o n s a n d i f y i s n o t N U L L i t m u s t b e t h e * s t r i n g f r o m t h e r c . * f u n c t i o n s .

c o r

i f T R U E a n d

y i s n o t N U L L

a r e a l i z e d c o r r e l a t i o n s i g n a t u r e i s r e t u r n e d .

x s c a l e c o n t r o l s t h e s c a l e o f t h e x a x i s ( f o r i n s t a n c e f o r r e t u r n s s a m p l e d a t e v e r y s e c o n d , i f w e w a n t t h e x a x i s t o b e i n m i n u t e s t h e n x s c a l e = 1 / 6 0 )

A o n e d a y s i g n a t u r e p l o t o f M S F T f o r M a y 1 , 1 9 9 7 , a t a s a m p l i n g f r e q u e n c y o f e a c h s e c o n d f r o m o n e s e c o n d

t o 2 0 m i n u t e s t h e c o m m a n d i s :

> t e s t . s i g < - r S i g n a t u r e ( 1 : 1 2 0 0 , m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , x s c a l e = 1 / 6 0 )


9/28


F i g u r e 3 A a n d 3 B : O n e D a y S i g n a t u r e P l o t s f o r M S F T , 5 / 1 / 1 9 9 7

t h e o b j e c t t h a t i s r e t u r n e d b y t h e

r S i g n a t u r e

f u n c t i o n h a s a n

x

a n d a

y

c o m p o n e n t s o t h a t a s i m p l e c a l l t o

p l o t w i l l p l o t t h e s a m p l i n g f r e q u e n c y a n d r e a l i z e d v a r i a n c e o n t h e h o r i z o n t a l a n d v e r i c a l a x i s r e s p e c t i v e l y .

> n a m e s ( t e s t . s i g )

[ 1 ] " x " " y " " x g r i d " " t y p e " " c o r " " c o v " " c t s "

F i g u r e 3 A s h o w s t h i s o n e d a y r e a l i z e d v a r i a n c e s i g n a t u r e p l o t .

# F i g u r e 3 A

> p l o t ( t e s t . s i g , y l a b = " R e a l i z e d V a r i a n c e " , x l a b = " S a m p l i n g F r e q u e n c y ( M i n u t e s ) "

, m a i n = " M S F T " , s u b = d a t e s . e x a m p l e [ [ 1 ] ] )

T h e s e o n e d a y s i g n a t u r e p l o t s a r e u s e d t h r o u g h o u t t h i s u s e r s m a n u a l t o d e m o n s t r a t e t h e v a r i a b i l i t y o f e a c h

e s t i m a t o r w i t h r e s p e c t t o t h e i r i n p u t s . I n o r d e r t o d e m o n s t r a t e t h e v a r i a b i l i t y o f t h e r e a l i z e d v a r i a n c e

e s t i m a t o r i t i s h e l p f u l t o l e a v e o u t t h e h i g h e s t f r e q u e n c i e s o n t h e p l o t :

# F i g u r e 3 B

> p l o t ( x = t e s t . s i g $ x [ - ( 1 : 2 0 ) ] , y = t e s t . s i g $ y [ - ( 1 : 2 0 ) ] , y l a b = " R e a l i z e d V a r i a n c e " , x l a b = " S a m p l i n g F r e q u e n c y ( M i n u t e s ) " ,

m a i n = " M S F T " , s u b = d a t e s . e x a m p l e [ [ 1 ] ] )

T h e v a r i a b i l i t y o f t h e t r a d i t i o n a l r e a l i z e d v a r i a n c e e s t i m a t o r i s e a s y t o s e e o n t h i s o n e d a y p l o t . I f a s a m p l i n g

f r e q u e n c y o f a r o u n d 5 m i n u t e s i s u s e d t h e n t h e e s t i m a t e c a n l i e a n y w h e r e b e t w e e n 0 . 0 0 0 3 a n d 0 . 0 0 0 6 . T h i s i s

a s i g n i c a n t d i e r e n c e a n d s h o u l d d i s c o u r a g e s i m p l y c h o o s i n g a s a m p l i n g f r e q u e n c y f o r t h e r e a l i z e d v a r i a n c e

e s t i m a t e . T h e s e g r a p h s p r e s e n t o n l y s t y l i z e d f a c t s a b o u t t h e v a r i a b i l i t y o f a n e s t i m a t e . A n o b v i o u s t o o l

t h a t i s n o t i m p l e m e n t e d i n t h i s p a c k a g e i s t h e u s e o f s t a n d a r d e r r o r s w i t h e s t i m a t e s o f r e a l i z e d q u a n t i t i e s .

T h e p r o b l e m w i t h t h e s e s t a n d a r d e r r o r s i s t h a t t h e y a r e b a s e d o n t h e f o u r t h m o m e n t s o f t h e l o g - r e t u r n s a n d

s u e r f r o m s i m i l a r b i a s p r o b l e m s a s t h e r e a l i z e d e s t i m a t o r s t h e m s e l v e s .


10/28

2 R E A L I Z E D V A R I A N C E 1 0

F i g u r e 4 A a n d 4 B : A C F f o r M S F T M a y 1 , 1 9 9 7 a n d R e c t a n g u l a r K e r n e l E s t i m a t o r o f R e a l i z e d V a r i a n c e a s a F u n c t i o n o f L a g s .

2 . 2 K e r n e l E s t i m a t o r s

T h e r e a l i z e d v a r i a n c e s i g n a t u r e p l o t s i n F i g u r e s 2 , 3 A a n d 3 B d e m o n s t r a t e t h e m i c r o s t r u c t u r e n o i s e b i a s i n

r e a l i z e d v a r i a n c e e s t i m a t e s a t h i g h f r e q u e n c i e s . T h e s e b i a s e s a r e c r e a t e d b y a b i d - a s k - b o u n c e i n d u c e d n e g a t i v e

a u t o c o r r e l a t i o n i n t h e m i c r o s t r u c t u r e n o i s e . T h i s c a n b e o b s e r v e d d i r e c t l y f r o m a n a u t o - c o r r e l a t i o n p l o t o f

t h e r e t u r n s a t t h e h i g h e s t f r e q u e n c y :

> a c f ( m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] $ d a t a , m a i n = " A C F : M S F T " )

H a n s e n a n d L u n d e ( 2 0 0 6 , 2 0 0 4 ) ; Z h o u ( 1 9 9 6 ) ; B a r n d o r - N i e l s e n e t a l . ( 2 0 0 4 ) ( a d d B N S H L ) p r o p o s e t h e

u s e o f k e r n e l e s t i m a t o r s t o e l i m i n a t e t h e b i a s t h a t i s c a u s e d b y t h e a u t o - c o r r e l a t i o n m i c r o s t r u c t u r e n o i s e

a u t o - c o r r e l a t i o n . T h e s e e s t i m a t o r s a r e i n t h e s a m e s p i r i t a s l o n g r u n v a r i a n c e e s t i m a t o r s t h a t a r e c o m m o n

i n t i m e s e r i e s a n a l y s i s .

RVKernel = 0 +

Hh=1

kh 1

H

h + h

( 8 )

h

mi=1

yi,myi+h,m ( 9 )

a n d c a n b e e s t i m a t e d b y :

h m

m h

mi=1

yi,myi+h,m ( 1 0 )


11/28


F i g u r e 5 : A v a i l a b l e K e r n e l s

F i g u r e 4 B d e m o n s t r a t e s k e r n e l e s t i m a t e s f o r t h e r e c t a n g u l a r k e r n e l a n d s a m p l e d a t t h e h i g h e s t f r e q u e n c y a s

a f u n c t i o n o f l a g s o v e r l a y e d o n t h e o r i g i n a l s i g n a t u r e p l o t f r o m F i g u r e 3 B .

# F i g u r e 4 B

> p l o t ( x = t e s t . s i g $ x [ - ( 1 : 2 0 ) ] , y = t e s t . s i g $ y [ - ( 1 : 2 0 ) ] , y l a b = " R e a l i z e d V a r i a n c e " , x l a b = " S a m p l i n g F r e q u e n c y ( M i n u t e s ) " ,

m a i n = " M S F T " , s u b = d a t e s . e x a m p l e [ [ 1 ] ] )

> t e s t . r e c t < - r S i g n a t u r e ( 1 : 4 0 0 , m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , x s c a l e = 1 / 2 0 , t y p e = " k e r n e l " , a r g s = l i s t ( t y p e = " r e c t a n g u l a r " ) )

> l i n e s ( t e s t . r e c t , c o l = 2 , l w d = 2 )

> a x i s ( 3 , c ( 0 , ( 1 : 5 ) * 4 ) , c ( " L a g s : " , a s . c h a r a c t e r ( ( 1 : 5 ) * 8 0 ) ) )

> l e g e n d ( 1 5 , . 0 0 0 8 , c ( " R e c t a n g u l a r " ) , l w d = c ( 2 ) , c o l = c ( 2 ) )

T h e r e c t a n g u l a r k e r n e l r e a l i z e d v a r i a n c e e s t i m a t o r d o e s h a v e l e s s v a r i a b i l i t y w i t h r e s p e c t t o i t s i n p u t s ( l a g s )

t h a n t h e t r a d i t i o n a l r e a l i z e d v a r i a n c e e s t i m a t o r w i t h r e s p e c t t o s a m p l i n g f r e q u e n c y . H o w e v e r , w e w i l l s e e

t h a t d i e r e n t k e r n e l s w i l l g i v e f a r b e t t e r r e s u l t s .

