práctico de las Oposiciones - academiadeimos.es · Prólogo resentamos al lector la segunda edición del cuarto volumen de la colección Problemas de Oposiciones a Profesores de

Braulio de Diego MartínCatedrático de Matemáticas de Enseñanza Secundaria (excedente).

Profesor Titular de Escuela Universitaria. Universidad de Alcalá de Henares.

Agustín Llerena AchúteguiCatedrático de Matemáticas de Enseñanza Secundaria.

Profesor Asociado. Universidad de Alcalá de Henares.

Francisco José Baena MuñozProfesor de Enseñanza Secundaria.

María Belén Rodríguez RodríguezProfesora de Enseñanza Secundaria.

José Manuel Gamboa MutuberríaCatedrático de Álgebra. Universidad Complutense de Madrid.

José María Lorenzo MagánProfesor de Enseñanza Secundaria.

Profesor Asociado. Universidad Complutense de Madrid.

378PROBLEMAS

Tomo 4

Preparación del ejercicio

práctico de las Oposiciones

al Cuerpo de Profesores de

Enseñanza Secundaria

(1996 a 2005)(1996 a 2005)

MATEM˘A˘TICAS

2ª EDICIÓN

© Los autores© Editorial Deimos

Glorieta del Puente de Segovia, 328011 MadridTel.: 91 479 23 42 y 669 31 64 [email protected]

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I.S.B.N: 978-84-86379-32-2 (Obra completa)I.S.B.N: 978-84-86379-86-5 (Tomo 4)Depósito legal: M-7612-2014

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Prólogo

resentamos al lector la segunda edición del cuarto volumen de la

colección Problemas de Oposiciones a Profesores de Enseñanza

Secundaria. Matemáticas, cuyo primer volumen recogía problemas

propuestos en las citadas oposiciones desde 1969. En este cuarto volumen se

resuelven los problemas propuestos desde 1996 a 2005 por los tribunales que

han juzgado las oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria,

en la especialidad de Matemáticas, en las diferentes Comunidades Autónomas.

En esta segunda edición del cuarto volumen de problemas se han mejorado los

gráficos, se ha aumentado el tamaño de los subíndices para hacerlos más

visibles y se ha incorporado alguna nueva solución que era mejor que la que

nosotros escribimos en la primera edición, además de, por supuesto, haber

corregido alguna pequeña errata que allí nos pasó desapercibida.

Además del índice cronológico, en el que los problemas aparecen ordenados

según el año de celebración de la Oposición y la Comunidad en la que fueron

propuestos, se ha modificado y precisado el índice temático de problemas, en

el que el lector podrá seleccionar todos aquellos problemas referidos a un

mismo concepto matemático en los que podrá percibir líneas maestras de

demostración que son comunes a muchos problemas parecidos a los tratados.

Algunos de los problemas que aparecen en el libro ya fueron propuestos en

anteriores convocatorias y figuran resueltos en los volúmenes 1, 2 ó 3 de la

colección Problemas de Oposiciones. Matemáticas (véanse las Publicaciones

del final del libro). En tales casos hemos optado por remitir al lector al

P

volumen de los anteriores en el que figura resuelto el problema, o bien, por

presentar una solución alternativa cuando contiene ideas sustancialmente

diferentes a las expuestas en el volumen citado.

En los problemas propuestos por primera vez entre 1996 y 2005 presentamos

más de una solución completa en muchos de ellos y, para que el lector no

tenga que recurrir a terceros libros, se incluyen unas Observaciones al final de

cada problema en la que se enuncian y, eventualmente, se demuestran aquellos

resultados que han sido utilizados en la resolución del problema. El lector no

debe asustarse por la longitud de alguna de las soluciones propuestas, y es que

nuestro empeño en explicar con rigor todo lo que necesita ser explicado

provoca que ciertas soluciones se extiendan algo más de lo habitual. Diríase

que no nos ha importado sacrificar espacio en aras de la claridad.

Aquellos problemas con enunciado ambiguo han sido resueltos en todos los

casos a los que nuestra imaginación ha podido llegar y en otros

(afortunadamente pocos) en los que se pide probar algo que no puede

deducirse de los datos del problema, hemos buscado algún contraejemplo

sencillo que certifique lo que se afirma.

Por último, queremos agradecer la colaboración de todos aquéllos que han

contribuido a que esta segunda edición mejore a la primera. Agradecemos las

contribuciones de Fernando García Pérez, Silvia Leal Pardo, José Ledesma

Muñoz-Redondo, Manuel López Olmedo, Francisco Padilla Garví, Jorge

Quereda Laviña y, en especial, las de Bruno Salgueiro, ninguno de los cuales

tiene la más mínima responsabilidad en las deficiencias que con toda seguridad

encontrará el lector en el libro y que son achacables en exclusiva a los autores.

Madrid, Marzo 2014

LOS AUTORES

Índice cronológico de problemas

Año 1994

Castilla y León................ 94.1, 94.2, 94.3, 94.4

Año 1996

Andalucía........................ 96.1, 96.4, 96.7, 96.9, 96.12

Asturias........................... 96.25, 96.36, 96.55

Cantabria........................ 96.35, 96.38, 96.49, 96.51, 96.54

Castilla – La Mancha…... 96.20, 96.40, 96.45, 96.47

Castilla y León................ 96.18, 96.26, 96.30, 96.34

Cataluña.......................... 96.3, 96.6, 96.10, 96.13, 96.15, 96.33, 96.37, 96.39, 96.42,

96.44, 96.46, 96.48, 96.50, 96.52, 96.53

Extremadura.................... 96.2, 96.5, 96.8, 96.11

Galicia............................. 96.14, 96.16, 96.17, 96.21, 96.22, 96.23, 96.24, 96.27, 96.28,

