Quadrilateral and Polygon

8/17/2019 Quadrilateral and Polygon

1/47

BAB 8Segiempat dan Segi Banyak


2/47

Disusun olehKelompok 8

Sotya Alamah Laksmi(0401515011)

Rifqi Miftakhuin !ahmi (04015150"#)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2016

Rombel Reguler A1


3/47

Penjabaran MateriSegiempat

Jajar Genjang

Segiempat yang merupakan JajarGenjang

Teorema Ruas Garis Tengah

Persegi panjang, Belah ketupat, danPersegi

Trapesium

Sudutsudut dalam SegiBanyak

SegiempatdanSegi

Banyak


4/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

Segiempat aalah $a%un$an a&i empat &uas $a&is yan$itentukan oleh empat titik' tiak aa ti$a titik yan$

kolinea& (se$a&is)Ruas $a&is hanya %e&poton$an i titik uun$nya

8!

S(G)(MPAT


5/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

S(G)(MPAT

)stilahistilah dalam segiempat

A

B

*+

A

B

*+

Sisi an tiak mempunyai titik

pe&sekutuan Ruas $a&is

te&se%ut me&upakan sisi yang

berhadapan Sisi yan$

%e&haapan yan$ lainnya aalah

an

Sisi an mempunyai se%uah

titik pe&sekutuan Sisi anme&upakan sisi yang

berdekatan- bertetangga

8!


6/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

)stilahistilah dalam segiempat

an +D tidak mempunyai sisi

persekutuan +, an +D

me&upakan sudut yang

berhadapan -asan$an suut

%e&haapan yan$ lainnya aalah

+A an +.

+A an +D mempunyai

sebuah sisi persekutuan'yaitu sisi AD +A an +D

me&upakan sepasan$ sudut

berdekatan

A

B

*+

A

B

*+

8!

S(G)(MPAT


7/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

Tipetipe dasar segiempat

+e.nisi 8!

Trapesium aalah se$iempatyan$ memiliki tepat sepasan$

sisi seaa&

+e.nisi 8"

Jajargenjang aalahse$iempat yan$ memiliki uapasan$ sisi yan$ %e&haapan ituseaa&

A ,

.D

A B

*+

8!

S(G)(MPAT


8/47


9/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

Tipetipe dasar segiempat

+e.nisi 8%Persegi aalah pe&se$i panan$yan$ keempat sisinya kon$&uen

A ,

.D

8!

S(G)(MPAT


10/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

JAJAR G(/JA/G

aa&$enan$ yan$ itunukkan paa $am%a& i atas'

memiliki hu%un$an sisi an suut yan$ spesial

8"


11/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

Teorema 8!Suut/suut yan$ %e&haapan paa aa&$enan$kon$&uen

Bukti 0

Dipunyai aa& $enan$ A,.D

Adb

Lukis ia$onalA B

*+

(suut alam %e&se%&an$an)


(Ruas $a&is %e&himpit)(ASA (postulat kekon$&uenan))

Den$an .-..' iapatkan %ah2a

Den$an 3a&a yan$ sama akan iapatkan pula %ah2a

8"

JAJAR G(/JA/G


12/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

Teorema 8"Sisi/sisi yan$ %e&haapan paa aa&$enan$kon$&uen

Bukti 0


Adb an

Lukis ia$onalA B

*+



(Ruas $a&is %e&himpit)(ASA (postulat kekon$&uenan))

an Den$an .-..' iapatkan %ah2a

8"

JAJAR G(/JA/G


13/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

Bukti 0


Adb

-e&panan$

A B

*+

Teorema 8#

Setiap pasan$ suut yan$ %e&ekatan paa aa&$enan$me&upakan suut yan$ salin$ %e&pelu&us

4

1

#

" 5

(suut sehaap)

(pasan$an $a&is %e&pelu&us) (su%stitusi)

Jadi suut/suut yan$ %e&ekatan paa aa&$enan$ yaituen$an ' en$an ' en$an ' en$an me&upakan suut/suut

yan$ salin$ %e&pelu&us

Terbukti

8"

