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PROBLEMARIO DE HIDROLOGIA APLICADA A LA INGENIERIA CIVIL
Autor: Oberto R., Livia R.
Barquisimeto, abril 2003
UCLA Decanato de Ingeniera Civil Departamento de Hidrulica y
Sanitaria
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INDICE DE CONTENIDO Pagna INDICE DE CONTENIDO ii INDICE DE
TABLAS iv INDICE DE FIGURAS v CAPITULO I. GENERALIDADES 1.0
Introduccin 1 1.1 Justificacin 1 1.2 Objetivo 1 CAPITULO II 2.0
Distribucin espacial de la precipitacin 2 2.1 Clculo de la
precipitacin media 2 2.1.1 Promedio aritmtico 2 2.1.2 Polgono de
Thiessen 2 2.1.3 Mtodos de las Isoyetas 3 2.2 Problemas relativos a
la distribucin espacial
de la precipitacin 4 CAPITULO III 3.0 Aplicacin de la teora de
las probabilidades a la Hidrologa 11 3.1 Distribucin normal o
Gaussiana 11 3.2 Distribucin log-normal de 2 parmetros 12 3.3
Distribucin log-normal de 3 parmetros 13 3.4 Distribucin de valores
extremos 14 3.5 Problemas de probabilidad aplicados a la hidrologa
16 CAPITULO IV 4.0 Hidrograma de escorrenta 31 4.1 Coeficiente de
escorrenta 31 4.2 Hidrograma de crecientes 32 4.3 Separacin del
caudal base 33 4.4 Hidrograma Unitario 34
-
iii
4.5 Clculo de Hu para diferentes duraciones efectivas 36 4.6
Problemas relativos a Hidrogramas 38 CAPITULO V 5.1 Mtodo de la
curva nmero 59 5.2 Distribucin del evento en el tiempo 61 5.3
Problemas de aplicacin de la Curva Nmero 64 CAPITULO VI 6.1 Trnsito
por embalses 70 6.2 Trnsito por cauces naturales 73 6.3 Problemas
relativos a el trnsito por el embalse y trnsito por el cauce 75
CAPITULO VII 7.1 Hidrograma de C.O Clark 86 7.2 Problemas de
aplicacin del Hidrograma Unitario Instantneo 88 CAPITULO VIII 8.1
Demanda de riego 108 8.2 Problemas relativos a la demanda de riego
110 CAPITULO IX 9.1 Operacin de embalse 114 9.2 Problemas de
aplicacin de la operacin de embalse 115 BIBLIOGRAFA 123 ANEXO 1 124
ANEXO 2 126 ANEXO 3 129
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iv
INDICE DE TABLAS
Tabla No. Pgina 1 Gumbel 125 2 Nmero de curva de escorrenta para
comple jo hidrolgico suelos-cobertura, para condiciones de humedad
antecedente II e Ia = 0.20 127 3 Nmero de curva (CN) para otras
condiciones 128 4 Coeficiente de desarrollo foliar para el clculo
de la evapotranspiracin 130 5 Coeficiente de densidad de
enraizamiento, r,
Para el clculo del umbral ptimo de riego (Norero,1976) 130
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v
INDICE DE FIGURAS Figura Pgina 4.1 Relacin lluvia Escorrenta 31
4.2 Hidrograma de escorrenta 32 4.3 Separacin del caudal base del
Hidrograma 33 4.4 Mtodo de las tangentes para la separacin de Qb 34
4.5 Determinacin de la duracin efectiva de la lluvia 35 4.6 Clculo
de HU de 2t horas a partir del HU de t horas 36 4.7 4.8 Mtodo de la
curva S 37 4.9 5.1 Curva adimensionales de tormentas(SCS,1958) 62
6.1 Volmenes caractersticos en un embalse 70 6.2 Esquema del
transito de una creciente a travs de
un embalse 71
6.3 Esquema del transito por cauces naturales 73 7.1 Lneas de
igual tiempo de viaje Isocronas 86
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CAPITULO I
1.0 Introduccin
La hidrologa es una disciplina muy importante para el ingeniero
civil ya que estudia el agua en la tierra, su distribucin y
circulacin, lo que le permite por diferentes mtodos y
procedimientos cuantificar el agua que llega a un punto
determinado. Ello es informacin bsica imprescindible para el diseo
de puentes, estructuras para control de avenidas, presas,
vertederos, sistemas de drenaje para poblaciones, carreteras,
sistemas de abastecimiento de agua y otras estructuras
similares.
Una de las dificultades que encuentra el estudiante de ingeniera
es la falta de bibliografa asociada al planteamiento y solucin de
problemas similares a los que se le puedan presentar en su
ejercicio profesional. Ello ha motivado la elaboracin del presente
trabajo de problemas resueltos de hidrologa, los cules pretender
ayudar al estudiante a comprender mejor la enseanza terica que se
les imparte, encaminndolos de forma sencilla y clara a la aplicacin
de esos conocimientos con ejemplos prcticos. 1.1 Justificacin En la
generalidad de los casos, los textos tradicionales de hidrologa
bsica desarrollan sus ejemplos y aplicaciones prcticas utilizando
informacin de cuencas cuyas condiciones fsico ambientales, y de
disponibilidad de informacin, son diferentes al entorno regional y
nacional en el cual se desenvolver el futuro ingeniero civil. Un
ejemplo tpico lo constituye el tpico de clculo de la
evapotranspiracin y las demandas de riego, los cules usualmente se
hacen a partir de ecuaciones basadas en informacin climtica que
usualmente no estn disponibles en la mayora de las cuencas locales.
Adicionalmente, se estima conveniente que el estudio de los
diferentes procesos que integran el ciclo hidrolgico se presenten
de manera interrelacionada, tal como sucede en la naturaleza. Por
lo expuesto, se considera que el material aqu presentado constituye
un valioso aporte a la formacin del futuro ingeniero civil 1.2
Objetivo Elaborar un conjunto de ejemplos y problemas tpicos que
sirvan como material de
apoyo en el aprendizaje de la hidrologa bsica para el ingeniero
civil.
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2
CAPITULO II
2.0 Distribucin espacial de la precipitacin Desde el punto de
vista espacial, la precipitacin no se distribuye de manera uniforme
en el mbito de la cuenca, debido principalmente a los mecanismos de
generacin de la lluvia y a las caractersticas altitudinales de la
hoya hidrogrfica. De all que uno de los aspectos iniciales de la
hidrologa es la estimacin de la precipitacin representativa para el
conjunto del rea en estudio. Usualmente, este valor representativo
puede tomarse como el promedio aritmtico del conjunto de las
estaciones existentes o como el valor ponderado por un rea de
influencia determinado. En este segundo caso, el problema a
resolver ser la estimacin del rea para el cul el valor puntual,
medido en una estacin, es representativo. 2.1 Clculo de la
precipitacin media Para la estimacin de la precipitacin media
existen 3 mtodos usuales:
Promedio aritmtico Polgono de Thiessen Isoyetas.
2.1.1 Promedio aritmtico
Es el ms simple de los procedimientos para determinar la lluvia
promedio sobre un
rea, se promedian las profundidades de lluvia que se registran
en un nmero dado de pluvimetros. Este mtodo es satisfactorio si los
pluvimetros se distribuyen uniformemente sobre el rea y sus
mediciones individuales no varan de manera considerable de la
media.
nPnPPP
Pm++++
=.........321
(2.1)
donde: Pm: precipitacin media P1, P2,P3Pn: precipitacin en cada
una de las estaciones n: nmero de estaciones
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3
2.1.2 Polgono de Thiessen
Este mtodo es aplicado a zonas con una distribucin irregular de
las estaciones y en dnde los accidentes topogrficos no juegan un
papel importante en la distribucin de la precipitacin.
El clculo se inicia ubicando en los mapas las estaciones de
precipitacin ubicadas en la cuenca y en las reas circunvecinas. Se
unen estas estaciones con trazos rectos, tratando de formar
tringulos, cuyos lados sean de la mnima longitud posible ; despus
de que los tringulos hayan sido dibujados, se trazan las
mediatrices de todos los lados, con lo que se formarn unos polgonos
alrededor de cada estacin.
Se determina el rea de cada polgono y, a partir de su relacin
con el rea total, se
obtiene un coeficiente de ponderacin para cada estacin. La
precipitacin media resultante de la sumatoria de los productos de
las lluvias registradas en cada estacin por su rea correspondiente,
entre el rea total:
At
PiAiPm
n
i
== 1*
(2.2)
para: Ai: rea del polgono i Pi: precipitacin en la estacin i At:
rea total de la cuenca Pm: precipitacin media sobre la cuenca n:
nmero de polgonos 2.1.3 Mtodos de las Isoyetas
Utilizando las profundidades que se observan en los pluvimetros,
e interpolando entre pluvimetros adyacentes, se unen los puntos de
igual profundidad de precipitacin, (de modo semejante a como se
trazan las curvas de nivel en topografa).
Una vez que el mapa de Isoyetas se construye, se mide el rea Aj
entre cada par de
Isoyetas en la cuenca y se multiplica por el promedio Pj de las
profundidades de la lluvia de las dos isoyetas adyacentes para
calcular la precipitacin promedio sobre el rea mediante la
ecuacin:
At
PjAjPm
n
j
== 1*
(2.3)
donde: Aj : rea entre cada par de Isoyetas Pj : promedio de las
profundidades de lluvia de dos isoyetas adyacentes.
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4
At : rea total de la cuenca. Pm: precipitacin media n: nmero de
isoyetas adyacentes
El mtodo de las isoyetas es flexible, y el conocimiento de los
patrones de la tormenta pueden influir en la grfica de las mismas,
pero es necesario una red de medidores ms o menos densa para
construir correctamente el mapa de Isoyetas de una tormenta
compleja.
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5
2.2 Problemas relativos a la distribucin espacial de la
precipitacin PROBLEMA 2.2.1
En la figura y cuadro adjuntos se muestran la ubicacin de 5
estaciones de precipitacin de una cuenca dada, as como los va lores
de precipitacin anual, en milmetros. Calcular la precipitacin media
anual en la cuenca aplicando el mtodo de polgonos de Thiessen, si
cada cuadricula del grfico equivale a 1 kilmetro cuadrado.
Estacin Precipitacin anual (mm) P1 800 P2 600 P3 900 P4 400 P5
200
SOLUCIN El primer paso para la solucin del problema es el
trazado de los polgonos de Thiessen, los mismos que se aprecian en
el grfico adjunto.
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6
Calculando las respectivas reas, se tiene:
Estaciones rea (Km2) Precipitacin (mm) A * P
P1 11.5 800 9200 P2 16.5 600 9900 P3 13 900 11700 P4 12.5 400
5000 P5 11.5 200 2300
65 38100 Aplicando la ecuacin (2.2) se obtiene:
mmKm
mmKmPm 15.58665
*381002
2
==
PROBLEMA 2.2.2 Resolver el problema anterior por el mtodo de las
isoyetas. SOLUCIN Con la informacin proporcionada se construyen las
isoyetas, tal como se muestra en el grfico. Luego se mide el rea
encerrada por cada par de las isoyetas adyacentes, como por ejemplo
la correspondiente a los valores 800 y 900 mm que se destaca en la
figura.
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7
De esta forma, puede elaborarse el cuadro siguiente, en el cul
el valor de la columna precipitacin corresponde al promedio de los
valores de las isoyetas adyacentes:
Isoyetas reas Precipitacin Area*Precipitacin
(mm) (Km2) (mm) (Km2*mm)
900 6 900 5400
900-800 8 850 6800
800-700 9 750 6750 700-600 7 650 4550 600-500 8.5 550 4675
500-400 8.5 450 3825 400-300 8 350 2800 300-200 6 250 1500
200 4 200 800 65 37100
Aplicando ahora la ecuacin (2.3) se tiene:
mmKm
mmKmPm 77.57065
*371002
2
==
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8
PROBLEMA 2.2.3
En la figura, las lneas delgadas identifican la delimitacin de
la cuenca y subcuencas que como puede apreciarse son tres: SC1, SC2
y SC3. Cada cuadricula del grfico puede asumirse igual a 1 Km2.
