processus-negociation

8/14/2019 processus-negociation

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Agenda

Introduction

Ensemble de Négociations

Solution Négociée

RationalitéOptimalité de Pareto

Symétrie

Indépendance Alternatives

Solution Négociée de Nash

Exemple Pratique2



Agenda

Introduction


Solution Négociée

Rationalité

Optimalité de Pareto

Symétrie

IndépendanceAlternatives


Exemple Pratique3



Introduction

Contrats de travail, de vente, R&D,...

Phase de négociation puisd’implémentation

But: créer et partager l’utilité

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Introduction

Imaginons la situation suivante: Alice à une pizza et Bob une télé. 1) personne ne partage:

! Bob a faim.! Alice n’a pas de divertissement.

2) On partage:! Chacun à accès au divertissement et à la

pizza.Ccl: Nous sommes arrivé à une solution qui améliorela condition des deux amis. Le problème qui reste àrésoudre est l’allocation d’une part de la valeur à

chacun.5



Agenda

Introduction


Solution Négociée


Symétrie



Exemple Pratique6



Ensemble de négociation

Valoriser les différents paramètres de l’accord : En termed’utilité.

Définir l’utilité de chaque alternative du contrat.e.g.-

Définir l’utilité de chacun sans contrat noté d.e.g.

X = {(x1, x2)|x1 + x2 = 1, xi ≥ 0}

d = (0, 0)

= {(v1, v2)|u1(x1) = v1, u2(x2) = v2, x ∈ X }

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Exemple: Bob et Alice considèrent l’opportunité d’un partenariat.

Si le partenariat à lieu Bob en retire une utilité de 4 et Alice de 6.

Si il n’est pas conclus chacun à une utilité de 2.

on obtient alors:: ensemble de négociation

: ensemble d’alternative

: point de désaccord

V = {(4, 6), (2, 2)}

X = {(4, 6)}

d = (2, 2)8




Souvent en plus d’alternative non monétaire on a des

transferts de monaie. Soit t le montant du transfert. Ils’effectue de Alice vers Bob si t>0 et de Bob vers Alice si

t<0. Si l’on suppose que l’argent à une utilité additive,l’utilité totale est:

En remplaçant t dans la deuxième équation on a:

v1 =

u1(x1) +

t

v2 = u2(x2)− t

v2 =

u2(x2) +

u1(x1)− v

1

9



On a alors des droites àutilité jointe constantequi constitue notreensemble denégociation

Le surplus du contratcorrespond alors à ladifférence entre l’utilité jointe et l’utilité par défaut.

1 + v2 = u1(x1) + u2(x2) + t− t

s = u1(x1) + u2(x2)− d1 − d2


10

10

d1 = 2

2 = 2 d

(4,6)

(6, 4)

·

·

u1

u2

10



Dans le cas général un problème de négociation estun couple formé par l’ensemble de négociation et le

point de désaccord:

Un ensemble de négociation est admissible si:

Problème de négociation

(U, d)

U ∃v ∈ U t.q. : v > d

d

U d

d

11



Solution Négociée

Soit B l’ensemble de tous les problème denégociation une solution négociée est

une fonction:ϕ : B −→ U ⊂ R

2

(d, U ) −→ u

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Agenda

Introduction


Solution Négociée


Symétrie



Exemple Pratique13



Rationalité

R1 Rationalité individuelle faible:(personne ne veut empirer sa situation)

R2 Rationalité individuelle forte(chacun veut améliorer sa situation)

(d, U ) ≥ d,∀(d, U ) ∈ B

ϕ(d, U ) > d,∀(d, U ) ∈ B

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Agenda

Introduction


Solution Négociée


Symétrie



Exemple Pratique15




P1 Optimalité faible de Pareto:

(Aucune autre solution n’est meilleur pour lesdeux simultanément)

P2 Optimalité forte de Pareto:(il n’existe pas de solution alternative quiaméliore l’un sans empirer l’autre)

ϕ(d, U ) ∈ P W (U ) = {u ∈ U |y ∈ U : y > u}, ∀(d, U ) ∈ B

ϕ(d,U ) ∈ P S(U ) = {u ∈ U |y ∈ U : y ≥ u, y = u}, ∀(d,U ) ∈ B

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Bord de Pareto

U U

P W (U )

P S U P S(U ) = P W (U )

dd

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Agenda

Introduction


Solution Négociée


Symétrie



Exemple Pratique18



Symétrie

S1 Symétrie faible:

S2 Symétrie forte:

∀(d, U ) ∈ B, d1 = d2 et

u1u2

∈ U ⇔

u2u1

∈ U

ϕ(d, U )1 = ϕ(d, U )2

f : R2→ R2 donnee par f

u1

u2

=

u2

u1

ϕ(f (d), f (U )) = f (ϕ(d, U )) ∀(d, U ) ∈ B

Soit

Alors

Si

Alors

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Agenda

Introduction


Solution Négociée


Symétrie



Exemple Pratique20



Indépendance

T1 Indépendance de transf. affines positives:

T2 Indépendance de transformation linéaire

ϕ(d, U ) = ϕ(0, U − d) + d, ∀(d, U ) ∈ B

ϕ(0, ρ·U ) = ρ

·

ϕ(0, U ),∀ρ > 0,∀(0, U ) ∈ BLa première équation montre l’indépendance de translation, la seconde

l’indépendance d’échelle

T (u1, u2) := (ρ1·u1 + δ1, ρ2

·u2 + δ2)

∀(d, U ) ∈ B, ρ1, ρ2 > 0, δ1, δ2 ∈ R

ϕ(T (d), T (U )) = T (ϕ(d, U ))

21



d

Echelle Translation

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Agenda

Introduction


Solution Négociée


Symétrie

Indépendance Alternatives


Exemple Pratique23



Alternatives

A Indépendance des alternatives non pertinentes:(d, U ), (d, U )

ϕ(d, U ) ∈ U ⊂ U

ϕ(d, U ) = ϕ(d, U )

Soit Avec

AlorsL’ensemble d’alternatives non pertinentes

U \ U

U U’

d

u

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Agenda

Introduction


Solution Négociée


Symétrie



Exemple Pratique25




Théorème de Nash

Sous les conditions R1, P1, S1, T2 et A la fonction de choix de solution négociée est définie demanière unique.

