Razones y tasas - Universiteit Utrecht

Razones y tasasNúmeros

Lasmatemáticas

encontexto

Razones y tasas.qxd 2/10/06 5:27 PM Page i

Las matemáticas en contexto es un currículo exhaustivo para los grados intermedios.Se desarrolló entre 1991 y 1997 en colaboración con el Wisconsin Center forEducation Research (Centro de Investigación Educativa de Wisconsin), Facultad deEducación, de la Universidad de Wisconsin-Madison y el Freudenthal Institute(Instituto Freudenthal), de la Universidad de Utrecht, Países Bajos, con el apoyo delsubsidio n.º 9054928 de la National Science Foundation (Fundación Nacional paralas Ciencias).

La revisión curricular se realizó entre los años 2003 y 2005, con el apoyo del subsidio n.º ESI 0137414 de la National Science Foundation.

National Science FoundationLas opiniones expresadas pertenecen a los autores y no reflejan necesariamente las de la Fundación.

Keijzer, R., Abels, M., Wijers, M., Brinker, L. J., Shew, J. A., Cole, B. R. y Pligge, M. A. (2006). Razones ytasas. Wisconsin Center for Education Research & Freudenthal Institute (Eds.), Las matemáticas encontexto. Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc.

Copyright © 2006 Encyclopædia Britannica, Inc.

Reservados todos los derechos.Impreso en los Estados Unidos de América.

Este trabajo está protegido por las actuales leyes estadounidenses de propiedadintelectual, que rigen también su uso público, su presentación y otros usos aplicables.Queda prohibido cualquier uso no autorizado por la ley de propiedad intelectual delos Estados Unidos sin nuestro expreso consentimiento escrito, que incluye, aunqueno exclusivamente, su copia, adaptación y transmisión televisiva o por otros medios o procesos. Para obtener mayor información con respecto a una licencia, escriba aEncyclopædia Britannica, Inc., 331 N. LaSalle St., Chicago, IL 60610.

ISBN 0-03-093047-2

1 2 3 4 5 6 073 09 08 07 06

Razones y tasas.qxd 2/10/06 5:14 PM Page ii

Equipo de desarrollo de Las matemáticas en contextoDesarrollo 1991–1997

Ronal Keijzer y Mieke Abels desarrollaron la primera versión de Razones y tasas. La adaptación para suuso en las escuelas estadounidenses es de Laura J. Brinker, Julia A. Shew y Beth R. Cole.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg Joan Daniels Pedro Jan de LangeDirector Ayudante de dirección Director

Gail Burrill Margaret R. Meyer Els Feijs Martin van ReeuwijkCoordinadora Coordinadora Coordinadora Coordinador

Personal del proyecto

Jonathan Brendefur Sherian Foster Mieke Abels Jansie NiehausLaura Brinker James A, Middleton Nina Boswinkel Nanda QuerelleJames Browne Jasmina Milinkovic Frans van Galen Anton RoodhardtJack Burrill Margaret A. Pligge Koeno Gravemeijer Leen StreeflandRose Byrd Mary C. Shafer Marja van den Adri TreffersPeter Christiansen Julia A. Shew Heuvel-Panhuizen Monica WijersBarbara Clarke Aaron N. Simon Jan Auke de Jong Astrid de WildDoug Clarke Marvin Smith Vincent JonkerBeth R. Cole Stephanie Z. Smith Ronald KeijzerFae Dremock Mary S. Spence Martin KindtMary Ann Fix

Revisión 2003–2005

Mieke Abels y Monica Wijers desarrollaron la primera versión de Razones y tasas. La adaptación parasu uso en las escuelas estadounidenses es de Margaret A. Pligge.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg David C. Webb Jan de Lange Truus DekkerDirector Coordinador Director Coordinador

Gail Burrill Margaret A. Pligge Mieke Abels Monica WijersCoordinadora editorial Coordinadora editorial Coordinadora Coordinadora

del contenido del contenido

Personal del proyecto

Sarah Ailts Margaret R. Meyer Arthur Bakker Nathalie KuijpersBeth R. Cole Anne Park Peter Boon Huub Nilwik Erin Hazlett Bryna Rappaport Els Feijs Sonia PalhaTeri Hedges Kathleen A. Steele Dédé de Haan Nanda QuerelleKaren Hoiberg Ana C. Stephens Martin Kindt Martin van ReeuwijkCarrie Johnson Candace UlmerJean Krusi Jill VettrusElaine McGrath

Razones y tasas.qxd 2/10/06 5:14 PM Page iii

(c) 2006 Encyclopædia Britannica, Inc. Las matemáticas en contexto y el logotipode Las matemáticas en contexto son marcas registradas de EncyclopædiaBritannica, Inc.

Créditos de las fotografías de la portada: (todos) © Getty Images

Ilustraciones12, 14–16, 20 © Encyclopædia Britannica, Inc.; 19, 22, 23, 32 Holly Cooper-Olds; 36, 37, 40, 53 Michael Nutter/© Encyclopædia Britannica, Inc.; 54 ChristineMcCabe/© Encyclopædia Britannica, Inc.

Fotografías1 (arriba) Gary Russ/HRW Photo; (abajo) Victoria Smith/HRW; 2 HRW Photo/Sam Dudgeon; 4–6 Victoria Smith/HRW; 11 (desde arriba hacia abajo) © Corbis;© Corbis; © PhotoDisc/Getty Images; © Corbis; 16 (de izquierda a derecha)© Corbis; © Corbis; John A. Rizzo/PhotoDisc/Getty Images; © Corbis; 21 DennisMacDonald/Alamy; 22 © Corbis; 25 (de izquierda a derecha) PhotoDisc/GettyImages; © Corbis; 27 PhotoDisc/Getty Images; 30 Sam Dudgeon/HRW; 35 (arriba)Jim Vogel; (abajo) Kalmbach Publishing Co. collection; 39 © Corbis; 41 (de izquierdaa derecha) © Digital Vision/Getty Images; PhotoDisc/GettyImages; 42 (arriba,abajo) © Corel; (mitad) Dynamic Graphics Group/Creatas /Alamy; 43 (arriba) JamesF. Snyder; (abajo) Artville/Getty Images; 45 (de izquierda a derecha) © Corbis;Georgette Douwma/PhotoDisc/Getty Images; Russell Illig/PhotoDisc/Getty Images;47 (arriba) Su Davies/PhotoDisc/Getty Images; (abajo) PhotoDisc/Getty Images;49 Artville/Getty Images; 54 Andrew Ward/Life File/PhotoDisc/Getty Images

Razones y tasas.qxd 2/10/06 5:14 PM Page iv

Contenido

Contenido V

Carta al alumno VI

Sección A Razón numérica¿Viajamos juntos? 1Millas por galón 4Millas por hora 6Control de crucero 7Resumen 8Verifica tu trabajo 9

Sección B ComparacionesTeléfonos y poblaciones 11Televisores 15Teléfonos celulares 16Resumen 18Verifica tu trabajo 19

Sección C Diferentes clases de razonesDemasiado rápido 21Porcentaje 23Proporciones parte-parte y parte-todo 25

Resumen 28Verifica tu trabajo 29

Sección D Escala y razónDibujos a escala 30Modelos a escala 35Mapas 36Resumen 38Verifica tu trabajo 39

Sección E Factor de escalaMás pequeño o más grande 41Ampliado o reducido 43Resumen 48Verifica tu trabajo 49

Práctica adicional 50

Respuestas para verificartu trabajo 55

Razones y tasas.qxd 2/10/06 5:14 PM Page v

VI Razones y tasas

Querido alumno:

Bienvenido a la unidad Razones y tasas. En esta unidad aprenderásdistintas maneras de hacer comparaciones.

¿Hay más varones o más niñas en tu clase? Si cuentas, puedes usaruna razón para describir esta situación. Puedes hacer comparacionesusando diferentes tipos de razones.

Debes haber visto los carteles de límite develocidad colocados a lo largo de las carreteras y de las calles. La tasa con la que un carro sedesplaza en un carretera generalmente es mayorque la tasa con la que un carro se desplaza en unacalle. Puedes hacer comparaciones usando tasas.

Usas razones para hacer dibujos aescala. Los arquitectos usan dibujosa escala para diseñar y construiredificios. Ellos crean conjuntos dedocumentos de trabajo que constande un plano de planta, un plano delsitio y un plano de elevación. Losmapas también son dibujos a escala.

¿Alguna vez has mirado una célula a través de unmicroscopio? El aumento de los lentes establece larazón entre lo que ves y el tamaño real de la célula.

Generalmente, los arquitectos, ingenieros y artistas crean modelos a escala de objetos que quieren construir. Mucha gente tienepasatiempos como crear mundos en miniatura con trenes, aviones,barcos y automóviles. Cuando miras a través de un microscopio, ves ampliaciones de objetos pequeños.

En todos los casos, las razones hacen que todo parezca real.Esperamos que aprendas maneras eficientes de trabajar con razones y tasas.

Atentamente.

El equipo de desarrollo de Las Matemáticas en contexto

Razones y tasas.qxd 2/10/06 5:14 PM Page vi

Los estudiantes de la clase de ciencias de la Srta. Cole están preocupadospor la calidad del aire en la zona de la Escuela Intermedia Brooks. Ellosobservaron que, frecuentemente, hay contaminación en la zona. Acaban determinar un proyecto de ciencias en el que investigaron la manera en quela contaminación destruye las plantas, corroe los edificios y las estatuas, ycausa problemas respiratorios.

Los estudiantes suponen que la ciudad tiene tanta contaminación debido algran número de carros en las rutas. Los estudiantes piensan que hay tantoscarros porque la mayoría de la gente no viaja junta en carros compartidos.Ellos quieren averiguar si la gente viaja junta en carros compartidos.

Sección A: Razón numérica 1

ARazón numérica

¿Viajamos juntos?

Hicieron un experimento paracontar el número de carros y degente en la carretera East Side,próxima a la escuela.

Razones y tasas.qxd 2/10/06 5:14 PM Page 1

Un grupo contó 10 carros y 12 personas en un minuto exacto.

1. a. ¿Cuántos de estos carros podrían haber llevado más de unapersona? Da todas las respuestas posibles.

b. Halla el número promedio de gente por carro y explica cómohallaste la respuesta.

Al mismo tiempo, en un lugar diferente de la carretera, un segundo grupode estudiantes cuenta carros y personas durante dos minutos. Un tercergrupo cuenta carros y personas durante tres minutos.