96.31, 96.32, 96.41

Madrid............................. 96.19, 96.29, 96.43

Año 1997

Cataluña.......................... 97.1, 97.2, 97.3, 97.4, 97.5, 97.6, 97.7, 97.8, 97.9, 97.10,

97.11, 97.12, 97.13, 97.14, 97.15

Año 1998

Andalucía........................ 98.1, 98.8, 98.13, 98.16, 98.17, 98.22, 98.27

VIII Problemas de Oposiciones 1996-2005

Asturias........................... 98.3, 98.20, 98.25

Cantabria........................ 98.42, 98.44

Castilla – La Mancha….. 98.5, 98.11, 98.18, 98.24

Castilla y León................ 98.2, 98.9, 98.19, 98.21

Cataluña.......................... 98.6, 98.14, 98.23, 98.30, 98.33, 98.34, 98.35, 98.36, 98.37,

98.39, 98.41, 98.43, 98.45, 98.46, 98.47

Extremadura....................98.4, 98.10, 98.26, 98.29

Melilla.............................. 98.7, 98.12, 98.15, 98.28

Murcia............................. 98.31, 98.32, 98.38, 98.40

Año 1999

Cataluña......................... 99.3, 99.6, 99.9, 99.14, 99.15, 99.16, 99.17, 99.18, 99.19,

99.20, 99.21, 99.22, 99.23, 99.24, 99.25

Galicia............................. 99.1, 99.2, 99.4, 99.5, 99.7, 99.8, 99.10, 99.11, 99.12, 99.13

Año 2000

Andalucía........................ 00.1, 00.7, 00.13, 00.16, 00.19, 00.31

Canarias.......................... 00.5, 00.14, 00.25, 00.30, 00.35, 00.36, 00.37, 00.38, 00.39,

00.51, 00.54, 00.55, 00.56, 00.57, 00.59, 00.62


Castilla y León................ 00.42, 00.45, 00.49, 00.53

Cataluña.......................... 00.32, 00.34, 00.40, 00.41, 00.43, 00.46, 00.47, 00.60, 00.61,

00.63, 00.64, 00.65, 00.66, 00.67, 00.69

Ceuta............................... 00.12, 00.17, 00.22, 00.26

Extremadura.................... 00.2, 00.8, 00.15, 00.27

Galicia............................. 00.23, 00.33, 00.44, 00.48, 00.50, 00.52, 00.58, 00.68

Madrid............................. 00.4, 00.10, 00.18, 00.21

Murcia............................. 00.6, 00.11, 00.24, 00.29

Índice cronológico de problemas IX

Año 2001

Com. Valenciana............. 01.3, 01.6, 01.8, 01.9, 01.10

Galicia............................. 01.1, 01.2, 01.4, 01.5, 01.7, 01.11, 01.12, 01.13, 01.14, 01.15

Año 2002

Andalucía........................ 02.5, 02.11, 02.14, 02.30, 02.37

Aragón............................. 02.19, 02.36, 02.40

Baleares........................... 02.27, 02.34, 02.39, 02.42, 02.43


Castilla y León............... 02.1, 02.6, 02.17, 02.32

Extremadura.................... 02.2, 02.7, 02.12, 02.15

Galicia............................. 02.3, 02.9, 02.13, 02.16, 02.18, 02.20, 02.26, 02.29, 02.33,

02.41

Madrid............................. 02.21, 02.23, 02.25, 02.31

Melilla.............................. 02.24, 02.28, 02.35, 02.38

Año 2003

Com. Valenciana............. 03.1, 03.2, 03.3, 03.4, 03.5, 03.6, 03.7, 03.8

Año 2004

Andalucía........................ 04.35, 04.56, 04.57, 04.58, 04.59, 04.60

Aragón............................. 04.1, 04.7, 04.42, 04.43

Asturias........................... 04.2, 04.9, 04.15, 04.20, 04.55

Cantabria........................ 04.11, 04.22, 04.24, 04.29, 04.48

Castilla – La Mancha…... 04.10, 04.21, 04.26, 04.51

Castilla y León................ 04.3, 04.19, 04.44, 04.47

X Problemas de Oposiciones 1996-2005

Ceuta............................... 04.37, 04.40, 04.41, 04.53, 04.54

Com. Valenciana............. 04.6, 04.16, 04.28, 04.34

Extremadura................... 04.4, 04.14, 04.27, 04.30

Galicia............................. 04.5, 04.12, 04.17, 04.31, 04.33, 04.46, 04.50, 04.62

Madrid............................ 04.8, 04.13, 04.18, 04.23, 04.25, 04.32

Melilla............................. 04.36, 04.39, 04.45, 04.52

Murcia............................ 04.38, 04.49, 04.61

Año 2005

Baleares........................... 05.6, 05.10, 05.13, 05.17, 05.20, 05.24, 05.27, 05.30, 05.32,

05.35

Cataluña.......................... 05.1, 05.2, 05.3, 05.4, 05.5, 05.12, 05.16, 05.19, 05.23, 05.26,

05.29, 05.31, 05.33

Com. Valenciana............. 05.8, 05.15, 05.21, 05.34

Galicia............................. 05.7, 05.9, 05.11, 05.14, 05.18, 05.22, 05.25, 05.28

Índice temático de problemas

Números y combinatoria

Sistema de numeración decimal................ 00.4, 02.35, 04.16, 04.20

Otros sistemas de numeración.................. 96.10, 98.21

Identidades combinatorias........................ 96.1, 98.3, 00.22

Problemas de combinatoria....................... 96.34, 98.12, 00.62, 02.35, 02.39, 05.9

Divisibilidad en ℤ . Números primos........ 96.9, 00.19, 00.65, 01.8, 02.23, 03.1, 04.3,

04.16, 04.20, 04.24, 04.26, 04.49, 05.12,

05.13, 05.16, 05.18

Máximo común divisor y

mínimo común múltiplo............................ 98.17, 04.52, 05.21

Congruencias............................................. 98.1, 99.10, 99.19, 99.23, 00.26, 04.49, 05.5,

05.12, 05.16

Expresión decimal de un nº racional.

