ppt-fismat

8/17/2019 ppt-fismat

1/41

TRANSFORMASI INTEGRAL

(Transformasi Laplace dan konvolusi)

ole !

"elompok ##

#$ Laila%ul I&&a (#''##')

'$ Nur *Aini (#+'##',)

-$ .aroro%u% /a0ama(#+'##''1)


2/41

Laplace

Misalkan F(%) sua%u fun2si % dan % 3 4maka%ransformasi Laplace dari F(%) dino%asikan den2anL5F(%)6 7an2 di de8nisikan ole!

L5F(%)6 9 F(%) d% 9 f(s)

"arena L5F(%)6 adala in%e2ral %ak 0a:ar den2an;a%as a%as %ak in22a() maka !

dt t F e

s f dt t F et f L

st

p

st

Lim )(

)()()}({

0

0

−∞

∞→

−∞

∫

∫ =

==


3/41

Teorema

F(t) L{F(t)}

1 , s > 0

t , s > 0

t2 , s > 0

t nn= 0,1,2,3,4...

, s > 0

e at , s > 0

Sin at

, s > 0

s1

1

!+n s

n

a s −

1

2

1

s

s32

22

a s

s

+


4/41

Teorema

F(t) L{F(t)}

Cos at ,s > 0

sinh at ,s > │a│

cosh at,s > │a│

t Cos at

F(t) L{F(t)}

Cos at ,s > 0

sinh at ,s > │a│

cosh at,s > │a│

t Cos at

22 a s s+

222

2

)( a sa s

−−

22 a s

s

−

22 a s

s

−

222 )( a s

s

+


5/41

con%o soal! Ten%ukan %ransformasi laplace dari

=a0a; !

k t F =)(

[ ]

[ ][ ]ee

ee

s

k

sk

e s

k

dt ek

s f k et F L

s s

st

st

st

0

)0()(

0

0

0

)()}({

−−=

−−=

∞−−=

−=

==

∞−

−∞−

−

∞−

−∞

∫

∫


6/41

[ ]

s

k

s

k

s

k

e s

k

e

=

−−=

−∞−=

−−=∞

10

11

1 0


7/41

Me%ode %ransformasi laplace1. Metode Langsung Berkaitan dengan

Difnisi

Me%ode ini ;erkai%an den2an de8nisi ;eriku%!L5F(%)6 9 F(%)d%

9


8/41

con%o soal!

Ten%ukan %ransformasi laplace dari

L5F(%)69F(%)d%f(s)9 d%

9 d% 9 >

9 > >6

9 > >6


9/41

9 > >6

9 > > #6 9 > > #6

f(s) 9


10/41

'$ Me%ode /ere%

Misalkan F(%) mempun7ai uraian dere%pan2ka% 7an2 di;erikan ole fun2si;eriku%!

F(%)9? % ? ? ?$$$ 9

Maka %ransformasi laplacen7a dapa%diperole den2an men:umlakan%ransformasi se%iap sukun7a dalam

dere%4sein22a !


11/41

L5F(%)69L56?L5% 6?L56?L56?$$$

9 ? ? ? $$$

9

S7ara% ini ;erlaku :ika dere%n7akonver2en un%uk s 3


12/41

siat-siat transormasi laplace#$ Sifa% Linear

=ika dan adala se;aran2 kons%an%a4sedan2kan dan adala fun2si>fun2siden2an %ransformasi>%ransformasi Laplacemasin2>masin2 dan 4 maka

.uk%i

1c 2c

)(1 t F )(2 t F

)(1 s f )(2 s f

)()()}()({ 22112211 s f c s f ct F ct F c L +=+

∫

∞−

+=+ 0 22112211 )}()({)}()({ dt t F ct F cet F ct F c L st

∫ ∫ ∞

−∞

− +=0

22

0

11 )()( dt t F cedt t F ce st st

∫ ∫

∞−

∞− +=

0

2

0

211 )()( dt t F ecdt t F ec st st )()( 2211 s f c s f c +=


13/41

@on%o soal

#$

s s

352 −=

}3{}5{}35{}35{ Lt Lat Lt L −=−=−

}1{3}{5 Lt L −=

s s1315

2 −=


14/41

'$ Sifa% Turunan

:ika maka

karena 4 maka

)()}({ s f t F L = )0()()}('{ F s sf t F L −=

)()()}({0

s f dt t F et F L st

== ∫

∞−

dt t F et F L st ∫ ∞

−=0

)(')}('{

∫ ∞

−=0

)(t dF e st

∫ ∞

−+−=0

)()0(0 dt t F e s F st

)0()( F s sf −=


15/41

=ika maka

/en2an cara 7an2 sama diperole

Akirn7a den2an men22unakan induksima%ema%ika dapa% di%un:ukkan ;a0a4 :ika

maka !