El segundo y el tercer grupo calculan a su vez la cantidad promedio depersonas por carro. Les sorprende averiguar que ambos grupos calcularonun promedio de 1.2 personas por carro.

2. ¿Cuántos carros y cuántas personas puede haber contado cada grupo?

2 Razones y tasas

Razón numéricaA


A

Un cuarto grupo cuenta carros y personas durante un minuto en el ladonorte de la escuela. Ellos contaron 18 carros y 21 personas.

3. Compara los resultados del cuarto grupo de estudiantes con los de losotros tres grupos. ¿A qué conclusión llegaste?

Para el primer grupo de estudiantes, la razón de personas con respecto alos carros fue de 12 personas a 10 carros o 12:10. Otra forma de describiresto es usar el número promedio de personas por carro. Los primeros tresgrupos calcularon un promedio de 1.2 personas por carro. Pueden haberhallado este promedio calculando el resultado de la división 12 � 10.

Puedes mostrar tanto la razón como el promedio en una tabla de razones.

4. a. ¿De qué manera puedes usar la tabla de razones para averiguar elnúmero promedio de personas por carro?

b. También puedes escribir el número promedio de personas porcarro en una razón. ¿Qué razón es esta?

c. Dado este promedio, ¿cuántas personas esperarías ver si contaras15 carros?

d. ¿Qué puedes decir acerca del número de personas en cada uno delos 15 carros?

A fin de disminuir la contaminación ambiental, los estudiantes investiganmaneras de incrementar el número promedio de personas por carro.

5. Explica por qué un promedio más alto de personas por carro podríadar como resultado un menor número de carros. Puedes usarejemplos en tu explicación.


Razón numérica

Número de personas 12 1.2

Número de carros 10 1


Algunos estudiantes consideran que el número promedio de personas porcarro debería incrementar de 1.2 a 1.5 personas por carro.

6. a. Encuentra 5 grupos diferentes de carros y personas que te dé unpromedio de 1.5 personas por carro. Pon tus resultados en una tabla.

b. Con un grupo de compañeros de clase, haz un póster que demuestreal concejo municipal que elevar el número promedio de personaspor carro de 1.2 a 1.5 disminuirá el congestionamiento vehicular ymejorará la calidad del aire.

Otra manera de reducir la contaminación ambiental es alentar a losconductores para que utilicen automóviles más eficientes. Una emisora deTV local decide hacer un programa especial sobre cómo reducir lacontaminación ambiental.

En un informe, el locutor menciona: “Los carros con bajo consumo degasolina por milla contaminan menos que los carros con alto consumo degasolina por milla”.

El consumo de gasolina por milla es el número promedio de millas (mi)que un carro puede hacer con 1 galón (gal) de gasolina. Esto se representacon la razón de millas por galón (mpg).

John dice: “El consumo de gasolina por milla de mi carro es de 25 mpg”.

7. ¿Cuántas millas puede viajar John con 12 galones de gasolina?

4 Razones y tasas

Razón numéricaA

Millas por galón


A

Cindy, Arturo y Sheena ven el informe en la TV. Deciden calcular el consumode gasolina por milla de sus carros para ver cuál contamina menos.

Cindy recuerda que manejó 50 mi con 2.5 galones de gasolina. Ella crea lasiguiente tabla de razones en un papel de borrador.

Cindy dice: “Mi consumo de gasolina por milla es de 20 mpg”.

8. Explica el cálculo y la respuesta de Cindy.


Razón numérica

La última vez que Arturo llenó el tanquede su carro, había manejado 203 mi con8.75 galones de gasolina.

9. Explica si el consumo de gasolina pormilla de Arturo va a ser mayor omenor que el de Cindy.

Arturo creó la siguiente tabla de razones para calcular su consumo degasolina por milla.

10. a. ¿Qué hizo Arturo en su tabla de razones para que el número degalones fuera un número entero?

b. Calcula el consumo de gasolina por milla del carro de Arturo.

Sheena viajó 81.2 mi con 3.75 galones de gasolina.

11. Compara el consumo de gasolina por milla de los carros de Sheena,Arturo y Cindy. ¿A qué conclusiones llegaste?

Número de millas 203 2,030 20,300

Número de galones 8.75 87.5 875

Millas

Galones

50

2.5

100

5

20

1


Sheena tardó 2 horas en viajar 81.2 mi. Sheena usó una tabla de razonespara calcular el número promedio de millas que manejó por hora. Este esel papel de borrador de Sheena.

12. a. Explica el método de cálculo de Sheena.

b. ¿Cuál es el número promedio de millas que manejó Sheena por hora?

c. ¿Cómo calcularías tú el número promedio de millas por hora para Sheena?

El número promedio de millas por hora se llama velocidad promedio. La velocidad promedio se expresa en millas por hora (mi/h).

La velocidad promedio se expresa enforma de un número simple.

6 Razones y tasas

Razón numéricaA

Millas por hora

Millas

Horas

81.2

2

812

20

406

10

40.6

1


A

Considera, por ejemplo, que Cindy viajó a una velocidad promedio de55 mi/h. Una velocidad promedio de 55 mi/h es la razón 55:1, que se leecomo “cincuenta y cinco a uno”. Esta razón se puede anotar en una tablacomo la del problema 12.

13. Reflexiona Describe otra situación en la que el porcentaje sea unarazón expresada en forma de número simple.

Nick viajó 72 millas hasta Lincoln en Nebraska.

Partió a las 8:00 a.m. y llegó a las 9:30 a.m.

Kendra viajó 140 mi hasta Louisville, en Kentucky.

Partió a las 2:00 p.m. y llegó a las 5:20 p.m.

14. ¿Quién viajó a un promedio de velocidad mayor? ¿Nick o Kendra?(Pista: las tablas de razones pueden ser muy útiles para resolver esteproblema.)

Muchos carros modernos están equipados con control de crucero, lo que lepermite al conductor hacer que la velocidad del carro sea constante. Estofacilita la conducción en carreteras y ahorra gasolina. Sheena usa estafunción para hacer dos viajes.

El lunes, Sheena condujo desde la 1:00 p.m. hasta las 2:30 p.m. con unpromedio de velocidad constante de 48 mi/h.

15. ¿Qué distancia recorrió Sheena el lunes? (Pista: las tablas de razonespueden ser muy útiles para resolver este problema.)

El martes, Sheena condujo desde las 9:00 a.m. hasta las 9:45 a.m. con elcontrol de crucero puesto al mismo promedio de velocidad de 48 mi/h.

16. ¿Qué distancia recorrió Sheena en su viaje del martes?

El consumo de gasolina por milla de Sheena fue de 24 mpg para ambos viajes.

17. ¿Cuántos galones de gasolina usó en estos viajes?


Razón numérica

Control de crucero


8 Razones y tasas

Razón numérica

Puedes usar razones para expresar relaciones.

La razón entre niñas y varones en una clase es de 15:12.La razón de personas con respecto a los carros en una esquina es de 14:10.

Puedes escribir razones en forma de números simples para expresar promedios.

En promedio, en una clase, hay 1.25 niñas por cada varón.En promedio, en una esquina hay alrededor de 1.4 personas por carro.

Para escribir razones en forma de números simples puedes usar tablas de razones.

Consumo de gasolina por milla

Carla condujo 75 mi con 2.5 galones de gasolina. ¿Cuál es su consumo degasolina por milla?

La razón 75:2.5 es la misma que 30:1. Esta razón significa que para esteviaje, Carla hizo un promedio de 30 millas por galón. Su consumo degasolina por milla fue de 30 mpg.

• Para escribir razones en forma de números simples, puedes usardivisiones. 75 mi � 2.5 gal = 30 mpg.

Usar una razón en forma de número simple para expresar un promediofacilita la comparación entre diferentes situaciones. Este es un ejemplo.

• Comparar la velocidad promedio (mi/h):

Serena demoró 2h en conducir 90 mi. Karla condujo 75 mi en 1.5h.Compara sus velocidades promedio.

• Usar una tabla de razones:

El viaje de Serena

A

Número de millas

Número de galones

75

2.5

750

25

30

1

� 10 � 25

� 10 � 25

Número de millas

Número de galones

90

2

45

1



El viaje de Karla

Serena hizo un promedio de 45mi/h. El promedio de velocidad deSerena fue de 45mi/h. Carla hizo un promedio de 50mi/h. El promediode velocidad de Carla fue de 50mi/h. Por lo tanto Carla condujo más rápido.

1. a. Halla el número promedio de personas por carro si contaras 16carros y 40 personas.

b. Halla el número promedio de estudiantes por clase si hay 320estudiantes en 9 clases.

2. Usa una tabla de razones para calcular el consumo de gasolina por milla.

Un carro viaja 108 mi con 6 galones de gasolina.

Número de millas

Número de horas

75

1.5

50

1

150

3

Número de millas

Galones de gasolina


10 Razones y tasas

Marta hizo reparar su carro en un garaje. La siguiente es una parte de lafactura que le envío su mecánico:

3. Usa la siguiente tabla de razones para averiguar cuánto le cobró elmecánico por hora.

David y su grupo contaron carros y personas.

La razón de personas con respecto a los carros es de 25:15.

4. Escribe la razón en forma de número simple para expresar el númeropromedio de personas por carro.

5. Crea tu propio problema sobre razones y promedios. Por supuesto,también deberás proveer una respuesta a tu problema.

Describe cómo explicarías al propietario de un carro la manera de calcularel consumo de gasolina por milla.

Costo en dólares

Número de horas

Razón numéricaA

Ciudad Automotriz

Piezas Mano de obra Total

Nada 1.5 h $90.00


La siguiente tabla muestra la población y el número total de teléfonos en15 países diferentes.

1. De acuerdo con esta información, ¿qué países de la tabla tienen másteléfonos que personas?

Sección B: Comparaciones 11

BComparaciones

Teléfonos y poblaciones

País Población Número de teléfonos

Bolivia 8.4 millones 1.26 millón

Chad 9.0 millones 44,000

China 1,300 millones 430.50 millones

Cuba 11.2 millones 580,700

Finlandia 5.2 millones 6.3 millones

Francia 59.8 millones 73 millones

Hungría 10.1 millones 10.1 millones

India 1,050 millones 54.6 millones

Japón 127 millones 150.82 millones

Tonga 102,000 14,500

Micronesia 112,000 60,000

Islas Solomón 450,000 7,600

Sudáfrica 45.3 millones 17.17 millones

Sudán 38.1 millones 872,000

Estados Unidos 292.6 millones 331 millones

Fuente: Encyclopædia Britannica Almanac, 2005 (Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc. 2005)


Juana mira los números de la tabla y dice: “Los Estados Unidos tienen elmayor número de población porque 292.6 es el número más grande antesdel millón”.