Error relativo............................................ 00.51, 04.24

Progresiones aritméticas y geométricas..... 96.29, 98.12, 98.41, 99.3, 00.59, 02.1, 03.5,

04.28, 04.58, 05.20, 05.21

Álgebra

Estructura de grupo.

Homomorfismos de grupos........................ 94.1, 96.2, 96.14, 01.1

Estructuras de anillo y cuerpo.................. 98.29, 00.52, 04.14, 04.35

Bases de un espacio vectorial.

Cambios de base....................................... 96.1, 99.13, 00.10, 02.31, 04.11

Subespacios vectoriales............................. 96.26, 97.14, 02.7, 02.33, 04.28

Aplicaciones lineales.................................. 99.11, 99.12, 00.23, 00.57, 01.12, 02.7, 02.33,

02.36, 04.11

XII Problemas de Oposiciones 1996-2005

Espacio dual. Base dual............................ 00.8

Divisibilidad de polinomios.

Raíces de un polinomio............................. 96.27, 96.53, 98.5, 98.6, 99.16, 00.11, 00.41,

02.4, 02.12, 02.29, 02.32, 02.40, 04.13, 04.41,

04.46, 05.13

Operaciones con polinomios...................... 99.3, 02.1

Espacios vectoriales de polinomios............ 96.1, 99.11, 99.13, 00.8, 00.10, 00.23, 04.11

Ecuaciones con coeficientes reales............. 96.29, 98.5, 99.16, 00.11, 00.41, 00.55, 01.3,

02.1, 02.29, 02.40, 04.21, 04.41, 04.53, 05.13

Sistemas de ecuaciones con

coeficientes reales...................................... 96.40, 01.2, 02.4, 02.27, 04.13, 05.25

Ecuaciones con coeficientes complejos...... 98.32, 99.4, 00.33, 00.49, 01.3, 01.6, 02.18,

04.22, 04.60

Acotación, separación y aproximación

de raíces de polinomios............................. 96.27, 02.29

Resolución de ecuaciones diofánticas........ 96.39, 04.1, 04.3

Discusión y resolución de sistemas

lineales...................................................... 98.13, 01.2

Operaciones con matrices.......................... 98.42, 00.23, 00.29, 02.36, 05.24

Potencias de matrices............................... 97.10, 97.14, 99.10, 00.29, 00.34, 02.33

Espacios vectoriales de matrices............... 96.26, 97.14, 01.12, 02.7

Diagonalización de matrices...................... 97.10, 02.33

Matrices simétricas.

Matrices ortogonales................................. 96.26, 98.39

Cálculo de determinantes.......................... 97.7, 00.22, 02.33, 03.5, 05.24

Inversa de una matriz............................... 97.10, 00.23, 00.29

Cálculo diferencial

Números no racionales.............................. 96.35, 04.61

Distintas topologías sobre ℝ .................... 96.22

Aplicaciones continuas.............................. 96.11

Índice temático de problemas XIII

Conjuntos abiertos y cerrados................... 98.26, 98.39

Adherencia, acumulación, frontera, …

de conjuntos de ℝ .................................... 98.20, 02.9

Sucesiones recurrentes............................... 96.32, 97.4, 98.36, 99.10, 00.18, 00.32, 00.45,

00.65, 04.28, 04.40, 04.56, 05.10, 05.13, 05.21

Convergencia de sucesiones.

Cálculo de límites...................................... 96.46, 98.28, 98.31, 98.36, 98.44, 99.16, 0.11,

00.20, 00.32, 00.43, 00.44, 00.45, 01.6, 01.8,

02.15, 02.31, 02.42, 03.8, 04.18, 04.40, 04.44,

04.56, 05.10, 05.21

Suma de series........................................... 98.9, 98.18, 98.35, 98.38, 00.20, 00.47, 00.50,

00.60, 02.15, 02.32, 02.34, 03.2, 04.47, 05.10,

05.22

Operaciones con números complejos......... 98.1, 98.47, 04.31, 04.53

Módulo y argumento de un número

complejo.................................................... 98.5, 99.4, 04.60

Aplicaciones geométricas de los

números complejos.................................... 00.33, 00.49, 01.3, 02.18, 04.22

Expresión analítica de una función........... 01.14, 02.41, 05.1

Composición de funciones......................... 04.15

Funciones exponenciales............................ 96.18, 00.12, 01.4, 04.59

Funciones logarítmicas.............................. 96.15

Funciones circulares.................................. 97.6, 98.20, 98.30, 01.14

Funciones arco.......................................... 01.4, 01.14

Cálculo de límites...................................... 00.37, 04.56, 04.59, 05.7

Límites y continuidad de funciones.

Ramas infinitas......................................... 96.15, 96.18, 96.28, 96.33, 96.45, 97.6, 97.9,

97.11, 98.20, 98.27, 98.30, 00.12, 00.66, 01.4,

01.14, 02.17, 02.20, 02.29, 02.37, 02.43, 04.8,

04.9, 04.15, 04.27, 04.45, 04.59, 05.1, 05.26

Límites en problemas geométricos............ 96.12, 96.38, 00.58

Ecuaciones funcionales.............................. 96.4, 99.14, 04.45, 05.32

XIV Problemas de Oposiciones 1996-2005

Sucesiones de funciones.

Convergencia puntual y uniforme............. 96.19, 99.8, 00.20

Derivabilidad de una función.................... 96.15, 96.18, 96.25, 96.28, 96.33, 96.51, 97.6,

97.9, 98.20, 98.27, 98.30, 00.66, 01.4, 01.14,

02.17, 02.37, 02.41, 04.8, 04.9, 04.15, 04.27,

04.59, 05.1, 05.26

Derivadas sucesivas................................... 01.4, 01.7, 03.6, 04.42

Teorema del valor medio...........................96.13, 98.28, 98.44, 00.36, 02.42, 04.32, 05.6

Crecimiento de una función.