JAJAR G(/JA/G


14/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

Segiempat yang Merupakan Jajargenjang

Bukti 0

Dipunyai se$iempat A,.DDen$an an

Adb A,D. aa& $enan$

Teorema 8$

ika sisi yan$ %e&haapan paa suatu se$iempat itukon$&uen' maka se$iempat te&se%ut me&upakan aa&$enan$ A

B

+ * (iketahui)

(iketahui) (sifat &eektif)

(SSS)

1

"4

#

(suut alam %e&se%&an$an )Sehin$$a' (teo&ema 5" )

(suut alam %e&se%&an$an )Sehin$$a' (teo&ema 5" )

ai te&%ukti %ah2a

AB*+ adalah jajar genjang

8#

,e&asa&kan .-..' iapatkan


15/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

Teorema 8% ika suatu se$iempat mempunyai sepasan$ sisi yan$%e&haapan seaa& an kon$&uen' maka se$iempatte&se%ut me&upakan aa&$enan$

Bukti 0

Dipunyai se$iempat A,.D

Den$an an

Adb A,.D aa& $enan$

A ,

.D(iketahui)

1

"

(suut alam %e&se%&an$an)(sifat &eektif)

(ASA)

(.-..)

,e&asa&kan teo&ema 8/4 segiempat AB*+ adalah jajargenjang

8#



16/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

Teorema 8& ika suut/suut yan$ salin$ %e&haapan paa se%uahse$iempat itu kon$&uen' maka se$iempat te&se%utme&upakan aa&$enan$

Bukti 0

Dipunyai se$iempat A,.D

Den$an anAdb A,.D aa& $enan$

A ,

.D a&ik $a&is a&i A ke . sehin$$a te&%entuk

e&apat " se$iti$a' yaitu A,. an AD.

umlah %esa& suut suatu se$iti$a aalah 1806' ai umlah%esa& suut se$iempat aalah #706

teo&ema 8#

(teo&ema 54)

8#


teo&ema 8# teo&ema 54

Karena dan , sesuai dengan

definisi didapatkan bahwa

segiempat ABCD adalah

jajargenjang.


17/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'


im su&ei ha&us menemukan a&ak i kolam %esa& imte&se%ut memilih se%a&an$ titik Da&i titik itu me&ekamen$uku& setiap sisi kolam Me&eka menetapkan ua titikpe&ten$ahan anta&a sisi kolam an titik yan$ me&eka pilih

a&ak anta&a ua titik ini akan menai seten$ah a&i a&aksisi kolam

8$


18/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'


Teorema 8' ika se%uah &uas $a&is yan$ uun$/uun$nya aalah titikten$ah a&i ua sisi se%uah se$iti$a maka &uas $a&iste&se%ut seaa& en$an sisi keti$a (alasnya) anpanan$nya seten$ah a&i sisi te&se%ut

Bukti 0

titik ten$ah an 9 titik ten$ah

Adb an

A

B *

1 2

:am%a& $a&is a&i titik .seaa& en$an

1

"

#4

3

sehin$$a ipe&oleh

(9 titik ten$an A.)(suut alam %e&se%&an$an)

(suut %e&tolak %elakan$)

(ASA)

an .-..

8$


19/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'


Teorema 8' ika se%uah &uas $a&is yan$ uun$/uun$nya aalah titikten$ah a&i ua sisi se%uah se$iti$a maka &uas $a&iste&se%ut seaa& en$an sisi keti$a (alasnya) anpanan$nya seten$ah a&i sisi te&se%ut

Bukti 0 A

B *

1 2

1

"

#4

3

(ASA)

an .-..

9 titik ten$ah a&i ;


20/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'


Teorema 88 itik/titik ten$ah a&i sisi se$iempat aalah titik suut a&isuatu aa&$enan$

Bukti 0

Dipunyai se$iempat A,.D itik K'L'M'= %e&tu&ut/tu&ut titik ten$ah a&i

Adb KLM= aa&$enan$ AB

*+

4

5

M

/Lukis ' sehin$$a %e&asa&kanteo&ema 8> ipe&oleh Sehin$$a

Lukis ' sehin$$a %e&asa&kanteo&ema 8> ipe&oleh Sehin$$a

,e&asa&kan teo&ema 84 iapatkan ' maka jajargenjang

8$

P i P j B l h 4 d


21/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

Persegi Panjang, Belah 4etupat danPersegi

aa&$enan$ %e&ikut ini aalah u$a pe&se$i panan$

Amati?