Brian no está de acuerdo; él dice que la población de China es mayor.

2. Explica, quién tiene razón.

3. a. Basándote en la información de la tabla, ¿en qué países crees quela gente confía más en el uso de los teléfonos para comunicarse?Explícalo.

b. ¿En qué países confió menos la gente en el uso de los teléfonospara comunicarse?

12 Razones y tasas

ComparacionesB

MICRONESIA

La información de la tabla en la página 11 muestra que Micronesia tiene60,000 teléfonos y una población de 112,000 personas. La razón depersonas con respecto a los teléfonos es de 112,000:60,000.

Número de personas

Número de teléfonos

112,000

60,000

.......

1


4. a. ¿Consideras que es verdad que en Micronesia todo el mundo tieneun teléfono? Explica tu razonamiento.

b. Usa la tabla de razones de la página 12 para averiguar el númeropromedio de personas por teléfono en Micronesia.

c. En Tonga, ¿el número promedio de personas por teléfono es mayoro menor que en Micronesia? Explica cómo hallaste la respuesta.

En el problema 4, hallaste el número promedio de personas por teléfonoque hay en Micronesia. Este número te indica cuanta gente compartiría un teléfono.

También es posible observar la razón de los teléfonos con respecto a laspersonas. Para Micronesia, esta razón es 60,000:112,000.

5. a. Usa esta razón para calcular el número promedio de teléfonos por persona.

b. Reflexiona ¿Qué número te parece más útil para decir algo acercadel uso de teléfonos en un país: el número de personas porteléfono o el número de teléfonos por persona? Explica tu elección.

Si comparas países con respecto al número de teléfonos sin tener encuenta el número de personas que viven en dichos países, la comparaciónes una comparación absoluta.

Si comparas países con respecto al número de teléfonos y tienes en cuentael número de personas que viven en dichos países, la comparación es unacomparación relativa, que compara teléfonos por persona.


BComparaciones


Considera la información para China y Finlandia.

6. a. Usa una comparación absoluta para responder.

¿Cuál de estos países tiene más teléfonos?

b. Usa una comparación relativa para responder.

¿Cuál de estos países tenía más teléfonos por persona?

Puedes usar las siguientes tablas de razones.

Finlandia

China

7. ¿Cuál de las comparaciones entre China y Hungría crees que ofrecenuna mejor idea del número de teléfonos que hay en estos países? ¿Lacomparación absoluta o la comparación relativa? ¿Por qué?

8. Reflexiona ¿Cuándo sería más útil una comparación absoluta?¿Cuándo sería mejor usar una comparación relativa?

14 Razones y tasas

ComparacionesB

FINLANDIA

CHINA

Número de teléfonos (en millones)

Población (en millones)

6.3

5.2 1

Número de teléfonos (en millones)

Población (en millones)

430.50

1,300


El párrafo de la izquierda es deun artículo que escribió Brianque compara la cantidad detelevisores que hay en variospaíses del mundo.

9. a. ¿Qué información podría haber usado Brian para calcular que había708 televisores por cada 1,000 canadienses?

b. ¿Puedes determinar el número de televisores por canadiense?Explica tu respuesta.

c. ¿Cuál es el número total de televisores en Canadá? Explica cómohallaste la respuesta.

10. a. Halla el número total de televisores para Brasil.

b. Halla el número total de televisores para Francia.


BComparaciones

Televisores

FRANCIA

BRASIL

CANADÁ

Brasil tiene alrededor de 176 millones de personas, y hay

317 televisores por cada 1,000 ciudadanos. Para Canadá,

hay alrededor de 31.9 millones de personas, y hay 708

televisores por cada 1,000 ciudadanos. Francia tiene

alrededor de 59.7 millones de personas y 606 televisores

por cada 1,000 ciudadanos.

Televisores


Estados

Dinamarca Unidos Canadá Taiwán Polonia Mundo

Número de

teléfonos celulares 740 440 320 970 260 160

por cada 1,000

personas

16 Razones y tasas

ComparacionesB

Teléfonos celulares

DINAMARCA POLONIA

TAIWÁNESTADOS

UNIDOS

CANADÁ

Desde los años noventa, más y más personas en todo el mundo tienenteléfonos celulares.

La tabla muestra el número de teléfonos celulares por cada 1,000 personasen el año 2001, para algunos países y para todo el mundo.



BComparaciones

Historia de las matemáticas

11. a. A partir de la tabla, ¿puedes llegar a la conclusión de que hay más teléfonos celulares en Dinamarca que en Canadá? Explica tu respuesta.

b. ¿Qué información necesitas para poder calcular el número deteléfonos celulares en los EE. UU.?

c. En Taiwán, el número de teléfonos celulares por persona esaproximadamente 1.0. Explica cómo se calcula esta cantidad.

d. Selecciona otros dos países en la tabla y halla el número promediode teléfonos celulares por persona. ¿Cómo se comparan estospaíses con el promedio mundial?

Razones y música

Pitágoras (alrededor del año 500 a. de C.) fue un matemático, maestro yfilósofo griego. Halló la relación entre las razones y la escala musical comoresultado de sus experimentos con un monocorde, un instrumento musicalde una cuerda. Descubrió que mientras más corta fuera la cuerda, más altoera el tono. Un puente móvil podía acortar la cuerda.

Esta es la razón 3:2 entre la C menor (do) y la G (sol).

Las otras razones son:

C (do) 1:1 G (sol) 3:2

D (re) 9:8 A (la) 5:3

E (mi) 5:4 B (si) 15:8

F (fa) 4:3 C (do) 2:1

sol la si dodo re mi fa

C D E F G A B C

(3)

(2)

Puente móvil

do


18 Razones y tasas

Comparaciones

Usas números para hacer comparaciones.

Comparaciones absolutas

Las comparaciones pueden ser absolutas. Cuando haces una comparaciónabsoluta, puedes comparar cosas sin tener en cuenta nada más. Comparasnúmeros de una sola categoría.

Ejemplos de comparaciones absolutas:

• comparar el número de personas en países diferentes;

• comparar el número de teléfonos en países diferentes;

• comparar el número de televisores en países diferentes;

• comparar la cantidad de nieve caída en diferentes estados.

Comparaciones relativas

Las comparaciones también pueden ser relativas. Cuando haces unacomparación relativa, comparas cosas relacionadas con algo más. Lacomparación se relaciona con una base común.

Ejemplos de comparaciones relativas:

• comparar el número de teléfonos que hay por persona en paísesdiferentes;

• comparar el número de teléfonos que hay por cada mil personas enpaíses diferentes.

Cuando haces una comparación relativa, generalmente se usa una razónescrita en forma de número simple (un promedio). Por ejemplo:

• comparar el número de teléfonos que hay por persona, 0.7 frente a 0.2;

• comparar la velocidad de dos carros en millas por hora, 55 mi/hfrente a 30 mi/h.

Las tablas de razones son herramientas útiles para hacer comparacionesrelativas.

B



En 2002, la población de Sudáfrica era cerca de 43.6 millones y el número de teléfonos celulares era cerca de 14.2 millones.

Tomás dice que Sudáfrica tenía alrededor de 33 teléfonos por cada 100 personas.

1. ¿Tiene razón Tomás? Explica tu respuesta.

La siguiente tabla muestra la población y el número de vacas que había envarios estados en 1993.

2. a. ¿Qué estado tiene más vacas?

b. ¿La comparación que hiciste en el problema 2aes absoluta o relativa? Explica por qué.

c. Haz una comparación del número de vacas porcada 100 personas para Kansas y Montana.

d. ¿La comparación que hiciste en el problema 2ces absoluta o relativa? Explica por qué.

EstadoPoblación

(en millones)

Número de vacas

(en millones)

California

Colorado

Illinois

Iowa

Kansas

Montana

Nebraska

Dakota del Sur

Texas

Wisconsin

34.5

4.4

12.5

2.9

2.7

0.9

1.7

0.8

21.3

5.5

5.2

3.1

1.4

3.6

6.6

2.5

6.4

4

13.6

3.3

Oficina del Censo de los EE. UU. Statistical Abstract of the United States 1994 (Compendio estadístico) (114.ª edición) Washington, D. C., 1994.


20 Razones y tasas

ComparacionesB

3. De acuerdo con tu opinión, ¿cuál de los siguientes países tiene elmayor número de personas por milla cuadrada? Muestra tu trabajo.

En tu clase de matemáticas, determina el número de teléfonos y depersonas en cada hogar. Luego halla el número de teléfonos por persona.

BRASIL

ARGENTINA

JAPÓN

País Área (en mi2) Población

Argentina 1.1 millón 36.8 millones

Japón 146,000 127 millones

Brasil 3.3 millones 176 millones

Fuente: datos del Encyclopædia Britannica Almanac, 2005 (Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc., 2005)


Los ciudadanos de Wrigley están preocupadospor la cantidad de personas que conducen avelocidad excesiva en la ciudad. La policía localha identificado las cuatro peores áreas dondese conduce a velocidad excesiva. El concejomunicipal aprobó la instalación de semáforospara que los carros que van a velocidadexcesiva, la disminuyan.

En la actualidad, solo hay dinero suficiente en el presupuesto como para instalar un semáforo. El concejo solicita a la policía que decida quéárea necesita más el semáforo. La policía haceplanes para estudiar la situación y para brindarun informe en la próxima reunión del concejo.

A fin de controlar la cantidad de conductoresque van a velocidad excesiva por las cuatroáreas de la ciudad, la policía estableció undispositivo para contar y registrar la velocidadde los autos que pasan.

Sección C: Diferentes clases de razones 21

CDiferentes clases de razones

Demasiado rápido

La siguiente es una tabla que muestra el conteo en cada área durante unahora por la mañana.

1. a. Compara los resultados de estas cuatro áreas de la ciudad.

b. ¿Qué recomendación le darías al concejo municipal?