Máximos y mínimos. Puntos de inflexión. 96.15, 96.18, 96.21, 96.25, 96.28, 96.33, 96.51

97.6, 97.9, 98.27, 00.12, 00.66, 01.4, 01.14,

02.17, 02.37, 02.41, 04.9, 04.46, 04.49, 04.59,

05.1, 05.26

Máximos y mínimos

en problemas geométricos......................... 96.20, 96.30, 96.54, 97.2, 97.13, 98.7, 98.11,

98.23, 98.30, 98.33, 99.6, 99.7, 00.28, 00.35,

00.40, 00.69, 02.24, 02.28, 04.7, 04.25, 05.1,

05.2, 05.30

Desarrollo de una función analítica

en serie de potencias................................. 98.22, 00.12, 00.38, 02.42

Suma de una serie de potencias.

Serie derivada............................................98.38, 00.47, 00.50, 00.60, 02.32, 05.22

Representación gráfica de una función...... 96.18, 96.28, 96.33, 97.6, 97.9, 98.27, 98.30,

00.66, 01.4, 01.14, 02.17, 02.37, 02.41, 04.9,

04.15, 04.59, 05.1, 05.26

Curvas que se obtienen resolviendo

ecuaciones diferenciales............................. 96.8, 98.4, 00.24, 02.2, 02.6, 04.44

Representación gráfica de curvas planas... 99.1, 02.40

Áreas encerradas por curvas..................... 96.45, 99.1, 02.16, 04.48

Longitudes de curvas................................ 99.1

Circunferencia osculatriz........................... 98.16

Curvatura................................................. 02.16, 04.10

Índice temático de problemas XV

Cálculo integral

Suma inferior y superior de una

función en un intervalo [a,b]..................... 00.44, 05.8

Integral definida. Propiedades.................. 96.46, 98.40, 04.12

Funciones definidas por una integral........ 96.25, 96.51, 00.12, 02.17, 02.41, 04.49, 05.7,

05.32

La integral definida como límite

de sumas de Riemman.............................. 00.43, 00.44, 02.31, 04.18

Integrales eulerianas Γ y β........................ 96.23, 00.20

Cálculo de integrales definidas.................. 02.10, 02.12, 02.20, 02.34, 05.31

Áreas de figuras planas............................. 96.12, 96.30, 96.38, 96.45, 98.18, 98.27,

98.33, 99.1, 99.15, 99.25, 00.20, 00.66, 02.20,

02.34, 04.48, 04.59, 05.2, 05.26

Áreas y volúmenes. Teorema de Guldin... 96.23, 96.36, 96.41, 98.33, 99.7, 00.2, 00.31,

00.39, 00.48, 02.13, 02.24, 04.2, 04.39, 04.49,

05.2

Valor aproximado de una integral............ 98.22

Aplicaciones de las funciones

a problemas físicos.................................... 97.12, 98.2, 98.8, 01.10, 02.6, 04.50

Geometría

Problemas sobre proporciones................... 98.25, 01.11

La razón aúrea.......................................... 96.6, 04.17

Semejanza. Teorema de Thales................. 96.42, 96.50, 97.15, 00.69, 04.5, 04.54

Áreas de figuras planas............................. 96.3, 96.7, 96.12, 96.20, 96.30, 96.31, 96.38,

97.1, 97.15, 98.23, 98.31, 98.35, 99.9, 99.18,

00.15, 00.58, 00.69, 01.14, 03.8, 04.25

Resolución de triángulos........................... 96.6, 00.3, 00.25, 00.63, 03.4, 04.19, 04.54

Ecuaciones trigonométricas....................... 00.61

XVI Problemas de Oposiciones 1996-2005

Medidas en triángulos............................... 96.42, 97.5, 97.15, 98.35, 98.46, 99.18, 00.3,

01.2, 02.43, 04.5, 04.19, 04.54, 05.4, 05.11,

05.14, 05.15, 05.23, 05.30, 05.35

Construcción de triángulos....................... 00.1, 01.2

Longitudes en una circunferencia.............. 96.50, 98.31, 04.18

Cuerdas en una circunferencia.................. 02.8, 04.25

Ángulos en una circunferencia.................. 00.58, 00.67

Problemas de tangencia............................ 00.28, 01.9, 04.9, 04.19

Movimientos en el plano........................... 02.14

Aplicaciones de la semejanza a la

resolución de ecuaciones............................ 01.3, 02.18

Lugares geométricos.................................. 94.3, 96.24, 96.36, 96.45, 96.48, 98.10, 98.34,

99.2, 00.14, 00.16, 00.64, 01.9, 01.13, 02.5,

02.21, 04.9, 04.29, 04.57, 05.11, 05.19,

Medidas en el cubo....................................96.44, 00.5

Áreas y volúmenes

de cuerpos geométricos............................. 96.41, 96.54, 97.2, 98.7, 99.6, 00.48, 01.11,

04.2, 04.7, 04.17

Envolvente de una familia de curvas........ 94.3, 99.24, 02.16

Hélices....................................................... 04.10

Superficies regladas................................... 99.20, 00.2, 02.13

Coordenadas geográficas........................... 00.13

Incidencia y paralelismo............................ 96.16, 98.6, 99.6, 00.30, 00.35, 04.6

Producto escalar de vectores..................... 94.2, 01.10

Desigualdad de Cauchy-Schwarz............... 02.27, 05.9, 05.25

Problemas métricos en el plano................ 02.11, 02.43, 04.25, 05.4, 05.27

Problemas métricos en el espacio.............. 96.44, 98.19, 00.5, 00.22, 00.63, 00.67

Elipse, parábola e hipérbola...................... 98.14, 00.16, 00.31, 00.40, 00.42, 02.21,

02.24, 04.4, 05.2, 05.19

Las cónicas como lugares geométricos...... 96.48, 98.10, 98.11, 98.34, 99.2, 00.64, 02.21,

02.28, 04.4, 05.19

Clasificación de cónicas............................. 98.11, 99.2, 02.13, 02.28

Índice temático de problemas XVII

Estadística y probabilidad

Regla de Laplace...................................... 96.37, 96.43, 97.13, 98.15, 98.45, 00.62, 01.8,

02.39, 03.3, 04.23, 05.3, 05.17, 05.29, 05.33

Propiedades de la probabilidad.