8%

P i P j B l h 4 t t d


22/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'


Teorema 86Se%uah aa&$enan$ me&upakan pe&se$i panan$ ika anhanya ika ia$onalnya kon$&uen

Bukti 0

(@)

Diketahui aa&$enan$ -RS

aalah pe&se$i panan$

Adb

P 7

RS

a&ik $a&is a&i titik - ke R an a&i titik S ke 'sehin$$a te&%entuk -SR an SR

(-RS aa& $enan$)+S B +R (eCnisi pe&se$i panan$)

(sifat &eektif)

-SR B RS (SAS)

Sehin$$a en$an .-.. iapatkan %ah2a

ika -RS aalahpe&se$i panan$'maka !9

8%



23/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'



Bukti 0

()

Diketahui aa&$enan$ -RS

en$an

Adb pe&se$i panan$

P 7

RS

Aa " se$iti$a' -SR an SR(-RS aa& $enan$)

(sifat &eektif)

-SR B RS (SSS)

Sehin$$a en$an .-.. iapatkan %ah2a +S B +R

(iketahui)

8%



24/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'



Bukti 0

()

P 7

RS

+S B +R Sehin$$a'

an me&upakan pasan$ansuut yan$ salin$ %e&pelu&uska&ena me&upakan suut%e&ekatan paa aa&$enan$

,e&asa&kan teo&ema 8# iapatkan

makaDen$an mempe&hatikan an ' anen$an lan$kah pem%uktian yan$ sama'akan te&%ukti %ah2a

Ka&ena ' maka te&%ukti %ah2a -RS aalah pe&se$i

panan$

ika -RS aa&$enan$

en$an ' maka-RS pe&se$ipanan$ : "9

8%



25/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'



Bukti 0 P 7

RS

ika -RS aa&$enan$ en$an ' maka -RS pe&se$i panan$

: "9

ika -RS aalah pe&se$i panan$' maka !9

Da&i (1) an (") iapatkan %ah2a teo&ema 8 te&%ukti

8%



26/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'


Teorema 8!;Se%uah aa&$enan$ me&upakan %elah ketupat ika anhanya ika ia$onalnya salin$ te$ak lu&us

Bukti 0

(@)

Diketahui %elah ketupat KLM=

Adb

K L

M=

(eCnisi %elah ketupat)

-e&hatikan an

E

+LKE B +=ME (suut alam %e&se%&an$an)

+KLE B +M=E (suut alam %e&se%&an$an) KEL B ME= (ASA)

,e&asa&kan .-..' iapatkan

8%



27/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'



Bukti 0

(@)

Diketahui %elah ketupat KLM=

Adb

K L

M=

(telah i%uktikan se%elumnya)

-e&hatikan an

E

(sisi %elah ketupat)

(sifat &eektif) KE= B ME= (SSS)

,e&asa&kan .-..' iapatkan +=EK B +=EM

an pasan$an suut yan$ %e&pelu&us' sehin$$a

Sehin$$a' atau

8%

Persegi Panjang Belah 4etupat dan


28/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'



Bukti 0

()

K L

M=

EDiketahui aa& $enan$ A,.D

en$anAdb KLM= %elah ketupat

-e&hatikan an

+LKE B +=ME (suut alam %e&se%&an$an)

B (teo&ema 8")+KLE B +M=E (suut alam %e&se%&an$an)

KEL B ME= (ASA)

,e&asa&kan .-.. iapatkan %ah2a B

8%



29/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'



Bukti 0

()

K L

M=

EDiketahui aa& $enan$ A,.D

en$anAdb KLM= %elah ketupat

-e&hatikan an

B (suah i%uktikan se%elumnya)

m+=EK F m+=EMF00 (iketahui) B (sifat &eektif)

KE= B ME= (SAS)

