1

PROBLEMARIO DE

ESTADÍSTICA

INSTRUMENTAL

Prof. (Ing.) Andrés Scott Velásquez

2

Problemas de Estadística Instrumental

Lapso 01 de Estadística Instrumental

Problema sobre datos no agrupados o sueltos. 1) Se toma las edades de 25 estudiantes de un curso de Estadística Instrumental, las cuales

fueron las siguientes: 23 22 22 19 21 20 29 18 18 25 25 23 19 20 19 22 21 23 25 30 29 22 19 19 20 Con los datos de las edades se pide, elaborar una Distribución de Frecuencias para: a)

Responder; Dato de la Quinta Categoría, Frecuencia Absoluta de la Séptima Categoría,

Frecuencia Absoluta Acumulada de la Tercera Categoría, Frecuencia Relativa de la Octava

Categoría y Frecuencia Relativa Acumulada de la Cuarta Categoría, b) Obtener el

porcentaje de observaciones de los datos menores al dato de la Quinta Categoría y el

porcentaje de las observaciones igual o mayores al dato de Séptima Categoría, c) Obtener

el Modo y Calcular la Media Aritmética, y comprobar que es mayor que la Media

Geométrica, d) Calcular la Varianza y la Desviación Estándar y e) Elaborar las gráficas

respectivas-Trabajo Estudiantes-.

Solución

Datos sueltos o no agrupados

Datos fi Fi hi Hi Xi*fi X2i*fi

X1=18 2 2 0,080 0,080 36 648

X2=19 5 7 0,200 0,280 95 1.805

X3=20 3 10 0,120 0,400 60 1.200

X4=21 2 12 0,080 0,480 42 882

X5=22 4 16 0,160 0,640 88 1.936

X6=23 3 19 0,120 0,760 69 1.587

X7=25 3 22 0,120 0,880 75 1.875

X8=29 2 24 0,080 0,960 58 1.682

X9=30 1 25 0,040 1 30 900

Σ 25 1 553 12.515

a) 5 22X , 7 3f , 3 10F , 8 0,080h , 4 0,480H

b) % de datos menores a la Quinta categoría=48%, % de datos igual o mayor a la

séptima categoría: 6 100 24%25

c) 553

19; 22,12025

i i

o

X fM

N;

91 2

12 5 3 2 4 3 3 2 25

1 2 9... 18 19 20 21 22 23 25 29 30 21,883ff fG X X X

3

Como µ=22,120>21,883=G, queda demostrado que la Media Aritmética Poblacional

es mayor que la Media Geométrica

Mo=19

d) 2

2 2 212.515  22,120 11,306

25

i iX f

N σ 11,306 3,362

σ2=11,306; σ=3,362

e) Gráficas

Gráfica de Barras.

Xi fi x18 2 x19 5 x20 3

x21 2 x22 4 x23 3 x24 0

x25 3 x26 0 x27 0 x28 0 x29 2 x30 1

Gráfica de Torta o Pastel.

Xi% fi

x8% 2 x20% 5 x12% 3 x8% 2 x16% 4 x12% 3 x12% 3

x8% 2 x4% 1

4

2) De manera aleatoria se seleccionan las notas de 7 estudiantes de Estadística

Instrumental del I. U. G. T., las cuales resultaron ser: 12 10 09 10 15 11

08

Se pide obtener: la Media Aritmética, la Media Geométrica, el Modo o Moda, la

Mediana, el tercer Cuartil, sexto Decil, el Percentil 43, la Varianza y la Desviación

Estándar o Típica.

Solución Número de datos Impares

iX 8 9 10 11 12 15 ∑

if 1 1 2 1 1 1 7

i iX f 8 9 20 11 12 15 75

2

i iX f 64 81 200 121 144 225 835

1 2

112 7

1 2

8 9 2 10 11 12 15 75:

7 7

: ..... 8 9 10 11 12 15

10,714

10,520n

i i

ff f n

n

X f xMedia Aritmética X

n

Media Geométrica G X X X

X

G

Para obtener el resto de la Medidas Estadísticas que son de posición lo primero que hacemos es ordenar los datos generalmente en orden creciente salvo que se diga lo contrario y se le asigna el respectivo lugar en la serie.

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 10 11 12 15

. . .int. . .

1: ; φ . .

100i i m Int M m Int

i nFórmulas L P D p dec D D

3

43

6

3

6 6

:

7 1: 4

2

3 7 13: 6

4

10

10 4

12 6

103 7 1

6: 4,8 10 0,8 11 1 ,805

4343:

o

DD

M El dato que más se repite

M Dato queocupa el lugar dela serie

Q Da

Modo

Mediana L M

Cuartil L to queocupa el lugaQ

Decil L D D

Percentil L P

r dela serie

D

43 43

7 13,44 10 0,44 10 10

10010PP

5

22 22 835 7 10,714

5,2451 6

5,245 2,290

i iX f nXVarianza S

n

Desviación Estándar o Típica S

Números de datos pares

iX 8 9 10 11 12 15 16 Total

if 1 1 2 1 1 1 1 8

i iX f 8 9 20 11 12 15 16 91

2

i iX f 64 81 200 121 144 225 256 1.091

Si agregamos un nuevo dato, supongamos 16, entonces el número de datos serán impares

1 2

112 8

1 2

8 9 2 10 11 12 15 1611,38:

8

: ..... 8 9 10 11

0

11,0812 15 16 6n

i i

ff f n

n

X f xMedia Aritmética X

n

Media Geométrica G X X X

X

G

Para obtener el resto de la Medidas Estadísticas que son de posición lo primero que hacemos es ordenar los datos generalmente en orden creciente salvo que se diga lo contrario y se le asigna el respectivo lugar en la serie.

01 02 03 04 05 06 07 08 08 09 10 10 11 12 15 16

3 3

6 6

43

6

43

3

:

8 1: 4,5 10 0,5 11 10

2

3 8 13: 6,75 1

10

10,5

13,5

11

2 0,75 14 124

3 8 16: 5,4 11 0,4 12 11

5

43 8 143: 3,87 10

1 0

,

0

4

D DD

oModo

Mediana L M M

Cuartil L Q Q

Decil L D D

Percen

M El dato que más se repite

M

Q

D

til L P P 430,87 10 10 10P

22 22 1.091 8 11,380

7,8521 7

7,852 2,802

i iX f nXVarianza S

n

Desviación Estándar o Típica S

Problema sobre datos agrupados por intervalos de clases.

1) Los siguientes datos corresponden a las ventas mensuales (En miles de bolívares) realizados por una comercial que vende materiales de oficinas.

6

Se pide calcular: a) La Varianza y la Desviación Estándar o Típica, b) El Rango Intercuartílico y el Rango Interdecílico, c) La Desviación o Amplitud Semi-intercuartílica, d) Analizar la curva originada por el Polígono de Frecuencias de esta distribución y e) Elaborar gráficas-Trabajo a estudiantes

Solución

NIC LI LS fi Fi Xmi Xmifi Xmi2fi

1 09,5 16,5 5 5 13 65 845

2 16,5 23,5 7 12 20 140 2800

3 23,5 30,5 6 18 27 162 4374

4 30,5 37,5 3 21 34 102 3468

5 37,5 44,5 3 24 41 123 5043

6 44,5 51,5 6 30 48 288 13824

30 880 30354

a) La Varianza.

880 

3029,333

mi iX f

N

2

2 22 230.354  29,333 151,37

305

mi iX f

N

La Desviación Estándar.

151,375 12,304

b) Rango Intercuartílico.

1 1

71: 16,5 7,5 5

719,000Cuart Qil Q

3 3

73: 37,5 22,5 21

341,000Cuart Qil Q

41 19 22Q QR R

Rango Interdecílico.

1 1

71: 9,5 3 0

513,7D cil D De ;

9 6

79: 44,5 27 24

648,000DDecil D

48,000 13 34,3,7 DD RR

c) Desviación o Amplitud Semi-Intercuartílica

2211 0

2,Q QAA

d) Análisis de la Curva.

7

2 716,5

2 121,167ooM M

1 1

29,333 21,167

12,30,664

04A Pos ivaCA it

0,321 0,2611.0

34,33K K

“La curva originada por el Polígono de Frecuencias de esta distribución presenta

Asimetría Positiva ya que CA1 = 0,664 > 0, por lo tanto sesga ala derecha; y además

es Puntiaguda o Leptocúrtica por cuanto K = 0,321 > 0,263”. e) Elaborar Gráficas f) Histograma.

Xmi fi

x13 5 x20 7 x27 6

x34 3 x41 3 x48 6

Polígono de Frecuencias.

Xmi fi

x0 0 x13 5 x20 7

x27 6 x34 3 x41 3

x48 6 x55 0

Ojiva.