Conductores que van a Conductores que no van

velocidad excesiva a velocidad excesiva

Área 1 11 15

Área 2 42 20

Área 3 30 29

Área 4 4 0


Supón que la policía encontró otra área de la ciudad donde sospechan quehay mucho exceso de velocidad. Cuando cuentan los carros y calculancómo mucha gente conduce a velocidad excesiva en esta área, averiguanque la razón entre los conductores que van a velocidad excesiva y losconductores que no lo hacen es de uno a tres o 1:3.

2. ¿Cambiará la recomendación que hiciste en el problema 1b por estarazón? Sí o no, ¿por qué?

Una ciudad vecina, Brighton, tiene un cartel en la carretera. El cartelmuestra constantemente el porcentaje de carros que pasan y que estándentro del límite de velocidad.

22 Razones y tasas

Diferentes clases de razonesC

3. a. ¿Por qué crees que la ciudad puso este cartel,y por qué crees que el cartel muestra elporcentaje de conductores que no van avelocidad excesiva?

b. ¿Cómo se relacionan porcentaje y razón?

c. Supón que el próximo carro que pasa elcartel, va a velocidad excesiva. ¿Cómocambiará el porcentaje en el cartel? Explicatu respuesta.

4. a. De acuerdo con el cartel, ¿qué parte del número total de carros ibaa velocidad excesiva?

b. Supón que 269 carros han pasado el cartel. Estima el número decarros que iba a velocidad excesiva.

Una emisora local de TV cubrió elproblema del exceso de velocidad en el noticiero de las seis en punto. El informe dio algunas estadísticaspara enfatizar la gravedad de lasituación.

5. ¿Puedes llegar a la conclusión deque más de la mitad de los carrosiban a velocidad excesiva en lacarretera 19? Sí o no, ¿por qué?

Otra emisora de TV retomó la historia. El locutor de esta emisora queríadescribir la situación de velocidad excesiva que ocurría en la carretera 19en términos de porcentajes.

6. ¿Qué porcentajes se podrían usar?

El reporte policial dice que

en la carretera 19 dos

automóviles excedían el

límite de velocidad por cada

tres que no lo hacían.


El límite de velocidad en la carretera 19, donde se encuentra el cartel, es de 55 mi/h. Cada mañana a las dos en punto, el cartel vuelve a cero. Lasiguiente tabla muestra la velocidad de los primeros cuatro carros quepasan el cartel una vez que este fue puesto a cero.

7. a. ¿Qué porcentaje mostraba el cartel una vez que lo había pasado elprimer carro?

b. ¿Qué porcentaje mostraba el cartel una vez que lo había pasado elcuarto carro?

c. Luego de que pasa el quinto carro, el cartel puede mostrar dosporcentajes posibles. Explica por qué esto es así y calcula estosporcentajes.



Porcentaje

Una manera de averiguar un porcentaje es usar la relación entre lasfracciones y los porcentajes.

Por ejemplo, si 1��2 de los carros iban a velocidad excesiva, el 50% iba avelocidad excesiva.

8. Escribe todas las relaciones entre fracciones y porcentajes queconozcas.

Carro Hora Velocidad

1 2:00 a.m. 53

2 2:02 a.m. 60

3 2:03 a.m. 55

4 2:05 a.m. 52

5 2:10 a.m.


Otra manera de averiguar un porcentaje es volver a escribir cada razóncomo un número comparado con 100 (o por ciento). Una tabla de razoneso una calculadora pueden ayudarte con esta estrategia.

9. a. ¿Por qué sería útil volver a escribir la razón como un númerocomparado con 100?

b. Supón que 15 de 25 carros no iban a velocidad excesiva. Muestracómo escribir esta razón en forma de porcentaje usando la tablade razones.

c. Haz lo mismo para mostrar que 10 de 24 carros no iban a velocidadexcesiva.

d. Supón que 55 de 76 carros no iban a velocidad excesiva. Muestracómo escribir esta razón en forma de porcentaje.

Otra manera de hallar porcentajes es usar las relaciones entre razones,fracciones, decimales y porcentajes. Tú ya conoces muchas de estasrelaciones. Mira la siguiente tabla.

10. a. Copia y completa la tabla para mostrar las fracciones, decimales yporcentajes equivalentes.

24 Razones y tasas


Carros que no exceden la velocidad

Número total de carros 100

Razón Fracción Decimal Porcentaje

1:2

1:3

1:4

1:5

1:15

1 20

0.3

10%

b. Completa tres filas adicionales al final de tu tabla para mostrar otrasrelaciones equivalentes que conozcas.

c. Explica la relación entre los decimales y porcentajes equivalentes.Puedes usar ejemplos para explicar esta relación.


Joshua tiene que calcular el porcentaje de carros que no va a velocidadexcesiva. Cuando pasaron el cartel, 55 de 76 carros no iban a velocidadexcesiva. Con esta calculadora, él obtuvo como resultado el decimal 0.7236842.

11. a. ¿Qué ingresó Joshua en su calculadora para obtener este resultado?

b. ¿Qué significa el número que obtuvo Joshua como resultado?

c. Explica cómo puede usar Joshua el decimal para determinar elporcentaje de carros que no van a velocidad excesiva.



Proporciones parte-parte y parte-todoEstas dos fotos muestran a la Srta. Humphreyde bebé y de adulta.

Cuando la Srta. Humphrey era una bebé,medía 60 cm de altura, y su cabeza medía 15 cm de largo.

12. a. Cuando era una bebé, ¿qué longitudtenía su cuerpo (sin incluir la cabeza)?

b. ¿Cuál era la razón entre el cuerpo y lacabeza de la Srta. Humphrey cuandoera una bebé?

c. ¿Cuál era la razón entre la cabeza y la altura?

Srta. Humphrey, 28 días

Srta. Humphrey, 28 años


Ahora que es adulta, la Srta. Humphrey mide 155 cm, y su cabeza mide 27 cm.

13. a. A medida que la Srta. crecía, ¿qué le pasaba al tamaño de sucabeza con respecto a su altura?

b. Compara las razones entre el cuerpo y la cabeza de la Srta.Humphrey, y entre la cabeza y su altura, cuando era una bebé y de adulta. ¿Qué observas? Describe lo que hallaste.

La razón entre la cabeza y el cuerpo es una razón parte-parte.

La razón entre la cabeza y la altura es una razón parte-todo.

14. a. Explica qué quiere decir razón parte-parte y razón parte-todo.

b. Repasa los problemas de esta sección acerca de los carros que vana velocidad excesiva y de los que no lo hacen. Describe una razónparte-parte y una razón parte-todo que se adapte a esta situación.

La razón entre la cabeza y la altura cambia a lo largo de la vida de una persona.

15. a. Usa la tabla anterior para estimar la razón entre la cabeza y la alturade un bebé recién nacido.

b. ¿Qué pasa con esa razón a medida que una persona crece? Explícalo.


Recién nacido 2 años 6 años 12 años 25 años

26 Razones y tasas


La razón entre la cabeza y la altura deJake es de 1 a 8.

16. a. ¿Cuánto mide Jake si su cabezamide 20 cm de largo?

b. ¿Cuánto mide la cabeza de Jakesi él mide 168 cm de altura?

c. Halla otras tres alturas ylongitudes de cabeza posiblespara Jake.



Estas son algunas razones entre las cabezas y las alturas de cuatropersonas diferentes.

17. a. ¿Es posible determinar qué persona tiene la cabeza más larga?Explica tu respuesta.

b. ¿Qué dos personas tienen la misma razón entre la cabeza y laaltura? ¿Cómo lo sabes?

Razones entre la cabeza y la altura

Persona A 1 a 8

Persona B 2 a 15

Persona C 2 a 16

Persona D 2 a 20


28 Razones y tasas


Niñas: 5 de 20

Esto es 1��4 , es decir 25%.

Por lo tanto, el 25% de la clase

son niñas.

En esta sección, usaste dos clases de razones diferentes.

Usaste la razón del número de carros que iba a velocidad excesiva conrespecto al número de carros que no lo hacía.

Esta es una razón parte-parte.

Usaste la razón del número de carros que no iba a velocidad excesiva conrespecto al número total de carros.

Esta es una razón parte-todo.

A veces, esta diferencia es difícil de ver, pero es importante.

Una razón parte-todo se puede escribir en forma de porcentaje.

Una razón parte-parte no se puede escribir en forma de porcentaje.

Hay diferentes estrategias que puedes usar para escribir una razón enforma de porcentaje. Estos son algunos ejemplos.

• Puedes usar la relación entre fracciones y porcentajes.

En la clase de la Sra. William, hay 20 estudiantes. Cinco de ellos son mujeres. ¿Qué porcentaje de esta clase son niñas?

• Puedes volver a escribir la razón en forma de comparación con 100.

En una elección, 120 de 150 estudiantes votaron por Joshua.¿Qué porcentaje de los estudiantes votó por Joshua?

Votos a favor de Joshua: 120:150Con una tabla de razones, esto es 80:100,por lo tanto el 80% votó a favor de Joshua.

Votos a favor de Joshua 120 40 80

Total de votos 150 50 100



1. Elabora tu propio ejemplo para explicar la diferencia entre una razónparte-parte y una razón parte-todo.

Por cada tres personas que toman determinada medicación sin sufrirefectos secundarios, otras cinco personas experimentarán dichos efectos.

2. a. Escribe una razón parte-parte que se adapte a esta situación.

b. Escribe una razón parte-todo que represente esta situación.

c. ¿Cuál de las dos razones anteriores, la de a o la de b, puedeescribirse en forma de porcentaje? Escribe esta razón en forma de porcentaje.

3. Escribe una fracción y un porcentaje para cada una de las razones querepresenten la situación.

a. Uno de cada cinco conductores es un adolescente.

b. Tres de cada cuatro carros en la ruta son rojos.

c. Veintiuno de los 130 conductores encuestados dijeron que teníanmultas por estacionamiento indebido.

Te dan las siguientes razones entre cabeza y altura: 1:8, 1:5, 1:7. Explica cuálde estas razones pertenece a la persona más joven y di por qué.

• Puede usar las relaciones que existen entre fracciones, decimales y porcentajes.

48 de 73 carros iban a velocidad excesiva. ¿Qué porcentaje de carros iba a velocidad excesiva?

A velocidad excesiva: 48:73.Con una calculadora, es 0.6575…,por lo tanto el 66% iba a velocidad excesiva.