Empleando el mtodo de los polgonos de Thiessen, se pide calcular el
volumen total de agua precipitada en cada una de las subcuencas, as
como en el total de la cuenca, durante el mes 2, en millones de
metros cbicos, mmc. Precipitacin (mm)
Estacin Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 1 170 54 49.6 30 2 70 30 22 21 3
50 9.1 7.5 10.3 4 35 4.6 3.1 5
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9
SOLUCIN En la figura adjunta se muestran los polgonos de
Thiessen trazados para la cuenca.
Para cada subcuenca puede determinarse el rea, en km2, que es
influenciada por cada estacin de precipitacin, obtenindose el
cuadro siguiente:
Subc/Estacin P1 P2 P3 P4 Total
SC 1 8 8 4.5 0.75 21.25 SC2 8.5 0 18.75 3.25 30.5 SC3 0 9 0 31
40 Total 16.5 17 23.25 35 91.75
Como puede apreciarse, el rea total de la cuenca es de 91.75
km2, correspondiendo superficies de 21.25, 30.5 y 40 km2 a las
subcuencas 1, 2 y 3, respectivamente. Esta rea total tambin puede
expresarse en trminos de cul es la superficie de la cuenca
influenciada por cada estacin de precipitacin lo cul corresponde a
valores de 16.5, 17, 23.25 y 35 km2. para las estaciones P1, P2, P3
y P4, respectivamente.
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10
Aplicando ahora la ecuacin (2.2) para el mes 2, la precipitacin
media en la cuenca ser:
mmKm
KmmmKmmmKmmmKmmmPm 33.19
75.91)3125.375.0(*6.4)75.185.4(*1.9)98(*30)5.88(*54
2
2222
=++++++++
=
Este valor corresponde a la precipitacin media sobre toda la
cuenca; a partir del
mismo, y considerando el rea total, puede obtenerse el volumen
total precipitado, Vp:
362 10*77.191750000*01933.0 mmmV p == Lo cul equivale a 1.77
millones de metros cbicos, mmc. Procediendo de forma
similar en cada una de las subcuencas, se tiene: Subcuenca 1
:
mmKm
KmmmKmmmKmmmKmmmPm 71.33
25.2175.0*6.45.4*1.98*308*54
2
2222
1 =+++
=
mmcmmmV p 716.05.71633721250000*0337.0
321 ===
Subcuenca 2:
mmKm
KmmmKmmmKmmmPm 13.215.30
25.3*6.475.18*1.95.8*542
222
2 =++=
mmcmmmVp 644.064446530500000*02113.0
322 ===
Subcuenca 3:
mmKm
KmmmKmmmPm 315.1040
31*6.49*302
22
3 =+=
mmcmmmVp 4126.041260040000000*010315.0
323 ===
PROBLEMA 2.2.4
Calcule la precipitacin media de la cuenca, que tiene las
siguientes isoyetas, (lnea punteada), cada cuadro de la cuadricula
vale 1 Km2.
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11
SOLUCIN: Se mide el rea Aj entre cada par de isoyetas en la
cuenca y se multiplica por el promedio Pj de las profundidades de
lluvia de las dos isoyetas adyacentes; luego, aplicando la ecuacin
(2.3) se obtiene:
2
222222
5.5325.7*55017*65025.8*75025.7*85010*95075.3*1000
KmKmmmKmmmKmmmKmmmKmmmKmmm
Pm++++
=
mmPm 58.759=
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12
CAPITULO III
3.0 Aplicaciones de la teora de las probabilidades a la
hidrologa El clculo de un valor especfico para una variable
hidrolgica que se evala es uno de los aspectos bsicos del anlisis
hidrolgico en la ingeniera civil. Usualmente este valor especfico,
tambin denominado valor de diseo, est referido a valores mximos de
precipitacin en un intervalo dado o de caudal para una seccin
especfica del cauce. En ambos casos, constituye una informacin
bsica para el posterior dimensionamiento y diseo de la estructura.
Sin embargo, el procedimiento de clculo implica, adems de los
aspectos nmericos, los relativos a la pos ibilidad de que el valor
de diseo sea igualado o excedido durante un evento cualesquiera o
durante un nmero de eventos dado. Desde el punto de vista
estadstico, las variables hidrolgicas pueden considerarse como
variables aleatorias continas mientras que su ocurrencia efectiva
para un evento, o un nmero de eventos dado, puede resolverse
tratndolas como variables aleatorias discretas. 3.1 Funciones de
probabilidad: variable discreta Un modelo probabilstica asocia un
valor de probabilidad a cada punto del espacio muestral; dicho
modelo se denomina funcin de probabilidad de masa (FPM) y se
designa por px(x0) y se define como la probabilidad de que el valor
de la variable aleatoria X sea igual a x0. Para que una funcin
matemtica cualquiera se considere una funcin de probabilidad de
masa debe cumplir las siguientes dos condiciones:
Su valor debe estar comprendido entre 0 y 1 La sumatoria de
todos los posibles valores de x debe ser igual 1
Tambin conviene recordar que, a partir de la de finicin de
variable condicionada,
puede considerarse que dos variables aleatorias son
independientes si:
)()(),( 0000 ypxpyxp yxxy = (3.1) Se define como funcin
distribucin acumulada, FDA, a la funcin que define la probabilidad
de que la variable aleatoria X tome valores menores o iguales a un
valor dado:
-
13
"
==x
xx xpxPxXob )()()(Pr 000 (3.2)
Esta funcin es positiva, comprendida entre cero y uno, y es
siempre creciente. Otro concepto que conviene recordar es el del
valor esperado, ste se define como la sumatoria para todos los
posibles valores de X del producto de la funcin por la FPM evaluada
en el mismo punto que la funcin:
{ } "
=x
x xpxgxgE )(*)()( 00 (3.3)
En particular interesan algunos casos especiales de la funcin
g(x): los correspondientes a las potencias enteras de x, las cules
se denominan momentos de x:
= )(*)( 0xpxxE xnn (3.4) La expresin (3.4) tambin puede
definirse como la potencia centrada con respecto al valor esperado
o momento central n-simo de x:
{ }nxExE )(( - (3.5) 3.2 Funciones de probabilidad: variable
continua La probabilidad asociada a una variable continua est
representada por la funcin densidad de probabilidad, fdp. Si X es
una variable aleatoria continua en el rango a b, se tiene:
=b
ax dxxfbxaob )()(Pr (3.6)
donde:
)(xf x : funcin densidad de probabilidades
Figura 3.1. Area que representa la Prob(a = x = b)
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14
Se define como funcin de distribucin acumulada, FDA, de la
variable X a la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor
o igual a un valor dado:
-
==0
)()()(Pr 00x
xX dxxfxFxxob (3.7)
La funcin de distribucin acumulada mide la probabilidad de que
el valor de la variable sea menor o igual al valor x0; tiene las
siguientes propiedades:
1)( =+XF 0)( =-XF (3.8)
)()()(Pr aFbFbxaob XX -= (3.9) )()( aFbF XX para: ab (3.10)
)()(
xfdx
xdFx
X = (3.11)
3.3 Algunas distribuciones probabilsticas de uso frecuente en la
hidrologa 3.3.1 Distribucin binomial
Esta es una distribucin de probabilidad discreta; en este caso
la variable aleatoria K se define como el nmero de xitos que
ocurren en n ensayos; se define por la expresin:
)1()1()( kknkK ppCkp
--= nk ........2,1= (3.12) siendo las combinaciones de k0 grupos
en n elementos:
)!(!!
knkn
C nk -= (3.13)
3.3.2 Distribucin de probabilidad emprica A esta distribucin se
le denomina tambin probabilidad experimental o frecuencia
acumulada. Para su clculo existen varias formulas algunas de las
cules se presentan en el cuadro 3.1.
-
15
Cuadro 3.1 Formulas para la probabilidad experimental Mtodo
Probabilidad(P) Mtodo Probabilidad (P)
California mn
Weibull 1+n
m
Hazen n
m 21-
Chegadayev 4.03.0
+-
nm
Blom 4
18
3
+
-
n
m Tukey
1313
+-
nm
Gringorten an
am21-+
-
Donde: P: probabilidad experimental o frecuencia relativa
emprica m: nmero de orden n: nmero de datos a: valor comprendido en
el intervalo 0 a 1 el valor de a depende de n, de acuerdo a: valor
n 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 valor a 0.448 0.443 0.442 0.441
0.44 0.44 0.44 0.44 0.439 0.439 Fuente. Villn, 1993 3.3.3
Distribucin normal o Gaussiana Para esta distribucin la funcin de
densidad es:
--
=
2
21
21
)(S
xx p
eS
xf&&&
p - x (3.14)
-
16
donde: xp: promedio S: desviacin tpica
Cada valor x de la muestra puede ser expresado en trminos de la
variable reducida utilizando la expresin:
S
xxZ p
-= (3.15)
con lo cul la ecuacin (3.14) se transforma en:
-
=
2
2
21
)(Z
eS
xfp
- Z (3.16)
La funcin de distribucin acumulada, (FDA), es:
dxeS
dxxfxFx S
xxx
p
-
--
-
==
2
21
21
)()(p
(3.17)
o su equivalente:
dZeZFZ
Z
-
-=2
2
21
)(p
(3.18)
Para resolver la ecuacin (3.18) existen algunos mtodos de
aproximacin entre los cules puede mencionarse el de Abramowitz y
Stegun:
32 9373.01217.0043618.0)((1)( VVVZfZF +-- (3.19) donde: F(Z):
funcin de distribucin acumulada f(Z): funcin densidad de la
variable estandarizada V se define para valores de Z mayores o
iguales a cero como:
-
17
Z
V33267.01
1+
= (3.20)
el error de esta aproximacin es menor de 10-5
Otra aproximacin usual es la de Masting: ))((1)( 55
44
33
221 wbwbwbwbwbZfZF ++++-= (3.21)
donde w es definido para Z mayor o igual a cero como:
Z
w2316419.01
1+
= (3.22)
con: b1 = 0.319381530 b2 = -0.356563782 b3 = 1.781477937 b4 =
-1.821255978 b5 = 1.330274429 el error de esta aproximacin es menor
de 10-8 . En ambas aproximaciones la FDA es (1 F(Z) ) si Z < 0
el error de esta aproximacin es menor de 10-5 3.3.4 Distribucin
Log-Normal de 2 parmetros
En este caso la variable aleatoria X es positiva y el lmite
inferior x0 no aparece. La variable aleatoria Y = lnX es
normalmente distribuida, con media m y y varianza s2y La funcin de
densidad de Y es:
2
2
11
)(
--
= yyy
y
eyf sm
s (3.23)
donde: para: - y la funcin de distribucin acumulada es:
-
--
=y y
y
dyeyF yy
2
2
1
21
)( sm
ps (3.24)
o, en trminos de la variable reducida:
-
18
--
=z
Z
dZeZF 22
21)(p
(3.25)
3.3.5 Distribuciones de valores extremos
Una muestra de valores extremos se genera tomando una serie
continua de datos, de longitud T, de la variable aleatoria x y
dividindola en n submuestras, cada una de longitud m, de forma tal
que T = n*m. Luego, en cada una de dichas submuestras se
seleccionan valores de la variable x de acuerdo a un cierto
criterio tal como la magnitud de la variable, un valor acumulativo
o alguna propiedad. Tal proceso de seleccin generar una muestra de
una nueva variable aleatoria, y, con una longitud n.
Usualmente los criterios de seleccin estn asociados a la
ocurrencia de eventos
mximos, tales como los caudales mximos, o mnimos, tal como las
sequas. En ambos casos se tratan de eventos extremos.
Una de las distribuciones de valores extremos pa ra eventos
mximos es la
presentada por R.A. Fisher y L.H.C. Tippet:
)(
)(ba ---=
xeexF (3.26) donde: 0 a 8 es el parmetro de escala -8 b 8 es el
parmetro de posicin, llamado tambin valor central o moda A esta
distribucin tambin se le denomina de Gumbel. Si se hace la
transformacin: )( ba -= xy la ecuacin (3.26) se transforma en:
yeexF
--=)( (3.27) Tambin:
s
a281.1
= smb *45.0-= (3.28)
-
19
Gumbel obtuvo valores modificados minimizando la suma de los
cuadrados de los errores perpendiculares a la recta de ajuste de
valores extremos.. Las ecuaciones que obtuvo son slo funcin del
tamao de muestra y de los parmetros:
xn
nT
yYXX s
s*
-+= (3.29)
donde: XT : valor de la variable correspondiente al perodo de
retorno :X media de la serie de datos s x : desviacin estndar s n ,
yn : funciones de la longitud de la serie de datos, en la tabla
N1
anexo 1. 3.4 Prueba de bondad de ajuste Smirnov - Kolmogorov
Esta prueba de ajuste consiste en comparar las diferencias, en
valores absolutos, entre la probabilidad emprica y la probabilidad
terica seleccionada; de estas diferencias se toma el valor mximo,
el cul se denomina discrepancia mxima calculada. Dicho valor se
compara con el valor de la mxima discrepancia permitida o valor
crtico del estadstico Smirnov Kolmogorov, el cul es funcin del
nmero de datos y del nivel de confiabilidad seleccionado, tal como
se aprecia en el cuadro 3.2.