Xmi Fi

8

x0 0

x13 5 x20 12

x27 18

x34 21 x41 24 x48 30

2) El cuadro de datos que se presenta al final define a una Distribución de

Frecuencias por marcas de clase, donde se refleja los salarios diarios de los

obreros de una empresa de construcción. Se quiere conocer:

a) El porcentaje de obreros cuyos salarios son menores que la Media Aritmética

y la cantidad de obreros cuyos salarios sean mayor que el Modo.

b) Los límites del sector central entre los cuales se consigue el 50% de los

obreros de la empresa de construcción.

c) Si los dueños de la empresa resuelven dar un aumento del 12% a cada

obrero, ¿Cuánto debe invertir la empresa para satisfacer este aumento

diario?

d) Analizar la curva originada por el Polígono de Frecuencias de esta

distribución

Salarios

( Xmi )

50 60 70 80 90

Cantidad de

Obreros ( fi )

15 20 25 10 5

Solución

LI LS Xmi fi Fi Xmifi X2mifi

45 55 50 15 15 750 37500

55 65 60 20 35 1200 72000

65 75 70 25 60 1750 122500

75 85 80 10 70 800 64000

85 95 90 5 75 450 40500

75 4950 336500 Fórmulas:

2 2

2 2 2 1

1 2

3 11

9 1

100% . ; % . 100 % . ;

; ; ; ;

; ;2

iaa I

mi i mi mi

o I

oi i aa

i

fdeobs D F D L deobs D deobs D

IC N

X f X X q ICM L

N N N q q

M Q QIC iNL F CA K

f K D D

Desarrollo;

9

4.950 5 1066; 65 67,5

75 5 15

25 100% 35 66 % 50,65 00%

10 75

oM

de ob de observacionesservaciones

a)

25 100% 100 35 67,5 65

10 7

% 45,00%

5o

o

de observaciones M

de observaciones M

b) El 50% del Sector Central se ubica entre el Primer Cuartil y el Tercer Cuartil.

1

1

3

3

10 75 10 3 7555 15 56,875; 65 35 73,50

20 4 25

56,875; 73 5

4

, 00Q

Q

Q

Q

c) Inversión diaria ante del aumento Bs. 4.950,00.

Inversión diaria luego del aumento: (66+66x0,12)x75=5.544,00

d)

2

1

1 9

336.500 66 67,566 11,431 0,131 0;

75 11,431

10 75 10 9 7545 0 50,000; 75 60 82,500

15 10 10 10

73,500 56,8750,256 0,263

2 82,500 50,000

CA

D D

K

“La curva originada por el Polígono de Frecuencias de esta distribución

presenta Asimetría Negativa ya que CA1 = -0,131 < 0, por lo tanto sesga ala

izquierda; y además es Achatada o Platicúrtica por cuanto K = 0,256 <

0,263”.

e) Gráficas.-

Histograma

Xmi Fi

x50 15 x60 20

x70 25 x80 10 x90 5

Polígono de Frecuencias

Xmi fi

x40 0 x50 15

10

x60 20 x70 25 x80 10

x90 5

x100 0

Ojiva

Xmi Fi

x0 0 x50 15

x60 35 x70 60 x80 70

x90 75

Lapso 02 de Estadística Instrumental Problemas experimentos probabilísticos

1) Una moneda previamente calibrada se lanza 5 veces. ¿Cuál será la probabilidad de qué:

a) Caigan exactamente 2 caras.

b) Caigan 3 caras o 5 caras.

c) No menos de 4 caras.

d) No más de 3 caras Solución

5

5 2

5 3 5 5

50,3125

16

1

2 32

10) 10

32

) 111

0,343832

P

A

B

EPO Q EPO

a EFA P A P A

P Bb EFA

11

5 4 5 5

5 0 5 5 5 2 5 3

6) 6

32

30,1875

16

130

26) 26

32,8125

16

C

D

P Cc EFA P C

d EFA P DP D

2) Un dado previamente calibrado se lanza. ¿Cuál será la probabilidad de que: a) Caiga un 2 ó 5? b) Caiga un número menor o igual a 4? c) Caiga un número par ó mayor o igual a 4?

Solución

6

2) 1 1 2

6

4) 1 1 1 1 4

6

4) 1 1 1 1 1 1 1

10,3333

3

20,6667

3

20,6667

31 4

6

P

A

B

C

EPO Q EPO

a EFA P A

b EFA P B

c EF

P A

B

CA C

P

PP

3) Se lanzan 2 dados previamente calibrados. ¿Cuál será la probabilidad de que al sumar sus

dos caras, luego de la caída: a) Éstas sumen exactamente 7? b) Que sumen igual o mayor a 9?

c) Que sumen valores menores o 5? d) Que sumen valores entre 4 y 6 inclusive o que sumen entre 5 y 9 inclusive?

Solución 26 36

10,

6) 6

31667

66

P

A

EPO Q EPO

a EF P AA P A

Dado 1 1 2 3 4 5 6

Dado 2 6 5 4 3 2 1

EFAA= 6

10) 10

3

50,2778

6 18B PB Bb EFA P

Dado 1 3 4 5 6 4 5 6 5 6 6

Dado 2 6 5 4 3 6 5 4 6 5 6

EFAB= 10

6) 6

36

10,1667

6A Pc C CEFA P

12

Dado 1 1 1 2 1 2 3

Dado 2 1 2 1 3 2 1

EFAA= 6

30,75

27) 12 15 27

6 4300Dd EFA P P DD

Dado 1 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5

Dado 2 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1

EFAA= 12

Dado 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 3 4 5 6

Dado 2 4 3 2 1 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 6 5 4 3

EFAA= 15

4) En un recipiente se meten 8 bolitas azules, 14 bolitas blancas y 10 bolitas coloradas. Experimento A.- Se extrae una sola bolita. ¿Cuál será la probabilidad de que:

a) Sea azul.

b) Sea una blanca o una colorada. Solución

32 1

8 1

32

8)

3

10,2500

42Azul

N r

A n r A

EPO EPO

a EFA EFA AP A P

14 1 10 1

30

) 14 10

24

32,7500

4

Blancas ColoradasB n r n r Ab EFA EF

P

A

B AP

Experimento B.- Se extraen 3 bolitas con reposición o con reemplazamiento. ¿Cuál será la probabilidad de que:

a) Sean una azul, azul y colorada. b) Sean blanca, colorada y colorada c) Sean blanca, azul y blanca

Solución

32 1

1 2

32

Re : .....

8 8 10)

32 32

50,0195

25632

N r

n

EPO EPO

Fórmula de la gla Especial la Multiplicación P A P A P A P A

a PP A A

14 10 10

)32 32 3

1750,0427

4.092 6b P B P B

14 8 14

)32 32 3

490,0479

1.022 4c C P CP

Experimento C.- Se extraen 3 bolitas sin reposición o sin reemplazamiento. ¿Cuál será la probabilidad de que:

13

a) Sean una azul, azul y colorada. b) Sean blanca, colorada y colorada c) Sean blanca, azul y blanca

Solución

32 1

321

1 2

1

32

Re :

N rEPO EPO

AAFórmula de la gla General la Multiplicación P A P A P P

A AA

8 7 10

)32 31 30

70,0188

372a PP A A

14 10 9

)32 31 30

210,0423

496Pb P B B

14 8 13

)32 31 3

910,0489

1.860 0c C P CP

Experimento D.- Se extraen de una sola vez 3 bolitas. ¿Cuál será la probabilidad de que : a) Todas sean del mismo color? b) 2 sean azules y una colorada o 2 blancas y una azul? c) Que no todas sean del mismo color? d) Que todas sean de color diferente?

Solución

32 3

8 3 14 3 10 3

8 2 10 1 14 2 8 1

270,1089

2

4960

) :

54056 364 120 540

4960

) 2 1 2 1 :

48

Azul Blanca Colorada

N r

A n r n r n r A

A

B

EPO EPO

a Todas del mismo color EFA EFA

EFA P A

b azules y colorada o blancas y azul EFA

EF

P A

8 1 14 1 10 1

630,2032

310

2210,89

1.008280 728 1.008

4.960

27) : 1

248

) : 8

11248

70,2258

3

14 10 1.120

1.120

9 14. 60

B

D

A P B

c No todas del mismo color Por Complemento P C

d Todas de colores diferentes EFA

P

P B

P C

P DD

5) Se tiene un juego de barajas españolas, después de barajadas de manera uniforme se extrae una carta para garantizar la pureza del experimento. Cuál será la probabilidad de que sea:

a) Un As de espadas?

b) Un As? c) Un caballo o una copa?

14

d) Una espada o un oro? e) Una figura o un 5 de oro? f) Una figura o un basto?

Solución

1 10,0250 0,1000

40 10

13 10,3250 0,5000

40 2

13 190,3250 0,4750

40

4) 1 ; ) 4 ;

40

20) 4 10 1 13 ; ) 10 10

40

) 12 1 13 ; ) 14

2 100

3 19

A B

c D

E F

P A P B

P C P D

P E P F

a EFA b EFA P B

c EFA d EFA P D

e EFA f EFA

Problema de Probabilidades de la regla General de la Suma

1) De 200 turistas llegados a Venezuela, 120 viajaron a la Isla de Margarita y 100 a la Sierra Nevada de Mérida, se sabe además que 60 de ellos fueron ambas regiones. Si de manera aleatoria se selecciona a una de esas personas, ¿Cuál será la probabilidad de que haya ido a la Isla de Margarita o la Sierra Nevada de Mérida?