Fórmula de inclusión-exclusión................ 97.3, 00.54, 01.15, 02.22, 04.60, 05.3

Probabilidad compuesta............................ 96.39, 96.52, 96.55, 98.3, 98.43, 99.17, 00.6,

00.27, 00.46, 00.47, 00.50, 00.53, 00.60,

01.15, 02.15, 02.26, 02.30, 02.32, 04.36,

04.47, 04.62, 05.22, 05.28, 05.33.

Teorema de la probabilidad total............. 96.5, 00.46, 00.50, 04.30, 04.33, 04.37, 04.47,

05.28

Teorema de Bayes..................................... 96.47, 98.15, 04.34, 04.37

Juegos justos............................................. 99.5, 00.53, 00.60, 02.30

Variables discretas unidimensionales........ 96.47, 96.52, 98.9, 98.38, 00.68, 01.15, 02.26,

04.36, 04.37, 04.38, 04.43, 05.22

Variables discretas n-dimensionales.......... 98.24, 04.33, 05.3, 05.29

Variables continuas unidimensionales....... 97.8, 00.9, 00.56, 03.7, 04.38

La distribución normal.............................. 96.49, 96.55

Variables continuas n-dimensionales.

Probabilidades geométricas....................... 96.31, 97.13, 98.37, 99.21, 99.22, 00.7, 00.9,

00.21, 01.5, 01.15, 02.19, 02.25, 02.38, 03.3,

04.34, 04.51, 05.34, 05.17

Variables aleatorias mixtas....................... 00.17

Intervalos de confianza............................. 96.17, 04.55

Test de hipótesis....................................... 94.4, 96.49

Tablas de verdad.......................................02.3

Problemas de Oposiciones 1996-2005

98.1. Determine el número complejo

4 9 16 25 361A z z z z z z= + + + + + +

donde 2 /7iz e π= .

(Andalucía)

Solución:

La expresión de A puede simplificarse si se tiene en cuenta que z es una de

las raíces séptimas de la unidad, esto es, 7 1z = . Puede escribirse por ello:

9 7 2 2z z z z= ⋅ = , ( )216 7 2 2z z z z= ⋅ =

25 9 16 4z z z z= ⋅ = , ( )536 7z z z z= ⋅ =

resultando así la siguiente expresión para A:

( )4 2 2 4 2 41 1 2A z z z z z z z z z= + + + + + + = + + +

Para determinar el valor de 2 4z z z+ + repárese en que, por ser 1z ≠ , es

72 3 4 5 6 1

1 01

zz z z z z z

z

−+ + + + + + = =

− ( )1

Esta igualdad puede “ajustarse” a la expresión

obtenida para A si se repara en que las seis raíces

séptimas de la unidad distintas de ésta son

conjugadas dos a dos. En concreto:

1

z

2z

3z

4z

5z

6z


4 8 /7 6 /7 3i iz e e zπ π−= = =

5 10 /7 4 /7 2i iz e e zπ π−= = =

6 12 /7 2 /7i iz e e zπ π−= = =

Si usamos las propiedades de la conjugación, la igualdad ( )1 puede escribirse:

( )2 4 2 41 0z z z z z z+ + + + + + =

o lo que es igual, ( )2 41 2 Re 0z z z+ + + = , y por tanto,

( )2 4 12

Re z z z+ + = − ( )2

por lo que sólo necesitamos ya calcular ( )2 4Im z z z+ + . Recurrimos para ello

al módulo de 2 4z z z+ + :

( ) ( ) ( ) ( )22 4 2 4 2 4 2 4 6 5 3z z z z z z z z z z z z z z z+ + = + + ⋅ + + = + + ⋅ + + =

7 6 4 8 7 5 10 9 7z z z z z z z z z= + + + + + + + + =

6 4 5 3 21 1 1 2z z z z z z= + + + + + + + + =

y por tanto:

2 4 2z z z+ + = ( )3

De (2) y (3) se sigue entonces que:

( ) ( ) ( ) ( )2 222 2 4 2 4 71

2 4Im 2 Imz z z z z z − + + + = ⇒ + + =


Para deducir el signo de ( )2 4Im z z z+ + , basta tener en cuenta que

( ) ( )2 4 2 4 8 2 47 7 7 7 7 7

Im sen sen sen sen sen sen 0z z z π π π π π π+ + = + + = − + >

por lo que ( )2 4 72

Im z z z+ + = . Por último

( )2 4 1 71 2 1 2 7

2 2A z z z i i

= + + + = + − + =

00.18. Los cuatro primeros términos de la sucesión ( )na de números reales

son 0 1 2 3 0a a a a= = = = y su ley de recurrencia es, para 0n ≥

4 3 2 12 12n n n n na a a a a n+ + + ++ + + + =

Determine el término general de la sucesión en función de n y calcule el

término 90a .

INDICACIÓN: ( )( )4 3 2 2 22 1 1 1x x x x x x x+ + + + = + + +

(Madrid)

Solución:

La ley de recurrencia de ( )na define una ecuación lineal en diferencias con

coeficientes constantes. Su solución general se obtiene sumando una solución

particular de la misma y la solución general de la homogénea.