Donc à chaque situation de négociation ilcorrespond une et une seule solution négociée.

26



10

10

d1 = 2

2 = 2 d

(4,6)

(6, 4)

·

·

u1

u2


bord de Pareto

d1=d2, il existe u>d

U est symétrique par rapport à y=x

solution optimale

Que se passe-t-ilsi la situation denégociation n’est pas symétrique?

(voir exemple

pratique)

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Lemme: Soit la situation de négociation:! Alors la fonction:

a le maximum unique dans U:

donc

En plus, u* maximise

(d, U ) ∈ B

u −→ f u := u1 − d1 · u2 − d2

u∗=

u∗

1

u∗

2 ∈ U

u1− d1 · u

2− d2 ≥ u1 − d1 · u2 − d2 ∀u ∈ U

g(u) := (u∗2− d2) · u1 + (u∗

1− d1) · u2 ∀u ∈ U

28




(u∗1− d1)

(u∗

2−d2)

u*

f(u)

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Agenda

IntroductionEnsemble de Négociations

Solution Négociée


Symétrie



Exemple Pratique30



Solution Standard de Negociation

Prenons l’exemple suivant:Rosemary est responsable du département d’Anglais d’un

Lycée Jerry est un acteur professionel intéressé par un poste de Prof. de Théâtre dans ce Lycée . Paramètre de la négociation:

Salaire de Jerry, tTâches du nouveau Prof.

Encadre uniquement le cours de théâtre, x=0Encadre le cours de théâtre et de SoftBall, x=1

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Utilité des deux joueurs:

En cas de désaccord ils ont une utilité de:dJerry = 15000

dRosemary = 10000

uJerry(x) = 10000− 3000 · x + t

uRosemary(x) = 40000 + 5000·x−t

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Utilité Jointe:

En cas de désaccord ils ont une utilité jointe:

uJerry(x) + uRosemary(x) = 50000 + 2000·

x

Jerry + dRosemary = 25000

33




1 = 15000

d2 = 10000 d

u1

u2

x = 1

x = 0

50000

52000

25000

Surplus=27000

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On voit sur le graphique que la droite correspondant à x=1maximise l’utilité jointe, elle vaut v*=52000 sur cette dernière.Cependant ce problème n’est pas symétrique car:

On peut associé une force de négociation à chaque joueur au travers de poids. Aucun joueur ne négociera pour une utilité inférieur à son

point de désaccord, les joueurs ne négocie donc pas leur part de v*

mais leur part du surplus s.On définit alors:

dJerry = dRosemary

πJerry,πRosemary ≥ 0

πJerry + πRosemary = 1

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On a donc les utilités suivante:

Si l’on connait les poids de négociation on peut en déduire le

salaire de Jerry et l’utilité optimale des deux joueurs.

uJerry = dJerry + πJerry · (v∗ − dJerry − dRosemary)

Rosemary = dRosemary + πRosemary · (v∗ − dJerry − dRosemary)

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Exemple pratique : cas(a) 2 joueurs Jerry et Rosemary avec

On cherche le maximisant le profit total :

Donc

Les joueurs accepteront si:

On cherche finalement la valeur

J (x) = 10000− 2x, V R(x) = 40000 + x, x ∈ {0, 1}

dJ = dR = 0,πJ = πR = 0.5

x V

V = V J (x) + V R(x) = 50000− x⇒ x∗ = 0

V ∗

= s = 50000

u

∗

J = dJ + πJ (V ∗

−dJ −

dR) = 0.5·

50

000 = 25

0000∗

R = dR + πR(V ∗ − dJ − dR) = 0.5 · 50000 = 250000

t = u∗

J − V J (0) = 25000− 10000 = 15000

37



Le graphe associé

R

J

0 000

50 000

x =

x =

10

000= (0, 0)

10 000

38



Cas(b)

Le maximisant le profit total:

est et

les joueurs accepteront si:

Donc est donné par:

x

V = V J (x) + V R(x) = 60000− x2 + 800 · x

dJ = dR,πJ = πR, V J (x) = 60000− x2, V R(x) = 800 · x, x ≥ 0

V ∗

= 220000 s = 220

000

u

∗

J = dJ +πJ (V

∗−

dJ −

dR) = 0.5·

220 000 = 110 000u∗

R = dR + πR(V ∗ − dJ − dR) = 0.5 · 220000 = 110000t

= u∗

J − V J (400) = 110000− 60000 + 160000 = 210000

39



Le graphe associéuR

uJ = (0, 0) 20 000

x = 400

20

000

40



Cas(c)

Le maximisant le profit total:

est et

Les joueurs accepteront si :

Donc est donné par :

dJ = 40000, dR = 20000,πJ = 0.25,πR = 0.75

V J (x) = 60000− x2, V R(x) = 800 · x, x ≥ 0

x

V = V J (x) + V R(x) = 60000− x2 + 800 · x

V ∗

= 220

000 s = 160

0000

u∗

J =dJ

+πJ

(V

∗− dJ − dR

) = 80

000u∗

R = dR + πR(V ∗ − dJ − dR) = 140000

t

t = u∗

J − V J (400) = 80000− 60000 + 160000 = 180000

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