UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Y ELECTRONICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE ELECTRICA Y
ELECTRONICAESCUELA PROFESIONAL DE ING. ELECTRONICATEMA : PRACTICA
N03. PROFESOR : RAUL CASTRO VIDAL.CURSO : CALCULO III
NTEGRANTESALUMNOCODIGO
1ALVAREZ CHAUCA HAROLD STEEP1313220418
2CUARESMA URBANO JOHNN1313220641
3JAIMES PLASENCIA FELIPENE PEDRO1313210019
4LLIUYACC LEON EDWARD1313220623
5PARRAGA SANDOVAL LUIS1313220445
6QUISPE CANCHARI CHRISTIAN1223220428
7QUISPE PACHECO FRANK CHRISTOPHER1223220099
BELLAVISTA CALLAO2014PREGUNTA 1
Sean curvas de Jordan regulares a trozos, satisfaciendo:(i) Dos
curvas cualesquiera no se cortan.
(ii) Todas las curvas estn en el interior de .
(iii) Cada est en el exterior de (i j; i; j = 2, 3,4,, n).
Si es la unin de que no est dentro de ninguna ( j = 2, 3,4,, n)
y son de clase en un abierto S que contiene a , demuestre que
Donde y (j = 2, 3,4,, n) sentidos contrarios al movimiento de
las manecillas de un reloj.SOLUCIONDel teorema de Green
sabemos:
Para todo los campos de clase C1 sobre S que contiene a R, de
esto sale le equivalente de las dos expresiones:
para probar la expresin (1); la limitaremos por las grficas de
dos funciones y = f(x), y=g(x), con f g. Es decir, supondremos en
primer lugar que donde f y g son funciones reales de clase C1.ahora
encadenaremos cuatro caminos de la siguiente forma:C = C1 + C2 C3
C4donde, C1 est parametrizado por 1(t) = (t,f(t)), a t b; C2 lo
esta por 2(t) = (b,t), con f(b) t g(b); C3 es 3(t) = (t,g(t)), a t
b; y C4 viene dado por 4(t) = (a,t), f(a) t g(a). Ntese que, a lo
largo de C2 y de C4, x = x(t) es constante, luego dx = 0 sobre
estos caminos, mientras que sobre los caminos restantes es dx=1.
Entonces se tiene que
Luego por fubini y el teorema fundamental del calculo.
Probemos la expresin (2), limitada por dos funciones, x = (y), x
= (y), con . que donde f y g son funciones reales de clase C1.ahora
encadenaremos cuatro caminos de la siguiente forma: C = C1 + C2 +
C3 C4donde C1 est parametrizado por 1(t) = ((t),t), c t d; C2 es
2(t) = (t,c), con (c) t (c); C3 es 3(t) = ((t),t), c t d; y C4 es
4(t) = (t,d), con (d) t (d). A lo largo de C2 y de C4, y = y(t) es
constante, luego dy = 0 sobre estos caminos, mientras que sobre los
caminos restantes es dy=1. Entonces se tiene que:
Anlogamente al anterior:
El siguiente paso consiste en establecer la validez para toda
regin C que pueda descomponerse como la unin de C1; C2; C3;..;
Cn
Aplicaremos la formula en cada regin Ci y sumar todas las
igualdades correspondientes para obtener lo siguiente:
Como R es la unin de C1 que no est dentro de ninguna Cj (j=2, 3,
4,.., n) nos queda la expresin por demostrar.
PROBLEMA 2
Solucin: sea la integral Y sea ........
El cilindro de radio r=1 est limitado por los planos
PROBLEMA 3Defina una superficie orientable y de un ejemplo de
superficie no orientable, muestre grficamente.
SUPERFICIES ORIENTADASLa definicin de las integrales de
superficie de campos vectoriales involucra el concepto de
superficies orientadas o superficies orientables, que son
superficies en las que se pueden identificar dos caras o lados, en
aquellas superficies en las que se identifica un solo lado se
denominan como superficies no orientables. Una superficie S es una
superficie orientada si existen, para un mismo punto ( x, y, z)
perteneciente a la superficie S, dos vectores normales n1 y n2 ,
uno por cada una de las caras de la superficie S, que son
colineales y opuestos entre s, es decir, n1 = n2 . En donde n1 es
una funcin continua para cada todos los puntos ( x, y, z) ubicados
sobre la superficie, es decir, que el vector n1 est variando
continuamente sobre toda la superficie S, excepto, quizs, en un
nmero finito de puntos en su frontera, puntos que se denominan como
puntos singulares de la superficie; por tanto se definen dos
orientaciones para cualquier superficie orientable, una al tomar un
vector unitario n1 sobre un punto ( x, y, z )perteneciente a la
superficie S, y otra cuando se toma al vector unitario n2 , como se
muestra en la Figura 1. La eleccin de la orientacin de una
superficie, es para permitir la distincin entre una direccin y la
otra, ya que una de ellas se va a identificar como la orientacin
positiva de la superficie.
Cuando la superficie S est definida de manera explcita por la
expresin z= f(xy) el vector normal unitario determina una
orientacin de la superficie S que viene dada por la expresin
Al observar este vector, se puede decir que la superficie S
tiene una orientacin hacia arriba, al observar que la componente en
la direccin del eje z es positiva. Si S es una superficie suave
orientable, dada en forma paramtrica por una funcin vectorial:
Entonces en este caso una orientacin para esta curva vendra dada
por en vector normal unitario
y n definira la orientacin opuesta. El concepto de superficies
orientables es aplicable tanto a superficies cerradas como a
superficies no cerradas. Por convencin cuando S una superficie
cerrada, es decir, que la superficie S es la frontera de una regin
slida B, con 3 B , se ha establecido que la orientacin positiva es
el lado de la superficie en la que los vectores normales sealan
hacia fuera de la regin slida B, mientras que la superficie cuyas
normales apunten hacia el interior de la regin B, indican la
orientacin negativa de la superficie S.Como contraejemplo de
superficies orientables, por ejemplo, observamos en la Figura 2, la
cinta de Mbius, en la cual se observa que la misma tiene un solo
lado, es decir, no es una superficie orientable. Es posible
construir esta cinta tomando una tira rectangular larga y delgada
de papel, darle media vuelta y unir sus extremos. Al hacerlo, si se
traza una lnea de color a lo largo de la cinta terminaremos en el
punto en el que se inicio la lnea.
PROBLEMA 5
Por el teorema de gauss sabemos
Pero por dato tenemos que
Por coordenadas cilndricas
PROBLEMA 6
4) . = (). + ().Demostracin: siendo M,N,P,A,B,C funciones
escalares
= = Donde:. =Por la propiedad de la derivada de un producto de
funciones escalares:= Ordenando convenientemente:= ==
5) Demostracin:
==
6) Demostracin:
=
==
1