Para determinar la solución general de la ecuación homogénea

4 3 2 12 0n n n n na a a a a+ + + ++ + + + = , recurrimos a su ecuación característica

( )( )4 3 2 2 22 1 1 1 0x x x x x x x+ + + + = + + + =


Las cuatro soluciones de esta ecuación son 2 22 2 3 3

cos sen , cos seni iπ π π π± ± y

dan la solución general de la homogénea, que es:

0 1 2 32 2

2 2 3 3cos sen cos senn n n nc c c cπ π π π+ + +

Buscamos una solución particular de la ecuación completa usando coeficientes

indeterminados. El término independiente de la ecuación completa, 12n , es de

la forma ( ) np n s⋅ , con ( ) 12p n n= y 1s = . Además, 1s = no es raíz de la

ecuación característica de la homogénea, y por tanto puede encontrarse como

solución particular un polinomio del mismo grado a lo sumo que 12n , es decir,

de grado menor o igual que uno. Sea na a bn= + dicho polinomio.

Sustituyendo en la completa resulta:

( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 2 2 1 12a b n a b n a b n a b n a bn n+ + + + + + + + + + + + + =

es decir, 6 12 6 12a b bn n+ + = . Identificando coeficientes resulta 4,a = −

2b = , y la solución particular es 4 2na n= − + . La solución general de la

ecuación completa es por tanto:

0 1 2 32 2

2 2 3 34 2 cos sen cos sen

nn n n na n c c c cπ π π π= − + + + + +

Teniendo en cuenta que los cuatro primeros términos son nulos se determinan

los ic . Resultan de esta forma 0 0c = , 1 6,c = 2 4c = , 3

4 33

c = − y entonces

2 4 3 22 3 3 3

4 2 6 sen 4 cos senn

n n na n π π π= − + + + −

El término que ocupa el lugar 90 en la sucesión es:

904 33

4 180 6 sen 45 4 cos 60 sen 60 4 180 4 180a π π π= − + + + − = − + + =


98.33. Se considera la familia de elipses

2 2

2 21

x y

a b+ =

que pasan por el punto ( )1,1 .

a) Determine la elipse de la familia que encierra una región de área mínima.

b) Determine la elipse de la familia que engendra un volumen mínimo al girar

alrededor del eje de abscisas.

(Cataluña)

El apartado b) figura resuelto en [Vol. 3] pág. 176.

Solución:

a) Las elipses de la familia son las que tienen por ecuación 22

2 2 1yx

a b+ = y

pasan por ( )1,1 , es decir, aquellas en las que a y b cumplen 2 21 1 1a b+ = .

El área que encierra la elipse 22

2 2 1yx

a b+ = , teniendo en cuenta la simetría

de la misma respecto de ambos ejes de coordenadas, es cuatro veces el área

bajo la gráfica de la función 2

21 x

ax b −֏ entre 0x = y x a= , es decir,

2

204 1

a xS b dx

a= −∫

Mediante el cambio de variable senx a t= , obtenemos:

/2 /22 2

0 04 1 sen cos 4 cosS b t a t dt ab t dt

π π

= − ⋅ = =∫ ∫


( )/2/2

0 0

1 14 1 cos2 2 sen 2

2 2ab t dt ab t t ab

ππ

π

= ⋅ + = + = ∫

Se trata en consecuencia de minimizar abπ , o lo que es igual, minimizar ab

con a y b positivos y tales que 2 21 1 1a b+ = . Pero minimizar el producto de

factores positivos ab equivale a minimizar 2 2a b , que a su vez es

equivalente a maximizar 2 2 2 21 1 1a b a b

= ⋅ . Debemos por tanto calcular el

máximo de la función 2 21 1a b⋅ sabiendo que , 0a b > y 2 2

1 1 1a b+ = .

Ahora bien, es conocido que el máximo de un producto de dos factores

positivos de suma constante se alcanza cuando ambos factores son iguales.

De aquí que en el máximo ocurre que 2 21 1a b= y, como son , 0a b > ,

necesariamente a b= y de la igualdad 2 21 1 1a b+ = se deduce que 2

2 1a= ,

luego 2a b= = . La elipse de área mínima es, por tanto, la circunferencia

2 2 2x y+ = , de centro el origen y radio 2 , cuya área es 2π .

b) El volumen que engendra la elipse 22

2 2 1yx

a b+ = al girar alrededor del eje de

abscisas es

( )2

2 2 2 32 2 2 2

2 2 2

41

3 3

aa a

a aa

x b b xV b dx a x dx a x ab

a a a

π ππ π

− − −

= − = − = − = ∫ ∫

Hay que minimizar 243abπ , es decir, 2ab , con las restricciones 0a > , 0b >

y 2 21 1 1a b+ = . Esta última igualdad obliga a que 2

1a

y 21b sean menores

que 1, y como a y b son positivos, ambos han de ser mayores que 1. Como

de la misma igualdad deducimos que 2

22

1a

ab

−= , la función a minimizar es:


( ) ( )2 3

2 2: 1, :

1 1

a af a f a a

a a+∞ → = ⋅ =

− −ℝ ֏

Por ser 2 1 0a − > siempre que 1a > , f es derivable y su derivada es

( )( )

( )( )

( )

24 2

2 22 2

3 33

1 1

a a aa af a

a a

+ −−′ = =− −

El único cero de f ′ en el intervalo ( )1,+∞ es 3a = . Como 0f ′ < en el

intervalo ( )1, 3 y 0f ′ > en el intervalo ( )3,+∞ , f presenta un único

mínimo absoluto en 3a = . Para dicho valor de a es 2 3 33 1 2

b−

= = y por

tanto 62

b = . La elipse que engendra el menor volumen al girar alrededor

de OX es así la centrada en el origen y de semiejes 3 y 62, y dicho

volumen mínimo es 4 33 2

3 2 3π π⋅ ⋅ = .

00.50. Se realiza un juego entre dos jugadores A y B que ganará aquél que

gane dos partidas. La probabilidad de que el jugador A gane una partida es p,

la probabilidad de que el jugador B gane una partida es q, y la probabilidad

de que una partida termine en tablas (empate) es r. Calcule la probabilidad de

que el jugador A gane el juego.