Solución

Evento A = Turistas que visita a la Isla de Margarita Evento B = Turistas que visitan a La Sierra Nevada de Mérida. Evento A∩B = Visita a ambos regiones.

120 3 100 1 60 3; ;

200 5 200 2 200 10

3 1 3

5 2 10

4

5

P A P B P A B

P A ó B P A ó B

Problemas de Probabilidades con tabla de Contingencia

1) La tabla de contingencia incompleta que se presenta al final refleja la condición de eficiencia de bueno, regular y malo de 200 estudiantes de Recursos Humanos, Mercadeo y Publicidad y Contabilidad y Finanzas. Se pide responder las siguientes preguntas:

PARTE A a) Completar la Tabla de Contingencia

PARTE B Si de manera aleatoria se selecciona uno de los 200 estudiantes. ¿Cuál será la probabilidad de que:

a) Sea un estudiante de Mercadeo y Publicidad? b) Que su rendimiento sea malo? c) Que sea de Mercadeo y Publicidad y su rendimiento sea bueno? d) Que sea de Recursos Humanos o sea de Contabilidad y Finanzas? e) Que sea de Recursos Humanos o tenga un rendimiento regular?

PARTE C a) Si de manera aleatoria selecciona a un estudiante de Mercadeo y Publicidad.

¿Cuál será la probabilidad de que su rendimiento sea bueno? b) Si se selecciona un estudiante cuyo rendimiento es malo. ¿Cuál será la

probabilidad de que sea de Recursos Humanos?

15

Rendimiento Carrera

BUENO (B1)

REGULAR (B2)

MALO (B3)

∑Ai

Recursos Humanos (A1)

25 80

Mercadeo y Publicidad (A2)

15 75

Contabilidad y Finanzas (A3)

10 5

∑Bi 65 85 U=

Solución PARTE A.-

Rendimiento Carrera

BUENO (B1)

REGULAR (B2)

MALO (B3)

∑Ai

Recursos Humanos (A1)

20 25 35 80

Mercadeo y Publicidad (A2)

15 50 10 75

Contabilidad y Finanzas (A3)

30 10 5 45

∑Bi 65 85 50 U=200

PARTE B.-

a) Mercadeo y Publicidad: 75

7520

30,3

0750

8A PEFA A AP

b) Rendimiento Malo: 50

5020

10,2

0500

4B PEFA B BP

c) Merc. y Pub. y Rend. Bueno: 15

15200

30,0750

40C P CEFA P C

d) R. H. o de C. y F.: 125

80 45 125

0,62508

5200

DEF C P CA P

e) R. H. o Rend. Reg,: 140

80 85 25 17

0,700010

40200

EEFA P P ED

PARTE C.-

a) Si M. P./Rend. Bueno: 22

2

1

2

11

0,215

057

0 05

A BP

BA

AP

A

16

b) Si Rend. Malo/R. H.: 11

3

3

3

373

0,70001

5

50 0

A BP

BA B

PB

2) Los profesores de Estadística Instrumental: Andrés Scott, Maritza García, Carlos

Casañas y Lenelba Alemán para sus clases recomienda estudiarlas en tres textos

los cuales identificaremos con los nombres de Texto 01, Texto 02 y Texto 05. Del

profesor Scott, 28 estudiantes estudian por el Texto 01, 35 por el Texto 02 y 22

por el Texto 03. De la profesora García, 22 estudiantes estudian por el Texto 01,

30 por el Texto 02 y 13 por el Texto 03. Del profesor Casañas, 13 estudiantes

estudian por el Texto 01, 20 por el Texto 02 y 12 por el Texto 03 y de la profesora

Alemán, 10 estudiantes estudian por el Texto 01, 14 por el Texto 02 y 11 por el

Texto 03.

Se pide:

PARTE “A”.- Con estos datos elaborar la Tabla de Contingencia.

PARTE “B”.- Si de manera aleatoria se selecciona un estudiante de Estadística

Instrumental que estudie con esos profesores, ¿Cuál será la probabilidad de que:

a) Haya estudiado por el texto 01, b) Haya estudiado por el Texto 02 y sea alumno

del Profesor Casañas, c) Haya estudiado por el Texto 02 ó el Texto 03 y d) Haya

estudiado por el Texto 03 o sea alumno de la Profesora Alemán.

PARTE “C”.- a) Si de manera aleatoria se selecciona un estudiante que estudie

por el Texto 02; ¿Cuál será la probabilidad que sea alumno del Profesor Scott y b)

Si de manera aleatoria se selecciona un estudiante de la Profesora García; ¿Cuál

será la probabilidad de que haya estudiado por el Texto 03?

Solución

PARTE “A”.- Tabla de Contingencia:

Profesores

Textos

Scott

(B1)

García

(B2)

Casañas

(B3)

Alemán

(B4)

∑Ai

Texto 01 (A1) 28 22 13 10 73

Texto 02 (A2) 35 30 20 14 99

Texto 03 (A3) 22 13 12 11 58

∑Bi 85 65 45 35 230

PARTE “B”.-

17

1

2 3

1

2 3

2 3

43 4 3

2 3

73)

230

20)

230

99 58 157)

230 2

730,3174

230

20,0870

23

1570,6826

30 230

410,3565

1

230

58 35 11 82)

230 230 230 230 15

a P A P A

b P B P A B

c P C P A A

d P

P A

P A B

P A A

P AD BP A B

PARTE “C”.-

2 1

2

3 2

2

350,3535

35)

99

13)

65

99

10,2000

5

A Ba P A P

A

A Bb P B

P A

PPB

B

Lapso 03 de Estadística Instrumental

Problemas de Distribución de Probabilidades Discretas Generales

1) Un dado previamente calibrado se lanza 140 veces y el resultado de la caída se presenta al final. Se pide:

a. Desarrollar la distribución de probabilidades respectiva. b. Calcular la Esperanza Matemática. c. Calcular la Varianza y la Desviación Estándar

18

Solución

Distribución de Frecuencias

Dist. de Prob.

a)

Esperanza Matemática

i iX P X

b)

Varianza

22

i iX P X

Desviación

Estándar

c) 2

Xi fi hi Xi P(Xi) 0,164 1,048

2,803

1 23 0,164 1 0,164 0,258 0,301

2 18 0,129 2 0,129 0,621 0.058

3 29 0,207 3 0,207 0,744 0,041

4 26 0,186 4 0,186 0,715 0,310

5 20 0,143 5 0,143 1,026 1,045

6 24 0,171 6 0,171 2

∑ 140 1,000 ∑ 1,000 3,528 2,803 1,674

2) De manera aleatoria se seleccionan las notas de ocho estudiantes de Estadística

Instrumental las cuales fueron: 11 09 12 12 15 09 11 12. Con estos datos se

pide desarrollar una Distribución de Probabilidades y de allí obtener: a) La

Esperanza Matemática o Valor Esperado, la Varianza y la Desviación Estándar o

Desviación Típica; b) Si seleccionamos de manera aleatoria una de esas ocho

notas; ¿Cuál es la probabilidad de que sea: i.- Exactamente 12? y ii.- No más de

11?

Solución

EFAP E

EPO

)a

ix

if

iEFA

ix

iP x

ESPERANZA MATEMÁT.

VARIANZA DESVIAC. ESTÁND.

i ix P x

2

2

i ix P x

2

09 2 09

EFA

3,234 11 2

11EFA 09 0,250 2,250 1,410

12 3 12

EFA 11 0,250 2,750 0,035

15 1 15

EFA 12 0,375 4,500 0,146

EPO 8 15 0,125 1,875 1,643

CARA 1 2 3 4 5 6

EVENTOS 23 18 29 26 20 24

19

∑ 1,00 11,375

2 3,234 1,798

) 12 11

; ) 0,20,3 5 0,2575 0,50

b Evento B Exactamente igual a y Evento C no más de

y c P P CCP B

3) Una moneda previamente calibrada se lanza 5 veces. Se pide: a) Desarrollar una

Distribución de Probabilidades, y Calcular la Esperanza Matemática o Valor

Esperado, la Varianza y la Desviación Estándar o Desviación Típica, b) ¿Cuál será

la probabilidad que caigan exactamente 2 caras? y c) ¿ Cuál es la probabilidad de

que caiga no menos de 4 caras?

Solución

5; 2 32EFA

P E EPO EPOEPO

a)

ix

if

iEFA

ix

iP x

ESPERANZA MATEMÁT.