T h e a v a i l a b l e k e r n e l s , kh1H

, a r e t h e s a m e a s i n B a r n d o r - N i e l s e n e t a l . ( 2 0 0 4 ) :

> r K e r n e l . a v a i l a b l e ( )

[ 1 ] " R e c t a n g u l a r " " B a r t l e t t " " S e c o n d " " E p a n e c h n i k o v " " C u b i c " " F i f t h "

[ 7 ] " S i x t h " " S e v e n t h " " E i g h t h " " P a r z e n " " T u k e y H a n n i n g " " M o d i f i e d T u k e y H a n n i n g "

A n d a r e p l o t t e d b e l o w :

# F i g u r e 5

> p a r ( m f r o w = c ( 3 , 4 ) )

> x < - ( 0 : 1 0 0 ) * . 0 1

> f o r ( i i n 1 : l e n g t h ( r K e r n e l . a v a i l a b l e ( ) ) )

p l o t ( x = x , y = s a p p l y ( x , F U N = " r K e r n e l " , t y p e = r K e r n e l . a v a i l a b l e ( ) [ i ] ) ,

x l a b = " " , y l a b = " " , m a i n = r K e r n e l . a v a i l a b l e ( ) [ i ] , y l i m = c ( 0 , 1 ) )

I n F i g u r e 6 A t h e M o d i e d T u k e y - H a n n i n g a n d B a r t l e t t k e r n e l s a r e d i s p l a y e d a n d s h o w b e t t e r p e r f o r m a n c e


12/28


w i t h r e s p e c t t o v a r i a b i l i t y o f t h e e s t i m a t o r s w i t h r e s p e c t t o t h e i r i n p u t s . T h i s i s i m p o r t a n t t o t h e p r a c t i t i o n e r

b e c a u s e i t m e a n s t h a t t h e i r e s t i m a t e w i l l n o t v a r y m u c h w i t h t h e i r c h o i c e o f l a g l e n g t h .

P a y s e u r ( 2 0 0 7 )

r e c o m m e n d s t h e u s e o f t h i s t y p e o f p l o t a s a s p o t c h e c k t o v e r i f y t h a t t h e e s t i m a t o r s a r e p e r f o r m i n g i n a

c o n s i s t e n t m a n o r a s t h e d a t a u s e d c h a n g e s .

# F i g u r e 6 A

> p a r ( m f r o w = c ( 1 , 1 ) )

> p l o t ( x = t e s t . s i g $ x [ - ( 1 : 2 0 ) ] , y = t e s t . s i g $ y [ - ( 1 : 2 0 ) ] , y l a b = " R e a l i z e d V a r i a n c e " , x l a b = " M i n u t e s " , m a i n = " M S F T " , s u b = d a t e s . e x a m

> t e s t . m t h < - r S i g n a t u r e ( 1 : 4 0 0 , m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , x s c a l e = 1 / 2 0 , t y p e = " k e r n e l " , a r g s = l i s t ( t y p e = " m t h " ) )

> t e s t . b a r t < - r S i g n a t u r e ( 1 : 4 0 0 , m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , x s c a l e = 1 / 2 0 , t y p e = " k e r n e l " , a r g s = l i s t ( t y p e = " b a r t l e t t " ) )

> l i n e s ( t e s t . m t h , c o l = 3 , l w d = 2 )

> l i n e s ( t e s t . b a r t , c o l = 4 , l w d = 2 )

> a x i s ( 3 , c ( 0 , ( 1 : 5 ) * 4 ) , c ( " L a g s : " , a s . c h a r a c t e r ( ( 1 : 5 ) * 8 0 ) ) )

> l e g e n d ( 1 5 , . 0 0 0 8 , c ( " M o d T - H " , " B a r t l e t t " ) , l w d = c ( 2 , 2 ) , c o l = c ( 3 , 4 ) )

2 . 3 S u b s a m p l e E s t i m a t o r s

Z h a n g e t a l . ( 2 0 0 5 ) c a t e g o r i z e d RV(m) a s t h e f t h - b e s t r e a l i z e d v a r i a n c e e s t i m a t o r , c h o o s i n g a l o w e r s a m p l i n g

f r e q u e n c y a s f o u r t h - b e s t , a n d s a m p l i n g a t a n o p t i m a l l o w e r s a m p l i n g f r e q u e n c y a s t h i r d - b e s t . T h e i r r s t

a n d s e c o n d b e s t a p p r o a c h e s a r e b a s e d o n t h e i d e a o f s u b - s a m p l i n g . W h e n w e c h o o s e a l o w e r f r e q u e n c y ,

o r s p a r s e g r i d , w e a r e o n l y u s i n g o n e p o r t i o n o f t h e d a t a s e t . F o r e x a m p l e , i f w e u s e m i n u t e p r i c e s f o r a n

a s s e t a n d m =5 m i n u t e s t h e n e v e r y f t h d a t a p o i n t i s u s e d i n o u r r e a l i z e d v a r i a n c e c a l c u l a t i o n , d e n e d

b y o b s e r v a t i o n s : 1 , 6 , 1 1 , 1 6 , ... . T h i s i g n o r e s t h e o t h e r s u b - s a m p l e s t h a t a r e a v a i l a b l e , s u c h a s : 2 , 7 ,

1 2 , 1 7 , . . . a n d 3 , 8 , 1 3 , 1 8 , ... . T h e f u l l g r i d , c o n t a i n i n g e v e r y o b s e r v a t i o n , i s d e n e d a s G a n d n = |G| ,

o r t h e s i z e o f G. G i s p a r t i t i o n e d i n t o k n o n - o v e r l a p p i n g s u b - g r i d s G(k) o f s i z e , nk . T h e s c e n a r i o a b o v e

y i e l d s G = {pt1 , pt2 , pt3 , pt4 , pt5 , pt6 , pt7 , pt8 , pt9 , pt10, pt11, ...} a n d r e t u r n s a r e c a l c u l a t e d f r o m t h e a p p r o p r i a t e

s u b - g r i d , G(5)1 = {pt1 , pt6 , pt11, ...} a n d G(5)2 = {pt2 , pt7 , pt12, ...}. T h e n r e a l i z e d v a r i a n c e o f e a c h s p a r s e g r i d ,

G(k)i , i s c a l c u l a t e d b y :

RV(k,i)sparse

nktjt,t,+j,Gi

(ptj,+, ptj )2

( 1 1 )

w h e r e ptj,+, i s t h e n e x t o b s e r v a t i o n o f g r i d i. T h e t r a d i t i o n a l r e a l i z e d v a r i a n c e e s t i m a t o r , RV(m)

, i s e q u a l t o

RV( 1m,1)

sparse .

T h e i r s e c o n d b e s t r e a l i z e d v a r i a n c e e s t i m a t e i s t h e a v e r a g e o f ( 1 1 ) o v e r a l l o f t h e p o s s i b l e g r i d s , o r s u b -

s a m p l e s ,

RV(k)Avg =

1

k

ki=1

RV(k,i)sparse ( 1 2 )

T h e e s t i m a t o r ( 1 2 ) , h o w e v e r , i s s t i l l b i a s e d a t h i g h f r e q u e n c i e s b u t i t g r e a t l y l o w e r s t h e v a r i a b i l i t y o f t h e


13/28


r e a l i z e d v a r i a n c e e s t i m a t e . T h e r s t b e s t e s t i m a t o r , k n o w n a s t h e t w o t i m e s c a l e s e s t i m a t o r , c o u p l e s RV(k)Avg

w i t h r e a l i z e d v a r i a n c e c a l c u l a t e d a t t h e h i g h e s t f r e q u e n c y p o s s i b l e , RV(all)sparse :

RV(k)TS = RV

(k)Avg

nk

n

RV(all)sparse ( 1 3 )

T h e t w o - t i m e s c a l e e s t i m a t o r m a y b e i m p r o v e d w i t h a s m a l l s a m p l e a d j u s t m e n t

RV(k)TS,Adj = (1

nk

n)1RV

(k)TS ( 1 4 )

F i n a l l y , A i t - S a h a l i a e t a l . ( 2 0 0 5 ) i n t r o d u c e d a f u r t h e r i m p r o v e m e n t t o c o m p e n s a t e f o r a s l i g h t u n d e r e s t i m a t i o n

o f RV(k)Avg w h e n k i s l a r g e :

RV(k)TS,AA = n(k 1)nkRV(k)TS ( 1 5 )

w h i c h h a s t h e s a m e a s y m p t o t i c s a s RV(k)TS,Adj .

F i g u r e 6 B d i s p l a y s a s i g n a t u r e p l o t f o r t h e s a m e d a t a , b u t t h i s d a t a i s a l i g n e d r s t t o a 3 0 s e c o n d f r e q u e n c y .

T h e n t h e t h r e e v e r s i o n s o f t h e t w o - t i m e s c a l e e s t i m a t o r ( 1 3 , 1 4

,

1 5 ) a r e p l o t t e d w i t h r e s p e c t t o t h e n u m b e r

o f s u b g r i d s .

