Problemas de FFEAVECTORES (versión 09.09.22)

1. Dados los vectores, ~A = 3~i + 4~j − 5~k y ~B = −1~i + 2~j + 6~k, calcular:

a) Las longitudes de los vectores.

b) Su producto escalar y vectorial.

c) Su suma.

d) ¿Son paralelos?.

e) Ángulo formado entre ellos.

f ) Dar una expresión de un vector unitario en la dirección perpendicular a losvectores ~A y ~B.

2. Demostrar que los vectores, ~A =~i− 2~j + 3~k, ~B = 2~i +~j− 2~k y ~C =~i + 3~j− 5~k, puedenformar los lados de un triángulo.

3. Descomponer el vector ~V = ~i + 2~j − 3~k según la dirección de los vectores: ~A = ~k,~B =~i +~j + ~k y ~C =~i + ~k.

4. Encontrar, haciendo uso del cálculo vectorial, la ecuación del plano que pasa por elpunto de vector posición ~r =~i + 5~j + 3~k y que es perpendicular al vector ~2~i + 3~j + 4~k

5. Cuatro fuerzas actúan sobre un perno como se indicaen la figura adjunta. Determinar la resultante (móduloy ángulo con la horizontal).

6. Dado un triángulo plano cualquiera de lados A, B y Ccomo el que se muestra en la figura, demostrar quese cumple:

sin(α)

A=

sin(β)

B=

sin(γ)

C

C2 = A2 + B2 − 2 AB cos(γ)

7. Demostrar vectorialmente que el ángulo inscrito, formado por dos segmentos cuyosextremos abarcan una semicircunferencia vale 90o.

8. Sean ~A = ~i + 2~j − ~k y ~B = a~i − ~j + ~k dos vectores libres. Determinar el valor delparámetro ’a’ para que el vector ~C , que va desde el extremo de ~A hasta el extremo de~B, sea perpendicular al vector ~D = −~i +~j + ~k.

9. Dados los vectores libres ~A = 2~i + 5~j + 2~k, ~B = 3~i−~j y ~C = 2~i− 3~k, determinar:

a) El área del triángulo definido por ~A y ~B x ~C.

b) El vector ~N , perpendicular al plano del triángulo anterior, de módulo 4 ysentido el correspondiente al giro que pase de ~A a ~B x ~C siguiendo el menorángulo.

10. Dado el siguiente sistema de vectores deslizantes: ~A =~i+2~j+3~k,aplicado en a(1,2,3);~C =~i−~j +~k,aplicado en b(-1,0,4); ~C = −~i+2~j−2~k,aplicado en c(2,0,-1); Determinar:

a) La resultante.

b) El momento resultante respecto del origen.

11. El momento de un sistema de vectores deslizantes respecto de tres puntos viene dado,en función de ’a’ ’b’ y ’c’, por: ~Mo = 2~i +~j respecto de O(0,0,0) ~Mp = 4~i + a~j respectode P(1,1,1) ~Mq = b~i + 4~j + c~k respecto de Q(0,1,-1) Determinar:

a) Los valores de ’a’, ’b’ y ’c.

b) El vector resultante.

12. Sea el vector ~A(t) un vector función del tiempo. Demostrar que:

a) ~A · d ~Adt

= AdAdt

b) Demostrar asimismo que si A tiene módulo constante entonces d ~Adt

es per-pendicular a ~A.

13. Demostrar que, si un vector mantiene la dirección constante, el módulo de la derivadacoincide con la derivada del módulo.

Problemas de Estática y DinámicaSoluciones de VECTORES

1. a) A = 5√

2 ; B =√

41b) ~A · ~B = −25; ~A× ~B = 34~i− 13~j + 10~kc) ~S = ~A + ~B = 2~i + 6~j + 1~kd) no son paralelos, ya que ~A× ~B 6= 0e) cos θ = −0, 5522; θ = 123, 5of) ~u = 0, 9007~i− 0, 3444~j + 0, 2649~k

2. -

3. ~v = −4 ~A + 2 ~B − ~C

4. 2x + 3y + 4z = 29

5. 199,6N, 4,1o con la horizontal antihorario.

6. -

7. -

8. a = 0

9. a) 4,387b) N = 4/

√77 (−8~i + 2~j + 3~k)

10. a) ~R =~i + 3~j + 2~kb) ~M0 = 6~i + 10~j + 5~k

11. a) a = −1; b = −2; c = 3b) ~R = 3~i + 3~j + 1~k

12. -

13. -

PROBLEMAS DE VECTORES.

EXTRA (versión 070905)

J.L. Font

6 de septiembre de 2007

1. Demostrar que si |~a +~b| = |~a−~b| entonces ~a ⊥ ~b.

2. Dados los vectores ~a = 17(2~i + 3~j + 6~k), ~b = 1

7(3~i− 6~j + 2~k) y ~c = 1

7(6~i + 2~j − 3~k), demostrar que son

unitarios, que son perpendiculares entre śı y que verifican que ~c = ~a×~b.

3. Demostrar que si ~a +~b + ~c = 0 entonces ~a×~b = ~b× ~c = ~c× ~a.

4. Dado el vector ~v1 = 3~i + 2~j − 3~k aplicado en el punto P1 = (2,−6, 4) y el vector ~v2 = 6~i − 3~j + 2~kaplicado en el punto P2 = (4,−1,−1), calcular la resultante, el momento del sistema respecto delorigen de coordenadas y el momento del sistema respecto del punto O

′= (2,−1, 5).

5. Dado el vector ~v = 3~i − 6~j + 8~k aplicado en el punto P = (2, 1,−2), calcular su momento respectodel eje x−2

2= y−5

3= z−3

6.

6. Calcular el momento del vector ~v = ~i − 3~j + 2~k aplicado en el punto P = (1, 1, 0) respecto del ejeque pasa por los puntos A = (1, 0,−1) y B = (2, 1, 1).

1

SOLUCIONES

1.

2.

3.

4. ~R = 9~i−~j − ~k; ~MO = 5~i + 4~j + 16~k; ~MO′ = −~i− 43~j + 9~k.

5. ~M~u(~v) = −977 (27~i + 37~j + 67~k)

6. ~M~u(~v) =23(~i +~j + 2~k)

2

Problemas de Estática y DinámicaCINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

Version 101014

1. Una partı́cula se mueve sobre el eje x de modo que su velocidad es v = 2 + 3t2 + 4t3

(m/s). En el instante t = 0 su posición es x = 3 m. Determinar:

a) Las unidades de las constantes 2, 3 y 4.

b) La posición de la partı́cula en un instante genérico t.

c) Su aceleración.

d) Su velocidad media en el intervalo de tiempo t1 = 2 s y t2 = 5 s.

2. Una partı́cula describe un movimiento rectilı́neo, siendo el espacio recorrido s = 4t3 −3t2 − 6 donde ’S’ se expresa en metros y ’t’ en segundos.

a) Determinar las unidades de las constantes de la ecuación.

b) Si la partı́cula parte del reposo, calcular el tiempo que tardará en adquiriruna velocidad de 6 m/s.

c) Calcular el valor de la aceleración cuando la velocidad es de 6 m/s.

d) Calcular el desplazamiento experimentado por la partı́cula para t = 5 s.

3. El movimiento de una partı́cula viene dado por la ecuación; ~r(t) = (t−sin t)~i+(1−cos t)~jdeterminar:

a) Su velocidad

b) Su aceleración

c) La ecuación de la hodógrafa.

4. El movimiento de una partı́cula en el plano x,y está definido por las ecuaciones pa-ramétricas x = 2t, y = 4 sin(πt).

a) Determinar la ecuación de la trayectoria y representarla gráficamente.

b) Calcular la velocidad y la aceleración de la partı́cula en función del tiempo.

c) En qué instantes alcanzan la velocidad y la aceleración sus valores extre-mos (máximos o mı́nimos).

5. Una pelota dejada caer desde la cornisa de un edificio emplea 0.25 segundos en pasarfrente a una ventana de 2 m de altura. ¿Qué distancia hay entre el borde superior dela ventana y la cornisa?

6. Un automóvil tı́pico tiene una desaceleración máxima de unos 7 m/s2, y el tiempo dereacción tı́pico para aplicar los frenos es de 0,50 s. Si en una zona escolar un automóvildebe cumplir la condición de poder detenerse en un máximo de 4 m;

a) ¿Qué velocidad máxima puede alcanzar en esta zona un automóvil tı́pico?.

b) ¿Qué fracción de los 4 m corresponde al tiempo de reacción?.

7. El maquinista de un tren expreso que circula con velocidad v1 observa a una distanciad el furgón de cola de un tren de mercancı́as que marcha por delante del expreso,sobre la misma vı́a y en el mismo sentido, con una velocidad v2. El maquinista delexpreso aplica inmediatamente los frenos, produciéndose una deceleración constantea, mientras que el mercancı́as continúa su marcha a velocidad constante. Determinarel menor valor de la deceleración para que pueda evitarse la colisión.

8. Se deja caer una pelota A desde la parte superior de un edificio en el mismo instanteen el que desde el suelo se lanza verticalmente hacia arriba una segunda pelota B.En el momento en que las pelotas chocan se encuentran desplazándose en sentidosopuestos y la velocidad de la pelota A es el doble de la que lleva B. Determinar a quealtura se produce el choque (relativa a la altura total del edificio).

9. Un esquiador se desliza por una pista de pendienteconstante que forma un ángulo θ con la horizontal.Tras haber partido del reposo, recorre una distanciaS sobre la pista antes de encontrarse con el borde deun escarpado vertical de altura H, como se indica enla figura. Al pie de la escarpadura la pista continúa conla misma pendiente. Determinar la posición del puntodonde cae el esquiador. (Se desprecian los rozamien-tos).

10. Una bola cae verticalmente sobre un punto A de unplano inclinado 20o, y rebota formando un ángulo de40o con la vertical. Sabiendo que la bola cae nueva-mente sobre el plano en el punto B, determinar:

a) La velocidad con la que rebota en el punto A.b) El tiempo empleado en el trayecto de A a B.

11. Justamente en el instante en el que un indio dispa-ra un dardo, apuntando con la cerbatana directamen-te hacia un mono que está colgando de una rama, elmono se suelta y cae libremente. Demostrar que cual-quiera que sea la velocidad v0 de salida del dardo, elmono siempre será alcanzado. El ”siempre.anterior noes totalmente cierto; hay un valor mı́nimo por debajodel cual no será alcanzado. Determinar dicho valor.