VARIANZA DESVIAC. ESTÁND.

i ix P x

2

2

i ix P x

2

0 1 0

EFA

1,25

1 5 1

EFA 0 0,03125 0,000 0,195

2 10 2

EFA 1 0,15625 0,1563 0,352

3 10 3

EFA 2 0,31250 0,6250 0,078

4 5 4

EFA 3 0,31250 0,9375 0,078

5 1 5

EFA 4 0,15625 0,6250 0,352

EPO 32

5 0,03125 0,1562 0,195

∑ 1,00 2,500 2 1,250 1,118

) 2 4

; ) 0,15620,3125 0,15 0,03125 875P B

b Evento B Exactamente y Evento no menos de

y c P P CC

4) Al final se presentan tres distribuciones diferentes. Diga: ¿Cuál de las tres es una

Distribución de Probabilidades? Si alguna de ella resultarse ser de probabilidades

calcular la Esperanza Matemática, la Varianza y la Desviación Típica.

xi P(xi) xi P(xi) xi P(xi)

1 0,20 2 0,18 1 0,42

3 0,25 4 0,28 4 -0,20

5 0,18 6 0,20 6 0,38

7 0,36 8 0,34 9 0,40

20

Solución

Las probabilidades de la primera suma 0,99; la segunda 1 (Uno) con todos valores positivos y

la tercera 1 (Uno) pero con un valor negativo, como los valores probables de un espacio

muestral deben sumar 1 (Uno) con todos los valores positivos, se concluye que: la Distribución

de Probabilidades es la segunda.

ix

iP x

ESPERANZA

MATEMÁT.

VARIANZA DESVIAC.

ESTÁND.

i ix P x

2

2

i ix P x

2

5

2 0,18 0,36 2,081

4 0,28 1,12 0,549

6 0,20 1,20 0,072

8 0,34 2,72 2,298

∑ 1,00 5,400 2 5,000 2,236

Problemas de Distribución de Probabilidades Discretas Binomiales 1) El 75% de los estudiantes del IUGT a duras penas logran aprobar las materias. Si se

selecciona una muestra de 7 estudiantes; ¿Cuál será la probabilidad de que: a) Exactamente 5 aprueben la materia?

b) No menos de 6 aprueben la materia?

c) No más de 4 aprueben la materia? d) Calcular la esperanza matemática, la varianza y la desviación estándar.

Solución

2

5 7 5

7 5

6 7 6 7 7 7

7 6 7 7

5 0,

: 0,75 0,25; 7

: ; ; ;

) 5 5 0,75 0,25

) 6 7 6 7 0,75 0,25 0,75 0,25

) 0,...., 4 0,.... , 4 1 (0,3115 0,4449

3115

6 7 0,4449

x n x

n x

Datos p q n

F

P x

P x o

órmulas p q np npq npq

a x P x

b x o P x o

c x o P x o

2 2

)

) 7 0,75 ; 5,25 0,25 ; 1,

0,.... , 4 0,2436

5,25 1,313 1,1413 63

P x o

d

2) Realizado un estudio de las calificaciones obtenidas en las evaluaciones por los

estudiantes de Estadística Instrumental del Profesor Scott en el período de clases

2013-1N, se concluyó que aprobaron la materia el 62%. Si de manera aleatoria se

seleccionan 6 de esos estudiantes; ¿Cuál será la probabilidad de qué: a)

Exactamente 2 hayan aprobado la materia? b) Exactamente 3 ó 4 hayan aprobado

la materia? c) No menos o al menos 2 hayan aproado la materia? y d) Calcular la

Esperanza Matemática o Valor Esperado, la Varianza y la Desviación Típica o

Desviación Estándar

21

Solución

3)

2

2 6 2

6 2

3 6 3

6 3

4 6 4

6 4

: 0,62; 0,38; 6;

: ; ; ;

:

) 2 2 0,62 0,38

) 3 4, 3 4 3 4 0,62 0,38

0,62 0,38 0,2616 0,32

2 0,1202

3 4 001

X n X

n X

Datos p q n

Fórmulas P X p q np npq npq

Desarrollo

a Para X P X

b Para X

P

ó P X ó

P

P

X

P X X

X

ó

2 6 2 3 6 3 4 6 4

6 2 6 3 6 4

5 6 5 6 6 6

6 5 6 6

) 2 2,...,5 6 2,...,5 6 2 3 4

5 6 0,62 0,38 0,62 0,38 0,62 0,38

0,62 0,38 0,62 0,38 0,1202 0,2616 0,3201 0,2089 0,0

,5817

2,...

5

,5 6 0,

68

c Para al menos X ó P X ó P X P X P X

P X P

ó

X

P X

0 6 0 6 1

6 0 6

2 2

1

: 2,...,5 6 1 0 1 1 0 1

1 0,62 0,38 0,62 0,38 1 0,0030 0,0294

) 0,62 6 ; 0,38 3,72 ; 1,41

9676

2,...,5 6 0,9676

3,72 1,4136 1,3 1886 9

Por complemento sería P X ó P X ó P x P X

P

d

X ó

Problemas de Distribución de Probabilidades Discretas Hipergeométrica

1) El curso de Estadística Instrumental de Recursos Humanos del nocturno del Profesor Andrés Scott, tiene una matrícula de 43 estudiantes, de los cuales 27 son mujeres. Si se toma una muestra de 9 de esos estudiantes. ¿Cuál será la probabilidad de que en esa muestra:

a) 6 sean mujeres? b) 4 sean hombres

Solución

1

1 2 1 2

27 6 16 3 16 4 27 5

1 2

43 9 43 9

26 0,2

: 43; 9; 6; 4; 27; 1

940 4 0,2605

6

:

) 6 ; ) 4

i i i iS x N S n x

i

N n

P x

Datos N n Mujeres x Hombres x S S

Fórmula P x

a P x b P xx P

2) Se va a seleccionar una comisión de 25 estudiantes en una institución educativa

que tiene una matrícula de 417 estudiantes para hacer una evaluación avanzada

del sistema educativo del país y presentar una ponencia a objeto de mejorarla. Si

en esa matricula están incorporadas 263 mujeres; ¿Cuál será la probabilidad de

qué en la referida comisión sean seleccionadas: a) Exactamente 12 mujeres? b)

Entre17 ó 20 mujeres inclusive? y c) Calcular la Esperanza Matemática o Valor

Esperado, la Varianza y la Desviación Típica o Desviación Estándar.

22

Solución

2

263 12 417 263 25 12

417 25

1

: 417; 263; 25; : ;

; ;1 1

:

) 12 12 12

) 1

2

7 2

0,0470

0

S X N S n X

N n

Datos N S n Fórmulas P X

nS N S N n nS N S N nnS

N N N N N

Desarrollo

P Xa Para X P X P X

b Entre ó mujeres inclusive X

263 17 263 18417 263 25 17 417 263 25 18

417 25 417 25

263 19 263 20417 263 25 19 417 263 25 20

417 25 417 25

17,18,19 20 17,..., 20 17 18

19 20 17,..., 20

0,1510 0,1

ó P X P X P X

P X P X P X

2 2

1

17,..., 20 0,3655

15,76

23 0,0685 0,0337

25 263 417 263 417 2525 263) ;

417 47 2.288,090

47,

17 417 1

2.288,09 834

P

c

X

Problemas de Distribución de Probabilidades Discretas de Poisson

1) El número de accidentes que se producen en una empresa manufacturera sigue una distribución de Poisson con una media de 2,6 accidentes por mes. ¿Cuál será la probabilidad de qué: a) No más de 2 accidentes en un mes dado? y b) No menos de 3 accidentes en un mes dado?

Solución

0 22,6 2,6 2,6

: 2,6 ; :!

) 2 0,1 2 0,1 2

2,6 2,6 2,60 1 2 0,0743 0,1931 0,2510

0! 1! 2!

X

Datos accidentes por mes Fórmulas P X eX

a No más de accidentes mensuales X ó P X ó

P X P X P

P X

X e e e

0,1 2 0,5184ó

23

0 22,6 2,6 2,6

4,5... 0,

) 3 4,5,..; : 4,5...

2,6 2,6 2,61 0,1,2 3 1

0! 1! 2!

1 0,0743 0,1931 0,2510 1 0,5184 481

b No menos de accidentes mensuales X por complemento sería P X

P X ó e

P X

e e

6

2) Un promedio 5 automóviles cada ocho segundos ingresan a la parroquia Coche

desde la autopista viniendo del centro de la ciudad. La distribución de ingreso

responde a una Distribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que: a)

Ningún automóvil ingrese en ocho segundos? y b) Por lo menos 2 ingresen en ocho

segundos?

Solución

05

: 5 8 ; :!

5) 0 0

0!

) 2 2,3,....., 2,3,....., :

0,0067

X

Datos cada segundos Fórmulas P X eX

a Ninguno automovil ingrese a Coche X P A P X e

b Por lo menos automòviles ingresen a Coche X n P B P X n Por

Comp

P

em

A

l0

5 5 55 51 0,95961 6

0! 1!P Bento P P B e e e

Problemas de Distribución de Probabilidades Continuas

1) Se sabe que los estudiantes del IUGT presenta un promedio global de notas de 11,25 puntos, con una Desviación Estándar de 3,17 puntos. Se supone que la población responde a una distribución es normal. Si de manera aleatoria seleccionamos a un estudiante; ¿Cuál será la probabilidad de que su nota definitiva:

a) Sea menor de 10 puntos? b) Esté entre 10 y 11,25 puntos? c) Esté entre 09 y 12 puntos? d) Sea mayor que 09 puntos? e) Esté entre 12 y 16 puntos?