# F i g u r e 6 B

t e s t . s i g . m i n < - r S i g n a t u r e ( 1 : 1 2 0 , m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , x s c a l e = 1 / 2 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 3 0 ) )

> p l o t ( t e s t . s i g . m i n , y l a b = " R e a l i z e d V a r i a n c e " , x l a b = " M i n u t e s " , m a i n = " M S F T " , s u b = d a t e s . e x a m p l e [ [ 1 ] ] )

> t e s t . t t < - r S i g n a t u r e ( 1 : 2 0 , m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , x s c a l e = 3 , t y p e = " t i m e s c a l e " , a r g s = l i s t ( a d j . t y p e = " c l a s s i c " , a l i g n . p e r i o

> t e s t . t t . a d j < - r S i g n a t u r e ( 1 : 2 0 , m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , x s c a l e = 3 , t y p e = " t i m e s c a l e " , a r g s = l i s t ( a d j . t y p e = " a d j " , a l i g n . p e r i o

> t e s t . t t . a a < - r S i g n a t u r e ( 1 : 2 0 , m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , x s c a l e = 3 , t y p e = " t i m e s c a l e " , a r g s = l i s t ( a d j . t y p e = " a a " , a l i g n . p e r i o d =

> l i n e s ( t e s t . t t , c o l = 3 , l w d = 2 ) > l i n e s ( t e s t . t t . a d j , c o l = 4 , l w d = 2 )

> l i n e s ( t e s t . t t . a a , c o l = 5 , l w d = 2 )

> a x i s ( 3 , c ( 0 , ( 1 : 5 ) * 1 2 ) , c ( " S u b g r i d s : " , a s . c h a r a c t e r ( ( 1 : 5 ) * 4 ) ) )

> l e g e n d ( 4 5 , . 0 0 0 6 , c ( " C l a s s i c " , " A d j " , " A A " ) , l w d = c ( 2 , 2 , 2 ) , c o l = c ( 3 , 4 , 5 ) )

2 . 4 S i n g l e E s t i m a t e s

T h e p r e v i o u s t w o s e c t i o n s d e m o n s t r a t e d v a r i o u s r e a l i z e d v a r i a n c e e s t i m a t o r s o n s i g n a t u r e p l o t s . T h e a n a l y s i s

s h o w s t h a t o n e m u s t b e c a r e f u l w h e n t h e y c h o o s e w h a t t y p e o f e s t i m a t o r t o u s e a s w e l l a s t h e i n p u t s t o p a s s

t o t h a t e s t i m a t o r . T o c a l c u l a t e a n e s t i m a t e w i t h a p a r t i c u l a r e s t i m a t o r a n d i n p u t s t h e

r R e a l i z e d V a r i a n c e

f u n c t i o n i s u s e d . T h e i n p u t s t o t h i s f u n c t i o n a r e s i m i l a r t o t h e

r S i g n a t u r e

f u n c t i o n .

B e l o w a r e a f e w e x a m p l e s o f h o w t o u s e t h e


f u n c t i o n . T h e a c t u a l i n p u t v a l u e s t o e a c h t y p e

o f e s t i m a t o r c a n b e f o u n d o n t h e h e l p p a g e s f o r e a c h e s t i m a t o r . T h e s e a r e l i n k e d t o o n t h e


h e l p p a g e w h i c h y o u c a n n d u s i n g :


14/28

3 R E A L I Z E D C O V A R I A N C E 1 4

F i g u r e 6 A a n d 6 B : K e r n e l a n d T w o - T i m e s c a l e E s t i m a t e s o f R e a l i z e d V a r i a n c e a s a F u n c t i o n o f L a g s a n d S u b g r i d s .

> ? r R e a l i z e d V a r i a n c e

B e l o w a r e v a r i o u s e s t i m a t e s o f r e a l i z e d v a r i a n c e .

> > # T r a d i t i o n a l E s t i m a t e a t h i g h e s t f r e q u e n c y

> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " n a i v e " , p e r i o d = 1 )

[ 1 ] 0 . 0 0 4 6 4 2 2 2 9

> # T r a d i t i o n a l E s t i m a t e a t o n e m i n u t e f r e q u e n c y

> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " n a i v e " , p e r i o d = 1 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 6 0 ) )

[ 1 ] 0 . 0 0 0 4 8 8 4 7 9 5

> # T r a d i t i o n a l E s t i m a t e a t 1 0 m i n u t e f r e q u e n c y

> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " n a i v e " , p e r i o d = 1 0 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 6 0 ) )

[ 1 ] 0 . 0 0 0 5 2 9 9 2 5 7

> # B a r t l e t t K e r n e l E s t i m a t e w i t h m i n u t e a l i g n e d d a t a a t 2 0 l a g s

> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " k e r n e l " , l a g s = 2 0 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 6 0 , t y p e = " B a r t l e t t " ) )

[ 1 ] 0 . 0 0 0 3 8 1 5 0 7 7

> # C u b i c K e r n e l E s t i m a t e w i t h s e c o n d a l i g n e d d a t a a t 4 0 0 l a g s

> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " k e r n e l " , l a g s = 4 0 0 , a r g s = l i s t ( t y p e = " C u b i c " ) )

[ 1 ] 0 . 0 0 0 3 9 8 6 2 1 3

> # T w o - T i m e s c a l e E s t i m a t e w i t h m i n u t e a l i g n e d d a t a a t 1 0 s u b g r i d s

> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " t i m e s c a l e " , p e r i o d = 1 0 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 6 0 ) )

[ 1 ] 0 . 0 0 0 3 7 2 4 9 3 5

> # S u b s a m p l e A v e r a g e E s t i m a t e w i t h s e c o n d a l i g n e d d a t a a t 6 0 0 s u b g r i d s

> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " a v g " , p e r i o d = 6 0 0 ) [ 1 ] 0 . 0 0 0 4 0 1 6 6 8 4

3 R e a l i z e d C o v a r i a n c e

R e a l i z e d c o v a r i a n c e s u e r s f r o m a b i a s t o w a r d z e r o a t h i g h f r e q u e n c i e s a n d , s i m i l a r t o r e a l i z e d v a r i a n c e ,

t h i s b i a s d i s a p p e a r s a t l o w e r f r e q u e n c i e s a t t h e c o s t o f m o r e v o l a t i l e e s t i m a t e s . T h e h i g h v o l a t i l i t y o f

t h e t r a d i t i o n a l r e a l i z e d c o v a r i a n c e e s t i m a t o r m o t i v a t e s t h e u s e o f o n e d a y r e a l i z e d c o v a r i a n c e s i g n a t u r e

p l o t s . T h e r e h a v e b e e n m a n y a l t e r n a t i v e e s t i m a t o r s p r o p o s e d ( B a n d i a n d R u s s e l l , 2 0 0 7 , d e P o o t e r e t a l . ,


15/28


F i g u r e 7 A a n d 7 B : P e r c e n t a g e o f z e r o c o - r e t u r n s a n d A v e r a g e C o v a r i a n c e S i g n a t u r e P l o t f o r J a n u a r y 2 , 2 0 0 4 M S F T a n d G E

2 0 0 5 , F l e m m i n g e t a l . , 2 0 0 2 , H a y a s h i a n d Y o s h i d a , 2 0 0 5 , G r i n a n d O o m e n , 2 0 0 6 , V o e v a n d L u n d e , 2 0 0 6 a n d

S h e p p a r d , 2 0 0 6 ) . T h e t r a d i t i o n a l r e a l i z e c o v a r i a n c e e s t i m a t o r i s a n a t u r a l e x t e n s i o n o f RV(m) :

RC(m) =mi=1

yi,mxi,m ( 1 6 )

T h e h i g h f r e q u e n c y b i a s r e s u l t s f r o m n o n - s y n c h r o n o u s t r a d i n g a n d z e r o r e t u r n s . C a m p b e l l e t a l . ( 1 9 9 7 )

d i s c u s s t h i s p r o b l e m i n d e t a i l . W h e n o n e s t o c k d o e s n o t c h a n g e p r i c e o v e r a n i n t e r v a l , o r h a s a z e r o r e t u r n ,

t h e n e v e n i f t h e o t h e r s t o c k m o v e s ,

yi,mxi,m = 0. A s t h e s a m p l i n g f r e q u e n c y i n c r e a s e s t h e r e a r e m o r e a n d

m o r e z e r o r e t u r n s a n d RC(m) b e c o m e s a s u m o f z e r o s . T h i s p r o d u c e s a d o w n w a r d b i a s a s m . T h e

f u n c t i o n r c . z e r o c a l c u l a t e s t h e p e r c e n t a g e o f z e r o c o - r e t u r n s a t a g i v e n s a m p l i n g f r e q u e n c y .

> r c . z e r o ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , p e r i o d = 1 )

[ 1 ] 0 . 9 9 4 4 0 2 2

> r c . z e r o ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , p e r i o d = 6 0 )

[ 1 ] 0 . 6 4 1 9 4 3 7

T h i s f u n c t i o n c a n b e c o u p l e d w i t h t h e

r S i g n a t u r e

f u n c t i o n t o v i e w t h e p e r c e n t a g e o f z e r o c o - r e t u r n s a t e a c h

s a m p l i n g f r e q u e n c y :

# F i g u r e 7 A

> t e s t . z e r o < - r S i g n a t u r e ( 1 : 1 2 0 0 , x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " z e r o " , x s c a l e = 1 / 6 0 )

> p l o t ( t e s t . z e r o , y l a b = " % Z e r o " , x l a b = " S a m p l i n g F r e q u e n c y ( M i n u t e s ) " , m a i n = " M S F T | G E " , s u b = d a t e s . e x a m p l e [ [ 1 ] ] )

T h e p l o t s h o w s t h a t f o r a s a m p l i n g f r e q u e n c y o f v e m i n u t e s o r h i g h e r t h e r e i s a t l e a s t 2 0 % o f t h e c o -

r e t u r n s t h a t a r e z e r o . S o m e o f t h i s c o u l d b e d u e t o t h e C T S a l i g n m e n t a n d f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n u s i n g t h e

r A c c u m u a t i o n , r M a r g i n a l , a n d r S c a t t e r R e t u r n s f u n c t i o n s d i s c u s s e d i n s e c t i o n v e i s e n c o u r a g e d .