,e&asa&kan .-.. iapatkan %ah2a B

,e&asa&kan B sehin$$a iapatkan %ah2a KLM=

%elah ketupat

8%


30/47



31/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'


Teorema 8!!Se%uah aa&$enan$ me&upakan %elah ketupat ika anhanya ika setiap ia$onalnya mem%a$i sepasan$ suutyan$ %e&haapan sama %esa&

Bukti 0


32/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'


Teorema 8!!Se%uah aa&$enan$ me&upakan %elah ketupat ika anhanya ika setiap ia$onalnya mem%a$i sepasan$ suutyan$ %e&haapan sama %esa&

Bukti 0

=9

K L

M=

E

1"

"

""

1

1

1

Diketahui aa&$enan$ KLM=' ' ' an

Adb KLM= %elah ketupat

m+K 1 F m+K " (iketahui)

m+K " F m+M1+K " +M1 (suut alam %e&se%&an$an)

m+K 1Fm+M1 (sifat t&ansitif)

(teo&ema 7#)

(teo&ema 8")

(sifat t&ansitif)

(teo&ema 8")

Sehin$$a iapatkan

KLM= aalah %elah ketupat

8%



33/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'


Teorema 8!!Se%uah aa&$enan$ me&upakan %elah ketupat ika an

hanya ika setiap ia$onalnya mem%a$i sepasan$ suutyan$ %e&haapan sama %esa&

Bukti 0

K L

M=

E

1"

"

""

1

1

1

ika KLM= %elah ketupat' maka setiapia$onalnya mem%a$i sepasan$ suutyan$ %e&haapan sama %esa& : !9

ika paa KLM= setiap ia$onalnyamem%a$i sepasan$ suut yan$

%e&haapan sama %esa&' maka KLM=%elah ketupat : "9

Diapatkan %ah2a ?

eo&ema 811 te&%ukti

8%

TRAP(S)>M


34/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

TRAP(S)>M

&apesium aalah se$iempat yan$ memiliki tepatsepasan$ sisi seaa&

8&

TRAP(S)>M


35/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

TRAP(S)>M

Teorema 8!"Ruas $a&is yan$ te&%entuk a&i titik ten$ah ua $a&is yan$

tiak seaa& paa se%uah t&apesium' seaa& en$an uasisi yan$ lain an panan$nya aalah seten$ah a&i umlahkeua sisi te&se%ut

Bukti 0Dipunyai t&apesiumA,.D H titik ten$ah ! titik ten$ah

Adb

A

B

*+

(?

G

-e&panan$ &uas $a&is an sehin$$a %e&poton$an i titik :

,uktikan %ah2a ! aalah titik ten$ah a&i an $unakanteo&ema &uas $a&is ten$ah

(eCnisi t&apesium)+!.D B +!,: (suut alam %e&se%&an$an)

(! titik ten$ah .,)

+.!D B +,!: (suut %e&tolak %elakan$)

Diapatkan D.! B :,! (ASA)

8&


36/47

TRAP(S)>M


37/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

TRAP(S)>M

Teorema 8!"Ruas $a&is yan$ te&%entuk a&i titik ten$ah ua $a&is yan$

tiak seaa& paa se%uah t&apesium' seaa& en$an uasisi yan$ lain an panan$nya aalah seten$ah a&i umlahkeua sisi te&se%ut

Bukti 0

A

B

*+

(?

GLihat A:D' en$anmen$$unakan teo&ema&uas $a&is ten$ah'iapatkan

(.-..)

Sehin$$a ipe&oleh %ah2a an an

e&%ukti

8&

TRAP(S)>M


38/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

TRAP(S)>M

+e.nisi 8&Sebuah trapesium sama kaki aalah t&apesium en$an sisi/sisi yan$ tak seaa&nya kon$&uen

aalah sisi/sisi yan$ tak seaa& an ise%ut Ibase anglesJ(suut asa&) -asan$an Ibase anglesJ yan$ lain aalah an

A B

*+

8&

TRAP(S)>M


39/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

TRAP(S)>M

Teorema 8!#

Dalam se%uah t&apesium sama kaki' suut/suut alasnyakon$&uen an ia$onalnya kon$&uen