Solución

: 11,25; 3,17

:

Datos

xFormula Z

24

f) E

S

2) Realizada una investigación sobre las edades los estudiantes del IUGT de

Estadística Instrumental de Recursos Humanos del diurno se concluyó que el

promedio de sus edades fue de 21,813; con una Desviación Estándar de 3,483

años. Se supone que la población responde a una distribución normal. Si de

manera aleatoria seleccionamos a un estudiante; ¿Cuál será la probabilidad de

que su nota definitiva:

a) Sea mayor de 23 años?, b) Esté entre 21,813 y 23 años?, c) Esté entre 19 y

24 años?, d) Sea mayor que 19 puntos? y e) Esté entre 17 y 19 puntos?

Solución

a)

10

10 11,250,39

3,17Z

0,5 aA A

10 0,5000 0,1517

10 0,3483

Menos de

P

A

x

b) 11,25 0Z

10 0,39Z

aA A

10 11,25

10 11,25 0,151

0,1517 0

7P x

A

c)

9

12

9 11,250,71

3,17

12 11,250,24

3,17

Z

Z

a bA A A

9 12 0,2612 0,0948 0

9

,3560

12 0,3560

A

P x

d)

9 0,71Z

0,5aA A

9 0,2612 0,5000 0,761

9 0,76

2

12

Más de

P x

A

e)

12

16

0,24

16 11,251,50

3,17

Z

Z

b aA A A

12 16 0,4332 0,0948 0

12 16 0,338

,338

4

4

P x

A

25

: 21,813; 3,483

:

Datos

xFormula Z

a)

23

23 21,8130,34

3,483Z

0,5 aA A

23 0,5000 0,133

( 23) 0,

1

3669

x

P x

A

b)

21,813

23

0

0,34

Z

Z

aA A

21,813 23 0,1

(21,813 23) 0,133

331

1

x

P

A

x

c)

19

24

19 21,8130,81

3,483

24 21,8130,63

3,483

Z

Z

b aA A A

19 24 0,2910 0,2387 0

99 24 0,529

,529

7

7

P x

A

d)

19 0,81Z

0,5aA A

19 0,2910 0,5000 0,791

19 0,79

0

10

X

P x

A

e)

19

16

0,81

17 21,8131,38

3,483

Z

Z

b aA A A

17 19 0,4162 0,2910 0,125

17 19 0,12 2

2

5

X

P x

A

26

Problemas de Distribución de Probabilidad Normal aproximando a la Binomial 1) El70% de los empleados entre obreros, administrativos y académicos que laboran en el I. U.

G.T. poseen títulos académicos. Se seleccionan de manera aleatoria 30 empleados: a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 17 tengan títulos académicos?, b) Más de 26? y c) Menos de 23?

Solución

: 0,70 0,30; 30

: ; ;

Datos p q n

xFórmulas np npq Z

30 0,70 21; 21 0,30 2,51

a)

1 2

1

2

16,5 17,5

16,5 211,79

2,51

17,5 211,39

2,51

c c

c

c

x x x

Z

Z

a bA A A

17 0,4633 0,4177 0,0456

17 0,0456P x

A

b)

25,5 ;

25,5 211,79

2,51

c

c

x x

Z

0,5 bA A

26 0,5 0,4633 0,03

26 0,036

67

7

x

P X

A

c)

23,5;

23,5 211,00

2,51

c

c

x x

Z

0,5 bA A

23 0,5 0,3413 0,841

23 0,841

3;

3

x

P x

x

2) El 81% de los estudiantes del profeso Scott aprueban sus materias, si de manera

aleatoria seleccionamos 48 de esos estudiantes, ¿Cuál será la probabilidad que: a)

Exactamente 34 aprueben la materia?, b) No menos de 37 aprueben la materia? Y

c) A lo sumo 35 aprueben la materia?

Solución

27

: 0,81 0,19; 48

: ; ;

Datos p q n

xFórmulas np npq Z

48 0,81 38,88; 38,88 0,19 2,718

a)

1

1

2

33,5 34,5

33,5 38,881,98

2,718

34,5 38,81,61

2,718

c

c

c

x x

Z

Z

a bA A A

34 0,4762 0,4463 0,0299

34 0,0299P x

A

b)

36,5;

36,5 38,880,88

2,718

c

c

x x

Z

0,5aA A

37 0,5 0,3106 0,81

37 0,810

06

6

x

P X

A

c)

34,5;

34,5 38,881,61

2,718

c

c

x x

Z

0,5 aA A

23 0,5 0,4463 0,053

35 0,053

7;

7

x

P x

x

28

Lapso 04 de Estadística Instrumental

Problemas de Distribución Muestral

1) Los 314 0breros que trabajan en una empresa automotriz se observa que tienen un promedio

de 32 años, con una desviación estándar de 10 años. Si la distribución de estos datos sigue una Distribución Normal; se pide: a) Probabilidad de que la media muestral de 25 de ellos resulte menor de 28 años y b) Probabilidad de que sobrepase los 31 años.

Datos: 314; 32; 10; 25N n

Fórmulas: ;1x

x

N nXZ

Nn

314 25101,922

314 125x x

a)

28

28 322,08

1,922xZ

0,5 aA A

280,5 0,4812 0,01

28 0,0188

88X

P

A

X

b)

31

31 320,52

1,922Z

0,5aA A

310,1985 0,5 0,69

31 0,6985

85X

P

A

X

2) Los 0breros que trabajan en una empresa automotriz se observa que tienen un promedio de 32 años, con una desviación estándar de 10 años. Si la distribución de estos datos sigue una Distribución Normal; se pide: a) Probabilidad de que la media muestral de 25 de ellos resulte menor de 28 años y b) Probabilidad de que sobrepase los 31 años.

Datos:

Fórmulas: ;x

x

XZ

n

102,00

25x x

29

a)

28

28 322,00

2xZ

0,5 aA A

280,5 0,4772 0,02

28 0,0288

88X

P

A

X

b)

31

31 320,50

2Z

0,5aA A

310,1915 0,5 0,69

31 0,6915

15X

P

A

X

Problemas de estimación de Intervalos de Confianza

1) Una agencia de turismo tomó muestras de las personas que en vacaciones participaban en cruceros por El Caribe y que visitaban a Puerto Rico. Dentro de un nivel de confianza de 96%, ¿Cuál será el intervalo de confianza para la proporción de vacacionistas venezolanos si de las 1822 personas encuestadas 531 eran venezolanos?

Datos: 531; 1.822; . . 96%n N N C

Fórmulas: 1

; ;p p

p pnp E Z

N n

0,2914 1 0,29145310,2914; 0,0197; 96% 2,05

1.822 531

2,05 0,0197 0,0403

0,2914 0,0403 0,251

: 0,2511 0,33

1; 0.2914 0.0403 0,3317

17

pp para NC Z

E x

LIC p E LSC p E

IC de p

2) Una empresa de investigación realizó una encuesta para determinar la cantidad media que

los fumadores gastan en cigarrillos durante una semana. Una muestra de 49 fumadores reveló que la media muestral es de Bs. 20 y una desviación estándar muestral de Bs. 5. a) ¿Cuál es el estimador puntual de la media de la población? Explicar que indica y b) Utilizando el nivel de confianza de 95%, determinar el intervalo de confianza para la media poblacional. Explicar que indica.

Datos: 49; 20; 5; 95%n X S NC

Fórmulas: ;x x

SE Z S S

n

a) “El mejor estimador es la Media Muestral=20, ya que partiendo de ella se puede estimar

el rango de valores donde puede ubicarse la Media Poblacional” b)

50,7143; 95% 1,96 1,96 0,7143 1,4

7

20 1,4 18,6; 20 1,4 21,

: 18,6 21,4

" , 18,6 21,4"

4

x

IC de

Explica que la Media Poblacional con estos datos debe oscilar entre

S para NC Z E x

LIC X E LSC X E

a

30

3) Para realizar un estudio de manera aleatoria se selecciona una muestra de 81 trabajadores cuyo ingreso mensual promedio fue de Bs. 3.890,00 conociéndose que para condiciones similares la desviación estándar poblacional es de Bs. 998,00. Se toma un nivel de confianza del 96%, para realizar un estudio de estimación. Se pide: a) ¿Cuál será la media poblacional? b) ¿Cuál sería el mejor estimador puntual?, c) ¿Qué distribución de variable continua se utilizaría para obtener el error estándar de la muestra, el error de muestro y un intervalo de confianza? ¿Por qué?, d) Calcular el error estándar de la muestra y el error de muestreo, e) Desarrollar el intervalo de confianza para este estudio e interpretar resultados y f) ¿ Se podría afirmar que un ingreso de Bs. 3.800,00 es una media poblacional? ¿Qué tal un ingreso de Bs. 3.650?