16/28


M o s t o f t h e f u n c t i o n s i n t h e r e a l i z e d l i b r a r y w o r k f o r r e a l i z e d v a r i a n c e a n d c o v a r i a n c e c a l c u l a t i o n s . W h e n

t h e x a n d y v a r i a b l e s a r e b o t h b e s p e c i e d a c o v a r i a n c e r e s u l t i s r e t u r n e d . G r i n a n d O o m e n ( 2 0 0 6 ) w e r e

t h e r s t t o e x t e n d t h e v a r i a n c e s i g n a t u r e p l o t t o c o v a r i a n c e . T o p l o t a s i x d a y a v e r a g e c o v a r i a n c e s i g n a t u r e

p l o t a t e v e r y v e s e c o n d s o f s a m p l i n g f r e q u e n c y :

# F i g u r e 7 B

> p l o t ( r S i g n a t u r e ( ( 1 : 3 6 0 ) * 5 + 1 , x = m s f t . r e a l . c t s , y = g e . r e a l . c t s , x s c a l e = 1 / 6 0 , i t e r a t i o n . f u n c t = " s i m p l e I t e r a t i o n " , i t e r a t i o

y l a b = " R e a l i z e d C o v a r i a n c e " , x l a b = " S a m p l i n g F r e q u e n c y ( M i n u t e s ) " , m a i n = " M S F T | G E " , s u b = p a s t e ( d a t e s . e x a m p l e [ [ 1 ] ] ,

d a t e s . e x a m p l e [ [ 5 ] ] , s e p = " - " ) )

T h i s s i x d a y a v e r a g e s i g n a t u r e s h o w s t h e b i a s t o w a r d s z e r o a t t h e h i g h e s t s a m p l i n g f r e q u e n c i e s l i k e e x p e c t e d .

3 . 1 L e a d - L a g / K e r n e l E s t i m a t o r s

G r i n a n d O o m e n ( 2 0 0 6 ) ; V o e v a n d L u n d e ( 2 0 0 6 ) a n d D e P o o t e r , M a r t e n s , a n d v a n D i j k ( 2 0 0 5 ) i m p l e m e n t

a l e a d - l a g e s t i m a t o r w h i c h i s j u s t a s i m p l e e x t e n s i o n o f t h e u n i v a r i a t e r e c t a n g u l a r k e r n e l e s t i m a t o r . T h e y

s e t t h e n u m b e r o f l e a d a n d l a g s t o o n e a n d a d j u s t t h e s a m p l i n g f r e q u e n c y . I h a v e i m p l e m e n t e d a l l o f t h e

u n i v a r i a t e k e r n e l e s t i m a t o r s i n a m u l t i v a r i a t e c o n t e x t a s d e n e d b e l o w .

RCKernel = 0 +

Hh=1

kh 1

H

h + h

( 1 7 )

h mi=1

yi,mxi+h,m ( 1 8 )

a n d i f a d j = T t h e n a d e g r e e o f f r e e d o m a d j u s t m e n t i s m a d e :

h m

m h

mi=1

yi,mxi+h,m ( 1 9 )

A o n e d a y c o v a r i a n c e v o l a t i l i t y p l o t s h o w s t h a t t h e k e r n e l s a r e l e s s v a r i a b l e w i t h r e s p e c t t o t h e i r i n p u t s t h a n

t h e t r a d i t i o n a l e s t i m a t o r w i t h r e s p e c t t o s a m p l i n g p e r i o d :

# F i g u r e 8 A

> t e s t . c o v < - r S i g n a t u r e ( 1 : 1 2 0 0 , x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , x s c a l e = 1 / 6 0 )

> t e s t . r e c t < - r S i g n a t u r e ( 1 : 6 0 0 , m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " k e r n e l " , a r g s = l i s t ( t y p e = " r e c t a n g u l a r " ) ,

x s c a l e = 1 / 3 0 )

> t e s t . m t h < - r S i g n a t u r e ( 1 : 6 0 0 , m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " k e r n e l " , a r g s = l i s t ( t y p e = " m t h " ) , x s c a l e = 1 / 3 0 )

> p l o t ( t e s t . c o v , y l a b = " R e a l i z e d C o v a r i a n c e " , x l a b = " M i n u t e s " , m a i n = " G E | M S F T " )

> l i n e s ( t e s t . r e c t , c o l = 3 , l w d = 1 )

> l i n e s ( t e s t . m t h , c o l = 4 , l w d = 2 )

> a x i s ( 3 , c ( 0 , ( 1 : 5 ) * 4 ) , c ( " L a g s : " , a s . c h a r a c t e r ( ( 1 : 5 ) * 1 2 0 ) ) )


17/28


F i g u r e 8 A a n d 8 B : P e r c e n t a g e o f z e r o c o - r e t u r n s a n d A v e r a g e C o v a r i a n c e S i g n a t u r e P l o t f o r J a n u a r y 2 , 2 0 0 4 M S F T a n d G E

> l e g e n d ( 1 3 , . 0 0 0 1 5 , c ( " R e c t a n g u l a r " , " M o d T H " ) , l w d = c ( 1 , 2 ) , c o l = c ( 3 , 4 ) )

3 . 2 H a y a s h i - Y o s h i d a

A n e s t i m a t i o n p r o c e d u r e t h a t s o l v e s t h e p r o b l e m o f n o n - s y n c h r o n i c i t y , a s s u m i n g n o m i c r o s t r u c t u r e n o i s e , i s

p r o p o s e d b y H a y a s h i a n d Y o s h i d a ( 2 0 0 5 ) . T h e d e n i n g f e a t u r e o f t h i s T T S e s t i m a t o r i s t h a t i t a d d s p r o d u c t s

o f r e t u r n s t o t h e s u m a s l o n g a s t h e c o r r e s p o n d i n g i n t e r v a l s o v e r l a p . T h u s , a g i v e n t i c k r e t u r n o f a s s e t y i s

m u l t i p l i e d b y s e v e r a l t i c k r e t u r n s o f a s s e t x. F i r s t w e d e n e t h e t r a n s a c t i o n t i m e s o f t h e r e t u r n s f o r e a c h

a s s e t , y , a n d x.

y = {ty1, t

y2 ,...,t

yny

}, x = {tx1 , t

x2 ,...,t

xnx

}

w h e r e t h e s i z e o f y m a y n o t b e t h e s a m e a s t h e s i z e o f x . W e c h o o s e a b a s e a s s e t , s a y y , a n d w e m u l t i p l y

t h e r s t r e t u r n o f y b y a l l o f t h e r e t u r n s o f x w h e r e txi ty1 . T h e s e c o n d r e t u r n o f y i s m u l t i p l i e d b y a l l o f

t h e r e t u r n s o f x w h e r e ty1 < t

xi t

y2 a n d s o o n . T h e r e s u l t s f r o m e a c h t i m e p e r i o d a r e s u m m e d t o f o r m t h e

e s t i m a t o r :

RC(m)HY =

nyi=1

ytyi,mxtx

j(t

y

i1,ty

i] ,m ( 2 0 )

T h e f o l l o w i n g c o d e d i s p l a y s a r e a l i z e d c o v a r i a n c e s i g n a t u r e p l o t w i t h t h e H y a s h i - Y o s h i d a a t d i e r e n t T T S


18/28


s a m p l i n g f r e q u e n c i e s

5

.

# F i g u r e 8 B

> t e s t . h y < - r S i g n a t u r e ( 1 : 6 0 0 , m s f t . r e a l . t t s [ [ 1 ] ] , g e . r e a l . t t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " h y " , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 1 ) , x s c a l e = 1 / 3 0 )

> p l o t ( t e s t . c o v , y l a b = " R e a l i z e d C o v a r i a n c e " , x l a b = " M i n u t e s " , m a i n = " G E | M S F T " )

> l i n e s ( t e s t . h y , c o l = 2 , l w d = 2 )

> a x i s ( 3 , c ( 0 , ( 1 : 5 ) * 4 ) , c ( " T i c k P e r i o d : " , a s . c h a r a c t e r ( ( 1 : 5 ) * 1 2 0 ) ) )

> l e g e n d ( 1 3 , . 0 0 0 1 5 , c ( " H y a s h i - Y o s h i d a " ) , l w d = c ( 2 ) , c o l = c ( 2 ) )