Cuadro 3.2 Valores crticos del estadstico Smirnov Kolmogorov
Tamao de la NIVEL DE SIGNIFICACIN (a ) Muestra (N) 0.20 0.10 0.05
0.01 5 0.45 0.51 0.56 0.67 10 0.32 0.37 0.41 0.49 15 0.27 0.30 0.34
0.40 20 0.23 0.26 0.29 0.36 25 0.21 0.24 0.27 0.32 30 0.19 0.22
0.24 0.29 35 0.18 0.20 0.23 0.27 40 0.17 0.19 0.21 0.25 45 0.16
0.18 0.20 0.24 50 0.15 0.17 0.19 0.23
N>50 N07.1
N22.1
N36.1
N63.1
Fuente: Yevjevich, 1972
-
20
3.5 Problemas de probabilidad aplicados a la hidrologa PROBLEMA
3.5.1 Para una estacin de precipitacin se tiene informacin de 15
aos de registro para profundidades mximas de lluvia para una
duracin de 02 horas. Los mismos indican que la lluvia
correspondiente a dicha duracin y a un periodo de 15 aos de perodo
de retorno, es de 97.52 mm. Anlogamente, para un perodo de retorno
de 100 aos, y la misma duracin, se tiene un valor de 120.91 mm.
Con base a ello, y asumiendo que los datos se ajustan a una
distribucin Gumbel, se pide calcular:
a. Profundidad de la lluvia correspondiente a 50 aos de periodo
de retorno. b. Probabilidad de que dicha lluvia sea igualada o
excedida al menos una vez
durante 30 aos de vida til de la estructura a disear. c. Si se
toma 110 mm como valor de diseo. Cul ser la probabilidad de que
dicho valor sea igualado o excedido 2 veces durante un perodo
igual a 2 veces su periodo de retorno.
SOLUCION: a. Aplicando la ecuacin (3.29):
Los valores Yn y s n son funcin del nmero de datos, conforme al
cuadro que se muestra en el anexo 1; el valor de Y depende del
perodo de retorno Tr. Utilizando dicha tabla 1 para n = 15 datos se
obtiene:
Yn = 0.5128 s n = 1.0210 Anlogamente, y utilizando la misma
tabla se tiene: Tr = 15 aos Y = 2.674
Tr = 100 aos Y = 4.6 Aplicando nuevamente la ecuacin (3.29) para
los valores dados correspondientes a los perodos de retorno de 15 y
100 aos de perodo de retorno puede formarse el siguiente sistema de
ecuaciones:
xX s*0210.1
)5128.0674.2(52.97
-+=
-
-
21
xX s*0210.1
)5128.06.4(91.120
-+=
-
resolviendo, se obtiene:
s x = 12.40 mm -
X = 71.27 mm Conocidas la media y la desviacin tpica puede
aplicarse la ecuacin (3.29) para un perodo de retorno de 50 aos
para el cul Y = 3.9020, obtenido de la tabla del anexo 1:
40.12*0210.1
)5128.09020.3(27.71
-+=X
de donde:
P = X50 = 112.43 mm. b. Por definicin, la probabilidad de que un
valor dado sea excedido al menos una vez durante un perodo de vida
til n, corresponde al riesgo:
Riesgo = 1 P(o)
En donde el valor P(o) se obtiene aplicando la ecua cin (3.12)
con k = 0. Tambin:
rTxXP
1)( = (3.30)
luego:
02.05011
)( ===Tr
xXP
luego: 0300 )02.01(*)02.0(*
)!030!*(0!30
)0( ---
=P
P(0) = 0.545
Finalmente, el riesgo de que se presente una lluvia igual o
mayor de 112.43 mm, al menos una vez durante un perodo de 30 aos,
es:
R = 1 P(0) = 1 0.545 = 0.455 R = 0.455 c. En este caso,
aplicando la ecuacin (3.29) para la precipitacin de 110 mm:
40.12*0210.1
)5128.0(27.71110
-+=
Y
-
22
se obtiene: Y = 3.702 De acuerdo al cuadro del apndice 1 este
valor de Y correspondera a un perodo de retorno de Tr = 38.64 aos
39 aos; como el perodo de anlisis, o vida til, corresponde a dos
veces este perodo de retorno: n = 2 * 39 = 78. Luego, aplicando
(3.12) y teniendo en cuenta (3.30):
knk xXPxXPknk
nkP ---
= ))(1(*))((*)!!*(
!)(
2782 )391
1(*)391
(*)!278!*(2
!78)2( --
-=P
Finalmente, la probabilidad de que la precipitacin 110 mm ocurra
2 veces en un perodo de 78 aos es: P(2) = 0.274 PROBLEMA 3.5.2
En una cuenca dada los caudales mximos anuales tienen un
promedio de 421 m3/s y una desviacin tpica de 378 m3/s. Asumiendo
que dichos caudales se ajustan a una distribucin de probabilidades
Extrema Tipo I, cul es la probabilidad de que ocurra un caudal
entre 450 y 600 m3/s? SOLUCIN:
Aplicando la ecuacin (3.26) para la probabilidad de excedencia,
se tiene:
)(
1)(1)(ba ----=-=
xeexFxXP (3.31) Ecuacin en la cul a y b son los parmetros de la
distribucin e iguales a:
Sx281.1
=a SxX *45.0-=-
b
reemplazando los valores dados:
0034.0378281.1281.1
===Sx
a 9.250378*45.0421*45.0 =-=-=-
SxXb
-
23
reemplazando valores en la ecuacin (3.31) para x = 450 m3/s:
)9.250450(0034.0
1)450(----= eeXP
P(X 450) = 0.398 Anlogamente para x = 600 m3/s:
)9.250600(0034.0
1)600(----= eeXP
P(X 600) = 0.263 Finalmente:
P(450 X 600) = 0.398 0.263 = 0.135 PROBLEMA 3.5.3
En una cuenca dada existen 3 estaciones de precipitacin, P1, P2
y P3, que influencian en 30%, el 40% y el 30% del rea de la cuenca
respectivamente. Para la estacin P2 se tiene un registro de 20 aos
de profundidades mximas de precipitacin para 6 horas de duracin,
con un promedio de 85.25 mm y una desviacin tpica de 27.65 mm.
Asumiendo que los datos de la estacin 2 se ajustan a una
distribucin probabilstica Extrema Tipo I, se pide calcular la
precipitacin media de la cuenca para una lluvia de 6 horas de
duracin, y 25 aos de periodo de retorno, si se conoce que las
ecuaciones de correlacin entre las estaciones son:
P1 = 3.2 + 0.28 * P2
P3 = 2.5 + 0.021 * P22 SOLUCION:
La probabilidad de excedencia para la lluvia de 6 horas de
duracin y 25 aos de perodo de retorno en la estacin 2 ser:
04.02511
)( ===Tr
xXP
calculando los parmetros de la distribucin Extrema Tipo I:
-
24
0463.065.27
281.1281.1===
Sxa
81.7265.27*45.025.85*45.0 =-=-=-
SxXb sustituyendo en la ecuacin (3.31) se tiene:
)81.72(0463.0
104.0----=
xee de donde: X= P2 = 141.90 mm Considerando las ecuaciones de
correlacin se tendr para las estaciones P1 y P3: P1 = 3.2 + 0.28 *
141.9 = 42.93 mm P3 = 2.5 + 0.021 * 141.92 = 425.35 mm Luego, la
precipitacin media sobre la cuenca ser: Pm = P1 * 0.30 + P2 * 0.40
+ P3 * 0.30 Pm = 42.93 *0.30 + 141.9 * 0.40 + 425.35 * 0.30 Pm =
197.24 mm. PROBLEMA 3.5.4 La planta de tratamiento de agua para el
abastecimiento de una ciudad tiene una capacidad de 1.5 millones de
metros cbicos, mmc, por semana y debe satisfacer una demanda
aleatoria D, la cual puede considerarse que se ajusta a una
distribucin Gumbel, como una media de 1.5 mmc por semana y
desviacin tpica de 50.000 metros cbicos por semana. Estos valores
se calcularon con base a 20 semanas de mediciones. Para satisfacer
una eventual demanda adicional durante una semana, la municipalidad
ha previsto un tanque a fin de tener en almacenamiento una cierta
reserva de seguridad. Calcular cul debe ser la capacidad C del
tanque de seguridad si se desea que la probabilidad de no
satisfacer la demanda sea de 0.01. SOLUCION:
-
25
En este caso debe aplicarse la ecuacin (3.29) que es la
correspondiente a la distribucin Gumbel; para ello debe tenerse en
cuenta que: `X=1.5 mmc s x = 0.05 mmc utilizando la tabla N 1 del
anexo 1 y para n = 20, se tiene: Yn = 0.5236 s n = 1.063 De acuerdo
al problema la probabilidad de excedencia de la demanda debe ser de
0.01 lo cul corresponde a un perodo de retorno de:
aosxXP
Tr 10001.01
)(1
==
=
para el cul, y utilizando la tabla antes citada, se tendr: Y =
4.6 reemplazando valores en la ecuacin (3.29) se tendr:
05.0*063.1
)5236.06.4(5.1
-+=X
de donde: X= 1.692 mmc Luego la capacidad del tanque de
seguridad ser: C = 1.692 1.5 = 0.192 mmc PROBLEMA 3.5.5
El anlisis de una serie anual de crecientes desde 1900 a 1959
muestra que la creciente correspondiente a 100 aos de perodo de
retorno es de 3100 m3/seg y la de 10 aos, 1400 m3/seg. Si puede
considerarse que la serie de datos se ajusta a una distribucin
Gumbel calcular:
a. La media y la desviacin tpica de las crecientes anuales. b.
La probabilidad de tener el prximo ao una creciente mayor o igual a
2000 m3/seg c. La magnitud del evento de 40 aos de perodo de
retorno. d. La probabilidad de tener como mnimo una creciente de
100 aos en los prximos 8
aos. SOLUCIN:
-
26
a. Utilizando la tabla correspondiente del anexo 1 y para n =
60, se tiene:
Yn = 0.5521 s n = 1.1750 As mismo, para Tr = 100 aos, Y = 4.6;
luego reemplazando valores en la ecuacin (3.29), se tiene :
xX s*1750.1
)5521.06.4(3100
-+=
-
anlogamente, para Tr = 10 aos, Y = 2.25 se tiene:
xX s*1750.1
)5521.025.2(1400
-+=
-
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: s x = 850 `X=
171.73 b. Para determinar la P(X 2000), se debe calcular el valor
de Y para lo cual
reemplazando en la ecuacin (3.29):
850*1750.1
)5521.0(73.1712000
-+=
Y
despejando se tiene : Y = 3.079 De acuerdo al anexo 1, para Y =
3.079 se tiene Tr = 22.37 aos; luego:
0447.037.22
11)2000( ===
TrXP
c. Para calcular la creciente correspondiente para un periodo de
retorno de 40 aos
debe considerarse que para este Tr se tiene Y = 3.643.
Sustituyendo en la ecuacin (3.29):
X = 850*1750.1
)5521.0643.3(73.171
-+
de donde: X = 2407.70 m3/seg.