Datos: 81; 3.890,00; 998,00; 96%n X NC

Fórmulas: ;x x

SE Z S

n a) “No se puede considerar una media poblacional como tal en virtud que en el Intervalo de

Confianza que se podría desarrollar con esta información existirían infinitos valores que podrían asumir la función de Media Aritmética Poblacional”.

b) “El mejor estimador es la Media Muestral (Bs. 3.890,00) , ya que partiendo de ella se puede estimar el rango de valores donde puede ubicarse la Media Poblacional”

c) “Se utilizará la Distribución Normal o Z, ya que n=81>30, Población Grande.

d)

998; 96% 2,05

81

2

110,889

227,,05 110,889 322

x xpara NC Z

EE x

e)

: 3.662,678 4.117,322

3.890 227,322 3.662,678; 3.890 227,322 4.1

" ,

3.662,678 4.117,

17,3

322

2

"

2

IC de

Explica que la Media Poblacional con estos datos debe

LIC X E LSC

oscilar desde a inclusive

X E

f) Como Bs. 3.800,00 está dentro del Intervalo de Confianza se puede considerar como uno de los valores de la Media Aritmética Poblacional; no así Bs. 3.650,00 que está fuera de ese intervalo”

4) Suponga que en el problema anterior la muestra seleccionada es de 25 trabajadores y no

responde a una Distribución Normal, y que el Nivel de Confianza es de 95%. a) “No se puede considerar una media poblacional como tal en virtud que en el Intervalo de

Confianza que se podría desarrollar con esta información existirían infinitos valores que podrían asumir la función de Media Aritmética Poblacional”.

b) “El mejor estimador es la Media Muestral (Bs. 3.890,00) , ya que partiendo de ella se puede estimar el rango de valores donde puede ubicarse la Media Poblacional”

c) “Se utilizará la Distribución de Student o t, ya que n=25<30, Población Pequeña No Normal.

d)

31

998; 95% . . 1 25 1 2199,6

41

4 2,06425

2,064 199, 96 1, 74

xxpara NC y g l n t

x EE

e)

: 3.478,026 4.301,974

3.890 411,974 3.478,026; 3.890 411,974 4.3

" ,

3.478,026 4.301,

01,9

974

4

"

7

IC de

Explica que la Media Poblacional con estos datos debe

LIC X E LSC

oscilar desde a inclusive

X E

f) Tanto Bs. 3.800,00 como Bs 3.650 están dentro del Intervalo de Confianza ambos valores se pueden considerar como Medias Aritmética Poblacionales.”

Problemas para la obtención del tamaño adecuado de una muestra

1) ¿Qué tan grande se requiere que sea el tamaño de una muestra para que proporcione una estimación del 90% del número promedio de graduados de las universidades nacionales con un error de muestreo de 2.000 estudiantes si una muestra piloto reporta una desviación estándar de 8.659?

Datos: 2000; 8.659; 90%E NC

Fórmulas:

2Z

nE

2

1,65 8.65990% 1,65; : 51,0321

2.

2

000

5n

xPara NC Z luego n

2) Para realizar un estudio se requiere un nivel de confianza del 95% para la tasa de rendimiento promedio de una empresa que gana sobre sus proyectos para presupuestar capital. ¿Cuántos proyectos debe tener la muestra, si su supervisor especifica un error máximo de sólo del 5% y una desviación estándar de 0,23?

Datos: 5%; 95%; 0,23E NC

Fórmulas: Z

nE

2

1,96 0,2395% 1,96 81,2

8

8830,05

2

xPara NC n

n

Z

3) El comisionado para supervisar el funcionamiento de los institutos de educación

universitaria requiere hacer un estudio sobre los graduandos de dichos institutos en esta parte del año. Solo sabe que el año pasado por esta época solo se graduó el 82% de los que tenían opción al grado. Se toma un nivel de confianza del 96%, y se estima un error de muestreo del 3%, para realizar una encuesta sobre la posibilidad que tiene cada estudiante de graduarse. Para hacerla se va a tomar una muestra de manera aleatoria de los 25.683 graduandos. ¿Cuál sería el tamaño mínimo de la muestra para realizar esta investigación?

Datos: 0,82; 0,03; 96%; 25.683E NC N Población Finita

32

Fórmula:

2

2 2

1

1

o

o

NZn

NE Z

2

2 2

0,82 0,18 25.683 2,05671,198

25.683 0,03 0,82 0,18 2,05672n graduandn os

4) El comisionado para supervisar el funcionamiento de los institutos de educación universitaria requiere hacer un estudio sobre los graduandos de dichos institutos en esta parte del año. No teniendo una información referencial para un basamento en el muestreo de los graduandos actuales; se toma un nivel de confianza del 96%, y se estima un error de muestreo del 3%, para realizar una encuesta sobre la posibilidad que tiene cada estudiante de graduarse. Para hacerla se va a tomar una muestra de manera aleatoria de los 25.683 graduandos. ¿Cuál sería el tamaño mínimo de la muestra para realizar esta investigación?

Datos: 0,03; 96%; 25.683; ( )E NC N Población Finita

Fórmulas:

2

2 2

0,25

0,25

o

o

NZn

NE Z

2

2 2

0,25 25.683 2,051.116,608

25.683 0,03 0,251

2,05.117n graduandosn

Problemas de Pruebas de Hipótesis de una o dos poblaciones.

Problema de Prueba de Hipótesis de dos colas

1) Una embotelladora de salsa de tomates quiere comprobar que el producto contenido en cada botella tiene un peso promedio de 450 gramos. Para realizar la comprobación se tomó una muestra de 250 botellas, y se le calculó al producto, un peso promedio de 452,75 gramos, con una desviación estándar de 24,55 gramos. Para la comprobación se toma un nivel de significancia del 5%. ¿Será cierto lo que quiere comprobar la embotelladora de salsa de tomates?

Datos: µ =450 grs., n=250 botellas; =452,75 grs.; S=24,55 grs.; α=5%

01. Planteamiento de la Hipótesis:

Hipótesis Nula; H0: µ =450 grs. HA: µ 450 grs.

02. Seleccionar un nivel de significancia:

Como µ=450 grs., eso implica que la prueba es de dos colas, por lo que

0,050,025

2 2o

03. Determinar el estadístico de prueba:

Siendo n=250 > 30, población grande, se usa la Distribución Z; por lo que

x

xz

S y

x

SS

n, por lo que:

24,551,553

250x

S y 452,75 450

1,771,553

z

33

04 Formular la regla de decisión:

Rechazo Zo =-1,96 Z=1,77 Zo=1,96 Aceptación

Por ser una prueba de dos colas para aceptar la Hipótesis Nula debe cumplirse que –Z0<Z<Z0, de lo contrario se rechaza. Se sabe que A0= 0,5 - α0, por lo tanto A0=0,5-

0,025=0,4750, buscando este valor en la tabla de Z, resulta que Z0 =1,96.

05 Toma de Decisión:

Cumpliéndose lo establecido en la regla de decisión, por cuanto –Z0=-1,96<1,77=Z<1,96=Z0, se acepta la hipótesis nula, es decir: “la embotelladora comprobó con esta prueba de

hipótesis, que realmente el contenido de cada botella de salsa de tomate pesa un

promedio de 450 gramos”

Problema de Prueba de Hipótesis de una cola

2) Una embotelladora de salsa de tomates quiere comprobar que el producto contenido en cada botella tiene un peso promedio mayor o igual a 450 gramos. Para realizar la comprobación se tomó una muestra de 250 botellas, y se le calculó al producto, un peso promedio de 452,75 gramos, con una desviación estándar de 24,55 gramos. Para la comprobación se toma un nivel de significancia del 5%. ¿Será cierto lo que quiere comprobar la embotelladora de salsa de tomates?

Datos: 450 grs., n=250 botellas; =452,75; S=24,55 grs.; α=5%

01. Planteamiento de la Hipótesis:

Hipótesis Nula; H0: 450 .grs HA: µ<450 grs.

02. Seleccionar un nivel de significancia:

Como, 450 , eso implica que la prueba es de una cola, como =452,75 > 450 = µ, y la

cola es a la derecha por lo que αo=α= 0,05

03. Determinar el estadístico de prueba:

Siendo n=250 > 30, muestra grande, se usa la Distribución Z; por lo que

y x

xz

S y

x

SS

n, por lo que:

24,551,5527

250x

S452,75 450

1,771,5527

z

04. Formular la regla de decisión:

Cola a la Derecha

34

Aceptación Z0 =1,65 Z=1,77 Rechazo

Por ser una prueba de una cola y es a la derecha, para aceptar la Hipótesis Nula debe cumplirse que Z<Z0, de lo contrario se rechaza. Se sabe que A0= 0,5 - α0, por lo tanto A0=0,5-

0,05=0,4500, buscando este valor en la tabla de Z, resulta que Z0 =1,65.

05 Toma de Decisión:

No cumpliéndose lo establecido en la regla de decisión, por cuanto Z=1,77> 1,65=Z0, se rechaza la hipótesis nula, es decir: “la embotelladora comprobó con esta prueba de hipótesis, que

realmente el contenido de cada botella de salsa de tomate pesa menos del promedio

de 450 gramos”

Problema de Prueba de Hipótesis de Proporción Poblacional y una cola

3) El encargado para colocar en el mercado de trabajo a los graduados del I. U. G. T. sostuvo que al menos el 50% de los nuevos graduados habían cerrado un trato de empleo para el 1ro de Agosto. Supongamos que reúne una muestra aleatoria de 30 estudiantes próxima a graduarse y que solo 10 de ellos señalan haber cerrado un trato de empleo para el 1ro de Agosto. Dentro de un nivel de significancia del 5%; ¿Se podrá rechazar que sostiene el encargado del I. U. G T para la colocación en el mercado de nuevos graduado?