3 . 3 S u b - S a m p l e E s t i m a t o r s

T h e r e h a s b e e n v e r y l i t t l e a t t e n t i o n f o c u s e d o n m u l t i v a r i a t e e x t e n s i o n s o f t h e a v e r a g e s u b - s a m p l e ( 1 2 ) a n d

t i m e s c a l e e s t i m a t o r s ( 1 3 - 1 5 ) . d e P o o t e r e t a l . ( 2 0 0 5 ) u s e a m u l t i v a r i a t e e x t e n s i o n o f t h e a d j u s t e d t i m e s c a l e

e s t i m a t o r , RV(k)TS,Adj , i n t h e i r e x t e n s i o n o f F l e m m i n g e t a l . ( 2 0 0 2 ) a n d f o u n d t h a t t h e r e i s o n l y a m a r g i n a l

i m p r o v e m e n t i n t h e i r e v a l u a t i o n c r i t e r i a . W e n d , h o w e v e r , t h a t t h e s u b - s a m p l i n g e s t i m a t o r d r a s t i c a l l y

i m p r o v e s o n t h e e c i e n c y o f t h e r e a l i z e d c o v a r i a n c e e s t i m a t e s . G i v e n t w o a s s e t s t h a t a r e p r e - a l i g n e d t o t h e

s a m e c a l e n d a r t i m e t h e m u l t i v a r i a t e s u b - s a m p l e e s t i m a t o r o f r e a l i z e d c o v a r i a n c e a r e

RC(k,i)sparse nk

tjt,t,+j,Gi

(pytj,+, pytj

)(pxtj,+, pxtj

) ( 2 1 )

RC(k)Avg =

1

k

ki=1

RC(k,i)sparse ( 2 2 )

D u e t o t h e b i a s t o w a r d s z e r o a t h i g h f r e q u e n c i e s , a n y m u l t i v a r i a t e e x t e n s i o n o f t h e t i m e s c a l e e s t i m a t o r s ( 1 3

- 1 5 ) a r e e s s e n t i a l l y e q u i v a l e n t t o ( 2 2 ) , e x c e p t f o r t h e c o n s t a n t u s e d t o a d j u s t f o r s m a l l s a m p l e s o r a l a r g e k .

RC(k)TS = RC

(k)Avg

nk

nRC(all)sparse RC

(k)Avg ( 2 3 )

T h i s m e a n s t h a t , a t h i g h f r e q u e n c i e s , s e t t i n g t h e t y p e o f r e a l i z e d c o v a r i a n c e t o t i m e s c a l e a n d a v g s h o u l d

y i e l d v e r y s i m i l a r r e s u l t s . H o w e v e r , t h i s c o u l d i t i s s t i l l u s e f u l t o s p e c i f y t w o - t i m e s c a l e f o r c o r r e l a t i o n

c a l c u l a t i o n s .

3 . 4 S i n g l e E s t i m a t e s a n d C o v a r i a n c e M a t r i c e s

S i n g l e e s t i m a t e s c a n b e c a l c u l a t e d w i t h t h e r R e a l i z e d . v a r i a n c e f u n c t i o n b y s p e c i f y i n g a n x a n d y a r g u m e n t .

A n e r r o r m e s s a g e i s p r i n t e d i f t h e r e t u r n s a r e n o t a l i g n e d u s i n g C T S f o r t h e e s t i m a t o r s t h a t n e e d t h a t .

5

N o t e t h a t t h i s i s c u r r e n t l y t h e o n l y f u n c t i o n t h a t n e e d s a l i s t a s i t s d a t a o b j e c t . T h i s i s b e c a u s e t h e H a y a s h i - Y o s h i d a

e s t i m a t o r u s e s e x e c u t i o n t i m e s .


19/28

4 R E A L I Z E D C O R R E L A T I O N 1 9

> > # T r a d i t i o n a l E s t i m a t e a t h i g h e s t f r e q u e n c y

> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " n a i v e " , p e r i o d = 1 )

[ 1 ] - 1 . 2 7 9 9 2 3 e - 0 5


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " n a i v e " , p e r i o d = 1 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 6 0 ) )

[ 1 ] 5 . 1 1 6 5 2 9 e - 0 5


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " n a i v e " , p e r i o d = 1 0 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 6 0 ) )

[ 1 ] 7 . 8 5 6 0 1 4 e - 0 5


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " k e r n e l " , l a g s = 2 0 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 6 0 ,

t y p e = " B a r t l e t t " ) )

[ 1 ] 6 . 5 5 3 4 8 2 e - 0 5


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " k e r n e l " , l a g s = 4 0 0 , a r g s = l i s t ( t y p e = " C u b i c " ) )

[ 1 ] 0 . 0 0 0 1 0 1 9 4 6 6

> # L e a d - L a g w i t h o n e l a g a t o n e m i n u t e f r e q u e n c y

> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " k e r n e l " , l a g s = 1 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 6 0 ) )

[ 1 ] 0 . 0 0 0 1 1 7 9 9 0 1

> # S u b s a m p l e A v e r a g e E s t i m a t e w i t h s e c o n d a l i g n e d d a t a a t 6 0 0 s u b g r i d s > r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] ,

y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " a v g " , p e r i o d = 6 0 0 )

[ 1 ] 7 . 6 1 0 8 9 7 e - 0 5

A c o v a r i a n c e m a t r i x c a n b e c a l c u l a t e d b y s p e c i f y i n g o n l y t h e x i n p u t v a r i a b l e a n d m e r g i n g m u l t i p l e r e a l i z e d O b j e c t s .

C u r r e n t l y t h i s i s n o t a v e c t o r i z e d c a l c u l a t i o n s o i t w i l l b e c o m e s l o w e r a n d s l o w e r a s t h e n u m b e r o f a s s e t s

i n c r e a s e s . T h e n u m b e r o f i n d i v i d u a l c a l c u l a t i o n s i s

k(k+1)2

.

> # T r a d i t i o n a l E s t i m a t e a t h i g h e s t f r e q u e n c y

> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m e r g e ( m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] ) , t y p e = " n a i v e " , p e r i o d = 1 )

[ , 1 ] [ , 2 ]

[ 1 , ] 4 . 6 4 2 2 2 9 e - 0 3 - 1 . 2 7 9 9 2 3 e - 0 5

[ 2 , ] - 1 . 2 7 9 9 2 3 e - 0 5 1 . 1 4 0 8 8 9 e - 0 3


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m e r g e ( m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] ) , t y p e = " n a i v e " , p e r i o d = 1 0 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 6 0 ) )

[ , 1 ] [ , 2 ]

[ 1 , ] 5 . 2 9 9 2 5 7 e - 0 4 7 . 8 5 6 0 1 4 e - 0 5

[ 2 , ] 7 . 8 5 6 0 1 4 e - 0 5 1 . 2 1 2 8 1 5 e - 0 4


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m e r g e ( m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] ) , t y p e = " k e r n e l " , l a g s = 1 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 6 0 ) )

[ , 1 ] [ , 2 ]

[ 1 , ] 0 . 0 0 0 4 4 0 2 7 5 4 0 . 0 0 0 1 1 7 9 9 0 1

[ 2 , ] 0 . 0 0 0 1 1 7 9 9 0 1 0 . 0 0 0 1 5 6 7 3 7 6


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m e r g e ( m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] ) , t y p e = " a v g " , p e r i o d = 6 0 0 )

[ , 1 ] [ , 2 ]

[ 1 , ] 4 . 0 1 6 6 8 4 e - 0 4 7 . 6 1 0 8 9 7 e - 0 5

[ 2 , ] 7 . 6 1 0 8 9 7 e - 0 5 1 . 3 2 9 5 9 9 e - 0 4

4 R e a l i z e d C o r r e l a t i o n

R e a l i z e d c o r r e l a t i o n i s a n a t u r a l e x t e n s i o n i n t h e r e a l i z e d v a r i a n c e a n d c o v a r i a n c e l i t e r a t u r e .

E p p s ( 1 9 7 9 )

w a s

t h e r s t t o d o c u m e n t t h a t i n c r e a s i n g t h e f r e q u e n c y o f o b s e r v a t i o n s i n a c o r r e l a t i o n c a l c u l a t i o n w i l l l e a d t o a

b i a s t o w a r d z e r o . T h e e q u a t i o n f o r r e a l i z e d c o r r e l a t i o n i s :


20/28

4 R E A L I Z E D C O R R E L A T I O N 2 0

R(m) =RC

(m)x,y

RV(m)x

RV

(m)y

( 2 4 )

a n d i t i s e a s y t o s e e w h y t h i s b i a s t o w a r d s z e r o e x i s t s s i n c e t h e n u m e r a t o r i s b i a s e d t o w a r d s z e r o a n d t h e

d e n o m i n a t o r i s b i a s e d u p w a r d s a t h i g h f r e q u e n c i e s . T h e e s t i m a t i o n o f r e a l i z e d c o r r e l a t i o n w i t h t h e r e a l i z e d

l i b r a r y i s s i m p l e . T h e r R e a l i z e d . v a r i a n c e a n d r S i g n a t u r e f u n c t i o n h a v e a n a r g u m e n t c a l l e d c o r t h a t i s s e t t o

t r u e . A l o n g w i t h t h i s a g b o t h x a n d y m u s t b e s p e c i e d , o r a m a t r i x f o r x f o r a c o r r e l a t i o n m a t r i x .

T h e i d e a o f a n o p t i m a l r e a l i z e d c o r r e l a t i o n c a l c u l a t i o n i s s l i g h t l y m o r e c o m p l i c a t e d t h a n a r e a l i z e d v a r i a n c e

o r c o v a r i a n c e d u e t o t h e f a c t t h a t i t i n v o l v e s c h o o s i n g t h e b e s t e s t i m a t o r a n d i n p u t s f o r RC(m)x,y , RV

(m)y , a n d

RV(m)x . S h e p p a r d ( 2 0 0 6 ) i n t r o d u c e s t h e i d e a o f p s e u d o r e a l i z e d c o r r e l a t i o n w h e r e t h e r e a l i z e d v a r i a n c e s a r e

s a m p l e d a t a d i e r e n t f r e q u e n c y t h e n t h e r e a l i z e d c o v a r i a n c e . T h e r e a l i z e d l i b r a r y o n l y c a l c u l a t e s r e a l i z e d

c o r r e l a t i o n w i t h a l l t h e s a m e e s t i m a t o r a n d i n p u t s , h o w e v e r , u s i n g t h e

r v . *

a n d

r c . *

f u n c t i o n s y o u c a n c r e a t e

a n y r e a l i z e d c o r r e l a t i o n e s t i m a t e . T h i s a l s o m e a n s t h a t t h e r e i s n o H a y a s h i - Y o s h i d a c o r r e l a t i o n e s t i m a t o r .