-
27
d. Para calcular el riesgo de que ocurra una creciente de 100
aos de perodo de retorno en un lapso de 8 aos debe considerarse
que:
01.0100
11)( ===
TrxXP
reemplazando valores en la ecuacin (3.12):
080 )01.01(*01.0*)!08!*(0
!8)0( --
-=P = 0.9227
de donde: R = 1 P(0) = 1 0.9227 = 0.0773 PROBLEMA 3.5.6
Para un rea turstica, por ejemplo Chichiriviche, se ha planteado
construir un campo de pozos para extraer agua para abastecimiento
urbano, con una capacidad de 25 litros por segundo, lps, en cada
pozo. El problema de este tipo de centro urbano es que en poca de
temporada alta ( carnaval, semana santa, etc), la demanda de agua
es bastante alta pudiendo considerarse que se ajusta a una
distribucin Extrema Tipo I. Para el resto del ao, la demanda puede
considerarse que se ajusta a una distribucin normal.
a. Calcular cuantos pozos deben construirse para satisfacer la
demanda de temporada normal, si la misma tiene una media de 25 lps
y una desviacin tpica de 0.25 lps. ( para una P(X x) = 0.8)
b. Para satisfacer la demanda de la temporada alta se ha
propuesto habilitar 16 pozos.
Calcular cul ser la probabilidad de que la demanda exceda la
disponibilidad de dichos pozos, si existe un 5 % de probabilidad de
que la demanda sea mayor de 389.25 lps y 1 % que supere a 593.02
lps.
SOLUCIN
Utilizando tablas estadsticas o mtodos aproximados de solucin se
obtiene, para un 80 % de probabilidad de excedencia:
Z = - 0.8416 remplazando en (3.15):
25.0
)25(8416.0
-=-
X
despejando: X= 24.79 lps, lo que equivale a 1 pozo.
-
28
b. En temporada alta la disponibilidad de agua, incluyendo el
pozo de temporada baja, ser de: 16 pozos * 25 lps / pozo = 400 lps.
Reemplazando valores en la ecuacin (3.31) para la probabilidad de
excedencia del 5 %:
P(X389.5) = 5% = )5.389(
105.0ba ----= ee
y para el 1 % se tendr:
P(X593.02) = 1% = )02.593(
101.0ba ----= ee
Resolviendo el sistema de ecuacio nes : b=18.67 310*009.8 -=a
Nuevamente reemplazando valores en (3.31):
)67.18400(310*009.8
1)400(-----= eeXP
de donde la probabilidad de que la demanda exceda los 400 l/s
es: P(X400) = 0.046
Lo cul significa que cada ao la probabilidad de falla del
sistema de abastecimiento en temporada alta es de 4.6 %. PROBLEMA
3.5.7
La reglamentacin legal de una llanura de inundacin prohbe la
construccin dentro de la zona de inundacin con perodo de retorno de
25 aos. Cul es el riesgo de que una estructura construida
exactamente en el borde de esta llanura se inunde durante los
prximos 10 aos? Cunto se reducira este riesgo si la construccin
estuviera limitada al borde de la inundacin causada por la
creciente de 100 aos?. SOLUCIN
Aplicando la ecuacin (3.12) con x = 0 y n = 10 y teniendo en
cuenta (3.30) se tiene:
04.02511
)( ===Tr
xXP
0100 )04.01(*04.0*)!010!*(0
!10)0( --
-=P = 0.6648
El riesgo de que la llanura se inunde durante los prximos 10 aos
ser entonces:
-
29
R = 1 P(0) = 1 0.6648 = 0.3352
De la misma forma para un perodo de retorno de 100 aos:
01.0100
11)( ===
TrxXP
0100 )01.01(*01.0*
)!010!*(0!10
)0( ---
=P = 0.9044
y el riesgo para este perodo de retorno ser:
R = 1 P(0) = 1 0.9044 = 0.096 Luego, el riesgo se reducira en
0.3352 0.096 = 0.2392 = 23.92 % si la construccin se limitase al
borde del rea inundada por la creciente de 100 aos de perodo de
retorno. PROBLEMA 3.5.8
Se tiene una cuenca de 20.000 hectreas de superficie. Durante el
mes de agosto, el promedio de lluvia mensual es de 242.9 milmetros
y la desviacin tpica, 79.7 milmetros. Puede considerarse que el 8 %
de esta lmina puede ser aprovechada almacenndola en una presa.
Asumiendo que estas lluvias se ajustan a una distribucin normal, se
pide calcular:
a. Cul sera la capacidad de la presa, en millones de m3, si se
desea que el 80 % de las veces se llene.
b. La capacidad de la presa, en millones de m3, si se desea
captar el 8% de las lminas de lluvia que caen en el rango de 60% y
el 75% de probabilidad de excedencia.
SOLUCIN: a. En este caso se sabe que para el mes de agosto: ` X
= 242.9 mm Sx = 79.7 mm. La condicin de diseo establece que el 80 %
de las veces se llene o, lo que es lo mismo:
P(X x) = 0.80
Para esta probabilidad, y en distribucin normal, la variable
tipificada es: z = -0.84162; o lo que es lo mismo:
-
30
SxXX
z)(
--
= : 7.79
)9.242(8416.0
-=-
X
de donde: X = 175.82 mm. La lmina aprovechable ser entonces: =
175.82 mm *0.08 =14.07 mm Y la capacidad de la presa: = 14.07 *
10-3 m * 20* 103 *104 m2 = 2.814 * 106 m3 b. Anlogamente, puede
calcularse. P(X x) Valor z Valor de X (mm) 0.75 -0.67449 189.14
0.60 -0.25335 222.708
Considerando estas lminas como los lmites inferior y superior
del intervalo, el promedio de ambos ser de 205.924 mm y la lmina
aprovechable: 205.924 mm * 0.08 = 16.47 mm y el volumen V = 16.47 *
10-3 m * 2 * 108 m2 = 3.294 * 106 m3 PROBLEMA 3.5.9
Para un registro de 20 aos de profundidad mximas de precipitacin
para 06 horas de duracin se ha obtenido un promedio de 85.25 mm y
una desviacin tpica de 27.65 mm. Asumiendo que los datos se ajustan
a una distribucin normal. Se pide:
a. Calcular el valor de la precipitacin de diseo si se desea que
la probabilidad de
que dicha precipitacin ocurra en dos aos consecutivos sea de
0.0004 ( 0.04 %). Asumir que los eventos de precipitacin mxima
anual son independientes.
b. Determinar el riesgo de la precipitacin de diseo calculada en
el punto anterior para 25 aos de vida til.
c. Calcular el valor de la precipitacin de diseo si se desea que
el riesgo calculado en el punto anterior se reduzca a la mitad.
SOLUCIN a. Asumiendo independencia de los eventos de
precipitacin, se tiene para la ocurrencia en dos aos consecutivos:
P(Xx) * P(Xx) = 0.0004 de donde:
-
31
P(Xx) = 0.02
Para esta probabilidad de excedencia el valor de la variable
tipificada ser z = 2.0537 y reemplazando en la ecuacin (3.15), se
tiene:
65.27)25.85(
0537.2-
=X
y: X = 142.03 mm
b. Aplicando la ecuacin (3.12), la probabilidad de no ocurrencia
de la precipitacin de diseo en un perodo de 25 aos ser:
0250 )02.01(*02.0*
)!025!*(0!25
)0( ---
=P = 0.6035
y el riesgo: R = 1 P(0) = 1 0.6035 = 0.3965
c. Si ahora el riesgo se reduce a la mitad se tendr:
R = 0.19825 = 1 P(0) de donde: P(0) = 1 0.19825 = 0.80175
reemplazando en (3.12):
0250 )(1(*)(*)!025!*(0
!25)0( ---
= xXPxXPP
despejando: P(X x) = 0.0088 para esta probab ilidad de
excedencia la variable tipificada ser: Z = 2.3739 y reemplazando en
(3.15):
65.27
)25.85(3739.2
-=
X despejando: X= 150.89 mm
PROBLEMA 3.5.10
Los datos siguientes corresponden a caudales mximos anuales
registrados en el Ro Paguey, para el perodo 1948 1972 ( m3/s):
975.5 640.0 845.0 800.0 1190.0 1030.0 1450.0 940.0 1330.0 1534.0
1856.0 1882.0 1460.0 950.0 1136.0 644.0 995.0 658.0 1870.0 820.0
690.0 1240.0 1605.0 1745.0 990.0
-
32
a. Realizar la prueba de ajuste a distribucin extrema tipo I,
considerando un delta mximo de 0.27
b. Calcular el caudal correspondiente a una perodo de retorno de
250 aos. SOLUCIN: Para efectuar la prueba de ajuste se ordenan los
datos de forma descendente y se calcula, para cada valor, su
probabilidad emprica de acuerdo a la ecuacin de Weibull, (Cuadro
3.1). Para calcular la probabilidad terica, en este caso
Distribucin Extrema Tipo I, se calculan:
`X = 1171.02 m3/s Sx = 405.76 m3/s a = 3.157*10-3 b = 988.43 con
esta informacin puede elaborarse el cuadro siguiente:
N Datos ordenados Probabilidad emprica P(Xx) delta
de mayor a menor n / (m+1) D. Extrema tipo I
1 1882 0.0385 0.0578 0.0193
2 1870 0.0769 0.05997 0.017
3 1856 0.1154 0.0626 0.0528 4 1745 0.1538 0.0877 0.0661 5 1605
0.1923 0.133 0.0593 6 1534 0.2308 0.1636 0.0672 7 1460 0.2692 0.202
0.0672 8 1450 0.3077 0.2078 0.0999 9 1330 0.3462 0.2883 0.0579 10
1240 0.3846 0.3636 0.021 11 1190 0.4231 0.4109 0.0122 12 1136
0.4615 0.4661 0.0046 13 1030 0.5 0.584 0.084 14 995 0.5385 0.6245
0.086 15 990 0.5769 0.6303 0.0534 16 975.5 0.6154 0.6471 0.0317 17
950 0.6538 0.6766 0.0228 18 940 0.6923 0.6881 0.0042 19 845 0.7308
0.7925 0.0617 20 820 0.7692 0.8177 0.0485 21 800 0.8077 0.8368
0.0291 22 690 0.8462 0.9231 0.0769 23 658 0.8846 0.9415 0.0569 24
644 0.9231 0.9485 0.0254 25 640 0.9615 0.9504 0.0111
-
33
Como puede observarse, el mximo valor calculado de delta es
igual 0.0999 el cul
es menor que el delta mximo permitido, 0.27. Por lo tanto, puede
concluirse que los datos se ajustan a una distribucin Extrema Tipo
I. b. La probabilidad de excedencia para un perodo de retorno de
250 aos ser:
004.025011
)( ===Tr
xXP
sustituyendo en la ecuacin (3.31) se tiene:
)43.988(*310*157.3
1004.0-----=
xee de donde: X= 2736.75 m3/s
-
34
CAPITULO IV 4.0 Hidrograma de escorrenta 4.1 Coeficiente de
escorrenta
La escorrenta es consecuencia directa de la precipitacin,
estando ambas variables estrechamente relacionadas. Sin embargo, en
esta relacin deben considerarse las caractersticas de la cuenca ya
que , por ejemplo, dos tormentas con caractersticas iguales sobre
una misma hoya pueden producir escorrentas diferentes, dependiendo
de sus condiciones iniciales al momento de producirse el evento.
Esquemticamente, esta relacin puede apreciarse en la figura
4.1.
Figura 4.1 Relacin lluvia - escorrenta
Un parmetro que cuantifica esta re lacin es el denominado
coeficiente de escorrenta, definido por la ecuacin:
En la cul:
Ce: coeficiente de escorrenta. Ve: volumen de escorrenta Vp:
volumen de precipitacin
las magnitudes de la variable independiente de la ecuacin (4.1)
pueden expresarse tambin en trminos de lmina; en ambos casos el
valor de Ce ser menor que la unidad. 4.2 Hidrograma de crecidas
El hidrograma de una corriente es la representacin grafica o
tabular del caudal como una funcin del tiempo y en una seccin
especifica del cauce. El hidrograma es una
VpVeCe = (4.1)
-
35
expresin integral de las caractersticas fisiogrficas y climticas
que gobiernan la relacin lluvia-escorrenta de una cuenca en
particular. En la figura 4.2 se observa la forma tpica del
hidrograma.