12. Un jugador de béisbol golpea la bola a 0,9 m del suelo de manera que ésta adquiereuna velocidad de 14,4 m/s formando un ángulo de 30o sobre la horizontal. Un segundojugador, situado a 30 m del bateador y en el plano de la trayectoria de la bola, comienzaa correr en el mismo instante en el que el primero golpea la bola.

a) Calcular cuál ha de ser la mı́nima velocidad del segundo jugador si es capazde coger la bola a 2,4m del suelo.

b) ¿Qué distancia ha recorrido el segundo jugador?.

13. Dos puntos materiales inician simultáneamente el mo-vimiento desde el punto A, ambos con velocidad inicialv0. Una partı́cula recorre el diámetro de una circunfe-rencia de radio R con una aceleración constante desentido opuesto al de su velocidad inicial, cuyo módu-lo es a1. La otra recorre la semicircunferencia con unaaceleración tangencial de módulo constante at tal queat = a1. Las partı́culas llegan simultáneamente al ex-tremo B. Determinar:

a) Tiempo invertido en el recorrido.

b) El valor de at = a.

c) Aceleración de la segunda partı́cula en B.

d) ángulo que forman en B la aceleración y la velocidad de la segunda partı́cu-la.

e) Velocidad en B de la segunda partı́cula.

f ) Aplicación numérica: v0 = 2,57 m/s, R = 2 m

14. Una partı́cula se mueve en el sentido de la agujas del reloj sobre una circunferencia deradio 1 m con su centro en (x, y) = (1m, 0). La partı́cula parte del reposo en el origenen el instante t=0 y su velocidad crece con aceleración constante de (π/2) m/s2. En elinstante en que la partı́cula ha recorrido la mitad de la circunferencia, calcular:

a) Tiempo que ha transcurrido.

b) Módulo y dirección de su velocidad.

c) Aceleración normal y tangencial.

d) Ángulo que forman los vectores velocidad y aceleración.

15. Las ecuaciones paramétricas del movimiento de una partı́cula son:

x = R cos(ωt); y = R sin(ωt); z = bt

donde R, ω, y b son constantes.

a) Hacer un esquema de la trayectoria.

b) Calcular la velocidad y la aceleración de la partı́cula.

c) Determinar las componentes intrı́nsecas (tangencial y normal) de la acele-ración.

16. El movimiento tridimensional de una partı́cula está definido por el vector posición ~r =(R sin(ωt))~i + ct~j + (R cos(ωt))~k.

a) Determinar las magnitudes de la velocidad y aceleración de la partı́cula.

b) Calcular las componentes intrı́nsecas de la aceleración.

17. Una partı́cula móvil se encuentra inicialmente en el origen de coordenadas y su velo-cidad viene dada por ~v = 8t3~i + 6t2~j.

a) Determinar la trayectoria.

b) Obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración.

18. La posición de una partı́cula viene expresada por ~r = 3 sin(2πt)~i+2 cos(2πt)~j en dondet se expresa en segundos y r en metros.

a) Determinar la trayectoria de la partı́cula en el plano x,y.

b) Determinar el instante en que su velocidad pasa por un mı́nimo o un máxi-mo.

c) Determinar el vector aceleración y demostrar que tiene la misma direcciónque r, es decir es radial.

d) Calcular las componentes intrı́nsecas de la aceleración para t = π/2 s.

19. Un punto móvil describe una circunferencia de radio Ren un plano vertical con velocidad de rotación unifor-me. El centro de la circunferencia O′ se mueve alre-dedor del centro O de una recta horizontal de longitud2R, de forma que la posición de O′ con respecto de Oviene descrita por la expresión

−−→OO′ = R sin(ωt)~j (Ver

figura). Las frecuencias de ambos movimientos sonlas mismas y en el instante inicial el móvil se encuen-tra en el semieje OX. Determinar:

a) El radio de curvatura de la trayectoria.

b) Las componentes intrı́nsecas de la velocidad y la aceleración.

20. Una partı́cula se mueve en el espacio con una velocidad dada por ~v = et~i+λt2~j + 13t3~k

siendo λ una constante. Calcular:

a) El vector de posición de la partı́cula en función de t, sabiendo que en elinstante t = 0 la partı́cula se encuentra en el punto (0, 0, 1).

b) El valor de λ para que la trayectoria sea plana.

c) Las componentes intrı́nsecas de la aceleración y el radio de curvatura de latrayectoria en función del tiempo para el valor de λ del apartado anterior.

21. Después de parar una canoa, ésta adquiere una aceleración en sentido opuesto a suvelocidad y directamente proporcional al cuadrado de ésta (a = −kv2). Determinar:

a) La velocidad de la canoa en función del tiempo.

b) La distancia recorrida en un tiempo t.

c) La velocidad después de haber recorrido una distancia x.

d) Constrúyanse las gráficas del movimiento.

e) Supóngase que cuando se para el motor la velocidad de la canoa es de20 m/s y que 15 s después dicha velocidad se ha reducido a la mitad. De-terminar el valor de la constante de proporcionalidad que aparece en ladefinición de la aceleración.

22. Sea un móvil del que sabemos que su aceleración es proporcional a la velocidad yde sentido opuesto a ésta. Si observamos que tarda 15 s en reducir su velocidad a lamitad de la inicial, calcular cuánto vale la constante de proporcionalidad.

23. El movimiento rectilı́neo de una partı́cula está caracterizado por su aceleración, expre-sada en cm/s2 por la expresión a = −9x, siendo x la distancia (en cm) que la separade un cierto origen sobre su trayectoria. En el instante inicial la partı́cula se encuentraen el punto xo=3cm y tiene una velocidad de 2 cm/s alejándose del origen. Determinarla velocidad y la posición de la partı́cula en un instante cualquiera t.

24. La aceleración de una partı́cula que realiza un movimiento rectilı́neo, tiene módulo in-versamente proporcional a la velocidad. Determinar la velocidad en función del tiempo.

25. El movimiento bidimensional de una partı́cula se define mediante las relaciones r =60t2 − 20t3 y θ = 2t2, donde r está expresado en milı́metros, t en segundos y θ es elángulo en radianes. Determinar la velocidad y la aceleración de la partı́cula cuando:

a) t=0s

b) t=1s

c) En t=0 la partı́cula está en el origen, determinar v y a cuando vuelva a pasarpor el origen.

26. El movimiento bidimensional de una partı́cula viene descrito por las ecuaciones r = 20ty θ = πt, donde t se viene dado en segundos, θ es el ángulo en radianes que forma elvector posición de la partı́cula con el eje x (tomado positivo en el sentido antihorario)y r es su distancia en centı́metros al origen. Para este movimiento se pide:

a) Realizar un esquema de la trayectoria de la partı́cula.

b) Representar para t = 3 s la base local asociada al movimiento de la partı́cu-la.

c) Calcular en ese instante de tiempo los vectores ~r, ~v y ~a expresados encoordenadas cartesianas y polares planas.

27. La posición de una partı́cula Q en un sistema de coordenadas O se mide por: ~r(t) =(6t2 − 4t)~i− 3t2~j + 3~k

a) Determinar la velocidad relativa constante del sistema O respecto al sistemaO’, si la posición de Q según el sistema O’ se mide por:

~r′(t) = (6t2 + 3t)~i− 3t2~j + 3~k

b) Demostrar que la aceleración de la partı́cula es la misma en ambos siste-mas de referencia.

28. Un hombre que viaja en un camión intenta golpear un poste telefónico lanzando unapiedra justo cuando el camión pasa frente al poste. Si la velocidad con la que el hombrelanza la piedra respecto del camión es de 20 m/s y la velocidad del camión es de40 km/h, determinar:

a) Dirección el la que el hombre ha de lanzar la piedra.

b) Velocidad horizontal de la piedra respecto del suelo.

29. Durante una tormenta la trayectoria de las gotas de agua, observadas desde la venta-na de un tren que viaja a 15 km/h, forman un ángulo de 30o con la vertical. Más tarde,cuando la velocidad del tren ha aumentado hasta una velocidad de 30 km/h, el ánguloentre la vertical y la trayectoria de las gotas es ahora de 45o. Si el tren se parase,¿Cuál serı́a el ángulo? ¿Con qué velocidad se verı́an caer las gotas de agua?.

30. Una partı́cula que se abandona en la parte superior de un plano inclinado 30o con lahorizontal de longitud ` = 10 m, y desliza a lo largo de él sin rozamiento. Simultánea-mente el plano se mueve con una velocidad horizontal de 3 m/s, de forma que lapartı́cula no se separa del plano. Se pide:

a) Velocidad y aceleración absolutas de la partı́cula cuando llegue al final delplano.

b) Posición de la partı́cula respecto del sistema fijo en función del tiempo.

31. La puerta de la figura gira alrededor del eje OZ conuna velocidad angular constante ω = 30 rpm. Sobrela puerta se mueve una mosca que describe una tra-yectoria circular de radio r = 10 cm con una veloci-dad constante de 5π cm/s. Calcular la aceleración dela mosca en la posición indicada en la figura. Datos:θ = 45o , a = 5 cm

32. En una verbena existe una atracción que se esque-matiza en la figura. La barra E forma un ángulo β conel eje vertical z, y gira alrededor de él en sentido an-tihorario con una velocidad angular constante Ω. Laplataforma horizontal P es circular, esta unida al ejeE por su centro C, y gira también en sentido antihora-rio alrededor de éste con velocidad angular constanteω. Calcular el vector aceleración absoluta de una per-sona situada en el punto A de la plataforma cuandopasa por el punto de su trayectoria más alejado deleje z (representado en la figura).

33. ¿Cuál deberı́a ser la velocidad angular de la tierra para que la aceleración efectiva dela gravedad no dependiera de la latitud?. En el caso anterior, ¿cual serı́a la aceleraciónde Coriolis que experimentarı́a un cuerpo moviéndose a 100 m/s hacia el norte desdeun punto situado a 41oN?

34. Se deja caer un cuerpo desde una altura h en un lugar de la tierra situado sobre elecuador. Calcular cuál será la desviación del punto de impacto del cuerpo con respectoal pie de la vertical del punto desde el que fue lanzado.