Datos: 100,5; 30; 10; % 5%; 0,333330

Xn X pn

35

; : ; ,

0,5

0,5 0

P

,

r

0 0

.

, 5

.

A

imer Paso Plantear la Hipótesis

Segundo Paso Seleccionar el Nivel de Significanc

La Hipótesis Nula H quela Hipótesis Alternativa

Como prueba deuna cola luego y además es la

izquierda po

i

r ser

H

a

0,5 0,3333

30, sec

0,333 0,5

0,086

1 0,333 0,6670

. min P

,08630

1,94

r

. Re

p

p

p

Al ser n seconsiderauna población grandeencon uenc

Tercer Paso Deter ar el Es

ia seusa Z

pZ

p p x

tadístico de ueba

Cuarto Paso Formular la

Z

n

gla

,

0,5 0,5 0,05 0,45. 0 1,65

Para aceptar la Hipótesis Nula debecumplirse que Z Z por ser

A

de

una prueba

decola a la i

cisió

zqu

n

ierda Z

Cola a la Izquierda

Rechazo Z=-1,94 Z0=-1,65 Aceptaciòn

Re ,

1,94 1,65 ,

i

"

arg . . . . "

nt .

, :

Al nocumplirseloestablecidoenla gla decisión ya que

Z Z se re lo que

afirma el enc

Qu o Paso T

ado d

chaza la H

ecolocac

ipótesis Nula es d

ión de graduados del I U G T noes cier

ecir

t

omar la Decisi

o

ón

Problema de Prueba de Hipótesis de dos poblaciones y dos colas

4) Se estudia la ubicación de un centro comercial y se consideran las alternativas de dos localidades tomando en cuenta el ingreso económico mensual de los miembros de la

36

comunidad. Se desea probar la hipótesis de que no existe diferencia entre el ingreso económico medio de ambas comunidades y se supone que la desviaciones estándar de ese ingreso medio también son iguales. En una muestra de 30 hogares de la primera comunidad el ingreso mensual promedio es de Bs. 7.990,00 con una desviación estándar de Bs. 332. En una muestra de 40 hogares en la segunda comunidad, el ingreso mensual promedio es de Bs. 7.790,00 con una desviación estándar de Bs. 430. Para un nivel de significancia del 5%, ¿Se cumplirá la hipótesis planteada?

Datos: 1 1 1 2 2 230; 7.990; 332; 40; 7.790; 430; % 5%n X S n X S

1 2 1 2

1 2

Pr .

.

; : ,

.

0,0

m

,2

i

2

n

;

5

imer Paso Plantear la Hipótesis

Segundo Paso Seleccionar el Nivel de Sign

La Hipótesis Nula H quela Hipótesis Alternativa

Como prueba de dos cola

ificancia

Tercer Paso D

s l

eter ar e

uego

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

2 2 2 2

1 2

1 2

30 40; sec

7.990 7.790

91,086

332 43091

P

,08630 40

2,196

r

. Re

X X

X X

Al ser n y n seconsideran poblaciónes grandes en con uencia seusa Z

X

l Estadístico de ueba

Cuarto Paso Formular la gla de

X

n n

ZZ

0,5 0,5 0,025 0,4750 1 6

,

. ,9

Para aceptar la Hipótesis Nula debecumplirse que Z Z Z por ser una

de dos cola

ci

As

si

Z

ón

Rechazo Z0=-1,96 Z0=1,96 Z=2,196 Aceptación

37

Re ,

2,

i

19 "

cos

6 1,96 , ,

nt

:

.

Al nocumplirseloestablecidoenla gla decisión ya que

Z Z serechaza Si existe

diferencia entrelos ing

la Hipóte

resos eco

Qu o Pas

nóm

o Tomar la

i delo

Decisió

s reside

sis Nula es dec

ntes de ambas c

n

omunida

ir

"des

38

APÇENDICES

APÉNDICE “A”

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL O “Z” (Media Campana)

Z A Z A Z A Z A Z A Z A Z A Z A

0,00 0,0000 0,45 0,1736 0,90 0,3159 1,35 0,4115 1,80 0,4641 2,25 0,4878 2,70 0,4965 3,15 0,4992

0,01 0,0040 0,46 0,1772 0,91 0,3186 1,36 0,4131 1,81 0,4649 2,26 0,4881 2,71 0,4966 3,16 0,4992

0,02 0,0080 0,47 0,1803 0,92 0,3212 1,37 0,4147 1,82 0,4656 2,27 0,4884 2,72 0,4967 3,17 0,4992

0,03 0,0120 0,48 0,1844 0,93 0,3238 1,38 0,4162 1,83 0,4664 2,28 0,4887 2,73 0,4968 3,18 0,4993

0,04 0,0160 0,49 0,1879 0,94 0,3264 1,39 0,4177 1,84 0,4671 2,29 0,4890 2,74 0,4969 3,19 0,4993

0,05 0,0199 0,50 0,1915 0,95 0,3289 1,40 0,4192 1,85 0,4678 2,30 0,4893 2,75 0,4970 3,20 0,4993

0,06 0,0239 0,51 0,1950 0,96 0,3315 1,41 0,4207 1,86 0,4686 2,31 0,4896 2,76 0,4971 3,21 0,4993

0,07 0,0279 0,52 0,1985 0,97 0,3340 1,42 0,4222 1,87 0,4693 2,32 0,4898 2,77 0,4972 3,22 0,4994

0,08 0,0319 0,53 0,2019 0,98 0,3365 1,43 0,4236 1,88 0,4700 2,33 0,4901 2,78 0,4973 3,23 0,4994

0,09 0,0359 0,54 0,2054 0,99 0,3389 1,44 0,4251 1,89 0,4706 2,34 0,4904 2,79 0,4974 3,24 0,4994

0,10 0,0398 0,55 0,2088 1,00 0,3413 1,45 0,4265 1,90 0,4713 2,35 0,4906 2,80 0,4974 3,25 0,4994

0,11 0,0438 0,56 0,2123 1,01 0,3438 1,46 0,4279 1,91 0,4719 2,36 0,4909 2,81 0,4975 3,26 0,4994

0,12 0,0478 0,57 0,2157 1,02 0,3461 1,47 0,4292 1,92 0,4726 2,37 0,4911 2,82 0,4976 3,27 0,4995

0,13 0,0517 0,58 0,2190 1,03 0,3485 1,48 0,4306 1,93 0,4732 2,38 0,4913 2,83 0,4977 3,28 0,4995

0,14 0,0557 0,59 0,2224 1,04 0,3508 1,49 0,4319 1,94 0,4738 2,39 0,4916 2,84 0,4977 3,29 0,4995

0,15 0,0596 0,60 0,2258 1,05 0,3531 1,50 0,4332 1,95 0,4744 2,40 0,4918 2,85 0,4978 3,30 0,4995

0,16 0,0636 0,61 0,2291 1,06 0,3554 1,51 0,4345 1,96 0,4750 2,41 0,4920 2,86 0,4979 3,31 0,4995

0,17 0,0675 0,62 0,2324 1,07 0,3577 1,52 0,4357 1,97 0,4756 2,42 0,4922 2,87 0,4980 3,32 0,4996

0,18 0,0714 0,63 0,2357 1,08 0,3599 1,53 0,4370 1,98 0,4762 2,43 0,4925 2,88 0,4980 3,33 0,4996

0,19 0,0754 0,64 0,2389 1,09 0,3621 1,54 0,4382 1,99 0,4767 2,44 0,4927 2,89 0,4981 3,34 0,4996

0,20 0,0793 0,65 0,2422 1,10 0,3643 1,55 0,4394 2,00 0,4773 2,45 0,4929 2,90 0,4981 3,35 0,4996

0,21 0,0832 0,66 0,2454 1,11 0,3665 1,56 0,4406 2,01 0,4778 2,46 0,4931 2,91 0,4982 3,36 0,4996

0,22 0,0871 0,67 0,2486 1,12 0,3686 1,57 0,4418 2,02 0,4783 2,47 0,4932 2,92 0,4983 3,37 0,4996

0,23 0,0910 0,68 0,2518 1,13 0,3708 1,58 0,4430 2,03 0,4788 2,48 0,4934 2,93 0,4983 3,38 0,4996

0,24 0,0948 0,69 0,2549 1,14 0,3729 1,59 0,4441 2,04 0,4793 2,49 0,4936 2,94 0,4984 3,39 0,4997

0,25 0,0987 0,70 0,2580 1,15 0,3749 1,60 0,4452 2,05 0,4798 2,50 0,4938 2,95 0,4984 3,40 0,4997