30 Razones y tasas

Tim quiere volver a acomodar los muebles de su habitación. Decide hacerun dibujo a escala de su habitación, llamado plano de planta. Puede usar elplano de planta para probar diferentes arreglos de la habitación. Esto leahorrará el trabajo de tener que mover los muebles reales. Puede moverlos muebles de papel en su dibujo a escala.

Las dimensiones reales de la habitación de Tim son 2.6 m de ancho y 3 mde largo.

Tim decide usar papel cuadriculado. Su primera idea es dibujar un planode planta con las medidas de 26 cm y 30 cm.

1. a. Explica por qué crees que Tim se decidió por esas dimensionespara el plano de planta.

b. ¿Se ajustará el dibujo del plano de planta al papel cuadriculado dela próxima página? Sí o no, ¿por qué?

c. ¿Qué dimensiones usarías para dibujar el plano de planta de lahabitación de Tim? Explica cómo encontraste tu respuesta.

DEscala y razón

Dibujos a escala


DEscala y razón

Tim decide usar dimensiones de 13 cm por 15 cm para su plano de planta.

Sección D: Escala y razón 31

2. Usa la Hoja de actividad del estudiante 1 para dibujar el mismo planode planta que Tim dibujará de su habitación. Indica la ubicación de lapuerta de su habitación en el plano de planta.


Una recta numérica doble es una herramienta útil para mostrar la relaciónque hay entre las dimensiones de un dibujo y las dimensiones verdaderasde la habitación. Esta es una recta numérica doble que pertenece al dibujoa escala de la habitación de Tim.

3. Copia esta recta numérica doble debajo de tu propio dibujo a escala enla Hoja de actividad del estudiante 1 y completa los números faltantesal final de la recta.

Estos son los muebles de la habitación de Tim.

En otro pedazo de papel cuadriculado, dibuja cada mueble en la misma escala que el plano de planta. Cada mueble en miniatura deberíarepresentar el espacio que el mueble real ocupa en el piso de la habitación de Tim. Una recta numérica doble puede ser útil para ayudartecon tus cálculos.

4. Dibuja tu arreglo preferido para la habitación de Tim en el plano deplanta de la Hoja de actividad del estudiante 1.

32 Razones y tasas

Escala y razónD

0 1 5 10cm en el dibujo

15

300

cm en la habitación

0

Actividad

silla

largo � 50 cmancho � 50 cmalto � 100 cm

cama


escritorio


cómoda




DEscala y razón

La recta numérica doble usada para el plano de planta de Tim indica unarazón de la escala de 1:20.

5. Reflexiona Vuelve a mirar la recta numérica doble para el planode planta de Tim. Describe cómo podrías explicarle a alguien loque significa que el plano de planta de Tim tiene una razón de laescala de 1:20.

La hermana mayor de Tim, Jenna, quiere alquilar un apartamento. Elsiguiente es un plano de planta de un apartamento que le gusta mucho.Ella quiere usar el plano de planta para hallar las dimensiones de la sala de estar.

6. a. Usa esta tabla de razones para ayudar a Jenna a hallar la longitudde la sala de estar.

b. ¿Cuál es el ancho real de la sala de estar? Muestra tus cálculos.

Escala 1:75

Longitud en el dibujo (en cm) 1

Longitud real (en cm) 75


7. a. ¿Estás de acuerdo o no con el enunciado de Tim? Explícalo.

b. ¿Cuáles son las medidas reales de la cancha y del espacio total dela cancha de voleibol (incluida la parte que rodea la cancha real)?

Un dibujo a escala representa objetos que son demasiado grandes odemasiado pequeños como para dibujarlos en su tamaño real.

Una razón de la escala muestra la relación que existe entre las dimensionesdel dibujo y las dimensiones reales del objeto. Una razón de la escala de1:100 en un plano de planta puede significar:

1 centímetro representa 100 centímetros; o

1 metro representa 100 metros; o

1 milímetro representa 100 milímetros; o

1 pulgada representa 100 pulgadas.

Una arquitecta hace un dibujo a escala. Usa 2 cm para representar 100 m.

8. a. ¿Cuál es la razón de la escala de su dibujo? Muestra tu trabajo.

b. ¿Qué crees que está dibujando?

34 Razones y tasas

Escala y razónD

Tim y sus amigos quieren construir una cancha de voleibol de arena. Usanel siguiente dibujo a escala para comenzar a calcular las dimensionesreales. Tim dice: “un centímetro del dibujo equivale en realidad a 3metros”.

Escala 1:300

Cancha de voleibol



DEscala y razón

Modelos a escalaEn lugar de un dibujo a escala en un pedazode papel, puedes hacer un modelotridimensional a escala.

La foto de la izquierda muestra un avión conun modelo a escala bajo su ala.

El modelo está construido con una escala de1:6. La longitud real del avión es de 6:6 y suenvergadura es de 8 m.

9. a. ¿Cuál es la longitud del modelo aescala del avión?

La foto de la izquierda muestra cinco modelos de trenesdiferentes. Cada uno de ellos está construido a unaescala diferente. Generalmente se usan las cincoescalas siguientes:

Escala Z: trenes construidos a una razón de 1:220.

Escala N: trenes construidos a una razón de 1:160.

Escala HO: trenes construidos a una razón de 1:87.

Escala S: trenes construidos a una razón de 1:64.

Escala O: trenes construidos a una razón de 1:48.

10. ¿Qué escala se usó para construir el tren máspequeño? ¿Cómo lo sabes con seguridad?

Si lo deseas, para tus cálculos puedes usar una tabla de razonescomo la siguiente. (Nota: en lugar de usar centímetros, tal vezprefieras usar metros.)

b. ¿Cuánto mide la envergadura del modelo de avión a escala?

Longitud del avión real (en cm)

Longitud del modelo a escala (en cm)


36 Razones y tasas

Escala y razónD

Sarita camina desde Marina Green hasta el Sitio Histórico Nacional FortPoint. La línea punteada negra muestra el camino que recorre Sarita.

11. Estima la longitud del camino que recorre Sarita.

Si deseas hallar una distancia en un mapa, necesitas ir desde una unidad de medida hasta otra. La siguientes conversiones son comunes.¿Las conoces?

12. Verifica lo que sabes copiando y completando las siguientes relacionesde medida. Agrega otras que puedas conocer.

1 metro � ……. centímetros

1 kilómetro � ……. metros

Puedes transformar una recta a escala de un mapa en una recta numérica doble.

Esta es una recta numérica doble adaptada de la recta a escala del mapa de San Francisco.

Mapas

0

0 1,000

1 2 3 4 centímetros (en el mapa)

metros (reales)

Quizás recuerdes que hiciste otro trabajo con rectas a escala en un mapa.Las rectas a escala son como una regla. Puedes usar rectas a escala paraestimar o incluso medir distancias en un mapa. El siguiente mapa muestrala parte norte de San Francisco.

ÁREA DE RECREACIÓN NACIONAL DEL PUENTE GOLDEN GATE

BULEVAR MARINA

Paseo DOYLE DRIVE

Puente Golden Gate Sitio Histórico Nacional Fort Point

Marina

Marina Green

Palacio de Bellas Artes (Exploratorium)

Puerto de veleros Fuerte Mason

Estación de la Guardia Costera de los EE. UU.

0 1 km1 4 3 41 2


13. a. Describe las diferencias y semejanzas entre la recta a escala en elmapa y la recta numérica doble de la página anterior.

b. Usa la recta numérica doble para hallar los números que faltan enla siguiente tabla.

c. ¿Cuál es la razón de la escala del mapa?

14. Supón que tienes un mapa hecho en una escala de 1:50,000. Mide 10 cm en el mapa. ¿Cuántos kilómetros representa esta distancia?


DEscala y razón

29° S

168° E

ISLANORFOLK

Kingston

Cascada

MiddlegateBurnt Pine

O C É A N O

P A C Í F I C O

1 : 500,000

AUSTRALIA

NUEVAZELANDIA

Nepean I.

Philip I.

Monte Bates318 m

27° 45' N

18° O

ISLA HIERRO

Valverde

Sabinosa

Restinga

Taibique

Isora

O C É A N O

A T L Á N T I C O

El Golfo

1:1,000,000

OCÉANO ATLÁNTICO

Á F R I C A

ESPAÑA

EUROPA

29° 45' N

141° 20' E

IWO JIMA

MotoyamaNishi

Minami

O C É A N O

P A C Í F I C O

1 : 250,000

RUSIA

OCÉANO

PACÍFICO

CHINA

JAPÓN

Kangoku Rock

Kama Rock

Hanare Rock

Monte Suribachi170 m

Hill110 m

Base aérea

Puerto Kitano

Puerto Tobiishi

Distancia en el mapa (en cm)

Distancia real (en m)

Distancia real (en cm)

1

Estos son tres mapas diferentes de tresislas distintas: Norfolk (Australia), IwoJima (Japón) y Hierro (España). Cadamapa fue hecho con una escala diferente.La escala está indicada en cada mapa.

Si comparas visualmente el tamaño de las islas, puedes pensar que las tresislas parecen tener todas el mismo tamaño. En realidad, ¡esto no es cierto!

15. Escribe los nombres de las islas en orden decreciente, de la másgrande a la más pequeña. Explica cómo decidiste cuál era el orden.

Fuente: Times Atlas of the World (Atlas del mundo).Láminas 10, 20 y 96.


38 Razones y tasas

Escala y razón

Usas un dibujo a escala para representar cosas que son demasiadograndes o demasiado pequeñas como para dibujarlas. Una razón de laescala indica la relación entre las dimensiones del dibujo a escala y lasdimensiones reales. Usas una razón de la escala para crear modelos a escala.

Para crear un dibujo o un modelo a escala, necesitas saber la relación entrelas medidas a escala y las medidas reales. Esta relación se puede dar con:

una recta a escala

una razón de la escala

1:1000

Una razón de la escala siempre empieza con el número 1. Ambos númerosrepresentan unidades idénticas. La razón de la escala 1:1,000 significa que1 cm en el dibujo en realidad representa 1,000 cm.

un enunciado

En el mapa, una distancia de 1 cm es en realidad 1,000 cm, que equivale a 10 m.

Una tabla de razones y una recta numérica doble pueden ayudarte aorganizar tu trabajo y a facilitar los cálculos relacionados con escalas.