Problemas de Estática y DinámicaSOLUCIONES

1. a) 2m/s; 3m/s3; 4m/s4

b) x = 3 + 2t + t3 + t4

c) a = 6t + 12t2

d) 244m/s

2. a)6m; 4m/s3; 3m/s2

b) 1sc) 18m/s2

d) 425m

3. a) ~v = (1− cos t)~i + sin t~jb) ~a = sin t~i + cos t~jc) (1− vx)2 + v2y = 1

4. a) y = 4 sin(πx/2)b) v = (2, 4π cos(πt); a = (0,−4π2 sin(πt))c) t = 0, 1, 2, ... t = (2n + 1)/2 n = 0, 1, 2...

5. 2, 34m

6. a) 4,76 m/sb) 2,38 m (59,5 %)

7. d > (v1 − v2)2/2a

8. Chocan a dos tercios de la base del edificio

9. D = 2√

HS sin θ

10. a) v = 4,78 m/sb) t = 0,98 s

11. v0 =√

hg/2 sin2 θ

12. a) 12,2 m/sb) 14,8 m

13. a) 2 sb) 0,57 m/s2

c) 6,95 m/s2

d) 85,3o

e) 3,71 m/s

14. a) 2sb) −π~j [m/s]c) ar = π2m/s2

d) at = π/2m/s2

15. a) hélice de radio R y paso 2πb/ωb) ~v = −ωR sin(ωt)~i + ωR cos(ωt)~j + b~k~v = −ω2R cos(ωt)~i− ω2R sin(ωt)~jc) at = 0 ; an = ω2R

16. a) ~v = ωR cos(ωt)~i + c~j − ωR sin(ωt)~k~a = −ω2R sin(ωt)~i− ω2R cos(ωt)~kb) at = 0; an = ω2R

17. a)y4 = 2x3

b)at = 12t(8t2 + 3)/√

16t2 + 9 ; an = 24t2/√

16t2 + 9

18. a) es una elipseb) Vmaxt = n/2 (n=0,1,2,3,...) Vmint = (n + (1/2))/2c) ~a = −4π2~rd) an = 83, 3m/s2; at = −26, 98m/s2

19. a)ρ = R√2(1 + cos2(ωt))3/2

b) v = ωR√

1 + cos2(ωt)

an = ω2R

√2√

1+cos2(ωt)

at = −ω2R sin(ωt) cos(ωT )√1+cos2(ωt)

20. a) ~r(t) = (et − 1)~i + λ(t3/3)~j + (1 + (t4/12))~kb) λ = 0

c) at = e2t+(t5/3)√e2t+(t6/9)

an =ett2(t/3−1)√

e2t+(t6/9)ρ =

(e2t+(t6/9))3/2

√ett2(t/3−1)

21. a) v = v0/(1 + v0kt)b) x = (1/k) ln(1 + v0kt)c) v(x) = v0e−kx

22. k = 0,0462 s−1

23. x = 3,07 sin(3t + 1, 35) cm ; v = 9,21 cos(3t + 1, 35) cm/s

24. v =√

v20 + 2kt

25. a) v = 0 mm/s ; ~a = 120~ur mm/s2

b) ~v = 60~ur + 160~uθ mm/s ; ~a = 640(−~ur + ~uθ mm/s2c) ~v = −180~ur mm/s ; ~a = −240~ur − 4320~uθ mm/s2

26. a) ~ur = −~i ; ~uθ = −~jb) ~r = −60~i cm; ~v = (−20~i− 60π~j) cm/s ; ~a = (60π2~i− 40π~j) cm/s2c) ~r = 60~ur cm; ~v = (20~ur + 60π~uθ cm/s ; ~a = (−60π2~ur + 40π~uθ) cm/s2

27. ~vo/o′ = 7~i

28. a) 33,7o respecto a la perpendicular a la carretera y hacia atrásb) 59,9 km/h

29. A una velocidad de 35,87 km/h, formando un ángulo con la vertical de 8,75o

30. a) ~v = 11, 56~i− 4, 95~j m/s; ~a = 4, 24~i− 2, 45~j m/s2b) x = 3t + 2, 12t2 (S.I) ; y = 5− 1, 25t2

31. ~a = [5π2√

2 , −(15 + 25/4√2)π2 ,−5/4π2√2] cm/s2

32. ~a = − [r(ω + Ω)2 + Ω2d sin(δ)]~j

33. ω =√

2g/R ; ac = 0,231 m/s2 hacia el este

PROBLEMAS DE CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA.

EXTRA (versión 16 de marzo de 2010)

J.L. Font

16 de marzo de 2010

1. Por el pozo de una mina caen gotas de agua uniformemente espaciadas a razón de una gota por

segundo. Una gota cae sobre un ascensor que sube por el pozo a 10 m/s cuando está a 100 m por

debajo del nivel de la superficie. Calcular cuándo y dónde caerá la gota siguiente sobre el ascensor.

2. Una persona está en una barca que se mueve con velocidad constante respecto al agua. Navega ŕıo

abajo y se cae un tapón de corcho. Transcurrida una hora se da cuenta y vuelve encontrando el corcho

1 km más abajo de donde hab́ıa cáıdo (respecto de la orilla). ¿Qué velocidad lleva la corriente del

ŕıo? ¿Cuánto tiempo transcurrió desde que cayó el corcho hasta que lo encontró?.

3. Colocamos una moneda sobre una regla y levantamos esta última gradualmente. Cuando el ángulo

de inclinación es θ = 25o, la moneda comienza a deslizar, y recorre un espacio s = 80 cm en un

tiempo de t = 1,4 s. Calcular los coeficientes de rozamiento estático y dinámico.

4. Una part́ıcula con una velocidad de 500 m/s, con respecto a la superficie de la Tierra, se dirige

hacia el Sur a 45o latitud N. Tomando como sistema de referencia la base ~ux (SUR), ~uy (ESTE), ~uz

(ARRIBA) y tomando el radio de la Tierra R = 6370 km, es cierto que:

a) La aceleración de Coriolis aC va hacia arriba.

b) La aceleración de Coriolis aC = 41,5× 10−3 m/s2

c) La componente X de la aceleración centŕıfuga vale 16,8× 10−3 m/s2

d) El módulo de la aceleración centŕıfuga vale 16,8× 10−3 m/s2

e) Ninguna de las anteriores

5. Suponga que la fuerza de resistencia que actúa sobre un patinador veloz viene dada por F = −kmv2,donde k es una constante y m es la masa del patinador. El patinador cruza la linea de meta en

linea recta con una velocidad vf y luego disminuye la velocidad dejándose deslizar sobre los patines.

Calcule la velocidad del patinador en cualquier instante t después de cruzar la linea de meta.

6. Una varilla delgada de longitud ` lleva ensartada una pequeña esfera de masa m que puede deslizar

por ella sin rozamiento. Se hace girar la varilla en un plano horizontal alrededor de uno de sus1

extremos con velocidad angular constante ω. Si inicialmente la esfera se encontraba en reposo en la

mitad de la varilla, calcular la velocidad con la que la esfera abandona la varilla y el ángulo girado por

la varilla hasta ese instante. Nota: se requieren conocimientos de cálculo integral y/o de resolución

de ecuaciones diferenciales para resolver este problema.

7. La ojiva de un pequeño cohete experimental sufre una deceleración por efecto de la resistencia del

aire cuyo módulo en m/s2 es igual a 6 × 10−4 v2 donde v viene dado en m/s. Si la ojiva se lanzaverticalmente desde el suelo con velocidad inicial de 100 m/s, determinar el tiempo necesario para

que alcance la máxima altura y el valor de esa altura. Nota: se requieren sólidos conocimientos de

cálculo integral para resolver este problema.

2

SOLUCIONES

1. La gota siguiente cae 0,8514 s después de la primera y a unos 93,52 m por debajo del nivel de la

superficie.

2. El agua de ŕıo lleva una velocidad de 0,5 km/h (respecto de la orilla); transcurrieron dos horas desde

la cáıda hasta el encuentro.

3. µs = tan(θ) = 0,47; µk = [g sin(θ)− a]/[g cos(θ)] = 0,37

4. (c)

5. v(t) = vf/(1 + kvf t)

6. La velocidad final es vf = ω`√

3/4; el ángulo girado resulta ser ϕ = 1,32 rad.

7. Tarda unos 8,65 s en alcanzar una altura de unos 397,7 m

3

Problemas de FFEADINÁMICA DE LA PARTÍCULAversión 091126

1. Un objeto de 4kg está sujeto a dos fuerzas, ~F1 = 2~i − 3~j (N) y ~F2 = 4~i + 11~j(N). Elobjeto está en reposo en el origen en t=0.

a) ¿Cuál es la aceleración del objeto?

b) ¿Cuál es su velocidad en el tiempo t=3s?

c) ¿Dónde está el objeto en el tiempo t=3s?

2. Una fuerza horizontal de 100N actúa sobre un bloque de 12kg haciéndole subir por unplano inclinado un ángulo θ = 25o sin rozamiento. Calcular:

a) Fuerza normal que el plano inclinado ejerce sobre el bloque

b) ¿Cuál es la aceleración del bloque?

3. Una bola de pequeñas dimensiones y masa m=5 kgse sujeta a una cuerda de longitud L=2m para hacerlagirar describiendo una circunferencia horizontal a unaceleridad constante v0. Sabiendo que la cuerda formaun ángulo θ = 40o con la vertical, determinar la tensiónde la cuerda y la celeridad v0 de la bola.

4. Un cuerpo D, de masa m, se encuentra sobre una su-perficie cónica lisa ABC y está girando alrededor deleje EE’ con velocidad angular constante ω. Calcular:

a) La velocidad lineal del cuerpo

b) Componentes intrı́nsecas de la aceleración

c) Reacción de la superficie sobre el cuerpo

d) La tensión del hilo

e) La velocidad angular necesaria para reducir la reacción de la superficie acero

5. Dos alambres AC y BC están unidos a una esfera de5 kg. Se hace girar la esfera de modo que describauna circunferencia horizontal a celeridad constante v0.Determinar la celeridad para la cual la tensión es lamisma en ambos alambres y el valor de dicha tensión.

6. En el mismo sistema del problema anterior, se hace girar la esfera de modo que des-criba una circunferencia horizontal a celeridad constante v. Determinar el intervalo devalores de v para los cuales la tensión en ambos alambres es no nula.