)0()()}('{ F s sf t F L −=

)(')0()()}(''{ 2 s F sF s f st F L −−=

dt t F et F L st )(''')}('''{0

∫ ∞

−= )0('')0(')0()( 23 F sF F s s f s −−−=

)()}({ s f t F L =

)0()0(...)0(')0()()}({ )1()2(21)( −−−− −−−−−= nnnnn F sF F s F s s sf t F L


16/41

-$ Sifa% In%e2ral

=ika maka

;uk%imisal maka

/en2an men%ransformasikan Laplace padakedua piak4 diperole !

=adi diperole !

)()}({ s f t F L = s

s f duu F L

t )(

)(0

=

∫

∫ =t

duu F t G0

)()( 0)0()()(' == Gdant F t G

)}({)}('{ t F Lt G L =

)(}0{)}({ s f Gt G sL =−⇔

)()}({ s f t G sL =⇔

s

s f t G L

)()}({ =⇔

s

s f duu F L

t )(

)(0

=

∫


17/41

@on%o soal

@arila

=a0a; !

Misal

Maka

Sein22a menuru% sifa% %ransformasi di a%as

∫

t

du

u

u L

0

sin

t

t t F

sin)( =

st F L 1arctan)}({ =

s s s s f du

uu L

t

1arctan1)(sin

0

==

∫


18/41

Transormasi Laplace Invers

Deinisii"a transor#asi $a%&ace sat nsi F (t )aa&ah f (s),

*ait +i"a #a"a F

(t ) iset sat transor#asi$a%&ace -ners ari f (s). Secara si#o&is it&is

iset o%erator transor#asi $a%&ace iners.)}({)( 1 s f Lt F −=

)()}({ s f t F L =

1− L


19/41

@on%o#$ karena maka

'$ "arena

maka

t

e s L

2

2

1=

−

{ }2

121

−

=−

s

e L t

a

at

a s L

sinh122 =

−

22

1 1sinh

a sa

at L

−=

−


20/41

.erdasarkan de8nisi di a%as4 dapa% di%en%ukan%ransformasi Laplace invers ;e;erapa fun2sisederana di;a0a ini$

/o. f(s)

1. 1

2. t

3.

4.

5.

.

)()}({1

t F x f L =−

s

1

2

1

s

,...3,2,1,0,1

1 =

+ n

sn

!n

t n

a s −

1 at e

22

1

a s + a

at sin

22 a s

s

+ at cos


21/41

No$ f(s)

.

.

.

)()}({1 t F x f L =−

22

1

a s −

22 a s

s

−

222

22

)( a s

a s

+

−

a

at sinh

at cosh

at t cos

@ % l


22/41

@on%o soalent"an transor#asi &a%&ace iners F (t) ari nsi

eri"t4

1)(

2−

=

s s f

t t ee s s

Lt F

s s s s f

s s s s s B

s s s s s A

s

B

s

A

s s s s f

s s s sQ s

s f

221

2

2

2

2

4

1

4

1

2

4

1

2

4

1

)(

2

4

1

2

4

1

4

1)(

4

1

)22(

1

2

1

)2)(2(

12)2(

41

)22(1

21

)2)(2(12)2(

22)2)(2(

1

4

1)(

)2)(2(4)(4

1)(

−− −=

−

−

+−

=

+

−+

−=

−=

−=−−

=−

=+−

→−=→+=

=+=+=+−→=→−=

++

−=

+−=

−=

+−=−=→−

=


23/41

Teori konvolusiOperasi yang mendasar dalam pengolahan citra

adalah operasi konvolusi

Konvolusi 2 buah fungsi f (t) dan g (t) didefinisikansebagai berikut

y(t)= f(t) * g(t)= ∫ f(t) g (t-p)dp !alam hal ini" tanda # menyatakan operator

Konvolusi" dan peubah (variabel) p adalah peubahbantu


24/41

6e&aran siste# enan tana%an i#%&s h(t) an#as"an x(t) a%at ieinisi"an seaai

7ta a%at +a in*ata"an∫

∞

∞−−= dp pt h p xt y )()()(

∫ ∞

∞−

−= dp pt x pht y )()()(


25/41

8#s i atas i"ena& seaai intera& "ono&si. 9nt" 2nsi se#aran x(t) an h(t) #a"a intera& "ono&sir (t) a%at in*ata"an seaai