Figura 4.2 Hidrograma de escorrenta
Como puede observarse, el hidrograma presenta un primer segmento
ascendente, denominado curva de concentracin, cuyas caractersticas
dependen de la duracin, intensidad y distribucin en el tiempo y en
el espacio de la tormenta. Tambin la condicionan la forma y tamao
de la cuenca receptora, as como las condiciones iniciales de
humedad del suelo y la cobertura vegetal. La denominada cresta del
hidrograma corresponde al valor mximo de caudal; usualmente se le
denomina el caudal pico. El sector denominado curva de descenso se
debe a la disminucin gradual de la escorrenta directa y depende de
las caractersticas de la red de drenaje. Finalmente, se ubica el
segmento final, denominado curva de agotamiento, la cul disminuye
lenta y progresivamente, representando los aportes al flujo de la
escorrenta subterrnea. Usualmente, la curva de agotamiento se
define por la expresin:
Qt = Qo * e-at (4.2) donde:
Qt: caudal en el instante t Qo: caudal en el tiempo to, al
inicio del agotamiento e: base del logaritmo neperiano. a:
coeficiente de agotamiento expresado en unidades de tiempo. t:
tiempo El valor de a depende de la morfologa de la cuenca receptora
y de su naturaleza
geolgica.
-
36
4.3 Separacin del caudal base El caudal que circula por un cauce
puede tener dos componentes: uno proveniente de la precipitacin
efectiva del evento o escorrenta directa, Qd y otro originado por
flujos susbsuperficiales generados por eventos anteriores o caudal
base, Qb. A la suma de ambos se le denomina caudal total, Qt. Si se
desea analizar la respuesta de la cuenca a la ocurrencia de una
precipitacin especfica deben eliminarse los aportes al hidrograma
provenientes de eventos anteriores; a este proceso se le denomina
separacin del caudal base del hidrograma, tal como se ilustra en la
figura 4.3
Figura 4.3 Separacin del caudal base del hidrograma Para ello
existen diferentes procedimientos, siendo uno de los ms usuales
quel que consiste en trazar una lnea recta desde el comienzo del
hidrograma hasta un tiempo N, en das, despus de la ocurrencia del
pico. Una relacin que permite estimar el valor de N est dada
por:
en la cul: N: tiempo en das.
A: rea de la cuenca, Km2
Otro procedimiento consiste en proyectar hacia atrs la lnea de
recesin del agua subterrnea hasta un punto bajo el punto de
inflexin del limbo descendente; luego se traza un segmento
arbitrario ascendente desde el punto de ascenso del hidrograma
hasta intersectarse con la recesin antes proyectada, tal como se
ilustra en la figura 4.4.
Este tipo de separacin puede presentar algunas ventajas cuando
el aporte de agua
subterrnea es relativamente grande y llega a la corriente con
rapidez como sucede en terrenos con calizas.
AON 2.0*827.= (4.3)
-
37
Figura 4.4 Mtodo de las tangentes para la separacin de Qb 4.4
Hidrograma unitario El hidrograma unitario se define como aqul cuyo
volumen de escurrimiento directo representa para el rea de la
cuenca una altura de agua o lamina escurrida, de una unidad,
usualmente esta lmina unidad se expresa en milmetros. Para un
evento cualquiera, la lmina de escorrenta directa, Le, ser igual
a:
A
VeLe = (4.4)
dnde Ve es el volumen escurrido, A es el rea es el de la cuenca
y Le es la lmina escurrida
Para cada ordenada del hidrograma unitario se tendr:
Leq
qu = (4.5)
expresin en la cul:
qu: ordenada del hidrograma unitario. q: ordedenada del
hidrograma de escorrenta directa. Le lmina de escorrenta
directa.
A la lmina de escorrenta directa tambin se le denomina lluvia
efectiva o exceso
de precipitacin. Un aspecto importante de este exceso de
precipitacin es el intervalo de tiempo en el cul se produce.
-
38
En otras palabras, el escurrimiento directo es generado durante
un intervalo de tiempo que no necesariamente es igual a la duracin
total del evento de lluvia, siendo usualmente menor. A dicha
duracin se le denomina duracin efectiva de la lluvia y su
determinacin se efecta relacionando el histograma de precipitacin y
el hidrograma de escorrenta directa, tal como se ilustra en la
figura 4.5
Figura 4.5 Determinacin de la duracin efectiva de la lluvia El
procedimiento se basa en la asuncin que la capacidad de infiltracin
del suelo, o ndice f, permanece constante a lo largo del evento, lo
cul puede ser representado por una lnea horizontal en el hietograma
de precipitacin, tal como se aprecia en la figura. Luego, la
sumatoria de los valores de precipitacin por encima de esta lnea de
f, debe coincidir con el valor obtenido aplicando la ecuacin (4.4);
si ello no sucede, debe asumirse un nuevo valor de infiltracin y
repetir el clculo. Finalmente, cuando se haya establecido, por
tanteo, el valor de f, el nmero de intervalos que queden por encima
de esta lnea definir la duracin efectiva de la lluvia. Todo
hidrograma unitario , HU, debe estar asociado a una duracin
efectiva.
-
39
4.5 Clculo de HU para diferentes duraciones efectivas Si se
tiene un hidrograma unitario correspondiente a una duracin efectiva
igual a t horas y se le suma el mismo hidrograma, desplazado un
intervalo t, el hidrograma resultante representa el de 2 unidades
de escorrenta para 2t horas. Si las ordenadas de dicho diagrama se
dividen por 2, el resultado es un hidrograma unitario para una
duracin de 2t horas. El procedimiento se ilustra en la figura
4.6
Figura 4.6 Clculo del HU de 2t horas a partir del HU de t horas
Sin embargo, el procedimiento descrito slo sera aplicable para
determinar hidrogramas unitarios de duracin efectiva mltiplo del
inicial. Para obtener el HU de una duracin cualquiera se utiliza el
denominado mtodo de la curva S, definindose como tal al hidrograma
resultante del desplazamiento, un nmero infinito de veces, del HU
original, tal como se ilustra en la figura 4.7. La magnitud de cada
desplazamiento ser t horas respecto al anterior. En la prctica, no
es necesario realizar un nmero infinito de desplazamientos; bastar
efectuar los necesarios para alcanzar la zona de estabilizacin de
la curva. El nmero de desplazamientos que usualmente permite
cumplir esta condicin est dada por la relacin:
DuTb
Nd = (4.6)
dnde: Tb: tiempo base del HU original Du: duracin efectiva del
HU original
-
40
Figura 4.7 Mtodo de la curva S
En algunos casos la curva S puede presentar oscilaciones que
sern necesarias corregir. Para ello se traza una lnea recta,
siguiendo el criterio de mejor ajuste, en el segmento superior de
la curva, tal como se aprecia en la figura; luego se procede a
sustituir los valores de la curva original por las nuevas lecturas
que se harn en la recta ajustada. A la nueva curva S as obtenida se
le denomina curva S corregida.
El HU para cualquier duracin efectiva puede ahora obtenerse
desplazando la curva
S corregida un intervalo igual a la duracin del hidrograma
deseado, obtenindose lo que se denomina curva S desplazada; luego
dicha curva desplazada se resta de la corregida. Finalmente, para
obtener el HU buscado cada uno de los valores de esta diferencia se
multiplica por el factor:
t
DuFactor = (4.7)
dnde: Du: duracin del HU con el cul se construy la curva S t:
duracin efectiva del HU deseado
-
41
4.6 Problemas relativos a Hidrogramas PROBLEMA 4.6.1
Una tormenta de 6 horas de duracin total ocurre en una cuenca de
150 Km2 de superficie, con un hietograma de 42, 18 y 26 mm,
respectivamente, cada 2 horas. Estimar el caudal pico, en m3/s, del
hidrograma generado. Asumir un ndice f igual a 10 mm/h.
Adicionalmente se dispone de la informacin de una creciente
producida por una lluvia de 2 horas de duracin efectiva y cuyo
hidrograma de escorrenta total fue: T(h) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
20 22 Q(m3/s) 20 20 110 200 270 220 180 120 70 45 20 20 SOLUCIN
En primer lugar, se determina el hietograma de precipitacin
efectiva para un intervalo de trabajo de 2 horas:
Pe0-2 = P0-2 - f = 42 mm 10 mm/h * 2h = 22 mm Pe2-4 = P2-4 - f =
18 mm 10 mm/h * 2h = 0 Pe4-6 = P4-6 - f = 26 mm 10 mm/h * 2h = 6
mm
El siguiente paso es calcular el hidrograma unitario de 2 horas
lo cul puede hacerse a
partir de la informacin de la creciente y siguiendo la secuencia
que a continuacin se describe:
1. Se determinan los caudales de escorrenta directa. Para ello,
a cada valor de la escorrenta total se le resta el caudal base;
como puede observarse, en este caso dicho caudal base puede tomarse
como un valor constante e igual a 20 m3 /s.
2. El volumen de escorrenta directa puede calcularse sumando las
ordenadas del hidrograma de escorrenta directa, en m3/s, y
multiplicndolo por el intervalo de tiempo del hidrograma, en
segundos: 2 * 3600 seg 3. Este volumen escurrido se divide entre el
rea de la cuenca para obtener la lmina de escorrenta directa del
evento:
.0506.010*150
3600*2*/31055*6 mts
smArea
tQdLe ===
-
42
4. El Hidrograma Unitario, HU, de la cuenca se determina
dividiendo cada uno de los valores de caudal de escorrenta directa
entre Le. Los clculos detallados se presentan en el cuadro
siguiente:
T(h) Qt(m3/s) Qb(m3/s) Qd(m3/s) HU(m3/s)mm
2 horas
0 20 20 0 0
2 20 20 0 0
4 110 20 90 1.78 6 200 20 180 3.55 8 270 20 250 4.94
10 220 20 200 3.95 12 180 20 160 3.16 14 120 20 100 1.97 16 70
20 50 0.99 18 45 20 25 0.49 20 20 20 0 0 22 20 20 0 0
Multiplicando ahora el HU por cada una de las lminas de
escorrenta directa, teniendo en cuenta los respectivos
desplazamientos, y sumando se obtiene el hidrograma de escorrenta
directa resultante, tal como se aprecia en el cuadro adjunto:
T(h) HU(m3/s)mm Qd=Hu*22 Qd =HU*6 Qdt(m3/s)
2 horas
0 0 0 0
2 0 0 0
4 1.78 39.16 0 39.16 6 3.55 78.1 0 78.1 8 4.94 108.68 10.68
119.36 10 3.95 86.9 21.3 108.2 12 3.16 69.52 29.64 99.16 14 1.97
43.34 23.7 67.04 16 0.99 21.78 18.96 40.74 18 0.49 10.78 11.82 22.6
20 0 0 5.94 5.94 22 0 0 2.94 2.94
Como puede observarse, el caudal pico generado es de 119.36
m3/s.
PROBLEMA 4.6.2
-
43
Es una cuenca de 0.5 Km2 determine el ndice f , la infiltracin
acumulada, la
precipitacin efectiva acumulada y el hidrograma unitario de los
siguientes datos de lluvia-escorrenta. T(h) 0 1 2 3 4 5 6 P(mm) 0
27 33 20 19 18 15 Qd(m3/s) 0 0.8 1.6 1.3 0.8 0.4 SOLUCIN:
La lmina de escorrenta directa ser:
mArea
tQdLe 03528.0
10*5.03600*9.4*
6 ===
Le = 35.28 mm
En cada intervalo de tiempo una parte de la precipitacin se
infiltra y otra queda en
la superficie como lmina de escorrenta directa; el valor de la
infiltracin puede asumirse constante e igual al denominado ndice
f.
Para determinar el valor de f puede seguirse el procedimiento
que se ilustra en el
grfico adjunto y que se explica a continuacin. En primer lugar,
se asume un valor inicial de f; por ejemplo, 1 mm; eso implica que
las lminas de escorrenta directa en cada intervalo sern:
Le = (27-1) + (33-1) + (20-1) + (19-1) + (18-1) +(15-1) = 126
mm
-
44
Este valor de Le supera largamente al valor de 35.28 mm por lo
que deber asumirse un valor mayor de f ; este procedimiento de
tanteo debe seguirse hasta obtener una sumatoria de lminas de
escorrenta directa igual a 35.28 mm. En este caso, ello se produce
para un valor de f igual a 16.344 mm.