Tabla de razones

Recta numérica doble

D

0 10m

1

0 1000

1000 centímetros � 10 metros

cm en el mapa

cm reales

Distancia en el mapa (en cm) 1

Distancia real (en cm) 1000


Sección D: Escala y Razón 39

1. Una habitación mide 3 m de ancho y 4 m de largo.

Haz un modelo a escala de esta habitación usando una escala de 1:50.

Esta es una foto de una Mariposa cola de golondrina(Papilio machaon). La envergadura de la mariposa reales de 10 cm.

2. a. Si quisieras hacer un dibujo de tamaño naturalde la mariposa, ¿cabría a una página de este libro?

b. ¿Cuál es la envergadura de las alas en la foto?

c. Usa una recta numérica doble o una tabla derazones para hallar la razón de la escala de la foto.

d. ¿Cuál es el ancho real del cuerpo de la mariposa? Muestra tus cálculos.

Esta es una recta a escala de un mapa.

3. a. ¿Cuál es la distancia real que 1 cm representa en este mapa?

b. ¿Cuál es la razón de la escala del mapa?

5 kilómetros0


40 Razones y tasas

Escala y razón

El siguiente mapa muestra una parte del centro de Filadelfia.

4. a. Copia y completa la siguiente tabla de razones para el mapa.

b. ¿Cuánto hay que caminar desde la calle Samson hasta la calleArch? (Usa metros o kilómetros para tu distancia.)

Supón que un mapa tiene una razón de la escala de 1:20,000.

5. a. ¿Crees que este mapa se diseñó para que lo utilice alguien quecamina o alguien que conduce? Explica tu respuesta.

b. Haz una recta a escala para este mapa.

Escribe un párrafo que describa la necesidad de usar rectas a escala yrazones de la escala para diseñar carros de juguete. Sé exacto en tusdescripciones.

D


Distancia real (en cm) .............

Inde

pend

ence

Mal

l

Calle Walnut

Calle Market

Calle Ranstead

Calle Chestnut

Calle Sansom

Calle Arch

Calle Filbert

Calle Ionic

Calle Apple Tree

Cal

le 8

S

Cal

le 6

S

Cal

le 7

S

Cal

le 9

S

Cal

le 1

0 S

Cal

le 1

1 S

Cal

le 1

2 S

Cal

le 8

N

Cal

le 6

N

Cal

le 7

N

Cal

le 9

N

Cal

le 1

0 N

Cal

le 1

1 N

Cal

le 1

2 N

Teatro Walnut Street

Hospital UniversitarioThomas Jefferson

Oficina de Archivos Nacionales

Instituto Balch para

Estudios Étnicos

MercadoReedingTerminal

Museo de Historia de Filadelfia

Museo Cultural e Histórico Afro-Americano

Escala 1:5,000


Puedes usar razones de muchas maneras diferentes. Una de ellas estrabajar con escalas. Puedes acercarte o alejarte con una cámara omicroscopio, para que los objetos en las fotos o en las diapositivasparezcan más grandes o más pequeños que el objeto real.

Sección E: Factor de escala 41

EFactor de escala

¿Más pequeño o más grande?

A la derecha, hay una foto de un escarabajocochinita, o mariquita.

1. a. Debajo de la foto, observa la (4 �) juntoal nombre, “escarabajo cochinita”. ¿Quésignifica 4 �?

b. ¿Cuál es la longitud de un escarabajoCochinita real?

Escarabajo cochinita (4�)

Un escarabajo cochinita ponehuevos muy pequeños. Midencerca de 1.5 mm de largo y0.5 mm de ancho.

2. a. Intenta hacer un dibujo de tamaño natural del huevo de unescarabajo cochinita.

La imagen anterior muestra estos huevos ampliados.

b. Mide la longitud del huevo en la esquina inferior derecha dela imagen.

c. ¿Cuántas veces se amplió el huevo?

1.5 c

m


A la izquierda hay una imagen de una rana.

3. a. ¿Qué significa 0.5 �?

b. En realidad, ¿cuál es la longitud real de estarana? Muestra tu trabajo.

42 Razones y tasas

Factor de escalaE

A la derecha hay una imagen de una larva de salamandra.

4. a. ¿El tamaño real de estas larvas de la imagen está reducido o ampliado?

b. De acuerdo con la larva de la imagen anterior, ¿cuál es la longitudreal de una larva de salamandra verdadera?

Esta es una imagen de una salamandra adulta.

5. a. ¿Qué animal es más largo, la rana (fíjate en el problema 3) o lasalamandra? Explica tu razonamiento.

b. Compara la larva de salamandra con la salamandra adulta.¿Cuántas veces más larga es la salamandra adulta que la larva?

Un factor de escala indica cuántas veces se amplió o se redujo la medidade un objeto. Puedes usar el factor de escala con notación de flechas paradescribir la ampliación o reducción.

Esta es una cadena de flechas que describe la ampliación con un factor deescala de 5.

6. ¿Qué puedes decir acerca de los números usados como un factor deescala para una reducción? Escribe un ejemplo con una cadena deflechas para describir una reducción.

Medida del Original � 5 Medida de la ampliación

factor de escala

Larva de salamandra (4 �)

Rana (0.5 �)


Esta es una imagen de la mariposa máspequeña del mundo.

El factor de escala de la imagen es 4.

7. Haz un modelo de tamaño natural deesta mariposa.


EFactor de escala

¿Ampliado o reducido?

La mariposa azul pigmea del oeste (Brephidium exilis)

Esta es una imagen de la mariposa más grande del mundo: la mariposahembra ala de ave reina Alejandra (Ornithoptera alexandrae). Vive enNueva Guinea.

El factor de escala de la imagen es 0.25.

8. a. ¿Cuántos centímetros tiene la envergadura de la mariposa real?

b. Halla la razón de la escala deesta imagen.

Si lo deseas, puede repasar la Sección D, donde trabajaste por primera vez con una razón de la escala.

c. Considera la razón de la escala y el factor de escala. Explica cómo se relacionan entre sí.

9. a. Dibuja una ampliación de lafigura de la derecha usando unfactor de escala de 3. Usa unpapel cuadriculado concentímetros para tu dibujo.

b. ¿Se triplican todos los lados?

c. Reflexiona ¿Cómo ha cambiadoel área? ¿Cómo lo sabes?

envergadura?


Cuatro imágenes están ampliadas. Las medidas de las imágenes originalesy de las imágenes ampliadas están indicadas en la siguiente tabla.

10. a. ¿Qué dos imágenes tienen los mismos factores de escala?

b. ¿Las dos imágenes restantes están más o menos ampliadas que las dos imágenes que tienen el mismo factor de escala? ¿Cómo lo sabes?

44 Razones y tasas

Factor de escalaE

� ?Medida del Original Medida de la ampliación

factor de escala

� ?6 cm 15 cm

factor de escala

Para hallar un factor de escala, puedesusar una notación de flechas.

Completa con las medidas delproblema.

11. a. ¿Qué cálculo puedes hacer para hallar el factor de escala para laampliación dada anteriormente?

b. Halla el factor de escala.

Esta es una tabla de razones para la ampliación anterior.

12. a. Copia la tabla de razones y completa los números faltantes,especialmente el último dato.

b. Compara tus respuestas con las de las preguntas 11b y 12a. ¿Qué observas?

Longitud del dibujo original (en cm) 6 1

Longitud del dibujo ampliado (en cm) 15 . . . .

Longitud del original Longitud de la ampliación

(en cm) (en cm)

Imagen A 2 8

Imagen B 6 18

Imagen C 3.5 14

Imagen D 7.5 32


Para hallar un factor de escala puedes usar una tabla de razones.

13. a. Describe el proceso de usar una tabla de razones para hallar elfactor de escala.

b. La razón entre un dibujo original y su ampliación es 12:75. Usa unatabla de razones para hallar el factor de escala.

El factor de escala para una reducción es un número entre 0 y 1. Puedeshallar el factor de escala para una reducción de la misma manera que elfactor de escala para una ampliación. Puedes usar tanto una notación deflechas como una tabla de razones.

Anita encontró algunas estrellas de mar grandes; las midió e hizo un dibujoa escala de una de ellas. Anita registró las medidas de la estrella de marreal y de los dibujos en una tabla.

14. a. ¿Usó Anita el mismo factor de escala para los tres dibujos que hizo?¿Cómo lo sabes?

b. Usa una notación de flechas o una tabla de razones para hallar elfactor de escala de cada dibujo.

Longitud de la estrella Longitud de la estrella

de mar original (en cm) de mar en el dibujo (en cm)

Estrella de mar dorada 16 4

Estrella de mar colorada 25 5

Estrella de mar pardusca 12 4


EFactor de escala

� 50

factor de escala

Longitud del dibujo original (en cm) 12 6 2 1

Longitud del dibujo ampliado (en cm) 600 300 100 50

Longitud


La longitud real de un mosquito desde su cabeza hasta la punta de sus alases de 0.8 cm.

15. Halla el factor de escala de cada imagen del mosquito que se muestraa continuación.

16. a. Describe por qué querrías ver una ampliación de un objeto. Daun ejemplo.

b. ¿Con qué clase de números se describe el factor de escala deuna ampliación?

c. Describe por qué querrías ver una reducción de un objeto.

d. ¿Con qué clase de números se describe el factor de escala deuna reducción?

46 Razones y tasas

Factor de escalaE



EFactor de escala

Historia de las matemáticasLa razón áureaComencemos con un experimento pequeño. Estos son 84 rectángulos.Todos tienen la misma altura, pero el ancho varía. Elije el que prefieres.Haz que otras personas también elijan el que prefieren. ¡Anota las preferencias!

Es muy probable que mucha gente haya elegido elrectángulo áureo como su primera opción. (Este es elcuarto desde la izquierda en la tercera fila.)

En el rectángulo áureo, la longitud (a) y el ancho (b) serelacionan entre sí como a:b � (a � b):a.

O, en palabras: la razón entre el largo (a) y el ancho (b)del rectángulo áureo es la misma que la razón entrela suma del largo y del ancho (a + b) y el largo. Estarazón se llama razón áurea y es, aproximadamente,1.618 a 1.

El rectángulo áureo se usa en arte y en arquitectura.Fíjate si puedes hallar el rectángulo áureo enestos edificios.


Un factor de escala te dice cuánto ampliaste o redujiste cada medida deldibujo u objeto original. Ten en cuenta que el factor de escala siempre seexpresa en forma de multiplicador.

Si un factor de escala es mayor que uno, es una ampliación.