7. Un cuerpo de 2 kg cuelga de un dinamómetro sujeto del techo de un ascensor.¿Qué lectura indicará el dinamómetro en los siguientes casos?:

a) Cuando el ascensor desciende con velocidad de 30 m/s constanteb) Cuando el ascensor asciende con aceleración de 10 m/s2

c) Si se rompe el cable del ascensor y éste cae con aceleración g

8. Un hombre sostiene en el interior de un ascensor un cuerpo de 10kg mediante unacuerda capaz de resistir 150N. Cuando el ascensor arranca, la cuerda se rompe. ¿Cuálfue la aceleración mı́nima del ascensor?

9. ¿Qué fuerza horizontal F debe aplicarse constante-mente al sistema representado en la figura de modoque los cuerpos de masa m1 y m2 no se muevan res-pecto al M?. (No existe rozamiento en ninguna de lassuperficies y la polea es de masa nula).

10. Un bloque puede deslizar por un plano inclinado, quea su vez desliza sobre una superficie plana. Calcular:

a) Aceleración mı́nima que ha de tener el plano inclinado para que el bloqueno deslice por su superficie. Dato: no existe rozamiento entre ninguna su-perficie.

b) Fuerza mı́nima F para que el bloque no deslice por el plano inclinado.c) Fuerza máxima F para que el bloque no ascienda por el plano inclinado.d) ¿Existe un θ mı́nimo a partir del cual el bloque nunca desciende por el plano

inclinado?. Justificar la respuesta. Datos: en b), c) y d) el coeficiente derozamiento entre el plano inclinado y el bloque vale µ. No hay rozamientoentre el plano inclinado y la superficie plana.

11. Un niño de masa m = 54 kg se pesa en una básculade resorte situada sobre una plataforma especial quese desplaza por un plano inclinado un ángulo θ = 30o

como muestra la figura (no hay rozamiento entre laplataforma y el plano inclinado). ¿Cuál será la lecturade la báscula en estas condiciones?

12. Un plano inclinado que forma un ángulo θ = 30o conla horizontal, de longitud total h = 1 m, se encuentraen el interior de un ascensor. Un cuerpo de masa mse deja caer desde el extremo superior y desliza sinrozamiento. Calcular:

a) Tiempo que tarda el cuerpo en descender todo el plano inclinado si el as-censor sube con velocidad constante.

b) Tiempo que tarda el cuerpo en descender si el ascensor sube con acelera-ción constante a de 2 m/s2.

13. Una persona de masa m = 58 kg se encuentra sobreuna plataforma de masa M = 14,5 kg como indica lafigura. Encontrar la fuerza que la persona debe hacersobre la cuerda para:

a) Subir con una aceleración de 61 cm/s2

b) Subir a velocidad constante.

14. Un marco rectangular de masa M = 5 kg del que cuel-ga una plomada de masa m = 1 kg desliza por unplano inclinado un ángulo θ = 30o como muestra lafigura. Una vez iniciado el movimiento la plomada seestabiliza formando un cierto ángulo respecto de lavertical. Calcular:

a) ángulo que forma la cuerda de la plomada respecto de la vertical si no existerozamiento entre las superficies.

b) ángulo que forma la plomada si el coeficiente de rozamiento entre el marcoy el plano inclinado es µ = 0,2.

15. Una partı́cula de masa m permanece en reposo en lacima de una semiesfera de radio R que está apoyadapor su base sobre una superficie horizontal. Cuandodesplazamos ligeramente la partı́cula de su posiciónde equilibrio, ésta comienza a deslizar sobre la super-ficie de la semiesfera.

a) ¿En qué posición abandona la partı́cula la superficie de la semiesfera?.

b) ¿Cuál es la celeridad de la partı́cula en ese instante?.

c) ¿A qué distancia del pie de la semiesfera caerá la partı́cula sobre el planohorizontal?.

16. Una bola de masa m se suelta sin velocidad inicialdesde un punto A y oscila en un plano vertical al ex-tremo de una cuerda de longitud L. Determinar:

a) La componente tangencial de la aceleración en el punto B en función delángulo θ

b) La celeridad en el punto B en función de θ,θ0 y L

c) La tensión en la cuerda en función de m, g y θ0 cuando la bola pasa por elpunto más bajo C

d) El valor de θ0 si la tensión en la cuerda es T = 2 m g cuando la bola pasapor el punto C.

17. Despreciando el rozamiento, determinar para el siste-ma representado en la figura:

a) La aceleración de cada bloque

b) La tensión en el cable.

18. Determinar la aceleración de cada uno de los bloques de lafigura si mA = 5 kg, mB = 15 kg, mC = 10 kg. ¿Qué bloquellega primero al suelo?.

0.3

B

AC

0.45

19. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre TO-DAS las superficies de contacto que aparecen en lafigura es 0.30, determinar:

a) La aceleración del bloque A

b) La tensión en el cable. (Despréciese el rozamiento en el eje de la polea).

20. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre elbloque A y el plano inclinado de la figura es 0.10, quelas masas de los bloques son mA = 10kg y mB = 7kgy que θ = 30o, determinar:

a) El sentido del movimiento

b) Aceleración del bloque B

c) Tensión en la cuerda

21. Un pequeño bloque se deja en A sin velocidad inicialy se empieza a mover sin rozamiento a lo largo de laguı́a hasta B, donde deja la guı́a con velocidad hori-zontal. Sabiendo que h=3 m y b=1.2 m, determinar:

a) Velocidad del bloque cuando cae al suelob) Distancia C entre el final de la guı́a y la posición donde cae al suelo.

22. Un saco se empuja suavemente por el borde de unapared en A y oscila en un plano vertical colgado delextremo de una soga de 4 m que puede soportar unatensión máxima de dos veces el peso del saco. Deter-minar:

a) Diferencia de cota h entre el punto A y el punto B para el cual se rompe lacuerda.

b) Distancia desde la vertical de la pared donde el saco caerá al suelo.

23. El muelle AB tiene de constante 1,2 kN/m y está unidoa la deslizadera A de 2 kg que se mueve libremente alo largo de una barra horizontal. La longitud del muellesin deformar es de 0,250 m. Si la deslizadera se dejaen reposo en la posición de la figura, determinar lamáxima velocidad alcanzada por la deslizadera.

24. Una deslizadera de 1,5 kg está unida a un muelle ydesliza sin rozamiento a lo largo de una barra circularhorizontal. El muelle está sin deformar cuando la des-lizadera está en C y su constante es de 400 N/m. Sila deslizadera se deja en reposo en B, determinar suvelocidad cuando pasa por C.

25. Una partı́cula m se deja caer por un plano inclinadoun ángulo θ desde una altura h. En la base del planoel cuerpo entra en una guı́a circular de radio R comomuestra la figura. El coeficiente de rozamiento entre elplano inclinado y el cuerpo es µ, y no existe rozamien-to en ningún otro tramo del trayecto. Se pide calcular:

a) Velocidad del cuerpo al final del plano inclinado y trabajo realizado por lasfuerzas de rozamiento.

b) Altura h mı́nima necesaria, respecto a la base del plano inclinado, para quela partı́cula pueda dar una vuelta entera, y módulo de la velocidad en elpunto mas alto de la trayectoria (punto B).

c) Reacción normal de la guı́a circular sobre la partı́cula en el punto A de latrayectoria (ver figura).

26. Un pequeño cuerpo A de masa m = 5 kg comienza adeslizar desde una altura h = 1 m por un plano incli-nado un ángulo θ = 30o. En la base del plano el cuer-po entra en un canal semicircular de radio h/2 comomuestra la figura. El coeficiente de rozamiento entre elplano y el cuerpo es µ = 0,05, y no existe rozamientoen el canal semicircular. Se pide calcular:

a) Velocidad del cuerpo al final del plano inclinado y trabajo realizado por lasfuerzas de rozamiento.

b) Reacción normal del canal semicircular sobre el cuerpo en función del ángu-lo ϕ(ver figura).

c) Altura, respecto a la base del plano inclinado, a la que el cuerpo se separadel canal, y módulo de la velocidad en ese instante.

d) Velocidad del cuerpo en el punto más alto de la trayectoria una vez se haseparado del canal.

27. Una barra recta de masa despreciable se monta sobreun pivote sin rozamiento como muestra la figura. Lasmasa m1 y m2 se suspenden a las distancias d1 y d2del modo indicado. Se pide:

a) Energı́a potencial gravitatoria de las masas en función del ángulo θ formadopor la barra y la horizontal U(θ).

b) ¿Para qué ángulo θ es mı́nima la energı́a potencial?. Discutir el resultadorepresentando gráficamente U(θ) y obteniendo las posiciones de equilibriodel sistema.

c) Demostrar que si m1d1 = m2d2, la energı́a potencial es independiente de θ.(Cuando esto ocurre el sistema está equilibrado para cualquier valor de θ).

28. Dos bloques de igual masa M están atados a los ex-tremos de una cuerda muy ligera e inextensible quecuelga sobre dos poleas sin rozamiento. Un tercer blo-que de masa m se sujeta a continuación en la mitadde la cuerda entre las poleas como muestra la figura.Se pide:

a) Determinar la energı́a potencial del sistema en función de la distancia yindicada en la figura.

b) Determinar la distancia y0 de equilibrio utilizando la función energı́a poten-cial. Comprobar la respuesta analizando las fuerzas.

c) ¿Cuál será la distancia máxima que desciende el bloque m?

29. Debemos construir un arrastre de esquiadores consti-tuido por un cable del que pueden asirse, mediante lascorrespondientes manillas, los esquiadores que hande ser remolcados cuesta arriba. La pendiente en laque ha de actuar nuestro aparato es de 30o y el ángulo(φ) que forman, por término medio, las manillas con ladirección del cable es de 45o. El cable debe moversecon una velocidad constante de 10 km/h y ser capazde transportar simultáneamente 50 esquiadores. Su-ponemos que cada uno de los esquiadores pesa portérmino medio, 75 kg y que el coeficiente de rozamien-to entre los esquı́es y la nieve sea 0.10. Si admitimosque la eficiencia mecánica del sistema en funciona-miento sea del 80 %, ¿Cuál deberá ser la potencia delmotor que preveamos en nuestro proyecto?.