4 . 1 S i n g l e E s t i m a t e s a n d C o r r e l a t i o n M a t r i c e s

T h e


a n d

r S i g n a t u r e

f u n c t i o n s w i l l c a l c u l a t e r e a l i z e d c o r r e l a t i o n w h e n t h e r e a r e m u l t i p l e

l o g - r e t u r n v e c t o r s p a s s e d i n a n d t h e c o r a g i s s e t t o t r u e . B e l o w i s a n e x a m p l e o f d i e r e n t t y p e s o f r e a l i z e d

c o r r e l a t i o n f o r M S F T a n d G E M a y 1 , 1 9 9 7 .


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " n a i v e " , p e r i o d = 1 , c o r = T )

[ 1 ] - 0 . 0 0 5 5 6 1 5 9 1


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " n a i v e " , p e r i o d = 1 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 6 0 ) ,

c o r = T )

[ 1 ] 0 . 1 3 8 1 2 1 7


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " n a i v e " , p e r i o d = 1 0 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 6 0 ) ,

c o r = T )

[ 1 ] 0 . 3 0 9 8 8 2 7


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " k e r n e l " , l a g s = 2 0 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 6 0 ,

t y p e = " B a r t l e t t " ) , c o r = T )

[ 1 ] 0 . 3 1 9 8 4


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " k e r n e l " , l a g s = 4 0 0 , a r g s = l i s t ( t y p e = " C u b i c " ) ,

c o r = T )

[ 1 ] 0 . 4 5 3 0 9 6 8


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " k e r n e l " , l a g s = 1 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 6 0 ) ,

c o r = T )

[ 1 ] 0 . 4 4 9 1 5 5 6


21/28

5 P L O T T I N G T O O L S 2 1


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , t y p e = " a v g " , p e r i o d = 6 0 0 , c o r = T )

[ 1 ] 0 . 3 2 9 3 3 7 8

F o r c o r r e l a t i o n m a t r i c e s :

> > # C o r r e l a t i o n M a t r i c e s


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m e r g e ( m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] ) , t y p e = " n a i v e " , p e r i o d = 1 , c o r = T )

[ , 1 ] [ , 2 ]

[ 1 , ] 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 0 0 5 5 6 1 5 9 1

[ 2 , ] - 0 . 0 0 5 5 6 1 5 9 1 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m e r g e ( m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] ) , t y p e = " n a i v e " , p e r i o d = 1 0 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 6 0 ) ,

c o r = T )

[ , 1 ] [ , 2 ]

[ 1 , ] 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 . 3 0 9 8 8 2 7

[ 2 , ] 0 . 3 0 9 8 8 2 7 1 . 0 0 0 0 0 0 0


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m e r g e ( m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] ) , t y p e = " k e r n e l " , l a g s = 1 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 6 0 ) ,

c o r = T )

[ , 1 ] [ , 2 ]

[ 1 , ] 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 . 4 4 9 1 5 5 6

[ 2 , ] 0 . 4 4 9 1 5 5 6 1 . 0 0 0 0 0 0 0


> r R e a l i z e d V a r i a n c e ( x = m e r g e ( m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] ) , t y p e = " a v g " , p e r i o d = 6 0 0 , c o r = T )

[ , 1 ] [ , 2 ]

[ 1 , ] 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 . 3 2 9 3 3 7 8

[ 2 , ] 0 . 3 2 9 3 3 7 8 1 . 0 0 0 0 0 0 0

5 P l o t t i n g T o o l s

O n e d a y s i g n a t u r e p l o t s a l l o w u s t o s e e t h e v a r i a t i o n o f r e a l i z e d v a r i a n c e e s t i m a t e s w i t h r e s p e c t t o t h e i r

i n p u t s . R e a l i z e d a c c u m u l a t i o n a n d m a r g i n a l c o n t r i b u t i o n p l o t s g i v e s u s t h e a b i l i t y t o a t t r i b u t e t h i s v a r i a t i o n

t o p a r t i c u l a r o b s e r v a t i o n s i n t h e h i g h f r e q u e n c y d a t a s e t .

5 . 1 R e a l i z e d A c c u m u l a t i o n a n d M a r g i n a l C o n t r i b u t i o n P l o t s

P a y s e u r ( 2 0 0 7 ) u s e s m a r g i n a l c o n t r i b u t i o n a n d r e a l i z e d a c c u m u l a t i o n p l o t s o v e r t h e p e r i o d o f a s i n g l e e s t i m a t e

f o r t r a d i t i o n a l r e a l i z e d e s t i m a t o r s . T h i s a n a l y s i s s h o w s t h a t i t i s n o t o n l y t h e s a m p l i n g f r e q u e n c y t h a t c r e a t e s

h i g h l y v o l a t i l e e s t i m a t e s , b u t a l s o t h e a l i g n m e n t o f t h e r e t u r n s . I t i s u s e f u l t o c o u p l e t h e

r C u m S u m

f u n c t i o n

w i t h t h e

r A c c u m u l a t i o n

f u n c t i o n a s f o l l o w s :

# F i g u r e 9 A

> c u m m < - l i s t ( )

> c u m m [ [ 1 ] ] < - r C u m S u m ( m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , p e r i o d = 1 , a l i g n . p e r i o d = 6 0 )

> c u m m [ [ 2 ] ] < - r C u m S u m ( m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , p e r i o d = 1 0 , a l i g n . p e r i o d = 6 0 )



> a c c u m < - l i s t ( )

> a c c u m [ [ 1 ] ] < - r A c c u m u l a t i o n ( m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , p e r i o d = 1 0 , a l i g n . p e r i o d = 6 0 )


22/28


F i g u r e 9 A a n d 9 B : R e a l i z e d A c c u m u l a t i o n a n d M a r g i n a l C o n t r i b u t i o n t o R e a l i z e d V a r i a n c e P l o t s



> p a r ( m f r o w = c ( 2 , 1 ) )

> p l o t ( c u m m [ [ 1 ] ] , x l a b = " " , y l a b = " C u m u l a t i v e R u t u r n s " , m a i n = " M S F T " , s u b = d a t e s . e x a m p l e [ [ 1 ] ] , t y p e = " p " , c o l = 1 6 , l w d = 2 )

> l i n e s ( c u m m [ [ 2 ] ] , c o l = 2 , l w d = 2 )



> p l o t ( a c c u m [ [ 1 ] ] , x l a b = " " , y l a b = " R e a l i z e d A c c u m u l a t i o n " , t y p e = " l " , m a i n = " M S F T " , s u b = d a t e s . e x a m p l e [ [ 1 ] ] , c o l = 2 , l w d = 2 )

> l i n e s ( a c c u m [ [ 2 ] ] , c o l = 3 , l w d = 2 )

> l i n e s ( a c c u m [ [ 3 ] ] , c o l = 4 , l w d = 2 )

T h e t h r e e r e a l i z e d v a r i a n c e a c c u m u l a t i o n l i n e s d i s p l a y t h e e s t i m a t e b u i l d s t h r o u g h o u t t h e t r a d i n g d a y . N e a r

t h e e n d o f t h e d a y t h e 1 0 m i n u t e a l i g n e d r e a l i z e d v a r i a n c e e s t i m a t e , i n r e d , i s a l i g n e d i n a p a r t i c u l a r w a y t o

i n c l u d e a v a l l e y i n t h e r e a l i z e d v a r i a n c e c a l c u l a t i o n t h a t i s n o t i n c l u d e d i n t h e o t h e r t w o . T h e a c c u m u l a t i o n

p l o t a l l o w s u s t o s e e h o w b i g o f a n i m p a c t t h i s a l i g n m e n t h a s o n t h e e s t i m a t e .

T h e m a r g i n a l c o n t r i b u t i o n t o a r e a l i z e d e s t i m a t e s h o w s h o w m u c h e a c h h i g h f r e q u e n c y o b s e r v a t i o n e e c t s

t h e n a l e s t i m a t e .