(Galicia)

Primera solución:

Sea nA el suceso: “A gana el juego en la partida n-ésima” ( )2n ≥ . Es

evidente que ( ) 22p A p= , mientras que si 3n ≥ , el suceso

nA ocurre sólo si

se da alguna de las dos situaciones excluyentes que siguen:


� En las 1n − primeras partidas se producen una victoria de A y 2n −

tablas, y en la n-ésima gana A. Como la única victoria de A en las 1n −

primeras partidas puede darse en cualquiera de ellas, la probabilidad de

este suceso es

( ) ( )2 2 21 1n nn pr p n p r− −− = −

� A gana una partida, B otra y se producen 3n − tablas en las 1n −

primeras partidas, y A gana la última. La primera victoria de A puede

ocurrir en cualquiera de las 1n − primeras partidas y, fijada ésta, la

victoria de B puede darse en cualquiera de las 2n − partidas restantes.

Deducimos de ello que la probabilidad de que esto ocurra es

( )( ) ( )( )3 2 31 2 1 2n nn n pqr p n n p qr− −− − = − −

La probabilidad de que A gane el juego en la partida n-ésima ( )3n ≥ es por

tanto la suma de las dos probabilidades anteriores:

( ) ( ) ( )( )2 2 2 31 1 2n nn

p A n p r n n p qr− −= − + − −

y la probabilidad de que A gane el juego es entonces:

( ) ( ) ( )23

nn

p A p A p A∞

== + =∑

( ) ( )( )2 2 2 2 3

3 3

1 1 2n n

n n

p n p r n n p qr∞ ∞

− −

= == + − + − − =∑ ∑

( ) ( )( )2 2 3

3 3

1 1 1 2n n

n n

p n r q n n r∞ ∞

− −

= =

= + − + − − ∑ ∑


Para el cálculo de la suma de las dos series anteriores, podemos recurrir a la

derivación sucesiva de la suma de la serie geométrica 13n

n r −∞=∑ . Las series de

potencias como la anterior pueden ser derivadas término a término en el

interior de su campo de convergencia. Como dicha serie sólo converge si es

1r < , se tiene para tales valores de r,

( )( )

2 2 21 2 1

23 3 3

21

1 1 1

n n n

n n n

r d d r r rr n r r

r dr dr r r

∞ ∞ ∞− − −

= = =

− = ⇒ − = = = − − −∑ ∑ ∑

Volviendo a derivar la serie anterior para los mismos valores de r, se tiene:

( )( ) ( )( ) ( )

23 2

2 33 3

2 21 2 1

1 1

n n

n n

d d r rn n r n r

dr dr r r

∞ ∞− −

= =

− − − = − = = − − ∑ ∑

y entonces:

( )( ) ( )

( )

( )

222

2 3 3

1 22 21

1 1 1

p q rr rp A p q

r r r

+ −− = + + = − − −

probabilidad que, por ser 1p q r+ + = , puede ser escrita en la forma:

( )( )

( )

2

3

3p p qp A

p q

+=

+

Segunda solución:

Llamemos ijp a la probabilidad que tiene A de ganar el juego después de que

A haya ganado i partidas y B haya ganado j partidas. Según esta notación

debemos calcular 00p y es evidente que 2 1j

p = y 2 0ip = , para { }, 0,1i j ∈ .

Distingamos según el resultado de la primera partida:


� Si A gana esta primera partida, cosa que hace con probabilidad p, a partir

de entonces tiene una probabilidad igual a 10p de ganar el juego.

� Si B ha ganado la primera partida, hecho que ocurre con probabilidad q,

entonces A tiene una probabilidad igual a 01p de ganar el juego.

� Por último, empatan la primera partida con probabilidad 1r p q= − − , y

desde ese momento A tiene una probabilidad igual a 00p de ganar.

Resulta entonces, como consecuencia del teorema de la probabilidad total, que

( )00 10 01 001p p p q p p q p= ⋅ + ⋅ + − − ⋅

es decir,

( ) 00 10 01p q p p p q p+ ⋅ = ⋅ + ⋅ (1)

Razonamientos similares a éste para las probabilidades 10p , 01p y 11p

permiten obtener:

( )10 20 11 101p p p q p p q p= ⋅ + ⋅ + − − ⋅

( )01 11 02 011p p p q p p q p= ⋅ + ⋅ + − − ⋅

( )11 21 12 111p p p q p p q p= ⋅ + ⋅ + − − ⋅

Después de simplificar las igualdades anteriores y unirlas a la (1), se obtiene el

siguiente sistema de cuatro ecuaciones:

( )( )( )( )

00 10 01

10 11

01 11

11

p q p p p q p

p q p p q p

p q p p p

p q p p

+ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =


La solución del sistema puede ser obtenida con facilidad de abajo hacia arriba,

y es:

11p

pp q

=+

, ( )

2

01 2

pp

p q

=+

, ( )

2

10 2

2p pqp

p q

+=

+

y por último

( ) ( )

( )

( )

22 2

00 2 2 3

31 2 p p qp pq pp p q

p q p q p q p q

++ = ⋅ + ⋅ = + + + +

PROBLEMAS DE OPOSICIONES. Tomo 1: 1969 a 1980. Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas. Tercera edición. I.S.B.N. 978-84-86379-33-9.Autores: Braulio de Diego y Elías J. Gordillo. Obra dedicada a la resolución, con todo detalle, de los 509 problemas propuestos en las citadas opo-siciones, en 592 pág., ofreciéndose dos métodos de resolución cuando se ha considerado oportuno.