30. La resistencia por rozamiento con el agua en un barco varı́a directamente en funciónde la potencia 1.75 de su velocidad (Fr ≈ v1,75). Una simple barcaza a toda potenciapuede arrastrar un barco a una velocidad constante de 5 km/h, ejerciendo una fuerzaconstante de 200kN. Determinar:

a) La potencia desarrollada por la barcaza.

b) La máxima velocidad a la cual dos barcazas, capaces de desarrollar la mis-ma potencia, pueden arrastrar el barco.

31. Una partı́cula recorre una circunferencia de diámetror0 bajo la acción de una fuerza central cuyo centroatractor O está sobre la circunferencia. Calcular la ce-leridad v en función del ángulo θ que forma el vectorposición con la horizontal, sabiendo que la celeridades v0 cuando la partı́cula pasa por el punto P0, diame-tralmente opuesto a O.

32. Una bola de 90 g se mueve sobre una mesa horizontal y lisa, sujeta al extremo deun hilo que pasa a través de la mesa por un pequeño agujero O. Cuando la longituddel hilo que hay sobre la mesa es r1 = 0,4m, la celeridad de la bola es v1 = 2,4m/s.Sabiendo que la resistencia a la rotura del hilo es de 15 N, determinar:

a) La mı́nima longitud r2 que puede conseguirse tirando lentamente del hilo através del agujero.

b) La velocidad v2 correspondiente.

33. Determinar la masa de la Tierra a partir de la Gravitación Universal de Newton, sa-biendo que un satélite tarda 94.51 minutos en recorrer una órbita circular a 500 km dela superficie terrestre.

34. Los satélites de comunicaciones se sitúan en órbita circular sobre el ecuador, denomi-nada geosı́ncrona, porque en ella dan la vuelta a la Tierra en un dı́a sidéreo (23 horas56 minutos) y permanecen ası́ fijos respecto al suelo terrestre. Determinar la altura deestos satélites sobre la superficie de la Tierra y la velocidad a la que recorren la órbita.

35. Un remolcador espacial recorre una órbita circular de9600km de radio alrededor de la Tierra. A fin de trans-ferirlo a otra órbita circular de 40000 km de radio, sesitúa el remolcador en una trayectoria elı́ptica AB en-cendiendo sus motores al pasar por el punto A pa-ra aumentar su velocidad en 6260 km/h. ¿Cuánto hade aumentar la velocidad del remolcador cuando pa-se por el punto B para transferirlo a la nueva órbitacircular?.

36. Para situar satélites de comunicaciones en la órbitageosı́ncrona a 35770 km de altura sobre la superfi-cie terrestre, se emplea un remolcador espacial. Sa-biendo que durante la operación el remolcador descri-be una órbita circular intermedia a 350 km de altura,determinar:

a) El aumento de velocidad que debe proporcionarse al remolcador en el puntoA para transferirlo a la órbita elı́ptica de transición representada en la figura.

b) El aumento de velocidad preciso en el punto B para transferirlo finalmente ala órbita geosı́ncrona.

Problemas de FFEASoluciones de DINÁMICA DE LA PARTÍCULA

1. a) ~a = 1, 5~i + 2~j [m/s2]b) ~v = 4, 5~i + 6~j [m/s]c) ~r = 6, 75~i + 9~j [m]

2. -

3. T = 63, 96N ; v0 = 3, 25 [m/s]

4. a) vD = ω ` sin(θ)b) aT = 0; aN = ω2 ` sin(θ)c) N = m (g sin(θ)− aN cos(θ))d)T = m (aN sin(θ) + g cos(θ))e) ω =

√g/` cos(θ)

5. T = 35, 87 N; v = 3, 191 [m/s]

6. 2, 425 < v < 4, 2m/s

7. a) 19, 62 Nb) 39, 62 Nc) 0 N

8. 5,2 m/s2

9. F = g(M + m1 + m2)/(m1/m2)

10. a) g tan(θ)b) F = (M + m)g(tan(θ)− µ)/(1 + µ tan(θ))c) F = (M + m)g(tan(θ) + µ)/(1− µ tan(θ))

11. 396, 9 N (40, 5 kp)

12. a) 0, 639 sb) 0, 582 s

13. a) 377, 4 Nb) 355, 2 N

14. a) 30o

b) 19o

15. a) 48, 19o con la verticalb)

√(2 g R)/3

c) d = 0, 125R

16. a) g sin(θ)b)

√2gL(cos θ − cos θ0)

c) mg(3− 2 cos θ0)d) 60o

17. a) T = 15, 38 Nb) aA = 2, 769 m/s2 ; aB = 1, 846 m/s2 izq.

18. aA = 4, 035m/s2 arribaaB = 0, 5765m/s

2 abajoaC = 2, 882m/s

2 abajo, el bloque C llega antes

19. a) aA = 3, 434m/s2 der.b) T = 31, 87 N

20. a) A baja; B subeb) aB = 0,2644 m/s2

c) T = 35, 52 N

21. a) 7, 668 m/sb) 2, 939 m

22. a) h = 2, 667 mb) d = 2, 021 m

23. 14, 23 m/s

24. 2, 45 m/s

25. a) v =√

2gh(1− µ/ tan θ); WFx = −µmgh/ tan θb)h = 5R/2(1− µ/ tan θ) ; v = √Rgc) N = 2mg

R(h(1− µ/ tan θ)−R)

26. a) 4, 23 m/sb)N = mg[2− 4µ/ tan θ − 3 cos ϕ]c) 0, 776 md) 0, 91 m/s

27. a) U = g sin(θ) (m2d2 −m1d1)b) θ = 90o si m2d2 < m1d1 ; θ = 270o si m2d2 > m1d1

28. b) y0 = d/√

(2M/m)2 − 1

29. P = 92, 5 CV

30. a) 278 kWb) 6, 43 km/h

31. v = v0/ cos2 θ

32. a) rmin = 0, 177mb) v = 5, 424 m/s

33. 5,9682× 1024 kg

34. 35774 km; 3073 m/s

35. 1191,85 m/s (aprox 4290 km/h)

36. a) 2411,8 m/sb) 1461 m/s

PROBLEMAS DE DINÁMICA DE LA PARTÍCULA.

EXTRA (versión 13 de diciembre de 2006)

J.L. Font

13 de diciembre de 2006

1. Por el pozo de una mina caen gotas de agua uniformemente espaciadas a razón de una gota por

segundo. Una gota cae sobre un ascensor que sube por el pozo a 10 m/s cuando está a 100 m por

debajo del nivel de la superficie. Calcular cuándo y dónde caerá la gota siguiente sobre el ascensor.

2. Una barca se mueve con velocidad constante respecto al agua. Navega ŕıo abajo y se cae un tapón

de corcho. Transcurrida una hora se da cuenta y vuelve encontrando el corcho 1 km más abajo de

donde hab́ıa cáıdo (respecto de la orilla). ¿Qué velocidad lleva la corriente del ŕıo? ¿Cuánto tiempo

transcurrió desde que cayó el corcho hasta que lo encontró?.

3. Un globo aerostático, con todos sus accesorios, tiene una masa de 220 kg y desciende con una

aceleración 10 veces menor que la de la gravedad. Calcular la masa de lastre que tiene que lanzarse

para que ascienda con la misma aceleración.

4. Colocamos una moneda sobre una regla y levantamos esta última gradualmente. Cuando el ángulo

de inclinación es θ = 25o, la moneda comienza a deslizar, y recorre un espacio s = 80 cm en un

tiempo de t = 1,4 s. Calcular los coeficientes de rozamiento estático y dinámico.

5.

El alambre semicircular de radio R=10 cm gira alrededor del eje vertical

EE a razón de dos vueltas por segundo. Se inserta un abalorio (cuen-

ta de collar) que puede deslizar sin rozamiento. Tomando el valor de

g = 9,8 m/s2, calcule el ángulo θ para el que el abalorio permanece esta-

cionario respecto del alambre giratorio.

O

E

E

R θ

6.

En el interior de una esfera hueca de radio R, que gira con una velocidad

angular constante ω, se halla una masa puntual, como se indica en la figura

adjunta. Suponiendo conocidos el coeficiente de rozamiento estático µs y el

ángulo θ, determinar los valores máximo y mı́nimo de ω para que la masa no

se mueva respecto de la esfera.

θ

ω

1

7. Una varilla delgada de longitud ℓ lleva ensartada una pequeña esfera de masa m que puede deslizar

por ella sin rozamiento. Se hace girar la varilla en un plano horizontal alrededor de uno de sus

extremos con velocidad angular constante ω. Si inicialmente la esfera se encontraba en reposo en la

mitad de la varilla, calcular la velocidad con la que la esfera abandona la varilla y el ángulo girado por

la varilla hasta ese instante. Nota: se requieren conocimientos de cálculo integral y/o de resolución

de ecuaciones diferenciales para resolver este problema.

8. La ojiva de un pequeño cohete experimental sufre una deceleración por efecto de la resistencia del

aire cuyo módulo en m/s2 es igual a 6 × 10−4 v2 donde v viene dado en m/s. Si la ojiva se lanza

verticalmente desde el suelo con velocidad inicial de 100 m/s, determinar el tiempo necesario para

que alcance la máxima altura y el valor de esa altura. Nota: se requieren sólidos conocimientos de

cálculo integral para resolver este problema.

2

SOLUCIONES

1. La gota siguiente cae 0,8514 s después de la primera y a unos 93,52 m por debajo del nivel de la

superficie.

2. El agua de ŕıo lleva una velocidad de 0,5 km/h (respecto de la orilla); transcurrieron dos horas desde

la cáıda hasta el encuentro.

3. Ha de lanzar 40 kg de lastre.

4. µs = tan(θ) = 0,47; µk = [g sin(θ) − a]/[g cos(θ)] = 0,37

5. θ = 51,6o

6.√

g(1−µ tan(θ))R(sin(θ)+µ cos(θ))

< ω <√

g(1+µ tan(θ))R(sin(θ)−µ cos(θ))

7. La velocidad final es vf = ωℓ√

3/4; el ángulo girado resulta ser ϕ = 1,32 rad.

8. Tarda unos 8,65 s en alcanzar una altura de unos 397,7 m

3

PROBLEMAS DE FFEA. Versión 080521DINÁMICA DE SISTEMAS DE PARTÍCULAS

1. Una placa circular homogénea de radio r tiene un orifi-cio circular cortado en ella de radio r/2 como muestrala figura. Hallar el centro de masa de la placa.