Si un factor de escala está entre cero y uno, es una reducción.

Puedes trabajar con factores de escala usando notación de flechas o unatabla de razones. Estas herramientas te ayudan a organizar tu trabajo y afacilitar los cálculos.

Por ejemplo, una ampliación con un factor de escala de 2:

Con notación de flechas:

Con una tabla de razones:

Por ejemplo, una reducción con un factor de escala de 0.25:

Con notación de flechas:


Ten en cuenta que el factor de escala siempre es un factor demultiplicación. Para hacer los cálculos, también puedes usar divisiones.

48 Razones y tasas

Factor de escalaE

� 2Longitud del dibujo original (en cm) Longitud de la ampliación (en cm)

factor de escala

Longitud del dibujo original (en cm)

Longitud de la ampliación (en cm)

5

10

1

2� 2

factor de escala

Longitud del dibujo original (en cm) � 0.25 Longitud de la reducción (en cm)

factor de escala

Longitud del dibujo original (en cm)

Longitud de la reducción (en cm)

12

3

4

1

1

0.25� 0.25

factor de escala



Se redujeron cuatro imágenes. En la siguiente tabla, se anotaron unamedida de las imágenes originales y una de las reducciones.

1. a. ¿Qué dos imágenes tienen los mismos factores de escala?

b. ¿Las dos imágenes restantes están más o menos reducidas quelas dos imágenes que tienen el mismo factor de escala? ¿Cómolo sabes?

La longitud real de una hormiga es de 4 mm.

2. ¿Cuál es el factor de escala para el dibujo de la hormiga que se muestra a la derecha?

3. Copia y completa la siguiente tabla.

Los binoculares tienen una razón de la escala. Describe con tus propiaspalabras lo que significaría, para los binoculares, una razón de la escala de 1:35.

Longitud

Longitud del original (en cm) Longitud de la reducción (en cm)

Imagen A 8 2

Imagen B 24 8

Imagen C 35 8.5

Imagen D 30 7.5

Factor de escala ¿Ampliación o reducción?

5

0.1

1��4

Ampliación

1


El Sr. Adams solicitó a sus estudiantes que llevaran a cabo una encuestapara hallar el número promedio de hijos en una familia.

Sarah encuestó a 12 familias de su vecindario y contó un total de 28 niños.

1. a. En tu opinión, ¿cuántas de las familias encuestadas por Sara creesque tienen exactamente dos hijos? ¿Por qué lo piensas?

b. ¿Cuál es el número promedio de hijos por familia en el vecindariode Sara?

c. ¿Qué otros números de familias y niños dan este mismo promedio?

Dennis encuestó a su vecindario. Halló un promedio de 2.5 hijospor familia.

2. Haz una lista de las diferentes posibilidades que podría haber halladoDennis para el número de familias e hijos.

Dave tiene un carro. Hizo tres viajes distintos.

Viaje A: 112 millas

Viaje B: 70 millas

Viaje C: 21 millas

3. El consumo de gasolina por milla del carro de Dave es de 28 mpg.Calcula cuántos galones de gasolina usó Dave para cada uno delos viajes.

Dave viajó sin hacer escalas y registró la duración de cada viaje, segúnse indica a continuación:

Viaje A: 2 horas (112 millas)

Viaje B: 1.5 horas (70 millas)

Viaje C: 20 minutos (21 millas)

4. Para cada viaje, calcula la velocidad promedio de Dave en millaspor hora.

50 Razones y tasas

Sección Razón numéricaA

Práctica adicional


La siguiente tabla muestra sólo algunos de los países que viste en la tablade la página 11.

Se agregó una cuarta columna con el número de radios.

1. a. ¿Qué país tiene el menor número de radios?

b. ¿Tienen algunos países más teléfonos que radios? De serasí, ¿cuáles?

c. ¿Qué país tiene el mayor número de radios por persona?

2. a. Elije dos países y compara los números de personas por teléfonode manera absoluta y relativa.

b. Para los mismos países que elegiste en la parte a, compara losnúmeros de personas por radio, tanto de manera absoluta comorelativa.


País PoblaciónNúmero de Número de

teléfonos radios

Bolivia 8.4 millones 1.26 millones 5.5 millones

Chad 9.0 millones 44,000 1.9 millones

Finlandia 5.2 millones 6.3 millones 8.4 millones

Tonga 102,000 14,500 61,000

Islas Solomón 450,000 7,600 36,000

Estados Unidos 292.6 millones 317 millones 598 millones

Fuente: Encyclopaedia Britannica Almanac 2005 (Chicago: Encyclopaedia Britannica, Inc., 2005).

Sección ComparacionesB


Hay cuatro centros de recreación en la ciudad, donde las niñas puedenpracticar deportes después del horario de clases. Debido a que los fondosson limitados, sólo un centro de recreación tendrá un entrenador debasquetbol para niñas. La siguiente tabla proporciona el número de niñasque participan en basquetbol y el número de las que participan en otrosdeportes distintos del basquetbol en cada centro de recreación.

Compara los cuatro centros.

1. a. ¿Qué centro tiene el mayor número de niñas que practican deportesdespués de clases?

b. ¿Qué centro tiene el mayor número de niñas que participan enbasquetbol?

c. ¿Qué centro tiene el mayor porcentaje de niñas practicantes queparticipan en basquetbol? Explícalo.

Escribe un porcentaje para cada uno de los siguientes:

2. a. Una de cada cuatro niñas de séptimo grado juega voleibol.

b. Tres de cada cinco niños de sexto grado juega al fútbol.

c. A once de cada 15 estudiantes les gusta participar en eventosdeportivos.

d. Treinta y dos de cada 78 niños de nuestra escuela están en elequipo de fútbol americano.

52 Razones y tasas

Práctica adicional

Sección Diferentes clases de razonesC

Centro de Niñas que participan Niñas que participan

recreación en basquetbol en otros deportes

1 16 13

2 12 0

3 35 22

4 23 20


Los integrantes de la expedición de Lewis y Clark (1804-1806) buscaron unaruta terrestre desde el río Misisipi hasta el oceáno Pacífico.

La escala de este mapa es de 1:25,000,000.

1. Estima la distancia que cubrieron Lewis y Clark cuando viajaron desdeSan Luis al Fuerte Clatsop.

Este es un extracto de un diario:

14 de mayo de 1804, la expedición comienza en San Luis.

24 de octubre de 1804, la expedición descubre pueblos con

chozas de tierra de los indios

Mandan y Hidatsas. Los capitanes

deciden construir el fuerte Mandan

en la otra margen del río enfrente

del pueblo principal.

2. a. Usa la información del diario para estimar la distancia promedioque la expedición cubrió por mes durante este período. Observaque el fuerte Mandan está a medio camino entre San Luis y elFuerte Clatsop.

b. Además halla la distancia promedio por día.


Práctica adicional

Sección Escala y razónD

Ro

jo

Misuri

Yellowstone

Platte NortePlatte

Misu

ri

Ohio

Wisco

nsin

Mis isipi

Arkansas

Colorado

LagoMichigan

Lago Superior

Saskatchewan SurAlb

an

y

Saskatchewan Norte

Snake

Co

lum

bia

Lago Winnipeg

O C É A N O

P A C Í F I C O

MO

NTA

ÑA

S

OLÍM

PIC

AS

CO

RD

ILLERA

DE LA

CO

STA C

OR

DIL

LER

A D

E LA

S C

AS

CA

DA

S CO

RD

ILLER

A B

ITT

ER

RO

OT

COLINAS NEGRAS

MESETA DE OZARK

DESIERTO

PINTADO

MONTAÑAS BEAR PAW

MONTAÑAS BIG SNOW

MOHAVE DESERT

DEA

TH

GR

AN

DE

S L

LA

NU

RA

S

SIER

RA

NEVA

DA

MO

NT

AÑ

AS

RO

CO

SA

S

Fuerte Clatsop

Fuerte Mandan

San Luis

RUTAS DE LEWIS Y CLARK

Ruta de regreso de Clark

Ruta de regreso de Lewis

Lewis y Clark

N

S

O E

1 : 25,000,000


Algunos estanques se vuelven verdes en el verano debido al gran númerode algas que hay en el agua. Las algas son, en realidad, plantas muypequeñas.

54 Razones y tasas

Práctica adicional

Rompecabezas de la torre Eiffel

La torre original de hierro forjadoha atraído millones de visitantes yes el símbolo de París. Ahorapuedes confeccionar tu propia torreEiffel a una escala de 1:500.

La altura de la torre real es de 312metros.

3. ¿Cuál es la altura del modelo?

Sección Factor de escalaE

El dibujo simplificado de la izquierda muestra lasalgas Scenedesmus. Este es el tamaño queparecerían tener si se vieran a través de unmicroscopio que amplía 250x.

1. Tamar quiere hacer un dibujo de tamañonatural de un alga. Ella comienza calculandola longitud real de este tipo de alga. Depronto se sorprende mucho. ¿Por qué?

2. ¿Podrías ver un alga Scenedesmus con unmicroscopio que amplía 80x? Sí o no,¿por qué?

Los microscopios de electrones son más poderosos que losmicroscopios comunes. Esta imagen de un microscopio deelectrones muestra un glóbulo de sangre ampliado por un factor de escala de 10,000.

3. a. ¿Cuáles son más grandes las algas Scenedesmus o losglóbulos de sangre? Explica tu razonamiento.

b. ¿Podrías hacer un dibujo de un glóbulo de sangre siestuviera ampliado por un factor de 250? Sí o no, ¿por qué?

c. ¿Cómo funcionaría un aumento de 80x para ver glóbulosde sangre? Explica tu respuesta.

Algas (250�)

Glóbulo de sangre (10,000�)


1. a. Hay 2.5 personas por carro.

Hay maneras diferentes de hallar esta respuesta.


Con divisiones:

40 � 16 � 2.5

b. Cerca de 35.6 estudiantes por clase.

Con una calculadora 320 � 9 � 35.5555, y si redondeamos a undecimal es 35.6.

2. 18 mpg

Ejemplo de estrategia:

3. El mecánico cobró $60 por hora.

Estas son dos estrategias para tablas de razones.

o

4. 25:15 escrito en forma de número simple es 1.7.

Esta es una estrategia para una tabla de razones.