Luego la infiltracin acumulada ser:
Infiltracin acumulada = 16.344 mm*5 + 15mm = 96.72 mm Y la
precipitacin efectiva acumulada: Precipitacin efectiva acumulada =
Precipitacin acumulada infiltracin acumulada Precipitacin efectiva
acumulada = 132 mm 96.72 mm = 35.28 mm
Para calcular las ordenadas del hidrograma unitario, se dividen
las ordenadas del hidrograma de escorrenta directa entre la lamina
de escorrenta directa. La duracin de este HU ser de 5 horas ya que
esa es la duracin efectiva del evento o, dicho en otras palabras,
el nmero de horas durante los cules se produce escorrenta
directa.
T(h) Qd(m3/s) HU(m3/s)/mm
0 0 0 1 0.8 0.023 2 1.6 0.045 3 1.3 0.037 4 0.8 0.023 5 0.4
0.011
PROBLEMA 4.6.3 La precipitacin efectiva y la escorrenta directa
registrada para una tormenta son las siguientes: T(h) 1 2 3 4 5 6 7
8 9 Pe(mm) 1 2 1 Qd(m3/s) 10 120 400 560 425 300 265 170 50
Calcular el hidrograma unitario de 1 hora, sin utilizar el mtodo de
la curva S. SOLUCIN
Designando por X1, X2, ... X7 a los valores del hidrograma
unitario buscado. Si este HU se multiplicase por cada una de las
precipitaciones efectivas, considerando los respectivos
desplazamientos, el resultado sera el hidrograma de escorrenta
directa que es
-
45
proporcionado como dato del problema. Este procedimiento
permitira formar el sistema de ecuaciones que se muestra en el
cuadro siguiente:
T(h) Qd(m3/s) HU*Pe0-1 HU*Pe1-2 HU*Pe2 -3
1 10 X1*1 2 120 X2*1 X1*2 3 400 X3*1 X2*2 X1*1 4 560 X4*1 X3*2
X2*1 5 425 X5*1 X4*2 X3*1 6 300 X6*1 X5*2 X4*1 7 265 X7*1 X6*2 X5*1
8 170 X7*2 X6*1 9 50 X7*1
Resolviendo el sistema se tiene:
X1 = 10 1001
2*101202 =
-=X
1901
1*102*1004003 =
--=X 80
11*1002*190560
4 =--
=X
751
1*1902*804255 =
--=X 70
11*802*75300
6 =--
=X
501
1*752*702657 =
--=X
luego, el HU buscado ser:
T(h) HU(m3/s)/mm 1 hora 1 10 2 100 3 190 4 80 5 75 6 70 7 50
Sin embargo, es conveniente acotar que este procedimiento no
siempre conduce a soluciones directas, debiendo realizarse procesos
de correccin y ajuste.
-
46
PROBLEMA 4.6.4 Sobre una cuenca dada ocurre el siguiente evento
de precipitacin:
Tiempo (h) Precipitacin Acumulada(mm) ndice F (mm/h) 1 5 2.5 2
11 2 3 19 1.5
Dicho evento genera el siguiente hidrograma de escorrenta
directa: T(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Qd(m3/s) 4.5 84.45 349.3 647.75
898.86 638.37 598.18 231.52 11.7
Con base a ello, se pide calcular el hidrograma unitario de la
cuenca para una hora
de duracin. As mismo, determinar el rea de la cuenca:
SOLUCIN
1. Calculo de la precipitacin efectiva. Para el calculo de la
precipitacin efectiva es necesario, determinar la precipitacin
parcial y restarle la infiltracin o ndice F.
Tiempo(h) Precipitacin parcial (mm) 1 5 2 6 3 8
Pe1 = 5 mm - 2.5 mm/h * 1 h = 2.5 mm Pe2 = 6 mm - 2.0 mm/h * 1 h
= 4 mm Pe3 = 8 mm 1.5 mm/h * 1 h = 6.5 mm
2. Calculo del Hidrograma Unitario de 1 hora de duracin.
Se hace un sistema de ecuaciones donde las incgnitas son las
ordenadas del Hidrodrama Unitario.
-
47
T(h) Qd(m3/s) HU*Pe0-1 HU*Pe1-2 HU*Pe2-3 1 4.5 X1*2.5
2 84.45 X2*2.5 X1*4
3 349.3 X3*2.5 X2*4 X1*6.5
4 647.75 X4*2.5 X3*4 X2*6.5 5 820.4 X5*2.5 X4*4 X3*6.5 6 512.86
X6*2.5 X5*4 X4*6.5 7 394.22 X7*2.5 X6*4 X5*6.5 8 231.52 X7*4 X6*6.5
9 11.7 X7*6.5
X1 = 5.25.4
=1.8
9.305.2
4*8.145.842 =
-=X
6.855.2
5.6*8.14*9.303.3493 =
--=X
8.415.2
5.6*9.304*6.8575.6474 =
--=X
72.385.2
5.6*6.854*8.414.8205 =
--=X
51.345.2
5.6*8.414*72.3886.5126 =
--=X
8.15.2
5.6*72.384*51.3422.3947 =
--=X
T(h) HU(m3/s)/mm
1 hora
1 1.8
2 30.9
3 85.6 4 41.8 5 38.72 6 34.51 7 1.8
Para determinar el rea de la cuenca se suman las ordenadas del
hidrograma unitario, se multiplica por el tiempo y los milmetros se
llevan a metros, de la siguiente forma:
-
48
263
10*468.846/001.0
3600*/)/(( mmmm
smmsmHUA =S=
A= 846.468 km2 PROBLEMA 4.6.5 Tres subcuencas A, B y C confluyen
en un punto comn a la salida de ellas. Sobre las mismas ocurren los
siguientes hietogramas de precipitacin media efectiva, en
milmetros.
El hidrograma de escorrenta directa resultante del evento, en el
punto de confluencia, es el siguiente: T(h) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 Qd(m3/s) 9 159.2 444.2 487.1 872.2 898.1 1510
718.3 249.8 88 28.8 Tiempo despus se produce una tormenta de seis
horas de duracin en la subcuenca A, en el cul existen tres
estaciones de precipitacin P1, P2, y P3, con porcentajes de
influencia de 30%, 40% y 30%, del rea de la subcuenca, el cual es
de 85 Km2. Los valores del ndice f, expresados en mm/h, pueden
considerarse variables de acuerdo a los tipos de suelos, tal como
se muestra en el cuadro adjunto. Los hietogramas de precipitacin en
las estaciones tambin se presentan en el cuadro adjunto de la
derecha. Calcular el hidrograma de escorrenta directa resultante de
este evento, asumiendo que el hidrograma unitario de 1 hora es el
mismo para las tres subcuencas. Valor de f mm/h Hietograma (mm)
Area(Km2) h02 h04 h06 h02 h04 h06 10 5 4 3 P1 18 12 14 30 4 3
2.5 P2 16 12 9 45 5 4.5 3.5 P3 13 10 8
Tiempo(h) A B C 1 10
2 12 6 3 15 8 9
-
49
SOLUCIN. 1. Calculo del HU de 1 hora, por el mtodo de
deconvolucin: Se realiza un sistema de ecuaciones teniendo como
incgnita el hidrograma unitario, como dicho hidrograma es el mismo
para las tres subcuencas, se procede de la siguiente manera:
SUBCUENCA A SUBCUENCA B SUBCUENCA C
T(h) Qd=HU*10 Qd=HU*15 Qd=HU*12 Qd=HU*8 Qd=HU*6 Qd=HU*9
QdR(m3/s)
0 X1*10 0
0.5 X2*10 9 1 X3*10 X1*12 X1*6 159.2
1.5 X4*10 X2*12 X2*6 444.2 2 X5*10 X1*15 X3*12 X1*8 X3*6 X1*9
487.1
2.5 X6*10 X2*15 X4*12 X2*8 X4*6 X2*9 872.2 3 X7*10 X3*15 X5*12
X3*8 X5*6 X3*9 898.1
3.5 X8*10 X4*15 X6*12 X4*8 X6*6 X4*9 1510 4 X5*15 X7*12 X5*8
X7*6 X5*9 718.3
4.5 X6*15 X8*12 X6*8 X8*6 X6*9 249.8 5 X7*15 X7*8 X7*9 88
5.5 X8*15 X8*8 X8*9 28.8
01 =X
9.0109
2 ==X
92.1510
6*112*12.1593 =
--=
XXX
8.4210
6*212*22.4444 =
--=
XXX
054.2010
9*16*38*112*315*11.4875 =
-----=
XXXXXX
3.710
9*26*48*212*415*22.8726 =
-----=
XXXXXX
769.210
9*36*58*312*515*31.8987 =
-----=
XXXXXX
9.010
9*46*68*412*615*415108 =
-----=
XXXXXX
-
50
T(h) HU(m3/s)/mm 1 hora 0 0
0.5 0.9 1 15.92
1.5 42.8 2 20.054
2.5 7.3 3 2.769
3.5 0.9 Como la precipitacin en el hietograma de precipitacin
esta cada 2 horas se debe determinar el Hu de 2 horas de
duracin:
T(h) HU(m3/s)/mm HU(m3/s)/mm HU(m3/s)/mm 1 horas 1 hora 2 horas
0 0 0 0
0.5 0.9 0.9 0.45 1 15.92 0 15.92 7.96
1.5 42.8 0.9 43.7 21.85 2 20.054 15.92 35.974 17.99
2.5 7.3 42.8 50.1 25.05 3 2.769 20.054 22.823 11.41
3.5 0.9 7.3 8.2 4.1 4 2.769 2.769 1.38
4.5 0.9 0.9 0.45 2. Calculo de la precipitacin efectiva: 2.1
Calculo de la precipitacin media en cada intervalo: P0-2 = 18 * 0.3
+ 16 * 0.4 + 13 * 0.3 = 15.7 mm P2-4 = 12 * 0.3 +12 * 0.4 + 10 *
0.3 = 11.40 mm P4-6 = 14 * 0.3 + 9 * 0.4 + 8 * 0.3 = 10.2 mm 2.2.
Calculo del f promedio:
hmm /65.485
45*530*410*520 =
++=-f
hmm /91.385
455.430*310*442 =
+++=-f
hmm /09.385
45*5.330*5.210*364 =
++=-f
-
51
2.3 Precipitacin efectiva: Pe0-2 = 15.7 mm 4.65 mm/h * 2h = 6.4
mm Pe2-4 = 11.4 mm 3.91 mm/h * 2h = 3.58 mm Pe4-6 = 10.2 mm 3.09
mm/h * 2h = 4.02 mm Para calcular el hidrograma de escorrenta
directa, se multiplica el hidrograma unitario de 2 horas por la
precipitacin efectiva de 2 horas de la forma siguiente:
T(h) HU(m3/s)/mm Qd=HU*6.4 Qd=HU*3.58 Qd=HU*4.02 QdR(m3/s) 2
horas 0 0 0 0
0.5 0.45 2.88 2.88 1 7.96 50.94 50.94
1.5 21.85 139.84 139.84 2 17.99 115.14 0 115.14
2.5 25.05 160.32 1.61 161.93 3 11.41 73.02 28.5 101.52
3.5 4.1 26.24 78.22 104.46 4 1.38 8.83 64.4 0 73.24
4.5 0.45 2.88 89.68 1.81 94.37 5 40.85 32 72.85
5.5 14.68 87.84 102.52 6 4.94 72.32 77.26
6.5 1.61 100.7 102.31 7 0 45.87 45.87
7.5 16.48 16.48 8 5.55 5.55
8.5 1.81 1.81 PROBLEMA 4.6.6 Se tiene dos cuencas, A y B, que
confluyen en un punto comn a la salida de ambas y en las cuales
simultneamente ocurre un evento de precipitacin, con los siguientes
hietogramas:
Intervalo (hrs) Precipitacin
cuenca A (mm) Precipitacin
cuenca B (mm) 0 - 1.0 31 13 1.0 - 2.0 21 2.0 - 3.0 22
-
52
El hidrograma unitario de hora para ambas cuencas es el
siguiente: t(h) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 HU(m3
/s/mm) 0 0.47 2.12 2.60 2.24 1.65 1.06 0.59 0.30 0.12 0 En la
cuenca A el ndice f inicial es de 8 mm/h y se reduce en 10% en cada
intervalo; en la cuenca B puede considerarse constante e igual a 6
mm/hora. Calcular el hidrograma de escorrenta directa resultante en
la confluencia de ambas cuencas. SOLUCIN Clculo de la precipitacin
efectiva en cada subcuenca: Los valores del ndice f y de la
precipitacin efectiva en la subcuenca A, en cada intervalo sern:
Intervalo Indice f (mm/h) Precipitacin efectiva (mm) 0 - 1 8 31 8 =
23 1 2 8 0.10*8 = 7.2 0 2 3 7.2 0.10*7.2 = 6.48 22 6.48 = 15.52
Anlogamente, para la subcuenca B se tendr: Intervalo Indice f
(mm/h) Precipitacin efectiva (mm) 0 - 1 6 13 6 = 7 1 2 6 21 6 = 15
Los hietogramas de precipitacin para cada subcuenca estn en
intervalos de 01 hora mientras que el hidrograma unitario
proporcionado como dato corresponde a 0.5 horas de duracin. Ello
hace aconsejable determinar el HU de 01 horas.