2. Hallar el centro de masa del sistema mostrado en lafigura (la masa de las barras es despreciable)

3. Una locomotora de maniobras de 65 Tm que se mueve a 6 Km/h choca y se enganchaautomáticamente a un vagón de plataforma de 10 Tm que transporta una carga de 25Tm. La carga no está firmemente unida al vagón sino que puede deslizar. Sabiendoque el vagón estaba en reposo y con los frenos sueltos, determinar la velocidad de lalocomotora:

a) Inmediatamente después del enganche.

b) Una vez que la carga ha deslizado hasta detenerse respecto al vagón. Cal-cular la energı́a cinética en los instantes inicial, intermedio y final. ¿Se con-serva la energı́a?.

4. Se dispara una bala de 25 g en dirección horizontal.La bala atraviesa el bloque A y queda alojada en elbloque B. Por dicha causa, los bloques A y B empie-zan a moverse con velocidades iniciales de 2.4 y 1.8m/s, respectivamente. Las masas son de 1.5 y 4.5 Kgrespectivamente. Hallar:

a) La velocidad v0 inicial de la bala;

b) La velocidad de la bala en el trayecto entre el bloque A y el B. Calcular laenergı́a cinética en los instantes inicial, intermedio y final. ¿Se conserva laenergı́a?.

5. Dos balas de cañón de 15 Kg cada una se unen entresı́ por medio de una cadena y se disparan horizontal-mente con una velocidad de 165 m/s desde lo alto deun muro de 15 m. La cadena se rompe durante el vue-lo de las balas y una de ellas choca con el suelo parat = 1,5s y a una distancia de 240 m del pie del muro ya 7 m a la derecha de la lı́nea de fuego. Determinar laposición de la otra bala en ese instante. Despreciar laresistencia del aire.

6. Dos esferas A y B de masas m y 3m están unidas poruna varilla rı́gida de longitud L=0.5m y masa despre-ciable. Las dos masas reposan sobre una superficielisa y horizontal cuando se comunica repentinamentea A una velocidad v0 = 1m/s en la dirección del ejex. Transcurridos 0.7s la esfera A se encuentra en laposición xA = 0,5445m, yA = 0,3112m. Determinar laposición de la esfera B en ese instante.

7. Cuando se rompe la cuerda que une las partı́culas Ay B, de masas respectivas 2 y 3 Kg, el muelle compri-mido las obliga a separarse (el muelle no está unido alas partı́culas). La energı́a potencial del muelle com-primido es de 60 Joules y el conjunto posee la velo-cidad inicial de 6 m/s. Si se rompe la cuerda cuandoθ = 30o, hallar la velocidad resultante de cada partı́cu-la.

8. Tres partı́culas idénticas A, B y C de masa m=1kgencierran una pequeña cantidad de material explosi-vo como muestra la figura. Inicialmente el sistema semueve sobre una superficie horizontal lisa con velo-cidad constante v0 = 2m/s cuando hace explosiónla pólvora liberando 100J de energı́a. Como resulta-do de esta explosión cada partı́cula recibe un impulsoidéntico en la dirección radial respecto del centro delsistema. Determinar la velocidad resultante de cadapartı́cula después de la explosión.

9. Se dispara una bala de 30 g con una velocidad de500 m/s contra un bloque A de 5 Kg. El coeficiente derozamiento entre el bloque A y el carretón BC es 0.50.Sabiendo que la masa del carretón es de 4 Kg y quepuede rodar libremente, hallar:

a) La velocidad final del carretón y del bloque;

b) La posición final del bloque sobre el carretón.

10. Un hombre de masa m1 = 75kg da una patada a un bloque de masa m2 = 20kgdesde un extremo de una plataforma con ruedas de longitud L=5m y masa m3 = 40kg.La plataforma estaba inicialmente en reposo y el coeficiente de rozamiento entre susuperficie y el bloque es µ = 0,2. Si cuando el bloque se detiene se encuentra al otroextremo de la plataforma, calcular:

a) Distancia recorrida por el bloque (respecto al suelo).

b) Velocidad inicial del bloque.

c) Trabajo que hace el hombre al golpear el bloque.

11. Una pelota rebota hasta el 80 por ciento de su altura original. Calcular:

a) Fracción de la energı́a mecánica perdida en cada rebote

b) Coeficiente de restitución del sistema pelota-suelo

12. Se deja en libertad un bloque A cuando θ = 90o ydesliza sin rozamiento, hasta chocar con la bola B.Sabiendo que mA=1.25 Kg, mB=2 Kg, y el coeficientede restitución e = 0,9, determinar:

a) La velocidad de B inmediatamente después del choque.

b) La máxima tracción que soporta el hilo que sostiene a B.

c) La altura máxima a la que se eleva B.

13. Calcular las velocidades después del choque de lasbolas de la figura. Ambas masas son iguales y el coe-ficiente de restitución vale 0.9.

14. En un juego de billar una bola A golpea otra bola B (de igual masa) que está inicial-mente en reposo. Después del choque, completamente elástico, la bola A se mueveformando su velocidad un ángulo de θA = 30o con la dirección inicial. Determinar elángulo que forma la velocidad de B con la dirección inicial de la bola A.

15. En un juego de billar, la bola A está moviéndose con lavelocidad V0=3 (m/s) i cuando choca con las bolas B yC que están juntas en reposo. Tras el choque, se ob-servan las tres bolas moviéndose en las direccionesque muestra la figura, con θ = 30o. Suponiendo su-perficies lisas y choques perfectamente elásticos (esdecir, conservación de la energı́a), hallar los módulosde las velocidades VA, VB y VC .

16. En una jugada de billar una bola golpea elásticamenteotras dos simultáneamente como indica la figura. De-terminar las velocidades de las tres bolas después dela colisión (considerar las tres bolas idénticas).

Problemas de FFEASoluciones de DINÁMICA DE LOS SISTEMASDE PARTÍCULAS

1. x = 0 ; y = 7r/6

2. x = 0 ; y = h/5

3. a) 5, 2 km/hb) 3, 9 km/h

4. a) v0 = 469, 8 m/sb) v′0 = 325, 8 m/s

5. x = −7 m ;y = 255m;z = 7, 9276m

6. xB = 0,05183m, yB = 0,3963m

7. vA = 10, 392 m/s, 30o por encima de la horizontal. VB = 5291 m/s, 40,89o por debajode la horizontal

8. vA/O = vC/O = 7,37 m/s, formando 17,75o con la verticalvB/O = 10,165 m/s horizontal

9. a) 1, 661 m/sb) 0, 196 m de B

10. a) 4,26 mb) 4,086 m/sc) 195,93 J

11. a) 1/5b) 0, 894

12. a) v′B = 2, 507 m/sb) T = 33, 59 Nc) h = 0, 32 m

13. v′A,y = 1, 5 m/sv′B,y = 3, 46 m/sv′A,x = 2, 37 m/sv′B,x = −1, 77 m/s

14. θB = 60o

15. VA = 1, 5 m/sVB = 1, 299 m/sVC = 2, 25

16. v′1 = v′2 = 0, 693v0, formando ángulos de +30o y de -30o con la horizontal, v′3 = 0, 2v0hacia la izquierda.

Problemas de Estática y DinámicaCINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

(1er Q.:prob pares, 2ndo Q.:prob impares) version: 04.10.18

1. En un instante determinado, las velocidades de tres de los puntos de un sólido rı́gido,de coordenadas A(0, 0, 0), B(1, 1, 0), y C(0, 1, 1) son, respectivamente: ~va = (6,−2, 6);~vB = (4, 0, 5); ~vC = (5,−2, 6); Comprobar que dicho movimiento es posible y determinarla velocidad angular del sólido rı́gido en dicho instante.

2. Un sólido rı́gido se mueve con respecto a un sistema de ejes de referencia. En uninstante dado, el punto del sólido de coordenadas (2,3,1) tiene una velocidad v =(2, 1,−1). Decir si es posible que el punto del sólido de coordenadas (5, 4, 6) tenga enese instante algunas de las velocidades siguientes:

a) ~va = (1, 2,−2);b) ~vB = (1, 4,−1);c) ~vC = (2, 1,−1);

3. La barra ABC, de 600 mm de longitud, está guiadapor ruedas en A y B que se desplazan por las ranu-ras, como se ilustra en la figura adjunta, siendo B elpunto medio de la barra. Sabiendo que en el instanterepresentado, la barra forma un ángulo de 60o con lahorizontal y que la velocidad de A es de 0,6 m/s haciaabajo, determinar:

a) La velocidad angular de la barra.

b) La velocidad del punto C.

4. Una escalera de 250 cm de longitud está apoyada en una pared vertical y en un sueloplano y horizontal. Si el pie de la escalera es empujado de modo que se desplacehorizontalmente con una velocidad constante de 12 cm/s alejándose de la pared

a) Calcular la velocidad del otro extremo de la escalera en el instante en queel pie de la misma dista 150 cm de la pared.

b) Calcular la velocidad angular de la escalera en el mismo instante.

5. El cilindro grande está articulado en A y gira en elsentido de las manecillas del reloj a una velocidadangular constante de 60 rpm. Sabiendo que al mis-mo tiempo el brazo AB gira en sentido contrario convelocidad angular constante de 30 rpm y que no exis-te deslizamiento entre los cilindros, determinar paraR = 150 mm y r = 75 mm:

a) Velocidad angular del cilindro B.b) Velocidad del punto D del cilindro B.

6. Dos rodillos A y B de radio r están unidos por un basti-dor AB de longitud 4r, y ruedan sin deslizar sobre unasuperficie horizontal. Un tambor C de radio 2r está si-tuado sobre los rodillos como indica la figura. Si elbastidor se desplaza hacia la derecha a una veloci-dad constante v, determinar:

a) Velocidad angular de los rodillos y del tambor.b) Velocidad de los puntos D y E del tambor.

7. La barra AB de 500 mm de longitud está articulada enA a un punto fijo y en B a otra barra. La barra BC, de375 mm de longitud, está articulada en B y sujeta auna deslizadora en C. Sabiendo que en el instante re-presentado, la distancia de B al eje de la deslizadoraes de 300 mm y que la velocidad angular de la mani-vela AB es de 3 rad/s en sentido horario, determinar:

a) Localizar el CIR de las barras AB y BCb) La velocidad angular de la barra BC.c) La velocidad de la deslizadora C.d) La velocidad del punto central de BC.