# F i g u r e 9 B

> p a r ( m f r o w = c ( 2 , 1 ) )

> p l o t ( c u m m [ [ 2 ] ] , x l a b = " " , y l a b = " C u m u l a t i v e R u t u r n s " , m a i n = " M S F T " , s u b = d a t e s . e x a m p l e [ [ 1 ] ] , t y p e = " p " )

> b a r p l o t ( r M a r g i n a l ( m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , p e r i o d = 1 0 , a l i g n . p e r i o d = 6 0 ) $ y , m a i n = " M a r g i n a l C o n t r i b u t i o n P l o t " )

S i m i l a r t o a l l o f t h e f u n c t i o n s i n t h i s l i b r a r y t h e

r M a r g i n a l

a n d

r A c c u m u l a t i o n

p l o t s c a n a l s o b e u s e d f o r

r e a l i z e d c o v a r i a n c e a n d c o r r e l a t i o n . T h e o n l y d i e r e n c e i n t h e f u n c t i o n c a l l i s t o s p e c i f y a n

x

a n d a

y

. T o

p l o t a n a c c u m u l a t i o n p l o t f o r r e a l i z e d c o v a r i a n c e a l i g n e d a t 1 0 m i n u t e s i n t e r v a l s :

# F i g u r e 1 0 A

> c u m m . g e < - l i s t ( )

> c u m m . g e [ [ 1 ] ] < - r C u m S u m ( g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , p e r i o d = 1 , a l i g n . p e r i o d = 6 0 )

> c u m m . g e [ [ 2 ] ] < - r C u m S u m ( g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , p e r i o d = 1 0 , a l i g n . p e r i o d = 6 0 )


23/28


F i g u r e 1 0 A a n d 1 0 B : A c c u m u l a t i o n P l o t f o r t h e R e a l i z e d C o v a r i a n c e a n d R e t u r n s S c a t t e r P l o t f o r M S F T a n d G E J a n u a r y 2 , 2 0 0 2

> a c c u m < - l i s t ( )

> a c c u m [ [ 1 ] ] < - r A c c u m u l a t i o n ( m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , p e r i o d = 1 0 , a l i g n . p e r i o d = 6 0 )

> p a r ( m f r o w = c ( 3 , 1 ) ) > p l o t ( c u m m [ [ 1 ] ] , x l a b = " " , y l a b = " C u m u l a t i v e R u t u r n s " , m a i n = " M S F T " , s u b = d a t e s . e x a m p l e [ [ 1 ] ] , t y p e = " p "

c o l = 1 6 )


> p l o t ( c u m m . g e [ [ 1 ] ] , x l a b = " " , y l a b = " C u m u l a t i v e R u t u r n s " , m a i n = " G E " , s u b = d a t e s . e x a m p l e [ [ 1 ] ] , t y p e = " p " , c o l = 1 6 )

> l i n e s ( c u m m . g e [ [ 2 ] ] , c o l = 2 , l w d = 3 )

> p l o t ( a c c u m [ [ 1 ] ] , x l a b = " " , y l a b = " R e a l i z e d C o - A c c u m u l a t i o n " , t y p e = " l " , m a i n = " M S F T | G E " , s u b = d a t e s . e x a m p l e [ [ 1 ] ] ,

c o l = 2 )

I n t h i s e x a m p l e t h e r e a l i z e d c o v a r i a n c e a p p e a r s t o b u i l d a t a f a i r l y c o n s t a n t p a c e e x c e p t f o r t w o o r t h r e e

b i g j u m p s w h e r e t h e s t o c k s m o v e t o g e t h e r . T o s e e h o w t h e v a r i a b i l i t y i n t h e r e a l i z e d c o v a r i a n c e e s t i m a t e i s

c r e a t e d , r u n t h e s a m e p l o t c o m m a n d s w i t h s a m p l i n g p e r i o d s o f s i x t o 2 0 m i n u t e s a n d y o u w i l l m o s t l i k e l y

s e e t h a t f o r s o m e o f t h e t i m i n g s t h e a l i g n m e n t w i l l b e s u c h t h a t t h e s t o c k s w i l l n o t m o v e t o g e t h e r d u r i n g

t h e s e s a m e t w o o r t h r e e t i m e s .

T h e a d d i t i v e n a t u r e o f t h e r e a l i z e d e s t i m a t o r s a l l o w s i m p l e m e n t a t i o n o f b o t h t h e a c c u m u l a t i o n a n d m a r g i n a l

c o n t r i b u t i o n p l o t s f o r a l l o f t h e e s t i m a t o r s a b o v e b y a d j u s t i n g t h e i n t e r v a l Ti,mTi1,m . F i r s t , t h e e s t i m a t i o n

i s p e r f o r m e d o n a s u b s e t o f t h e w h o l e p e r i o d s w o r t h o f d a t a . S e c o n d , o n e m o r e o b s e r v a t i o n i s a d d e d a n d t h e

e s t i m a t i o n i s p e r f o r m e d a g a i n . A s o b s e r v a t i o n s a r e a d d e d a n a c c u m u l a t i o n p l o t i s c r e a t e d a n d t h e m a r g i n a l

p l o t c a n b e c o n s t r u c t e d e a s i l y . T h i s f u n c t i o n a l i t y w i l l b e i n c l u d e d i n t h e 1 . 0 r e l e a s e .

5 . 2 S c a t t e r P l o t s

T h e

r M a r g i n a l

f u n c t i o n p l o t s t h e p r o d u c t s o r c r o s s p r o d u c t s o f r e t u r n s , h o w e v e r , i t i s a l s o i n f o r m a t i v e t o

l o o k a t t h e r e t u r n s t h e m s e l v e s u s i n g a s c a t t e r p l o t . T h e f u n c t i o n

r S c a t t e r R e t u r n s

d i s p l a y s a s c a t t e r p l o t o f

r e t u r n s f o r a g i v e n s a m p l i n g p e r i o d . F o r o n e m i n u t e r e t u r n s o f M S F T a n d G E o n J a n u a r y 2 , 2 0 0 4 :


24/28

6 E X A M P L E : I M P O R T I N G D A T A 2 4

# F i g u r e 1 0 B

> r S c a t t e r R e t u r n s ( m s f t . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , y = g e . r e a l . c t s [ [ 1 ] ] , p e r i o d = 1 , a l i g n . p e r i o d = 2 0 , y l a b = " G E " , x l a b = " M S F T " , n u m b e r s = F )

T h e r e a r e m a n y p o i n t s t h a t l i e o n t h e t w o z e r o l i n e s , w h i c h s h o w s t h e n o n s y n c h r o n o u s t r a d i n g p r o b l e m .

T h e r e i s a l s o o n e b i g p o s i t i v e l y c o r r e l a t e d l o g - r e t u r n t h a t w i l l a d d t o t h e n a l e s t i m a t e w h e r e G E a n d M S F T

m o v e d . 0 0 2 a n d . 0 0 3 d u r i n g t h e s a m e s a m p l e p e r i o d .

6 E x a m p l e : I m p o r t i n g D a t a

E a c h e x a m p l e i n t h i s u s e r s m a n u a l u s e s c l e a n e d d a t a t h a t i s p r e l o a d e d i n t o a r e a l i z e d O b j e c t . H o w e v e r ,

e v e r y o n e u s i n g t h i s l i b r a r y w i l l u s e d i e r e n t d a t a f r o m d i e r e n t s o u r c e s . I n t h i s s e c t i o n I g i v e a n e x a m p l e o f

h o w t o g e t a a t l e o f d a t a i n t o a r e a l i z e d O b j e c t .

F o r t h i s e x a m p l e I i m p o r t F X d a t a f r o m h t t p : / / r a t e d a t a . g a i n c a p i t a l . c o m / . I h a v e a l s o i n c l u d e d t h e t h r e e

l e s

e u r u s d . c s v

,

u s d j p y . c s v

, a n d

e u r j p y . c s v

i n t h e l i b r a r y z i p l e . T h e r e a r e t h r e e s i m p l e f u n c t i o n s t h a t y o u

m u s t w r i t e t o i m p o r t t h i s d a t a p r o p e r l y , a l l o f t h e s e d e p e n d o n t h e d a t a s o u r c e , d a t a f o r m a t a n d t i m e s t a m p

f o r m a t . B e f o r e w e g e t t o t h e s e f u n c t i o n s l e t ' s l o a d t h e l e a n d l o o k a t i t t h e r s t t e n r o w s t o s e e t h e f o r m a t :

> p a t h < - " d : / d e v / " # c h a n g e t h i s t o t h e d i r e c t o r y t h a t t h e . c s v f i l e s l i v e i n

> e u r . u s d . 0 5 . 2 0 0 7 < - r e a d . t a b l e ( p a s t e ( p a t h , " e u r u s d . c s v " , s e p = " " ) , s t r i n g s A s F a c t o r s = F , s e p = " , " )

> u s d . j p y . 0 5 . 2 0 0 7 < - r e a d . t a b l e ( p a s t e ( p a t h , " u s d j p y . c s v " , s e p = " " ) , s t r i n g s A s F a c t o r s = F , s e p = " , " )

> e u r . j p y . 0 5 . 2 0 0 7 < - r e a d . t a b l e ( p a s t e ( p a t h , " e u r j p y . c s v " , s e p = " " ) , s t r i n g s A s F a c t o r s = F , s e p = " , " )

> e u r . u s d . 0 5 . 2 0 0 7 [ 1 : 1 0 , ]