Para ello, se desplaza el HU de hora, una vez y un intervalo
respecto a s mismo, determinndose luego la sumatoria del hidrograma
original y el desplazado. El resultado ser un hidrograma de 1 hora
de duracin y 2 mm de precipitacin efectiva; dividiendo este nuevo
hidrograma entre dos se obtendr el HU correspondiente a 01 horas de
duracin. El procedimiento descrito se resume en el cuadro
adjunto:
-
53
T(h) HU(m3/s)/mm HU(m3/s)/mm) HU(m3/s)/mm)
1/2 hora 1/2 hora 1 hora
0 0 0 0 0.5 0.47 0 0.47 0.24 1 2.12 0.47 2.59 1.3
1.5 2.6 2.12 4.72 2.36 2 2.24 2.6 4.84 2.42
2.5 1.65 2.24 3.89 1.95 3 1.06 1.65 2.71 1.36
3.5 0.59 1.06 1.65 0.83 4 0.3 0.59 0.89 0.45
4.5 0.12 0.3 0.42 0.21 5 0 0.12 0.12 0.06
5.5 0 0 0
Para calcular el hidrograma de escorrenta directa resultante en
la confluencia de ambas cuencas, se procede de la forma siguiente:
SUBCUENCA A SUBCUENCA B
T(h) HU(m3/s)/mm) Qd= HU*23 Qd= HU*15.52 Qd=HU*7 Qd=HU*15
QdR(m3/S)
1 hora 0 0 0 0 0
0.5 0.24 5.52 1.68 7.20 1 1.3 29.9 9.10 0 39.00
1.5 2.36 54.28 16.52 3.60 74.4 2 2.42 55.66 0 16.94 19.50
92.04
2.5 1.95 44.85 3.72 13.65 35.4 97.62 3 1.36 31.28 20.18 9.52
36.3 97.28
3.5 0.83 19.09 36.63 5.81 29.25 90.67 4 0.45 10.35 37.56 3.15
20.40 71.46
4.5 0.21 4.83 30.26 1.47 12.45 49.01 5 0.06 1.38 21.11 0.42 6.75
29.66
5.5 0 0 12.88 0 3.15 16.03 6 6.98 0.9 7.88
6.5 3.26 0 3.26 7 0.93 0.93
7.5 0 0 PROBLEMA 4.6.7 En una cuenca de 15 Km2 de superficie se
tiene informacin de precipitaciones mximas anuales para una hora de
duracin las cules puede asumirse se ajustan a una distribucin
-
54
Extrema Tipo I. Dicha informacin indica que la probabilidad de
exceder la lmina de 80 mm en una hora es del 29 %, mientras que la
probabilidad de exceder los 140 mm de lluvia, tambin en una hora,
es de 5.19 %. Sobre dicha cuenca ocurre una precipitacin de 3 horas
de duracin. En la primera hora, cae la precipitacin de periodo de
retorno, Tr = 25 aos; en la segunda hora cae la precipitacin Tr =
15 aos y finalmente, en la tercera ocurre la precipitacin de Tr =
10 aos. El hidrograma unitario de la cuenca, para una duracin de
1/3 de hora, es: T(h) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 HU((m3/s)/mm)
0 0.47 2.12 2.6 2.24 1.65 1.06 0.59 0.3 0.12 0 El ndice f inicial
es de 8 mm/h y se reduce en un 15 % cada intervalo. Calcular el
hidrograma de escorrenta directa generado por la tormenta. SOLUCIN
Como las precipitaciones se ajustan a una distribucin extrema Tipo
I , se calcula los parmetros de la distribucin con los siguientes
datos: Para P= 80 mm la P(Xx) = 0.29 Para P = 140mm la P(Xx) =
0.0519 luego:
e ex )(
129.0ba --
--=- e ex )(
10519.0ba --
--=- resolviendo:
b= 45.45 a=0.031 Con los parmetros calculados se determinan las
precipitaciones para las horas indicadas en
el hietograma. En la primera hora, para Tr = 25 aos se tiene:
Tr
xXP1
)( = =251
= 0.04
Luego, sustituyendo en la ecuacin probabilstica se obtiene:
e ex
--=-- )45.45(031.0
104.0 despejando el valor de x (precipitacin en la primera
hora): P01= 148,63 mm
Igualmente, en la segunda hora y para Tr = 15 aos: Tr
xXP1
)( = =151 = 0.0667
-
55
Sustituyendo: e ex
--=-- )45.45(031.0
10667.0 el valor de x, (precipitacin en la segunda hora), ser:
P02= 131.68 mm
anlogamente, para la tercera hora: Tr = 10 aos, la Tr
xXP1
)( => =101
= 0.1
Sustituyendo: e ex
--=-- )45.45(031.0
11.0 despejando el valor de x (precipitacin en la tercera hora):
P03= 118.04 mm Para determinar la precipitacin efectiva, se debe
calcular el ndice f para cada intervalo y restrselo a la
precipitacin: luego: Hora (h) Indice f (mm/h) Precipitacin efectiva
(mm)
1 8 148.63 8 = 140.63 2 8 0.15*8 = 6.8 131.68 6.8 = 124.88 3 6.8
0.15*6.8 = 5.78 118.04 5.78 = 112.26
Para calcular el hidrograma de escorrenta directa se debe
determinar primero el hidrograma unitario de 1 hora, por
desplazamientos, tal como se ilustra a continuaci n: T(horas) HU
1/3 h HU 1/3 h HU 1/3 h HU 1 hora
(m3/s)/mm (m3/s)/mm (m3/s)/mm (m3/s/mm) 0 0 0 0
0.33 0.31 0 0.31 0.1 0.67 1.02 0.31 0 1.33 0.44
1 2.12 1.02 0.31 3.45 1.15 1.33 2.44 2.12 1.02 5.58 1.86 1.67
2.48 2.44 2.12 7.04 2.35
2 2.24 2.48 2.44 7.16 2.39 2.33 1.85 2.24 2.48 6.57 2.19 2.67
1.45 1.85 2.24 5.54 1.85
3 1.06 1.45 1.85 4.36 1.45 3.33 0.75 1.06 1.45 3.26 1.09
4 0.3 0.75 1.06 2.11 0.7 4.33 0.18 0.3 0.75 1.23 0.41 4.67 0.08
0.18 0.3 0.56 0.19
5 0.08 0.18 0.26 0.09 5.33 0.08 0.08 0.03
-
56
T(horas) HU 1 hora Qd=HU*140.63 Qd=HU*124.88 Qd=HU*112.26 QdR
(m3/s/mm) m3/s m3/s m3/s m3/s 0 0 0 0
0.33 0.1 14.06 14.06 0.67 0.44 61.88 61.88
1 1.15 161.72 0 161.72 1.33 1.86 261.57 12.49 274.06 1.67 2.35
330.48 54.95 385.43
2 2.39 336.11 143.61 0 479.72 2.33 2.19 307.98 232.28 11.23
551.49 2.67 1.85 260.17 293.47 49.39 603.03
3 1.45 203.91 298.46 129.10 631.47 3.33 1.09 153.29 273.49
208.80 635.58
4 0.7 98.44 231.03 263.81 593.28 4.33 0.41 57.66 181.08 268.30
507.04 4.67 0.19 26.72 136.12 245.85 408.69
5 0.09 12.66 87.42 207.68 307.76 5.33 0.03 4.22 51.20 162.78
218.2 5.67 23.73 122.36 146.09
6 11.24 78.58 89.82 6.33 3.75 46.03 49.78 6.67 21.33 21.33
7 10.10 10.10 7.33 3.37 3.37
PROBLEMA 4.6.8 Dado el hidrograma unitario de 4 h de duracin, se
pide calcular el hidrograma unitario de 3 horas, en una cuenca de
300 Km2 de superficie. T(h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 HU(m3 /s)/mm 0 6
36 66 91 106 93 79 68 58 49 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
41 34 27 23 17 13 9 6 3 1.5 SOLUCIN Para resolver este problema
se utilizar el procedimiento de la curva S para lo cul debe
determinarse primero el nmero de desplazamientos mnimos que deben
efectuarse empleando la relacin:
-
57
DuTb
Nd =
donde: Nd: nmero mnimo de desplazamientos Tb: tiempo base del
hidrograma unitario en h Du: duracin del hidrograma unitario h.
Luego:
54
20==Nd
Se calcula ahora la curva S, sumando el hidrograma unitario y
los 5 desplazamientos cada 4 horas (duracin del hidrograma
unitario), obtenindose:
T(h) HU(m3/s/)mm Suma de los 5 Curva S
4 h Desplazamientos 0 0 0 1 6 6 2 36 36 3 66 66 4 91 0 91 5 106
6 112 6 93 36 129 7 79 66 145 8 68 91 159 9 58 112 170 10 49 129
178 11 41 145 186 12 34 159 193 13 27 170 197 14 23 178 201 15 17
186 203 16 13 193 206 17 9 197 206 18 6 201 207 19 3 203 206 20 1.5
206 207.5 21 206 206 22 207 207 23 206 206
Esta curva S debe corregirse a fin de eliminar las oscilaciones
que se presentan en la parte superior de la curva; esta correccin
puede efectuarse de manera grfica, tal como se aprecia en la figura
adjunta y cuadro adjuntos.
-
58
Curva S Corregida
T(h) CSC CSCD CSC - CSCD HU(m3/s)/mm
3 h (CSC-CSCD)*4/3 0 0 0 0 1 6 6 8 2 36 36 48 3 91 0 91 121.33 4
112 6 106 141.33 5 129 36 93 124 6 145 91 54 72 7 159 112 47 62.67
8 170 129 41 54.67 9 178 145 33 44 10 186 159 27 36 11 193 170 23
30.67 12 197 178 19 25.33 13 201 186 15 20 14 203 193 10 13.33 15
206.5 197 9.5 12.67 16 206.5 201 5.5 7.33 17 206.5 203 3.5 4.67 18
206.5 206.5 0 0
CSC : CURVA S CORREGIDA CSCD: CURVA S CORREGIDA DESPLAZADA
-
59
Como puede apreciarse, para determinar el hidrogr ama unitario
de 3 horas se resta de la curva S corregida la curva S, tambin
corregida, desplazada previamente un intervalo igual a la duracin
del hidrograma que se desea calcular. En el cuadro, el resultado
corresponde a la columna CSC CSCD.