∫

∞

∞− −= dp pt h p xt r )()()(

)()()( t ht xt r ∗=


26/41

Sifa% sifa% konvolusi"omu%a%if

/is%ri;u%if

)()(

)()()()(

t t

t xt yt yt x

r r yx xy =

∗=∗

[ ] [ ] [ ])()()(

)()()()()()()(

t t t

t z t xt yt xt z t yt x

r r r xz yx xy ±=∗±∗=±∗


27/41

Asosia%if

@on%o!

.erapaka asil konvolusii :ika

[ ] [ ] )()()()()()( t z t yt xt z t yt x ∗∗=∗∗


28/41

/imana persamaan konvolusi iala

Maka4

Sein22a4


29/41


30/41

La%ian soal#$ Bi%un2la %ransformasi laplace dari

'$ Bi%un2la 4 :ika

-$ Bi%un2la %ransformasi laplace dariL5'? sin (C%)6

+$ Bi%un2la

C$ /en2an men22unakan sifa% %ransformasilaplace4 Ten%ukan %ransformasi laplacedari 2unakan sifa%

})1{( 22 +t L

( )t et F t 3sin)( 2−=

)():(; α α +=− s f t F e L t

):(; t F L 3,0,5

3,0{)( <

>= t

t t F

:4sin10; 2

t t L +


31/41

,$ Ten%ukanla %ransformasi lapalce invers ! F (t)dari fun2si ;eriku% !

$ Ten%ukan ke%ika dan

D$ Ten%ukan ke%ika

)()( t ht g ∗ e t

t g 3

)( = e t

t h 2

)( =

)()( t ht g ∗

1)(

2 −++

= s

s s f

s


32/41

ENELESAIAN NO$#

32

32

322

2

22

1

40

!2.4

1

40

)3(.444.10

:;4:4;sin10:4;:4sin10;:44sin10;

s s

s s

s s

t Lt L

t Lt Lt t L

++

=

+

+

=

++=

+=+=+


33/41

ENELESAIAN NO$'

)1(5

5

5

.5.

.0..5.

)(

3

3

0

3

0

3

0

3

3

0

0

:

):(;

s

st

st

st

st st

st

e

s

e s

dt e

dt e

dt edt e

dt t F et F L

−

−

−

−

−∞

−

−∞

−=

−=

=

=

+=

∫ ∫

∫ ∫ ∫ =


34/41

ENELESAIAN NO$-L5'? sin (C%)6 9 'L56 ? L5sin (C%)69 'L56 ? L56

9 ?9

9


35/41

ENELESAIAN NO$ +

}12{})1{( 2422 ++=+ t t Lt L

}1{}2{}{ 24 Lt Lt L ++=

}1{}{2}{ 24 Lt Lt L ++=

s s s

1!22

!41214

+

+= ++

s s s

142435

++=


36/41

ENELESAIAN NO$ C

134

3

)2(

3)2():3sin(;

3)(

3):3;sin(

)3sin()():3sin(;

2

2

2

2

2

2

++

=

++=+=

+

=

+=

=→

−

−

s s

s s f t e L

s

s f

st L

t t F t e L

t

t


37/41

ENELESAIAN NO$ ,

( )

t t ee

s s Lt F

s s s s

s s f

s

s

s s

s s s B

s

s

s s

s s s A

s

B

s

A

s s

s

s s

s s f

s s s s sQ

s s

s s f

321

2

2

2

2

5

2

5

3

3

5

2

2

5

3

)(

3

5

2

2

5

3

1)(

5

2

)23(

13

2

1

)2)(2(

13)3(

5

3

)32(

12

3

1

)3)(2(

12)2(

32)3)(2(

1

1)(

)3)(2()(

1)(

−− +=

++

−=

++

−=

−+

+=

=−−+−=

−+=

+−+→−=→+=

=+

+=

+

+=

+−

+→=→−=

++

−=

+−

+=

−+

+=

+−=−+=→

−+

+=


38/41

en7elesaian No$ #$

:adi persamaan konvolusi adala


39/41


40/41

en7elesaian No$ D

/ike%aui


41/41

Documents

ppt-fismat