V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6

1 3 2 8 9 7 5 0 6 1 E U R / U S D 2 0 0 7 - 0 5 - 2 7 1 7 : 0 0 : 0 5 1 . 3 4 4 9 1 . 3 4 5 2 D

2 3 2 8 9 7 5 1 0 3 E U R / U S D 2 0 0 7 - 0 5 - 2 7 1 7 : 0 5 : 2 4 1 . 3 4 4 8 1 . 3 4 5 1 D

3 3 2 8 9 7 5 2 3 5 E U R / U S D 2 0 0 7 - 0 5 - 2 7 1 7 : 3 6 : 0 2 1 . 3 4 4 7 1 . 3 4 5 0 D

4 3 2 8 9 7 5 3 9 5 E U R / U S D 2 0 0 7 - 0 5 - 2 7 1 7 : 4 4 : 0 6 1 . 3 4 4 6 1 . 3 4 4 9 D

5 3 2 8 9 7 5 4 1 2 E U R / U S D 2 0 0 7 - 0 5 - 2 7 1 7 : 4 4 : 2 1 1 . 3 4 4 7 1 . 3 4 5 0 D

6 3 2 8 9 7 5 4 2 4 E U R / U S D 2 0 0 7 - 0 5 - 2 7 1 7 : 4 4 : 3 6 1 . 3 4 4 6 1 . 3 4 4 9 D

7 3 2 8 9 7 5 4 6 6 E U R / U S D 2 0 0 7 - 0 5 - 2 7 1 7 : 4 5 : 3 3 1 . 3 4 4 5 1 . 3 4 4 8 D

8 3 2 8 9 7 5 5 1 4 E U R / U S D 2 0 0 7 - 0 5 - 2 7 1 7 : 4 5 : 5 0 1 . 3 4 4 6 1 . 3 4 4 9 D

9 3 2 8 9 7 5 5 2 0 E U R / U S D 2 0 0 7 - 0 5 - 2 7 1 7 : 4 5 : 5 2 1 . 3 4 4 5 1 . 3 4 4 8 D

1 0 3 2 8 9 7 5 5 2 2 E U R / U S D 2 0 0 7 - 0 5 - 2 7 1 7 : 4 5 : 5 4 1 . 3 4 4 6 1 . 3 4 4 9 D

F o r t h i s s i m p l e e x a m p l e I w i l l d e m o n s t r a t e h o w t o g e t t h e r s t d a y s w o r t h o f d a t a a n d w o r k w i t h t h a t ,

o b v i o u s l y y o u r a p p r o a c h m a y v a r y . T h i s d a t a i s 2 4 h o u r d a t a s o o u r i n t e g r a t i o n b o u n d s f o r i n t e g r a t e d

v a r i a n c e a r e f r o m 0 : 0 0 t o 2 3 : 5 9 : 5 9 f o r e a c h d a y . T h i s r s t f u n c t i o n w i l l s u b s e t t h e o r i g i n a l d a t a t o r e t u r n a

p a r t i c u l a r d a y o f d a t a b y m a t c h i n g t h e d a t e s t r i n g i n c o l u m n t h r e e .

> g e t T < - f u n c t i o n ( x , d a t e S t r , . . . )

{

y < - x [ , 3 ]

x [ s u b s t r i n g ( y , 1 , 1 0 ) = = d a t e S t r , ]

}

W e w i l l w o r k w i t h d a t a f o r M a y 5 , 2 0 0 7 :

> e u r . u s d . 0 5 . 3 0 . 2 0 0 7 < - g e t T ( e u r . u s d . 0 5 . 2 0 0 7 , " 2 0 0 7 - 0 5 - 3 0 " )

> u s d . j p y . 0 5 . 3 0 . 2 0 0 7 < - g e t T ( u s d . j p y . 0 5 . 2 0 0 7 , " 2 0 0 7 - 0 5 - 3 0 " )

> e u r . j p y . 0 5 . 3 0 . 2 0 0 7 < - g e t T ( e u r . j p y . 0 5 . 2 0 0 7 , " 2 0 0 7 - 0 5 - 3 0 " )


25/28


F i g u r e 1 1 A a n d 1 1 B : R e a l i z e d V a r i a n c e S i g n a t u r e P l o t a n d R e a l i z e d C o r r e l a t i o n S i g n a t u r e P l o t

T h e s e c o n d f u n c t i o n t h a t w e w i l l c r e a t e i s d u e t o t h e f a c t t h a t w e a r e l o o k i n g a t q u o t e d a t a w i t h a b i d a n d

a s k . I t i s c o m m o n p r a c t i c e i n t h e r e a l i z e d v a r i a n c e l i t e r a t u r e t o u s e t h e m i d q u o t e , o r a v e r a g e o f t h e t w o

q u o t e s .

> m i d Q u o t e < - f u n c t i o n ( x , b i d . i n d e x = 4 , a s k . i n d e x = 5 )

{

( x [ , b i d . i n d e x ] + x [ , a s k . i n d e x ] ) / 2

}

T h e r e a l i z e d O b j e c t c o n s t r u c t o r f u n c t i o n n e e d s d a t a ( i n t h e f o r m o f p r i c e s o r r e t u r n s ) , a s w e l l a s , t h e

t i m e s t a m p i n m i l l i s e c o n d s . W e w i l l c a l c u l a t e m i l l i s e c o n d s f r o m t h e t i m e p o r t i o n o f c o l u m t h r e e .

> t o M i l l i s e c o n d s < - f u n c t i o n ( x , . . . )

{

a n s < - 1 0 0 0 * a s . n u m e r i c ( s u b s t r i n g ( x , 1 2 , 1 3 ) ) * 6 0 * 6 0 +

1 0 0 0 * a s . n u m e r i c ( s u b s t r i n g ( x , 1 5 , 1 6 ) ) * 6 0 +

a s . n u m e r i c ( s u b s t r i n g ( x , 1 8 , 1 9 ) ) * 1 0 0 0

a n s

}

W e c a n u s e t h e s e t w o f u n c t i o n s w i t h t h e r e a l i z e d O b j e c t c o n s t r u c t o r f u n c t i o n t o c r e a t e o u r r e a l i z e d O b j e c t s .

T h e p a r a m e t e r s m i l l i s s t a r t a n d m i l l i s e n d s p e c i f y t h e i n t e g r a t i o n b o u n d s f o r t h e i n t e g r a t e d v a r i a n c e a n d

a r e d e f a u l t e d t o n o r m a l m a r k e t h o u r s . S i n c e w e a r e l o o k i n g a t 2 4 h o u r F X d a t a w e n e e d t o c h a n g e t h e s e t o

0 : 0 0 a n d 2 3 : 5 9 : 5 9 r e s p e c t i v e l y .

e u r . u s d . r e a l < - r e a l i z e d O b j e c t ( l i s t ( d a t a = m i d Q u o t e ( e u r . u s d . 0 5 . 3 0 . 2 0 0 7 ) ,

m i l l i s e c o n d s = t o M i l l i s e c o n d s ( e u r . u s d . 0 5 . 3 0 . 2 0 0 7 [ , 3 ] ) ) ,

m a k e R e t u r n s = T , c t s = T , m i l l i s s t a r t = 0 0 0 0 , m i l l i s e n d = 1 0 0 0 * 2 4 * 6 0 * 6 0 )

> e u r . j p y . r e a l < - r e a l i z e d O b j e c t ( l i s t ( d a t a = m i d Q u o t e ( e u r . j p y . 0 5 . 3 0 . 2 0 0 7 ) ,

m i l l i s e c o n d s = t o M i l l i s e c o n d s ( e u r . j p y . 0 5 . 3 0 . 2 0 0 7 [ , 3 ] ) ) ,


> u s d . j p y . r e a l < - r e a l i z e d O b j e c t ( l i s t ( d a t a = m i d Q u o t e ( u s d . j p y . 0 5 . 3 0 . 2 0 0 7 ) ,

m i l l i s e c o n d s = t o M i l l i s e c o n d s ( u s d . j p y . 0 5 . 3 0 . 2 0 0 7 [ , 3 ] ) ) ,


N o w t h e s e o b j e c t s c a n b e u s e d w i t h a n y f u n c t i o n f r o m i n t h i s m a n u a l . A v a r i a n c e s i g n a t u r e p l o t o f

e u r . u s d . 0 5 . 3 0 . 2 0 0 7 w i t h d a t a a l i g n e d t o 3 0 s e c o n d s w i t h B a r t l e t t k e r n e l e s t i m a t e s o v e r l a y e d a s a f u n c t i o n o f

l a g s :

# F i g u r e 1 1 A

> t e s t . s i g < - r S i g n a t u r e ( 1 : 1 2 0 , e u r . u s d . r e a l , x s c a l e = 1 / 2 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 3 0 ) )

> t e s t . b a r t < - r S i g n a t u r e ( 1 : 1 2 0 , e u r . u s d . r e a l , t y p e = " k e r n e l " , x s c a l e = 1 / 2 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 3 0 , t y p e = " b a r t l e t t " ) )


26/28


> p l o t ( t e s t . s i g , y l a b = " R e a l i z e d V a r i a n c e " , x l a b = " M i n u t e s " , m a i n = " E u r . U s d " , s u b = " 0 5 / 3 0 / 2 0 0 7 " )

> l i n e s ( t e s t . b a r t , c o l = 2 , l w d = 2 )

> a x i s ( 3 , c ( 0 , ( 1 : 1 0 ) * 6 ) , c ( " L a g s : " , a s . c h a r a c t e r ( ( 1 : 1 0 ) * 1 2 ) ) )

A c o r r e l a t i o n s i g n a t u r e p l o t :

# F i g u r e 1 1 B

> t e s t . s i g < - r S i g n a t u r e ( 1 : 6 0 , x = e u r . u s d . r e a l , y = e u r . j p y . r e a l , x s c a l e = 1 / 2 , a r g s = l i s t ( a l i g n . p e r i o d = 3 0 ) , c o r = T )

> t e s t . b a r t < - r S i g n a t u r e ( 1 : 6 0 , x = e u r . u s d . r e a l , y = e u r . j p y . r e a l , t y p e = " k e r n e l " , x s c a l e = 1 / 2 , a r g s = l i s t ( a l i

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