Respuestas para verificar tu trabajo 55

Respuestas para verificar tu trabajo

Sección Razón numéricaA

Millas 108 54 18

Galones de Gasolina 6 3 1

Número de personas 40 20 10 5 2.5

Número de carros 16 8 4 2 1

Cargo $90 $900 $180 $60

Horas 1.5 15 3 1

Cargos $90 $30 $60

Horas 1.5 0.5 1

Número de personas 25 5 1.7

Número de carros 15 3 1


5. Pídele a un compañero de clase que haga tu problema. Verifica yanaliza la respuesta. Este es un problema posible.

Talía anota cerca del 82% de sus tiros libres. Esta temporada hizo 40 tiros libres. ¿Cuántos tiros libres anotó?

Solución 82% es 82:100, entonces, si establecemos una tabla derazones, ella anotó cerca de 33 tiros libres.

1. Es posible encontrar dos respuestas diferentes. Tu explicación esimportante.

Tomás tiene razón. Comencé con la razón 14.2 millones: 43.6 millones.Es la misma razón que 14.2:43.6. Utilicé una tabla de razones paraobtener una razón de teléfonos por persona. Luego hallé el número deteléfonos por cada 100 personas.

Tomás no tiene razón:

Comienzo con el enunciado de Tomás acerca de que la razón es de 33teléfonos por cada 100 personas. Luego uso la tabla de razones paraalcanzar 43.6 millones de personas.

Esto no coincide con la información, ya que 14.4 teléfonos no es lomismo que 14.2 teléfonos.

2. a. Texas, con 13.6 millones de vacas.

b. La comparación es absoluta porque no interviene el númerode personas.

c. Kansas tiene 244 vacas por cada 100 personas, mientras queMontana tiene 278 vacas por cada 100 personas, por lo tantoMontana tiene más vacas por cada 100 personas.

56 Razones y tasas


Sección ComparacionesB

Número de tiros libres que anotó 82 8.2 ≈33

Número de tiros libres que hizo 100 10 40

Número de teléfonos 14.2 ≈0.33 33

Número de personas 43.6 1 100

Número de teléfonos (en millones) 33 3.3 0.33 14.4

Número de personas (en millones) 100 10 1 43.6


Kansas: 6.6 millones de vacas por 2.7 millones de personas; yo calculé6.6 � 2.7 ➝ 2.44. Esto representa 244 por cada 100 personas.

Para este cálculo, también puedes usar una tabla de razones.

Montana: 2.5 millones de vacas por 0.9 millones de personas; yocalculé 2.5 � 0.9 ➝ 2.78. Esto representa 278 vacas por cada 100personas.

d. La comparación es relativa porque el número de vacas estárelacionado con el número de personas.

3. De acuerdo con la forma en que comparaste la información haydiferentes respuestas posibles.

Si hiciste una comparación relativa, puedes comparar el área porpersona, o puedes comparar el número de personas por millacuadrada. Para cualquiera de las dos estrategias, la conclusión es queJapón es el más poblado. Japón, comparado con Argentina y Brasil,tiene más personas por milla cuadrada y una menor área disponiblepara cada persona.

Estos son los resultados para ambas estrategias.

Si haces una comparación absoluta, Brasil tiene la mayor cantidad depoblación con 176 millones de personas.



Número de vacas (en millones) 6.6 66 2.44 244

Número de personas (en millones) 2.7 27 1 100

País Área Población Millas cuadradas Población por

(mi2) por persona milla cuadrada

Argentina 1.1 millones 36.8 millones 0.030 33.5

Japón 146,000 127 millones 0.001 869.9

Brasil 3.3 millones 176 millones 0.019 53.3


1. Comenta los ejemplos que hallaste con tu compañero de clase yverifica si son correctos. Este es un ejemplo.

Esta temporada, nuestro equipo de béisbol ganó 23 partidos y perdió20 partidos. La razón partidos ganados: partidos perdidos es de 23:20,que representa una razón parte-parte. La razón partidos ganados:total de partidos jugados es de 23:43, lo que representa una razónparte-todo.

Con la razón parte-parte, puedes ver que ganaron 3 partidos más quelos que perdieron. Con la razón parte-todo, el promedio de partidosganados del equipo es superior a 500 (0.535). Puedes usar estepromedio para comparar nuestra escuela con otras escuelas en todo elpaís que puedan jugar más o menos partidos que nosotros.

2. a. 3:5

b. 3:8 (personas con efectos secundarios) o 5:8 (personas sin efectossecundarios).

c. Sólo una razón parte-todo se puede escribir en forma deporcentaje. Esta es la razón que aparece en 2b. Siempre recuerdoque 1��8 es 0.125; esto me ayuda con otros octavos.

3:8 escrito en forma de fracción es 3��8 , que es 0.375 o 37.5%.

5:8 escrito en forma de fracción es 5��8 , que es 0.625 o 62.5%.

3. a. 1:5 escrito en forma de fracción es 1��5 o 20%.

b. 3:4 escrito en forma de fracción es 3��4 o 75%.

c. 21:130 escrito en forma de fracción es 21��130.

Con una calculadora 21 � 130 ≈ 0.16153 o cerca del 16% (o 16.2%).

58 Razones y tasas


Sección Diferentes clases de razonesC


1. Este es un dibujo de ejemplo. Las dimensiones de tu habitacióndeberían ser 8 cm por 6 cm.

La razón de la escala 1:50 significa que 1 cm en el mapa representa 50 cm en la realidad. Trabajando con 300 cm (3 m) y 400 cm (4 m),puedes obtener las dimensiones necesarias para el dibujo. 1 ➝ 50, 2 cm ➝ 100 cm, 8 cm ➝ 400 cm y 6 cm ➝ 300 cm.

2. a. Sí, un dibujo de tamaño natural de la mariposa se ajustaría a una página de este libro porque tiene 10 cm. Así es como se ven los 10 cm.

b. Cerca de 2.5 cm.

c. La razón de la escala es 1:4.

Ejemplo de estrategia con una recta numérica doble:

Ejemplo de estrategia con una tabla de razones:



Sección Escala y razónD

10 cm

En el dibujo (en cm) 2.5 25 1

Real (en cm) 10 100 4

0

0 104 20 Real (en cm)

2.51 5 En el dibujo (en cm)

Puerta

Cama

Escritorio

Silla Cómoda

Ven

tan

a

8 cm

6 cm


d. La longitud real del cuerpo de la mariposa es de 3.6 cm.

Esta es una estrategia.

La longitud del cuerpo en una reducción mide unos 0.9 cm. Dadoque esto representa 1��4 de la longitud, el cuerpo mide unos 3.6 cmde largo.(0.9 � 4 ➝ 3.6).

3. a. 1 cm representa 1 kilómetro, que es 1,000 metros.

b. La razón de la escala es 1:100,000.

En el mapa, 1 cm representa 1,000 m. En la realidad, 1,000 m son 100,000 cm. Por lo tanto, 1 cm en elmapa representa 100,000 cm en la realidad. La razón de la escalaes 1:100,000.

4. a.

b. Cerca de 385 m o 0.385 km.

La distancia en el mapa es cerca de 7.7 cm. Dado que 1 cmrepresenta 5,000 cm, puedes calcular 7.7 � 5,000 ➝ 38,500 cm o385 m. Si midieras una distancia entre 7.3 cm y 7.8 cm en el mapa,tu respuesta debería ser entre 365 m y 390 m.

5. a. El mapa se diseñó para que lo utilice alguien que camina.

Esta es una forma de razonamiento.

1 cm en el mapa representa 20,000 cm en la realidad. Esto esalrededor de 200 m. Si 1 cm representa 200 m, entonces 10 cmrepresentan 2,000 m, que es igual a 2 km. Elijo 10 cm porque seajusta bien a una página. El mapa no es para conducir porqueestarías fuera del mapa antes de que te dieras cuenta. Doskilómetros es una distancia corta.

60 Razones y tasas


En el mapa (en cm) 1

En la realidad (en cm) 1,000 1,000

En la realidad (en cm) 100,000


Distancia real (en cm) 5,000


b. Esta es una recta de escala posible.

Tu recta de escala puede verse diferente. Puedes tener otrasdistancias indicadas como 400 m (en 2 cm); 600 m (en 3 cm); etc.En lugar de metros, puede mostrar kilómetros, y cada 5 cm es 1 km.Observa que para que una recta de escala sea correcta, 1 cm deberepresentar 200 m.

1. a. Las imágenes A y D tienen el mismo factor de escala, 0.25. Estasson dos estrategias.

Calcular el factor de escala de cada una:

Hallar el factor de escala usando tablas de razones:



Sección Factor de escalaE

Razón de la escala Factor de escala

Imagen A 2:8 0.25

Imagen B 8:24 Cerca de 0.33

Imagen C 8.5:35 Cerca de 0.24

Imagen D 7.5:30 0.25

Imagen A

Original (en cm) 8 4 1

Reducción (cm) 2 1 0.25

Imagen B

Original (cm) 24 3 1

Reducción (cm) 8 1 0.33-

Imagen C

Original (cm) 35 70 1

Reducción (cm) 8.5 17 0.24-

Imagen D

Original (en cm) 30 60 20 4 1

Reducción (en cm) 7.5 15 5 1 0.25

1,000 metros0 200

� � 0.25

� � 0.25

�� 0.33

�� 0.24


b. La imagen B está menos reducida, y la imagen C está un poquitomás reducida.

Ejemplo de explicación:

Las imágenes A y D tienen un cuarto de su tamaño original. Laimagen B tiene un tercio de su tamaño original. Por lo tanto, laimagen B no está tan reducida como las imágenes A y D. De lamisma manera, la imagen C está reducida un poco más que lasotras dos porque 0.24 es menor que 0.25.

Nota: cuando una reducción es menor (menos reducida), el factorde escala está más cerca de 1. Cuando la reducción es extensa (másreducida), el factor de escala está más cerca de 0.

2. El factor de la escala es 10.

Este es un ejemplo de estrategia.

La longitud de la imagen mide cerca de 4 cm o 40 mm. Establecí unacadena de flechas para encontrar el factor de la escala.

4 mm ⎯⎯⎯� ?⎯⎯→ 40 mm

Hallé 4 � 10 � 40, por lo tanto el factor de la escala es 10.

3.

62 Razones y tasas


Factor de la escala ¿Ampliación o reducción?

5 ampliación

0.1 reducción

1��4 reducción

Cualquier número mayor que 1

ampliación

1 Ninguna, réplica exacta.


Documents

Razones y tasas - Universiteit Utrecht