PROBLEMAS DE OPOSICIONES. Tomo 2: 1981 a 1987. Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas. Segunda edición. I.S.B.N. 978-84-86379-36-0.Autores: Braulio de Diego y Elías J. Gordillo. Contiene, en 768 páginas, 773 problemas totalmente1 resueltos que fueron propuestos en las citadas oposiciones, convocadas tanto por el M.E.C. como por diferentes Autonomías.

PROBLEMAS DE OPOSICIONES. Tomo 3: 1988 a 1995. Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas. Segunda edición. I.S.B.N. 978-84-86379-34-6. Autores: Braulio de Diego, Agustín Llerena y Mariano Llerena. Contiene totalmente1 resueltos 551 problemas propuestos en las citadas oposiciones, en 672 pág., convocadas tanto por el M.E.C. como por diferentes Autonomías.

PROBLEMAS DE OPOSICIONES. Tomo 4: 1996 a 2005. Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas. Segunda edición. I.S.B.N. 978-84-86379-86-5. Autores: Braulio de Diego, Agustín Llerena, Francisco Baena, Mª Belén Rodríguez, José Manuel Gamboa y José Mª Lorenzo. Contiene totalmente1 resueltos 378 problemas propuestos en las citadas oposiciones, en 1004 páginas, convocadas tanto por el M.E.C. como por diferentes Autonomías.

PROBLEMAS DE OPOSICIONES. Tomo 5: 2006 a 2012. Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas. I.S.B.N. 978-84-86379-85-8Autores: Braulio de Diego, Agustín Llerena, Francisco Baena, Mª Belén Rodríguez, José Manuel Gamboa, José Mª Lorenzo y Bruno Salgueiro.Contiene totalmente1 resueltos 177 problemas propuestos en las citadas oposiciones, en 650 páginas, convocadas tanto por el M.E.C. como por diferentes Autonomías

TEMAS DE OPOSICIONES A PROFESOR DE ENSEÑANZA SECUNDARIA. Opo-siciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas. Segunda edición. Tomo 1, I.S.B.N. 978-84-86379-48-3. Tomo 2, I.S.B.N. 978-84-86379-47-6. Tomo 3, I.S.B.N. 978-84-86379-49-0.

PUBLICACIONES

1 Los problemas propuestos en convocatorias de años anteriores no se resuelven otra vez, sino que se indica un volumen de la misma colección donde figuran resueltos.

Autores: Braulio de Diego, Francisco Padilla y Agustín Llerena.Obra de 3 volúmenes en la que se desarrollan todos los temas del Temario de Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria, especialidad de Matemáticas

PROGRAMACIONES Y UNIDADES DIDÁCTICAS. Oposiciones al Cuerpo de Pro-fesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas. Tomo 1, I.S.B.N. 978-84-86379-74-2. Tomo 2, I.S.B.N. 978-84-86379-75-9. Tomo 3, I.S.B.N. 978-84-86379-76-6. Tomo 4, 978-84-86379-77-3.Autores: Fernando García, Antonio J. López, Manuel López, José Mª Lorenzo, Jorge Quereda, Ma-nuela Redondo y Mª Teresa Sánchez Figuran desarrolladas las programaciones de las asignaturas de Matemáticas de 1º y 2º de E.S.O. en el Tomo 1; 3º y 4º (Opciones A y B) de E.S.O. en el Tomo 2; las Matemáticas I y II del Bachillerato de Ciencias y Tecnología en el Tomo 3; y las Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en el Tomo 4. Además, con cada programación se desarrollan al menos quince unidades didácticas.

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAL. Primer curso de Escuelas Técnicas, Escue-las Universitarias y Facultades de Ciencias. Cuarta edición. I.S.B.N. 978-84-86379-00-1. Autores: Braulio de Diego, Elías J. Gordillo y Gerardo Valeiras. Obra dirigida por José Luis Vicente Córdoba (Catedrático de Álgebra de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla). Contiene 427 problemas totalmente resueltos y más de 848 cuestiones. Cada capítulo se inicia con un resumen teórico.Capítulo 1: Matrices. Operaciones elementales. Determinantes. Matriz inversa. Rango o caracterís-tica de una matriz. Sistemas de ecuaciones lineales: método de reducción de Gauss. Capítulo 2: Es-pacios vectoriales. Subespacios. Dependencia lineal. Espacio cociente. Base y dimensión. Coorde-nadas. Cambio de base. Escalonamiento de vectores. Aplicaciones del Teorema de Rouché-Fröbenius. Capítulo 3: Aplicaciones lineales. Núcleo e imagen. Matrices asociadas a una aplicación lineal. For-mas lineales. Espacio dual. Capítulo 4: Autovectores y autovalores. Polinomios característico y mí-nimo. Matrices diagonalizables. Diagonalización de matrices simétricas reales. Formas canónicas de Jordan: métodos de la partición de multiplicidades y de los divisores elementales. Aplicaciones.

EJERCICIOS DE ANÁLISIS (CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL). Primer curso de Escuelas Técnicas, Escuelas Universitarias y Facultades de Ciencias. Quinta edición. I.S.B.N. 978-84-86379-02-5.Autor: Braulio de Diego. Capítulo 1: Interpolación. Capítulo 2: Sucesiones y topología en la recta real. Límites. Capítulo 3: Números complejos. Transformaciones. Capítulo 4: Límites y continuidad de funciones reales de variable real. Capítulo 5: Derivada y diferencial. Capítulo 6: Teoremas del valor medio. Regla de L’Hôpital. Fórmulas de Taylor y Mac Laurin. Curvas. Capítulo 7: Cálculo de primitivas. Integral definida. Integrales impropias. Convergencia. Capítulo 8: Series numéricas. Sucesiones y series funcionales. Convergencia uniforme. Desarrollos en series de potencias. Capítulo 9: Ecuaciones algebraicas. Aproximación de raíces. Eliminación de incógnitas.

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práctico de las Oposiciones - academiadeimos.es · Prólogo resentamos al lector la segunda edición del cuarto volumen de la colección Problemas de Oposiciones a Profesores de