8. En el sistema articulado de la figura el cuerpo D sedesplaza hacia abajo guiado por la barra vertical quelo atraviesa. La longitud de la barra AB es de 3,00 my la de la barra BD es de 2,00 m. Cuando la barra ABforma un ángulo de 30,0o con la vertical, la celeridaddel cuerpo D es de 2,50 m/s. En este mismo instantese pide:

a) Dibujar y calcular la posición del centro instantáneo de rotación (CIR) de labarra AB y de la barra BD. Indicar también (sin hacer el cálculo) el sentidode rotación de cada una de las dos barras con respecto a su CIR señalandola dirección y sentido del vector velocidad angular correspondiente.

b) Calcular, con la precisión que permiten los datos numéricos dados, el vectorvelocidad del punto B y los vectores velocidad angular de las barras AB yBD.

9. Una barra AB de longitud L tiene su extremo A desli-zando sobre una pared lisa y su extremo B deslizandosobre un suelo horizontal. En su centro C está arti-culada otra barra idéntica CD, cuyo extremo D desli-za sobre el mismo suelo horizontal. El extremo A semueve con velocidad constante v0 hacia abajo. En elinstante en que la barra AB forma un ángulo θ con lavertical:

a) Demuestre que la relación entre θ y ϕ es de la forma:

cosϕ =1

2cos θ

siendo ϕ el ángulo que forma la barra CD con la vertical.

b) Determine de forma algebraica las velocidades angulares de ambas barrasen el instante representado.

c) Determine analı́tica y gráficamente los Centros Instantáneos de Rotaciónde ambas barras, dando su posición en el sistema de referencia indicadoen el dibujo.

d) Calcule numéricamente los anteriores apartados para v0 = 3 m/s; L = 5 m;θ = 20o.

10. Un cilindro A rueda sin deslizar sobre una superficiehorizontal. Una barra BD está unida a la rueda me-diante un pasador en B y a una deslizadera en su otroextremo D como muestra la figura. Si en el instanterepresentado la velocidad del centro de la rueda esde 2 m/s hacia la derecha, calcular:

a) Velocidad angular del cilindro A.

b) Velocidad (vectorial) del punto B.

c) Velocidad del punto D de la deslizadera.

d) Velocidad angular de la barra BD.

Problemas de Estática y DinámicaSOLUCIONES DE CINEMÁTICA DEL SÓLIDORÍGIDO

1. Sı́ es posible; ω = (0, 1, 2)

2. a) nob) sic) si, es una traslación pura.

3. a) 4 rad/s antihorariob) 2,16 m/s; 16,1o con la horizontal

4. a) v = 9 cm/s hacia abajob) ω = 0,06 rad/s antihorario

5. a) ωB = 21,99 rad/s antihorariovD = 2,36 m/s perpendicular a la barra

6. a) ωA = ωB = v/r ; ωC = v/2rb) vD = 0 , ~vE = v~i+ v~j

7. b) 6,67 rad/sc) 2 m/s izq.d) 1,250 m/s, 36,9o con la horizontal

8. b) ~vB = (−1, 46~i− 0, 845~j ) m/sωAB = 0,563 ~k rad/s;ωBD = −1, 1 ~k rad/s

9. b) ωAB = v0/(L sin θ) antihorario, ωCD = v0/(L sinφ) antihorario,c) CIRAB = L(sin θ, cos θ); CIRCD = L(sinφ+ sin(θ/2), sin(φ+ θ)/ sin θ)d) ωAB = 1,75 rad/s; ωCD = 034 rad/s; CIRAB = (1,71,4, 7) [m]; CIRCD =(5, 27, 14, 47) [m]

10. a) ωA = 2, 5 rad/sb) ~vB = (2~i+ 1, 5~j) m/sc) vD = 5 m/sd) ωBD = 1, 25 rad/s;

Problemas de Estática y DinámicaESTÁTICA (versión 081008)

1. El sistema de cables flexibles de la figura se utilizapara elevar un cuerpo de masa M. El sistema se hallaen equilibrio en la posición indicada cuando se aplicauna fuerza de 500N entre los cables C y A. Determinelas tensiones en los cables y el valor de la masa M.

2. Un cuerpo de masa M=250Kg pende del sistema decables flexibles que se indica en la figura. Determinelas tensiones en los cables A, B, C y D.

3. Un bloque de masa 20 Kg descansa sobre un planorugoso como se muestra. Sabiendo que el ángulo queforma el plano inclinado con la horizontal es de θ = 25o

y µs = 0,20, determinar el módulo y ángulo con la ho-rizontal ϕ de la menor fuerza F necesaria:

ϕ

F

θ

a) Para iniciar el movimiento de subida del bloque sobre el plano.

b) Para impedir el movimiento del bloque hacia abajo.

4. Se colocan dos paquetes sobre una cinta transporta-dora que forma un ángulo con la horizontal de 15o y seencuentra en reposo. Los coeficientes de rozamientoentre la cinta y el paquete A valen µs=0.2 y µk=0.15;entre la cinta y el paquete B valen µs==0.3 y µk=0.25.Los paquetes, cuyas masas son mA=6 Kg y mB=4 Kg,se colocan sobre la cinta de modo que están en con-tacto entre sı́ y en reposo. Determinar:

a) Si se moverán uno o los dos paquetes;

b) La fuerza de rozamiento que actúa sobre cada paquete.

5. Dos cuerpos de masas respectivas m1=200kg ym2=300kg se unen mediante una cuerda y se apoyanen la superficie de una esfera lisa como se muestra enla figura. Determine las reacciones sobre la superficie,la tensión en la cuerda y el ángulo θ en la posición deequilibrio.

6. Dos ruedas A y B de masas 2m y m respectivamente,están unidas mediante una varilla de masa despre-ciable y pueden rodar libremente sobre la superficierepresentada. Determinar el ángulo θ que forma la va-rilla con la horizontal cuando el sistema se encuentraen equilibrio.

7. Una barra homogénea de masa m=20Kg se apoya so-bre dos superficies lisas (sin rozamiento) como se re-presenta en la figura. Determinar:

a) Valor de F necesaria para mantener en equilibrio la barra.

b) Las reacciones en los puntos de apoyo.

8. Una varilla uniforme de longitud 3R y peso P está enequilibrio en una cavidad semiesférica de radio R. Ig-norando los rozamientos, determinar el ángulo θ queforma la varilla con la horizontal que corresponde alequilibrio.

9. Una varilla delgada AB, de peso P, está unida a dosbloques A y B que deslizan libremente en las guı́asrepresentadas. Los bloques están unidos por un hiloinextensible y sin peso que pasa por una polea C.

a) Expresar la tensión en el hilo en función de P y del ángulo θ que forma labarra con la horizontal.

b) Determinar el valor del ángulo θ para el que la tensión en el hilo es igual a2P.

10. Dos barras homogéneas de igual masa y longitud seencuentran dispuestas como se indica en la figura. Elcontacto entre las barras se produce en el punto me-dio de una de ellas. Despreciando el rozamiento enlos puntos de contacto entre los diferentes cuerpos ysiendo E una articulación o punto fijo, Determinar:

a) La relación entre mP y mQ en función de θ para que el sistema se encuentreen equilibrio.

b) Reacciones en el punto de contacto entre las dos barras.

c) Reacción en el punto de contacto entre la barra y la pared.

11. Un cilindro homogéneo de radio R y masa M descan-sa sobre otros dos cilindros homogéneos iguales en-tre sı́ de radio r y masa m como se muestra en la fi-gura. Los centros de los de los dos cilindros inferioresse hallan unidos mediante una cuerda inextensible delongitud 2r. Despreciando los rozamientos entre todaslas superficies, calcular:

a) La tensión del hilo.

b) Fuerza de reacción del plano.

c) Fuerza de reacción entre cada cilindro.

����������������������������������������������������

������������������

��������

��������

��������

��������

������������������������

R

r

12. Dos cilindros de masas mA y mB y radios RA y RB re-posan sobre dos planos inclinados perfectamente li-sos como se indica en la figura. Encontrar el ánguloφ que formará con la horizontal la recta que pasa porlos centros de los cilindros en la posición de equilibrio.Datos: mA =1kg, mB =2kg, θ=15o, ϕ=30o

13. Dos barras iguales de longitud 2a y masa m estánarticuladas por su punto medio y unidas mediante unhilo inextensible por su extremo superior. Sobre lasbarras se coloca un cilindro de radio R y masa M comose indica en la figura. Si todo el conjunto descansaen equilibrio sobre una superficie perfectamente lisa,calcular en función del ángulo θ:

a) Las reacciones con la superficie.

b) Tensión del hilo.

14. En la figura se muestra una grúa sencilla que levantauna carga de 1500kg. La barra de la grúa tiene unalongitud de 7.5m, un peso de 250kg, y su centro degravedad se halla a 3.0m de su extremo inferior. De-terminar la tensión en el cable C y la reacción en laarticulación de apoyo P, para una inclinación de la ba-rra de la grúa de θ=60o.

15. Una barra AB de longitud 1m y masa m=4kg esta suje-ta por una cuerda CB de longitud 1.1m en un extremoy apoyada en una pared rugosa en el otro como mues-tra la figura. En esta situación la barra se mantiene enequilibrio, siendo el ángulo que forma la cuerda con lapared de θ=60o. Calcular:

a) Tensión en la cuerda

b) Coeficiente de rozamiento mı́nimo entre la barra y la pared para que éstapueda mantenerse en equilibrio.

16. Una barra maciza y homogénea, de longitud L y pesoP, se halla en equilibrio formando un ángulo θ con lahorizontal. El extremo A de la barra reposa sobre unasuperficie horizontal y rugosa, a la vez que se apoyaen un punto B sobre una esquina también rugosa, auna altura h sobre el suelo. Supóngase que el coefi-ciente de rozamiento estático es el mismo en ambospuntos.

a) Dibujar el diagrama de sólido libre de la barra en movimiento inminente.

b) Determinar la expresión algebraica del coeficiente de rozamiento µ en fun-ción de L, h y θ

c) Calcular las normales y las fuerzas de rozamiento en los puntos de apoyo,sabiendo que L=5 m, h=1 m, θ =20o y P=100 N.