Luego, dicho resultado se multiplica por el factor obtenido al
dividir la duracin del hidrograma con el que se construy la curva
S, en este caso 4 horas, entre la duracin del hidrograma que se
desea calcular. Para el problema el factor es igual a 4/3; el
resultado ser el HU de la duracin deseada. PROBLEMA 4.6.9 Se tiene
dos cuencas A y B, que confluyen en un punto comn a la salida de
ambas y en las cuales simultneamente empieza a llover, con los
siguientes hietogramas de precipitacin en cada cuenca:
Cuenca A Cuenca B 0 - 1.5 40 1.5 3 30
3.0 4.5 60 25 El hidrograma unitario de 1/3 de hora para ambas
cuencas es el siguiente: T(h) 0 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 7/3 8/3 9/3
HU(m3 /s)/mm 0 0.47 2.12 2.6 2.24 1.65 1.06 0.59 0.3 0.12 En la
cuenca A el ndice f es de 7 mm/h y se reduce en 12 % cada
intervalo; en la cuenca B puede considerarse constante e igual a 5
mm/h. Calcular el hidrograma de escorrenta directa resultante en la
confluencia de ambas cuencas. SOLUCIN: En este caso, y procediendo
de forma similar a problemas anteriores se tendr para la cuenca A:
Intervalo (h) Indice f Precipitacin efectiva (mm) 0 1.5 7 40 7*1.5
= 29.5 1.5 3.0 7 7*0.12 = 6.16 3.0 4.5 6.16 6.16*0.12 = 5.42 60
5.42*1.5 = 51.87
En la cuenca B el ndice f es constante, por lo tanto, la
precipitacin efectiva en cada intervalo ser:
-
60
Pe 1.5-3 = 30 mm 5 mm/h*1.5 h =22.5 mm Pe 3-4.5= 25 mm 5
mm/h*1.5 h =17.5 mm
Para determinar el hidrograma unitario de 1.5 h puede emplearse
el mtodo de la curva S a partir del HU de 1/3 hora; el nmero mnimo
de desplazamientos ser:
103
13
10===
DuTbNd
Luego, la curva S ser:
T(h) HU(m3/s)/mm Suma de los 10 Cuva S 1/3 h desplazamientos 0 0
0
0.33 0.47 0 0.47 0.67 2.12 0.47 2.59
1 2.6 2.59 5.19 1.33 2.24 5.19 7.43 1.67 1.65 7.43 9.08
2 1.06 9.08 10.14 2.33 0.59 10.14 10.73 2.67 0.3 10.73 11.03
3 0.12 11.03 11.15 3.33 0 11.15 11.15
Y la curvas S corregida:
-
61
El HU de 1.5 horas de duracin ser entonces:
T(h) CSC CSCD CSC CSCD HU(m3/s)/mm 1.5 H
(CSC-CSCD)*(1/3)/1.5 0 0 0 0
0.5 1.4 1.4 0.31 1 5.19 5.19 1.15
1.5 8.5 0 8.5 1.89 2 10.14 1.4 8.74 1.94
2.5 10.9 5.19 5.71 1.27 3 11.15 8.5 2.65 0.59
3.5 11.15 10.14 1.01 0.22 4 11.15 10.9 0.25 0.06
4.5 11.15 11.15 0 0
CSC: CURVA S CORREGIDA CSCD: CUEVA S CORREGIDA DESPLAZADA
Luego, el hidrograma de escorrenta directa en la confluencia de
ambas cuencas es: Cuenca A Cuenca B
T(h) HU(m3/s)/mm Qd = HU*29.50 Qd=HU*51.87 Qd =HU*22.5
Qd=HU*17.5 QdR(m3/s) 0 0 0 0
0.5 0.31 9.15 9.15 1 1.15 33.93 33.93
1.5 1.89 55.76 0 55.76 2 1.94 57.23 6.98 64.21
2.5 1.167 34.43 25.88 60.31 3 0.59 17.41 0 42.53 0 59.94
3.5 0.22 6.49 16.08 43.65 5.43 71.65 4 0.06 1.77 59.65 26.26
20.13 107.81
4.5 0 0 98.03 13.28 33.08 144.39 5 100.63 4.95 33.95 139.53
5.5 60.53 1.35 20.42 82.3 6 30.6 10.33 40.93
6.5 11.41 3.85 15.26 7 3.11 1.05 4.16
-
62
CAPTULO V
5.1 Mtodo de la curva nmero
La relacin entre la escorrenta y la lluvia que la origina ha
sido objeto de mltiples anlisis e interpretaciones hidrolgicas. Si
bien es cierto que existe una estrecha interrelacin entre ambos
elementos hidrolgicos, sta no es una asociacin fija e invariable en
el tiempo y en el espacio. Bsicamente, la relacin lluvia-
escorrenta est determinada por las caractersticas especficas de la
cuenca tales como pendiente, vegetacin, tipo de suelos y otras. El
conjunto de ellas determina la respuesta del sistema, o cuenca,
ante la ocurrencia de la lluvia.
Los diversos mtodos desarrollados para el anlisis del proceso
tratan de cuantificar esta capacidad de respuesta de la cuenca. La
forma ms simple est dada por la adopcin de un coeficiente global
que expresa, en forma de porcentaje, la relacin entre lo
precipitado y lo escurrido. Esto es lo que se denomina el
coeficiente de escorrenta. An cuando este mtodo ha sido bastante
difundido, sus limitaciones son obvias si se tiene en cuenta la
excesiva simplificacin del ciclo hidrolgico que l mismo hace.
El servicio de Conservacin de Suelos, SCS, de los Estados
Unidos, luego del anlisis de gran nmero de datos de cuencas
experimentales, ha desarrollado un mtodo de estimacin de la
escorrenta. Dicho mtodo se basa en el anlisis del complejo suelo
-cobertura y las condiciones de humedad del suelo antes de la
ocurrencia de la precipitacin. La relacin bsica del procedimiento
es:
PotencialaEscorrentalaEscorrent
Potencialtencinaltencin
_Re_
_ReRe_Re
= (5.1)
Si se adopta la designacin de variables siguientes:
S: retencin potencial Q: escorrenta real Ia: prdidas por
intercepcin, almacenamiento en depresiones e infiltracin. P:
precipitacin.
La ecuacin (5.1) puede escribirse ahora como:
IaPQ
SQIaP
-=
-- )( (5.2)
Efectua ndo operaciones: [ ] SQIaPQIaP *)(*)( =---
-
63
SQQIaPIaP **)()( 2 =---
)(**)( 2 IaPQSQIaP -+=-
))((*)( 2 IaPSQIaP -+=-
)()( 2
IaPSIaP
Q-+
-= (5.3)
Trabajos realizados en diversas cuencas experimentales han
permitido establecer
que el valor de Ia es aproximadamente el 20% del valor de S, o
sea:
Ia = 0.20 * S (5.4) Reemplazando (5.4) en (5.3), se tiene:
SPSSP
Q*20.0)*20.0( 2
-+-
=
Finalmente:
SPSPQ
*80.0)*20.0( 2
+-= (5.5)
El valor de S, en centmetros, se relaciona con el nmero de curva
de escorrenta a
travs de la expresin:
40.252540
-=CN
S (5.6)
donde:
CN: valor de la curva nmero El valor de CN se determina a partir
de las caractersticas de infiltracin y uso del
suelo, la cobertura vegetal y las condiciones de humedad en la
cuenca al momento de producirse la precipitacin, lo que se denomina
humedad antecedente; los rangos establecidos experimentalmente son:
Condicin de humedad Lluvia total de los 5 Antecedente das previos
(cm) I 0 - 3.50 II 3.50 - 5.25 III ms de 5.25 ILRI, 1978
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Las condiciones hidrolgicas pueden aproximarse a partir del
grado de cobertura vegetal del rea en estudio, de la forma
siguiente: Condicin Hidrolgica Porcentaje de Cobertura vegetal
(%)
Buena ms de 75 Regular Entre 50 y 75
Mala menos del 50 ILRI, 1978
En lo referente al grupo hidrolgico del suelo, ste es un
parmetro que trata de ponderar las caractersticas de infiltracin
del suelo. De acuerdo a ello, se han establecido cuatro grupos:
Grupo Infiltracin A Alta B Moderada C Lenta D Muy lenta
ILRI, 1978
Con la informacin descrita puede determinarse el nmero de curva,
CN, empleando la Tabla N1, la cual corresponde a condiciones de
humedad antecedente II. Para otras condiciones, debe emplearse la
Tabla N 2, en el anexo 2. 5.2 Distribucin del evento en el
tiempo
El mtodo del nmero de curva no considera la variable tiempo por
lo que previamente a su aplicacin se requiere distribuir la
precipitacin a lo largo de la duracin total del evento; luego para
el clculo de los hidrogramas generados por la precipitacin efectiva
de cada intervalo tambin se requerir considerar el factor tiempo.
Para la distribucin de la lluvia en el tiempo debe considerarse
previamente el intervalo de trabajo a emplear. Una regla prctica
para ello establece que dicho intervalo debe ser igual o menor que
la cuarta parte del tiempo al pico de la cuenca.
Establecido el intervalo de trabajo se utiliza la denominada
curva adimensional de tormentas que es un grfico que relaciona la
fraccin acumulada de tiempo transcurrido, respecto a la duracin
total del evento, con la fraccin acumulada, respecto a la lmina
total del evento, de la lmina precipitada. En la figura 5.1. Pueden
apreciarse las curvas adimensionales de lluvia tpicas desarrolladas
por el Servicio de Conservacin de Suelos, SCS.
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Figura 5.1. Curvas adimensionales de tormentas (SCS, 1958)
Sin embargo, es recomendable tratar de obtener curvas
caractersticas para las
zonas en estudio a partir de la informacin disponible.
Para el clculo de los valores de caudales en los hidrogramas
generados puede utilizarse el hidrograma adimensional de
escorrenta. Este es un grfico donde en el eje x se encuentran los
valores discretizados en intervalos de 0.25 del tiempo al pico y
desde 0 hasta 5 veces el tiempo al pico. En el eje y se colocan los
correspondientes valores para cada x, pero expresados en trminos qt
/ qp; es decir como una fraccin del caudal pico. El hidrograma
adimensional desarrollado por el SCS se muestra a continuacin:
T/Tp qt/qp 0 0
0.25 0.12 0.5 0.43
0.75 0.83 1 1
1.25 0.88 1.5 0.66
1.75 0.45 2 0.32
2.25 0.22 2.5 0.15
2.75 0.105 3 0.075
3.25 0.053 3.5 0.036
3.75 0.026 4 0.018
4.25 0.012 4.5 0.009
4.75 0.006 5 0.004
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El procedimiento a seguir puede resumirse en los siguientes
pasos:
La duracin de la lluvia total se divide en intervalos iguales, o
menores, a 0.25 del tiempo al pico
Para cada intervalo se calcula la relacin:
totalDuracinervaloelhastaacumuladotiempo
_int____
Empleando la curva adimensional de tormenta, se calcula la
relacin:
Precipitacin acumulada hasta el intervalo dado
Precipitacin total Con el valor anteriormente obtenido se
calcula el valor de la lluvia acumulada Con la lluvia acumulada, y
las ecuaciones (5.5) y (5.6), pueden obtenerse los valores de
la lmina de escorrenta directa acumulada. Con los valores
obtenidos en el paso anterior pueden obtenerse las lminas de
escorrenta directa generados en cada intervalo Luego, se calcula
el caudal pico producido por la lmina de escorrenta
correspondiente
a cada intervalo de tiempo. Para ello se emplea la siguiente
ecuacin:
TpQAqp **208.0= (5.7)
donde:
A: rea de la cuenca, Km2 Q: escorrenta directa, mm Tp: tiempo al
pico, horas qp: caudal pico en m3 /s.
Empleando el hidrograma adimensional de escorrenta se calcula el
hidrograma
correspondiente a cada intervalo de tiempo. Se suman los
hidrogramas de cada intervalo, para calcular el hidrograma de
escorrenta
directa resultante
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5.3 Problemas de aplicacin de la Curva Nmero PROBLEMA 5.3.1 Una
cuenca tiene 47.36 Km de longitud mxima de recorrido de la
escorrenta y una diferencia de cota de 1000 mts entre el punto ms
remoto y la salida, con un rea total de 350 Km2. En ella, el 30 %
del rea tiene CNII de 88; 40% posee CNII de 82 y el 30% restante
tiene CNII de 75. Sobre esta cuenca ocurre una lluvia de 70 mm en
tres horas. Calcular el hidrograma de escorrenta directa resultante
del evento empleando la curva adimensional de lluvia y el
hidrograma adimensional de escorrenta que se dan a continuacin y
asumiendo que al producirse el evento las curvas nmeros estn en
condicin I. t/T 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 p/Pt 0
0.3 0.5 0.7 0.8 0.87 0.91 0.95 0.97 0.99 1.0 t/Tp 0 0.25 0.50 0.75
1.0 1.25 1.50 1.75 2.0 2.25 2.50 qt/qp 0 0.12 0.4 0.83 1.0 0.85
0.66 0.45 0.32 0.22 0.15 2.75 3.0 3.25 3.50 3.75 4.0 4.25 4.50 4.75
5.0 0.105 0.075 0.053 0.036 0.026 0.018 0.012 0.009 0.005 0.004
SOLUCIN La curva adimensional de lluvia permite desagregar la
duracin total