0,26 0,1026 0,71 0,2612 1,16 0,3770 1,61 0,4463 2,06 0,4803 2,51 0,4940 2,96 0,4985 3,41 0,4997

0,27 0,1064 0,72 0,2642 1,17 0,3790 1,62 0,4474 2,07 0,4808 2,52 0,4941 2,97 0,4985 3,42 0,4997

0,28 0,0110 0,73 0,2673 1,18 0,3810 1,63 0,4485 2,08 0,4812 2,53 0,4943 2,98 0,4986 3,43 0,4997

0,29 0,1141 0,74 0,2704 1,19 0,3830 1,64 0,4495 2,09 0,4817 2,54 0,4945 2,99 0,4986 3,44 0,4997

0,30 0,1179 0,75 0,2734 1,20 0,3849 1,65 0,4505 2,10 0,4821 2,55 0,4946 3,00 0,4987 3,45 0,4997

0,31 0,1217 0,76 0,2764 1,21 0,3869 1,66 0,4515 2,11 0,4826 2,56 0,4948 3,01 0,4987 3,46 0,4997

0,32 0,1255 0,77 0,2794 1,22 0,3888 1,67 0,4525 2,12 0,4830 2,57 0,4949 3,02 0,4987 3,47 0,4997

0,33 0,1293 0,78 0,2823 1,23 0,3907 1,68 0,4535 2,13 0,4834 2,58 0,4951 3,03 0,4988 3,48 0,4998

0,34 0,1331 0,79 0,2852 1,24 0,3925 1,69 0,4545 2,14 0,4838 2,59 0,4952 3,04 0,4989 3,49 0,4998

0,35 0,1368 0,80 0,2881 1,25 0,3944 1,70 0,4554 2,15 0,4842 2,60 0,4953 3,05 0,4989 3,50 0,4998

0,36 0,1406 0,81 0,2910 1,26 0,3962 1,71 0,4564 2,16 0,4846 2,61 0,4955 3,06 0,4989 3,51 0,4998

0,37 0,1443 0,82 0,2939 1,27 0,3980 1,72 0,4573 2,17 0,4850 2,62 0,4956 3,07 0,4989 3,52 0,4998

0,38 0,1480 0,83 0,2967 1,28 0,3997 1,73 0,4582 2,18 0,4854 2,63 0,4957 3,08 0,4990 3,53 0,4998

0,39 0,1517 0,84 0,2996 1,29 0,4015 1,74 0,4591 2,19 0,4857 2,64 0,4959 3,09 0,4990 3,54 0,4998

0,40 0,1554 0,85 0,3023 1,30 0,4032 1,75 0,4599 2,20 0,4861 2,65 0,4960 3,10 0,4990 3,55 0,4998

0,41 0,1591 0,86 0,3081 1,31 0,4049 1,76 0,4608 2,21 0,4865 2,66 0,4961 3,11 0,4991 3,56 0,4998

0,42 0,1628 0,87 0,3079 1,32 0,4066 1,77 0,4616 2,22 0,4868 2,67 0,4962 3,12 0,4991 3,57 0,4998

0,43 0,1664 0,88 0,3106 1,33 0,4082 1,78 0,4625 2,23 0,4871 2,68 0,4963 3,13 0,4991 3,58 0,4998

0,44 0,1700 0,89 0,3133 1,34 0,4099 1,79 0,4633 2,24 0,4875 2,69 0,4964 3,14 0,4992 3,59 0,4998

39

Tabla Orientadora para obtener las probabilidades de la

DistribucAplicando la Media Campana de Gauss APÉNDICE “B”

Valores notable de Z

N.C.

% A0 Z0 N.C.

% A0 Z0 N.C.

% A0 Z0 N.C.

% A0 Z0

80 0,400 1,28 85 0,425 1,44 90 0.450 1,65 95 0.475 1,96

81 0,405 1,31 86 0,430 1,48 91 0,455 1,72 96 0,480 2,05

82 0,410 1,34 87 0,435 1,51 92 0,460 1,75 97 0,485 2,17

83 0,415 1,37 88 0,440 1,56 93 0,465 1,81 98 0,490 2,33

84 0,420 1,41 89 0,445 1,60 94 0,470 1,88 99 0,495 2,58

GRÁFICA EN LA

CAMPANA DE GAUSS

PROBABILIDAD

SOLICITADA

PARÁMETRO

RESPECTO A LA MEDIA

POBLACIONAL

SIGNO DE Z

OBTENCIÓN DEL

ÁREA EN LA TABLA DE Z

Un solo acotamiento (X<a; X>a)

P X a a Z 0,5 aA A

P X a a Z 0,5 aA A

P X a a Z 0,5 aA A

P X a a Z 0,5 aA A

Doble acotamiento (a<X<b; X<a ó X>b)

P a X b a b ;a bZ y Z b aA A A

P a X b a b ;a bZ y Z b aA A A

P a X a b Z aA A

P X b a b Z bA A

P a X b a b ;a bZ y Z a bA A A

40

DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT

APÉNDICE "C"

Intervalo de Confianza, IC

Intervalo de Confianza, IC

80% 90% 95% 98% 99% 99,9%

80% 90% 95% 98% 99% 99,9%

Nivel de significancia para prueba de una cola,

Nivel de significancia para prueba de una cola,

g.l. 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 0,0005

g.l. 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 0,0005

Nivel de significancia para prueba de dos colas,

Nivel de significancia para prueba de dos colas,

0,200 0,100 0,050 0,020 0,010 0,001

0,200 0,100 0,050 0,020 0,010 0,001

1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619

34 1,307 1,691 2,032 2,441 2,728 3,601

2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,599

35 1,306 1,690 2,030 2,438 2,724 3,591

3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924

36 1,306 1,688 2,028 2,434 2,719 3,582

4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610

37 1,305 1,687 2,026 2,431 2,715 3,574

5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869

38 1,304 1,686 2,024 2,429 2,712 3,566

6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959

39 1,304 1,685 2,023 2,426 2,708 3,558

7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408

40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551

8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041

41 1,303 1,683 2,020 2,421 2,701 3,544

9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781

42 1,302 1,682 2,018 2,418 2,698 3,538

10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587

43 1,302 1,681 2,017 2,416 2,695 3,352

11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437

44 1,301 1,680 2,015 2,414 2,692 3,526

12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318

45 1,301 1,676 2,014 2,412 2,690 3,520

13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221

46 1,300 1,679 2,013 2,410 2,687 3,515

14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140

47 1,300 1,678 2,012 2,408 2,685 3,510

15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073

48 1,299 1,677 2,011 2,407 2,682 3,505

16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015

49 1,299 1,677 2,010 2,405 2,680 3,500

17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965

50 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 3,496

18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922

51 1,298 1,675 2,008 2,402 2,676 3,492

19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883

52 1,298 1,675 2,007 2,400 2,674 3,488

20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850

53 1,298 1,674 2,006 2,399 2,672 3,484

21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819

54 1,297 1,674 2,005 2,397 2,670 3,480

22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792

55 1,297 1,673 2,004 2,396 2,668 3,476

23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768

56 1,297 1,673 2,003 2,395 2,667 3,473

24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745

57 1,297 1,672 2,002 2,394 2,665 3,470

25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725

58 1,296 1,672 2,002 2,392 2,663 3,466

26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707

59 1,296 1,671 2,001 2,391 2,662 3,463

27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690

60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460

28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674

61 1,296 1,670 2,000 2,389 2,659 3,457

29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,659

62 1,295 1,670 1,999 2,388 2,657 3,454

30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646

63 1,295 1,669 1,998 2,387 2,656 3,452

31 1,309 1,696 2,040 2,453 2,744 3,633

64 1,295 1,669 1,998 2,386 2,655 3,449

32 1,309 1,694 2,037 2,449 2,738 3,622

65 1,295 1,669 1,997 2,385 2,654 3,447

33 1,308 1,692 2,035 2,445 2,733 3,611

66 1,295 1,668 1,997 2,384 2,652 3,444

41

APÉNDICE “D”

FÓRMULAS PARA LA DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO

ADECUADO DE LA MUESTRA

Tipo de

Población

Parámetro Fórmula Ordinaria Fórmula

Óptima

Comentario

No finita

Media

Poblacional

2Z

nE

Seleccionado el N.C., en el

tamaño muestral 2 factores

importantes influyen: a) la

varianza de la pobl. (2

),

expresa el grado de

variabilidad que presentan

las unidades de la pobl.,

siendo para prop. Poblacs.:

2= π (1- π) y en el mejor

de los casos 2

x= 0,25; b) el

tamaño del error tolerable (E)

fijado por el investigador de

acuerdo al estudio a realizar

y c) el nivel de confianza

(NC), tiene relación directa

con el tamaño de la muestra

a mayor nivel de confianza el

tamaño de la muestra será

mayor.

Proporción Poblacional

2

1Z

nE

2

0,25Z

nE

Finita

Media

Poblacional

2 2

2 2 2

NZn

NE Z

Proporción Poblacional

2

2 2

1

1

NZn

NE Z 2

2 2

0,25

0,25

NZn

NE Z