17. Un armario de 60 Kg está montado sobre ruedas quepueden bloquearse para evitar la rodadura. El coefi-ciente de rozamiento entre el suelo y cada rueda es0.30. Suponiendo que las ruedas están bloqueadas,determinar:

a) La fuerza P necesaria para mover al armario hacia la derecha

b) El mayor valor de h si el armario no ha de volcar.

18. Un embalaje de 30 Kg de masa está sometido a unatracción por la cuerda indicada. El coeficiente de ro-zamiento entre el embalaje y el suelo es 0.35. Si elángulo que forma la cuerda con la horizontal es de30o, determinar:

a) La tensión T necesaria para mover el embalaje;

b) Si el embalaje volcará o deslizará.

19. Determinar el valor mı́nimo de P que debe aplicarsea la cuña, sin masa apreciable y con un ángulo de6o, para mover el bloque de 800 kg. El coeficiente derozamiento estático es 0.30 en todas las superficiesen contacto.

20. Se utiliza una cuña para elevar un armario de 250 kgde masa como se muestra en la figura. El coeficientede rozamiento es de 0.30 entre todas las superficies.Determinar:

a) La fuerza mı́nima F que hay que aplicar para introducir la cuña.

21. Una carga homogénea de 20 kN de peso cuelgade una armadura mediante dos cables inextensiblescomo se muestra en la figura. Determinar la fuerza encada varilla de la armadura.

22. Determinar las fuerzas en las varillas CG y FG de laarmadura que sustenta el puente que se muestra enla figura sabiendo que la distancia entre dos nudosalineados horizontalmente es de 6 m.

23. La barra de la figura tiene masa M y longitud L. Sehalla apoyada en rodillos por ambos extremos, y ensu extremo inferior conectada a un muelle de longi-tud natural nula y constante elástica k que lo sujetaa la pared. Determine por el método de los trabajosvirtuales el valor del ángulo que forma la barra con lahorizontal en la posición de equilibrio.

24. El mecanismo de dos barras de la figura se utiliza pa-ra sostener una carga de masa M. Las barras tienenigual longitud El sistema se halla articulado en A y C, yapoyado mediante un rodillo en B. El punto B se hallaunido al soporte A mediante un muelle de constantek y longitud natural D. Determine el valor del ángulo θen la posición de equilibrio.

Problemas de Estática y DinámicaSoluciones de ESTÁTICA

1. TA = 2,84 kNTB = 8,29 kNTC = 2,88 kNTD = 7,79 kNM = 794 kg

2. TA = 1,50 kNTB = 2,96 kNTC = 2,83 kNTD = 1,41 kN

3. a) 116,2 N, θ = 36,31o

b) 46, 43 N, θ = 13, 69o

4. a) A desliza; B no se mueveb)Fa = 8,53 N; Fb = 10,15 N

5. θ = 33,7o

T = 1,63 kNN1 = 1,09 kNN2 = 2,45 kN

6. θ = 18,4o

7. a) F = 84,9 kNb) RA = 147 kN , RB = 98 kN

8. θ = 23, 2o

9. a) T = (P/2)(1/(1− tan(θ)))b) 36, 9o

10. a) (mQ/mP ) = tan2(θ)b) R = mQg/ sin(θ)c) R = mQg/ tan(θ) = mP g tan(θ)

11. a) T = (Mg/2)(r/√

(R + r)2 − r2)b) N = ((2m + M)/2)gc) R = (Mg/2)(R + r/

√(R + r)2 − r2)

12. φ = 62, 4o

13. a) N = (2m + M)g/2b) T = 2m+M

2g tan(θ) + M g R

2` sin2(θ)

14. T = 11,7 kNRx = 11,1 kNRy = 20,7 kN

15. T = 25,2 N µs = 1,22

16. b) µ = tan[(1/2)arc sin((L/h) sin2(θ) cos(θ))]b) µ es la raı́z de µ2L sin2(θ) cos(θ)− 2µhL + L sin2(θ) cos(θ)c) NA = 16, 37 N, FA = 4, 89 N , NB = 80, 35 N , FB = 24, 02 N

17. a) P = 176, 5 Nb) h = 1 m

18. a) T = 98, 95 Nb) Desliza

19. P = 1856, 7 N

20. a) P = 2470,5 Nb) P ′ = 72,8 N

21. FAB = 25 kN T FAE = 5 kN TFBC = 16,65 kN T FBD = 10 kN TFBE = 8,34 kN C FCD = 13,35 kN CFDE = 13,35 kN C

22. FFG = 11,25 kN T FGC = 2,08 kN C

23. sin(θ) = Mg/2kL

24. sin(θ) = (Mg + 2kD)/4kL

PROBLEMAS ESTÁTICA.

EXTRA (versión 15 de febrero de 2010)

J.L. Font

15 de febrero de 2010

1. Un cilindro homogéneo pesa 500 N. Reposa sobre un plano incli-

nado que forma un ángulo con la horizontal θ = 55o y está unido

por su centro a un hilo que cuelga del techo y que forma un ángulo

de ϕ = 75o con la horizontal. Calcular la tensión en el hilo y la

reacción normal al plano.

θ

ϕ

2. Un cilindro homogéneo pesa 50 N y reposa sobre dos planos in-

clinados que forman los ángulos θ = 45o y ϕ = 30o. Calcular las

reacciones normales en A y B.θ ϕ

A B

3. Un bloque de masa m=50 kg reposa sobre una superficie horizontal

y lisa, estando en equilibrio estático bajo la acción de las fuerzas

T1 = 300 N y T2 = 500 N. Calcular la reacción normal y el ángulo

θ que forma T2 con la horizontal.

m

θ

T2

T1

4. Tres cilindros idénticos tienen un peso cada uno de 500 N y están en

contacto entre śı. El conjunto reposa sobre dos planos inclinados que

forman un ángulo θ con la horizontal. Ignorando los rozamientos,

calcular el mı́nimo valor de θ para que haya equilibrio. Nota: los

dos cilindros en contacto con los planos inclinados casi no se tocan

entre śı.

θ θ

1

5. Dos cilindros idénticos tienen una masa cada uno de 200 kg y están

en contacto entre śı. El conjunto reposa sobre un plano inclinado

que forma un ángulo θ = 45o con la horizontal y con una pared

vertical. Ignorando los rozamientos, calcular las reacciones en los

puntos de contacto A, B y C.

θA

C

B

6. Un cilindro homogéneo de masa m=100 kg y radio R=250 mm ha

de superar un escalón de altura h=50 mm mediante una fuerza F

aplicada en su centro de masa y que forma un ángulo θ = 30o con

la horizontal. Ignorando los rozamientos, calcular la fuerza F.

F

θ

h

7. Una barra homogénea se apoya por sus extremos en sendos pla-

nos inclinados perpendiculares entre śı. Sabiendo que el ángulo que

forma uno de los planos inclinados con la horizontal es ϕ = 30o e

ignorando los rozamientos, calcular θ.

θ

A

Bϕ

8. Una barra homogénea de 100 N de peso se apoya en una articulación

en A y en un suelo liso en B, formando un ángulo θ = 30o con la

horizontal. Sobre ella reposa un cilindro de 500 N de peso, que a su

vez se apoya sobre una pared lisa y vertical. Calcular las reacciones

en A y en B.

50

75θ

A

B

9. En la estructura articulada de la figura hay una carga F1 = 1000 N

aplicada en el nudo D y una carga F2 = 2000 N aplicada en el nudo

C. Sabiendo que L=8 m y H=4 m, calcular las reacciones en los

apoyos y los esfuerzos en cada barra.

FF

A

D

H

12

B

CL

2

10. La estructura de la figura está articulada en A y apoyada en rueda

en C. Hay una carga F = 5 kN aplicada en el nudo D. Sabiendo

que L=2 m y θ = 30o, calcular las reacciones en los apoyos y los

esfuerzos en cada barra.

θ

θA

B

C

L

D

F

11. La estructura de la figura está articulada en A y unida a un hilo

en C que a su vez está unido al techo. Hay dos cargas: F1 = 3 kN

aplicada en el nudo D y F2 = 4 kN aplicada en el nudo B. Sabiendo

que L=3.6 m, θ = 60o y que ϕ = 30o, calcular las reacciones en los

apoyos y los esfurzos axiles de todas las barras.

A

BC

D

θ ϕ

F

F

1

2L L

12. La estructura de la figura está articulada en A y apoyada en rueda

en E. Hay dos cargas: F1 = 5 kN aplicada en el nudo G y F2 = 10 kN

aplicada en el nudo F. Sabiendo que L=6 m y h=4 m, calcular las

reacciones en los apoyos y los esfuerzos axiles de las barras CG y

FG.

h

B D

FG

F F

A E

CLL

1 2

13. El poste AC, de 10 m de longitud, tiene una rótula en A

y está sujeto por dos tirantes BD y BE. Sabiendo que la

fuerza F es de 8,4 kN, calcular la reacción en la rótula y

la tensión de los tirantes.

Y

Z

F

B

C

D

E

6

6

A

710

X

6

3

SOLUCIONES

1. N = 137,7 N, T = 435,9 N

2. NA = 25,88 N, NB = 36,60 N

3. N = 90 N, θ = 53,13o

4. θ = 10,9o

5. NA = 4157,8 N, NB = 3920 N, NC = 1385,9 N

6. F = 592,2 N

7. θ = 30o

8. Ax = 288,7 N→, Ay = 283,3 N ↑, NB = 316,7 N

9. Ax = 1000 N←, Ay = 500 N ↓, NB = 2500 N, FDC = 1000N C, FDA = 0, FAB = 0, FAC = 1118N T,

FBC = 2500N C

10. Ax = 0, Ay = 1,25 kN ↑, NC = 3,75 kN, FAB = 2,50kN C, FAD = 2,17kN T, FDB = 5,00kN T,

FDC = 2,17kN T, FCB = 4,33kN C

11. Ax = 3 kN→, Ay = 0,7 kN ↑, Cy = 3,3 kN ↑, FAD = 0,81 kNT , FAB = 3,41 kNC, FBD = 4,62 kNC,

FBC = 5,72 kNC, FCD = 6,60 kNT

12. Ax = 0, Ay = 20/3 kN ↑, Ey = 25/3 kN ↑, FFG = 11,25 kN T , FCG = 2,08 kN C, FBC = 10 kN C

13. Ax = 3,6 kN←, Ay = 14 kN ↑, Az = 0, TBD = TBE = 11 kN

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