Bukti 0

A B

*+

(

Diketahui t&apesium sama kaki A,.D

en$an

Adb an

a&ik ' sehin$$a ' AH.D se%uah aa& $enan$sehin$$a

' maka (sifat t&ansitif)

+.H, B +.,H (suut alas se$iti$a samakaki)

e&%entuk .,H se$iti$a sama kaki

+DAH B +.H, (suut sehaap)

+DAH B +.H, an +.H, B +.,H' maka +DAH B +.,H

atau @+AB @*BA (sifat t&ansitif)

8&

TRAP(S)>M


40/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

TRAP(S)>M

Teorema 8!#


Bukti 0

A B

*+

(

Adb

+DA, B +.,A (te&%ukti se%elumnya)m +DA, F m+.,A

+DA, an +AD. suut yan$ sepihak

+.,A an +,.D suut yan$ sepihak

m +DA, m+AD. F1800

(teo&ema )m +.,A m+,.D F1800 (teo&ema )

m +DA, m+AD. F m +.,A m+,.D

Sehin$$a iapatkan %ah2a' m+AD. F m+,.D

,e&aki%at'

8&

TRAP(S)>M


41/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

TRAP(S)>M

Teorema 8!#


Bukti 0

A B

*+

Adb

-e&hatikan an

(eCnisi t&apesium sama kaki)

+DA, B +A,. (suah te&%ukti se%elumnya)

(sifat &eektif)

(SAS)

(.-..)

e&%ukti

8&


42/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

S>+>T +A5AM S(G)BA/2A4

+e.nisi

Segibanyak aalah $a%un$an &uas $a&is yan$ %e&temuhanya paa uun$ seemikian hin$$a(1)palin$ %anyak ua &uas $a&is %e&temu paa satu titik'(")setiap &uas $a&is %e&temu tepat ua &uas $a&is yan$ lain

se$iempat se$ilima

se$ienam

8'


43/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

se$iempat se$ilima

se$ienam

-e&hatikan %e%e&apa 3ontoh se$i%anyak %e&ikut

Segi

banyak Jumlah sisi

Jumlah

segitiga

Jumlah ukuran

sudut

Segiempat

Segilima

Segienam

Segi n

457=

"#4n / "

Segi

banyak Jumlah sisi

Jumlah

segitiga

Jumlah ukuran

sudut

Segiempat

Segilima

Segienam

Segi n

457=

"#4n / "

8'




44/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'

Teorema 8!$

umlah %esa&nya suut paa se%uah se$i%anyak koneksen$an n titik suut (atau se$i n) aalah

Bukti 0

Dalam se$i n ' tentukan satu titik suut an $am%a&kan

semua ia$onal yan$ melalui titik suut te&se%ut' maka akan

te&%entuk se%anyak (n-2) %uah se$iti$a

umlah %esa& suut/suut alam se$iti$a aalah 1800'

maka umlah %esa& suut a&i (n-2) %uah se$iti$a aalah (n-

2).1800

ai umlah %esa& suut/suut alam se$in aalah (n-

2).180

0

8'


S>+>T PA+A S(G)BA/2A4


45/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'


Teorema 8!%

,esa&nya setiap suut paa se%uah se$i%anyak %e&atu&anse$i/n aalah

Bukti 0

umlah %esa& suut/suut alam se$in aalah (n-2).1800

-aa se$i/n %e&atu&an' %esa& a&i n %uah suut alamnyasama %esa&' maka %esa& setiap suut/alam se$i/n aalah .

8'



46/47

8!

8"

8#

8$

8%

8&

8'


Teorema 8!&

umlah uku&an suut lua& se%uah se$i%anyak' yan$ te&letakpaa masin$/masin$ titik aalah #70

Bukti 0

Sepe&ti paa $am%a& ise%elah ki&i Suut lua& paa masin$/

masin$ titik i%e&i nama ika kita poton$ suut lua& te&se%ut ansemuanya i$a%un$kan paa satu titik maka apat kita lihat umlah %esa& suutnya #70

8'


47/47

HRNMA KASNO

Documents

Quadrilateral and Polygon